Isnaini Nurisusilawati

Distribusi seragam diskrit ialah distribusi peluang diskrit yang paling sederhanadimana variabel acaknya memperoleh semua nilainya dengan peluang yang sama.

Bila variabel acak mendapat X nilai x1, x2, … xk dengan peluang yang sama, makadistribusi seragam diskrit diberikan oleh

f(x;k) = 1

𝑘, x = x1, x2, … xk

Lambang f(x;k) telah dipakai sebagai pengganti f(x) untuk menunjukkan bahwadistribusi seragam tersebut bergantung pada parameter k.

Bila sebuah bola lampu dipilih secara acak dari sekotak bola lampu yang berisi 1yang 40-watt, 1 yang 60-watt, 1 yang 75-watt, dan 1 yang 100-watt, maka tiap unsurruang sampel T={40, 60, 75, 100} muncul dengan peluang ¼. Jadi, distribusinyaseragam dengan,

f(x;4) =1

4, x= 40, 60, 75, 100

Bila sebuah dadu dilemparkan, tiap unsur ruang sampel T={1, 2, 3, 4, 5, 6} munculdengan peluang 1/6. Jadi, merupakan distribusi seragam dengan,

f(x;6) =1

6, x= 1, 2, 3, 4, 5, 6

Rataan dan variansi distribusi seragam diskrit f(x; k) adalah

𝜇 = 𝑖=1𝑘 𝑋𝑖

𝑘dan 𝜎2 =

𝑖=1𝑘 (𝑋𝑖−𝜇)2

𝑘

Misal,

Bila sebuah dadu dilemparkan, tiap unsur ruang sampel T={1, 2, 3, 4, 5, 6} munculdengan peluang 1/6. Hitunglah rataan dan variansinya

𝜇 =1+2+3+4+5+6

6= 3,5

𝜎2 =(1−3,5)2+(2−3,5)2+ …+(6−3,5)2

6= 35/12

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha mempunyai 2kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal.

Misal,

o Pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian mendapat hasil barangcacat atau tidak cacat.

o Kartu ditarik secara berurutan dari sekotak kartu bridge dan tiap penarikandisebut sukses atau gagal tergantung pada apakah kartu merah atau hitam yangterambil.

Proses diatas disebut proses Bernoulli.

Tiap usahanya disebut usaha Bernoulli.

Proses Bernoulli harus memenuhi syarat sebagai berikut:

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal

3. Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha

yang berikutnya

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya

Pandang suatu kelompok usaha Bernoulli yang berupa pengembalian 3 bahansecara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa, dan kemudian yang cacatdipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses.Banyaknya sukses merupakan suatu variabel acak X dengan nilai bilangan bulatdari nol sampai 3. kedelapan hasil yang mungkin (C=cacat, T=tak cacat) dan nilaiX adalah

Bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggapmenghasilkan 25% bahan yang cacat.

Hasil X

TTT 0

TCT 1

TTC 1

CTT 1

TCC 2

CTC 2

CCT 2

CCC 3

Maka,

P(TTT) = P(T)P(T)P(T) = (3/4)(3/4)(3/4) = 27/64

…

P(CCC) = P(C)P(C)P(C) = (1/4)(1/4)(1/4) = 1/64

Jadi, distribusi peluang X adalah

Banyaknya X yang sukses dalam n usaha Bernoulli disebut variabel acak Bernoulli.

Distribusi peluang variabel acak diskrit ini disebut distribusi binomial, dan dinyatakandengan b(x;n, p).

x = nilai variabel acak

n = banyaknya usaha

p = peluang sukses dalam suatu usaha

x 0 1 2 3

f(x) 27/64 27/64 9/64 1/64

P(X=2) = f(2) = b(2;3, 1/4) = 9/64

Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagaldengan peluang q = 1-p, maka distribusi peluang variabel acak binomial X, yaitu

banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah

b(x;n, p) = 𝑛𝑥𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥 , x = 0, 1, 2, … n

Kembali ke Contoh,

b(2;3, 1/4) = 32

( 1

4)2 (

3

4)3−2= 3 1/16 (3/4) = 9/64

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾.Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak?

Misal tiap pengujian bebas, jadi p=3/4 untuk tiap keempat pengujian sehingga

b(2;4, 3/4) =42

(3

4)2 (

1

4)2= (6) 9/16 (1/16) = 27/128

Peluang untuk sembuh seorang pasien penderita penyakit darah yang jarang adalah0,4. bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakahpeluangnya

Paling sedikit 10 akan sembuh,

Antara 3 sampai 8 yang sembuh,

Tepat 5 yang sembuh?

Misal X banyaknya penderita yang sembuh, maka

a. P(X ≥ 10) = 1 – P(x < 10) b. P(3 ≤ X ≤8) = 38 𝑏(𝑥; 15, 0,4)

= 1 - 09 𝑏(𝑥; 15, 0,4) = 0

8 𝑏(𝑥; 15, 0,4) - 02 𝑏(𝑥; 15, 0,4)

= 1 – 0,9662 = 0,9050 – 0,0271

= 0,0338 = 0,8779

c. P(X = 5) = b(5;15, 0,4)

= 05 𝑏(𝑥; 15, 0,4) - 0

4 𝑏(𝑥; 15, 0,4)

= 0,4032 – 0, 2173

= 0,1859

Distribusi binomial b(X;n,p) mempunyai rataan dan variansi

𝜇 = 𝑛𝑝 dan 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞

Contoh,

Hitung rataan dan variansi dari contoh diatas!

𝜇 = 𝑛𝑝 = (15)(0,4)

𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞 = (15)(0,4)(0,6) = 3,6

Percobaan binomial menjadi multinominal jika tiap usaha dapat memberikan lebihdari 2 hasil yang mungkin.

Misal,

Pembagian hasil produksi menjadi ringan, sedang, berat.

Penarikan kartu dari sekotak kartu bridge dengan pengambilan keempat warna kartu.

Bila suatu usaha dapat menghasilkan k hasil yang mungkin E1, E2, … , Ek denganpeluang P1, P2, … , Pk maka, distribusi multinomial akan memberikan peluangbahwa E1 terjadi sebanyak x1 kali, E2 x2 kali, … , Ek xk kali dalam usaha n bebasdengan

x1 + x2 + … + xk = n

Distribusi peluang gabungan tersebut dinyatakan dengan f(x1, x2, …, xk; P1, P2, …,Pk, n), maka P1 + P2 + … + Pk = 1

Mendapatkan rumus f(x1, x2, … xk; P1, P2, … Pk , n)

Tiap usaha yang saling bebas akan menghasilkan x1 hasil untuk E1, x2 hasil untuk E2,

…, xk hasil untuk Ek

Peluang yang terjadi adalah P1x1, P2

x2, … Pkxk

Banyaknya titik sampel𝑛

x1, x2,,,, ,x𝑘 =𝑛!

x1! x2!,,, ,x𝑘!

Distribusi multinominal dapat dicari dengan mengalikan peluang dengan banyaktitik sampel

Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E1, E2, …, Ek dengan peluangP1, P2, …, Pk, maka distribusi peluang variabel acak X1, X2, …, Xk yang menyatakan

banyak terjadinya E1, E2, …, Ek dalam n usaha bebas ialah

f(x1, x2, … xk; P1, P2, … Pk , n) = 𝑛

x1, x2,,,, ,x𝑘 P1x1, P2

x2, … Pkxk

Dengan

𝑖=1𝑘 𝑋𝑖 = 𝑛 dan 𝑖=1

𝑘 𝑃𝑖 = 1

Bila 2 dadu dilemparkan 6 kali, berapakah peluang mendapat jumlah 7 atau 11muncul 2 kali, sepasang bilangan yang sama satu kali, dan kombinasi lainnya 3kali?

Misal kejadian tersebut dinyatakan

E1 = jumlah 7 atau 11 muncul

E2 = pasangan bilangan yang sama muncul

E3 = baik pasangan yang sama maupun jumlah 7 atau 11 tidak muncul

Peluang masing-masing kejadian

P(E1) = 8/36 = 2/9

P(E2) = 6/36 = 1/6

P(E3) = 22/36 = 11/18

Hasil

x1 = 2

x2 = 1

x3 = 3

n = 6

f(2, 1, 3; 2/9, 1/6, 11/18, 6) = 6

2,1,3

2

9

2 1

6

1 11

18

3

= 0,1127

Seorang dipilih dari 10 karyawan untuk mengawasi suatu proyek dengan caramemilih satu gulungan kertas dari sebuah kantung berisi 10 gulungan bernomor 1sampai 10. Bila X adalah variabel acak yang menyatakan bilangan yang tertulisdalam gulungan kertas yang diambil secara acak, carilah rumus distribusi peluangX. Berapakah peluang mengambil bilangan lebih kecil dari 4? Hitunglah rataandan variansinya!

Suatu roda roulette terbagi atas 25 sektor dengan luas yang sama dan diberi nomordari 1 sampai 25. Carilah rumus distribusi peluang X, yaitu bilangan yang munculbila roda roulette diputar!

Seorang petani jeruk mengeluh karena 2/3 dari panen jeruknya terserang sejenisvirus. Cari peluangnya bahwa di antara 4 buah jeruk yang diperiksa dari hasilpanen ini semuanya terserang virus tersebut!

Delegasi ke suatu konferensi akan tiba dengan pesawat terbang, bus, mobilsendiri, atau kereta api masing-masing dengan peluang 0,4, 0,2, 0,3, 0,1. Berapapeluangnya bahwa diantara 9 delegasi yang dipilih secara acak, 3 tiba denganpesawat terbang, 3 tiba dengan bus, 1 tiba dengan mobil sendiri, dan 2 tibadengan kereta api?

Percobaan hipergeometrik memiliki kedua sifat berikut:

1. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-k, diberi nama gagal

Perbedaan dengan distribusi binomial:

1. Binomial: sampling harus dikerjakan dengan pengembalian

2. Hipergeometrik: sampling tanpa pengembalian

Contoh penerapan distribusi geometrik:

Penerimaan sampel (acceptance sampling)

Pengujian elektronik

Pengendalian mutu

Misal,

Bila 5 kartu diambil secara acak, ingin diketahui peluang menarik 3 kartu merah dari 26kartu merah yang tersedia dan 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam yang tersedia.

Maka,

Banyak cara pengambilan 3 kartu merah:263

Banyak cara pengambilan 2 kartu hitam:262

Banyak cara mengambil 3 kartu merah dan 2 kartu hitam dalam 5 kali penarikan:262

263

Banyak cara pengambilan 5 kartu tanpa pengembalian dari 52 yang tersedia:525

Jadi,

Peluang mengambil 5 kartu tanpa pengembalian, 3 diantaranya merah dan 2 hitam:262

263

525

= 0,3251

Distribusi peluang variabel acak hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalamsampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses

dan N-k bernama gagal, ialah

h(x; N, n, k) = 𝑘𝑥

𝑁−𝑘𝑛−𝑥𝑁𝑛

, x = 0, 1, 2, …, n

N = jumlah keseluruhan

n = jumlah sampel

k = jumlah sukses dalam populasi

x = banyak sukses dalam sampel

Suatu panitia 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 kimiawan dan 5 fisikawan.Hitunglah distribusi peluang banyaknya kimiawan dalam panitia tersebut.

Misal, variabel acak X menyatakan banyaknya kimiawan dalam panitia.

h(x; N, n, k) = 𝑘𝑥

𝑁−𝑘𝑛−𝑥𝑁𝑛

P(X=0) = h(0; 8, 5, 3) = 30

55

85

= 1

56

P(X=1) = h(1; 8, 5, 3) = 31

54

85

= 15

56

P(X=2) = h(2; 8, 5, 3) = 32

53

85

= 30

56

P(X=3) = h(3; 8, 5, 3) = 33

52

85

= 10

56

x 0 1 2 3

h(x; 8, 5, 3) 1/56 15/56 30/56 10/56

Rumus distribusi peluang,

H(x; 8, 5, 3) = 3𝑥

55−𝑥85

, 𝑥 = 0, 1, 2, 3

Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bilaberisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut biladiantaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat 1 yang cacatdalam sampel berukuran 5 bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat?

N = 40

n = 5

k = 3

x = 1

h(1; 40, 5, 3) =𝑘𝑥

𝑁−𝑘𝑛−𝑥𝑁𝑛

=31

374

405

= 0,3011

Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik h(x; N, n, k), adalah

𝜇 =𝑛𝑘

𝑁

dan

𝜎2 =𝑁−𝑛

𝑁−1. n.

𝑘

𝑁1 −

𝑘

𝑁

Misal,

Cari rataan dan variasi variabel acak pada contoh sebelumnya!

𝜇 =𝑛𝑘

𝑁=(5)(3)

40= 0,375

dan

𝜎2 =𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1. n.𝑘

𝑁1 −

𝑘

𝑁=40 − 5

40 − 15

3

401 −

3

40= 0,3113

Bila N benda dapat dikelompokkan dalam k sel A1, A2 ,.. , Ak masing-masing berisi a1,

a2 ,…, ak benda, maka distribusi peluang variabel acak X1, X2 ,.. , Xk yang menyatakan banyaknya benda (anggota) yang terambil dari A1, A2 ,.. , Ak dalam

suatu sampel acak ukuran n ialah

f(X1, X2 ,.. , Xk; a1, a2 ,…, ak , N, n) = 𝑎1𝑥2

𝑎2𝑥2

… 𝑎𝑘𝑥𝑘

𝑁𝑛

Dengan

𝑖=1𝑘 𝑋𝑖 = 𝑛 dan 𝑖=1

𝑘 𝑎𝑖 = 𝑁

Sejumlah 10 orang dipakai dalam suatu kasus penelitian biologi. Tiga di antaramereka bergolongan darah O, 4 bergolongan A, dan 3 bergolongan B. Berapakahpeluang suatu sampel acak ukuran 5 beranggota 1 orang bergolongan O, 2bergolongan A, dan 2 lainnya bergolongan B?

X1= 1, X2 = 2, X3 = 2

a1= 3, a2 = 4, a2 = 3

N = 10, n = 5

f(1, 2, 2; 3, 4, 3, 10, 5) =31

42

32

105

Pandanglah suatu percobaan yang sifat-sifatnya sama dengan percobaan binomial,kecuali bahwa disini usaha diulang sampai tercapai sejumlah sukses tertentu.Jadi, sebagai ganti mencari peluang x sukses dalam n usaha, bila n telah tertentu,kita ingin mencari peluangnya bahwa sukses k terjadi pada usaha ke x. Percobaansemacam ini disebut percobaan binomial negatif.

Perbedaan binomial dengan binomial negatif

Binomial mencari peluang banyaknya sukses dalam n usaha bebas

Binomial negatif mencari peluang untuk banyaknya usaha yang berakhir tepatpada sukses ke k

Misal,

Pandanglah penggunaan semacam obat yang diketahui 60% manjur untukmengobati sejenis penyakit. Penggunaan obat tersebut dianggap sukses bilamenyembuhkan si penderita sampai taraf tertentu. Ingin diketahui peluangpenderita ke-5 yang sembuh merupakan orang yang ke-7 yang menerima obattersebut selama minggu tertentu.

Nyatakanlah sukses dengan S dan gagal dengan G, maka SGSSSGS merupakansuatu kemungkinan urutan mencapai hasil tersebut dengan peluang

(0,6)(0,4)(0,6)(0,6)(0,6)(0,4) (0,6) = (0,6)5 (0,4)2

Semua urutan yang mungkin dapat ditulis dengan menyusun G dan S, kecualiyang terakhir, yang haruslah sukses yang ke-5.

Jumlah semua urutan yang mungkin:64

= 15 cara berlainan.

Jadi, jika menyatakan hasil yang membuahkan sukses yang kelima, maka:

P(X=7) =64

(0,6)5 (0,4)2 = 0,1866

Bila usaha yang saling bebas, dilakukan berulang kali menghasilkan sukses denganpeluang p sedangkan gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluang

variabel acak X, yaitu banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke k, diberikan oleh

B*(x; k, p) = 𝑥−1𝑘−1

pk qx-k , x= k, k+1, k+2, …

x = nilai usaha

k = sukses

p = peluang

Misal,

Carilah peluang bahwa seseorang yang melemparkan 3 mata uang logam sekaligusakan mendapat semua muka atau semua belakang untuk ke-2 kalinya padalemparan ke-5!

x = 5;

k = 2;

p = 2/8 = ¼ -> q = 1-1/4 =3/4

B*(x; k, p) = 𝑥−1𝑘−1

pk qx-k

b*(5;2,1/4) = 5−12−1

1

42 3

43 = 27/256

Bila usaha yang saling bebas dan dilakukan berulang kali menghasilkan suksesdengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maka distribusi peluang

peubah acak X, yaitu banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses yang pertama, diberikan oleh

g(x; p) = pqx-1

Rataan dan variansi variabel acak distribusi geometrik

𝜇 =1

𝑝

dan

𝜎2 =1 − 𝑝

𝑝2

Misal,

Dalam suatu proses produksi diketahui bahwa rata-rata di antara 100 butir hasilproduksi 1 yang cacat. Berapakah peluang bahwa setelah 5 butir yang diperiksabaru menemukan cacat pertama?

x = 5

p = 1/100

q = 1-1/100 = 99/100

g(5; 0,01) = (0,01)(0,99)4 = 0,0096

Distribusi peluang variabel acak poisson X, yang menyatakan banyaknya suksesyang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t,diberikan oleh,

p(x; 𝜆t) = 𝑒−𝜆𝑡 𝜆𝑡 𝑥

𝑥!x = 0, 1, 2…

𝜆t menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu ataudaerah tersebut dan e=2,71828…

Percobaan Poisson adalah percobaan yang menghasilkan variabel acak X yang

bernilai numerik, yaitu banyaknya hasil selama selang waktu tertentu atau dalam

daerah tertentu, disebut percobaan Poisson.

Misal:

- Banyaknya hari sekolah yang tutup karena hujan

- Banyaknya pertandingan sepakbola yang diundur karena hujan selama musim

hujan

- Banyaknya bakteri dalam satu kultur

Tiga ciri-ciri distribusi poisson:

1. Variabel acaknya adalah berapa banyak sebuah kejadian terjadi selama

selang/interval yang ditentukan

2. Probabilitas kejadian tersebut proposional dengan ukuran interval

3. Tidak ada pengulangan interval dan interval-intervalnya saling bebas

Makin panjang interval, makin besar probabilitasnya, banyaknya kejadian dalam

satu interval tidak mempengaruhi interval-interval lainnya.

Rata-rata banyaknya partikel radioaktif melewati suatu penghitung selama 1milidetik dalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4. Berapakah peluang 6partikel melewati penghitung itu dalam 1 milidetik tertentu?

Dengan menggunakan distribusi Poisson untuk x = 6 dan 𝜆t = 4. Dari tabel diperoleh

p(6,4) = 𝑒−4 4 6

6!= 𝑥=0

6 𝑝 𝑥; 4 − 𝑥=05 𝑝 𝑥; 4 = 0,8893 − 0,7851 = 0,1042

Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari.Berapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker terpaksa ditolak karenapelabuhan tak mampu melayani?

Misal X menyatakan banyaknya tanker yang tiba tiap hari.

P(X>15) = 1- P(X≤15)

= 1 - 𝑥=015 𝑝 𝑥; 10

= 1-0,9513

= 0,0487