IR3OT Cas08 Impulsne Modulacije 2013

OOSNOVISNOVIOOSNOVI SNOVI TELEKOMUNIKACIJATELEKOMUNIKACIJATELEKOMUNIKACIJATELEKOMUNIKACIJA

((IR3OTIR3OT) ) (( ))

Elektrotehnički fakultetElektrotehnički fakultetK t d t l k ik ijK t d t l k ik ijKatedra za telekomunikacijeKatedra za telekomunikacije

BeBeogradograd, 20, 201313/2014/2014..

Elektrotehnički fakultet, Katedra za Elektrotehnički fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd

VIIIVIII--VIIIVIII--Teorema o odabiranju,Teorema o odabiranju,Teorema o odabiranju, Teorema o odabiranju, impulsne modulacijeimpulsne modulacijep jp j

Elektrotehnički fakultet, Katedra za Elektrotehnički fakultet, Katedra za telekomunikacije, Beogradtelekomunikacije, Beograd IR3OT IR3OT 22

Kontinualni signalKontinualni signal

Kontinualni signali (koji nisu modulisani) obično imaju spektar koji je ograničen na neku maksimalnu učestanost fm Spektar modulišućeg signala može da bude i beskonačno širok ali tada se ne Spektar modulišućeg signala može da bude i beskonačno širok ali tada se ne

prenose sve spektralne komponente! Ovo se može postići propuštanjem kroz NF filtar, tako da filtriran signal nosi npr.

90% snage (bez obzira da li je modulišući signal slučajan ili deterministički)90% snage (bez obzira da li je modulišući signal slučajan ili deterministički). Za govor je fm=4kHz, za audio signal je fm=20kHz, za TV signal je fm=5MHz.

0.4

0.3

0.35

0.4

spe

ktar

0.15

0.2

0.25

stra

ni a

mpl

ituds

ki s

p

0.05

0.1

0.15Je

dnos

t

fm =5kHz


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

Ucestanost, f[Hz]

IR3OT IR3OT 33

Diskretizacija kontinualnog signalaDiskretizacija kontinualnog signalau(t)

p(t)t

1/Tp(jf)

t0-Ts

......

t

......Ts 2Ts 5Ts4Ts3Ts 7Ts6Ts

0f f 2f 5f4f3f 7f6f

1/Ts

g(t)

Xg(t)u(t) ui(t)

t0-fs fs 2fs 5fs4fs3fs 7fs6fs

t

p(t)0-Ts Ts 2Ts 5Ts4Ts3Ts 7Ts6Ts

Kontinualni signal koji ima spektar ograničen učestanošću fm množi se povorkom delta impulsa, koji se

ui(t)


pojavljuju sa periodom Ts=1/fs.t

IR3OT IR3OT 44

Spektar diskretizovanog signalaSpektar diskretizovanog signala Signal povorke odbiraka g(t) definisan je sada izrazom:

TtTTttttt )()()()()()()(

nn

p sss nTtnTunTttuttutg )()()()()()()(

Povorka delta impulsa može se predstaviti i u oblikuPovorka delta impulsa može se predstaviti i u obliku

n

tjnp

s

s

eT

t 1)(

Spektar diskretizovanog signala:

1

dtee

TtudtettudtetgjG tj

n

tjntjp

tj s

s

1)()()()()(

11

n

ntj

n

tjtjn dtetuT

dteetuT

jG s

s

s

s

)()(1)(1)(

jUjG )(1)(


n

snjUT

jGs

)()(

IR3OT IR3OT 55

Spektar diskretizovanog signalaSpektar diskretizovanog signala

Spektar signala na izlazu sadrži više (teorijski beskonačno mnogo) transliranih “kopija” spektra originalnog signala. Učestanost pojave Delta impulsa obeležava se sa fs=1/Ts i naziva se učestanošću

odabiranja (sampling frequency), dok je Ts perioda odabiranja (sampling period). Svaka od ovih kopija ima istu “visinu” (istu snagu).

K ij đ b k t f Kopije su međusobno razmaknute za fs. Spektar je periodična funkcija učestanosti sa periodom fs. Da se kopije ne bi preklapale, mora biti fs≥2fm.

n

snjUT

jGs

)(1)(


Rekonstrukcija kontinualnog signalaRekonstrukcija kontinualnog signala Povorka odbiraka propušta se kroz NF filtar.

Na osnovu osobina linearnosti i vremenske nepromenljivosti, odziv NF filtra na jedan d lt i l (t T) lit d ( T) j ( T)h(t T) d j h(t) i l i d i NFdelta impuls, (t-nT) amplitude u(nT) je u(nT)h(t-nT), gde je h(t) impulsni odziv NF filtra.

Signal na izlazu iz idealnog NF filtra (kod koga je fg=fm) definisan je izrazom:g g ( g j g m) j

n

ssi nTthnTutu )()()(t

tTt

tfth

m

m

m

mm

s

)sin(1)sin(

2)(

pa je konačno:

m s

sinTt

nTtnTu

Ttu

sin1)(

n m snTtT

Sa druge strane, jasno je da se propuštanjem kroz NF filtra od signala (t) i i l (t) k ji i kt k ji t ji d k ijg(t) pravi signal ui(t) koji ima spektar koji se sastoji samo od kopije

spektra signala u(t) smeštene na niskim učestanostima:

)(1)()(1)( tutujUjU


)()()()( tuT

tujUT

jUs

is

i

IR3OT IR3OT 77

Rekonstrukcija kontinualnog signalaRekonstrukcija kontinualnog signala Vremenski oblik diskretizovanog signala je definisan samo u

trenucima koji su umnošci periode odabiranja (t=nTs). Ove vrednosti signala nazivaju se odbircima originalnog kontinualnog signala u Ove vrednosti signala nazivaju se odbircima originalnog kontinualnog signala u

trenucima nTs. Diskretizovani signal predstavlja niz odbiraka kontinualnog signala.

Ako se diskretizovani signal propusti kroz NF filtar granične Ako se diskretizovani signal propusti kroz NF filtar, granične učestanosti fm ≤fg≤ fs –fm, na izlazu filtra se pojavljuje signal koji ima isti oblik spektra kao kontinualni signal koji smo diskretizovali.

D i l k ji i j i ti blik kt lik ti lit di Dva signala koji imaju isti oblik spektra mogu se razlikovati samo po amplitudi. To znači da se na izlazu NF filtra pojavljuje oslabljeni ili pojačani kontinualni signal od

koga smo pošli. Jasno je da je rekonstrukciju obaviti samo kada je fs-fm≥fm => fs≥2fm. Propuštanjem kroz običan NF filtar znajući samo diskretizovani signal definisan samo u Propuštanjem kroz običan NF filtar, znajući samo diskretizovani signal definisan samo u

samo nekim trenucima (t=nTs), možemo rekonstruisati kontinualni signal koji je definisan u bilo kom trenutku.

Matematički zapis poslednje tvrdnje (za minimalnu moguću vrednost učestanosti p p j j ( godabiranja fs= 2fm), koristeći činjenicu da je ui(t)=u(t)/Ts , postaje

sin( ( ))( ) ( ) , 1/(2 )m ss s m

t nTu t u nT T f


( ) ( ) , ( )( )s s m

n m s

ft nT

IR3OT IR3OT 88

Teorema o odabiranjuTeorema o odabiranju

Ako kontinualni realni signal u(t) ima maksimalnu učestanost u spektru fm, onda je taj signal u potpunosti opisan svojim trenutnim vrednostima uzetim

k idi i i j j T 1/f ≤1/(2f ) O i dbi i iu ekvidistantnim trenucima trajanja Ts=1/fs ≤1/(2fm). Ovi odbirci, uzeti sa učestanosti odabiranja fs koja je bar dvaput veća od fm , potpuno opisuju kontinualni signal u(t)! Signal se iz svojih odbiraka rekonstruiše propuštanjem kroz idealni niskofrekvencijski filtar granične učestanosti fm . Izuzetno važno – ako se znaju odbirci nekog signala, on se može potpuno verno

rekonstruisati. Posledica - nema potrebe da se prenosi čitav kontinualni signal - dovoljno je preneti

njegove odbirke! Sama teorema pre svega govori koliko često treba uzimati odbirke signala, da bi signal

t i ij bi k t ina strani prijema bio verno rekonstruisan. Ovo omogućava diskretizaciju (a uz neke dodatne tehnike i digitalizaciju) signala.

Prethodno opisan proces naziva se idealnim odabiranjem. Opisani proces nije moguće realno ostvariti – nije moguće generisati idealne delta

impulse (nije moguće napraviti prekidač koji bi se mogao beskonačno brzo otvarati i t ti)


zatvarati).

IR3OT IR3OT 99

Idealno odabiranje Idealno odabiranje signala signala –– realan NF filtarrealan NF filtar

NF filtar potreban za rekonstrukciju nikad nije idealan• Njegov propusni opseg, u kome je pojačanje filtra približno konstantno, treba da

bude u opsegu do učestanosti fm..• Amplitudski deo prenosne karakteristike filtra treba da padne na nultu vrednost

pre prve naredne kopije u spektru diskretizovanog signala (ona ne sme da prođe p p p j p g g ( pkroz NF filtar, čak ni oslabljena i izobličena, već mora potpuno da se potisne).

• U praksi se obično usvaja da je f ≥2 2ffs≥2.2fm

U praksi se obično koristi nešto veća učestanost odabiranja od minimalno potrebne, radi lakše realizacije filtriranja pri rekonstrukciji signala, npr.:potrebne, radi lakše realizacije filtriranja pri rekonstrukciji signala, npr.: Za odabiranje govornog signala, koji zauzima opseg učestanosti od 0.3kHz do

3.4kHz (fm=3.4kHz) u telefoniji, koristi se učestanost odabiranja fs = 8kHz.Z d bi j ičk i l k ji i č t ti d 20H d Za odabiranje muzičkog signala, koji zauzima opseg učestanosti od 20Hz do 20kHz prilikom snimanja muzike na kompakt-diskove koristi se učestanost odabiranja fs= 44.1kHz (dodatni razlog da se izabere baš ova vrednost je potreba za kompatibilnosti sa PAL TV sistemom)


za kompatibilnosti sa PAL TV sistemom).

IR3OT IR3OT 1010

Prirodno odabiranje signalaPrirodno odabiranje signala

Kod ovog tipa odabiranja u generatoru impulsa koristi se prekidač sa konačnom brzinom zatvaranja/otvaranja. • Prekidač se periodično zatvara sa periodom T, • Svaki put ostaje zatvoren tokom kratkog intervala .• Signal koji se dobija na izlazu generatora impulsa je periodična povorka pravougaonih g j j g p j p p p g

impulsa periode T i trajanja .

Pri svakom odabiranju, na izlazu prekidača dobijamo odbirak signala koji odgovara proizvodu kontinualnog signala koji odabiramo i signala na izlazu generatora impulsa• Svaki odbirak ima amplitudu koja prati oblik originalnog kontinualnog signala, tj.

prirodnog je oblika, i trajanja. • Dobijeni rezultat je isti kao da smo izvršili množenje originalnog kontinualnog signala sa

periodičnom povorkom pravougaonih impulsa periode T i trajanja impulsa.


Prirodno odabiranje signalaPrirodno odabiranje signala


Prirodno odabiranje Prirodno odabiranje –– spektar diskretizovanogspektar diskretizovanog

tdtutg )()()(

n

tjns ejnDtd s)()(

s

s nn

nTjnD

0,2/

)2/sin(

)(

s

nT

jnD0,

)(

tj

n

tjns

tjtj dteejnDtudtetdtudtetgjG s)()()()()()(

n

ssn

tjtjns njFjnDdteetujnDjG s ))(()()()()(


Prirodno odabiranje Prirodno odabiranje –– spektar diskretizovanogspektar diskretizovanog

0,)2/sin( nn s

n

snPAM njUWjG ))(()(

0,

0,2/)(

n

nnTjnDW s

sn

,

T


Prirodno odabiranje Prirodno odabiranje signala signala -- rekonstrukcijarekonstrukcija

Sličan rezultat kao i kod idealnog odabiranja, • u ovom slučaju n-te replike originalnog spektra (translirane oko učestanosti nω )u ovom slučaju n te replike originalnog spektra (translirane oko učestanosti nωs)

su pomnožene n-tim koeficijentom razvoja povorke pravougaonih impulsa u Furijeov red.

• Snage ovih transliranih kopija su sve manje kako n raste (najjača je komponenta

U slučaju da učestanost odabiranja zadovoljava uslov teoreme o

Snage ovih transliranih kopija su sve manje kako n raste (najjača je komponenta na niskim učestanostima!)

odabiranju, neće doći do preklapanja originalnog spektra i transliranih replika spektra, pa se primenom NF filtra može izvršiti rekonstrukcija originalnog signala.• U tom slučaju, na izlazu filtra za rekonstrukciju dobijamo signal, čiji su spektar i

vremenski oblik definisani izrazima:

)()()0()()0()( tuT

tuT

DjUDjU ii


Regularno odabiranje signalaRegularno odabiranje signala I kod ovog tipa odabiranja u generatoru impulsa koristi se prekidač sa

konačnom brzinom zatvaranja/otvaranja. • Prekidač se periodično zatvara sa periodom T• Prekidač se periodično zatvara sa periodom T, • Svaki put ostaje zatvoren tokom kratkog intervala .• Signal koji se dobija na izlazu generatora impulsa je periodična povorka pravougaonih impulsa

periode T i trajanja periode T i trajanja .

Pri svakom odabiranju, na izlazu prekidača dobijamo odbirak signala koji odgovara proizvodu kontinualnog signala koji odabiramo i signala na izlazuodgovara proizvodu kontinualnog signala koji odabiramo i signala na izlazu generatora impulsa ali se vrh svakog od dobijenih impulsa u diskretizovanom signalu zaravni• U t tk k d č d bi j i d t dbi k i l i t d t d ži• U trenutku kada počne odabiranje se uzima vrednost odbirka signala, i ta vrednost se drži na

izlazu odabirača još neki period vremena τ. • U pocetnom trenutku zapamti se vrednost napona odbirka, koja se ne menja dok se ne uzme

novi odbirak - S&H (Sample &Hold)novi odbirak S&H (Sample &Hold).• Zato svaki odbirak ima amplitudu koja je konstantna tokom trajanja odbirka. • Dobijeni rezultat je isti kao da smo izvršili množenje originalnog kontinualnog signala sa

idealnim delta impulsima periode T a zatim izvršili konvoluciju tako dobijenog signala sa


p p j j g gusamljenim pravougaonim impulsom trajanja τ.

IR3OT IR3OT 1616

Regularno odabiranje signalaRegularno odabiranje signalau(t)

t

g(t)X X

u(t)d(t)

tE

t p(t)0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T-T

......

( )

g(t)

t p( )Π(t)

3T 4T 5T 6T7T

......t


0 T 2T 7T-T

IR3OT IR3OT 1717

Regularno odabiranje signalaRegularno odabiranje signala Spektar signala odbiraka u slučaju regularnog odabiranja predstavlja

proizvod spektra signala pri idealnom odabiranju sa spektrom usamljenog pravougaonog impulsa trajanja τ.usamljenog pravougaonog impulsa trajanja τ.

( ) ( ) ( ) ( )

0 ( 0)pg t f t t t

t

/ 2

0, ( , 0)sin( / 2)( ) 1, [0, ] ( )

/ 20, ( , )

j

tt t j E e

t

/ 21 sin( / 2)( ) ( ( ))/ 2

js

nG j U j n E e

T

Originalni spektar signala (n=0), množi se sa kontinualnom funkcijom, a ne sa konstantom, kao kod idealnog ili prirodnog odabiranja, Različite spektralne komponente množe se različitim vrednostima. p p Dolazi do promene originalnog spektra, pa se nakon rekonstrulcije primenom NF

filtra ne dobija originalni spektra signala – dolazi do izobličenja signala. I pored ovog nedostatka S&H se najčešće koristi u praksi zbog jednostavnosti i


I pored ovog nedostatka, S&H se najčešće koristi u praksi zbog jednostavnosti i male cene praktične realizacije.

IR3OT IR3OT 1818

Regularno odabiranje Regularno odabiranje –– spektar diskretizovanogspektar diskretizovanog

/ 2&

1 sin( / 2)( ) ( ( ))/ 2

jS H s

nG j U j n E e

T

|U(j )|

n

|U(j )|

|GS&H(j )|

-fm 0 f m f

WS&H=|sin( /2)/( /2)|

-fs-f

m

-fs

f s+f m -fm 0 f m

f s-f m f s

f s+f m

2fs-f

m

2fs

2fs+

f m

nfs+

f m

nfs-f

m

nfs f


- -f 2 2 nn

IR3OT IR3OT 1919

Definicija modulacije (podsećanje)

Modulacija: Originalni nosilac poruke – modulišući signal Pomoćni periodični signal – nosilac Rezultat modulacije – modulisani signal Proces mod lacije s odi se na promen jednog od parametara nosioca Proces modulacije svodi se na promenu jednog od parametara nosioca u

zavisnosti od promena (varijacija tokom vremena) modulišućeg signala. Modem = modulator odlaznih a demodulator dolaznih podataka

Modulišuci Modulisan

um(t) u(t)Modulišuci

signal signal

u0(t)

Nosilac (pomocni,

deterministicki signal)


NosilacNosilac

Nosilac – umesto prostoperiodičnog signala (kosinusoide) povorka pravougaonih unipolarnih impulsa amplitude U0, trajanja i periode T.

Kod kosinusoide se menjala: lit d 0.5

1

1.5

t)

T=1ms

amplituda, faza frekvencija −0.5

0

0.5

Vra

dnos

t fun

kcije

f(t)

frekvencija

Ovde se mogu menjati:0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10−3

−1.5

−1

Vreme t[ms]

T=1ms

g j Amplituda U0

Trajanje Perioda T.


Amplitudska modulacija (podsećanje)Amplitudska modulacija (podsećanje)

Modulišući um(t)

BNF=fm-0=fm

1

1.5

T=1ms

−1

−0.5

0

0.5

Vra

dnos

t fun

kcije

f(t)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10−3

−1.5

−1

Vreme t[ms]

T=1ms

BVF=(f0+fm)-(f0-fm)=2fm

Viši (gornji)bočni opseg

Niži (donji)bočni opseg


Impulsna amplitudska modulacija (PAM)Impulsna amplitudska modulacija (PAM)

Modulišući um(t)


Impulsna amplitudska modulacija (PAM)Impulsna amplitudska modulacija (PAM)

Dva podtipa PAM (Pulse Amplitude Modulation): Zasnovana na prirodnom odabiranju

um(t)NF

uIAM(t)NF

ui(t)

fs(t)

fm

00

sin 2IAM m

nUU j U j n

Zasnovana na regularnom odabiranju

00 2IAM m

nU j U j

T n

um(t)s(t)

S&HuIAM(t)

fm

NF

( )

n

mIAM njUUjU 022sin


Tipovi impulsnih modulacijaTipovi impulsnih modulacija

Nosilac Povorka pravougaonih impulsa Povorka pravougaonih impulsa

Modulišući Slučajan signal (spore varijacije j g ( p j j

u odnosu na periodu nosioca)

Impulsna modulacija:I l li d k Impulsna amplitudska modulacija (IAM) - menja se U0 –> u(t)

Impulsna širinska modulacija(IŠM) -menja se –> (t)

Impulsna položajna modulacija(IPM) - menja se –> (t)


Pregled impulsnih modulacijaPregled impulsnih modulacija


LiteraturaLiteratura

[1] Dukić M, Principi telekomunkacija, Akademska misao, [ ] , p j , ,Beograd, 2008.

[2] Ilija Stojanović, Osnovi telekomunikacija, Građevinska knjiga, Beograd, 1971.

[3] Sklar B., Digital Communications – Fundamentals and Applications, 2nd ed., Prentice Hall, New Jersey, 2001.

[4] Dukić M, Marković G, Vujić D, Principi telekomunikacija –Zbornik rešenih zadataka, Akademska misao, Beograd, 2009.


Documents

IR3OT Cas08 Impulsne Modulacije 2013