Introducere in Algebra Comutativa

7/16/2019 Introducere in Algebra Comutativa

http://slidepdf.com/reader/full/introducere-in-algebra-comutativa 1/15

1

INTRODUCERE ÎN ALGEBRA COMUTATIVĂ

Note de Curs

I) Extinderi de corpuri.

Extinderile de corpuri reprezintă obiectul principal de studiu în teoriacorpurilor comutative. Toate corpurile considerate la acest curs suntcomutative.

Pornind de la un corp comutativ, putem construi, prin diferite metode,un corp comutativ mai mare, care conține corpul inițial.

Definiție

Fie L un corp comutativ și K un subcorp al său. Corpul L se numește extindere a lui K și notăm L/ K .

Dacă L este o extindere a lui F, care la rândul său este o extindere a lui K , atunci F este un corp intermediar al extinderii L/ K .

Dată o extindere de corpuri L/ K și o submulțime S a lui L, K (S )reprezintă cel mai mic subcorp al lui L care conține pe K și pe S șispunem că este obținut prin adjuncția lui S la K . Dacă S conține doar un element s, vom nota K ( s) în loc de K ({ s}).

O extindere de corpuri comutative de forma L= K ( s) se numeșteextindere simplă, iar s se numește element primitiv al extinderii.

Dată o extindere de corpuri L/ K , corpul L poate fi înzestrat cu o

structură de spațiu liniar peste corpul K . Înmulțirea cu scalari esteînmulțirea din L. Dimensiunea acestui spațiu liniar se numește gradul

extinderii, notat cu [ L: K ].

Extinderile de gradul 1 (adică atunci când L=K ) se numesc extinderi

triviale. Extinderile de grad 2 și 3 se numesc extinderi pătratice,respectiv cubice. Extinderile de grad finit se numesc extinderi finite,iar cele de grad infinit se numesc extinderi infinite.



2

Notația L/ K este formală, nu se referă la o structură factor. Alteori, sefolosește notația L: K.

Atunci când vom considera extinderi de corpuri, nu ne vom referi doar

la situația când corpul mai mic este conținut în cel mai mare; vominţelege că este scufundat în corpul mai mare. De aceea, o extinderede corpuri este de fapt un morfism nenul între cele două corpuri,deoarece orice morfism nenul de corpuri este injectiv.

Exemple

1. Corpul numerelor complexe C este o extindere a corpuluinumerelor reale R , iar la rândul său R este o extindere a corpuluinumerelor raţionale Q. De unde rezultă că C/Q este de asemeneao extindere de corpuri. Avem [C:R ]=2 deoarece {1,i} este o bază, aşadar extinderea C/R este finită. Aceasta este o extinderesimplă deoarece C=R (i). Pe de altă parte [R :Q] = c (cardinalulcontinuului), aşa încât această extindere este infinită.

2. Mulţimea Q(√2) = {a + b√2 | a, b ∈ Q} reprezintă o extindere a

lui Q şi este o extindere simplă. Gradul extinderii este 2deoarece {1, √2} este o bază. Extinderile finite ale lui Q se mainumesc corpuri de numere algebrice şi sunt importante în teorianumerelor.

3. O altă extindere a numerelor raţionale este corpul numerelor p-adice Q p unde p este un număr prim.

4. Pornind de la corpul K putem construi un inel factor al ineluluide polinoame K [ X ], pentru a obține o rădăcină pentru un anumit

polinom dat f ( X ). Să presupunem de exemplu faptul că în corpul K nu există nici un element x astfel încât x

2 = −1. Atunci polinomul X

2 + 1 este ireductibil în K [ X ], deci idealul ( X 2 + 1)

generat de acest polinom este maximal și L = K [ X ]/( X 2 + 1) este

o extindere a lui K care conține un element al cărui pătrat este −1(și anume clasa de echivalență a lui X ). Repetând construcția demai sus, obținem o extindere a lui K, în care orice polinom din K [ X ] se descompune în factori liniari.



3

5. Dacă p este un număr prim și n este un întreg pozitiv, obținemcorpul finit GF( pn) cu p

n elemente; acesta este extindereacorpului finit GF( p) = Z/ pZ cu p elemente.

6. Dar corpul K , putem considera corpul K ( X ) a tuturor funcțiilor raționale în variabila X cu coeficienți în K ; elementele lui K ( X )sunt fracții din două polinoame peste K . Altfel spus, K ( X ) estecorpul de fracții al domeniului de integritate K [ X ]. Acest corp defuncții raționale este o extindere infinită a lui K

7. Dată o suprafață riemanniană M , mulțimea funcțiilor meromorfedefinite pe M este un corp comutativ notat cu C( M ). Este oextindere a lui C, dacă identificăm fiecare număr complex cufuncția constantă corespunzatoare definită pe M .

8. Dată o varietate algebrică V peste un corp comutativ K , atuncicorpul funcțiilor raționale definite pe V și notat cu K (V ) este oextindere a lui K .

Dacă L/ K este o extindere de corpuri, atunci L și K au aceeașicaracteristică.

II) Elemente algebrice şi transcendente.

Definiție

Dacă L este o extindere a lui K , atunci un element al lui L care esterădăcina unui polinom nenul peste K se numește algebric peste K .Elementele care nu sunt algebrice se numesc transcendente.

Exemple

1. În C/R , i este algebric, deoarece este rădăcina lui x2

+ 1.2. În R /Q, √2 + √3 este algebric, deoarece este rădăcina lui x4 −

10 x2 + 13. În R /Q, e este transcendent deoarece nici un polinom cu

coeficienți raționali nu îl are pe e ca rădăcină. 4. În C/R , e este algebric, deoarece este rădăcina lui x – e.

În extinderea C/Q elementele algebrice și elementele trancendente senumesc numere algebrice și respectiv numere transcendente.



4

Definiție

Dacă orice element al lui L este algebric peste K , atunci extinderea L/ K se numește extindere algebrică, altfel se numește extindere

transcendentă.

Dacă orice element al lui L cu excepția celor din K este transcendent peste K , atunci extinderea se numește pur transcendentă.

Teoremă

O extindere este algebrică dacă și numai dacă este reuniuneasubextinderilor sale finite.

În particular, orice extindere finită este algebrică.

Exemple

1. C/R și Q(√2)/Q sunt finite deci sunt algebrice. 2. R /Q este transcendentă, dar nu este pur transcendentă.3. K ( X )/ K este pur transcendentă.

O extindere simplă este finită dacă este generată de un elementalgebric și este pur transcendentă daca este generată de un elementtranscendent.

Deci R /Q nu este simplă, nefiind nici finită, nici pur transcendentă.

Orice corp comutativ K are o închidere algebrică, adică cea mai mareextindere algebrică a lui K ; ea conține rădăcinile tuturor polinoamelor cu coeficienți în K . De exemplu, C este închiderea algebrică a lui R .

O submulţime S a lui L se numeşte independentă algebric peste K dacă nu există nici o combinaţie polinomială netrivială cu coeficienţiîn K între elementele lui S . Cel mai mare cardinal al unei mulţimiindependente algebric se numeşte gradul de transcendenţă al lui L/ K .Dacă S este o mulţime independentă algebric peste K , atunci K (S )/ K

este o extindere pur transcendentă. Putem găsi mereu o mulţime S ,



5

algebric independentă peste K , astfel încât L/ K (S ) este algebrică. Oastfel de mulţime S se numeşte bază de transcendenţă a lui L/ K . Toate bazele de transcendenţă au acelaşi cardinal, numit gradul de

transcendenţă al extinderii.

Dacă a este algebric peste K , atunci K [a], mulţimea tuturor polinoamelor în a cu coeficienţi în K , nu este doar un inel, ci un corpce reprezintă o extindere algebrică a lui K care are grad finit peste K .În cazul K = Q, corpul Q[a] este un exemplu de corp de numerealgebrice.

Teoremă

Următoarele condiții sunt echivalente pentru un element a din L:

• a este algebric peste K ; • extinderea K (a)/ K are grad finit; • K [a]= K (a)

Această caracterizare poate fi folosită pentru a arăta că suma,diferenţa, produsul, câtul de elemente algebrice peste K este tot un

element algebric peste K . Mulţimea tuturor elementelor lui L caresunt algebrice peste K formează un corp intermediar între L şi K .

Dacă a este algebric peste K , atunci există mai multe polinoamenenule g(x) cu coeficienţi în K , astfel încât g(a) = 0. Polinoamul cugradul cel mai mic între acestea şi cu coeficientul dominant 1 senumeşte polinomul minimal al lui a şi conţine diverse proprietăţireferitoare la a. Rezultă că polinomul minimal este ireductibil peste K.

Un corp care nu are extinderi algebrice proprii se numeşte algebric

închis. Un exemplu este corpul numerelor complexe. Orice corp are oextindere algebrică, care este algebric închisă.



6

III) Corpuri algebric inchise

Definiție

Un corp comutativ F este algebric închis dacă orice polinom într-ovariabilă de grad măcar 1 şi cu coeficienţi în F are o rădăcină în F .

Example

Corpul numerelor reale nu este algebric închis, deoarece ecuaţia polinomială x

2+1=0 nu are soluţii reale.

Cu aceeaşi justificare arătăm că nici un subcorp al corpului numerelor

reale nu este algebric închis, în particular corpul numerelor raţionalenu este algebric închis.

Teoremă

Nici un corp finit nu este algebric închis.

Într-adevăr, dacă a1, a2, …, an sunt elementele unui corp finit F , atunci polinomul ( x−a1)( x−a2)···( x−an)+1 nu are nici o rădăcină în F .

Teorema fundamentală a algebrei

Corpul numerelor complexe este algebric închis.

Un alt exemplu de corp algebric închis este corpul numerelor algebrice.

Proprietăţi echivalente

Dat un corp comutativ F , afirmaţia “ F este algebric închis” esteechivalentă cu următoarele:

• Singurele polinoame ireductibile din F [ x] sunt cele de gradulîntâi



7

Dacă F este algebric închis şi p( x) este un polinom ireductibil din F [ x], atunci el are o rădăcină a şi deci p( x) este multiplu al lui x − a.Dar p( x) este ireductibil, adică p( x) = k ( x − a), unde k ∈ F \ {0}. Pe dealtă parte, dacă F nu este algebric închis, atunci există polinoameneconstante p( x) în F [ x] care nu au rădăcini în F . Fie q( x) un factor ireductibil al lui p( x). Cum p( x) nu are rădăcini în F , q( x) nu are deasemenea rădăcini în F . Deci, q( x) are gradul mai mare decât unu,deoarece orice polinom de gradul întâi are o rădăcină în F .

• Orice polinom se scrie ca produs de polinoame de gradul întâi.

Corpul F este algebric închis dacă şi numai dacă orice polinom p( x) de

grad n ≥ 1, cu coef icienţi în F , se descompune în factori lineari. Cualte cuvinte, există elementele k , x1, x2, …, xn în F astfel încât p( x) = k ( x − x1)( x − x2) ··· ( x − xn).

Dacă F are această proprietate, atunci orice polinom neconstant din F [ x] are rădăcini în F ; cu alte cuvinte, F este algebric închis.

• Corpul F nu are o extindere algebrică proprie.

Aşadar, F este algebric închis dacă şi numai dacă F nu are o extinderealgebrică proprie.

Dacă F nu are o extindere algebrică proprie, atunci considerăm p( x)un polinom ireductibil din F [ x]. Structura factor obţinută prinfactorizarea lui F [ x] la idealul generat de p( x) este o extinderealgebrică a lui F al cărei grad coincide cu gradul lui p( x). Cum F nuare extinderi proprii, gradul extinderii va fi 1, deci şi gradul lui p( x)

este 1.Dacă F ar avea o extindere algebrică proprie K , atunci polinomulminimal al unui element din K \ F are gradul mai mare decât 1.

• Corpul F nu are o extindere finită proprie.

Corpul F este algebric închis dacă şi numai dacă F nu are o extinderealgebrică finită, deoarece dacă înlocuim cuvântul „algebric” din

demonstraţia anterioară cu cuvântul „finit”, demonstraţia rămânevalabilă.



8

Proprietăţi

Dacă F este un corp algebric închis şi n este un număr natural, atunci F conţine toate cele n

rădăcini ale unităţii, adică zerourile polinomului

xn – 1, care nu sunt neaparat distincte. O extindere de corpuri care esteconţinută într -o extindere generată de rădăcinile unităţii se numeşteextindere ciclotomică. Extinderea unui corp generată de toaterădăcinile unităţii se numeşte închidere ciclotomică. Astfel, corpurilealgebric închise sunt şi închise ciclotomic, dar reciproca nu esteadevărată. Chiar dacă impunem ca orice polinom de forma x

n − a să sedescompună în factori liniari într -un corp, nu este suficient pentru caacel corp sa fie algebric închis.

IV) Închiderea algebrică a unui corp.

Închiderea algebrică a unui corp K este o extindere algebrică a lui K care este algebric închisă.

Folosind Lema lui Zorn, se poate arăta că orice corp are o închiderealgebrică şi că închiderea algebrică a unui corp este unică până la unizomorfism.

Închiderea algebrică a unui corp K poate fi gândită ca fiind cea maimare extindere algebrică a lui K .

Să observăm că dacă L este o extindere algebrică a lui K , atunciînchiderea algebrică a lui L este de asemenea o închidere algebrică alui K , şi deci L este conţinut în închiderea algebrică a lui K. Închidereaalgebrică a lui K este cel mai mic corp algebric închis ce conţine pe K

deoarece dacă M este un corp algebric închis ce conţine pe K , atuncielementele lui M , care sunt algebrice peste K formează închidereaalgebrică a lui K.

Închiderea algebrică a unui corp K are același cardinal ca și K în cazulîn care K este infinit, și este numărabilă în cazul în care K este finit.

Teorema fundamentală a algebrei afirmă faptul că închiderea algebricăa corpului numerelor reale este corpul numerelor complexe.



9

Închiderea algebrică a corpului numerelor raționale este corpulnumerelor algebrice.

• Există multe corpuri algebric închise în cadrul corpului

numerelor complexe, ce conțin strict corpul numerelor algebrice; acestea sunt închiderile algebrice ale extinderilor transcendente anumerelor raționale, cum ar fi închiderea algebrică a lui Q(π).

• Pentru un corp finit de ordin p, închiderea algebrică este un corpinfinit numărabil ce conține câte o copie a corpului de ordin p

n pentru fiecare număr întreg pozitiv n (și este de fapt reuniuneaacestor copii).

V) Extinderi normale, separabile și Galois

O extindere algebrică L/ K se numeşte normală dacă orice polinomireductibil din K [ X ] care are o rădăcină în L se descompune în factoriliniari peste L. Orice extindere algebrică F / K admite o închiderenormală L, care este un corp de extindere al lui F astfel încât L/ K este

normal şi care este minimală cu această proprietate.

O extindere algebrică L/ K se numește separabilă dacă polinomulminimal al fiecarui element din L peste K nu are rădăcini multiple într -o închidere algebrică peste K .

Un corp K se numește perfect dacă are loc una dintre condițiile echivalente de mai jos:

* Orice polinom ireductibil peste K ar e rădăcini distincte.

* Orice extindere finită a lui K este separabilă. (Aceasta implicăfaptul că orice extindere algebrică a lui K este separabilă.)

* Fie K are caracteristica 0, fie pentru cazul în care K arecaracteristica p > 0, orice element din K este o p-putere a unui elementdin K.

O extindere Galois este o extindere de corpuri normală și separabilă.



10

O consecință a teoremei elementului primitiv afirmă că orice extindereseparabilă finită are un element primitiv, adică este o extindere simplă.

Generalizare

Teoria modelelor generalizează noţiunea de extindere algebrică astfel:

O scufundare a lui M în N se numeşte extindere algebrică dacă pentruorice x din N există o formulă p cu parametri din M , astfel încât p( x)este adevărată şi mulţimea

{ y în N | p( y)}

este finită.

Aplicînd această definiţie pentru cazul teoriei corpurilor comutativeobţinem definiţia uzuală a unei extinderi algebrice.

De asemenea, grupul Galois al lui N peste M poate fi definit ca grupulautomorfismelor. Multe rezultate din teoria grupurilor Galois pot fi

prezentate în cazul teoriei modelelor.

Să vedem ce ar însemna Grupul lui Galois în cazul teoriei corpurilor comutative.

VI) Grupul Galois

Grupul lui Galois al unei anumite extinderi Galois de corpuri este ungrup asociat respectivei extinderi. Studiul extinderilor de corpuri şi a polinoamelor generate de ele cu ajutorul grupurilor Galois se numeşteTeoria lui Galois, în onoarea matematicianului Évariste Galois, carele-a inventat.

Definiţie

Fie E o extindere a corpului F . Considerăm mulţimea tuturor F-automorfismelor lui E , adică a izomorfismelor α de la E la E , pentru



11

care α( x) = x pentru orice x din F ). Mulţimea F- automorfismelor lui K

formează un grup, în raport cu compunerea funcţiilor, grup notat cuAut(E/F).

Dacă E / F este o extindere Galois, atunci Aut( E / F ) se numeşte grupul lui Galois al extinderii E / F şi se notează is Gal( E / F ).

Exemple

Considerăm un corp F şi corpurile C, R , Q ale numerelor complexe,reale şi raţionale.

Notaţia F (a) indică o extindere de corpuri prin adjuncţionarea unuielement a la corpul F .

1. Gal( F / F ) este grupul trivial care are un singur element, şi anumeautomorfismul identate.

2. Gal(C/R ) are două elemente, automorfismul identitate şiautomorfismul care duce un număr complex în conjugatul său.

3. Aut(R /Q) este trivial. Orice Q-automorfism păstrează ordineanumerelor reale, de aceea trebuie să fie identitatea.

4. Aut(C/Q) este un grup infinit.5. Gal(Q(√2)/Q) are două elemente, automorf ismul identitate şi

automorfismul care duce pe √2 în −√2.6. Consider ăm corpul K = Q(³√2). Grupul Aut(K/Q) conţine doar

automorfismul identitate, deoarece K nu este o extinderenormală, celelalte două rădăcini cubice ale lui 2 (ambele complexe) lipsesc din extindere, deci K nu este un corp dedescompunere.

7. Consider ăm L = Q(³√2, ω), unde ω este o rădăcină primitivă deordin 3 a unităţii. Grupul Gal(L/Q) este izomorf cu S 3, grupuldiedral de ordin 6, iar L este corpul de descompunere al polinomului x3 − 2 peste Q.

8. Dacă q este o putere a unui prim și dacă F = GF(q) și E = GF(qn)sunt corpurile Galois de ordin q și respectiv q

n, atunci Gal( E / F )este grup ciclic de ordin n.

Faptul că o extindere este Galois are importanță pentru că are loc înacest context



12

Teorema fundamentală a teoriei lui Galois:

Există o corespondență bijectivă între subcorpurile intermediare aleextinderii Galois și subgrupurile grupului Galois.

Dacă E / F este o extindere Galois, atunci Gal( E / F ) poate genera otopologie, numită topologie Krull.

Extinderile Galois pentru care grupurile Galois corespunzătoare suntabeliene se numesc extinderi abeliene.

Extinderile de corpuri se pot generaliza la extinderi de inele, în careconsiderăm un inel şi unul dintre subinelele sale.

VII) Numere construibile cu rigla şi compasul.

Un punct din planul euclidian este construibil dacă într -un sistem datde coordonate (sau dat un segment de dreaptă de lungime 1) punctul poate fi construit cu rigla și compasul.

Un număr complex este un număr construibil dacă punctul

corespunzător lui din planul euclidian este construibil în sistemulaxelor de coordonate.

Se poate arăta că un număr real r este construibil dacă și numai dacădat un segment de dreaptă de lungime 1, se poate construi cu rigla șicompasul un segment de dreaptă de lungime |r |.

De asemenea, un număr complex este construibil dacă și numai dacă partea sa reală și cea imaginară sunt construibile.

Mulțimea numerelor construibile poate fi caracterizată complet înlimbajul teoriei corpurilor: numerele construibile formează cea maimică extindere a corpului numerelor raţionale, care este închisă larădăcina pătrată şi la conjugat.

Definiții geometrice

Pentru orice două puncte distincte P și Q din plan, notăm cu L( P , Q ) dreapta care trece prin P și Q, și cu C ( P , Q ) cercul de



13

centru P , care trece prin Q. Convenim ca L( P , P ) = C ( P , P ) = { P }.Un punct Z este construibil din E, F, G și H dacă are loc una dintreurmătoarele situaţii:

1. Z este intersecția dreptelor L( E , F ) și L(G, H ), unde L( E , F ) ≠ L(G, H );

2. Z este intersecția cercurilor C ( E , F ) and C (G, H ), unde C ( E , F )≠ C (G, H );

3. Z este intersecția dintre L( E , F ) și C (G, H ).

Ordinea punctelor E , F , G și H din definiția precedentă este irelevantă,literele pot fi permutate. Deci, Z este construibil din E , F , G și H dacă

apare ca intersecție a două drepte distincte, sau ca intersecție a douăcercuri distincte sau ca intersecție a unui cerc cu o dreaptă, undeaceste drepte și / sau cercuri sunt determinate de E , F , G și H .

Definiție

Fie acum A și A′ două puncte distincte din plan. Un punct Z esteconstruibil dacă fie

1. Z = A; 2. Z = A′; 3. există punctele P 1, ..., P n , cu Z = P n , astfel încât pentru orice j ≥

1, punctul P j + 1 este construibil din punctele din mulțimea { A, A′, P 1, ..., P j }.

Aşadar , Z este construibil dacă este fie A sau A′, sau dacă se obţinedintr-un şir finit de puncte, pornind cu A şi A′, unde fiecare nou punct

este construibil din cele obţinute înainte în şir. De exemplu, cercurile C ( A, A′) și C ( A′, A) se intersectează în două puncte distincte; aceste puncte determină o dreaptă, iar la intersecțiaacestei drepte cu L( A, A′) se obține mijlocul segmentului determinat de A și A′.

Toate numerele raţionale sunt construibile şi toate numereleconstruibile sunt algebrice. Astfel, dacă a şi b sunt numere

construibile, iar b ≠ 0, atunci a − b şi a/b sunt construibile. Mulţimea



14

tuturor numerelor complexe construibile formează un corp, care esteun subcorp al corpului numerelor algebrice. Acest corp este închis larădăcini pătrate şi la conjugatele elementelor sale.

Se obţine următoarea caracterizare :

Teoremă

Un număr complex este construibil dacă şi numai dacă există un şir ascendent de corpuri comutative

unde z este în K n şi pentru orice 0 ≤ j < n, [ K j + 1 : K j ] = 2.

Construcţii imposibile

Caracter izarea algebrică a numerelor construibile ne furnizează ocondiţie importanta necesară pentru ca un număr să fie construibil, şianume:

Dacă z este construibil, atunci el este algebric şi polinomul său

minimal are gradul o putere a lui 2, adică extinderea Q( z )/Q aredimensiunea o putere a lui 2. Reciproca este falsă, deci condiţia nueste şi suficientă pentru ca un număr să fie construibil. Acest defect poate fi remediat considerând închiderea normală a lui Q( z )/Q.

Faptul ca anumite numere nu sunt construi bile arată imposibilitatearezolvării unor probleme la care au meditat filozofii din Gracia anticăşi anume nu se poate realiza trisecţia oricărui unghi doar cu rigla şi

compasul, nu se poate construi un cub cu volumul dublu faţă devolumul unui cub dat, nu se poate construi un pătrat de arie egală cu aunui cerc dat.

Bibliografie

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/

[2] Gontineac, M., Radu, G.,.Tofan I, Extensii de corpuri, Ed. “Al.

Myller”, Iaşi, 2006

http://en.wikipedia.org/wiki/






15

[3] Ion, D.I., Radu, N., Algebra, EDP, Bucureşti, 1981/91

[4] Ion, D.I et al., Probleme de Algebră, EDP, Bucureşti 1981

[5] Leoreanu, V., Fundamente de algebră, Ed. Matrix Rom, Bucureşti,2001

[6] Năstăsescu, C., ş.a., Bazele algebrei, Vol.I., Ed.Acad., Bucureşti,1986

[7] Năstăsescu, C, Niţă, C., Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice,Ed. Tehnică 1979

[8] Purdea, I., Tratat de algebra moderna, vol II, Ed. Academiei,Bucureşti, 1982

[9] Tărnăuceanu, M., Probleme de algebră, vol.II., Ed.Universităţii”Al.I.Cuza” Iaşi, 2003

[10] Tofan, I, Volf, A.C. Algebra, Inele, Module, Teorie Galois, Ed.Matrix Rom, Bucureşti, 2001

Documents

Introducere in Algebra Comutativa