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Descubriendo medidas a partir de la forma

Introducción1. De acuerdo con la animación de la introducción. Responde las siguientes preguntas.

a. ¿Qué conoces acerca de Tales de Mileto?

____________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________ _______________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________ _______________________________________

_________________________________________________________________________________________________

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Resolución de problemas relacionados conel teorema de Tales y el teorema de Pitágoras

Figura 1

2

El estudiante resuelve situaciones problema haciendo uso del teorema de Tales descubriendo medidas a las cuales no se tiene acceso.

Objetivos de aprendizaje

Actividad 1

1. Observa las imágenes de los siguientes edificios. Luego contesta. Midiendo y conjeturando

1. El estudiante deduce el teorema de Tales y sus aplicaciones a partir del planteamiento de conjeturas.

2. El estudiante aplica el teorema de Pitágoras y Tales en la solución de situaciones problema.

3. El estudiante halla la medida de un segmento inmerso en un contexto haciendo uso del teorema de Tales.

b. ¿Por qué crees que le funcionó su método para hallar la medida de la altura de la pirámide?

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________ _______________________________________

_________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________ _______________________________________

Figura 2

3

a. ¿Cómo medirías la altura de esos edificios? ______________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

b. ¿Es posible utilizar una escalera? ________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

c. ¿Se facilitaría con un metro? _____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

d. ¿Cómo lo harías? _______________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

2. ¿En qué lugares de tu entorno puedes identificar rectas paralelas cortadas por rectas secantes?

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

4

Luego de identificar las rectas paralelas cortadas por una o varias secantes en tu entorno, realiza la representación gráfica de las mismas.

3. Observa las siguientes imágenes y repisa con color rojo las rectas paralelas y con color verde las rectas secantes a las paralelas.

Figura 3

Figura 4 Figura 5

5

4. Observa con atención las siguientes representaciones y halla las medidas indicadas utilizando una regla. Luego, completa.

S1oA

B

C

p

q

m

n

t

S2

m OP = m PQ =

m MN = m NT =

¿Qué puedes concluir sobre las medidas halladas? _________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

a.

6

r s

AB

C

A’ B’

C’

m AB = m BC =

m A ,B , = m N ,T , =

¿Qué puedes concluir sobre las medidas halladas? _________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

b.

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5. De acuerdo a las conclusiones halladas y a lo visto en el recurso interactivo, completa el teorema de Tales escribiendo las palabras correctas.

“Si _________ o más rectas ____________son cortadas por

dos o más secantes, la ___________ de las longitudes de

los ___________ determinados en una de las paralelas es

igual a la razón de las ____________ de los segmentos

correspondientes determinados por las otras ___________

paralelas.”S1oA

B

C

p

q

m

n

t

S2

S1oA

B

C

p

q

m

n

t

S2

r s

AB

C

A’ B’

C’

Retomando la gráfica y aplicando el teorema de Tales, tenemos:

Si las rectas A, B y C son paralelas y las rectas S1 y S2 son secantes entonces:

OPPQ

MNNT

=

Recuerda que se lee OP es a PQ como MN es a NT

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6. Traza diferentes representaciones de 3 rectas paralelas y 2 secantes. Luego, verifica las medidas de los segmentos determinados entre las paralelas y sus razones.

Realiza aquí tus cálculos

9

Actividad 2Uso de los dos Teoremas

1. Resuelve el siguiente problema.

En el siguiente triángulo rectángulo, determina la altura y la medida de la hipotenusa

xh

1,5m

20m 3m

¿?

Realiza aquí tus cálculos

Describe el procedimiento que empleaste para resolver el problema.________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

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2. Identifica los elementos que se indican en el diagrama.

c=3m

a=5m

b=4mA

B

C

B’

C’

a. ¿Qué segmentos de recta son paralelos? ______________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

b. ¿Cuáles las transversales? ______________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

c. ¿Qué teorema puedes utilizar para hallar la altura? Explica tu respuesta. __________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

d. ¿Qué teorema puedes utilizar para hallar el valor de la hipotenusa? Explica tu respuesta.

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

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3. Completa la solución del problema.

a. Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de ¿?

b. Ahora utilizamos el teorema de Tales para hallar el valor de x.

1,22 + 32 = ¿?2

2,25 + 9 = ¿?2

11.25 = ¿?2

11.25 = ¿?2

= ¿?2

xh

1,5m

20m 3m

¿?

_____

_____________

_______3

3

3, 3520

3,35 20

x

x

x

=

=

=

•

c. Para hallar el valor de la hipotenusa del triángulo grande, se debe sumar:

+ 3,35 =

d. Y para hallar el valor de h, la altura del triángulo, utilizamos el teorema de Pitágoras.

22,32-202 = h2

497,29-400 = h2

97,29 = h2

= h

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4. Tomando como guía el proceso descrito anteriormente, resuelve el siguiente problema. Luego, completa.

a. ¿Qué segmentos de recta son paralelos? _______________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

b. ¿Cuáles las transversales? _____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Halla los valores de:

c=3m

a=5m

b=4mA

B

C

B’

C’

En el siguiente triángulo rectángulo, determina la altura y la medida de la hipotenusa.

B B , = B ,C , = C C , =

Describe el proceso para hallar los valores indicados.

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

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Actividad 3Observando y Conjeturando

1. Halla la altura de la torre Colpatria. Luego, responde las preguntas.

a. Describe el proceso que realizaste para hallar la altura de la torre.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

b. ¿El poste que se encuentra paralelo a la torre, sirve para encontrar la altura de la torre?

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

c. ¿Consideras importante el teorema de Tales? ¿Por qué? _________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

d. Si el poste no estuviera paralelo a la torre, se podría utilizar el teorema de Tales ¿Por qué?

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

Figura 6

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1. Completa el teorema de Tales.

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

e. Si el poste no estuviera paralelo a la torre, se podría utilizar el teorema de Tales ¿Por qué?

____________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________

“Si tres o más _______________ paralelas son _______________ por dos o más secantes, la _______________

de las longitudes de los segmentos determinados en una de las ____________________ es igual a la

razón de las longitudes de los ____________________ correspondientes determinados por las otras dos

paralelas.”

Si las rectas A, B y C son paralelas y las rectas S1 y S2 son ____________________ entonces:

S1oA

B

C

p

q

m

n

t

S2

PQMN=________

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1. Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 1,5 metros ¿Qué altura tendrá un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4 metros?

2. Plantea un ejemplo donde se aplique y verifique el teorema de Tales. Luego, socialízalo con tus compañeros.

Realiza aquí tus cálculos

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2. Explica el método utilizado por Tales para encontrar la altura de la pirámide.

Alturapirámide

Alturabastón

Sombra pirámideSombra bastón

3. Encuentra el valor de x.

a

bc

10 cm

14 cm

x

2 cm

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

Figura 7

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___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

___________________________________________________

4. En la siguiente figura L1//L2

P

A B

DC

L1

L2

a. PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?b. CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?c. PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm.

Determina PA, PB y PD.

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Lista de figurasFigura 1. Pirámide con camello.

Figura 2. Rascacielos.Autor: Kadellar. (10 de Abril de 2011), [Fotografía]. Torre de Madrid - 05.jpg. (13-07-2015).

Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Torre_de_Madrid_-_05.jpg. Autor: Benchill. (9 de Noviembre de 2007), [Fotografía]. Q1 Gold Coast March 2006.jpg. (13-07-2015). Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Q1_Gold_Coast_March_2006.jpg. Autor: Manske, M. (28 de Diciembre de 2007), [Fotografía]. 4 One Atlantic Center.jpg. (13-07-2015). Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:4_One_Atlantic_Center.jpg. Autor: Someformofhuman. (15 de Julio de 2009), [Fotografía]. Petronas Panorama II.jpg. (13-07-2015). Obtenido de: https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Petronas_Panorama_II.jpg. Autor: JHH755. (29 de Octubre de 2011), [Fotografía]. (13-07-2015). Obtenido de: https://pt.wikipedia.org/wiki/

Figura 3. Riel.Autor: shilmar. (29 de Noviembre de 2013), [Fotografía]. 225 images. (13-07-2015). Obtenido de:

https://pixabay.com/en/train-railway-line-travel-gleise-227143/

Figura 4. Estructura.Autor: HorseBadorties. (2013), [Fotografía]. 11 images. (13-07-2015). Obtenido de: https://pixabay.

com/en/steel-beams-scaffold-steel-industry-63658/

Figura 5. Obelisco.Autor: Zaqarbal. (2008), [Fotografía]. Obelisco de la Caja (Santiago Calatrava, Madrid) 01.jpg. (13-

07-2015). Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Obelisco_de_la_Caja_(Santiago_Calatrava,_Madrid)_01.jpg

Figura 6. Edificio Colpatria.Autor: Pedro Felipe. (12 de Junio 2011), [Fotografía]. Costado suroriental de la torre Colpatria.JPG. (13-

07-2015). Obtenido de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Costado_suroriental_de_la_torre_Colpatria.JPG

Figura 7. Pirámide.