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TélécommunicationsInterférences, α-stables et conséquences…
Laurent Clavier, Nourddine Azzaoui…
Contexte
Passé• Communications par groupes• Un objet sans fil communicant pour
un millier de personnes.
Présent• Communications personnelles• Un (quelques) objet(s) sans fil
communicant par personne.
Futur• Communication ambiante• Une personne utilise des milliers
d’objets sans fil communicants.
1G : ordinateurs centraux
3G : mobiles, cartes intelligentes
4G : Objets intelligents ?
Min
iatu
risat
ion
et r
édu
ctio
n d
es c
oûts
2G : PCs
(Source : ITU)
Temps
Les époques des communications
1 million de transistors1973 – 80 000 €
2005 – 0.02 €(Source : Siemens)
V. Chandrasekhar, J. Andrews, A. Gatherer, 2008
Martin Cooper d’Arraycom:« The wireless capacity has doubled every 30 months over the last 104 years. »
x25 d’un accroissement du spectrex5 d’une utilisation meilleure du spectrex5 de meilleurs choix de modulationx1600 de la réduction des cellules et de la distance de transmission
~ x 1 000 000 depuis 1957
Le challenge est la répartition spatiale…
Contexte
Network MIMO – réseaux centralisés… Multi-sauts, coopération – réseaux de capteurs
Complexité pour les réseaux de capteurs ?Capacité ? Interférence ?Fiabilité ? Implémentation ?
Contexte
Tout connaître (liens actifs, multiples canaux…) S’adapter à moindre complexité…
Contexte : réseaux de capteurs, intelligence ambianteMultiplicité d’objets, et multiplicité de couches physiques. Multiplicité de capteurs.Multiplicité de services /de débits.
Nous étudions quelques « points durs »L’interférence sera une contrainte essentielle. Le canal (en millimétrique, en UWB) apporte de nouveaux challenges.
Nous proposons d’utiliser des distributions α-stablesGénéralisent le GaussienApportent un nouveau cadre pour l’étude mathématique des réseaux
AP
AP
Contexte
Contexte
A propos de l’interférenceComment la modéliser ? Exemple des réseaux ad hocet de l’ULB.
Qu’apporte un bon modèle ?Le cas du récepteur.Les transmissions multi-sauts.
Conclusions
Contexte
A propos de l’interférenceComment la modéliser ? Exemple des réseaux ad hocet de l’ULB.
Qu’apporte un bon modèle ?Le cas du récepteur.Les transmissions multi-sauts.
Conclusions
Réseaux centralisés
Réseaux auto organisés
Radio impulsionnelleUWB
Contrôle de puissanceModèle gaussien d’interférence vue comme une somme de variables iid.
Disparité des puissances (pas de contrôle de puissance, antennes, protocoles…)
Impulsivité de l’interférence
Interférence venant d’autres objets communicants :
∑=
=κ
ψγ1i
iiZ
Nombre (Poisson)
Paramètres du système (iid, Bornées)
Canal (atténuation)
temps
Approche gaussienne non valide ; Nécessité de nouveaux modèles
Modélisation de l’interférence
Modélisation de l’interférence
Souvent, la densité de probabilité de l’interférence présente une queue plus lourde que celle d’une distribution gaussienne.
� interférence impulsive : (Middleton) classe A, mélange de gaussiennes, gaussienne généralisée, Laplace, α-stable...
Le modèle d’interférence dans les réseaux se doit de capturer les paramètres essentiels qui l’affectent :
1. la distribution spatiale des interférents ;
2. les caractéristiques de la transmission des interférents comme la modulation, la puissance, la synchronisation…
3. les caractéristiques de la propagation dans le canal radio comme l’atténuation, le shadowing, les multi-trajets.
Il est important de proposer un cadre général et unificateur de la modélisation de l’interférence dans les réseaux.
Moe Z. Win, Pedro C. Pinto and Lawrence A. Shepp, “A Mathematical Theory of Network Interference and Its Applications”, Proceedings of the IEEE, Vol. 97, No. 2, February 2009
{ } ( )0,
!≥=∈ − ne
n
ARnP RA
nR λλ
La répartition spatiale des nœuds suit un processus de Poisson homogène
Puissance reçue en provenance d’un nœud :
λ: densité de nœuds interférentsAr: zone
bk ktx
rxR
ZPP
2∏=
Multi-trajets, shadowingPuissance émise
Coefficient d’atténuation du canal
( ) ( ) ( )∫∏ −= τττ dtXth
R
ZtY
bk k ,
Réponse impulsionnelle du canal
Signal transmis
Signal reçu :(si l’évolution temporelle est pertinente)
Modélisation de l’interférence
En considérant l’interférence Y sur une zone infinie :
Nous pouvons calculer la fonction caractéristique de Y (b>1) :
Et montrer ainsi que Ysuit une distribution α-stable :
∑∞
==
1ib
i
i
R
QY
( ) { }YjY eE ωωφ =
( )αωγ
ωφπλ
−=
−−= ∫∞
exp
12exp0
rdrrbQ
Qi: circulaire symétrique, iid, indépendantde Ri
=
=== − 0,,0,
2~ ,
1/2 µπλγβα α
nibN QECb
SYd ( )
=
≠
−Γ
−
=∆
1,2
1,
2cos2
1
απ
απαα
α
αC
Modélisation de l’interférence
Contexte
A propos de l’interférenceComment la modéliser ? Exemple des réseaux ad hocet de l’ULB.
Qu’apporte un bon modèle ?Le cas du récepteur.Les transmissions multi-sauts.
Conclusions
Performances
La variable de décision pour l’échantillon n peut s’écrire :
Signal utile
ninininini AWGNMAIMPIId ,,,,, +++=
Interférence d’accès multiplesInterférence multi-trajets
Bruit gaussien
B(t)
h1(t)t1
tK hK(t)
Canal
s1(t)
sK(t)
Source
Filtre adapté Décisiondi,n
Destination
c1(t)u1(t)
uK(t)
cK(t)
Beaulieu, N.C.; Young, D.J. “Designing Time-Hopping Ultrawide Bandwidth Receivers for Multiuser Interference Environments ,” Proc. IEEE, vol. 97, no. 2, pp. 255-284, Feb. 2009.
Exemple
( ) ( ) ∑∫ ∑==
=
−=
κκψγτγ
10 1 iii
T
iiiMAI dttrtfZ
Mais la grande variabilité desγi peut être représentée par des modèles à variance infinie : nous devons alors utiliser le théorème centrale limite généralisé.
ZMAI tombe dans le domaine d’attraction d’une loi α-stable
Première intuition : Théorème Centrale limite � Asymptotiquement gaussien
J. Fiorina and W. Hachem, “On the asymptotic distribution of the correlation receiver output for time-hoppedUWB signals,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 54, no. 7, pp. 2529 – 2545, July 2006.
Étude de la variable MAI :
Exemple
Sources Destination
-30
-15
0
15
30
Temps
Am
plitu
de
Bruit α-stable(α=1.5, δ=0.5)
-30
-15
0
15
30
Temps
Am
plitu
de
Bruit gaussien(α=2, δ=1)
-5 0 50
0.25
0.5
Densités de probabilité
-5 0 50
0.01
0.02Zoom sur les queues
Queue lourde
Exemple
κ nombre d’impulsions interférentes.∑=
Ψ=κ
γ1i
iiMAIZ
( )( ) Fqeta
avecMAIZ πλδαωσω α −==−=Φ 4
ln
Fonction caractéristique de ZMAI :
( ) ( )!
lim22
i
RqeiP
iRq
R
λπκλπ−
+∞→==
s
mT
Tq
ε+= 2
( )
∑==
κψγωωΦ
1iiiZ jexpE
MAI
[…]
M. Win, P. Pinto, and L. Shepp, “A mathematical theory of network interference and its applications,” Proc. IEEE, vol. 97, no. 2, pp. 205–230, Feb. 2009.
H. El Ghannudi, L. Clavier, N. Azzaoui, F. Septier, P.A. Rolland, “α-stable interference modeling and Cauchy receiver for an IR-UWB ad hoc network, ” to appear in IEEE transactions on communications, June 2010.
Exemple
ZMAI est une variable aléatoire α-stable symétrique.Deux paramètres à calculer – leurs expressions dépendent du canal et des paramètres du système.
0 5 10 15 SNR (dB)
γ=3, λ=100, R=25m
Avec champ procheThéoriqueSimulé
10-3
10-2
10-1
BE
Rγ=3, λ=200, R=75m
010-4
10-3
10-2
10-1
SNR (dB)
BE
R
5 10 15
ThéoriqueSimulé
Les courbes analytiques sont très proches des courbes de simulations. Les α-stables sont une bonne solution pour modéliser le MAI dans système TH-PPM-UWB en réseau ad hoc
5 10 15 SNR (dB)
γ=2.5, λ=400, R=50m
0
10-3
10-2
10-1
BE
R
ThéoriqueSimuléDispersion ajustée
Exemple
Contexte
A propos de l’interférenceComment la modéliser ? Exemple des réseaux ad hocet de l’ULB.
Qu’apporte un bon modèle ?Le cas du récepteur.Les transmissions multi-sauts.
Conclusions
Nous nous intéressons à des stratégies basées sur le maximum de vraisemblance :
où un symbole reçu est un ensemble d’échantillons x(k) :
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]∑
=−
−
−−=Λ
N
k ksdkxf
ksdkxf
1 1
0log γα
γα
( ) ( ) ( ) ( )knknksdkx j 2++= −α
γ
Borne optimale au sens du maximum de vraisemblance
Une simulation de Monte Carlo permet d’estimer la distribution de Λ ou la connaissance des fonctions caractéristiques de la mixture de bruits symétriques gaussiens et stables permet de calculer numériquement les densités de probabilité.
( ) { }22exp
2tttnn σδφ α
αα −−=+
Implications - réception
En considérant un bruit gaussien
Minimisation de la distance euclidienne.
En considérant un bruit de Cauchy
( )[ ] [ ]∑∑ −+⇔⇔i
iii
ii cycyPy 2)(²logminlogmaxˆ γ
( )( ) 22
1,;
δµδ
πδµ
+−=
xxf
( )[ ] [ ]∑∑ −⇔⇔i
iii
ii cycyPy 2)(minlogmaxˆ
Proche de l’optimal ?S. M. Nikias C. L., Signal processing withα-stable distributions and applications, W. inter science, Ed. J.Wiley, 1995.
Implications - réception
( )p
N
j
pjj
S
Syx
NpCYX
/1
1
1
−=− ∑
=αα
N. Beaulieu, H. Shao, and J. Fiorina, “P-order metric UWB receiver structures with superior performance,” IEEE Trans. Commun., vol. 56, no. 10, pp. 1666–1676, Oct. 2008.
G. Samorodnitsky and M. Taqqu, Stable Non-Gaussian Random Processes: Stochastic Models with Infinite Variance.Chapmann and Hall, 1994.
Utilisation de la p-norme: nous voulons utiliser la norme α, inspirée de la « covariation » et adaptée aux α-stables.
[ ]( ) ( )( ) ppXEpCXXX/11, α
ααα ==
[ ] ∫ Γ= −∆
4
12121,
S
dXXXX αα
= −− zzz 11 αα
On se base sur ||X||α pour définir la distance et on obtient une valeur empirique grâce à la p-norme.
Implications - réception
0 5 10 15 20-4
-3
-2
-1
SNR (dB)
BE
R
α=1.33 et δ=0.2
0 5 10-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
SNR (dB)B
ER
Gaussp-normCauchyOptimal
α=1.9 et δ=0.1
Le « Cauchy » ainsi que la p-normesont proches de l’optimal !(Rem : la dispersion du bruit de Cauchy considérée est la somme des dispersions des deux bruits –myriadfilters)
Implications - réception
Eb/N0 géométrique (dB)0 1 2 3 4 5 6
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1B
ERTurbo codes pour α=1.5 et 6 itérations
p=2p=1.5p=1.3p=1
On utilise des turbo codes avec la p-normeau lieu d’une distance euclidienne dans l’algorithme MAP.
Nette amélioration des performances quand p diminue et que la distance ainsi définie prend mieux en compte l’impulsivité du bruit.
Implications - réception
Contexte
A propos de l’interférenceComment la modéliser ? Exemple des réseaux ad hocet de l’ULB.
Qu’apporte un bon modèle ?Le cas du récepteur.Les transmissions multi-sauts.
Conclusions
Étude d’un système multi-sauts transparents (Amplify-and-forward) basé sur l’UWB
Modélisation du lien à deux sauts : le MAI après le filtre adaptéest la somme de deux variables aléatoires α-stables. C’est donc une variable aléatoire α-stable dont les paramètres sont :
( )( )
+∼+ 0,0,,
/1
2121ααα
α δδα GhSZZ SRMAIMAI
Dans le cas du récepteur gaussien, la probabilité d’erreurs peut être déterminée de façon semi-analytique :
MAI au relais MAI au récepteur
( ) ( )∫∞+∞− + −= dxxfxFP XZZNNde MAIMAI
2121,, |
CDF du MAI PDF du bruit gaussien
Implications – multi-sauts
Récepteur
Source
Relais
Cercle C
R
Validation du modèle multi-sauts
0 10 20
10-4
10-3
10-2
10-1
Transmission AF, a=3, R=50
Average Eb/N0
BE
R
λrelais=280, λrécepteur=300
λrelais=80, λrécepteur=100
Lien directDeux sauts
SimulationThéorie
Implications - multi-sauts
Contexte
A propos de l’interférenceComment la modéliser ? Exemple des réseaux ad hocet de l’ULB.
Qu’apporte un bon modèle ?Le cas du récepteur.Les transmissions multi-sauts.
Conclusions
L’évolution des télécommunications génère le besoin de nouveaux modèles.
C’est par exemple le cas pour l’interférence (réseaux de capteurs, réseaux ad hoc, ULB, radio cognitive…) mais aussi pour le canal radio en ULB…
L’habitude de travailler en Télécommunications avec les statistiques d’ordre 2 et les processus gaussiens doit être revue. L’approche α-stable est dans ce contexte très intéressante.
L’impact de nouveaux modèles et les bénéfices de modèles représentant bien la réalité permettent une meilleure compréhension de certains phénomènes et des traitements mieux adaptés.
Conclusions
Merci de votre attention.