Integriranje polja naprezanja u armiranobetonskim ... · 192 GF • ZBORNIK RADOVA compared to the area of the concrete, a constant stress fieldover each steel bar is assumed (pointwise

GF•ZBORNIKRADOVA 191

Integriranje polja naprezanja u armiranobetonskim poprečnim presjecima

IntegratingStressFieldsinReinforcedConcreteCrossSections

Paulo Šćulac*, Dejan Zupan**, Gordan Jelenić*

Sažetak. Predmet ovog rada je određivanje unutarnjih sila i tangentnekonstitutivnematriceravninskogarmiranobetonskoggrednognosačaintegracijompoljanaprezanjaupoprečnompresjeku.Naprezanjedužosinosačaunekojtočkipoprečnog presjeka definirano je osnomdeformacijom i zadanimkonstitutivnimzakonima za beton i armaturu. Korišten je konstitutivni zakon za beton dan uEurokodu,aponašanjearmaturnogčelikaopisanojebilinearnimmodelom.Budućije površina čelika za armiranje zanemarivomala u odnosu na površinu betona,pretpostavljenojekonstantnostanjenaprezanjapočitavojpovršiniarmaturnešipke(točkasti doprinos armature).U radu jedanpregled različitihmetoda integracijepoljanaprezanja,adetaljnosuopisane:(i)metodapodjelepoprečnogpresjekanalamele i (ii)metodazamjenepovršinskog integrala integralompo rubupresjeka.Također,provedenajeiusporedbatočnostizarazličitepoprečnepresjeke.

Ključne riječi:nelinearnaanaliza,armiranibeton,integracijapoljanaprezanja

Abstract. The subject of this paper is computation of stress and stress-coupleresultantsandthetangentmaterialmodulusmatrixofaplanarreinforced-concretebeamelementbyintegratingstressfieldoverthecross-section.Thenormalstressatsomepointofthecrosssectioncanbedefinedbytheaxialstrainandconstitutivelaws for theconcreteand the reinforcement.Weuse theconstitutive law for theconcretegiveninEurocode,whilethebehaviourofthereinforcingsteelisdefinedby a bilinear law. Since the area of the steel reinforcement is negligibly small

* GrađevinskifakultetSveučilištauRijeci,ViktoraCaraEmina5,Rijeka E-mail:{paulo.sculac,gordan.jelenic}@gradri.hr** UniverzavLjubljani,Fakultetazagradbeništvoingeodezijo,Jamova2,Ljubljana E-mail:[email protected]

192 GF•ZBORNIKRADOVA

compared to the area of the concrete, a constant stress field over each steel baris assumed (pointwise contribution of the reinforcement). This paper gives anoverviewofdifferentmethodsofintegrationofstressfieldswiththefollowingtwointegrationmethodsdescribed indetail: (i)methodof dividing the cross sectioninto layersand(ii)methodofsubstitutionof thearea integralbyapath integral.Thetwomethodsarecomparedtooneanotherintwosimpletestexamples.

Key words:nonlinearanalysis,reinforcedconcrete,stressfieldintegration

1. Uvod

Prilikomanalizearmiranobetonskihkonstrukcijasusrećemosesmaterijalnomi geometrijskom nelinearnosti. Materijalna nelinearnost slijedi iz nelinearnogzakona ponašanja materijala, dok se geometrijska nelinearnost javlja uslijedpostavljanja jednadžbi ravnoteže na deformiranom sustavu i nelinearne vezeizmeđudeformacijaipomaka[1,2].

Predmetovogradajematerijalnanelinearnost,točnijeodređivanjeunutarnjihsila i tangentne konstitutivne matrice presjeka integracijom polja naprezanja upoprečnom presjeku kao nelinearne funkcije deformacija. Budući su jednadžbeproblema nelinearne, i rješavaju se iterativno, integrali po poprečnom presjekutrebajuse integrirativišeputa.Stoga je jakovažno te integrale izračunati što jemogućeefikasnije–štobržeuzprihvatljivurazinugreške.

U ovom smo se radu ograničili na ravninske gredne nosače kod kojih jepoprečni presjek simetričan s obzirom na vertikalnu os. Pretpostavljamo krutuvezuizmeđubetonaiarmature,bezmogućnostiklizanja.

Najjednostavnija metoda integriranja polja naprezanja je podjela poprečnogpresjeka na tanke lamele, koje su paralelne s neutralnom osi [1]. U slučajutrapeznih lamela (koje se javljaju kod presjeka s kosim rubovima) lameluaproksimiramopravokutnikom.Svakajelameladefiniranadebljinomisrednjomširinom. Po visini lamele pretpostavljamo konstantno stanje naprezanja.Naprezanje i tangentnimodul računamou sredini svake lamele, te ihmnožimos debljinom i srednjom širinom lamele, čime dobivamo doprinos te lamele uukupnojrezultantinaprezanjaiosnojkrutostipoprečnogpresjeka.Štosulameletanje,toćeirezultatbitibližitočnomrješenju.

Goreopisanumetodumožemopoboljšatiakonajprijepronađemoaktivnidiopresjeka,tj.samoonajdiopresjekaukojempostojipoljenaprezanjaisamonjegapodijelimonalamele.

Ovumetodumožemododatnopoboljšati akounutar svake lamelekoristimonumeričku integraciju u više točaka (primjerice Gaussovu). Ta će metoda bitidetaljnijeobjašnjenau4.poglavlju.

P.Šćulac,D.Zupan,G.Jelenić•Integriranjepoljanaprezanjauarmiranobetonskimpoprečnimpresjecima 193

DrugavrstametodaintegracijapoljanaprezanjakoristiGreenovteoremkakobi plošne integrale transformirala u integrale po rubu integracijske površine[3,4,5,6]. Ovom metodom se na vrlo jednostavan način mogu uključiti otvoriu poprečnom presjeku. Transformirane linijske integrale možemo izračunatinumerički ili analitički [4]. Detaljniji prikaz primjene Greenovog teorema uzGaussovunumeričkuintegracijudanjeu5.poglavlju.

Prilikom integracije potrebno je pripaziti na konstitutivni zakon betona.Akofunkcijakojomjeopisanodnosσ–εbetonanijederivabilnaunekoj točki(primjericeuslučajukadjefunkcijazadanaposegmentimarazličitimizrazima),najprijetrebapresjekpodijelitinapodručjaunutarkojihjefunkcijaderivabilna,tetektadanastavitisintegracijompozasebnimdijelovima[4].

Analognoseopisanipostupcimogukoristiti izaslučajprostornihnosača(ukojemsepojavljujumomentisavijanjaokoobjeglavneosipoprečnogapresjeka),samoštojeutomslučajupotrebnozarotiratikoordinatnisustavpresjekananačindadeformacijaovisisamoojednojosi[4,6].

2. Naprezanja i unutarnje sile u poprečnom presjeku

Promotrimo poprečni presjek sa Slike 1, koji je simetričan s obzirom navertikalnuosz. Ishodištekoordinatnogsustavayznalaziseu težištupoprečnogpresjeka.

y

z

T εo

Deformacije Naprezanja

κAs, jσA s, j

ε = ε +z κo

σ=σ(ε)

Slika 1. Poprečni presjek oblika T, dijagram deformacija i naprezanja

UzpretpostavkukakovrijediBernoullijevahipotezaravnihpresjeka(presjeciostaju ravni nakondeformacije),možemodefinirati osnudeformaciju ε u nekojtočkipoprečnogpresjekasljedećimizrazom:


ε(x,z)=ε0(x)+zκ(x), (1)

gdjejeε0osnadeformacijautežištupoprečnogpresjeka,aκinfinitezimalnapromje-narotacijepoprečnogpresjekaokoosiy(kojajejednakazakrivljenostiosinosačauEuler-Bernoullijevoj,alirazličitaodnjeuTimošenkovojteorijigrednihnosača).

Promotrimolijedankarakterističanpresjeknosača,za x=const.,deformacijumožemo opisati kao linearnu funkciju udaljenosti od osi y presjeka, dakleε(x,z)=ε(z),ε0(x)=ε0iκ(x)=κteimamo

ε(z)=ε0+zκ. (2)

Naprezanjeunekojtočkipoprečnogpresjekafunkcijajedeformacije

σ=σ(ε). (3)

Integracijom polja naprezanja dobivamo unutarnje sile u presjeku: uzdužnusiluNximomentsavijanjaMysobziromnatežištepresjeka:

.))((

))((

dAzzdAzM

dAzdAN

y

x

εσ=σ=

εσ=σ=

∫∫

∫∫

AA

AA

(4)

DefinirajmovarijacijeunutarnjihsilaδNxiδMy[7]:

.2202100

1201100

δκ+δε=δκκ∂

∂+δε

ε∂∂

=δ

δκ+δε=δκκ∂

∂+δεε∂

∂=δ

CCMM

M

CCNNN

yyy

xxx

(5)

Komponente tangentne konstitutivne matrice jednake su parcijalnim deriva-cijamaunutarnjihsilapoosnojdeformacijiiinfinitezimalnojpromjenirotacije:

.))((

))((

))((

))((

22

0021

12

0011

dydzzzM

C

dydzzzM

C

dydzzNC

dydzzNC

y

y

x

x

∫

∫

∫

∫

εσκ∂∂=

κ∂∂

=

εσε∂∂=

ε∂∂

=

εσκ∂∂=

κ∂∂=

εσε∂∂=

ε∂∂=

A

A

A

A

(6)


Ukolikonamgraniceintegralaoviseoparametrupokojemderiviramovrijedi[8]:

)),(()()),(()(),(),(

)(

)(

)(

)(

λλαλ∂λα∂−λλβ

λ∂λβ∂+

λ∂λ∂=λ

λ ∫∫λβ

λα

λβ

λα

ffdxxfdxxfdd

.(7)

Primijetimokakouzprvičlan,postojejošdodatnadvačlanakojasujednakaumnošku derivacije promatrane granice po parametru i vrijednosti funkcije upromatranojgranici.

Ako se granice integracijskog područja z1 i z2 (koje ovise o definiranomkonstitutivnomzakonuzabeton)nalazeunutarpoprečnogpresjeka(Slika2)tadamoramouvažitidodatnečlanove[9].

y

z

T

z1

z2

y

z

T

z1

z2 y

z

T

z1z2

Slika 2. a) Granice z1 i z2 ne ovise o parametru, b) samo granica z2 ovisi o parametru i c) obje granice ovise o parametru

Zaslučajkadgraniceintegracijeneoviseoparametrupokojemderiviramo,ostajesamoprvičlaniz(7):

.))(())((

))(())((

))(())((

))(())((

22

0021

12

0011

dydzzzdydzzzC

dydzzzdydzzzC

dydzzdydzzC

dydzzdydzzC

κ∂ε∂

ε∂εσ∂=εσ

κ∂∂=

ε∂ε∂

ε∂εσ∂=εσ

ε∂∂=

κ∂ε∂

ε∂εσ∂=εσ

κ∂∂=

ε∂ε∂

ε∂εσ∂=εσ

ε∂∂=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

AA

AA

AA

AA

(8)

a) b) c)


Kakoje∂ε/∂ε0=1i∂ε/∂κ=zteakozaderivacijunaprezanjapodeformaciji(tangentnimodul)uvedemooznakuEt(ε(z))iz(8)dobivamo:

.))((

))((

))((

))((

222

21

12

11

dAzEzC

dAzzEC

dAzzEC

dAzEC

t

t

t

t

∫

∫

∫

∫

ε=

ε=

ε=

ε=

A

A

A

A

(9)

BudućijeC12=C21unastavkućemokoristitisamooznakuC12.

3. Konstitutivni zakon za beton i armaturu

3.1. Konstitutivni zakon za beton

Konstitutivni zakon za beton (Slika 3) usvojen je premaEN1992-1-1:2004[10].Ovimmodelomzanemarenajenosivostbetonauvlačnompodručju.

σ

ε

tan α=Ecm

-fcm

-0.4fcm

εc1εcu1

Slika 3. Konstitutivni zakon za beton prema Eurokodu[10]


Vezanaprezanje–deformacijabetonaopisanajesljedećimzakonom:

ε<

≤ε≤εη−+

η−η−

ε<ε

=εσ

,0,0

0,)2(1

,0

)( 1

21

cucm

cu

kkf

(10)

gdjejeη=ε/εc1tek=1,05Ecm|εc1|fcm.

U (10) je fcm srednja vrijednost tlačne čvrstoće betonskog valjka (pozitivnavrijednost),εc1tlačnadeformacijabetonazavršnonaprezanje,εcu1graničnatlačnadeformacijabetona,teEcmsekantnimodulelastičnostibetona,definirankaonagibpravcakojiprolazikrozishodišteitočkuσ=0,4fcm naσ–εdijagramu.

Derivacijomnaprezanja(10)podeformacijidobivamotangentnimodul:

( )[ ]( )

ε<

≤ε≤εη−+

η−+η−ε

−

ε<ε

=ε

.0,0

0,)2(12)1(

,0

)( 121

1

cuc

cm

cu

t kkkfE

(11)

3.2. Konstitutivni zakon za armaturni čelik

Čelikzaarmiranjeopisanjebilinearnimmodelomsistimponašanjemuvlakuiutlaku(Slika4).

σ

ε

Es

Epfy

εy εu

-fy

-εy-εu

Es

Ep

Slika 4. Konstitutivni zakon za armaturni čelik


Ovajkonstitutivni zakonu skladu je sEN1992-1-1:2004 [10],kojidopuštaupotrebu kose grane (Ep ≠ 0) ili horizontalne grane (Ep = 0) bez ograničenjadeformacija.

Naprezanječelikauovisnostiodeformacijidanojesa:

( )[ ]

ε<εε≤ε<εε−ε+εε

ε≤εε=εσ

,,0,)(

,)(

u

uyypys

ys

s EEsignE

(12)

gdjejeEsmodulelastičnostičelika,Epmoduločvršćenjauplastičnompodručju,fy naprezanje pri granici popuštanja, εy deformacija pri granici popuštanja, te εudeformacijaarmatureprimaksimalnomopterećenju.

Prilikom određivanja tangentne konstitutivne matrice potreban je tangentnimodul,zakojivrijedi:

ε<εε≤ε<ε

ε≤ε=ε

.,0,,

)(

u

uyp

ys

ts EE

E

(13)

4. Metoda podjele poprečnog presjeka na lamele

Metodu podjele poprečnog presjeka na lamele prikazati ćemo koristećipoprečnipresjekprikazannaSlici1.Postupakintegracijejesljedeći:

• pronalazakaktivnogdijelapoprečnogpresjeka,

• podjelaaktivnogdijelapoprečnogpresjekanalamele,

• numeričkaintegracijapoljanaprezanjapopojedinimlamelama,

• zbrojdoprinosasvihlamela.

Unašemslučajuaktivnidiopoprečnogpresjeka(diopresjekaukojempostojipolje naprezanja) je samo tlačni dio presjeka, budući da odabrani konstitutivnizakon betona zanemaruje nosivost betona u vlačnom području, a naprezanja uarmaturisukoncentriranautočkama.

Prilikom podjele aktivnog dijela poprečnog presjeka na lamele, moramopripazitinaoblikpoprečnogpresjeka:ukoliko je širinapresjekapromjenjivapovisini,zbogjednostavnijeintegracijeitočnijihrezultata,presjektrebapodijelitinapodpodručjaukojimnemaskokovitepromjeneširine.


ZapromatraniprimjerT-presjekapodpodručjasu:pojasnicaihrbat(Slika5).

12

n

. . .

lam

z i+1

z i

z s,i y1,iy2,i

lamela i

z =z + z

s,ii i+1

2

y

z

T

z1

z2

Slika 5. Podjela aktivnog dijela poprečnog presjeka na lamele, te prikaz jedne karakteristične lamele i

Kakosedeformacijeu slučaju ravninskeanalizemijenjaju samouovisnostiodkoordinatez,integracijapopresjekuodvijasesamopokoordinatiz,itoodz1doz2.Granicez1iz2dobivamoiz(2)zadeformacijeε1=εcu1iε2=0,odnosnozaε1=0iε2=εcu1.Svakulameluaproksimiramopravokutnikom,iračunamosrednjuširinulamelekojajejednaka(y2,i–y1,i).

Zaproizvoljnu(unutarnju)lamelui, čijegranicezi izi+1neoviseoparametrupokojemderiviramo, izraze(4)i(6)sadmožemozapisatikao:

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫+ +

+ +

εσ−=εσ=

εσ−=εσ=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

y

z

z

z

ziiiy

y

y

z

z

z

ziiix

dzzzyydydzzzM

dzzyydydzzN

,2

,1

1 1

,2

,1

1 1

,))(()())((

))(()())((

,1,2,

,1,2,

(14)

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

+ +

+ +

+ +

ε−=ε=

ε−=ε=

ε−=ε=

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

y

z

z

z

ztiiti

y

y

z

z

z

ztiiti

y

y

z

z

z

ztiiti

dzzEzyydydzzEzC

dzzzEyydydzzzEC

dzzEyydydzzEC

,2

,1

1 1

,2

,1

1 1

,2

,1

1 1

.))(()())((

))(()())((

))(()())((

2,1,2

2,22

,1,2,12

,1,2,11

(15)


Integrale u (14) i (15) odrediti ćemo numerički koristeći Gaussoveintegracijske formule [8]. Za slučaj uzdužne sile integral možemo prevesti nasumunasljedećinačin:

∑∫

=

+ εσ−=εσ+ M

sss

iiz

z

zwzzdzzi

i 1

1 ))((2

))((1

,(16)

1)1(

21)1(

21)( +ξ++ξ−=ξ= isisss zzzz

,(17)

ε(zs)=ε0+zsκ, (18)

gdjejeMbrojGaussovihintegracijskihtočaka,awstežinskifaktoruintegracijskojtočkiξs.Analognoprovodimoizaostaleintegraleiz(14)i(15).

Prilikom proračuna komponenti tangentne konstitutivne matrice dodatnupažnjumoramoobratitinaderivacijuodređenogintegralapoparametru.

U(15)koristilismosamoprvičlaniz(7),paunastavkuizvodimoipreostaladva dodatna člana za slučaj kad granice z1 i z2 ovise o parametru po kojemderiviramo.

Iz(2)dobivamo

κ−=

ε∂∂ 1

0

1z

i

κ−=

ε∂∂ 1

0

2z , (19)

κ−=

κε−ε=

κ∂∂ 1011 zz

i

κ−=

κε−ε=

κ∂∂ 2022 zz . (20)

Dodatnisučlanovijednaki:

,))(()())(()(

))(()())(()(

))((1)())((1)(

1

21

12

22

222

11

122

212

112211

zzzbzzzbC

zzzbzzzbC

zzbzzbC

εσκ

+εσκ

−=

εσκ

+εσκ

−=

εσκ

+εσκ

−=

(21)

gdjesub(z2)ib(z1)širinepoprečnogpresjekauz2iz1.

S izabranim načinom numeričke integracije po lameli, s poznatimkoordinatama integracijskih točaka zs, naprezanjem i tangentnim modulom


elastičnosti u betonu, integraciju po aktivnom dijelu presjeka možemo zapisatiformulama:

,))((2

)(

))((2

)(

1 1

1,1,2

1 1

1,1,2

∑ ∑

∑ ∑

= =

+

= =

+

εσ−−=

εσ−−=

lam

lam

n

i

M

ssss

iiiiy

n

i

M

sss

iiiix

zwzzzyyM

zwzzyyN

(22)

,))(()(

))(()())((2

)(

))(()(

))(()())((2

)(

))((1)(

))((1)())((2

)(

1

21

1

2

22

21 1

21,1,222

11

1

22

21 1

1,1,212

11

221 1

1,1,211

zzzb

zzzbzEwzzzyyC

zzzb

zzzbzEwzzzyyC

zzb

zzbzEwzzyyC

lam

lam

lam

n

i

M

sstss

iiii

n

i

M

sstss

iiii

n

i

M

ssts

iiii

εσκ

+

+εσκ

−

ε−−=

εσκ

+

+εσκ

−

ε−−=

εσκ

+

+εσκ

−

ε−−=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

= =

+

= =

+

= =

+

(23)

gdjejenlamukupanbrojlamelauaktivnomdijelupresjeka.

Posebni se problemi mogu pojaviti kod presjeka s otvorima, pa se u timslučajevima poprečni presjek može zadati kao kombinacija više poligonalnihpresjeka,teizvršitiintegracijuposvakompoligonuzasebno,arezultatezbrojiti.

5. Metoda zamjene površinskog integrala integralom po rubu presjeka

Postupakkojijeopisanunastavkuvrlojepogodanzaprimjenukodpresjekasjednimilivišeotvora.Poprečnipresjekzadajesekaozatvorenipoligon:vanjskirubpresjekazadajeseupozitivnomsmjeru(smjerobrnutoodkazaljkenasatu),dokseotvorzadajeunegativnomsmjeru(usmjerukazaljkenasatu).

Za primjer sa Slike 6, poprečni presjek zadajemo kao zatvoreni poligon odsljedećegnizatočaka:12341567851,kojinamdefiniramogućeintegracijskopodručje. Segment između točaka 1 i 5 se pojavljuje dvaput, ali s različitimredoslijedom,paseprilikomintegriranjatiutjecajimeđusobnoponište.


Postupakmožemopodijelitinatrifaze:

i. pronalazakaktivnogdijelapresjeka(unašemslučajutlačnidiopresjeka)

ii. transformacija površinskog integrala na integral po rubu integracijskogpodručja

iii. izračunlinijskogintegralaGaussovimkvadraturnimformulama.

1

2

8

3

4

56

7

y

z

2

8

3

7

adcbTy

z

T

Slika 6. a) Primjer poprečnog presjeka s otvorom, b) proizvoljan aktivan dio presjeka

Kako bismo pronašli aktivni dio presjeka, potrebno je odrediti presjecištapoprečnog presjeka i neutralne osi. Na presjeku sa Slike 6 b) ta su presjecištaoznačenatočkamaa,b,cid,aaktivnidiopresjekapredstavljazatvorenipoligona23bc78da.

Pomoću Greenovog teorema [8] dvostruki integral po površini A trans-formiramoulinijskiintegralpozatvorenojkrivuljiC kojaomeđujepovršinuA

∫∫ ∫ +=

∂∂−

∂∂

C

QdzPdydydzzP

yQ )(

A

, (24)

gdjesuPiQfunkcijeodyiz.

ZaP=0,∂P/∂z=0 paostajesamofunkcijaQštoznačidaintegriramosamopovisinipoprečnogpresjeka.

Zauzdužnusilutakoimamo:

dzQdydz

yQdydzzN

Cx ∫ ∫∫ =

∂∂=εσ=

AA

))(( ∫∫ , (25)

a) b)


.))((

))((

zyQ

zyQ

εσ=

εσ=∂∂

(26)

Analognosemoguprevestiiostaliintegraliiz(4)i(6).

Unutarnjesileikomponentetangentnekonstitutivnematricetakopostaju:

∫

∫εσ=

εσ=

Cy

Cx

dzzyzM

dzzyN

,))((

))((

(27)

.))((

))((

))((

222

12

11

∫

∫

∫

ε=

ε=

ε=

Ct

Ct

Ct

dzzEyzC

dzzyzEC

dzzyEC

(28)

i

i+1

(y ,z )i

(y ,z )i+1i+1

iy

z

T

Slika 7. Koordinate promatranog ruba

Rubintegracijskogpodručjasastojiodpravaca(Slika7),kojipovezujutočkui(yi,zi)stočkomi+1(yi+1,zi+1).Jednadžbupromatranogrubamožemozapisatikao

)(

1

1i

ii

iii yy

yyzzzz −

−−=−

+

+

,(29)


odnosno

y = kiz + ni, (30)

gdjeje

ii

iii zz

yyk−−=

+

+

1

1 ,ani = yi – kizi.

Kako je rub integracijskog područja poligon, linijski se integral sastoji odsumeintegralauzdužrubovapoligona,pauvrštavanjem(30)u(27)i(28)slijedi:

( )

( )∑

∑

=

=

+=

+=

N

iiiiiy

N

iiiiix

InIkM

InIkN

1,2,3

1,1,2

,

(31)

( )

( )

( ),1

,3,422

1,2,312

1,1,211

∑

∑

∑

=

=

=

+=

+=

+=

N

iiiii

N

iiiii

N

iiiii

JnJkC

JnJkC

JnJkC

(32)

gdjesu

,))((

))(())((

))(())((

))(())((

1

11

11

11

3,4

2,3

2,3

,2,2

,1,1

dzzEzJ

dzzEzJdzzzI

dzzzEJdzzzI

dzzEJdzzI

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

zti

z

zti

z

zi

z

zti

z

zi

z

zti

z

zi

∫

∫∫

∫∫

∫∫

+

++

++

++

ε=

ε=εσ=

ε=εσ=

ε=εσ=

(33)

aNukupanbrojrubovapoligonaintegracijskogpodručja. Integrale(33)nadaljeizračunavamospomoćuGaussovih integracijskih formulakao što je toopisanoformulama(16-18)uprethodnompoglavlju.

Iovdjekaoikodmetodepodjelepoprečnogpresjekanalamelemoramouzetiuobzirdodatnečlanove(prema(7))ukolikonamgraniceintegracijez1iz2ovise


oparametrupokojemderiviramo.Tedodatnečlanovemožemoizračunatinaistinačinkaoštojetoopisanoizrazima(21)uprethodnompoglavlju.

Stoga, ako komponentama tangentne konstitutivnematrice (32) dodamo još idodatnečlanove(21)zaslučajderivacijeintegralapoparametrukonačnodobivamo:

( )

( )

( ) .))(()())(()(

))(()())(()(

))((1)())((1)(

1

21

12

22

21

,3,422

11

122

21

,2,312

11221

,1,211

zzzbzzzbJnJkC

zzzbzzzbJnJkC

zzbzzbJnJkC

N

iiiii

N

iiiii

N

iiiii

εσκ

+εσκ

−+=

εσκ

+εσκ

−+=

εσκ

+εσκ

−+=

∑

∑

∑

=

=

=

(34)

6. Utjecaj armature u presjeku

Zbog relativno malene površine čelika za armiranje u odnosu na površinubetona, možemo pretpostaviti konstantno stanje naprezanja po čitavoj površiniarmaturnešipke(točkastidoprinosarmature).

Svaku je armaturnu šipku j u poprečnom presjeku dovoljno opisati s dvaparametra: koordinatom težišta zj i površinom poprečnog presjeka As,j. Budućipromatramo samo ravninske nosače, koordinata težišta yj nije potrebna uproračunu;moženamzatrebatisamokodgrafičkogprikazapresjeka.

Unutarnjesileuslijedpretpostavljenogtočkastogdoprinosaarmaturedobivamoiz:

,))((

))((

1,,

1,,

∑

∑

=

=

εσ=

εσ=

n

jjjsjsjy

n

jjjsjsx

zAzM

zAN

(35)

doksukomponentetangentnekonstitutivnematricejednake:

,))((

))((

))((

1,,

222

1,,2112

1,,11

∑

∑

∑

=

=

=

ε=

ε==

ε=

n

jjjtsjsj

n

jjjtsjsj

n

jjjtsjs

zEAzC

zEAzCC

zEAC

(36)


gdje su σs,j iEts,j, redom, naprezanje i modul elastičnosti čelika za armiranje utežištuarmaturnešipkej.Indeksju(35)i(36)poprimavrijednostiod1don,gdjejenukupanbrojšipkiupoprečnompresjeku.

Kakobiizbjeglidvostrukozbrajanjepovršinebetonanamjestimaarmaturnihšipki (na mjestu gdje su šipke u betonskom presjeku su rupe), na analogannačin,pretpostavljajućikonstantnostanjenaprezanja,možemoodreditidoprinos“nepostojećeg” betona, tako da u gornjim izrazimaσs,j zamijenimo saσc,j teEts,jsa Etc,j. σc,j i Etc,j predstavljaju naprezanje i modul elastičnosti betona u težištuarmaturnešipkej.

Oduzmemo li doprinos “nepostojećeg” betona iz (35) i (36) konačnodobivamo:

,)))(())(((

)))(())(((

,,,1

,,1

,

jjcjjsjs

n

jjy

jjcjjs

n

jjsx

zzAzM

zzAN

εσ−εσ=

εσ−εσ=

∑

∑

=

=

(37)

.)))(())(((

)))(())(((

)))(())(((

,,,1

222

,,,1

12

,,1

,11

jjtcjjtsjs

n

jj

jjtcjjtsjs

n

jj

jjtcjjts

n

jjs

zEzEAzC

zEzEAzC

zEzEAC

ε−ε=

ε−ε=

ε−ε=

∑

∑

∑

=

=

=

(38)

Vrijednostidobivenepomoću(37)i(38)pribrajamovrijednostimadobivenimintegracijombetonskogdijelapresjeka.

7. Primjeri

Priizradinumeričkihprimjerazanemarenjeutjecajarmatureupresjeku,jerzapretpostavljenokonstantnostanjenaprezanjauarmaturnimšipkamanijepotrebnaintegracija, pa stoga armatura ne utječe na točnost integracijskog postupka iusporedburezultata.PrimjerisuizrađenipomoćuprogramskogpaketaMatlab.

Uobaprimjerakorištenjebetonsljedećihkarakteristika:

fcm=38MPa

Ecm=33000MPa


εc1=–2,2×10–3

εcu1=–3,5×10–3

Kao točno rješenje T usvojeno je analitičko rješenje dobiveno pomoćuprogramskog paketa Mathematica, u kojem je rješenje (određeni integral)određenoanalitički.

Relativna je greška u postocima definirana kao

100×TTRn −

, gdje je Rnrješenjezaslučajn.

7.1. Primjer 1Zaprvi jeprimjerodabranpravokutnipoprečnipresjekdimenzija30x50cm

(Slika8),teε0=0,00275iκ=0,025×1–m.

y

z

T

ε = −3,5

ε = 9,0

Slika 8. Pravokutni poprečni presjek i dijagram deformacija za odabrani ε0 i κ

UnastavkuuTablicama1i2,danjeprikazrelativnegreškeuodnosunatočnorješenje:

.30111319,483277556730145,2682563234531371,22700

4262722834,2982957055217826,1193

222

12

11

kNcmCkNcmCkNcmMkNCkNN

y

x

=−==

=−=

Možemo primijetiti kako je rješenje dobiveno koristeći samo jednulamelu (Tablica 1), potpuno isto rješenju dobivenom pomoću metode zamjenepovršinskog integrala integralom po rubu za isti broj Gaussovih integracijskih


točaka(Tablica2),štosemožeanalitičkiipokazati:zay1=y2iz(30)dobivamokakojey=const.=y1=y2paondaizrazi(31)i(32)postajuistikao(14)i(15).

Zanajjednostavnijislučajsjednomlamelomi2integracijsketočkerelativnajegreškazaunutarnjesileikomponentetangentnekonstitutivnematricemanjaod1%.

Tablica 1. Relativna greška u postocima za metodu podjele poprečnog presjeka na lamele (pravokutni poprečni presjek)

Br. lamelaBroj Gaussovih integracijskih točaka

2 3 5 10

Nx

1

1,72E-04 7,41E-08 7,31E-08 7,31E-08

My 1,31E-02 5,66E-06 5,58E-06 5,58E-06

C11 9,44E-06 5,46E-11 1,33E-10 1,33E-10

C12 1,21E-03 3,05E-08 4,12E-08 4,12E-08

C22 7,22E-01 7,14E-06 1,37E-08 1,37E-08

Nx

2

1,08E-05 7,31E-08 7,31E-08 7,31E-08

My 8,22E-04 5,58E-06 5,58E-06 5,58E-06

C11 5,90E-07 1,31E-10 1,33E-10 1,33E-10

C12 7,54E-05 4,10E-08 4,12E-08 4,12E-08

C22 4,51E-02 1,25E-07 1,37E-08 1,37E-08

Nx

3

2,20E-06 7,31E-08 7,31E-08 7,31E-08

My 1,67E-04 5,58E-06 5,58E-06 5,58E-06

C11 1,16E-07 1,33E-10 1,33E-10 1,33E-10

C12 1,49E-05 4,12E-08 4,12E-08 4,12E-08

C22 8,91E-03 2,35E-08 1,37E-08 1,37E-08

Nx

5

3,49E-07 7,31E-08 7,31E-08 7,31E-08

My 2,65E-05 5,58E-06 5,58E-06 5,58E-06

C11 1,50E-08 1,33E-10 1,33E-10 1,33E-10

C12 1,89E-06 4,12E-08 4,12E-08 4,12E-08

C22 1,15E-03 1,42E-08 1,37E-08 1,37E-08

Nx

10

9,03E-08 7,31E-08 7,31E-08 7,31E-08

My 6,89E-06 5,58E-06 5,58E-06 5,58E-06

C11 8,11E-10 1,33E-10 1,33E-10 1,33E-10

C12 7,96E-08 4,12E-08 4,12E-08 4,12E-08

C22 7,22E-05 1,37E-08 1,37E-08 1,37E-08


Tablica 2. Relativna greška u postocima za metodu zamjene površinskog integrala integralom po rubu (pravokutni poprečni presjek)

Broj Gaussovih integracijskih točaka2 3 5 10

Nx 1,72E-04 7,41E-08 7,31E-08 7,31E-08My 1,31E-02 5,66E-06 5,58E-06 5,58E-06C11 9,44E-06 5,46E-11 1,33E-10 1,33E-10C12 1,21E-03 3,05E-08 4,12E-08 4,12E-08C22 7,22E-01 7,14E-06 1,37E-08 1,37E-08

7.2. Primjer 2

Zadrugismoprimjerodabralitrapeznipresjek(Slika9),kakobismousporedilimetodeuslučajukosogruba.Dimenzijepoprečnogpresjekasu:donjirub30cm,gornjirub90cm,tevisina90cm.Odabranevrijednostizadeformacijskeveličine

suε0=0,00025iκ=0,010×1–m.

y

z

T

ε = −3,5

ε = 5,5

Slika 9. Trapezni poprečni presjek i dijagram deformacija za odabrani ε0 i κ

Točnarješenjazaunutarnjesileikomponentekonstitutivnematricesu:

.6218971,92434350903982036,106611778831955592,184267

960469985,15740457909607438,7960

222

12

11

kNcmCkNcmCkNcmMkNCkNN

y

x

−====−=

U Tablicama 3 i 4 dana su rješenja dobivena metodama opisanima upoglavljima4 i5.Općenito,greškekodunutarnjihsila sumanjenego ligreškekodkomponentitangentnekonstitutivnematrice.

Promotrimo li podatke u Tablici 3, možemo primijetiti kako se u slučajupresjekaskosimrubomsamopovećanjembrojaintegracijskihtočaka(npr.s2na5)zaistibrojlamelagreškavrlomalosmanjuje.


Koristimolisamojednulamelu,greškekoduzdužnesileimomentasuunutar5%,doksekodkomponentitangentnekonstitutivnematriceznatnopovećavaju–čakdo54%.Potrebnonamječak10lamelakakobirelativnagreškasvihpodatakabilaunutar0,5%.Dotakovelikegreškedolazijerješirinalamelepromjenjivapovisini,tj.lamelanijepravokutnik,većtrapez,pabizadobivanjetočnijegrezultatasmanjimbrojemlamelaumjestojednodimenzionalneGaussoveintegracijetrebaloupotrijebitidvodimenzionalnuintegraciju.

Kod metode sa zamjenom površinskog integrala integralom po rubu(Tablica4),vrlodobarrezultatdobivamosamos2integracijsketočke,avećs3integracijsketočkegreškajemanjaod0,005%.

Tablica 3. Relativna greška u postocima za metodu podjele poprečnog presjeka na lamele (trapezni poprečni presjek)

Br.lamelaBrojGaussovihintegracijskihtočaka

2 3 5 10Nx

1

2,11704 2,11721 2,11721 2,11721My 4,70378 4,67732 4,67732 4,67732C11 23,70707 23,70708 23,70708 23,70708C12 54,02312 54,01812 54,01812 54,01812C22 16,02990 16,18668 16,18669 16,18669Nx

2

0,53077 0,53078 0,53078 0,53078My 0,94039 0,93874 0,93874 0,93874C11 5,92685 5,92685 5,92685 5,92685C12 13,47206 13,47175 13,47175 13,47175C22 4,94552 4,95531 4,95531 4,95531Nx

3

0,23602 0,23602 0,23602 0,23602My 0,39903 0,39871 0,39871 0,39871C11 2,63416 2,63416 2,63416 2,63416C12 5,98481 5,98475 5,98475 5,98475C22 2,27294 2,27488 2,27488 2,27488Nx

5

0,08499 0,08499 0,08499 0,08499My 0,14067 0,14063 0,14063 0,14063C11 0,94830 0,94830 0,94830 0,94830C12 2,15402 2,15401 2,15401 2,15401C22 0,82959 0,82985 0,82985 0,82985Nx

10

0,02125 0,02125 0,02125 0,02125My 0,03550 0,03549 0,03549 0,03549C11 0,23708 0,23708 0,23708 0,23708C12 0,53845 0,53845 0,53845 0,53845C22 0,20545 0,20547 0,20547 0,20547


Tablica 4. Relativna greška u postocima za metodu zamjene površinskog integrala integralom po rubu (trapezni poprečni presjek)

BrojGaussovihintegracijskihtočaka2 3 5 10

Nx 5,07E-03 2,64E-06 2,61E-06 2,61E-06My 7,95E-01 9,38E-04 9,43E-04 9,43E-04C11 2,79E-04 1,15E-07 1,12E-07 1,12E-07C12 1,12E-01 3,34E-06 2,23E-06 2,23E-06C22 3,08E+00 4,57E-03 4,61E-03 4,61E-03

8. Zaključak

Uovomsuraduprikazanedvijemetodedobivanjaunutarnjihsilaitangentnekonstitutivne matrice presjeka integracijom polja naprezanja u poprečnompresjeku,zaslučajravninskiharmiranobetonskihgrednihnosača.

Prvasemetodasastojiodpodjeleaktivnogdijelapresjekana lamele,doksedruga metoda temelji na Greenovom teoremu o zamjeni površinskog integralaintegralom po rubu integracijske površine. Dobiveni se integrali izračunavajunumeričkikoristećiGaussoveintegracijskeformule.Uobjejemetodeprijesameintegracijenajprijepotrebnopronaćiaktivnidiopresjeka–diopresjekaukojempostojipoljenaprezanja.

Doprinos armature u presjeku usvojen je kao točkasti – pretpostavljeno jekonstantnostanjenaprezanjapočitavojpovršiniarmaturnešipke.

Usporedbomdvijumetodapokazano jekakou slučajupravokutnihpresjekanepostojiznatne razlike izmeđurezultatametoda, te sepomoću jedne ilidrugemetodemožeuzvrlomalenbrojintegracijskihtočakadobititočnorješenje.

Nouslučajukosihrubovatonijeslučaj,pasekodpresjekaskosimrubovimapreporučauporabametodesazamjenompovršinskogintegralaintegralomporubupresjekajersezapunomanjibroj integracijskihtočakadobivatočnijirezultatuodnosunaopisanipostupakslamelama.

U radunisu razmatrani efekti rasterećenja, kaoniugradnjaoveprocedureuširikontekstprogramapometodikonačnihelemenata.Definiranjeodgovarajućihprocedurapredmetjebudućegistraživanjaautora.

Zahvala.Prikazani rezultati proizašli su iz znanstvenog projekta br. 114-0000000-3025 (Unapređenje točnosti nelinearnih grednih elemenata s neograničenim 3D rotacijama) provođenog uz potporu Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske, bilateralnog HR-SI projekta br. BI-HR/09-10-031 (Nelinearno numeričko modeliranje prostornih armiranobetonskih okvira pod


utjecajem korozije armature) provođenog uz potporu Ministarstva znanosti obrazovanja i športa Republike Hrvatske i Agencije za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije i projekta iz programa “Stipendije za doktorande” br.03.01/61 (Razvoj konstitutivnog modela za armiranobetonske okvirne nosače pod utjecajem korozije armature) provođenog uz potporu Nacionalne zaklade za znanost, visoko školstvo i tehnologijski razvoj Republike Hrvatske.

9. Literatura

[1] A. Mihanović, P. Marović, J. Dvornik. Nelinearni proračuni armirano betonskih konstrukcija. Društvo hrvatskih građevinskih konstruktora,Zagreb,1993.

[2] S.Bratina,M.Saje, I.Planinc.Onmateriallyandgeometricallynon-linearanalysisofreinforcedconcreteplanarframes.International Journal of Solids and Structures, 41:7181-7207,2004.

[3] J.L. Bonet, M.L. Romero, P.F. Miguel, M.A. Fernandez. A fast stressintegration algorithm for reinforced concrete sectionswith axial loads andbiaxialbending.Computers and Structures, 82:213-225,2004.

[4] D.Zupan,M.Saje.Analyticalintegrationofstressfieldandtangentmaterialmoduli over concrete cross-sections.Computers and Structures, 83: 2368-2380,2005.

[5] A. Fafitis. Interaction surfaces of reinforced-concrete sections in biaxialbending.ASCE Journal of Structural Engineering,Vol.127,No.7,840-846,2001.

[6] J.B.M. Sousa Jr., C.F.D.G.Muniz.Analytical integration of cross sectionpropertiesfornumericalanalysisofreinforcedconcrete,steelandcompositeframes.Engineering Structures, 29:618-625,2007.

[7] M.Saje,I.Planinc,G.Turk,B.Vratanar.Akinematicallyexactfiniteelementformulationofplanarelastic-plasticframes.Computers Methods in Applied Mechanics and Engineering,144:125-151,1997.

[8] I.N. Bronštejn i suradnici. Matematički priručnik. Golden Marketing –Tehničkaknjiga,Zagreb,2004.

[9] M. Saje. Osnove nelinearne mehanike i Numerične metode v teoriji konstrukcij.Bilješkespredavanja2008./09.

[10] EN1992-1-1,Eurocode2: Design of concrete structures – Part 1-1: General rules and rules for buildings.CEN,Brussels,2004.

Documents

Integriranje polja naprezanja u armiranobetonskim ... · 192 GF • ZBORNIK RADOVA compared to the area of the concrete, a constant stress fieldover each steel bar is assumed (pointwise