Integrale Definito. (1)Integrale Definito. (1)

Il problema del calcolo delle aree

Suddivisione dell’intervallo [a,b] in sottointervalli che ne costituiscono una partizione

Def. PartizioneSi chiama partizione P dell’intervallo [a,b] un insieme di (n+1) punti x0=a<x1<..<xn=b , comunque scelti tra a e b.

1

comunque scelti tra a e b.

Si pone: ,..,nixxx iii 1 1 =−=∆ −

1−−= iii xxh

Def. RaffinamentoUna partizione P1 è detta essere un raffinamento (o più fine) della partizione P se:

PP ⊇1

0xa = 1x 2x bx =3

Integrale Definito: Integrale Definito: PlurirettangoliPlurirettangoliAssumiamo che la funzione f sia limitata nell’intervallo [a,b].Data una determinata partizione P di [a,b] consideriamo per ogni intervallino ∆xi :• mi = l’estremo inferiore assunto dalla funzione in ∆xi• Mi = l’estremo superiore assunto dalla funzione in ∆xi

Costruiamo il rettangolo inscritto :di base ∆xi ed altezza miEd associamo ad esso l’ ”area” (che può anche essere negativa se lo è la funzione) data da: (∆x i m i).L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il

2

0xa = 1x 2x bx =3

L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il plurirettangolo (o scaloide) inscritto.

Costruiamo il rettangolo circoscritto :di base ∆xi ed altezza MiEd associamo ad esso l’ ”area” (che può anche essere negativa se lo è la funzione) data da: (∆x i Mi).L’insieme dei rettangoli inscritti costituirà il plurirettangolo (o scaloide) circoscritto.

Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (1 )Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (1 )

0xa = 1x 2x bx =3

Def. Somme Superiori ∑ ∆⋅=i

ii xMfPS ),(

Costituiscono un’approssimazione “per eccesso” dell’area

Def. Somme Inferiori ∑ ∆⋅=i

ii xmfPs ),(

Costituiscono un’approssimazione “per difetto” dell’area

Abbiamo che: (1) ),(),( fPSfPs ≤

3

0xa = 1x 2x bx =3

E’ evidente che con più “raffiniamo” la partizione dell’insieme [a,b] , con più riusciremo ad avere una valutazione precisa dell’area.

Precisamente, passando da una partizione P ad una partizione più fine P1 notiamo che le somme inferiori aumentano mentre quelle superiori diminuiscono rispettando sempre la relazione (1). Quindi:

Abbiamo che: (1) ),(),( fPSfPs ≤

(2) ),(),(

),(),( se

1

11

≤≤

⇒⊇fPSfPS

fPsfPsPP ),(),(con 11 fPSfPs ≤

Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (2 )Integrale Definito: Somme Superiori ed Inferiori (2 )

Aumentando il numero di punti le somme inferiori aumentano

4Aumentando il numero di punti le somme superiori diminuiscono

Integrale Definito di Integrale Definito di RiemannRiemann : Costruzione: Costruzione

0xa = 1x 2x bx =3

Poiché le somme inferiori sono sempre minori od uguali alle somme superiori, abbiamo che:

Def. Funzione Integrabile (secondo Riemann)La funzione f è integrabile (secondo Riemann, o R-integrabile) se (e solo se):

SInfsSupPP

≤

SInfsSupPP

=

5

0xa = 1x 2x bx =3

Nota. La classe delle somme inferiori e delle somme superiori sono due classi di numeri reali una minore dell’altra dunque sono classi separate . Esse possono avere un elemento separatore (l’unico numero compreso tra le somme inferiori e quelle superiori). Se tale numero esiste la funzione è detta Riemann-Integrabile (o R-Integrabile) su [a,b] e tale numero è, per definizione , l’integrale di Riemann della funzione data su [a,b].

PP

Def. Integrale Definito (di Riemann)Il numero reale precedentemente trovato rappresenta l’integrale definito della funzione f sull’intervallo [a,b] e si scrive:

∫b

a

dxxf )(

Integrale Definito di Integrale Definito di RiemannRiemann : Osservazioni: Osservazionia e b sono detti “estremi di integrazione”a è detto “estremo inferiore” di integrazioneb è detto “estremo superiore” di integrazionef è detta funzione integranda

Nota . La variabile di integrazione è una variabile “muta”. Per cui le seguenti espressioni indicano sempre lo stesso numero:

∫b

a

dxxf )(

∫b

a

dxxf )( ∫b

a

dttf )( ∫b

a

dyyf )(

6

ε ,f)S(P,f)-s(P <>∀ 0ε

Teorema 1Una funzione f limitata su [a,b] è R-integrabile se esiste una partizione P di [a,b] tale che:

Nota . Il teorema precedente afferma che le somme inferiori e superiori, per funzioni R-integrabili, sono due classi separate ma indefinitamente ravvicinate (o contigue ).

Funzione non RFunzione non R --IntegrabileIntegrabileNota . Non tutte le funzioni sono R-integrabili. Daremo più avanti delle condizioni sufficienti affinché una funzione sia R-Integrabile. Occupiamoci di un esempio di funzione che NON è R-integrabile:

∈∈

=R\Qx

Qxxf

se 1

se 0)(

Si consideri l’intervallo [0,1].Essa è una funzioni limitata.Per essa, considerato il fatto che qualunque sia la partizione P, nell’intervallino ∆x

La Funzione di Dirichlet

7

∑ ∑ =∆⋅=∆=i i

iii xxMfPS 11),(

Per essa, considerato il fatto che qualunque sia la partizione P, nell’intervallino ∆xi compaiono infiniti numeri irrazionali ed infiniti razionali, avremo:

∑ ∑ =∆⋅=∆=i i

iii xxmfPs 00),(

Siccome:1),( =fPSInf 0),( =fPsSup

La funzione non risulta R-integrabile.

Integrale Definito: le somme di Integrale Definito: le somme di RiemannRiemannNota . Considerando funzioni limitate non possiamo affermare che i valori mi ed Mi sono valori assunti dalla funzioni nell’intervallino ∆xi .Se la funzione f è continua il teorema di Weierstrass assicura il fatto che la funzione assume in ∆xi tali valori, che coincidono con il minimo ed il massimo della funzione stessa (in ∆xi).

Al posto delle somme inferiori e superiori è allora possibile considerare le seguenti somme di Riemann:

iii

ii xtxtffP ∆∈∆=∑ con )(),(σ Def. )( ixMaxP ∆=

8

i

Teorema 2

Per esse vale il seguente teorema:

finitofPf =⇔→

),(lim eintegrabil-R é 0P||σ

σ(P,f)f(x)dx|P|

b

a0

lim →

=∫

E vale

Integrale Definito: Significato Geometrico. (1)Integrale Definito: Significato Geometrico. (1)Se la funzione integranda è positiva su [a,b] (a<b) allora

∫b

a

dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano delimitata dall’asse delle x , dal grafico della funzione e dalle rette verticali x=a ed x=b. E risulta:

0)( >∫b

a

dxxf

−

9

Se la funzione integranda è negativa su [a,b] (a<b) allora

∫b

a

dxxf )(Rappresenta l’area della regione di piano in senso algebrico (in quanto negativa) delimitata dall’asse delle x , dal grafico della funzione e dalle rette verticali x=a ed x=b. E risulta:

0)( <∫b

a

dxxf

+

Integrale Definito: Significato Geometrico. (2)Integrale Definito: Significato Geometrico. (2)Se la funzione integranda non ha segno fisso su [a,b] (a<b) allora l’integrale definito può essere positivo, negativo o nullo.

∫b

a

dxxf )( ? )(∫b

a

dxxf

+

0107.0~1)2arctan(..2

1

1

12

02

>−==

−+∫ dx

x

∫ =π2

0

0)( dxxsen

10

+−

−∫ =π

0

0)cos( dxx

+

−

Integrale Definito: Significato Geometrico. (3)Integrale Definito: Significato Geometrico. (3)Può essere pensato come area della regione di piano compresa tra le due funzioni f e g.∫∫ −

b

a

b

a

dxxgdxxf )()(

)2()( −−= xxxf 3

1..)()(

1

0

1

0

==− ∫∫ dxxgdxxf

11

2)( xxg =

Integrale Definito: Condizioni Sufficienti Integrale Definito: Condizioni Sufficienti per la Rper la R --Integrabilità. (1)Integrabilità. (1)

Teorema 3. Se la funzione f è continua su [a,b] allora f è R-Integrabile.

Dim .

Per il teorema di Weierstrass f ammette massimo Mi e minimo mi in ogni intervallino ∆xi .Esistono quindi in ∆xi due punti ti e t*i tali che f(ti)=mi e f(t*i)=Mi . Poiché f è continua, dalla definizione di limite abbiamo:

tftfttse <−⇒<−∃ εδδ )()( : **

12

( ) ( )∑∑ ∆−=∆−=−i

iiii

iii xtftfxmMfPsfPS )()(),(),( *

abtftfttse iiii −

<−⇒<−∃ δδ )()( : **

Facciamo in modo che |P|<δ allora:

( ) εεε =−−

=∆−

<∆−= ∑∑ )()()( * abab

xab

xtftfi

ii

iii

Per il teorema 1 la funzione è R-Integrabile.

Integrale Definito: Condizioni Sufficienti Integrale Definito: Condizioni Sufficienti per la Rper la R --Integrabilità. (2)Integrabilità. (2)

Teorema 4. Se la funzione f è limitata su [a,b] e possiede un numero finito (o al più una infinità numerabile) di discontinuità allora f è R-Integrabile.

Teorema 5. Se la funzione f è monotona (crescente o decrescente) su [a,b] allora f è R-Integrabile.

13

Integrale Definito: Proprietà (1)Integrale Definito: Proprietà (1)

Convenzione0)( =∫

a

a

dxxf ∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

Proprietà di additività

( ) ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

abdxb

a

−=∫

14

additività aaa

Proprietà di omogeneità

( ) Rkdxxfkdxxkfb

a

b

a

∈∀= ∫∫ )()(

Proprietà di linearità

Integrale Definito: Proprietà (2)Integrale Definito: Proprietà (2)

ba se )()( <≤ ∫∫b

a

b

a

dxxfdxxf

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(Proprietà di additività rispetto all’intervallo di integrazione

∫∫ ≤b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

15

Proprietà di monotonia ⇒≤ b][a,in )()( 21 xfxfse ∫∫ ≤

b

a

b

a

dxxfdxxf )()( 21

Integrale Definito: Teorema della media integraleIntegrale Definito: Teorema della media integraleTeorema 6 (della Media Integrale o di Lagrange).Si consideri la funzione f continua in [a,b]. Allora esiste almeno un punto c in [a,b] tale che:

))(()( abcfdxxfb

a

−=∫

Siccome f è continua � è R-integrabile.Per il teorema di Weierstrass se m ed M sono il minimo ed il massimo della funzione in [a,b] abbiamo m≤f(x) ≤ M valida per ogni x in [a,b]. Dalla proprietà di monotonia dell’integrale segue::

Dim.

⇒≤≤ ∫∫∫bbb

Mdxdxxfmdx )( ⇒−≤≤− ∫b

16

⇒≤≤ ∫∫∫aaa

Mdxdxxfmdx )( ⇒−≤≤− ∫ )()()( abMdxxfabma

Mab

dxxf

m

b

a ≤−

≤∫

)(

)(

Mkmkab

dxxfb

a ≤≤=−

∫con

)(

)(Il teorema di Darboux assicura che esiste c in [a,b] tale che f(c)=k

)()(

)(

cfab

dxxfb

a =−

∫c.v.d.

Def. Media Integrale

)(

)(

ab

dxxfb

a

−

∫

Integrale Definito: Funzione IntegraleIntegrale Definito: Funzione Integrale

Si consideri la funzione f, R-integrabile su [a,b]. Consideriamo due punti di [a,b] x0 ed x. Costruiamo il seguente integrale definito:

∫x

x

dttf0

)(

Consideriamo la funzione che ad ogni numero x (in [a,b]) associa il numero reale definito dalla relazione precedente: tale funzione è la funzione Integrale di f in [a,b].

17

Def. Funzione Integrale

Sia f una funzione R-integrabile su [a,b] si definisce funzione integrale F di f su [a,b] (con origine in x0)

∫=x

x

dttfxF0

)()(

Integrale Definito: Teorema di Integrale Definito: Teorema di TorricelliTorricelli --BarrowBarrow

Teorema 7 (di Torricelli - Barrow)

Sia f una funzione continua su [a,b]. Allora la funzione integrale F di f su [a,b] (con origine x0) è (continua e) derivabile in per ogni x di [a,b] e vale F’(x)=f(x)

Dim.Si consideri: =−+=∆ )()( xFhxFF =− ∫∫

+ x

x

hx

x

dttfdttf00

)()( =+ ∫∫+ 0

0

)()(x

x

hx

x

dttfdttf

[ ]hx,xchcfdttfhx

x

+∈⋅== ∫+

con )()( Applicando il teorema 6 della media integrale.

18

x

)()(lim)(

limlim)('000

xfcfh

hcf

h

FxF

hhh==⋅=∆=

→→→Per la continuità di f

c.v.d.

In generale si può dimostrare che:Teorema 8Se f è R-integrabile allora F è continuaSe f è continua allora F è derivabileSe f è derivabile allora F è derivabile con derivata continua

La funzione integrale F risulta nelle ipotesi del teorema (continuità di f) una primitiva di f.

Integrale Definito: Teorema fondamentale del Integrale Definito: Teorema fondamentale del calcolo (1)calcolo (1)

Teorema 9 (Fondamentale del Calcolo)

Sia f una funzione continua su [a,b]. Sia F una sua primitiva , allora:

Dim.Si consideri: ∫∫ ∫ =+=

b

x

b

a

x

a

dxxfdxxfdxxf0

0

)()()(

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

∫∫ =+−b

x

a

x

dxxfdxxf00

)()(

19

xa a 0

c.v.d.

xx 00

)()( aFbF −=+−= )()( bFaF

[ ] )()(:)()( aFbFxFdxxf ba

b

a

−==∫Convenzione

Integrale Definito e funzioni primitiveIntegrale Definito e funzioni primitive

[ ] )()(:)()( aFbFxFdxxf ba

b

a

−==∫Nota.Gli integrali delle funzioni continue possono essere calcolati con le funzioni primitive (se queste si possono esprimere per via elementare).Se la funzione integranda non è continua ma solo R-integrabile, la primitiva potrebbe non esistere perché, ad esempio, non esistono funzioni derivabili che hanno derivate con discontinuità a salto. Tuttavia può esistere l’integrale.

Es.

20

Es.

≤≤<≤<≤

=3x2per 3

2x1per 2

1x0per 1

)(xf

6321)(3

0

=++=∫ dxxf

Non esiste tuttavia una funzione derivabile in tutto [0,3] che abbia f(x) come funzione derivata

Integrale Definito: Integrazione per partiIntegrale Definito: Integrazione per parti

Teorema 10 [ ] ∫∫ −=b

a

ba

b

a

dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()('

Es. Calcolare l’area compresa tra l’asse delle x e il grafico della funzione ln(x) tra i punti di ascissa 1 e 2

[ ] =−= ∫∫2

21

2 1)ln()ln( dx

xxxxdxx

21

[ ] =−= ∫∫1

1

1

)ln()ln( dxx

xxxdxx

386.0~1)2ln(2)2ln(22

1

−=−= ∫ dx

Integrale Definito: Integrazione per sostituzioneIntegrale Definito: Integrazione per sostituzione

Teorema 11

∫∫Φ

Φ

=)(

)(

)('))(()(b

a

b

a

dttgtgfdxxf

Siano f:[a,b]�R continua, Φ :[a,b]�R continua,derivabile,con derivata continua e con Φ’(x) ≠0 in [a,b]. Allora se g è la funzione inversa di Φ, abbiamo

)()()()( xarcsenxtsentg =Φ⇒=Es.

22

∫∫ −=−)1(

)0(

21

0

2 )cos()(11arcsen

arcsen

dtttsendxx

)()()()( xarcsenxtsentg =Φ⇒=

40

22

2

)cos()()(cos

2

0

)1(

)0(

2 πππ

=−=

+== ∫ttsent

dttarcsen

arcsen

Area quarto di cerchio di raggio 1

Integrale Definito: Area tra grafici di funzioniIntegrale Definito: Area tra grafici di funzioni

)(xf

)(xg

a

b

[ ]∫ −=b

a

dxxgxfA )()(

∫∫ +=a

b

b

a

dxxgdxxfA )()(

23

∫ ∫∫∫ +++=d

c

a

d

c

b

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfA )()()()( 4321

a b cd

)(1 xf)(2 xf

)(3 xf)(4 xf

Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (1)specie (1)Abbiamo sinora parlato di integrali di funzioni limitate su intervalli limitati [a,b]. Esistono delle estensioni sia per funzioni non limitate che per intervalli non limitati.

Integrazione Funzioni non limitate su intervalli limi tatiIntegrali IMPROPRI di 1 ° SPECIESi consideri f: (a,b]�R non limitata (ad es 1/x in (0,1] ) tale che f sia R-integrabile su ogni intervallo della forma [a+ε,b] e tale che : ±∞=

+→)(lim xf

ax

Definiamo allora:

(*) )(lim)( ∫∫ =bb

dxxfdxxf

24

(*) )(lim)(0 ∫∫

+→ +

=aa

dxxfdxxfε

ε

Se il limite (*) esiste finito allora f si dice integrabile in [a,b] e che l’integrale IMPROPRIO di 1° SPECIE è convergente

Se il limite (*) è ±∞ allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1 ° SPECIE è divergente

Se il limite (*) non esiste allora si dice che l’integrale IMPROPRIO di 1 ° SPECIE non esiste

Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (2)specie (2)Es. Si calcoli: =∫ dx

x

1

0

1

x

1

x

1

[ ] 2 2lim1

lim 1

0

1

0===

++ →→ ∫ εεε

εxdx

x

Es. Si calcoli:=∫ dx

x

1

0

1

[ ] +∞=== ∫1

1

lnlim1

lim εxdx

25

[ ] +∞===++ →→ ∫ 00

lnlimlim εεε

εxdx

x

Es. Si calcoli: =∫ dxxk

1

0

1=

+−=

+−

→→ ++ ∫11

0

1

0 1lim

1lim

εε

εε k

xdx

x

k

k=

+−−

+−

+−

+→ 11

1lim

1

0 kk

kεε

>⇔<+−∞+

<⇔>+−

+−=101 se

101 se 1

1

kk

kkk

Per k≠1

Per k=1 vedi es. precedente. Globalmente:

=∫ dxxk

1

0

1

≥⇔≤+−∞+

<⇔>+−

−101 se

101 se 1

1

kk

kkk

Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (3)specie (3)Analogamente nel caso in cui si abbia: ±∞=

−→)(lim xf

bx

(**) )(lim)(0 ∫∫

−

→ +=

ε

ε

b

a

b

a

dxxfdxxfSi definisce: Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)

Teorema 12

<−=

≥∞+

−−∫ 1k se

)( econvergent

1k se a divergente é

)(

11abdx

axk

b

k

26

<

−−=−∫ 1k se 1

)( econvergent

é )(

k

abdxaxa

k

Vale un risultato perfettamente analogo per:

)(

1∫ −

b

ak

dxxb

L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.

Integrali impropri di 1Integrali impropri di 1 °° specie (3)specie (3)

Analogamente nel caso in cui si abbia: ±∞=−→

)(lim xfbx

(**) )(lim)( ∫∫−

=εbb

dxxfdxxfSi definisce:

Ad es. 1/(x-1)2 in [0,1)

Teorema 12

<−

−=

≥∞+

−−∫ 1k se

1

)( econvergent

1k se a divergente é

)(

11

k

abdxax

k

b

ak

27

(**) )(lim)(0 ∫∫ → +

=ε

aa

dxxfdxxf

Vale un risultato perfettamente analogo per:

L’integrale converge se la funzione è infinita di ordine k<1 altrimenti diverge.

<−

−=

≥∞+

−−∫ 1k se

1

)( econvergent

1k se a divergente é

)(

11

k

abdxxb

k

b

ak

Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (1)specie (1)

Integrazione Funzioni su intervalli illimitatiIntegrali IMPROPRI di 2 ° SPECIESi consideri f: [a,+∞)�R continua. Poniamo:

)(lim:)( ∫∫ +∞→

+∞

=k

ak

a

dxxfdxxf

Analogamente, se f:(-∞,a]�R continua. Poniamo: )(lim:)( ∫∫ −∞→∞−

=a

kk

a

dxxfdxxf

28

Se f:(-∞,+∞)� R continua. Poniamo:

∫∫∫∫∫∫ +∞→−∞→

+∞

∞−

+∞

∞−

+=+==h

ah

a

kk

a

a

R

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )(lim )(lim)()(:)()(

Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (2)specie (2)Es. Si calcoli: =∫

+∞

dxx1

1 [ ] [ ] +∞=−==+∞→+∞→+∞→ ∫ 22lim 2lim

1lim 1

1

kxdxx k

k

k

k

k

Es. Si calcoli:=∫

+∞

dxx1

1 [ ] [ ] +∞===+∞→+∞→+∞→ ∫ )ln(lim lnlim

1lim 1

1

kxdxx k

k

k

k

k

Es. Si calcoli:=∫

+∞

dxx1

2

1 111

lim1

lim1

lim11

2=

+−=

−=+∞→+∞→+∞→ ∫ kx

dxx k

k

k

k

k

Es. Si calcoli (per n≠1):

29

Es. Si calcoli (per n≠1):

=∫+∞

dxxn

1

1

−−

−=

−=

−

+∞→

−

+∞→+∞→ ∫ nn

k

n

xdx

x

n

k

kn

k

k

nk 1

1

1lim

1lim

1lim

1

1

1

1

>⇔<−

−

<⇔>−∞+=

101 se 1

1

101 se

nnn

nn

=∫+∞

dxxn

1

1

>

−

≤∞+

1 se 1

1

1 se

nn

nPer n=1 vedi es. precedente. Globalmente:

L’integrale converge se la funzione è infinitesima di ordine n>1 altrimenti diverge.

Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (3)specie (3)Es. Andamento grafico

2

1

x

1

30

x

1

Integrale Definito: Integrali impropri di 2Integrale Definito: Integrali impropri di 2 °° specie (4)specie (4)Es. Si calcoli:

=+∫

+∞

∞−

dxx21

1[ ] ==

+∞→−∞→+∞→−∞→ ∫hkhk

h

khk

xdxxf )arctan(limlim )(limlim

[ ] πππ =

−−=−=+∞→−∞→ 22

)arctan()arctan(limlim khhk

31

Integrale Definito: Lunghezza di una curva (1)Integrale Definito: Lunghezza di una curva (1)Consideriamo una funzione y=f(x). Sia f una funzione continua con derivata continua in [a,b]. Vogliamo calcolare la lunghezza della curva rappresentata dal grafico della funzione tra i punti di ascissa a e b.

Per incrementi infinitesimi della variabile x ( da x a x+dx) la variabile y ha un incremento dy che possiamo approssimare con dy=f’(x)dx (differenziale). Allora la lunghezza infinitesima della curva dl può essere scritta attraverso il teorema di Pitagora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22222 )('1)(' xfdxdxxfdxdydxdl +=+=+=

Ne segue: ( )b

32

Ne segue: ( )∫ +=b

a

dxxflunghezza 2)('1

dx

dydl)( dxxf +

)(xf

x dxx +

Integrale Definito: Lunghezza di una curva (2)Integrale Definito: Lunghezza di una curva (2)Es. Lunghezza Circonferenza ( di raggio 1)

La lunghezza del quarto di circonferenza ( di raggio 1) vale:

21)( xxf −=

( ) ∫∫ −+=+=

1

02

21

0

2

11)('1 dx

x

xdxxfl

21)('

x

xxf

−−=

=−

=−

= ∫∫1

02

1

02

1

1

1

1dx

xdx

x

[ ]2

)0()1()( 10

π=−== arcsenarcsenxarcsen

33

2

Es. Lunghezza Arco di Parabola2)( xxf = xxf 2)(' = ( ) ∫∫∫ +=+=+=

2

0

21

0

21

0

2 12

141)('1 dyydxxdxxfl

478943.1~4

)52ln(52

2

)(1

2

12

0

2 ++=

++=

ySettShyy

Integrale Definito: Lunghezza di una curva (3)Integrale Definito: Lunghezza di una curva (3)Es. Lunghezza Catenaria ( curva lungo la quale si dispone una fune pesante omogenea, nel campo di gravità, fissata agli estremi).

)()( xChxf = )()(' xShxf =

==+= ∫∫−−

a

a

a

a

dxxChdxxShl )()(1 2

34

aa eeaShaShaSh −−==−−= )(2)()(

Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)

[ ]∫=b

a

dxxfV 2)(πa b

dx

)(xf

[ ] dxxfdV 2)(π=

35

Es. Volume Cono

h

),( RhP ≡xf(x)retta

h

Ry : ==

hRx

h

Rdxx

h

RV

hh2

0

3

2

2

0

22

3

1

3πππ =

=

= ∫

hRV 2

3

1π=

Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)Integrale Definito: Volumi solidi di rotazione (1)Es. Volume Sfera

R

( ) =

−=

−= ∫∫

RR

sfera dxR

xRdxxRV

0

22

0

22 122 ππ

=

=

dxR

dy

R

xy

1

22)( xRxfy −==

36

[ ] 33

1

0

33

1

0

23

3

4

3

22

3212 RR

yyRdyyR ππππ ==

−=−= ∫

Studio Funzione f1Studio Funzione f1

1)(

2

3

−==

x

xxfy

Fare il grafico qualitativo della funzione e calcolare il valore dell’integrale nel tratto

323 ≤≤ x

( )22

22

)1(

3'

−−=

x

xxy

Asintoti verticale : x=-1 e x=1 Asintoti Obliquo : y=x

( )22

2

)1(

32''

−+=

x

xxy

xx3

∫ ∫ ∫ =−

+=−

dxx

xxdxdx

x

x

11 22

3

cxx +−+= 1ln

2

1

22

2

=−∫

32

3 2

3

1dx

x

x

[ ] 35,52

11ln

2

9)]2ln()11[ln(

2

1

2

3121ln

2

1

2

32

3

2

32

3

2

≅+=−+−=−+

x

x

Studio Funzione g1Studio Funzione g1

1−= xey

Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale nel tratto 0≤x ≤ 1

12'

−=

x

x

e

ey

1)1(2

)2(

4

1''

−−−=

xx

xx

ee

eey Flesso per x=ln(2)

Punto a tangente verticale nell’origine

−= et x 1

∫ − dxex 1

+==

−=

dxt

tdx

t

edt

etx

x

2

1

2

12

∫∫∫ =+

=+

=− dtt

tdt

t

ttdxex

1

2

1

21

2

2

2

cee xx +−−−= )1arctan(212

=+−=+

−=+

−+= ∫ ∫∫ cttdtt

dtdtt

t)arctan(22

1

122

1

112

22

2

Studio Funzione g1Studio Funzione g1

1−= xey

Fare il grafico qualitativo della funzione seguente e calcolare il valore dell’integrale nel tratto 0≤x ≤ 1

=−∫1

01dxex [ ] [ ] =−−−= 1

010 )1arctan(2 12 xx ee

[ ] [ ] 0,78 )1arctan(2 12 11 ≅−−−= ee[ ] [ ] 0,78 )1arctan(2 12 ≅−−−= ee