-
I
I
I i
,. '," .,:.),
-
---------
r-I
77 76 IJltegraie Riemann ilJlproprii. Integrale CL'
paramctri.
~\ . I _ co Obsen" 1 i divergellt~ pelltru 0: :S 1. AllRlogia cu
seria L: ,,10. nu cHe int iimplMoare.
- -" ..,.. ........"--- ---,.... ",--...,- - ... - ~L_. --
-~-- 1..-./ oc:IT,i Defi l1i ~ia. 4 Spu ne7n en -L I (.r) d:z:
este cOllt'erge11t il fll mloa!'e pri1leipa/a
:x: b Cauchy ~ lloti'im l.p . J I (x) dx = lim I I (x ) cIx
dacri limita existri i e jillitfJ..
,
\)
[I _ -00 b- 'Xl_b ._ _./' (AtellUe, in dejiniUa prEeede17to.
erau limi.te i17depelldente!) ____../ "
.----------------------_._--_._
,.~ "" Ob:oelyatie: D2.c:1 I f (x) dx cste comwgenta, atunci
este COln-crgemi!: i In
-C>O
"aloare principaL:! Cauchy. Reciproc, nu.
or "'"
Exemplu: 1= r ,I. dx.~. TX
-C>O
a 00
Studil"m mai illti'li cOI1\'ergen!a illtegralelor r j x "<
d:c ~i rI+I
-
I I. Criterii de cOl%ve~~n~a ~ . ~ Teorem~ 9 (Cdieriui
'comparatiei) Fie I, 9 : [a, b) ,-+ JR , b jillit sau 00,
Iune~ii
. b b local illtegrabile a.i. II/ ~ 9 pe fa, b) . Daca f 9 (x)
dx este C => f I (x ) rL7: este c. '
_ --- -~. _' ._ _ __ _- . - -- ---_.-::.. ' 0 ... _ _ _.- , _ ."
.0 .' , / Defini!ia 10 Spu71ern eli f : [a~ b)'-- JR, b finit sau
00 este ab,~111t1t lt1 l cgm ~illi
b b pe (a ,b) sau ca.r I (x) dx esie absolut canueryentli, daca
.r II (.1')/ d.T e!CIe C.
o 0
Corolarul 11 Da ca I este absolut illtegmbila pe [a, b) =} I
este ill trgmoila improp,iu pe [a, b),
Enunpim criteri i pract ice de com'ei'gen1! penlru integrale
improprii dill fUJlqii cu semn const ant :
...- ...._-... .._... .---, ~.-.-------Teorema 12 Pie I [a ,00)
.... [0, 00) local integmbilii a,i, lim .lJa I (x ) = I $li~- '
:r-~
existe .;i sa fie finit/i, = i) Da ct], a > 1, a/unci .r I
(x) dx este C. / Q
ii) Da co. 0' ::; 1 ~i I :I 0, atunci I I (x ) dx este D. -----
'
00 ~ -- ------....--------------
Teorema 13 Fie f : [a, b) .... [0, 00) local integmbili1, b
si17gulm-ita te pent711 f i a. i. lim Ib- Ilo f (x) = L sli existe
i sa fie finitli.
. z - bb
i) Daca a < 1, .aLILn.ct .r f (x) dx este C o
b
ii ) Da ca a ~ 1 i L i 0, at1l7lci .r I (x) dx este D.
c
Teorema se poate formula i pentru I definit~ pe (a, bJ. . :0
Exemplu: Studiati convergenla integralei I = .r ~t~:r3 = II + h,
11 = '. 0
1 00 r j,!!:X 3, h = I 3lr+I 3, claca ambele sunt convergente.
Prima est e de tip II,o ,,' I"7'I 1 " I I . . . ' . . '
. cealalta de tip 1. . . . . . .. I (x) = 3 ,'-~ 3 >
o.Aplic~m criteriul practic de conwrgenta pentru IJ , singulari
. -. V I,I -' . a-I .
tatea fiiu d In .7: = 0, anume lim l.rla J(Il+ 3 ;3 lim'-!';- =
1. Cum Q < 1 =} 11 x-o+ , I I I-O+ 1+:r3
este CCl!l\ergent A: . Pentru h care cste improprie de tip I,
lim xQ 3'-.1+ j o~3 1, Q > 1 =} h este
~-toOO VI I com'ergenta i deci I este C.
In cazul func\.iilor cu sernn variilbil, are loc urmatorul:
... .., ~.J
Teorema 14 (Criteriul Abel de C0711'ergentll pentru integmlele
imp''Op7'ii) Fie f, 9 ; [a , b) ~ JR, b jinit sau 00, local
integmb~le . Dacli 11f (t )dtlS M, 'Vx > n,
b in,. 9 este descl'esclltollf'e cu lim 9 (x ) = 0, atunci .r I
(x) 9 (x) dx este cOllver
r-bgelltl'z.
o
00 . Excmplu: Fie J = .r sin(x2 )dx . Cu schimbarea de variabila
.(;2 = t =} 2.1:d:r =
1
dt ~ dx = 2~' integrala de\'ine I = ~ .r 00
sJ/ dt daca este C. Folosim criteriul lui 1
Abel cu b = 00, t .!.. sin tare semn \'ari abil i orice
primitiva a s" est e marginita; . DO
9 (t) = ,,~ des(;re~te ~i tinde la 0 pentru t .... 00, Aadar I
S~~( cIt est e C=} I est e 1
C. 9 2 9.~ Integrale ell parailletri CRZU] J) Limit e de
integrare const ante D efinitia 15 Fie f : [a , b! x D .... R, (D C
R mul{ime deschisa) func {ie C(; 11t i7! l1 a,
o FUi) c~ia F(o-) = .r I (x, a ) dx , F : D ..... N se numcte
integm/a CIJ pnram p. t7ul a.
o
P r opriet.ati (Transfer de cont inuita t.c ~i derivabilitate)
Teorema 16 In c07l di ~iile defini{iei, F este cQl1 i1>nuli pe
D. Teorema 17 Dacii fn plus deril:ata *exisUi {i es te func{ie
continua pe [a , bj x D,
b
atull ci F este de7il'aoilii i F' (0) =J f (x , a) dx, 'ia E D.
(Regula lui Leibniz
o dr: dCr7.ro 7e_.~ub integml5.)
2 _Exemplu: F(a-) = Je-O:I"i~:rd.(; . Calculilm F' (0') .
1 f("C,O') = e-OISi~z est e de clasa CI pentru x E [1,2]' 0' E
lR. In plus ,
. . . ' . . 2 ..
11 = ~e-QI sin.(; este continua=} Pestc derin.bili\ i F' (0) = ~
J e-a,r sin :cdx ~ 1
' 2 . O Ie- cos .('Ii + 0' I e- OI cos .rcI.r. = e-20 cos 2 -
e-a cos 1+
1
e- 2a o+ ( e-OI sin xli + Q le- a I sin Xd:") = cos 2 - e- cos]
+ o 'e-2a sin 2 2
- -0: ' 1 + ,2/~ -ox' d F'() _ e- (co52+o sin2)- e- a (msl -i-
o: sl nl )ae Sill 0'. e S111."C X =} (1 - 1+01 .
1
I,1
J{
Jl
I~
~ J '.
Hi
'1
~ , J I
t
. ' I! IJ I
J\
.J
" ,
' ..
1..-, I" 1 I1 I
-
IJltegrale Riemanll improprii. Illtegrale cu pRrametri.so \
'
Cawl II) Li~1it~ge integrare variabile Teorema 18 (Regula
ge71eral6. de del'it'a7'e sub integrala. - Lelbn iz) Fie F (0) =
b(.rQ) j (x, 0) dx, F : D ...,..., JR, D c ]R mul~ime deschisii, a,
b : D -+
a (a) A del'i vabile, A mul~ime des chisii, j ~i ~ co nti11ue pe
A x D. At-unci F esteI b(Q)
I del'ital>i lil pe D ~i F' (0) = J ~dx + b' (0) f (b (a)
,0:) - a' (0') j (a (0) ,a) .
a Id)
- I y2 E xmplu: Fie F (y) = .r sin,,?dx , y > 0 paramet ru .
Afliim F' (y) .
y
Funq ia f (.r , y) = sinxI li este contillua In ansamblul
\'ariabilelor pentnl .r > 0 - 1
. . . ~ ~i ~~ = cos xy este continuli :::} Conform teoremei de
mai sus, F' (y) = J Udx + y
I= y2 ., 1 y2 ,in IU + 2sinli3 _
\fy_ ) J ("2) y 'J ( ) ,. ~ - . 2 = y x=yY ,y - y ,y = cos.1:ydx
+2 . J ~ yy y y \ sin U'l .3 s in i -' O. Obsen 'a tie: Pent ru p ~
I, integrala este de tip I improprie, iar pentru p < 1
de 2.mbele t ipuri cu singularit at ea x = 0,.
1 Teorema 20 Jntrgral(l. impmprie cu pammet1-i .8 (p, q) = Jxp-
1 (1 - X)q-l dx
o ste cotlt'el'gelllh pe11t,-U or-ice p, q > 0,
d
Definit ia 21 Ftmc~ia r : (0. (0) -. R $e n ume~te /ullc(ia
gO.111(1. a lui Euler', im'
,3 : (0. 00) x (0, oc) - R Sf l1ume~t e jU71c{ ia bEta a lui
Euler',
Propri et RIi
l)r(1)= l
00 . . .
lJ D em onst ratie: r (l) = I e-'I dx = _ e-xl~ = 1
o
2) r (p + 1) =pr (p) (formula de H'curent a)
00
D emol1stratie: Folosind formula de integrare prin pihti, r (p +
1) = .r xPe-xdx = o
l -xPe-Il~ + p 00r.xp- 1e-Idx = ..:.. lim :r;Pe- x +pf (P) = pf
(p) ,a x~oo
9,-1 Tll tcgrale Rjemanll improprjj, Integrale cu parametri,
81
3) 'tin E W, r (n + 1) = n!
DCl110nst ril l ia este imcdiaUl. prin induct ie,
-1 ) r (p) r (1 - p) = Si~~);r )' 'tip E (0, 1) (fOl~mula
complemcntelor)
5) /3( p, q) = p(q,p)
1 Demonstrape: Cu 5chirnbarea de variabil111-x = t :::} j3 (p,
q) = I(1 - t )J>-1 tq-1dt
o == ,8 (g,p) .
) , ) f(p)r ; q) 0fj jJ p , g = [" (p +q) ) 'tfp,q > 7) r 0)
= Ji
. I
DE'1ll011str fl (' e: Dill 6) rez uJt aca3( ~,~) = !raW, Dar ~(
~.!) = I J d.r = . . 0 ~ll-x )
1 . . . f 1 (I ) v 7TI . uI ? = arC~ill (2x - 1)1 = 7T :::} r :j
= r= ' ,
a \/ ~- (x-4)- '. 0 . - .
1 .
8) {3 ( , f' liP - 1 d
p , Cj) = 0 ( l+y )p+ q Y
. Delliollst ra!!e: Sch in!barea de \'ariabila Ix = ih II duce y
E (0 ,00) 111 X E (0 , I), l ' 1 _ 1
Diferentii nd , se obtine ,dx = d' ). - ~( i Ixp I (1 x)q-I dx =
r(( pT~dy,l+y 0 0 l-rY J
9.4 Integrale Rielnall11 hnproprii. Integrale eu parall1etri.
Functiile ,3 i r ale lui Euler - Exercitii . rezolvate
1. Sa se st udieze C:Ol1\'ergenja integralelor ,. ~ dx 11 dx "
~\. Joo dx' f= d:'C .a) --' b) --' c) --' d) 1 ~, ~' .0 Jsinx '
.ol-x2 ' 01+x4'IIi' \'.
1 " 1 dx I. ax
e) cos -: ;;;: ; f) J r---'7 ;[
. 0 ,1 V X 0 xQ
Rezolvare: a) Tntegrala este de tipul II, lim ..; . = 1 pentru a
= j , a.;;adar x-o Sill X ,. x>o
eSlE' ~lol1\;l:genUt; ; '1 d ' . '. ( . 1 ~ ) IX=l . . . b} ~ =
lim ~= -~ Iini In ~ = 00, 3adar esre &i'er
,/ 0 1 - :1: I~ l . 0 1 - X l~l x.+ 1 x=O1< 1 10 1 + x
cOll\'ergenta .
00 (ll: . dx;'2 d) I!ltegrala este improprie de ambclc tipuri 1=
[ ~ = ,,j 2 _
, 1 x\ x- I . I X x 1
-
v' ....''-b. "', ... ,UCW b, atunci F(:r;) = f(t)(:r;-t)dt i eu
regula de derivare
, J a obrinem F' (x) = J: f (t) dt = const. J
'Jba.f(t)(t-x)dt iF'(x) = -./'bbf(t)dt =. II) Daca x < a,
atunci F(x) = . r IC'onst. '
III) Dad x E [a, bJ, atunei F (x) = l:.f (t)(x - t) dt + I: f
(t) (t - :r;) clt. ICondi!iile de deri"abilitate ale lui F SlJnt
fndeplinite I -~
r(x) = l:f(t)dt + f(x) (x - .1:)-.1: f(t)dt- f(T) . (:r -x) =I:
f(t)dt, ~ b ' . f(t)dt.
./ I
b) F' (x) = - x) - g~ (t + J:, t - :r)Jdt +.I:: [:~ (t + x,
t
b,.?((b+1)x,(b-l)x) -or,.;((a+l)x,(a-l),T) .;j c) F' (x) = !C~S%
/l=t2eI ,I)--r1 elt -:- e,,"sinx Sill:r _ eX cos x cos x. ,
~ " Sln I . D I ,,~ I I
Jj
OO dx t ' I ~ - .
+ ix8t' =1..1,1 +J,.,. Integrala I este convergent.a dadil1 l h
sum COllver2xx-l ~ ,
'-, (x - 1)"' , . (x - It 1 gente, Pentru II avem hm ~ = hm
JXT=1 = lim .JX+l = ~ daca.
x-I xvx - 1 x-I X x'1 - 1 I-I X X + 1 %>1 r>1 x>1
~-o = ~ < 1. Pentru h avem lim ~ = lim ~ = 1 dad! a = 2 >
l. , x_oo x x ..,. 1 x-oo x-I ARdar 1 este cOlwergelltlL '
1 1 ' D /1 1/. b'le) Functia G. cos - are semn "ana I. ar G.
(;05- 1 Vx x ' Vx :r
1 ~ este COI1\'ergentll: (apli'cAnd criteriul practic cu (}' ./
0 V x ' comparaIiei dedueem ca integrala este convergentiL
(1 - x)" '. ' a-1' _1 2 _1f) lim ~ = lim (1 - x) , ~(1 +x) 3 (1
+ x ) J = " x ,-1 1 - x4 x- I ' , , xo (1 + x 2 ) 2
. r: arctgx Ji -I). eu substltutia arctgx = t, avem : 3 d.?: = ,
dt = o (1 +x2 )2 0 VI + tg2 t j.~ !: J~ ,= t cos t dt = = t sin tl6
- sin t dt = !1T - 1.
o ' 0 '. arcsi11 x .. )/ ' . . al ; d Ib) Functla ~
x 2 este pozltn'd SI Illtegr a este Improprie . e tip I
vI - ' , " arcsin x ~ ' . 11 singularitat., lim (1 ~ x) .;r-=I2
este finita pentru u. ' = - i
x--+l1 'x . . . ' . . . .
', arCSlll:r; 7T' d '.. alx~:' /1 + x ' = 2/2' aH ar Illteg.r
a.COl1\erge, '/.1 aresinx 1:1/2 '7f2 ' ~d.T= tdt=-.2 . 0 \ 1 - x .
0' 8 , /'2 ' dx
c) / ' .' IX 3x2-2X-l
I 't L"1, smgu an ate. 111llta
'J2 = J dx
IX (3x+l)(x-l) I'lin ' (x - 1t
x-I+ xJ(3x + 1) (x - 1)
2ft1 dx , .2+cos:r' 0 ,
1 (1s: G.' 'f:r E 0, I" iar VI
= i), deei eu critcriu'l 1 1 ' v; pentru a = - < 1,v 4 3
"
~,
2 j .
C" u arcsIII x = t ayem
cu x =
ob!inem
'
este improprie de tip II cu:r; =
fi' d' fi . ~ I ' 1III lllta pentru a == - < 1,2
-
859,4 IJltegrale Riemallll iwproprii. IlltegraJe cu plI.rame.tri
, Integrale RiemanJl improprii. Integralc ell paraJlletri.84 '
-....
I ' [ I _ j'l Jl ' ~ 4. Folosind detj\'arl'!~ fn raport cu
parametrul, calculai-i c) VX - .r 2d,r = x~ (1 - x)~I dx = X~ ~;, I
(1- ;T)~-l Ix = (3 (~,~) = '\1I , 0 ,00
'() 111" In (1 + x cos t) d I' 1 _ r (~) r (~) _ r 2 (1 + !) _ i
r2 (!) _ ~ I x = . t, x < 1. - r (3) - I 2! - 2 - 8 '~ o cos
t
x 2 2 va2 2d) I\ot am = a2 1J, deci x = aJU, d.L = &u du ,
rezuha J: x - :r clx = In(l+xcost) , -xsint ,
Rezolvare Deoarece lim = I11n ( ) ( , ) = x, funct1a 1t~ ~ cos t
1- ~ 1 +x cos t - Sll1 t 41 a3 '/L~ ,ad~ = D / 1I! (I _ u) 4dll
care a fast calculaUI. 18. pllllctul c), In (1 + x cos t) I'" . 11"
Ob': , 0 2"Ill. 2 ,0 x, t = se poate pre ungl pnn contmUltate in t
= 2' tll1em /f ( ) P 1 cos t ' ''X) fCC x-! j'X; :r' d,l' . f :
(-1, 1) x [0 ,71'J -t R continua, cu deri\'ata pariiaia fn raport
cu parametrul x e) r::: I ) = --eLL care este fUl)l:t 1a (3(p, q) =
, 'eh.
,j 0 0:qli-X " 0 1 +x ' 0 (I+x)PTqI' continua, ~adar I (x) este
derivabila. , " 1().1(1)
To cos t t ~ -ad'll p-1 = _! si p , () = 1 iar intcarala este
egala eu at' .:1 1) = J' 3 = I' (x) = ( ) dt unde facem sehimbarea
de yariabila tg - = 11, 'i' - 3' "J' 0 , ' 3' 3 r( 1) , ' [, 0 1 +
x cos t cos t 2. 1T ?:r " ",:
/' 2cu ' i = -'-:r = -~, unde am foiosit' formula
compleme:1te!or. dt = 1 + u2 ; i obiinem , 5111 ~ V 3
f) Folosill1 schil1lbarea de \'ariilbil1i X4 = 1 _ t care duce t
E (0,1) in .f E (0, (0), ! ""
t
, 2 00 du 2 I- 'L 1T 3 I ,1: = - ' - = ilrctatL --I =-- df
(l-t).2 1
-I () 1 - x l u 2 + ~ .Jf=X1 0 ~Io VI - x ' Obr illem 4.r'c1.r =
'J' dcci elx = 2 -- dt i illt(;grala de\'ille (1 - it 4 (1 - t) , t
j ' l ' 2 3 3 [I 3 3 ' l+x (1- t) _ , _1_'1 (1 - t)4 C'dt = 1 C' (1
- t)4 dt, LWll11 P -1 = _J, qdeoarece -- > 0 pelltru Ixl < 1.
r- 1 - x .- 0 '~\l.-I) , 4, 0 4
Rezulta I (x) = ;0 arcsin x + C. Constanta C se determina
calcuhlnd direct 3 ' 1 7 , ' 1(3(17)_l r (t)1(1)_lr(J)r( 3)_ '
I=4,decJp=4,q=4~lobt11lem4 4'4 -4 1(2) -4 4' 1+ 4 1(0) = 0, Astfel
I (x) = ;r arcsin x ,
5, Calcuiali folosind functii Euler:
.3_r'l) , r ~ _~.-:... = 3V2 1TI 16 t4 (.j) - 16sinE 16'1 4
a) loo e-x2 dx; b) loo xTlle-:i:" dx, In, nEW; c) 10 J'x - x
2dx; 2 t dt ' 1 p,-t ,g) eu schimbarea x = ~, 2xdx = 2' eLL = . 'J
--elt, lllte
.- ! , 1 - t (1 - t) 2 (1 - t)- t I t {ex> dx {o.o dx ' (OO
ijIdx ~ , JI ( t ) i c4 /1 I 4'
u 2 2 grala deyine ~ -. - (1 - t)3 3 dt = ~ C3 (1 - t)3 (It =
d)./o ;;2Ja - x dx;e) Jo .yI(1 + x); f)./o (1 +:r4)2; g) J
(1+x2)1;o - 0 1- t (1 - t)'i . 0 : ~" I
i' l dx 1~ = !8 (t. 7.) = r (D r (1) = r (~) jr (!) = 1r (~) .
!r (1) = ~~ = 27r h) .yr=I7;i) IV',q) = sinP-Ixcosq-lxdx,p,q >
0; 2 3'3 , 2r(3) 4 33 3 3 9sini 9V3' .0 I-x 0 , 7 I 1 6 h) Cu
substitutia x = t, x = t7, dx = '7 C '7 dt,"T b ' , \
I elx 1JI 6 _! 1 (1 6) 1 1T ' 1 j) J(p , q) =.i (x-a)P(b-x)qdx,
b> a, p,q >-1. 7 _ = - C'7 (1 - t) 7 dt = -(3 -, - = -~. \[ 0
~ 7 0 ' , 7 ' 7 7 ' 7 SJ11 '1
.. . . . . .
i) y == sin2 .T, x E [o,~l =} y E[O,I], dy = 2sinxcos,rcl.1,
sinx = yly, cosx = , xRezolvare: a) eu schimbarca X2 ' = t obtinem
J~ e- ' dx= J~&te-idt= '
J1=Yi integrrtla deyint" I(p, q) = ! .f>~-1 (1 - y)~-I dy =
~~ (~, ~) , A!iad~r x2u
= 1j= t-!e- l dt = ~r (~) = 4, ~adar Joo e- dx = 4 (integrala
Euler, 0 " 0 '
. l r~ ,_ ' 1PoiS30n). , smP I x cosq - 1 xdi = - 8 ( 9..) (9.1)
,0 " 2' 2' ,2 ' b) Facem snbsti (utia xn ~ y pentru a pune In
evidenta funqia r. Avem x :;;:: y~, J
dx = ~y~~ldy, ~i integrala de\'ine */~ y!!!;Lle-Ydy =~r (m;l) ,
!ii est.e cl)!l\'ergenLA pentru orice p, q > O. \
l
-
~ ~~ "'O"-~ ._ ............... ..........r .....t'. .... ..r"'
.. "' ....b~w .... ........ y ........................ .
\ I ' , .
. j) Transforl1laria ' cf,;'~ duce intervalul (a, b) tn (0,00)
este t = ~~;, dt = (bb~~2dx . .' j' !x> (b-a)PtP(b-a)q 1
(b-a)2
SeobtmeJ(p, q)= 0 (1+t)P (l+t)qb-a l-i-t . dt=
= (b - a)p+q+1 j'::.o tPdt 2 = (b - a)p+q+l {3 (p + 1 q + 1)
.
o (1 + t)P+q+ '
9.5 Exercitii propuse
1. Sa se studieze con\'ergen1a i sa se cal~uleze: a)jl In xdx;
b) joo'e-ax sin bId:r, . . o. 0
a :> 0; fn parti clilar,j~e-=dx,a >0; e)j~J~~~dX ;
d)J~xJ~x2d.T. ; 1 ... ' r ' 2 dx dx dx)j'::.o . )j
e). / oXln2x i f . 0 (x+1)/lx2-11;g 02x3-3x2' R:a) Integrare
prin parti;l = -1 ;b) 2+bb2 ;c) Facem substitu! ia t = J.T: + 1
a x-I . ,;3+ 1
i ob!inem J3 + In J3 -1 .d) 1 = 1 -1)12
e) Integrala este convergent~ i egala eu 11:2 (substitu1ia Inx =
t). f) Este de tip I si II ; se pot cakula eu substitutii
trigonometrice: pe [0, I) , x = sint ; pe (1, 00) x = si ~ 1;1 = 2;
g) di"ergent~ eu singularitate In x = O.
2. Sa se st udieze convergent a i sa se ealculeze: )jl dx b) j2
1 dR 1r 3 - xa _ , :2' - arCSIn~; x; R:O x 2 x 2o v'4 - 3x - "0
v'2x - .
c) j.a :, 2 2dx, b > a> OiR: -barctg%
f. 0 (b2 - .1:2 ) a - X yO'-a'
O':> - dx JOO dx ;'1x 2dx
d) -3--; R: ~; e) . 3/2;R:l; f) ~; R: ~
x 2o x -t 1 0 (1 + x 2) 0 1 1 2 I ' (1- fi) d .R' _ 6'1- (3t~ _
121.7 3t10 )/1g ) 3r.::: . x, . x - t, - 2 7 + 5
./ 0 y :r 0 3. Sa se st.udieze con.vergenta integralelor si cea
in valoare principala: j3(X- 2)dX . .-' a) . 1 x2 -4I -1- 3' R:
Integralae d)\'ergenta,dar v .p.=O; . _ .
. b)./~oo :2~~dx . R:lntegraia e divergentk\, dar in v.p. e
com'ergcnta si ('gala eli ~. _ _
4. Fie -J -r( -'- 1) ..:.. 13 ... (2 1l -J) r.::; Jl 7.
Sase3rateca,pentlunEl'l , n , 2 - 2 " y iT 8. Sa se reduca la
integrale Euler i sa se caleuleze : _ d
00-loX x.2d:t 1 dx. ' i'::O 211 _ ax2 _a) _ ~: b) --4; c) :1: e
d.?: , a> O,n E~; ;.0 1+.1: 0 l+x .0 .~
1 00 m 11n 1 dx 1 pd:1: j 'oo x - dxdx - I : ,n, Tn E ~ ; f ):
g) ;d) ~;e)
.1n0 1 - x" .0 n 1 - xm 0 (1 + .T) - 0 1 + I " I
h) (~sin6 xeos4 xdx j i) r~ tgO:xdx,JaJ < Ij) r~ sin2n x d:r
, HE W . J I./0 Jo Jo 1
7R : a) Facem sehimbarea de variabila x == _t_ ~i ob!inem 1 - t
;,) 1 j .l ~C4/ 7 (1 _t)-3/ 7dt ~ ~;
. 0 7 7sin- I 7
- - . - 13 ... (2n-1) _. tc) eu transform area a:r2 = y obtinem
1 ft pt. n2 1 i ! Jr pt.2!lan+~ a 11 = 1; .
e) xm = t ==> 1 = 1..{3 (1.. 1 + 1) .
711 111' n II g) xn = 1:' ==> I;:::; ~f3 (ill, 1 ~ ill) = ."
!J1'i ' COl1Yergenta pentru 0 < ill < 1.
. .1 n 11 n Sill -,-, "
_. i). tn formula (9.1) luam p - 1 = a, q - 1= :-0: ~i obt inem
i iTa;t . . . . . . ' . _ - cos 2 :./.; l . . ) is-( '11) -,-~1.3~
... . (2n-l) J 2 n.,.. 2' 2 - I . + 1 .
. n . 2" ..I II )1 } L:
\ / 1 . ' !
