I

I

I i

,. '," .,:.),

---------

r-I

77 76 IJltegraie Riemann ilJlproprii. Integrale CL' paramctri.

~\ . I _ co Obsen" 1 i divergellt~ pelltru 0: :S 1. AllRlogia cu seria L: ,,10. nu cHe int iimplMoare.

- -" ..,.. ........"--- ---,.... ",--...,- - ... - ~L_. --

-~-- 1..-./ oc:IT,i Defi l1i ~ia. 4 Spu ne7n en -L I (.r) d:z: este cOllt'erge11t il fll mloa!'e pri1leipa/a

:x: b Cauchy ~ lloti'im l.p . J I (x) dx = lim I I (x ) cIx dacri limita existri i e jillitfJ..

,

\)

[I _ -00 b- 'Xl_b ._ _./' (AtellUe, in dejiniUa prEeede17to. erau limi.te i17depelldente!) ____../ " .----------------------_._--_._

,.~ "" Ob:oelyatie: D2.c:1 I f (x) dx cste comwgenta, atunci este COln-crgemi!: i In

-C>O

"aloare principaL:! Cauchy. Reciproc, nu.

or "'"

Exemplu: 1= r ,I. dx.~. TX

-C>O

a 00

Studil"m mai illti'li cOI1\'ergen!a illtegralelor r j x "< d:c ~i rI+I

I I. Criterii de cOl%ve~~n~a ~ . ~ Teorem~ 9 (Cdieriui 'comparatiei) Fie I, 9 : [a, b) ,-+ JR , b jillit sau 00, Iune~ii

. b b local illtegrabile a.i. II/ ~ 9 pe fa, b) . Daca f 9 (x) dx este C => f I (x ) rL7: este c. '

_ --- -~. _' ._ _ __ _- . - -- ---_.-::.. ' 0 ... _ _ _.- , _ ." .0 .' , / Defini!ia 10 Spu71ern eli f : [a~ b)'-- JR, b finit sau 00 este ab,~111t1t lt1 l cgm ~illi

b b pe (a ,b) sau ca.r I (x) dx esie absolut canueryentli, daca .r II (.1')/ d.T e!CIe C.

o 0

Corolarul 11 Da ca I este absolut illtegmbila pe [a, b) =} I este ill trgmoila improp,iu pe [a, b),

Enunpim criteri i pract ice de com'ei'gen1! penlru integrale improprii dill fUJlqii cu semn const ant :

...- ...._-... .._... .---, ~.-.-------Teorema 12 Pie I [a ,00) .... [0, 00) local integmbilii a,i, lim .lJa I (x ) = I $li~- '

:r-~

existe .;i sa fie finit/i, = i) Da ct], a > 1, a/unci .r I (x) dx este C. / Q

ii) Da co. 0' ::; 1 ~i I :I 0, atunci I I (x ) dx este D. ----- '

00 ~ -- ------....--------------

Teorema 13 Fie f : [a, b) .... [0, 00) local integmbili1, b si17gulm-ita te pent711 f i a. i. lim Ib- Ilo f (x) = L sli existe i sa fie finitli.

. z - bb

i) Daca a < 1, .aLILn.ct .r f (x) dx este C o

b

ii ) Da ca a ~ 1 i L i 0, at1l7lci .r I (x) dx este D.

c

Teorema se poate formula i pentru I definit~ pe (a, bJ. . :0

Exemplu: Studiati convergenla integralei I = .r ~t~:r3 = II + h, 11 = '. 0

1 00 r j,!!:X 3, h = I 3lr+I 3, claca ambele sunt convergente. Prima est e de tip II,o ,,' I"7'I 1 " I I . . . ' . . '

. cealalta de tip 1. . . . . . .. I (x) = 3 ,'-~ 3 > o.Aplic~m criteriul practic de conwrgenta pentru IJ , singulari

. -. V I,I -' . a-I .

tatea fiiu d In .7: = 0, anume lim l.rla J(Il+ 3 ;3 lim'-!';- = 1. Cum Q < 1 =} 11 x-o+ , I I I-O+ 1+:r3

este CCl!l\ergent A: . Pentru h care cste improprie de tip I, lim xQ 3'-.1+ j o~3 1, Q > 1 =} h este

~-toOO VI I com'ergenta i deci I este C.

In cazul func\.iilor cu sernn variilbil, are loc urmatorul:

... .., ~.J

Teorema 14 (Criteriul Abel de C0711'ergentll pentru integmlele imp''Op7'ii) Fie f, 9 ; [a , b) ~ JR, b jinit sau 00, local integmb~le . Dacli 11f (t )dtlS M, 'Vx > n,

b in,. 9 este descl'esclltollf'e cu lim 9 (x ) = 0, atunci .r I (x) 9 (x) dx este cOllver

r-bgelltl'z.

o

00 . Excmplu: Fie J = .r sin(x2 )dx . Cu schimbarea de variabila .(;2 = t =} 2.1:d:r =

1

dt ~ dx = 2~' integrala de\'ine I = ~ .r 00

sJ/ dt daca este C. Folosim criteriul lui 1

Abel cu b = 00, t .!.. sin tare semn \'ari abil i orice primitiva a s" est e marginita; . DO

9 (t) = ,,~ des(;re~te ~i tinde la 0 pentru t .... 00, Aadar I S~~( cIt est e C=} I est e 1

C. 9 2 9.~ Integrale ell parailletri CRZU] J) Limit e de integrare const ante D efinitia 15 Fie f : [a , b! x D .... R, (D C R mul{ime deschisa) func {ie C(; 11t i7! l1 a,

o FUi) c~ia F(o-) = .r I (x, a ) dx , F : D ..... N se numcte integm/a CIJ pnram p. t7ul a.

o

P r opriet.ati (Transfer de cont inuita t.c ~i derivabilitate) Teorema 16 In c07l di ~iile defini{iei, F este cQl1 i1>nuli pe D. Teorema 17 Dacii fn plus deril:ata *exisUi {i es te func{ie continua pe [a , bj x D,

b

atull ci F este de7il'aoilii i F' (0) =J f (x , a) dx, 'ia E D. (Regula lui Leibniz

o dr: dCr7.ro 7e_.~ub integml5.)

2 _Exemplu: F(a-) = Je-O:I"i~:rd.(; . Calculilm F' (0') .

1 f("C,O') = e-OISi~z est e de clasa CI pentru x E [1,2]' 0' E lR. In plus ,

. . . ' . . 2 ..

11 = ~e-QI sin.(; este continua=} Pestc derin.bili\ i F' (0) = ~ J e-a,r sin :cdx ~ 1

' 2 . O Ie- cos .('Ii + 0' I e- OI cos .rcI.r. = e-20 cos 2 - e-a cos 1+

1

e- 2a o+ ( e-OI sin xli + Q le- a I sin Xd:") = cos 2 - e- cos] + o 'e-2a sin 2 2

- -0: ' 1 + ,2/~ -ox' d F'() _ e- (co52+o sin2)- e- a (msl -i- o: sl nl )ae Sill 0'. e S111."C X =} (1 - 1+01 .

1

I,1

J{

Jl

I~

~ J '.

Hi

'1

~ , J I

t

. ' I! IJ I

J\

.J

" ,

' ..

1..-, I" 1 I1 I

IJltegrale Riemanll improprii. Illtegrale cu pRrametri.so \ '

Cawl II) Li~1it~ge integrare variabile Teorema 18 (Regula ge71eral6. de del'it'a7'e sub integrala. - Lelbn iz) Fie F (0) = b(.rQ) j (x, 0) dx, F : D ...,..., JR, D c ]R mul~ime deschisii, a, b : D -+

a (a) A del'i vabile, A mul~ime des chisii, j ~i ~ co nti11ue pe A x D. At-unci F esteI b(Q)

I del'ital>i lil pe D ~i F' (0) = J ~dx + b' (0) f (b (a) ,0:) - a' (0') j (a (0) ,a) .

a Id)

- I y2 E xmplu: Fie F (y) = .r sin,,?dx , y > 0 paramet ru . Afliim F' (y) .

y

Funq ia f (.r , y) = sinxI li este contillua In ansamblul \'ariabilelor pentnl .r > 0 - 1

. . . ~ ~i ~~ = cos xy este continuli :::} Conform teoremei de mai sus, F' (y) = J Udx + y

I= y2 ., 1 y2 ,in IU + 2sinli3 _

\fy_ ) J ("2) y 'J ( ) ,. ~ - . 2 = y x=yY ,y - y ,y = cos.1:ydx +2 . J ~ yy y y \ sin U'l .3 s in i -' O. Obsen 'a tie: Pent ru p ~ I, integrala este de tip I improprie, iar pentru p < 1

de 2.mbele t ipuri cu singularit at ea x = 0,.

1 Teorema 20 Jntrgral(l. impmprie cu pammet1-i .8 (p, q) = Jxp- 1 (1 - X)q-l dx

o ste cotlt'el'gelllh pe11t,-U or-ice p, q > 0,

d

Definit ia 21 Ftmc~ia r : (0. (0) -. R $e n ume~te /ullc(ia gO.111(1. a lui Euler', im'

,3 : (0. 00) x (0, oc) - R Sf l1ume~t e jU71c{ ia bEta a lui Euler',

Propri et RIi

l)r(1)= l

00 . . .

lJ D em onst ratie: r (l) = I e-'I dx = _ e-xl~ = 1

o

2) r (p + 1) =pr (p) (formula de H'curent a)

00

D emol1stratie: Folosind formula de integrare prin pihti, r (p + 1) = .r xPe-xdx = o

l -xPe-Il~ + p 00r.xp- 1e-Idx = ..:.. lim :r;Pe- x +pf (P) = pf (p) ,a x~oo

9,-1 Tll tcgrale Rjemanll improprjj, Integrale cu parametri, 81

3) 'tin E W, r (n + 1) = n!

DCl110nst ril l ia este imcdiaUl. prin induct ie,

-1 ) r (p) r (1 - p) = Si~~);r )' 'tip E (0, 1) (fOl~mula complemcntelor)

5) /3( p, q) = p(q,p)

1 Demonstrape: Cu 5chirnbarea de variabil111-x = t :::} j3 (p, q) = I(1 - t )J>-1 tq-1dt

o == ,8 (g,p) .

) , ) f(p)r ; q) 0fj jJ p , g = [" (p +q) ) 'tfp,q > 7) r 0) = Ji

. I

DE'1ll011str fl (' e: Dill 6) rez uJt aca3( ~,~) = !raW, Dar ~( ~.!) = I J d.r = . . 0 ~ll-x )

1 . . . f 1 (I ) v 7TI . uI ? = arC~ill (2x - 1)1 = 7T :::} r :j = r= ' ,

a \/ ~- (x-4)- '. 0 . - .

1 .

8) {3 ( , f' liP - 1 d

p , Cj) = 0 ( l+y )p+ q Y

. Delliollst ra!!e: Sch in!barea de \'ariabila Ix = ih II duce y E (0 ,00) 111 X E (0 , I), l ' 1 _ 1

Diferentii nd , se obtine ,dx = d' ). - ~( i Ixp I (1 x)q-I dx = r(( pT~dy,l+y 0 0 l-rY J

9.4 Integrale Rielnall11 hnproprii. Integrale eu parall1etri. Functiile ,3 i r ale lui Euler - Exercitii . rezolvate

1. Sa se st udieze C:Ol1\'ergenja integralelor ,. ~ dx 11 dx " ~\. Joo dx' f= d:'C .a) --' b) --' c) --' d) 1 ~, ~' .0 Jsinx ' .ol-x2 ' 01+x4'IIi' \'.

1 " 1 dx I. ax

e) cos -: ;;;: ; f) J r---'7 ;[

. 0 ,1 V X 0 xQ

Rezolvare: a) Tntegrala este de tipul II, lim ..; . = 1 pentru a = j , a.;;adar x-o Sill X ,. x>o

eSlE' ~lol1\;l:genUt; ; '1 d ' . '. ( . 1 ~ ) IX=l . . . b} ~ = lim ~= -~ Iini In ~ = 00, 3adar esre &i'er

,/ 0 1 - :1: I~ l . 0 1 - X l~l x.+ 1 x=O1< 1 10 1 + x

cOll\'ergenta .

00 (ll: . dx;'2 d) I!ltegrala este improprie de ambclc tipuri 1= [ ~ = ,,j 2 _

, 1 x\ x- I . I X x 1

v' ....''-b. "', ... ,UCW b, atunci F(:r;) = f(t)(:r;-t)dt i eu regula de derivare

, J a obrinem F' (x) = J: f (t) dt = const. J

'Jba.f(t)(t-x)dt iF'(x) = -./'bbf(t)dt =. II) Daca x < a, atunci F(x) = . r IC'onst. '

III) Dad x E [a, bJ, atunei F (x) = l:.f (t)(x - t) dt + I: f (t) (t - :r;) clt. ICondi!iile de deri"abilitate ale lui F SlJnt fndeplinite I -~

r(x) = l:f(t)dt + f(x) (x - .1:)-.1: f(t)dt- f(T) . (:r -x) =I: f(t)dt, ~ b ' . f(t)dt.

./ I

b) F' (x) = - x) - g~ (t + J:, t - :r)Jdt +.I:: [:~ (t + x, t

b,.?((b+1)x,(b-l)x) -or,.;((a+l)x,(a-l),T) .;j c) F' (x) = !C~S% /l=t2eI ,I)--r1 elt -:- e,,"sinx Sill:r _ eX cos x cos x. ,

~ " Sln I . D I ,,~ I I

Jj

OO dx t ' I ~ - .

+ ix8t' =1..1,1 +J,.,. Integrala I este convergent.a dadil1 l h sum COllver2xx-l ~ ,

'-, (x - 1)"' , . (x - It 1 gente, Pentru II avem hm ~ = hm JXT=1 = lim .JX+l = ~ daca.

x-I xvx - 1 x-I X x'1 - 1 I-I X X + 1 %>1 r>1 x>1

~-o = ~ < 1. Pentru h avem lim ~ = lim ~ = 1 dad! a = 2 > l. , x_oo x x ..,. 1 x-oo x-I ARdar 1 este cOlwergelltlL '

1 1 ' D /1 1/. b'le) Functia G. cos - are semn "ana I. ar G. (;05- 1 Vx x ' Vx :r

1 ~ este COI1\'ergentll: (apli'cAnd criteriul practic cu (}' ./ 0 V x ' comparaIiei dedueem ca integrala este convergentiL

(1 - x)" '. ' a-1' _1 2 _1f) lim ~ = lim (1 - x) , ~(1 +x) 3 (1 + x ) J = " x ,-1 1 - x4 x- I ' , , xo (1 + x 2 ) 2

. r: arctgx Ji -I). eu substltutia arctgx = t, avem : 3 d.?: = , dt = o (1 +x2 )2 0 VI + tg2 t j.~ !: J~ ,= t cos t dt = = t sin tl6 - sin t dt = !1T - 1.

o ' 0 '. arcsi11 x .. )/ ' . . al ; d Ib) Functla ~

x 2 este pozltn'd SI Illtegr a este Improprie . e tip I

vI - ' , " arcsin x ~ ' . 11 singularitat., lim (1 ~ x) .;r-=I2 este finita pentru u. ' = - i

x--+l1 'x . . . ' . . . .

', arCSlll:r; 7T' d '.. alx~:' /1 + x ' = 2/2' aH ar Illteg.r a.COl1\erge, '/.1 aresinx 1:1/2 '7f2 ' ~d.T= tdt=-.2 . 0 \ 1 - x . 0' 8 , /'2 ' dx

c) / ' .' IX 3x2-2X-l

I 't L"1, smgu an ate. 111llta

'J2 = J dx

IX (3x+l)(x-l) I'lin ' (x - 1t

x-I+ xJ(3x + 1) (x - 1)

2ft1 dx , .2+cos:r' 0 ,

1 (1s: G.' 'f:r E 0, I" iar VI

= i), deei eu critcriu'l 1 1 ' v; pentru a = - < 1,v 4 3

"

~,

2 j .

C" u arcsIII x = t ayem

cu x =

ob!inem

'

este improprie de tip II cu:r; =

fi' d' fi . ~ I ' 1III lllta pentru a == - < 1,2

859,4 IJltegrale Riemallll iwproprii. IlltegraJe cu plI.rame.tri , Integrale RiemanJl improprii. Integralc ell paraJlletri.84 ' -....

I ' [ I _ j'l Jl ' ~ 4. Folosind detj\'arl'!~ fn raport cu parametrul, calculai-i c) VX - .r 2d,r = x~ (1 - x)~I dx = X~ ~;, I (1- ;T)~-l Ix = (3 (~,~) = '\1I , 0 ,00

'() 111" In (1 + x cos t) d I' 1 _ r (~) r (~) _ r 2 (1 + !) _ i r2 (!) _ ~ I x = . t, x < 1. - r (3) - I 2! - 2 - 8 '~ o cos t

x 2 2 va2 2d) I\ot am = a2 1J, deci x = aJU, d.L = &u du , rezuha J: x - :r clx = In(l+xcost) , -xsint ,

Rezolvare Deoarece lim = I11n ( ) ( , ) = x, funct1a 1t~ ~ cos t 1- ~ 1 +x cos t - Sll1 t 41 a3 '/L~ ,ad~ = D / 1I! (I _ u) 4dll care a fast calculaUI. 18. pllllctul c), In (1 + x cos t) I'" . 11" Ob': , 0 2"Ill. 2 ,0 x, t = se poate pre ungl pnn contmUltate in t = 2' tll1em /f ( ) P 1 cos t ' ''X) fCC x-! j'X; :r' d,l' . f : (-1, 1) x [0 ,71'J -t R continua, cu deri\'ata pariiaia fn raport cu parametrul x e) r::: I ) = --eLL care este fUl)l:t 1a (3(p, q) = , 'eh.

,j 0 0:qli-X " 0 1 +x ' 0 (I+x)PTqI' continua, ~adar I (x) este derivabila. , " 1().1(1)

To cos t t ~ -ad'll p-1 = _! si p , () = 1 iar intcarala este egala eu at' .:1 1) = J' 3 = I' (x) = ( ) dt unde facem sehimbarea de yariabila tg - = 11, 'i' - 3' "J' 0 , ' 3' 3 r( 1) , ' [, 0 1 + x cos t cos t 2. 1T ?:r " ",:

/' 2cu ' i = -'-:r = -~, unde am foiosit' formula compleme:1te!or. dt = 1 + u2 ; i obiinem , 5111 ~ V 3

f) Folosill1 schil1lbarea de \'ariilbil1i X4 = 1 _ t care duce t E (0,1) in .f E (0, (0), ! ""

t

, 2 00 du 2 I- 'L 1T 3 I ,1: = - ' - = ilrctatL --I =-- df (l-t).2 1

-I () 1 - x l u 2 + ~ .Jf=X1 0 ~Io VI - x ' Obr illem 4.r'c1.r = 'J' dcci elx = 2 -- dt i illt(;grala de\'ille (1 - it 4 (1 - t) , t j ' l ' 2 3 3 [I 3 3 ' l+x (1- t) _ , _1_'1 (1 - t)4 C'dt = 1 C' (1 - t)4 dt, LWll11 P -1 = _J, qdeoarece -- > 0 pelltru Ixl < 1. r- 1 - x .- 0 '~\l.-I) , 4, 0 4

Rezulta I (x) = ;0 arcsin x + C. Constanta C se determina calcuhlnd direct 3 ' 1 7 , ' 1(3(17)_l r (t)1(1)_lr(J)r( 3)_ ' I=4,decJp=4,q=4~lobt11lem4 4'4 -4 1(2) -4 4' 1+ 4 1(0) = 0, Astfel I (x) = ;r arcsin x ,

5, Calcuiali folosind functii Euler:

.3_r'l) , r ~ _~.-:... = 3V2 1TI 16 t4 (.j) - 16sinE 16'1 4

a) loo e-x2 dx; b) loo xTlle-:i:" dx, In, nEW; c) 10 J'x - x 2dx; 2 t dt ' 1 p,-t ,g) eu schimbarea x = ~, 2xdx = 2' eLL = . 'J --elt, lllte

.- ! , 1 - t (1 - t) 2 (1 - t)- t I t {ex> dx {o.o dx ' (OO ijIdx ~ , JI ( t ) i c4 /1 I 4'

u 2 2 grala deyine ~ -. - (1 - t)3 3 dt = ~ C3 (1 - t)3 (It = d)./o ;;2Ja - x dx;e) Jo .yI(1 + x); f)./o (1 +:r4)2; g) J (1+x2)1;o - 0 1- t (1 - t)'i . 0 : ~" I

i' l dx 1~ = !8 (t. 7.) = r (D r (1) = r (~) jr (!) = 1r (~) . !r (1) = ~~ = 27r h) .yr=I7;i) IV',q) = sinP-Ixcosq-lxdx,p,q > 0; 2 3'3 , 2r(3) 4 33 3 3 9sini 9V3' .0 I-x 0 , 7 I 1 6 h) Cu substitutia x = t, x = t7, dx = '7 C '7 dt,"T b ' , \

I elx 1JI 6 _! 1 (1 6) 1 1T ' 1 j) J(p , q) =.i (x-a)P(b-x)qdx, b> a, p,q >-1. 7 _ = - C'7 (1 - t) 7 dt = -(3 -, - = -~. \[ 0 ~ 7 0 ' , 7 ' 7 7 ' 7 SJ11 '1

.. . . . . .

i) y == sin2 .T, x E [o,~l =} y E[O,I], dy = 2sinxcos,rcl.1, sinx = yly, cosx = , xRezolvare: a) eu schimbarca X2 ' = t obtinem J~ e- ' dx= J~&te-idt= '

J1=Yi integrrtla deyint" I(p, q) = ! .f>~-1 (1 - y)~-I dy = ~~ (~, ~) , A!iad~r x2u

= 1j= t-!e- l dt = ~r (~) = 4, ~adar Joo e- dx = 4 (integrala Euler, 0 " 0 '

. l r~ ,_ ' 1PoiS30n). , smP I x cosq - 1 xdi = - 8 ( 9..) (9.1) ,0 " 2' 2' ,2 ' b) Facem snbsti (utia xn ~ y pentru a pune In evidenta funqia r. Avem x :;;:: y~, J

dx = ~y~~ldy, ~i integrala de\'ine */~ y!!!;Lle-Ydy =~r (m;l) , !ii est.e cl)!l\'ergenLA pentru orice p, q > O. \

l

~ ~~ "'O"-~ ._ ............... ..........r .....t'. .... ..r"' .. "' ....b~w .... ........ y ........................ .

\ I ' , .

. j) Transforl1laria ' cf,;'~ duce intervalul (a, b) tn (0,00) este t = ~~;, dt = (bb~~2dx . .' j' !x> (b-a)PtP(b-a)q 1 (b-a)2

SeobtmeJ(p, q)= 0 (1+t)P (l+t)qb-a l-i-t . dt=

= (b - a)p+q+1 j'::.o tPdt 2 = (b - a)p+q+l {3 (p + 1 q + 1) .

o (1 + t)P+q+ '

9.5 Exercitii propuse

1. Sa se studieze con\'ergen1a i sa se cal~uleze: a)jl In xdx; b) joo'e-ax sin bId:r, . . o. 0

a :> 0; fn parti clilar,j~e-=dx,a >0; e)j~J~~~dX ; d)J~xJ~x2d.T. ; 1 ... ' r ' 2 dx dx dx)j'::.o . )j

e). / oXln2x i f . 0 (x+1)/lx2-11;g 02x3-3x2' R:a) Integrare prin parti;l = -1 ;b) 2+bb2 ;c) Facem substitu! ia t = J.T: + 1

a x-I . ,;3+ 1

i ob!inem J3 + In J3 -1 .d) 1 = 1 -1)12

e) Integrala este convergent~ i egala eu 11:2 (substitu1ia Inx = t). f) Este de tip I si II ; se pot cakula eu substitutii trigonometrice: pe [0, I) , x = sint ; pe (1, 00) x = si ~ 1;1 = 2; g) di"ergent~ eu singularitate In x = O.

2. Sa se st udieze convergent a i sa se ealculeze: )jl dx b) j2 1 dR 1r 3 - xa _ , :2' - arCSIn~; x; R:O x 2 x 2o v'4 - 3x - "0 v'2x - .

c) j.a :, 2 2dx, b > a> OiR: -barctg%

f. 0 (b2 - .1:2 ) a - X yO'-a'

O':> - dx JOO dx ;'1x 2dx

d) -3--; R: ~; e) . 3/2;R:l; f) ~; R: ~

x 2o x -t 1 0 (1 + x 2) 0 1 1 2 I ' (1- fi) d .R' _ 6'1- (3t~ _ 121.7 3t10 )/1g ) 3r.::: . x, . x - t, - 2 7 + 5

./ 0 y :r 0 3. Sa se st.udieze con.vergenta integralelor si cea in valoare principala: j3(X- 2)dX . .-' a) . 1 x2 -4I -1- 3' R: Integralae d)\'ergenta,dar v .p.=O; . _ .

. b)./~oo :2~~dx . R:lntegraia e divergentk\, dar in v.p. e com'ergcnta si ('gala eli ~. _ _

4. Fie -J -r( -'- 1) ..:.. 13 ... (2 1l -J) r.::; Jl 7. Sase3rateca,pentlunEl'l , n , 2 - 2 " y iT 8. Sa se reduca la integrale Euler i sa se caleuleze : _ d

00-loX x.2d:t 1 dx. ' i'::O 211 _ ax2 _a) _ ~: b) --4; c) :1: e d.?: , a> O,n E~; ;.0 1+.1: 0 l+x .0 .~

1 00 m 11n 1 dx 1 pd:1: j 'oo x - dxdx - I : ,n, Tn E ~ ; f ): g) ;d) ~;e)

.1n0 1 - x" .0 n 1 - xm 0 (1 + .T) - 0 1 + I " I

h) (~sin6 xeos4 xdx j i) r~ tgO:xdx,JaJ < Ij) r~ sin2n x d:r , HE W . J I./0 Jo Jo 1

7R : a) Facem sehimbarea de variabila x == _t_ ~i ob!inem 1 - t ;,) 1 j .l ~C4/ 7 (1 _t)-3/ 7dt ~ ~;

. 0 7 7sin- I 7

- - . - 13 ... (2n-1) _. tc) eu transform area a:r2 = y obtinem 1 ft pt. n2 1 i ! Jr pt.2!lan+~ a 11 = 1; .

e) xm = t ==> 1 = 1..{3 (1.. 1 + 1) .

711 111' n II g) xn = 1:' ==> I;:::; ~f3 (ill, 1 ~ ill) = ." !J1'i ' COl1Yergenta pentru 0 < ill < 1.

. .1 n 11 n Sill -,-, "

_. i). tn formula (9.1) luam p - 1 = a, q - 1= :-0: ~i obt inem i iTa;t . . . . . . ' . _ - cos 2 :./.; l . . ) is-( '11) -,-~1.3~ ... . (2n-l) J 2 n.,.. 2' 2 - I . + 1 .

. n . 2" ..I II )1 } L:

\ / 1 . ' !