Aplicatii curs 11

1. Să se calculeze lungimile următoarelor drumuri:

a) ( )21ln ttx ++= , 21 ty += , ]1,0[∈t b) , , tax 3cos= tay 3sin= ]2,0[ π∈t c) ttx 5sinsin5 −= , tty 5coscos5 −= , ]2,0[ π∈t

d) tx = , )ln(cos2 ty = , ttgtz −= , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈

4,

4ππt .

R. a) 1''1

0

1

0

22 ==+= ∫∫ dtdtyxL ; b) adtttaL 6cossin32

0

== ∫π

;c) 403sin102

0

== ∫ dttLπ

;

d) . 2=L 2. Să se calculeze integralele curbilinii de speţa I, pe arcele de curbă indicate: a) , ; ∫=

C

dsxyI ]1,1[,,: 2 −∈== ttytxC

b) , ∫=C

dsyI 2 ]2,0[,,41: 4 ∈=−= ttytxC ;

c) ∫ −=C

dsyyI )2( , ]2

,0[,cos1,sin: π∈−=−= ttyttxC ;

d) dsyxIC∫ += 22 unde C este cercul de ecuaţie ; axyx =+ 22

e) ∫ +=C

dszyI 222 , . xyazyxC ==++ ,: 2222

R. a) Deoarece dtyxds 22 '' += , avem 0411

1

23 =+= ∫−

dtttI ;

b) duudtttI ∫∫ +=+=8

0

22

0

62 1311 ;

c) 23

42

cos2

sin42

sinsin22

0

22

0

=== ∫∫ dtttdtttI

ππ

;

d) se foloseşte parametrizarea cercului C de forma: )cos1(2

tax += , tay sin2

= ,

]2,0[ π∈t ; se obţine . 22aI =

e) cu reprezentarea parametrică tax cos2

= , tay sin2

= , taz sin= , ]2,0[ π∈t ,

se obţine . 22 aI π= 3. Să se calculeze masa M a firului material, cu densitate liniară xyx += 1),(ρ , care este imaginea curbei

]1,0[,2

,:2

∈== ttytxC .

R. dtttdsyxMC

∫∫ ++==1

0

21)1(),(ρ .

4. Să se calculeze integralele curbilinii de speţa a II-a, dealungul arcelor de curbă indicate: a) C: , , ,2dyydxxyI

C

−= ∫ 2tx = 3ty = ]1,0[∈t ;

b) xdydxxIC

+−= ∫ 21 , C : tx cos= , ty sin2= , ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈

2,

2ππt ;

c) , unde C este curba închisă, orientată pozitiv, care are ca

imagine triunghiul cu vârfurile , , .

∫ −−+=C

dyyxdxyxI )()(

)0,0(O )1,1(A )1,0(Bd) C: ∫ −+−+−=

C

dzyxdyxzdxzyI )()()( , tax cos= , , tay sin= btz = ,

]2,0[ π∈t ;

R. a) 211

− ; b) π ; c) ; d) 2− )(2 baa +− π .

5. Să se arate că integralele următoare sunt independente de drum şi să se calculeze; sunt specificate numai capetele arcelor de curbă :

a) ; b) ; c) ∫ +=)3,1(

)1,2(

xdyydxI ∫ +=)1,2(

)0,0(

22 dyxxydxI ∫−

+−=)3,1,2(

)2,1,1(

2 zdzdyyxdxI

R. a) 1 ; b) ; c) 43

10 .