Integral - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika...Neodreƒeni integral De–nicija. Primitivna funkcija (ili antiderivcija) funkcije f : I !R je svaka

Integral

Jelena Sedlar

Fakultet graevinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Integral 1 / 25

Neodreeni integralDefinicija neodreenog integrala

Integriranje je postupak obrnut deriviranju.

Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←?x2 + 1x2 − 12. . .x2 + C

Primitivna funkcijaQQk

��

Neodreeni integralAAK

'

&

$

%




Funkcija

sin x

deriviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←?x2 + 1x2 − 12. . .x2 + C


��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←?x2 + 1x2 − 12. . .x2 + C


��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←?

x2 + 1x2 − 12. . .x2 + C


��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←x2

x2 + 1x2 − 12. . .x2 + C


��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←x2x2 + 1

x2 − 12. . .x2 + C


��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←x2x2 + 1x2 − 12

. . .x2 + C


��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←x2x2 + 1x2 − 12. . .

x2 + CPrimitivna funkcijaQ

Qk

��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2x

integriranje

←x2x2 + 1x2 − 12. . .x2 + C


��


'

&

$

%




Funkcija

sin xderiviranje→

Derivacija

cos x

2xintegriranje←x2

x2 + 1x2 − 12. . .x2 + C


��


'

&

$

%


Neodreeni integral

Definicija.

Primitivna funkcija (ili antiderivcija) funkcije f : I → R jesvaka neprekidna funkcija F : I → R za koju vrijedi

F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .

Zadatak. Zadana funkcija f (x) = 2x . Odredi primitivnu funkciju F (x)funkcije f (x).Rješenje. Mora biti F ′(x) = f (x), pa vrijedi

F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .

Zaključak: primitivna funkcija nije jedinstvena!


Neodreeni integral

Definicija. Primitivna funkcija (ili antiderivcija) funkcije f : I → R

jesvaka neprekidna funkcija F : I → R za koju vrijedi

F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral

Definicija. Primitivna funkcija (ili antiderivcija) funkcije f : I → R jesvaka neprekidna funkcija F : I → R

za koju vrijedi

F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral

Definicija. Primitivna funkcija (ili antiderivcija) funkcije f : I → R jesvaka neprekidna funkcija F : I → R za koju vrijedi

F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .

Zadatak.

Zadana funkcija f (x) = 2x . Odredi primitivnu funkciju F (x)funkcije f (x).Rješenje. Mora biti F ′(x) = f (x), pa vrijedi

F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .

Zadatak. Zadana funkcija f (x) = 2x .

Odredi primitivnu funkciju F (x)funkcije f (x).Rješenje. Mora biti F ′(x) = f (x), pa vrijedi

F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .

Zadatak. Zadana funkcija f (x) = 2x . Odredi primitivnu funkciju F (x)funkcije f (x).

Rješenje. Mora biti F ′(x) = f (x), pa vrijedi

F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .

Zadatak. Zadana funkcija f (x) = 2x . Odredi primitivnu funkciju F (x)funkcije f (x).Rješenje.

Mora biti F ′(x) = f (x), pa vrijedi

F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .

Zadatak. Zadana funkcija f (x) = 2x . Odredi primitivnu funkciju F (x)funkcije f (x).Rješenje. Mora biti F ′(x) = f (x),

pa vrijedi

F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) =

x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2,

F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) =

x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1,

F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) =

x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12,

. . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .

Zaključak:

primitivna funkcija nije jedinstvena!


Neodreeni integral


F ′(x) = f (x)

za svaki x ∈ I .


F (x) = x2, F (x) = x2 + 1, F (x) = x2 − 12, . . .



Neodreeni integral

Teorem.

Neka su F : I → R i G : I → R dvije primitivne funkcije zafunkciju f : I → R. Tada vrijedi F (x)− G (x) = C za svaki x ∈ I , pričemu je C konstanta.

Definicija. Neodreeni integral funkcije f : I → R je skup svih primitivnihfunkcija funkcije f . Neodreeni integral označavamo sa

∫f (x)dx .

Za neodreeni integral često koristimo zapis∫f (x)dx = F (x) + C

pri čemu:

funkciju f nazivamo podintegralnom funkcijom,

varijablu x varijablom integracije,

C konstantom integracije.


Neodreeni integral

Teorem. Neka su F : I → R i G : I → R dvije primitivne funkcije zafunkciju f : I → R.

Tada vrijedi F (x)− G (x) = C za svaki x ∈ I , pričemu je C konstanta.


∫f (x)dx .


pri čemu:





Neodreeni integral

Teorem. Neka su F : I → R i G : I → R dvije primitivne funkcije zafunkciju f : I → R. Tada vrijedi F (x)− G (x) = C za svaki x ∈ I ,

pričemu je C konstanta.


∫f (x)dx .


pri čemu:





Neodreeni integral

Teorem. Neka su F : I → R i G : I → R dvije primitivne funkcije zafunkciju f : I → R. Tada vrijedi F (x)− G (x) = C za svaki x ∈ I , pričemu je C konstanta.


∫f (x)dx .


pri čemu:





Neodreeni integral


Definicija.

Neodreeni integral funkcije f : I → R je skup svih primitivnihfunkcija funkcije f . Neodreeni integral označavamo sa

∫f (x)dx .


pri čemu:





Neodreeni integral


Definicija. Neodreeni integral funkcije f : I → R

je skup svih primitivnihfunkcija funkcije f . Neodreeni integral označavamo sa

∫f (x)dx .


pri čemu:





Neodreeni integral


Definicija. Neodreeni integral funkcije f : I → R je skup svih primitivnihfunkcija funkcije f .

Neodreeni integral označavamo sa∫f (x)dx .


pri čemu:





Neodreeni integral



∫f (x)dx .


pri čemu:





Neodreeni integral

Ako je f (x) zadana funkcija i F (x) njena primitivna funkcija,

onda se vezaizmeu tih funkcija shematski prikazuje sa:

f (x)integriranje�

deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = sin x . Odredi primitivnu funkcijuF (x) funkcije f (x).Rješenje. Vrijedi

f (x) = sin x ⇒ F (x) =∫sin xdx = − cos x + C .


Neodreeni integral

Ako je f (x) zadana funkcija i F (x) njena primitivna funkcija, onda se vezaizmeu tih funkcija shematski prikazuje sa:


deriviranjeF (x).




Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak.

Zadana je funkcija f (x) = sin x . Odredi primitivnu funkcijuF (x) funkcije f (x).Rješenje. Vrijedi



Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = sin x .

Odredi primitivnu funkcijuF (x) funkcije f (x).Rješenje. Vrijedi



Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = sin x . Odredi primitivnu funkcijuF (x) funkcije f (x).

Rješenje. Vrijedi



Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = sin x . Odredi primitivnu funkcijuF (x) funkcije f (x).Rješenje.

Vrijedi



Neodreeni integral



deriviranjeF (x).


f (x) = sin x ⇒ F (x) =

∫sin xdx = − cos x + C .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).


f (x) = sin x ⇒ F (x) =∫sin xdx =

− cos x + C .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).




Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak.

Zadana je primitivna funkcija F (x) = e2x . Odredi funkciju f (x)čija je to primitivna funkcija.Rješenje. Vrijedi

F (x) = e2x ⇒ f (x) = F ′(x) = (e2x )′ = 2e2x .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je primitivna funkcija F (x) = e2x .

Odredi funkciju f (x)čija je to primitivna funkcija.Rješenje. Vrijedi

F (x) = e2x ⇒ f (x) = F ′(x) = (e2x )′ = 2e2x .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je primitivna funkcija F (x) = e2x . Odredi funkciju f (x)čija je to primitivna funkcija.

Rješenje. Vrijedi

F (x) = e2x ⇒ f (x) = F ′(x) = (e2x )′ = 2e2x .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je primitivna funkcija F (x) = e2x . Odredi funkciju f (x)čija je to primitivna funkcija.Rješenje.

Vrijedi

F (x) = e2x ⇒ f (x) = F ′(x) = (e2x )′ = 2e2x .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).

Zadatak. Zadana je primitivna funkcija F (x) = e2x . Odredi funkciju f (x)čija je to primitivna funkcija.Rješenje. Vrijedi

F (x) = e2x ⇒ f (x) =

F ′(x) = (e2x )′ = 2e2x .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).


F (x) = e2x ⇒ f (x) = F ′(x) =

(e2x )′ = 2e2x .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).


F (x) = e2x ⇒ f (x) = F ′(x) = (e2x )′ =

2e2x .


Neodreeni integral



deriviranjeF (x).


F (x) = e2x ⇒ f (x) = F ′(x) = (e2x )′ = 2e2x .


Neodreeni integralIntegriranje elementarnih funkcija

Struktura klase elementarnih funkcija. Elementarne funkcije nastaju iz:

1 osnovnih elementarnih funkcija,2 te računskih operacija.

Integriranje elementarnih funkcija. Obzirom na takvu strukturu,elementarne funkcije integriramo tako da odredimo:

1 integrale osnovnih elementarnih funkcija,2 pravila za integriranje računskih operacija (ako se integral ponašapravilno prema tim operacijama).

Pojasnimo ove točke detaljnije na sljedécim slajdovima!



Struktura klase elementarnih funkcija.

Elementarne funkcije nastaju iz:








1 osnovnih elementarnih funkcija,

2 te računskih operacija.








Integriranje elementarnih funkcija.

Obzirom na takvu strukturu,elementarne funkcije integriramo tako da odredimo:








1 integrale osnovnih elementarnih funkcija,

2 pravila za integriranje računskih operacija (ako se integral ponašapravilno prema tim operacijama).







1 integrale osnovnih elementarnih funkcija,2 pravila za integriranje računskih operacija

(ako se integral ponašapravilno prema tim operacijama).



Neodreeni integral

1) Integriranje osnovnih elementarnih funkcija

- formiramo tablicuosnovnih integrala tako da tablicu derivacija čitamo u obrnutom smjeru.

Problem: u tablici nedostaju integrali nekih osnovnih funkcija(ln x , tg x , . . .).


Neodreeni integral

1) Integriranje osnovnih elementarnih funkcija - formiramo tablicuosnovnih integrala

tako da tablicu derivacija čitamo u obrnutom smjeru.



Neodreeni integral

1) Integriranje osnovnih elementarnih funkcija - formiramo tablicuosnovnih integrala tako da tablicu derivacija čitamo u obrnutom smjeru.



Neodreeni integral


Problem:

u tablici nedostaju integrali nekih osnovnih funkcija(ln x , tg x , . . .).


Neodreeni integral


Problem: u tablici nedostaju integrali nekih osnovnih funkcija

(ln x , tg x , . . .).


Neodreeni integral




Neodreeni integral

2) Pravila za integriranje računskih operacija:

∫(f (x)± g(x)) dx =

∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,∫

c · f (x)dx = c∫f (x)dx pri čemu je c konstanta.

Problem: nedostaju pravila za množenje, dijeljenje i kompoziciju funkcija!∫f (x)g(x)dx =?∫ f (x)g(x)

dx =?∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral

2) Pravila za integriranje računskih operacija:∫(f (x)± g(x)) dx =

∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,

∫c · f (x)dx = c

∫f (x)dx pri čemu je c konstanta.


dx =?∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral


∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,∫



dx =?∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral


∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,∫


Problem:

nedostaju pravila za množenje, dijeljenje i kompoziciju funkcija!∫f (x)g(x)dx =?∫ f (x)g(x)

dx =?∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral


∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,∫


Problem: nedostaju pravila za množenje, dijeljenje i kompoziciju funkcija!

∫f (x)g(x)dx =?∫ f (x)g(x)

dx =?∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral


∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,∫


Problem: nedostaju pravila za množenje, dijeljenje i kompoziciju funkcija!∫f (x)g(x)dx =?

∫ f (x)g(x)

dx =?∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral


∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,∫



dx =?

∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral


∫f (x)dx ±

∫g(x)dx ,∫



dx =?∫f (g(x))dx =?


Neodreeni integral

Problemi kod integriranja elementarnih funkcija.

Kod integriranjaelementarnih funkcija korištenjem strukture tih funkcija nastaju problemi:

1 u tablici nedostaju integrali nekih osnovnih elementarnih funkcija,2 meu pravilima nedostaju pravila za tri od pet računskih operacija.

Uklanjanje problema. Problemi koji nastaju se djelomično mogu ukloniti:

1 integrali osnovnih elementarnih se mogu odrediti (problem jepotpuno uklonjiv),

2 pravila koja nedostaju se ne mogu nadoknaditi (problem sedjelomično rješava različitim metodama integriranja).


Neodreeni integral

Problemi kod integriranja elementarnih funkcija. Kod integriranjaelementarnih funkcija korištenjem strukture tih funkcija nastaju problemi:






Neodreeni integral


1 u tablici nedostaju integrali nekih osnovnih elementarnih funkcija,

2 meu pravilima nedostaju pravila za tri od pet računskih operacija.





Neodreeni integral







Neodreeni integral



Uklanjanje problema.

Problemi koji nastaju se djelomično mogu ukloniti:




Neodreeni integral







Neodreeni integral




1 integrali osnovnih elementarnih se mogu odrediti

(problem jepotpuno uklonjiv),



Neodreeni integral







Neodreeni integral





2 pravila koja nedostaju se ne mogu nadoknaditi

(problem sedjelomično rješava različitim metodama integriranja).


Neodreeni integral







Neodreeni integral

Shematski prikaz ovog izlaganja je sljedéci:

Elementarne funkcije

Strukturaosnovneelementarne funkcije

računskeoperacije

Integriranjetablica osnovnihintegrala

pravilaintegriranja

Problemiu tablici nedostajuintegrali nekih osnovnihelementarnih funkcija

nedostaju pravilaza 3 operacije

Rješavanje problemaproblem se možepotpuno riješiti

problem se djelomičnozaobilazi metodamaintegriranja


Neodreeni integral

Zadatak.

Odredi∫ (x2 +

√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .

Rješenje. Vrijedi:∫ (x2 +

√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .

Meutim ∫xexdx = ? (ne vrijedi =

∫xdx ·

∫exdx)

jer nemamo pravilo za integriranje umnoška!


Neodreeni integral

Zadatak. Odredi∫ (x2 +

√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .

Rješenje.

Vrijedi:∫ (x2 +

√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,

∫2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx =

2∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx =

2 ln |x |+ C ,∫(x − 3ex ) dx =

∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,

∫(x − 3ex ) dx =

∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =

∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx =

12x2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .

Meutim ∫xexdx =

? (ne vrijedi =∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .

Meutim ∫xexdx = ?

(ne vrijedi =∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral


√x)dx ,

∫2x dx ,

∫(x − 3ex ) dx ,

∫xexdx .


√x)dx =

∫x2dx +

∫ √xdx =

∫x2dx +

∫x12 dx =

= 13x3 + 23x

32 + C ,∫

2x dx = 2

∫1x dx = 2 ln |x |+ C ,∫

(x − 3ex ) dx =∫xdx − 3

∫exdx = 12x

2 − 3ex + C .


∫xdx ·

∫exdx)



Neodreeni integral

Jošjedan problem kod integriranja.

kod deriviranja vrijedi:

f (x) je elementarna ⇒ f ′(x) je elementarna

kod integriranja vrijedi:

f (x) je elementarna ⇒ F (x) ne mora biti elementarna

Uvodimo nazive: ako za funkciju f (x) njena primitivna funkcija:jest elementarna, onda kažemo da je

∫f (x)dx elementarno rješiv,

nije elementarna, onda kažemo da je∫f (x)dx elementarno nerješiv.

Primjeri elementarno nerješivih integrala su∫ sin xxdx ,

∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integral

Jošjedan problem kod integriranja.kod deriviranja vrijedi:








∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integral





Uvodimo nazive:

ako za funkciju f (x) njena primitivna funkcija:

jest elementarna, onda kažemo da je∫f (x)dx elementarno rješiv,



∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integral





Uvodimo nazive: ako za funkciju f (x) njena primitivna funkcija:

jest elementarna, onda kažemo da je∫f (x)dx elementarno rješiv,



∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integral





Uvodimo nazive: ako za funkciju f (x) njena primitivna funkcija:jest elementarna,

onda kažemo da je∫f (x)dx elementarno rješiv,



∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integral









∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integral







nije elementarna,

onda kažemo da je∫f (x)dx elementarno nerješiv.


∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integral









∫ex

2dx ,

∫ 1ln x

dx .


Neodreeni integralMetode integriranja

Za elementarne funkcije vrijedi:

1) neke elementarne funkcije se mogu integrirati korištenjem tablice i 2pravila za računske operacije:

neposredno integriranje,

2) ostale elementarne funkcije se integriraju (ako se to može) nekom odmetoda integracije:

metoda supstitucije,metoda parcijalne integracije,metoda integriranja racionalnih funkcija,različite metode integriranja iracionalnih funkcija,različite metode integriranja trigonometrijskih funkcija.







metoda supstitucije,

metoda parcijalne integracije,metoda integriranja racionalnih funkcija,različite metode integriranja iracionalnih funkcija,različite metode integriranja trigonometrijskih funkcija.







metoda supstitucije,metoda parcijalne integracije,

metoda integriranja racionalnih funkcija,različite metode integriranja iracionalnih funkcija,različite metode integriranja trigonometrijskih funkcija.







metoda supstitucije,metoda parcijalne integracije,metoda integriranja racionalnih funkcija,

različite metode integriranja iracionalnih funkcija,različite metode integriranja trigonometrijskih funkcija.







metoda supstitucije,metoda parcijalne integracije,metoda integriranja racionalnih funkcija,različite metode integriranja iracionalnih funkcija,

različite metode integriranja trigonometrijskih funkcija.







metoda supstitucije,metoda parcijalne integracije,metoda integriranja racionalnih funkcija,različite metode integriranja iracionalnih funkcija,različite metode integriranja trigonometrijskih funkcija.


Neodreeni integralNeposredno integriranje

Iako je integriranje složen postupak, postoje integrali koji se mogu riješitipoznavanjem:

integrala osnovnih elementarnih funkcija,

pravila za integriranje dviju računskih operacija ("+" i "−"), te zamnoženje s konstantom.

Takav postupak integriranja naziva se neposredno integriranje.



Iako je integriranje složen postupak,

postoje integrali koji se mogu riješitipoznavanjem:






Iako je integriranje složen postupak, postoje integrali koji se mogu riješitipoznavanjem:





Neodreeni integralMetoda supstitucije

Složeniji integrali se često rješavaju jednom od dvije varijante metodesupstitucije. Metoda supstitucije se provodi tako da se:

1 dopustivom zamjenom varijable integracije nekim analitičkim izrazom,ili

2 dopustivom zamjenom nekog analitičkog izraza u podintegralnojfunkciji novom varijablom,

zadani integral svede na tablični integral.



Složeniji integrali se često rješavaju jednom od dvije varijante metodesupstitucije.

Metoda supstitucije se provodi tako da se:






Složeniji integrali se često rješavaju jednom od dvije varijante metodesupstitucije. Metoda supstitucije se provodi tako da se:





Neodreeni integral

Teorem.

Neka je f : I → R funkcija. Neka je J interval, te neka suϕ : J → I obostrano derivabilna bijekcija i g : J → R funkcija takve da je

f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)

za svaki t ∈ J. Ako je ∫g(t)dt = G (t) + C ,

onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral

Teorem. Neka je f : I → R funkcija.

Neka je J interval, te neka suϕ : J → I obostrano derivabilna bijekcija i g : J → R funkcija takve da je

f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral

Teorem. Neka je f : I → R funkcija. Neka je J interval,

te neka suϕ : J → I obostrano derivabilna bijekcija i g : J → R funkcija takve da je

f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral

Teorem. Neka je f : I → R funkcija. Neka je J interval, te neka suϕ : J → I obostrano derivabilna bijekcija

i g : J → R funkcija takve da je

f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral

Teorem. Neka je f : I → R funkcija. Neka je J interval, te neka suϕ : J → I obostrano derivabilna bijekcija i g : J → R funkcija takve da je

f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral


f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)

za svaki t ∈ J.

Ako je ∫g(t)dt = G (t) + C ,

onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral


f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral


f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=

∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral


f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C = G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral


f (ϕ(t))ϕ′(t) = g(t)


onda je∫f (x)dx =

{x = ϕ(t)

dx = ϕ′(t)dt

}=∫f (ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫g(t)dt =

= G (t) + C =

G (ϕ−1(x)) + C


Neodreeni integral

Teorem. Neka je f : I → R funkcija. Neka je J interval, te neka suϕ : J → I obostrano derivabiln

Documents

Integral - University of Splitgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika...Neodreƒeni integral De–nicija. Primitivna funkcija (ili antiderivcija) funkcije f : I !R je svaka