Integral definida y los métodos de integración · PDF fileINTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 61 Nombre del alumno: Grupo: Número de lista: Aciertos: I. Efectúa en

Integral definida y los métodos de

integración

El estudiante:

• Aplicará la integraldefinidaysuspropiedadesalasolu-ción de problemas de áreabajounagráfica integrandodiferencialescuyaformanoseasusceptibledeintegrarsedeformainmediata,apartirdelconocimientodealgunastécnicasdeintegración,me-diantelaaplicacióndediver-sosejerciciosdeláreadelasmatemáticas, ciencias natu-rales, sociales o administra-tivas,mostrandounaactitudanalítica, reflexiva y de co-operación.

INTRODUCCIÓN

Laintegraldefinidasurgedeaplicacionesmuyimportantesquerequierendeuncálculo,porejemplo:eláreabajolacurvadeunafunciónenunintervalo,ladis-tanciarecorridaporuncuerpoquesemuevealolargodeunalínearectaenunperiododetiempo,losingresostotaleslogradosporunacompañíaenuntiem-podelimitado,lacantidadbimestraltotaldeelectricidadconsumidaenunhogar,laconcentraciónpromediodeunmedicamentoenelcuerpoduranteciertope-riodo,etcétera.

Enestaunidadseintroduceelconceptodesumatoriaconelfindeabordarlain-tegraldefinidapormediodelassumasdeRiemman.Semuestraelsignificadodelaintegraldefinidagráficamentecomoalárealimitadaporlagráficadeunafun-cióncontinuaf(x)≥0enunintervalo[a,b].

Asimismo, se presenta la forma ab f x dx F x a

b F b F a∫ ( ) = ( ) = ( ) − ( ) paraevaluaruna integraldefinida, endonde se requieredeterminarpreviamente laantiderivadaF(x),paraello,semuestrandistintosmétodosdeintegraciónparadeterminarunaintegralindefinidasegúnsuforma,siendoéstos:cambiodeva-riable,porpartes,depotenciasdefuncionestrigonométricas,fraccionesparcialesydefuncionesracionalesdesenoycoseno.Lasotrasaplicacionesantesmencio-nadassonreferidasmedianteproblemasalolargodelaunidad.

61INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Nombredelalumno:

Grupo: Númerodelista: Aciertos:

I. Efectúaentucuadernolossiguientesejerciciosysubrayalaopciónquemuestraelresul-tadocorrecto:

1. ¿Cuáleselresultadodelasiguienteoperacióndefracciones?

53 289 83

157

1717105

− +

÷

a) 5 b) 125 c) 120 d) 62517

2. ¿Cuáleslasumadelosprimerosdieznúmerosnaturalesalcuadrado?

a) 2025 b) 100 c)3025 d) 385

3. ¿Cuáleselresultadodeladivisiónalgebraica104 3 15 2 2 20

5x y x y xy

xy+ + ?

a) 2x3y2+3xy+4

b) 2x3y2+15x2y2+20xy

c) 2x5y4+3x3y3+4x2y2

d) 5x3y2+10xy+15

4. ¿Quéresultadoseobtienealdividirx

x x

4

264

8 4−

+ − ?

a) x x xx x

228 32 128 320

4 8+ + + −

− + b) x x x

x x2

28 24 32 2564 8

+ + + −− +

c) x2+8x+24

d) x2+40x+232

5. ¿Quéresultadesimplificarasumínimaexpresión15 120 225

3 5

2x xx x

+ ++ +( )( ) ?

a) 15 755

xx

++

b) 15 c) 75 d)15 45

3xx

++

62 UNIDAD II

6. ¿Cuáleslaexpresiónequivalenteax2―6x+5luegodecompletaralcuadrado?

a) (x–3)2+4 b) (x–3)+4 c) (x–3)–4 d) (x–3)2–4

7. ¿Cuáleslaexpresiónqueseobtienealfactorizar10x2+11x–6?

a) (5x–2)(2x+3)

b) (5x+2)(2x–3)

c) (10x–2)(x+3)

d) (5x+1)(2x–6)

8. ¿Cuáleselresultadodelaoperación3 3 4 2 6

3 2x x x

x− − +

+ ?

a) x2–2x+1

b) x2–2x+5

c) x xx

2 2 1 83 2

− + ++

d) x xx

2 2 1 43 2

− + ++

9. ¿Cuáleseláreatotaldelasiguientefigura?

a) 467m2 b) 497m2 c) 507m2 d) 757m2

10.¿Quéresultadoseobtienealevaluar limx x→∞

+ −−

3 3 16 1

4 3

4 2x x

x?

a)12 b) 2 c) 3 d) 4

11.Unaprimitivade6x4–3x3+x2es:

a) 24x3–9x2+2x


b)65

5 34

4 13

3x x x− +

c) 64

5 4 12

3x x x− +

d) 24x4–9x3 + 2x2

12.¿Quéexpresiónresultadeintegrarx

xdx

4 2+∫ ?

a) 4 2+ x b)

1

4 2+ x c)4+x2 d)1

4 2+ x

2.1 INTEGRAL DEFINIDA

Unaaplicaciónmásdelaintegralesenelcálculodeáreaslimitadasporcurvasobtenidaspormediodelaintegraldefinida;porconsiguiente,laintegralpuedeserdefinidaoindefinida,éstasehaabordadocomolaoperacióninversadeladiferenciación.Ahora,laintegraldefinida,de-bidoasusaplicaciones,vaadefinirsecomoellímitedeunasuma,paralocualprecisointrodu-cirlanocióndesumaosumatoriadeconstantesensuformaabreviada.

Veamos:

La noción de sumatoria

Essabidoqueunasumadensumandosseexpresacomo:

a1+a2+a3+...+an

Dondelaexpresióntienetantossumandoscomonúmerosnaturales,ycadasumandoaksein-dicaconunamismafórmulaentérminosdek,lacualtomavaloressucesivos1,2,3,...,n.

Sumandoconstantes.

I. Organizadosenbinas,completalatablasegúncorresponda.

Primerossumandos Últimosumando(enésimo)

Fórmuladelsumandoak

1.1+2+3+... n k2.22+42+62+... (2n)2 (2k)2

3.1 13

15

17

+ + + + ...1

2 1k−4.12+22+32+... n2

64 UNIDAD II

Primerossumandos Últimosumando(enésimo)

Fórmuladelsumandoak

5. 2k–16. 2n7.6+10+14+...

8.112

13

14

− + − + ...

9.1+8+27+...

II. Utilizaellenguajecomúnparaexpresarestassumasparasusdiezprimerostérminos.Observaelejemplo:

1. 1+2+3+...+10:Lasumadelosdiezprimerosnúmerosnaturales.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

III. Enplenaria,yconelapoyodesuprofesorcomparensusrespuestas.

Estassumassedenotanporlaletrasigmamayúscula(∑),delasiguienteforma:

Seaakunnúmeroreal,k ∈.Laexpresióna1+a2+a3 +...ansellamasumaosumatoriayse

denotaporelsímbolo akk

n

=∑1.

Así,a a a a ak

k

n

n=

∑ = + + + +1

1 2 3 ...


Donde:

∑:notacióndesumatoriaonotacióndesigma.

k:índicesumatorio.

akk

n

=∑1:sumatoriadetodoslosnúmerosak,parak=1,2,3,...,n.

Acontinuaciónsemuestranalgunassumatorias.

I. Dadalasumatoriasebuscasudesarrollo.

a) 3 1 3 1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1

21

4

kk

−( ) = ( ) − + ( ) − + ( ) − + ( ) −

= +=

∑55 8 11+ +

b) 11

12

13

14

15

171

5

kk +( )= + + + +

=∑

c) kk

2

1

1002 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 97 98 99 100

=∑ = + + + + + + + +...

II.Dadoeldesarrollodelasumatoriasebuscasunotaciónsigma.

a) 2+4+6+...+20= 21

10

kk=∑

Estasumapuedeexpresarsecomo:lasumadelosdiezprimerospares.

b) 1+3+5+...+19= 2 11

10

kk

−( )=

∑ Estasumapuedeexpresarsecomo:lasumadelosdiezprimerosimpares.

c) 41+42+43+...+410=∑ 41

10k

k=∑

Estasumapuedeexpresarsecomo:lasumadelasdiezprimeraspotenciasdebase4yexponen-tedelosdiezprimerosnúmerosnaturales.

Parapoderevaluarunasumatoria,dadoqueelcálculodealgunasdeellasnoesinmediato,de-beráatenderseapropiedadesyfórmulasimportantesdesumatoria,mismasquesemuestranenlasiguientetabla.

66 UNIDAD II

Propiedadesdesumatoria FórmulasdesumatoriaParaenterospositivosmyn,

ca c akk

n

kk

n

= =∑ ∑=

1 1

,c :constante

a b a b

a a a

k kk

n

kk

n

kk

n

kk

n

kk

m

kk m

n

m

± = ±

= +

( )

<

= = =

= = = +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑1 1 1

1 1 1

, nn

Paraenterospositivosmyn,

c cn c

kn n

kn n n

k

k

n

k

n

k

n

=

=+

=+ +

=

=

=

∑

∑

∑

( )

( )( )

, constante:1

1

2

1

12

1 2 16

332 2

1

43 2

1

14

1 6 9 1

30

=+

=+ + + −

( )

( )( )=

=

∑

∑

n n

kn n n n n

k

n

k

n

Acontinuaciónseobtieneelvalordelasumaindicada,utilizandolaspropiedadesyfórmulasdesumatoria.

Evaluar:

1. 5 25 1251

25

= ( ) ==

∑k

2. 6 620 20 1

26 420

21260

1 1

k kk

n

k

n

= =+( )

=

== =

∑ ∑

3. 2 3 5 3 52

1

2

1 1

10

1

10

k k k kk

n

k

n

k k

− +( ) = − += = = =

∑ ∑ ∑ ∑

= ( )( )

− ( )

+ ( )2

10 11 216

310 11

25 10

= ( ) − ( ) + =2 385 3 55 50 665

4. k k k k kk k k k k

2 2

1

64 2

1

64

1

62

1

6

1

6

1 2 1 2 1

6 7 1

−( ) = − +( ) = − +

= ( )= = = = =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑2296 324 6 1

302

6 7 136

6

2275 2 91 6 227

+ + −( )

− ( )( )

+

= − ( ) + = 55 182 6 2099− + =


I. Delejercicioaal5,evalúalassumatoriasmediantedesarrollo;del6al10utilizalasfórmulascorres-pondientes.

1. 31

5

k=∑ = 6. 49 82 2

1

2

k kk

− =( )=

∑

2. 71

4

kk=∑ = 7. k

k

+ =( )=

∑ 1 3

1

8

3. kk

− =( )=

∑ 31

8

8. 4 8 2

1

5

kk

− =( )=

∑

4.−+

=( )

=∑ 1

11

5 k

k k 9. k

k

3

1

6

=∑ =

5. −=

( ) −

=∑ 1

2

1

1

10 k

k k 10. k

k

4

1

4

=∑ =

II. Expresalassiguientessumatoriasennotaciónsigma.

1. 1+2+3+4+...+100 6. 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5

2. 12+22+32+42+52+62+72+82 7. − + − + −12

23

34

45

56

3. 13+23+33+43+53 8. 1 2 3 2 5 3+ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

4. 14+24+34+44+54+64 9. 3+5+7+9+11+13+15

5. 3+6+9+12+...+150 10.cos+cos2+cos3+cos4

Acontinuaciónabordaremoselcálculodeáreaslimitadasporcurvas,apartirdelasumadeunnúmeroinfinitodepartesmuypequeñas,utilizandoparaelloelconceptodesumatoria.

Área limitada por la gráfica de una función con-tinua y = f(x) en un intervalo [a, b] y f(x) ≥ 0

Históricamente,elcálculointegralseinventóconlafinalidaddecalcularáreaslimitadasporcurvas,dan-doorigenalaintegraldefinida.

Observalafigura.

68 UNIDAD II

Delafigurasetienelaideaintuitivadeláreadelaregiónsombreada(A)bajolagráficadelafunciónentrelasrectasx=ayx=b,dondeseconsideraalafunciónf(x)≥0paratodoxenelintervalocerrado[a,b]cuyagráficaquedaporencimadelejex.

Eláreadelaregiónsombreada(A)puedeaproximarsesumandolasáreasdenrectángulosmar-cadossobreelintervalo,comosemuestraacontinuación.

Apartirdeestafigura,unmétodoparaevaluar(A), seespecificacomosigue:

1. Sedivideelintervalo[a,b]ennsubintervalos x xk k−[ ]1, dondek=1,2,3,...,nyx0=a,xn=b.Luego

a x x x x x x bn n= < < < < < =⋅⋅⋅0 1 2 3 1 -

2. Lalongituddecadasubintervalo(nonecesariamentedeigualamplitud)sedenotapor∆xk,para∆xk=xk–xk–1.

3. Encadasubintervaloseeligecualquiernúmerorepresentativox*k,quepuedeser:frontera

derecha,fronteraizquierdaopuntomedio.

4. Eláreadelrectángulodelk-ésimosubintervaloserepresentaporlaforma f x xk k*( ) ⋅ ∆ .

5. Eláreatotalbajolacurvaesaproximadamentelasumadelasáreasdelosnrectángulosf x x f x x f x xn n

* * *...1 1 2 2( ) ⋅ + ( ) ⋅ + + ( ) ⋅∆ ∆ ∆ ,mismaquedeberáexpresarsecomolasu-

matoria f x xk kk

n*( ) ⋅

=∑ ∆1

.

Porende,sedefineelárealimitadaporlagráficadeunafuncióncontinuay=f(x)enuninter-valo[a,b]yf(x)≥0,comosigue:

A f x xx

k kk

n

= ⋅→

=

( )∑lim *

∆∆

01

El procedimiento dehallar el área limitadabajounacurvaessimi-laraldehallareláreadelaregiónqueocupaunahilera de libros sobreun estante, cuyoperfilsuperiorseaproximaaldelacurva.


Para fines prácticos, el intervalo [a, b] es dividido en n subintervalos iguales. Así, la lon-

gituddel intervalo [a,b] esb – a y la amplitudde cada subintervalo es∆ −x = b an.Además,

comox0=a y si cadax*k se tomacomo la fronteraderechadecada subintervalo, se tiene

x xk k x a k b an

* = + ∆ = + −

0 .Portanto,A podráevaluarsemediantelafórmula:

A f a k b an

b ann k

n

= + −

⋅ −→∞ =

∑lim1

Lossiguientesejemplosmuestrancómoencontrarelárea(A),utilizandoladefiniciónantescitada.

Hallarelárea(A)limitadaporlagráficay=f(x)enelintervalo[a,b], segúnseindica.Mostrarlagráficaysombreareláreacorrespondiente.

1. Limitadaporf(x)=x+1en[0,4]

SoluciónDadoquea=0yb=4,setienequelalongituddecadasubintervaloes:

∆ −x = = 4 0 4n n

Sustituyendoloanterior,enlafórmulaA f a k b an

b ann k

n

= + −

⋅ −→∞ =

∑lim1

Setiene:

A f kn n n

f knn nk

n

k

n

n

= +

=

=

→∞ →∞= =

→∞

∑ ∑lim lim

lim

0 4 4 4 4

1 1

44 4 1 4 4 1

4 4

1 1 11nkn n n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

n

+

= +

=

= = ==

→∞

∑ ∑ ∑∑

limnn

n nn

n nnk

n+( )

+

=

+( )

+

=

=∑1

2162

142

1

limnn nn n→∞ →∞

+

+

= +

+ = + =8 1 1 4 8 1 1 4 8 4 12lim

Porlotanto,A=12u2

2. Limitadaporf(x)=4–x2en[–1,2]

SoluciónDadoquea=–1yb=2,setienequelalongituddecadasubintervaloes:

∆xn n

= + = 2 1 3

c∞

= 0

70 UNIDAD II

Sustituyendoesto,enlafórmulaA f a k b an

b ann k

n

= + −

⋅ −→∞ =

∑lim1

Setiene:

A f kn n n

f k nnn k

n

n k

n= − +

∑ = −

∑

=

→∞ = →∞ =lim lim

lim

1 3 3 3 31 1

nn k

n

n k

n

n

nk nn n

k kn nn→∞ = →∞ =

− −

∑ = − − +∑

=

3 4 3 3 4 9 61

2 2 2

21

lim

lim→→∞ =

→∞ ==

− + −

∑

= − + + ∑

3 4 9 6 1

3 9 6 3

22

1

22

11

n nk

nk

n nk

nk

k

n

n k

n

klim

nn

k

n

n

n n nn

n nn

∑∑

= −+( ) +( )

+

+( )

=

→∞

1

3 2

276

1 2 1 182

1lim

+

= − + +

+ +

+

→∞

9

92

2 3 3 9 1 1 92limn n n n

== − + +

+ +

+

= − ( ) + ( ) +

→∞ →∞

92

2 3 3 9 1 1 9

92

2 9 1

2lim limn nn n n

99 9=

Portanto,A=9u2

Aplicandosumatorias,encuentraelárea(A)limitadaporlagráficay=f(x)enelintervalo[a,b], segúnseindica.Muestralagráficaysombreaeláreacorrespondiente.

1. f(x)=x+2,en[0,4]

2. f(x)=x+1,en[0,3]

3. f(x)=2x,en[1,4]

4. f(x)=1–x2,en[–1,1]

5. f(x)=4–x2,en[0,2]

6. f(x)=4–x2,en[–1,1]

7. f(x)=x2,en[0,3]

8. f(x)=x3+x, en[0,2]


9. f(x)=x3–2x, en[–1,0]

10.f(x)=x3–x2–2x+3, en[–1,2]

Concepto de integral definida mediante sumatorias de Riemman

Como ya vimos, el áreaA se aproximamediante los n rectángulos de ancho∆x y alturasf x f x f xn1 2

* * *, , ,( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅ por:

A f x x f x x f x xn≈ + + ⋅⋅⋅ +( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅1 2* * *∆ ∆ ∆

Alasumadelladoderechodeestaexpresiónseledenominasuma de Riemann.Portanto,elárealimitadaporlagráficadeunafuncióncontinuay=f(x)enunintervalo[a,b]yf(x)≥0,sedefinecomoellímitedelasumadeRiemann.

An nf x x f x x f x x= + + ⋅⋅⋅ + →∞ ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅lim * * *

1 2∆ ∆ ∆

Ideaintuitivadeláreadentrodelacurva.

Enequiposdetrabajodecuatrointegrantescomomáximorealicenlosiguiente:

1. Reúnanelsiguientematerial.

1/2pliegodepapelbond.Reglade1maproximadamente.Marcadoresdecolores.

2. Ahora,utilicencoloresdistintosyrealicenlosiguiente:

a) Marquenenelpapelbondlasiluetadeunahoja(odibujenlahoja)pa-recidaaunamafafa,tangrandecomolopermitaeltamañodelpapel.

b) Tracenunplano,demaneraquelahojaquedeenelprimercuadrante.

c) Determinenunalongitudparam (verfigura)yhaganelcálculom4 para

trazarunacuadrículade4×4queabarquelahojatrazada.Estimenel

áreadelahojasumandolasáreasdeloscuadritosdeladom4queque-

daninscritosenella.

A4 4× =

Laexpresión:

sedenominasuma de Rie-mann enhonor delmate-mático alemán BernardRiemann(1826-1866).

f x x f x x f x xn1 1 2 2

* * *...( ) ( ) ( )+ + +∆ ∆ ∆

AActividad

72 UNIDAD II

d) Igualmentehaganelcálculom8paratrazarunacuadrículaadecuadade8×8

queabarquelahoja.Estimeneláreadelahojasumandolasáreasdeloscua-dritosdeladom

8quequedaninscritosenella.

A8 8× =

e) Deigualmodorealicenelcálculom16y

m32paratrazarlascuadrículas16×16

y32×32queabarquelahoja.Estimeneláreadelahojasumandolasáreas

deloscuadritosdeladom16y

m32quequedaninscritosenella.

A16×16= A32×32=3. Comparenlosresultadosobtenidos,saquenconclusionesycoméntenlasenplenaria.

Cadacuadritoobtenidoencadaunadelasdivisionesdelacuadrículadelejercicioantesreali-zada,sellamapartición.

Entremásfinasealapartición,másseaproximaalvalordeláreadentrodelacurva.

Y,¿cómoseaproximaeláreabajolacurva?

Ideaintuitivadeláreabajolagráficadef(x).

Conelmismoequipoquehicieronelejercicioanterioryreuniendoigualmaterial,realicenlosiguiente:

1. Utilizandocoloresdistintos:

a) Tracenenunplano(deltamañoquelopermitael1/2pliegodepapelbond)larectay=x,comoloindicalafigura.

b) Determinenunalongitudparam(verfigura)yhaganelcálculom5paratra-

zarcontalmedidaunacuadrícula5×5.Estimeneláreabajolarecta,en-trex=1yx=5sumandolasáreasdelosrectángulosverticalesdebasem5yalturacorrespondiente,comosemuestraenlafigura.

A1+A2+A3+A4=

c) Deigualmanera,haganelcálculom10paratrazarcontalmedidaunacuadrí-

cula10×10.Estimeneláreabajolarecta,entrex=2yx=10sumandolasáreasdelosrectángulosverticalesdebase

m10,yalturacorrespondiente,

comosemuestraenlafigura.

AActividad

Áreadelrectángulo:A=bh

Donde:b:baseh:altura


A1+A2+A3+...+A8=

d) Deigualmodohaganelcálculom20y

m40paratrazarlascuadrículas20×20y40×40.Estimen

eláreabajolarecta,sumandonuevamentelasáreasdelosrectángulosasíformados.

A1+A2+A3+...+A16= A1 + A2+A3+...+A32=2. Observenqueelárearequeridacoincideconuntrapecio.Calculensuáreapormediodelafórmula

conocidadegeometría:AhB b

=+( )

2

3. ComparenlosresultadosobtenidosdelaordenIconelvalordeláreatotaldeltrapecioobtenidaporfórmula,saquenconclusionesycoméntenlasenplenaria.

Enestaactividad,nuevamenteseobservaqueentremáspequeñaeslabasedelosrectángu-los,másseaproximaalvalordeláreabajolagráficadef(x).Efectivamente,eláreaesellími-tedelasumadeRiemann.Noobstante,siyaseteníaunafórmulaparahallareláreasolicitada,quizátepreguntas:¿Dequésirvetantodesarrollo?Emplearelmétodoenunafigurayacono-cidatepermitiócomprobarresultados,peroel límitedelasumadeRiemannfuepropuestoparacalcularáreasderegioneslimitadasporcurvasquenopuedensercalculadasporfórmu-lasgeométricas.

Observalasiguientefigura.

¿Conocesunafórmulageométricaparacalculareláreasombreada?

Comonoexistetalfórmula,recurrimosalcálculointegralyparalograrunvaloraproximadodelárea,seutilizacualquiernúmerodenrectángulos.Lasiguientefiguramuestralaaproximacióndeláreasombreadadelafiguraanteriorcon5,9y18rectángulossuperioresrespectivamente.

74 UNIDAD II

Seaf(x)≥0definidaen[a,b].Si

lim * * *n nf x x f x x f x x→∞

( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ⋅+ + ⋅ ⋅ ⋅ +[ ]1 2∆ ∆ ∆

existeparatodoenx n*,conigualamplitud∆x

b a

n=

− ,entoncesestelímiteeslaintegral defini-

da de f dea ab ysedenotapor:

ab f x dx∫ ( )

Portanto:

ab f x dx

nf x x f x x f x

nx∫ =

→ ∞⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

=

( ) ( ) ( ) ( )

lim * * *

1 2∆ ∆ ∆

∆xxn

f x f x f xn

lim * * *

→ ∞+ + ⋅ ⋅ ⋅ +( ) ( ) ( )

1 2

Donde:

Losnúmerosa yb sellamanlímiteinferiorysuperiorrespectivamente;lafunción f recibeelnombredeintegrando.

Esimportanteseñalarquelaintegralindefinida∫f(x)dx representaunafamiliadefunciones(lasantiderivadasdef),mientrasquelaintegraldefinida a

b f x dx∫ ( ) esunnúmero.Éstasehadefinidoparaf(x)≥0,comoveremosmásadelante,seextiendeparaf(x)≤0dondeelsignodelaintegralseránegativo,puesencontramosfuncionesnonegativas,nopositivasyaquellasquetomanvalorestantopositivoscomonegativosycero.Lassiguientesfigurasmuestranestetipodefuncionesrespectivamente.

Lossiguientesejemplosmuestranelcálculodelvalordeláreabajolacurvaenunintervalo[a,b]medianteellímitedelasumadeRiemann.1. Obtenerunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1]concuatrosubinterva-losdeigualamplitud,eligiendoelvalorrepresentativoxk

*comofronteraderechadecadasu-bintervalo.Elaboralagráfica.

SoluciónParan=4,a=0,b=1.


Seobtiene∆x b an

= = =− − 1 04

14,

dedonde,x x x x1 2 3 414

12

34 1* * * *, , ,= = = = y,

f x f

f x f

1

2

2

2

14

14

116

12

12

*

*

( ) =

=

=

( ) =

=

=

,

114

34

34

916

1 1 1

3

2

42

,

,*

*

f x f

f x f

( ) =

=

=

( ) = ( ) = ( ) =

Luego,seobtiene:

A f x x f x x f x x

x f x f x f x

n≈ + + ⋅⋅⋅ +( ) ⋅ ( ) ⋅ ( ) ⋅

( ) ( )= + +⋅⋅⋅+

1 2

1 2

* * *

* *

∆ ∆ ∆

∆ nn*( )

=

== + + +14

14

15116

14

916

1 158 32

Porlotanto,unaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1],sumandolasáreasdecuatrorectángulosesde0.46875u 2.

2. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreaconsideradaenelejemploanteriorconnsubintervalos,paran=8,16,32,64,100,200,500y1000,tomandonuevamenteelvalorrepresentativoxk

*comofronteraderechadecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).Mostrarlasgráficaspara8y16subintervalos.

SoluciónElprocedimientoparalasaproximacionesseefectuódeformasimilar.Acontinuaciónsólosemuestraelprocedimientoparacalcularlaaproximacióndeláreaparan=1000,utilizandolacalculadora.

A x f x f x f xn≈ ( ) ( ) ( )

+ +⋅⋅⋅+

= + +

∆ 1 2

22

22

211000

1

1000

2

1000

3

* * *

11000

1000

1000

1 2 3 1000

1000222

2 2 2 22

11000+ + = + + +⋅⋅⋅+

...

+( ) ( )+( )

= =11000

11000 1000 1 2 1000 1

610002 11000

0 3338335

1000 1001 20016

10002

( )( )

= .

76 UNIDAD II

Losresultadosobtenidosenlacalculadorasepresentanenlatabla;lasfigurasmuestranlosrec-tángulosaconsiderarpara8y16subintervalosrespectivamente.Comopuedeobservarse,laaproximacióndeláreamejorasegúncreceelnúmeroderectángulos.

Númeroderectángulos

Aproximacióndelárea

8 0.398437516 0.36523432 0.34912164 0.341186100 0.33835200 0.3358375500 0.3343361000 0.3338335

Deestosresultadosseestimaquelasaproximacionestiendena13cuandontiendeainfinito,en-

tonceseláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1],medianteellímitedelasumadeRiemannesde13

2u .Porende,laintegraldefinidadef(x)=x2es:

01 2 1

3∫ = x dx

Resuelveloqueseteindican.

1. Paraeláreabajolagráficadef(x)=3xenelintervalo[0,2]realizalosiguiente: a) Muestralagráfica. b) Determinaeláreaexactaaplicandolatécnicadegeometríaplana. c) AplicaunasumadeRiemannconcuatrosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresen-

tativoxk*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.

d) AplicaunasumadeRiemannconochosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresen-tativoxk

*comofronteraizquierdadecadasubintervalo. e) Comparalasaproximacionesobtenidasenlosincisoscydconeláreaexactadeterminadaenel

incisob.¿Quépasaconlasaproximacionescuandocreceelnúmerodesubintervalos?

2. Realizaelejercicionúmero2eligiendoelvalorrepresentativoxk*comofronteraderechadecadasu-

bintervalo.

3. Paraeláreabajolagráficadef(x)=4–2x enelintervalo[0,2]realizalosiguiente: a) Muestralagráfica. b) Determinaeláreaexactacongeometría. c) AplicaunasumadeRiemannconcincosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresen-

tativoxk*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.

d) AplicaunasumadeRiemanncondiezsubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresenta-tivoxk

*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.


e) Comparalasaproximacionesobtenidasenlosincisoscydconeláreaexactadeterminadaenelincisob.¿Quépasaconlasaproximacionescuandocreceelnúmerodesubintervalos?

4. AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[0,1],concuatrosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresentativoxk

*comopuntomediodecadasubintervalo.Realizarlagráfica.

5. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreacon-sideradaenelejercicioanteriorconnsubintervalos,paran=8,16,32,54,100,200,500y1,000,to-mandonuevamenteelvalorrepresentativoxk

*comopuntomediodecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).Mostrarlasgráfi-caspara8y16subintervalos.

6. AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x2en[2,4],concincosubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresentativoxk

*comopuntomediodecadasubintervalo.Realizalagráfica.

7. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreacon-sideradaenelejercicioanteriorconnsubintervalos,paran=2,6,10,20,100y200,tomandonueva-menteelvalorrepresentativoxk

*comopuntomediodecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).Mostrarlasgráficaspara2y6su-bintervalos.

8. AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvaf(x)=x3en[0,1],condossubintervalosdeigualamplitud.Eligeelvalorrepresentativoxk

*comopuntomediodecadasu-bintervalo.Realizalagráfica.

9. Hacerloscálculosnecesariosencalculadoraocomputadoraparahallaraproximacionesaláreacon-sideradaenelejercicioanteriorconnsubintervalos,paran=5,10,20y50,tomandonuevamenteelvalorrepresentativoxk

*comopuntomediodecadasubintervalo.Estimarelnúmeroalquetiendentalesaproximacionesyexpresarlaintegraldefinidadef(x).

10.Realizaelejercicio9eligiendoelvalorrepresentativoxk*comofronteraizquierdadecadasubintervalo.

11.Realizaelejercicio9eligiendoelvalorrepresentativoxk*comofronteraderechadecadasubintervalo.

12.AplicaunasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvadelafunciónf(x)enelintervalo[a,b],conn subintervalosyeligiendoxk

*segúnseindica.

a) f(x)=x2+1;[0,2];n =5;xk*:puntomedio.

b) f(x)=4–x2;[–1,2];n=6;xk*:fronteraizquierda.

c) f(x)=1x;12

3,

;n=5;xk

*:fronteraderecha.

d) f(x)=ex;[–1,2];n=4;xk*:puntomedio.

78 UNIDAD II

Laprácticadeestosejerciciostepermiteverclaramenteque,alsumarrectángulosdetermina-dosenunintervalo[a,b]debasecadavezmáspequeña,seobtienenaproximacionesdeláreabajolacurvadeunafunción,loqueayudaadeducirelvalorexactodedichasáreas,obien,de-terminarelvalordelaintegraldefinidadetalfunción.

Noobstante,elcálculodelaintegraldefinidadeunafunciónporelmétodoexpuestonoresul-tamuypráctico,yaquesudesarrollosehaceextensoporelnúmerodeoperacionesqueimpli-ca.Ahora,emplearemosunmétodoqueresuelveelmismoproblemareduciéndoloalcálculodeunaantiderivada,comoseenunciaacontinuación:

Laintegraldefinidadelafuncióncontinua f(x)enel intervalo[a,b]esigualalvalorquetomaunaantiderivadaF(x)enpuntob, menoselvalorquetomaenelpuntoa.Estadife-renciaF(b)–F(a)sedesignapor F x

a

b( ) .Así:

ab

abf x dx F x F b F a∫ = =( ) ( ) ( )( ) −

Nótesequelaconstantedeintegraciónseomite,estosesigueentodosloscálculosqueinclu-yanunaintegraldefinida,yaquesiF(x)+cdenotaunaantiderivadadef(x),alefectuarladi-ferencia F b c F a c( )

( ) + − + seobtieneF(b)–F(a).

Acontinuaciónseseñalanlasprincipalespropiedadesdelaintegraldefinida,mismasquesederivandesudefinición.

Propiedad Condición

1. ab

ac

cbf x dx f x dx f x dx∫ ( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) Sic esunpuntointeriorde[a,b].

2. aa∫ ( ) f x dx = 0 Sia = b.

3. ab

ba∫ ( ) −∫ ( ) f x dx = f x dx

Sisepermutanloslímitesdeintegración,laintegralcambiadesigno.

4. ab

ab

abg∫ ± ( ) ∫ ( ) ± ∫ ( )( ) f x dx = f x dx g x dx Sifygsondosfuncionesdefinidasen[a,b].

5. ab

ab∫ ( ) ∫ ( ) k f x dx = k f x dx Sifesunafuncióndefinidaen[a,b]yk ∈ℜ.

Conestaspropiedadesyelmétodoantesexpuestoseobtieneelvalordelasintegralesdefinidascomosemuestraenlossiguientesejemplos:

Calculalasintegralesdefinidas.

1. 01 2∫ x dx =


SoluciónIntegrando:f(x))x2

Unaantiderivadaes:F x x( ) =3

3

Comoa =0yb =1,tenemos:F F1 013

03

13

3 3( ) ( )− = − =( ) ( )

Porlotanto:

01 2 3

0

1

313∫

dx = =x x

2. 02 2

0

2 2 23 32

32 2 3

2 0 6∫ = = =

( )

− ( )

x dx x

3. 02 2

02 2 22 2 0 0∫ − − − −( )

( ) ( )

( ) ( )

− x dx = =4 2 4 4 4x x == 4

4. 02 2

3

0

2 3 31 3

23

032 0∫ + = + = + − +( )

( )

( )( ) x dx x x (( )

= 14

3

5.1 11 1 1 0 1e e

xdx x e∫ = = − = − = ln ln ln

6.0 0 0 1 1 2π π π∫ = − = − − − = + = sen x dx xcos cos cos

7. 11 3 0∫ = x dx

8. 12 2

12 2

3

1

23 1 1 3 3 33

2 3

32∫ − = ∫ − = − =( ) ( )

( ) −( ) x dx x dx x x

− ( ) −( )

− −

=

1 3

31

23

23

3

= =3 443

9.01

13

03

03 3

20

312 2

323∫ + ∫ = ∫ = ∫ = =

x dx x dx x dx x dx x xx30

3

3 323

23

3 0 23

27

= − =

10. 22 2

22 2 3

0

2 34 4 4 3 4 2 2−

−−∫ − = ∫ − = − = −( ) ( )

( ) ( ) x dx x dx x x33 4 2 2

3

163

163

323

3

( ) ( )

− − − −

= + =

Evalúalaintegraldefinida.

1. 12 6∫ = x dx 2.

02 43∫ =x dx

3.−−∫ + −( ) =21 23 2 1 x x dx 4.

12

510

∫ =x

dx

5.12

412

∫ =x

dx 6. 04 5 3∫ =x dx /

80 UNIDAD II

7. 13

6

5∫ =

x dx 8. 0

1 536 2

∫

+ −x x

dx

9.−∫ +( ) =21 22x dx 10.

45 53∫ −( ) =x dx

11. 02 2 4

1∫ −( ) =x dx 12.0

32π

∫ =sen x x dxcos

13. 03π∫ − =cos x sen x dx 14.

02 3

π∫ =sen x dx

15. 02

225 4∫

−=x

xdx 16. 0

1 2∫ =−

xe dxx

17.4

2 1

2

0

4 x

xdx

+∫

2.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Enlaunidadanterioraprendisteacalcularlaintegraldeunafunciónapartirdelasfórmulasinmediatasdeintegración.Deigualmanera,evaluastelasintegralesdefinidasusandosolamen-tedichasfórmulas.Noobstante,enlamayoríadeloscasos,determinarlaintegraldeunafun-cióndada,seaindefinidaodefinida,implicaefectuarunaseriedepasosyprocedimientoshastareducirlaintegralaunadelasformasyaconocidas.Paraesto,comoyasemencionó,espreci-soconocerlosmétodosparaintegrarfunciones,atendiendoasuclasificaciónsegúnsuforma.Entrelosmétodosmásgeneralessetienen:cambiodevariable,Integraciónporpartes,Integra-cióndepotenciasdefuncionestrigonométricasyfraccionesparciales.

Cambio de variable

Tambiénselellamamétododeintegraciónporsustitución.Existenvariostiposdesustitucio-nesquefacilitanelcálculoparaunaciertaintegral;laqueabordaremosacontinuacióneslaal-gebraica,lacualesunaconsecuenciadeladerivacióndefuncionescompuestas.

Dadasdosfuncionesfyg,ysucomposición:

f g x f g x( ) ( ) = ( )

SiF g x( ) esunaantiderivadade f g x( ) ,aplicandolaregladelacadenaparaderivarF,setiene:

ddx

g x g xF F g x( ) ( ) ( )= ' '


Luego:

F g x g x dx g xF c' '( ) ( ) ( ) ∫ = +

Además,siF '=f,sellegaalaformaprecisadelaintegralquepuedeserdeterminadaporelmétododesustitución:

f g x g x dx g xF c( ) ( ) ( ) ∫ = +'

Apartirdeunaintegraldeestaforma,seaplicaelmétodoporsustituciónalgebraica,mediantealgunadelassiguientessustituciones:

a) Sustituirxport,talquex=g(t)

Obteniendolaintegral:

f g t g t dt f x dx( ) ( ) ( )∫ = ∫'

Quedeberáintegrarsedeformainmediata,transformandoelintegrandof(x)dx,desernecesa-rio,enotromássencillo.

Obien:

b) Sustituiru=g(x)

Dedonde,setieneunaintegralenfuncióndeu:

f g x g x dx f u du( ) ( ) ( )∫ = ∫'

Deberáelegirselasustituciónmásadecuadaparaf(u)demaneraquesuintegralserealicedeformainmediata.

Siresultafácilhallarlaintegraltransformada,elmétododecambiodevariable(porsustitución)funcionará,denoserasí,tendráqueresolverselaintegralporalgúnotrométodo.

Antesdeanalizarlosejemplos,vamosaconvenirintegrarmediantelasustituciónalgebraicadelincisob,conbaseenlossiguientespasos.

82 UNIDAD II

Método Procedimiento

Integracióndecambiodevariableointegraciónpor

sustitución

Paso1(P1) Elegiru=g(x),queporlogeneraleslafunción“in-terior de la función compuesta f [g (x)] (expresióndentrodeunparéntesis,enelexponente,etc.).

Paso2(P2) Hallardu=g‘(x)dx.Paso3(P3) Sustituiru=g(x)ydu=g‘(x)dxenlaintegralhasta

dejarlaindicadasóloentérminosdeu.Paso4(P4) Determinarlaintegralresultantedelpaso3.Paso5(P5) Deshacerelcambiodevariablereemplazandouporg

(x)paraobtenerelresultadoenfuncióndex.

Conestospasosesposibleencontrarlaintegralindefinidadelaforma f g x g x dx( ) ( )∫ ' ;sinem-bargo,debesrecordarqueparaevaluarunaintegraldefinidaenestaformamedianteestemé-todo,primerodebesencontrarlaintegralindefinidacorrespondiente,luegodeterminarelvalordelaintegraldefinidadedosformas:apartirdelaintegralindefinidaencontradaenfuncióndex,atendiendoaloslímitesdeintegraciónotorgados,obien,apartirdelaintegralindefinidaen-contradaenfuncióndeu,cambiandoloslímitesdeintegraciónconrespectoau.

I. Calcularlaintegralqueseindica.

1. 2 12 4x x dx+( )∫

SoluciónSiguiendolospasos:

(P1) Elegimosu=x2+1.

(P2) Entoncesdu=2x dx.

(P3) Así:

2 1 1 22 4 2 4 4x x dx x x dx u du+( ) = +( ) ( ) =∫ ∫ ∫(P4) u du u c4 51

5∫ = +

(P5) Reemplazandou porx2+1,setieneelresultadodelaintegral.

2 1 15

12 4 2 5x x dx x c+ = + +( ) ( )∫

2. 5 5 3 5 5 31

2x dx x dx− = −( )∫ ∫(P1) Elegimosu=5x–3


Método Procedimiento

Integracióndecambiodevariableointegraciónpor

sustitución

Paso1(P1) Elegiru=g(x),queporlogeneraleslafunción“in-terior de la función compuesta f [g (x)] (expresióndentrodeunparéntesis,enelexponente,etc.).

Paso2(P2) Hallardu=g‘(x)dx.Paso3(P3) Sustituiru=g(x)ydu=g‘(x)dxenlaintegralhasta

dejarlaindicadasóloentérminosdeu.Paso4(P4) Determinarlaintegralresultantedelpaso3.Paso5(P5) Deshacerelcambiodevariablereemplazandouporg

(x)paraobtenerelresultadoenfuncióndex.

Conestospasosesposibleencontrarlaintegralindefinidadelaforma f g x g x dx( ) ( )∫ ' ;sinem-bargo,debesrecordarqueparaevaluarunaintegraldefinidaenestaformamedianteestemé-todo,primerodebesencontrarlaintegralindefinidacorrespondiente,luegodeterminarelvalordelaintegraldefinidadedosformas:apartirdelaintegralindefinidaencontradaenfuncióndex,atendiendoaloslímitesdeintegraciónotorgados,obien,apartirdelaintegralindefinidaen-contradaenfuncióndeu,cambiandoloslímitesdeintegraciónconrespectoau.

I. Calcularlaintegralqueseindica.

1. 2 12 4x x dx+( )∫

SoluciónSiguiendolospasos:

(P1) Elegimosu=x2+1.

(P2) Entoncesdu=2x dx.

(P3) Así:

2 1 1 22 4 2 4 4x x dx x x dx u du+( ) = +( ) ( ) =∫ ∫ ∫(P4) u du u c4 51

5∫ = +

(P5) Reemplazandou porx2+1,setieneelresultadodelaintegral.

2 1 15

12 4 2 5x x dx x c+ = + +( ) ( )∫

2. 5 5 3 5 5 31

2x dx x dx− = −( )∫ ∫(P1) Elegimosu=5x–3

(P2) Entonces,du=5dx.

(P3) Así:

5 5 3 5 3 51

21

21

2x dx x dx u du−( ) = −( ) =∫ ∫ ∫(P4) u du u c cu

12

322

323

3∫ = + = +

(P5) Reemplazandou por5x–3,setieneelresultadodelaintegral.

5 5 3 23

5 3 3x xdx c− −∫ = ( ) +

3. 11

11

2

xdx dxx

+∫ ∫= +( )−

(P1) Elegimosu=x+1.

(P2) Entonces,du=dx.

(P3) Así:

x dx u du+( ) =− −∫ ∫11

21

2

(P4) u du u c cu−∫ = + = +1

21

22 2

(P5) Reemplazandou porx+1,setieneelresultadodelaintegral.

11

2 1x

x cdx+

+ +∫ =

4. x x dx2 33

21−( )∫(P1) Elegimosu=x3–1.

(P2) Entonces,du=3x2dx,o132du x dx= ,

(P3) Así:

x x dx x x dx u du u du2 3 3 21 13

23

2 32

321

313

− −( ) = ( ) = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫(P4)

13

13

25

215

32

52 5u du u c cu∫ = + = +⋅

(P5) Reemplazandou porx3–1,setieneelresultadodelaintegral.

x dxx cx2 3 3 51 215

32

1− +( ) =∫ −( )

84 UNIDAD II

Enlossiguientesejemplossesigueelmismoprocedimiento,peroseomitenlospasos.

5. e dxx− =∫ 2

Seau=–2x

Entonces,du=–2dx,o− =12 du dx .

Luego:

e dx e du e du e cx u u u− = − = − = − +∫ ∫ ∫

2 12

12

12

Porlotanto:

e dx e cx x− −= − +∫ 2 212

6. ln xx

dx( )∫ =

2

2Seau=lnx

Entonces,du x dx= 1 .

Luego:

lnln

xx

dx xx

dx u du u c u c( ) ( ) ⋅ ⋅∫ ∫ ∫= = = =+ +2

2 2 3 32

12

1 12

1213

16

Porlotanto:

lnln

xx

x cdx( ) ( )∫ = +2

3

216

7. x

x xdx+

+ +=∫

46 182

Paracalcularintegralesquecontienenunaexpresióncuadrática,completaralcuadradopuedeconduciraunaintegralquedespuésdeaplicarlasustitucióntengaunasolucióninmediata.

Completandoalcuadradoestaintegral,tenemos:

x

x

x

x

x

x x

x

xx xdx dx dx+

+ +

+

+ + +

+

+ +( ) +

+

+( )∫ ∫ ∫= = =4

6 18

4

6 9 9

42 6 9 9

4

32 2 2 ++∫ 9dx

Integramosporsustitución

(P1) Elegimosu=x+3

(P2) Entoncesdu=dx

Unpicantematemático:Estaban las derivadas encierta fiesta que organiza-ron. Como la exponencialestaba solita, dijo una deri-vada:―exponencial,intégra-te―.Aloqueellarespondió:―paraqué,dalomismo.


(P3) Así,

x

x

x

x

u

u

u

u udx dx du du+

+( ) +

+( ) +

+( ) +

+

+ + +∫ ∫ ∫ ∫= = = +4

3 9

3 1

3 9

1

9 9

12 2 2 2 2 99∫ du

(P4) u

u udu du u u c2 29

1

9

1

2

12 9 13 3+ +

−∫ ∫+ = ( ) + ++ln tan

Evaluandoporseparadocadaintegral,setiene:u

u v v

u o

du dv dv v

v dv

u

u du

2

2

9

1 1

2

1

2

1 1

2

1

2

9

2 9

2+

+

∫ ∫ ∫= ⋅ = = = ( )= =

+ln ln

, , 12 dv udu=

1

9

12

13 3u

du u+

−∫ ={ tan

(P5) Reemplazandou porx+3,setieneelresultadodelaintegral.

1x

x xc

x x

dx xx+

+ ++

+ +

∫ = +( )

+

+( ) +

=

−46 18

9 13 3

6

22

2

1

2

1

1

2

33

ln

ln

tan

118 13 3

1 3( ) ++( ) +−tan x c

II.Evaluarlaintegralqueseindica.

1. x dxx4 20

4+∫ =

Primeroprocedemosaencontrarlaintegralindefinidacorrespondiente:

x dx x dxx x4 42 21

2+ +( )∫ ∫=Seau=4+x2

Entonces,du=2x dx,o 12 du x dx=

Luego:

x dx x dx u du u du

u c

x x4 421

2 21

2 12 12

32

12

12

12

23

1

+( ) +( ) ⋅ ⋅

⋅

∫ ∫ ∫ ∫= = =

= + = 3313

13

32 3 2 3

4u c c cu x+ = + = ++( )Ahora,podemosevaluarlaintegraldefinidaapartirdelresultadoqueencontramosenfuncióndex:

Portanto:

Fórmulas que conducen auna función trigonométri-cainversa:

du

u a a

u

a

du

a usen

u

a

2 2

1

2 2

1

1

+=

−=

∫

∫

−

−

tan

86 UNIDAD II

x dxx x4 13

4 2 3

13

4 4 2 3 13

4 0

2

0

4

0

4+ +( )

+( )( )

+( )

∫ =

= − 22 3

13

20 3 13

4 3 40 53

83

( )

( )

( )

= − = −

( )= −83

15 5

Obien,puedeevaluarselaintegraldefinidaapartirdelresultadoqueencontramosenfuncióndeu:

Paraesto,alcambiarloslímitesdeintegraciónenfuncióndeu,siendou=4+x2,setiene:

Cuando x=0, u=4+(0)2=4(límiteinferiordeintegración).

Cuando x=4, u=4+(4)2=20(límitesuperiordeintegración).

Porlotanto:

x dxx u4 13

34

20 13

3 13

4 3 40 53

20

420+

( )

( )

∫ = = − =

( )− = −83

5 583

1

I. Calculalaintegralqueseindica.

1. 4 4 5 3x dx+( )∫ 2. 4 3 2 4x dx+( )∫

3. 6 4 10 52 3 2 4

x x x x x dx+ ++( ) +( )∫ 4.x

xdx

4

51−∫ 5.

x

xdx

32 1+∫ 6. 2 5x dx+∫

7. 2 1 2x x dx+( )∫ 8.x

x

dx2

3 32 1+( )

∫

9. e dxx−∫ 2 10. xe dxx 2

∫ 11. xe dxx2 12 −∫ 12. x e dxx2 3 5+∫ 13. e e dxx x− −∫ 14. e

x

xedx

1−∫ 15.

ex

xdx∫ 16.

ln 5xx

dx∫ 17.

1x x

dxln∫ 18. cos5xdx∫


19.cos x

xdx∫ 20. x x dxsec2 23 4−( )∫

21.sen x

xdx

cos2∫ 22.sec

secx tg x

xdx

9 4 2+∫

23.2 7

2 52x

x xdx+

+ +∫ 24.6 1

4 4 102x

x xdx−

+ +∫ 25.

2 516 6 2

x dxx x

+− −

∫ 26.4 311 10 2

x dxx x

−+ −

∫

II. Evalúalaintegralqueseindica.

1. x x dx2

0

2 3 1+( )∫ 2. x x dx2 31

0

2−( )∫

3. 5 41

9x dx+∫ 4. x x dx5 42

0

1+∫

5.12 10

1

xdx

+∫ 6. xe dxx2

0

2 2

∫ 7.

142

3

xdx

xln( )∫ 8.dx

x xe

e

ln

4

∫ 9. sen

xdx

20

2π∫ 10. sen2

0

4 2 2x x dxcosπ

∫ 11.

senθθ

θπ

cos

/

20

3d∫ 12. cosx e dxxsen

0

π∫

Hastaahoratransformamosintegralesutilizandoelmétododesustituciónmediantesustitucióntrigonométricadeexpresionesquecontienen a u2 2− ; u a2 2± ysustituciónalgebraicadelaforma f g x g x dx f u du( ) ( ) ( )∫ = ∫' .Acontinuaciónestudiaremosotrotipodesustituciónparare-solverintegralesdeexpresionesracionalesdefuncionestrigonométricas.

Observa.Unadiferencialquecontieneracionalesdefuncionestrigonométricaspuedetransfor-marseenotraexpresióndiferencialracionalenfuncióndet,mediantelasustitución:

tg x t2

=

Obien,porlassustituciones:

sen x tt

=+2

1 2 , cosx tt

= −+11

2

2 , dxt

dt=+2

1 2

Unajustificacióndeestasrelacioneseslasiguiente:

Asaber,lafórmulaparadeterminarlatangentedelángulomitades:

tg x xx2

11

= ± −+coscos

88 UNIDAD II

Elevandoalcuadradosetiene:

tg x xx

22

11

= −+coscos

Sustituyendotg x t2

= ,sehallalasustitucióndecosx:

t t xx

t x x

x t t

x t

2

2

2 2

2

111 1

1 1

11

= −+

+( ) = −

+( ) = −

= −+

coscoscos cos

cos

costt 2

Fijandoestarelacióneneltriángulorectángulodelafigura,seencuentratambiénlasustituciónde senx,siendo:

senx tt

=+2

1 2

Ycomo tg x t2

= ,entoncesx=2tg–1t.

Dedonde,dxt

dt=+2

1 2 .

Realicenlasiguienteactividadaplicandoestassustituciones.

¿Cómooperaelmétododecambiodevariabletgx

t2

= ?

Enequiposdetrabajodecuatroalumnosresuelvanlasintegralesqueseindican.

1.dx

senx x5 4 3− +∫ cos 2.

dxsenx x1+ +∫ cos

3.dx

senx tg x+∫ 4.dx

senx x2 3− +∫ cos

Analicenlaimportanciadelmétodoyquecadaequipoexpongaunejercicio.

Enseguidaseresuelveunaintegralaplicandolasustitucióntg x t2

= .

Hallardxsen x5 4 2+∫ =

Primerohagamoslasustituciónu=2x,dedonde,12 u x= y12

du dx= .

AActividad


Entonces:

dxx

duu5 4 2

12 5 4+ +∫ ∫=

sen sen

Ahoraapliquemoslassustituciones:

sen u tt

=+2

1 2 ydut

dt=+2

1 2

Así:

12 5 4

12

21

5 4

12

215 8

1

2 2

22

1 2

dusen u

tdt

tdt

tt

t

t

++

+++

+∫ ∫= =

+

∫∫ ∫

∫

=

= =

++

+

++ +

+

+( )

+

12

21

5 81

12

21

5 8 51

12

2

2

2

2

2

1 2

1 2

2

tdt

tt

tdt

tt

t

t

t(( )

+ +( ) +( )∫ ∫=+ +5 8 5 2 1 2 5 8 52t t t

dt dtt t

Resolvemoscompletandoalcuadrado:dt

t t

dt

t t

dt

t t

dt

t5 2 8 5

15 2 8

51

15 2 8

51625

925

15+ +

∫ =+ +

∫ =+ +

+∫ =

++

+∫

= ⋅ −+

= ⋅ −

+

=

45

2 925

15135

145

35

15

53

15 4

535

1tgt

tg

t

331 5 4

3tg t c− + +

Porlotanto:

dxx

tg t c5 4 2

13

5 43

1+

+ +∫ = −sen

Paraevaluarunaintegraldefinidaporésteuotrométodo,primeroseencontrarálaintegralin-definidacorrespondiente,luegopodrádeterminarseelvalordelaintegraldefinidaatendiendoaloslímitesdeintegración.

Calculalassiguientesintegrales.

1.dx

senx x1+ −∫ cos 2.

dxx13 5−∫ cos

3.dx

x2 1cos +∫ 4.dxsenx2 +∫

5.dθ

θπ

4 30 −∫ cos 6. 1

dθθ

π

2 30

2

+∫ sen

90 UNIDAD II

7.dθ

θ

π

12 130

2

+∫ cos 8.dx

x3 50

2

+∫ sen

π

Integración por partes

Laintegraciónporpartesesotrométodo,aligualqueelmétododecambiodevariable,sebasaenunaregladederivación.Enestecasoeslaregladelproducto,lacualafirmaquesifygsonfuncionesdiferenciales,entonces:

ddx

f x g x f x g x g x f x( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )' '

Apartirdeésta,seobtienelafórmuladeintegraciónporpartes:

f x g x dx f x g x g x f x dx( ) ( )∫ = ( ) ( ) − ( ) ( )∫' '

lacualpuedesimplificarse,siu=f(x),du=f‘(x)du,dv=g‘(x)dxyv=g(x),quedandoexpre-sadacomo:

u dv uv v du∫ ∫= −

Lafórmuladeintegraciónporpartesnospermiteexpresarunaintegralindefinidaentérminosdeotraquepuedasermásfácildeevaluar.

¿Cómodeducirlafórmuladeintegraciónporpartes?

Investigasobrelafórmuladeintegraciónporpartes.Enequiposdenomásdecuatroalumnos,monito-readosporsuprofesor,realicenlosiguiente:

1. Deduzcanlafórmuladeintegraciónporpartesmediantelaregladederivacióndelproductoencual-quieradelasformas:

ddx

f x g x f x g x g x f x( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )' '

Obien,d(uv)=u dv+v du

2. Despuésdeobtenerlafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,comentenyenlistenloscriteriosparalaeleccióndelosfactoresuydv.

a)

b)

AActividad


c)

3. Elijanunequipoqueexpongafrentealgrupolosresultadosobtenidos.

Lossiguientesejemplosmuestrancómoseaplicalafórmuladeintegraciónporpartes:

u dv uv v du∫ ∫= −

Calculalaintegralqueseindica.

1. xe dxx∫SoluciónObservacómosevandescartandolosprocedimientosdeintegraciónhastaelegirelmáscon-veniente.Porejemplo,paraestaintegraldebemospreguntarnos:¿tieneelintegrandolaformaparausarlastablasinmediatasdeintegración?No,¿podemosaplicaralgunasustituciónalge-braica?No,¿algunasustitucióntrigonométrica?Tampoco;entoncesintentemoslaintegraciónporpartes:

Hagamosu=xydv=exdx

Dedonde,du=dx(diferenciandoambosmiembrosdeu=x).

y,v e dx ex x= =∫ (integrandoambosmiembrosdedv=ex dx).

Aplicandolafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,tenemos:

xe dx xe e dx

xe e c

x x x

x x

∫ ∫= −

= − +

Porlotanto:

xe dx e cx x x∫ = ( ) +−1

Elintentodeintegrarporpartesfueexitoso.Estelogrodependeevidentementedelaelec-ciónadecuadadeuydv.Paraunaelecciónadecuadadeuydv,debesconsiderarqueduseamássencillaqueu,dvseafácildeintegrar,ylaintegral v du∫ delafórmulapuedaevaluarsefácilmenteyseamenoscomplicadaquelaoriginal.

92 UNIDAD II

2. x x dxcos∫SoluciónHagamosu=xydv=cosx dx

Dedonde,du=dxyv x dx x= ∫ =cos sen

Sustituyendoenlafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,tenemos:

x x dx x x x dxcos∫ ∫= −sen sen

Porlotanto:

x x dx x x x ccos cos∫ = + +sen

3. x x dxln∫Hagamosu=lnxydv=x dx

Dedonde,dux

dx= 1yv x= 12

2

Porlotanto:

1 x x dx x dx

x dx

x x x

x x

x x

ln ln

ln

ln

∫ ∫

∫

=

=

=

⋅ −

−

−

⋅

12

12

1

12

12

12

1

2 2

2

244

12 2 1

2

2

x c

x x c

+

− += ( )ln

3. x e dxx2∫Hagamosu=x2ydv=ex dx

Dedonde,du=2xyv=ex

Sustituyendoenlafórmula u dv uv v du∫ ∫= − ,tenemos:

x e dx x e e x dx

x e xe dx

x x x

x x

2 2

2

2

2∫ ∫

∫= ( )=

−

−Laintegralobtenidadelafórmulanoseresuelveinmediatamente;suformanosllevadenuevoaaplicarlaintegraciónporpartes,cuyoresultadoseobtuvoenelejemplo1.


Aplicarelmétododeintegraciónporpartesnosconducealgunasvecesausaralgúnotromé-todoorepetirelmismoquealhallarlaintegralsurgidadelafórmula.

Así:

x e dx x e xe e c x e xe e c e cx x x x xx x x x x2 2 2 22 2 2 22∫ = −( ) + = + + = +− − − +( )

I. Anexaatuformulariodeintegraciónlafórmuladeintegraciónporpartesycalculalaintegralqueseindica.

1. x x dx+( )−∫ 13

2 2. x x dx+( )−∫ 4 2

3. x x dx−∫ 5 4.xx

dx2 3+∫

5. x e dxx2∫ 6. xe dxx

4∫7. 6 3x e dxx∫ 8. e x dxx −( )∫

2

9. x e dxx+( )∫ 1 10. x x dx+( )−∫ 4 2

11. x dxxln 2∫ 12. x dxx2 2ln∫13. x dxx3 ln∫ 14. x dxxln∫15. x x dxln∫ 16.

lnx dxx

∫17.

lnx dxx

2∫ 18. ln x dx∫19. sec3 x dx∫ 20. e dθ θ θ∫ cos

21. arcsen x dx∫ 22. arc tg x dx∫II. Evalúalaintegralqueseindica.

1. x e dxx0

2ln

∫2. x e dxx-

0

2

∫3. x e dxx2

0

1 -∫4. ln x dx

1

4

∫5. x x dxln

1

2

∫

94 UNIDAD II

Integración de potencias de funciones trigonométricas

Ahoravamosaintegrardiferencialestrigonométricasdelaforma:

senm nx x dxcos∫ y tg x x dxm nsec∫Emplearemoselmétododereducciónsucesivaqueconsisteenhacerdependerlaintegraldadadeotraintegraldelamismaforma.

Paraefectuarestaintegraciónsedistinguiránlossiguientescasos:

Caso Formadelaintegral Condiciones Transformacióneidentidadutilizada

Isenm nx x dxcos∫ monesunentero

positivoimparmesunenteropositivoimpar

sen sen senm mx x x= ⋅−1

sen 2 21x x= − cos

nesunenteropositivoimpar

cos cos cosn nx x x= ⋅−1

cos 2 21x x= − sen

IIsenm nx x dxcos∫ mynsonenterosparesnonegativos

sen senx x xcos =12

2

sen 2 12

2x

x=

− cos

coscos2 12

2x

x=

+

IIItg x x dxm nsec∫ nesunenteropositivopar sec sec secn nx x x= ⋅−2 2

1 2 2+ =tg x xsec

IVtg x x dxm nsec∫ mesunenteropositivoimpar tg x x

tg x x x tgx

m n

m n

sec

sec sec

=

⋅ ⋅ ⋅− −1 1

tg x x2 2 1= −sec

Vtg x x dxm nsec∫ mesunenteropositivopary

nesunenteropositivoimpar tg x x2 2 1= −sec

Los siguientesejemplosmuestran la integracióndepotenciasde funciones trigonométricas,atendiendoaloscasosespecíficosdeestatabla.


Calcularlassiguientesintegralesidentificandoelcasoalquepertenecen.

1. sen3 2x x dxcos∫SoluciónComom =3esunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorrespondealcasoI,enton-cessiusamoslatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:

sen sen sen

sen

3 2 2 2

2 2

2

1

x x dx x x x dx

x x x dx

cos cos

cos cos

cos

∫ ∫∫

=

= −( )= xx x x dx

x x dx x x dx

−( )= −

∫∫ ∫

cos

cos cos

4

2 4

sen

sen sen

Porsustitución:

Siu=cosx,entoncesdu=senxo–du=senx

Portanto:

sen sen sen3 2 2 4

2 4

x x dx x x dx x x dx

u du u du

cos cos cos∫ ∫ ∫∫ ∫

= −

= −( ) − −( )= −− + = −

= − +

= − +

∫ ∫ ∫ ∫u du u du u du u du

u u c

x x c

2 4 4 2

5 3

5 3

15

13

15

13

cos cos

2. sen4 3x x dxcos∫SoluciónComon =3esunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorrespondealcasoI;entoncesutilizamoslatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,ytenemos:

sen sen

sen sen

sen

4 3 4 2

4 2

4

1

x x dx x x x dx

x x x dx

cos cos cos

cos

∫ ∫∫

=

= −( )= xx x x dx

x x dx x x dx

−( )= −

∫∫ ∫

sen

sen sen

6

4 6

cos

cos cos

96 UNIDAD II

Porsustitución:

Siu=senx,entoncesdu=cosx

Porlotanto:

sen sen sen4 3 4 6

4 6

515

1

x x dx x x dx x x dx

u du u du

u

cos cos cos∫ ∫ ∫∫ ∫

= −

= −

= −77

15

17

7

5 7

u c

x x c

+

= − +sen sen

3. sen x x dx2 2cos∫SoluciónComom=2yn=2sonenterosparesnonegativos,laformadelaintegralcorrespondealcasoII;entoncessiusamoslatransformaciónylasidentidadestrigonométricasindicada,tenemos:

sen2 2

2

12

12

1

1 1

2 2

14

2

14

x x dx x x dx

x dx

cos cos cos

cos

c

∫ ∫

∫

= ⋅

= ( )=

− +

−

− + oos

cos

cos

4

14

1 12

4

14

12

4

2

2

2

x dx

x dx

x dx

= −

= −

∫

∫ −

∫∫

∫∫ ∫= − = −14

12

14

4 18

18

42

dx x dx x x dxcos cos

Porsustitución:

Siu=4x,entoncesdu=4dxo14 du dx= .

Porlotanto:

sen

sen

2 2 18

18

4

18

132

4

x x dx x x dx

x x c

cos cos∫ ∫= −

= − +


4. tg x x dxsec4∫SoluciónComon =4esunenteropositivopar,laformadelaintegralcorrespondealcasoIII;entoncessiseemplealatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:

tg x tg x

tg x tg

t

x dx x x dx

x x dx

sec sec sec

sec

4 2 2

2 2

12

12 1

∫ ∫∫

= ( )= ( ) ( )=

+

gg x tgx dx x x dx( ) + ( )∫∫1

25

22 2sec sec

Porsustitución:

Siu=tg x,entoncesdu=sec2x dx.

Porlotanto:

tg x tg x tgx dx x dx x x dx

u du u du

sec sec sec4 2 212

52

12

52

∫ ∫∫∫∫

= ( ) + ( )= +

= 223

27

23

27

32

72

32

72

u u c

tg x tg x c

+ +

= ( ) + ( ) +

5. tg x x dx3 7sec∫SoluciónComomesunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorrespondealcasoIV;entoncessiutilizamoslatransformaciónylaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:

tg x x dx tg x x x tg x dx

x x x tg x dx

3 7 2 6

2 61

sec sec sec

sec sec sec

∫ ∫∫

=

= −( )= ssec sec sec sec8 6x x tg x dx x x tg x dx⋅ − ⋅∫ ∫

Porsustitución:

Siu=secx,entoncesdu=secx tg x dx.

98 UNIDAD II

Porlotanto:

tg x x dx x x tg x dx x x tg x dx

u du u du

3 7 8 6

8 6

sec sec sec sec sec∫ ∫ ∫∫ ∫

= ⋅ − ⋅

= −

== − +

= − +

19

17

19

17

9 7

9 7

u u c

x x csec sec

6. tg x x dx2 sec∫SoluciónComomesunenteropositivoparynesunenteropositivoimpar,laformadelaintegralcorres-pondealcasoV;entonces,usandolaidentidadtrigonométricaindicada,tenemos:

tg x x dx x x dx

x dx x dx

2 2

3

1sec sec sec

sec sec

∫ ∫∫ ∫

= −( )= −

Aplicandointegraciónporpartes:

1 sec sec ln sec3 12

12

x dx x tg x x tg x∫ = + +

y1 sec ln secx dx x tg x∫ = +

Porlotanto:

tg x x dx x dx x dx

x tg x x tg x x

2 3

12

12

sec sec sec

sec ln sec ln sec

∫ ∫ ∫= −

= − + + ++ +

= − + +

tg x c

x tg x x tg x c12

12

sec ln sec

Elaboratuformulariodeintegracióndepotenciasdefuncionestrigonométricasapartirdelatablaex-puestaenestetema,ycalculalaintegralqueseindica.

1. sen x dx3∫ 2. sen x dx5∫3. cos3 x dx∫ 4. sen5 2x x dxcos∫5. sen4 7x x dxcos∫ 6. sen3 3x x dxcos∫


7. sen4 2x x dxcos∫ 8. sen4 2x x dxcos−∫ π

π

9. sen5 50

2 x x dxcosπ

∫ 10. sen3 20

x dxπ

∫11. tg x x dx2 4sec∫ 12. tg x x dx3 sec∫13. tg x x dx3 42 2sec∫ 14. tg x x dx4 4sec∫15. tg x x dx33 3sec∫ 16. tgx x dxsec∫17. tg x x dx

32 4sec∫ 18. tg x x dx+( )∫ cot 2

19. tgx x

dx2 2

3

sec

∫ 20. tg x x dxsec4

4

4

−∫ π

π

Fracciones parciales

Lastécnicasdeintegraciónabordadashastaelmomentonoshanayudadoacalcularintegralesdedistintasformasquenoesposibleevaluarinmediatamente;sinembargo,aúnnosepuedeevaluarciertasintegralesdelaforma:

PQ

dxx

x

( )( )∫

Portalmotivo,vamosaestudiarlatécnicadeintegraciónporfraccionesparciales,lacualdarásoluciónaestasintegrales.

UnaexpresióndelaformaPQ

x

x

( )( ) dondeelnumeradorydenominadorsonfuncionesenteras,

esdecir,funcionescuyavariablenotieneexponentesnegativosofraccionariossellamafunciónracional.Sielgradodelnumeradoresigualomayoralgradodeldenominador,alefectuarladi-visión,lafunciónpuedereducirseaunaexpresiónmixta.Porejemplo,alefectuarladivisióndex xx x

42

4 54 8

− +− + obtenemoscomocociente:

x x

x x x x x x

2

2 4 3 2

4 8

4 8 0 0 4 5

+ +

− + + + − +

− + −

−

x x x

x x

4 3 2

3

4 8

4 8 22

3 2

4

4 16 32

−

− + −

x

x x x

8 36 52x x− +

− + −8 32 642x x − −4 59x

x2+4x+8conresiduo–4x–59.Porlotanto:

100 UNIDAD II

x xx x

x x xx x

42

22

4 54 8

4 8 4 594 8

− +− +

= + + − +− +

Dondelafunciónracionalresultantequedareducidaasumássimpleexpresión,congradodelnumeradormenoralgradodeldenominador(funciónracionalpropia).

Laintegraldeestafunciónseindicacomo:

∫− +

− += ∫ + + − +

− +

x x

x xdx x x x

x xdx

4 4 52 4 8

2 4 8 4 592 4 8

Comoseobservaenlaexpresióndelladoderecho,losprimerostérminospuedenintegrar-seinmediatamente,asíqueatenderemoslafunciónracionalreducidayelmétodoquepermi-taevaluarla.

ParaintegrarciertasfuncionesracionalesPQ

x

x

( )( ) endondeelgradodeP(x)esmenorqueel

gradodeQ(x),seaplicaráelmétododefraccionesparciales,queconsisteprimeroendes-componerQ(x)enunproductodefactoreslinealesocuadráticosirreduciblesquepermi-tancompletarlaintegración.

ElmétododefraccionesparcialesdependerádelafactorizacióndeQ(x),segúndeterminenloscasosdescritosacontinuación.

2.2.1 Denominadores con factores lineales

ParacalcularlaintegraldeunafunciónracionalpropiaPQ

dxx

x

( )( )∫

,conQ(x)representado

comounproductodefactoreslineales,todosdistintosoalgunosrepetidos,setieneunare-glaaseguirsegúnelcaso.Acontinuaciónseenumeranestoscasosysuregladesoluciónco-rrespondiente.

CasoI:LosfactoresdeldenominadorQ(x)sontodoslinealesdistintos.

Regla:RepresentarelintegrandocomounasumadetérminosdelaformaC

ax b+paracadafac-

torlinealax+bdeldenominador,dondeCesunaconstantedesconocida.

Así:

P xQ x

Aa x b

Ba x b

Ca x b

( )( )

=+

++

++

+1 1 2 2 3 3

...(tantoscomofactoreslinealessean).

Resolveralgebraicamentehastaencontrarlosvaloresdelasconstantes.


Integrarapartirdeestarepresentacióndelintegrando,obteniéndoseunasumadetérminosdelaformaC ax bln + .

CasoII:LosfactoresdeldenominadorQ(x)sontodoslinealesyalgunosserepiten.

Regla: Para cada factor lineal repetido donde del denominador, representar el integrandocomo:

P xQ x

Aax b

Bax b

Cax b

( )( ) ( ) ( ) ( )

=+

++

++

+2 3 ...(lasvecesqueserepiteelfactorlineal).

Resolveralgebraicamentehastaencontrarlosvaloresdelasconstantes.Integrarapartirdeestarepresentacióndelintegrando.

CuandoeldenominadorQ(x)contienetantofactoreslinealesdistintoscomorepetidos,sein-tegracombinandoamboscasos.

Lossiguientesejemplosmuestrancómorealizaresteprocedimiento.

Calcularlaintegralqueseindica.

1. x xx x

dx3

22

3 2−

+ +=∫

SoluciónObservemosqueelgradodelnumeradoresmayorqueelgradodeldenominador,asíquepri-

meroefectuandoladivisión x xx x

3

22

3 2−

+ +,seobtiene:

x

x x x x x

x x

−

+ + + −

− −

3

3 2 0 2

3

2 3 2

3 22

2

2

3 4

3

−

− −

x

x x

xx xx

2 9 65 6

+ ++

x xx x

dx x xx x

dx3

2 22

3 23 5 6

3 2−

+ += − + +

+ +∫ ∫

Prestemosahoraatenciónalafunciónracionalpropia 5 63 22

xx x

++ + .

Factorizamoseldenominadorx2+3x+2=(x+1)(x+2),obteniendofactoreslinealesdis-tintos;entoncessegúnlaregla:

5 63 2 1 22

xx x

Ax

Bx

++ +

= + + +

102 UNIDAD II

ResolviendoparaAyB:

5 63 2

2 11 2

5 63 2

2

2

2

xx x

A x B xx x

xx x

Ax A Bx Bx

++ +

=+ + ++ +

++ +

= + + +

( ) ( )( )( )

++ +

++ +

=+ + +

+ +

( )( )( ) ( )

( )( )

1 2

5 63 2

21 22

x

xx x

A B x A Bx x

Dedonde:5x+6=(A+B)x+(2A+B)5x=(A+B)xy6=2A+B5=A+B6=2(5–B)+BA=5–B6=10–2B+BA=5–4B=4A=1

Asíque:

x xx x

dx x x x dx

x x x x

3

2

2

23 2

3 11

42

2 3 1 2

−+ +

= − + + + +

= − + + + + +

∫ ∫

ln ln cc

2.x x

xdx

2

32 41

+ ++

=( )∫

SoluciónComoelintegrandoesunafunciónracionalpropia,cuyodenominadorcontieneunfactorli-nealrepetido(potencia3),entoncessegúnlaregla:

x xx x x x

A B C2

3 2 32 41 1 1 1

+ ++

=+

++

++( ) ( ) ( ) ( )

ResolviendoparaA,ByC:

x xx

A x B x Cx

2

3

2

32 41

1 11

+ ++

= + + + ++( )

( ) ( )( )

Dedonde:

x x Ax A B A B CA A B A B C

A B

x2 22 4 21 2 2 4

1 2 2 41

+ + = + + + + += = + = + +

= = +

( ) ( )

( ),,

y== + +

= =1 0

0 3C

B C


Asíque:

x xx

dx x x xdx

x

2

3 2 32 41

11

01

31

11

+ ++

= + ++

++

+

( ) ( ) ( ) ( )

(

∫ ∫

= )) ( )

( )

+ +

= + −+

+

−∫ 3 1

1 31

3

22

x dx

xx

cln

2.2.2 Denominadores con factores cuadráticos

Análogamente,paracalcularlaintegraldeunafunciónracionalpropia1PQ

dxx

x

( )( )∫

,ahora

conunoomásfactorescuadráticosirreduciblesdistintosoalgunosrepetidoseneldenomina-dorQ(x),seatiendenlasreglassiguientes.

CasoIII:EldenominadorQ(x)contienefactorescuadráticosirreduciblesdistintos.

Regla:RepresentarelintegrandocomounasumadetérminosdelaformaMx N

ax bx c+

+ +2 para

cadafactorcuadráticoirreducibleax2+bx+cdeldenominador,dondeMyNsonconstan-

tesdesconocidas.

Así:

P xQ x

Ax Ba x b x c

Cx Da x b x c

( )( )

= ++ +

+ ++ +

+1

21 2

22

...(tantoscomofactorescuadráticossean).


CasoIV:EldenominadorQ(x)contienefactorescuadráticosirreduciblesdistintos.

Regla:Paracadafactorcuadráticoirreduciblerepetido ax bx cn2 + +( ) donden>1deldenomi-

nador,representarelintegrandocomo:P xQ x

Ax B Cx D Ex Fax bx c ax bx c ax bx c

( )( ) + +( ) + +( ) + +( )

= + + + + + +2 2 2 2 3 ....(lasvecesqueserepiteelfactorcuadráti-coirreducible).


104 UNIDAD II

CuandoeldenominadorQ(x)contienetantofactoreslinealesdistintoscomorepetidosyfacto-rescuadráticosdistintoscomorepetidos,seintegracombinandoloscasossegúncorresponda.

Lossiguientesejemplosmuestrancómoaplicarcadaregladesolución.

Calcularlaintegralqueseindica.

1.4

1 2 32 2x

x x xdx

+ + +=( ) ( )∫

SoluciónPuestoqueelintegrandoesunafunciónracionalpropia,cuyodenominadorcontienefactorescuadráticosirreduciblesdistintos,entoncessegúnlaregla:

41 2 3 1 2 32 2 2 2

xx x x

Ax Bx

Cx Dx x+ + +

= ++

+ ++ +( ) ( )

ResolviendoparaA,B,CyD:

41 2 3

2 3 11 22 2

2 2

2 2x

x x xAx B x x Cx D x

x x x+ + +=

+ + + + + ++ + +( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 33( )

Dedonde:

4 2 3 2 30 2 0 3 2

3 2x A C x A B D x A B C x B DA C A B D A

= + + + + + + + + ++ = + + = +

( ) ( ) ( ) ( ), , BB C y B D+ = + =4 3 0

Resolviendoestasecuaciones:A=1,B=1,C=–1yD=–3

Asíque:

2.x

xdx

2

2 24+

=( )∫

SoluciónElintegrandoesyaunafunciónracionalpropia,cuyodenominadorcontienefactorescuadrá-ticosirreduciblesdistintosysegúnlaregla:

41 2 3

11

32 3

11

2 2 2 2

2

xx x x

dx xx

xx x

dx

xx

+ + += +

+− +

+ +

=+

+

( ) ( )

∫ ∫

xxx

x xdx

x x

2 2 2

2 1

11

1 221 2

12 1

+− +

+ +−

+ +

= + +

( ) ( )

( )

∫−ln tan −− + + − + +

= ++ +

+ −

( )

−

−

12 1 2 1

212

32 3

2 1

21

2

2

ln tan

ln tan t

x x c

xx x

x aan− + +1 12

x c

x x

x x

x

2

2

2

2 3

2 1 2

1 2

+ + =

+ + + =

+ +( )

duu a a

ua2 2

11+

=∫ −tan


xx

Ax Bx

Cx Dx

2

2 2 2 2 24 4 4+

= ++

+ ++( ) ( )

ResolviendoparaA,B,CyD:

x

x

Ax B x Cx D

x

2

2 42

2 4

2 42

+( )=

+( ) +( ) + +

+( )Dedonde:

x Ax Bx A C x B DA B A C y B D

2 3 2 4 40 1 4 0 4 0

= + + +( ) + += = + = + =, ,

Resolviendoestasecuaciones:A=0,B=1,C=0yD=–4

Asíque:

xx

dxx x

dx

xdx

xd

2

2 2 2 2 2

2 2 2

41

44

4

14

44

+=

+−

+

+−

+

( ) ( )

( )

∫ ∫

∫ ∫

= xx

x x xx

c

x xx

= − ++

+

= −+

− −

−

12 2 4 1

16 218 4

14 2 2

1 12

12

tan tan

tan44( ) + c

Aplicandocasosdeintegraciónporfraccionesparciales.

I. Previaelaboracióndelformularioqueincluyaloscasosdeintegraciónporfraccionesparciales,enequiposdenomásdecuatrointegrantes,monitoreadosporsuprofesor,verifiquenlassiguientesin-tegrales:

1.x

x xdx

3

2 21 29 171

20

4

+( ) +( ) = −∫ ln ln

2. dxx x x3 2

1

2 216

83

26

220

1

+ + +=∫ + −ln tan

3. 2 55 6

03

4 21

1 x xx x

dx++ +

=−∫

Por sust. trig.

x x

dx dx

= =

=

= −

2 4

2

2

2 2

2

1

tan , tan

sec

tan

θ θ

θ θ

θ

AActividad

106 UNIDAD II

II. Compruebenlosresultadosdadosalossiguientesproblemas:

1. Lagerenciadeunaciertacompañíadeequipoparaoficinahadeterminadoquelafuncióndecos-tosdiariosmarginalesasociadaalaproduccióndesacapuntasdebateríasestádadapor:

C‘(x)=0.000006x2–0.006x+4

Dondesemideendólaresporunidadyx denotalasunidadesproducidas.Lagerenciatambiénhadeterminadoqueloscostosfijosdiariosrelacionadosconlamismaproducciónsonde$100.Encuentrenlosgastostotalesdiariosdetalcompañíaporlaproducciónde:

a) Lasprimeras500unidades.Respuesta$1600 b) Lasunidades201a400.Respuesta$552

2. Seesperaquelatasadeconsumodeenergíaeléctricadeciertaciudadaumentedemaneraexpo-nencial,conunaconstantedecrecimientodek=0.04.Silatasadeconsumoactualesde40mi-llonesdekilowatts-hora(kwh)poraño,¿cuáldebeserlaproduccióntotaldeelectricidaddurantelospróximostresañosparacubrirlademandaproyectada?

Respuesta:127.5milloneskwh

3. Lacantidaddeciertomedicamentoenelcuerpodeunpacientetdíasdespuésdeseradministra-does:

C(t)=5e–0.2tunidades.

Determinar lacantidadpromediodemedicamentopresenteenelcuerpodelpacienteduran-

telosprimeroscuatrodíasposterioresasuadministración.Elvalor promedio de fen[a,b]es1b a

f x dxa

b

−( )∫ .

Respuesta:Aproximadamente3.44unidades

III.Elijanunequipoparaqueexpongasusresultadosatodoelgrupo.

I. Calculalaintegralqueseindica.

1. dx

x 2 9−∫ 2. dx

x 2 4−∫ 3.

dxx 3 1−∫ 4.

dxx x4 27+∫

5. dx

x x4 25 4+ +∫ 6. x

x xdx

−+( )∫112


7. 2 1

42 2

x

xdx

+

+( )∫ 8. x xx x

dx2

2

3 42 8

+ −− −∫

9. x xx x x

dx2

3 2

3 12

− −+ −∫ 10.

x x x xx x x

dx4 3 2

2 3

8 2 11

+ − + ++ +( )( )∫

11. x

xdx

4

31−( )∫ 12. x

xdx

−( )∫ 2 2

13. x x xx x

dx3 2

2 2

31 3

+ + ++ +( )( )∫ 14.

2

1

3

2 2

x

xdx

+( )∫

15. 3 11 2 2

2

2

x xx x x

dx− +

+ + +( )( )∫

II. Verificalasoluciónalossiguientesproblemas.

1. Unestudiodeeficienciarealizadoparaunacompañíaelectrónicamostróquelarazónconqueunobreropromedioensamblawalkie-talkiesathorasdeiniciarsutrabajoalas8amestádadapor:

Determinacuántoswalkie-talkiespuedeensamblarunobreropromedioenlaprimerahoradesu

jornadadetrabajo.

R=20unidades

2. Latasaestimadadeproduccióndepetróleoenciertopozoatañosdespuésdeiniciarlaproduc-ciónestádadapor

R(t)=100t e–0.1tmilesdebarrilesporaño.

Determinalaproduccióntotaldepetróleoalfinaldecincoaños.

R=902.04milesdebarriles.

108 UNIDAD II

I. Respondealassiguientespreguntas:

1. ¿Quédiferenciaexisteentreunaintegraldefinidayunaindefinida?

2. ¿CuálesladerivadadeunafuncióncompuestaF g x( ) ?

3. ¿Quémétodosdeintegraciónconoces?

II. Encuentraelvaloralasumatoria k kk

3 2 2 31

5+( )−∑ =

=

III. AplicasumatoriasparaencontrareláreaAlimitadaporlagráficaf(x)=4+x2enelin-tervalo[0,2].Muestralagráficaysombreaeláreacorrespondiente.

IV. AplicalasumadeRiemannyhallaunaaproximacióndeláreabajolacurvadelafun-ciónf(x)=1–x2enelintervalo[0,1],con5 subintervalosyeligiendoxk

*comofronte-raderecha.

V. Calculalassiguientesintegrales:

1. 35

5dx

−∫ 2. 50

7xdx∫

3. ( )3 50

1x dx−∫ 4. sec2

0

2θ θ

πd∫

5. cos.

xdx0 1

4

∫ 6. senθ

θθ

π

cos/

30

4d∫

7. lnxx

dxe

e4

∫ 8. dx

x5 30

2

+∫ cosπ

9. x x dx2 cos−∫ π

π


10. cos cos20

6 x x dxπ

∫ 11.1

16 20

4

+( )∫ xdx

12. xx x

dx2

4 28 160

1

+ +∫ 13.1

4 55 4 31

2

x x xdx

+ +∫

VI. Resuelvelossiguientesproblemas.

1. Unapartículasemuevedemodoquesuvelocidadenm/ses:

V(t)=2t 2–5t

Encuentrasudesplazamientoyladistanciarecorridaenelintervalodetiempo [1,4].

2. Unaciertapoblaciónanimalat añoscrecearazónde:

P(t)=200+50talaño

Animales/añodurantelospróximos10años.¿Cuántocrecerálapoblaciónentreelcuar-toyelnovenoaños?

3. Lavelocidaddeundragsteratsegundosdespuésdesalirdelalíneadesalidaes:

100e–0.2tpies/segundo.

¿Cuálesladistanciarecorridaporeldragsterdurantelos10primerossegundosdelaca-rrera?

Documents

Integral definida y los métodos de integración · PDF fileINTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 61 Nombre del alumno: Grupo: Número de lista: Aciertos: I. Efectúa en