GUIA DE INTEGRACIÓN DEFINIDA 2012- II

7/31/2019 GUIA DE INTEGRACIN DEFINIDA 2012- II

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.INTEGRACION DEFINIDA

Y SUS APLICACIONES

Hebeth Cueva Valladolid

Setiembre del 2012


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Docente : Hebeth Cueva Valladolid 1

Gua de Calculo 2Integracion Definida

Definiciones y propiedades basicasTeoremas Fundamentales

Areas y VolumenesDocente : Hebeth Cueva Valladolid

SUMAS DE RIEMANN

Para entender la definicion de Integral definida consideremos una funcion contnuadefinida en un intervalo cerrado [a, b].En particular consideremos la funcion

f : [0, 1]

R/f(x) = 2x

y nos aproximaremos a encontrar el area de la region acotada por y = 2x el eje X y larecta x = 1Dicha area es R = 1Puesto que una funcion contnua definida en un intervalo cerrado alcanza su valormaximo y mnimo dentro de valores que pertenecen al dominio y ademas para mi casoparticular la funcion es creciente pues tiene pendiente positiva porloque asume su valormnimo y maximo en los extremos del intervalo.En primer lugar dividimos el intervalo[0, 1] en cuatro intervalos de igual longitud por medio de los puntos

x0 = 0, x1 =

1

4 , x2 =

2

4 , x3 =

3

4 , x4 =

4

4 = 1


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1

2

x

y

0

R

La longitud de cada intervalo la simbolisamos por x

x = 1 04

=b a

n

ademasxk = x0 + (x)k , kZ+

S4 denota la suma de los cuatro rectangulos inscritos que se muestra en la grafica

S4 = R1 + R2 + R3 + R4 =1

4f(

1

4) +

1

4f(

2

4) +

1

4f(

3

4) +

1

4f(

4

4)

S4 =1

4(f(

1

4) + f(

2

4) + f(

3

4) + f(

4

4)) =

5

4

Si utilizamos notacion de sumas se tiene :

S4 =4

k=1

f(xk) x

Aqu xk es el extremo final de cada subintervalo ,ademas

S4 > R

Por otra parte tambien podemos considerar rectangulos inscritosDe maner analoga

S4 = 14

(f(0) + f(14

) + f( 24

) + f( 34

)) = 34


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1/4 2/4 3/4 10

1/2

1

3/2

2

X

Y

S4 =4

k=1

f(xk) x

Ahora xk es el extremo inicial de cada intervalo.En conclusion

S4 < R < S4

Si [0, 1] se divide en mas subintervalos tendremos mejores aproximaciones para R

S4 =7

6, S4 =

5

6

ademasS6 < R < S6

Como se observa usando mas puntos se obtuvo una mejor aproximacion al area quecon 4 subintervalos como era de esperarse.En terminos generales si dividimos [0, 1] enn subintervalos de igual longitud

x = 1

ny los puntos extremos en cada subintervalo

son :0 ,

1

n,

2

n,

3

n,...,

n

n

Si consideramos rectangulo inscritos

Sn =1

nf(

1

n) +

1

nf(

2

n) +

1

nf(

3

n) + ... +

1

nf(

n

n)

Sn =1

n[2 1

n+ 2 2

n+ ... + 2 n

n]

Sn =

1

n 2

n(1 + 2 + ... + n)


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1/4 2/4 3/4 10

1/2

1

3/2

2

X

Y

Sn =n + 1

n

Si consideramos rectangulos inscritos las alturas seran los valores mnimos

Sn =1

n

f(0) +1

n

f(1

n

) +1

n

f(2

n

) + ... +1

n

f(n 1

n

)

Sn =1

n(0 + 2 1

n+ ... + 2(

n 1n

))

Sn =n 1

n

ConcclusionSn < R < Sn

Puesto que las aproximaciones mejoran mientras tenga inscritos o circunscritos masrectangulos los cuales dependen a su vez de la cantidad de puntos que se pudiera

colocar en en el intervalo [0, 1] y como son infinitos la pregunta que se nos viene a lamente es Que pasa cuando los puntos colocados en el intervalo [0,1] son en cantidadun numero muy grande ?Para respondernos calcularemos los lmites de SnSn cuando n es un numero demasiadogrande es decir que se acerca al infinito.Por el teorema del sandwich se tiene que

lmn+

Sn = 1 , lmn+

Sn = 1

En conclusion el area del triangulo que pretendamos encontrar mediante aproxima-

ciones es 1.A groso modo tenemos ya una primera definicion no tan formal para la integral definida


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Definicion 1. EL lmite comun de Sn y Sn cuando n + si este existe se le llamaintegral definida de f sobre [a, b] y se escribe

ba

f(x)dx

Los numeros a y b se llaman lmites de integracion ;a es el lmte inferior y b es el lmitesuperior ,x es la variable de integracion y f(x)dx es el integrando

Teorema 0.1. Una funci on f se dice integrable si existe su suma de Riemman.Es decirsi

lmn+

Sn = lmn+

Sn = L

LR

NOTA10

f(x)dx = lmn+

nk=1

f(k

n) 1

n= lm

n+

n1k=0

f(k

n) 1

n

En lo que siguue nosotros consideraremos

10

f(x)dx = lmn+

nk=1

f(k

n) 1

n

De esta forma si generalizamos el proceso tendramos que para un intervalo cerrado[a, b]

ba

f(x)dx = lm+

nk=1

f(xk)x

aqu

xk = a + kx , x =b a

n


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Problemas

1. Expresar los siguientes Lmites como una integral definida en el intervalo [0, 1]

a) lmn

nk=1

k2(n2 k2)n5

b) lmn

nk=1

(n2 + k2)12

c) lmn

nk=1

1p + 2p + 3p + ... + np

np+1

d) lmn

n

k=1

(n500

(n + 1)501

+n500

(n + 2)501

+ ... +n500

(n + n)501

)

e) lmn

nk=1

k4k2 + 9n2

sin(k

n)

2. Dada la siguiente expresion :

lmn

nk=1

(1

n2(n k)ln( 2k + n

n))

Expresela como una integral definida en el intervalo [0, 2] y luego calcule dicha

integral.

3. Exprese el siguiente Limite como una integral definida de una funci on en el in-tervalo [1, 3]

lmn

nk=1

2n 4kn2 + 2kn

4. Expresar el siguiente Limite como una Integral definida

lmn(arctan( 1

n)

1 + n +arctan( 2

n)

2 + n + ...arctan(

4

)

n + n )

5. Expresar el siguiente Limite como una Integral definida y resuelva dicha Integral

lmn

(n

1 + 2n + 2n2+ (

n

4 + 4n + 2n2...(

n

n2 + 2n(n) + 2n2)


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Propiedades de las Integrales Definidas

1) b

a

Kf(x)dx = Kb

a

f(x)dx

2)

ba

(f(x) g(x))dx =ba

f(x)dx ba

g(x)dx

3)

ba

f(x)dx =

ca

f(x)dx +

bc

f(x)dx

donde f es integrable en [a, c] , [c, b] y[a, b] , a c b

4)

ba

f(x)dx = ab

f(x)dx

5)

a

a

f(x)dx = 0

6)

ba

f(x)dx =

b+ka+k

f(x k)dx Invarianza frente a una traslacion.

7) Sif(x) 0 , x[a, b] = ba

f(x)dx 0

8) Sif(x) g(x) , x[a, b] = ba

f(x)dx ba

g(x)dx

9) Si m y M son los valores mnimos y maximos absolutos de f en [a, b] respectiva-

mente talque

m f(x) M , x [a, b] = m(b a) ba

f(x)dx M(b a)

10) Si f es una funcion contnua en el intervalo [a, b],entonces

|ba

f(x)dx |ba

| f(x) | dx

11) Si f es una funcion contnua en el intervalo [0, a],entoncesa0

f(x)dx =

a0

f(a x)dx

12) Si f es una funcion contnua y par en el intervalo [a, a],entoncesaa

f(x)dx = 2

a0

f(x)dx

13) Si f es una funcion contnua e impar en el intervalo [a, a],entonces

aa f(x)dx = 0


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14) Si f es integrable en [a, b] ,entonces para cualquier c = 0 se tiene que:

b

a

f(x)dx =1

c

bc

ac

f(x

c

)dx

ba

f(x)dx = c

bc

a

c

f(cx)dx

15) Si f es una funcion contnua en un intervalo I entonces,para cada tI

0t

f(x)dx =

t0

f(x)dx

tt f(x)dx = 2

t0 f(x)dx

si f es par.

16) Si f es una funcion contnua en un intervalo I entonces,para cada cI

0c

f(x)dx =

c0

f(x)dx


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0.1. Teoremas Fundamentales del Calculo

Teorema 0.2 (Teorema del Valor medio para integrales). Sea f una funcion

contnua en [a, b] ,entonces existe un numero c[a, b] talque :ba

f(x)dx = f(c)(b a)

Demostracion

En efecto

Dado que f tiene un maximo y un mnimo absoluto de f en [a, b].Sean ,[a, b] talque : f() = m sea el mnimo y f() = M el maximo.Siendo m y M los maximos y mnimos absolutos respectivamente de f en el intervalo

[a, b]

m f(x) M , x[a, b]ba

mdx ba

f(x)dx ba

Mdx

m(b a) ba

f(x)dx M(b a)

m

b

af(x)dx

b a M

c talque ba

f(x)dx

b a = f(c)ba

f(x)dx = (b a)f(x)

Teorema 0.3 (Primer Teorema Fundamental del calculo). Sea f una funcioncontnua en el intervalo [a, b],entonces la funcion F definida por :

F(x) =xa

f(t)dt,a x bes derivable en [a, b] y ademas

d

dxF(x) = f(x), x[a, b]

Demostracion

En efecto

F(x) = lmh0

F(x + h) F(x)h


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F(x) = lmh0

x+hx

f(t)dt

h

Por el teorema del valor medio

F(x) = f(x) , x[a, b]Teorema 0.4 (Generalizacion del Primer Teorema Fundamental del Calculo).Si f es contnua en R y g, h son diferenciables en R entonces :

d

dx[

g(x)h(x)

f(t)dt] = f(g(x))g(x) f(h(x))h(x)

Teorema 0.5 (Segundo Teorema Fundamental del caclulo). Sea f una funcion

contnua en [a, b] y sea F una funcion talque

F(x) = f(x), x[a, b]

entonces ba

f(x)dx = F(b) F(a)

Demostracion

En efecto

Como

F(x) = f(x) = F(x) =xa

f(t)dt + c

c = F(a)luego

F(x) =

xa

f(t)tdt + F(a)

F(b) =ba

f(t)dt + F(a)

ba

f(t)dt = F(b) F(a)


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Ejercicios

1. Calcule el valor o los valores de c en < 1, 3 > talque f(x) es el valor promediode f en [1, 3] para f(x) = x3 3x2 + 6

2. Sea

f(x) =

9x2 x4, Si;0 x 3

x2 9, Si.3 < x 6Calcular el valor promedio de f en el intervalo [0, 6] y encontrar el punto c[0, 6]donde se alcanza dicho valor.

3. Si 13x+1

0

f(t)dt =2

ax+ ax

Hallar el valor o valores de a para que

f(1

4) =

16

3

4. Demostrar que

b

a

f(x)dx = b

a

f(a + b

x)dx

5. Sea una funcion contnua e impar y

f(x) = 10 +

x0

(t)dt , xR

Hallar la ecuacionde la recta tangente a la grafica de f en el punto cuya abscisaes cero.

6. Hallar una funcion f y una constante a tales que:

6 +xa

f(t)

t2 dt = 2x , x > a

7. Calcular mediante sumas de Rieman la integral11

(1 x2)dx

8. Sea f : R R una funcion impar y contnua en todos los reales.Se define

F(x) =

x0

f(t)dt , tR

Demostrar que F es una funcion par.


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9. Si x(t) =

t0

(t s)e(ts)esdsCalcular el valor de x(t) + 2x(t) + x(t)

10. Probar que la funcion

y = C1x + C2x2x

et

tdt, x > 0

satisface la ecuacion diferencial

x2 ln2 x y x ln x y + (ln x + 11)y = 0

11. Demuestre que si f es una funcion contnua en un intervalo I entonces,para cadatI

0

tf(x)dx =

t

0

f(

x)dx

tt

f(x)dx = 2

t0

f(x)dx

si f es par.

12. Si f es una funcion contnua en un intervalo I entonces,para cada cI

0c

f(x)dx =

c0

f(x)dx

13. Aplicando Sumas de Riemann,evaluar la integral40 f(x)dx donde

f(x) =

2x + 2, si;x[0, 2]x2 4x + 10, si.x < 2, 4]

14. Sea f una funcion derivable talque f(0) = f(0) = a,se define las siguientesfunciones :

g(x) =

x0

f(u)du; H(x) =

g(x)0

bf(t)dt

Donde a, b son constantes.Calcular H(0)

15. Sea una funcion contnua sobre < , > talque f(1) = f(1) = 1,se defineH(x) =

x30

(x2 a)f(t)dt sabiendo que 10

f(t)dt = 8a.Calcular H(1).

16. Usando sumas de Riemann calcular50

(x3 1)dx

17. Sea f una funcion contnua en [0, +[ con f(x) = 0, x > 0.Demostrar que s[f(x)]2 = 2 x0 f(t)dt,

x > 0 entonces

f(x) = x, x > 0


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18. Si f(x) = f(a + b x) ,demostrar que :

b

a

xf(x)dx =a + b

2

b

a

f(x)dx

19. Sea f una funcion continua en R y F(x) =x0

f(u)(xu)2du donde x R.HallarF(x) en su forma mas simplificada

20. Pruebe que si f(x) es derivable y f(x) = cf(x) , x entonces existe un numerok talque f(x) = kecx , x

21. Desmotrar la igualdad

a

0

x3f(x2)dx =1

2

a2

0

xf(x)dx , a > 0

22. Si F(x + T) = F(x).Probar que

b+Ta+T

xF(x)dx =

ba

xF(x)dx +

ba

F(x)dx

23. Calcule lo que se pide.

a)

ln 50

ex

ex 1ex + 3

dx

b)

4

1

ln xx

dx

c)

4

4

(t

4 + t2 +t2

t2 + 4 | sin2t|)dt

d)

22

x sin4 x + x2

1 + 4x2dx

e)

10

(1 2x1 + x2

+x2 3

(x + 1)2)dx

f)350

1 + x1 xdx

g)

31

1 + x24 x2(4 x2)2dx

h)

11

1 x3 + x

dx

i)

94

y 1y + 1

dy

j)128

2dxx

(x 2)2 4


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k)

11

|x| xdx

l)52(| 9 x

2

| x2

)dx

m)

12

2

1 x2

x2dx

n)

10

1 + e2x

e3xdx

n)

10

ex

ex + exdx

o)

0 |cos x

|dx

p)

20

| (x 1)(3x 1) | dx

q)

53

| 5x 20(2 x)(x2 + 1) |


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0.2. Areas de regiones planas

Calculo de areas en Coordenadas Rectangulares

Definicion 2. Dada una funcion f : [a, b] R contnua talque f(x) 0, x[a, b]entonces b

a

f(x)dx

Representa el area comprendida entre el grafico de la funcion f el eje de las abcsisas ylas rectas verticales x = a y x = b

a b

f

x=a

x=b

x

y

Definicion 3. Sean f y g dos funciones contnuas no negativas cuyos graficos se cortan

en (a, f(a)) y (b, f(b)) ademas si g(x) f(x)

= A =ba

(f(x) g(x))dx

Representa el area entre las graficas de f y g

Proposicion 0.1. Sean f y g dos funciones contnuas tales que : g(x) f(x) ,si lasfunciones son negativas en alguna parte ,el area entre las curvas tambien es :

A = b

a

(f(x)

g(x))dx


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y

a b

f(a)

g(b)

f

g

x

Demostracion

Seam = nfg(x)/x[a, b]

Definimos las funciones h y H

h(x) = f(x) + 2m

H(x) = g(x) + 2m

Las cuales resultan ser contnuas pues son traslaciones y ademas positivas y puesto que

H(x) h(x)

Por la definicion anterior el area comprendida entre las funciones H y h es :

A =

ba

(h(x) H(x))dx =ba

(f(x) + 2m g(x) 2m)dx =ba

(f(x) g(x))dx

OBSERVACION

Si las graficas de lsa funciones f y g se cortan en varios puntos,entonces se debe calcularlos puntos de interseccion de ambas curvas y analizar separadamante ,el signo de ladiferencia de las funciones en cada tramo

y

a b x

f

f

f

g

g

g

c d


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Ejercicios

1. Hallar el area de la region limitada por la parabola y = x2 y las rectas y = x + 2y y = 3x + 6

2. Hallar el area de la superficie limitada por la parabola y = 6 + 4x x2 y la rectaque une los puntos (-2,-6) y (4,6)

3. Calcular el area acotada pory =| x2 1 |

el eje X y las rectas x = 2 y x = 24. Calcular el area limitada por la curva

y = x(x 2)(x 3)y el eje de las Abscisas.

5. Calcule el area de la figura limitada por las parabolas

y2 + 8x = 16

y2 24x = 48

6. Encontrar el area de la region limitada por las curva y = x y la recta y = x7. Sea R la region limitada por y = |x2 2x| + 2 ,la recta x = 3 y los ejes coorde-

nados.Hallar el volumen del solido cuando la region R gira alrededor de la rectay = 5

8. Sea R la region limitada por las curvas con ecuaciones

y = x2 , y = 2x2 , y = 1 x2

Calcule su area.

9. Calcule el area de la region acotada por las curvas :

y = |x2 1| , y = 2

10. Sea R la region limitada por y = |x2 2x| + 2 ,la recta x = 3 y los ejes coorde-nados.Hallar el volumen del solido cuando la region R gira alrededor de la rectax = 1

11. Calcule el area de la figura limitada por las parabolas

y2 + 8x = 16

y2 24x = 48


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12. Hallar el area de la region acotada por y = 3x4 el eje X y las rectas x = 0 yx = 1

13. Hallar el area de la region comprendida por

y = 3x2 , y = 1 3x2 , x = 0 , x = 3

14. hallar el area de la region limitada por la curva

y = x2 x4 , 0 x 1 , y = 0

15. Encontrar el area de la region limitada por

y = 1 + x2 + 2x4

16. Encontrar el area limitada por las graficas de las siguientes rectas

f(x) =5

2x 14

g(x) = 13 2xy el eje de las Abscisas.

17. Sea R1 la region limitada por las curvas

y = x2 , y = 3x2 , y = 2 x2Hallar su area correspondiente.

18. Calcular el area entre f(x) = x3 y g(x) = x

19. Calcule el area comprendida entre las curvas y = x3 y y = 3

x y las rectas x = 1y x = 3

20. Calcular el area encerrada entre las curvas

f(x) = x4 + x3 + 16x

4

g(x) = x4 + 6x2 + 8x 4

21. Encuentra nN talque el area encerrada por las curvas xn y x1

n sea igual a 12

22. Halle el area que encierran las siguientes ecuaciones

y = x2 , y = x4


y = |x| , y = x2 2


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y = x3 x , y = 3x

25. Hallar una funcion contnua y positiva f talque para todo x > 0 ,el area de laregion limitada por los ejes coordenados ,la grafica de f y la recta vertical quepasa por (x, f(x) es

A = ex + xex x2 1

26. La ecuacion de demanda de un producto es

q = 400 p2

y la ecuacion de oferta es

p = q60 + 5

encuentre el excedente de los productores y de los consumidores bajo equilibriodel mercado.

27. La ecuacion de demanda para un producto es

p = 211q

y la ecuacion de oferta esp = 2q+1

donde p es es precio por unidad(en cientos de dolares) cuando q unidades se de-mandan o se ofrecen.Determine al millon de unidades mas cercanas ,el excedentede los consumidores bajo el equilibrio del mercado.

28. La Ecuacion de demanda para un producto es

(p + 20)(q+ 10) = 800

y la ecuacion de oferta es :q 2p + 30 = 0

determine el excedente de los consumidores bajo el equilibrio del mercado.

29. Si la funcion de demanda esy = 16 x2

y la funcion de oferta esy = 2x + 1

determinar el excedente del consumidor y el excedente del productor en situacionde competencia pura.


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30. Si la funcion de demanda corresponde a la parte de la hiperbola equilatera

y =8

x + 1

2

situado en el primer cuadrante ,y la funcion de oferta es

y =1

2(x + 3)

calcule el excedente del consumidor y el excedente del productor en un mercadode libre competencia.

31. Encuentre el area de la region R que se encuentra fuera de la curva r = 3 cos ydentro de la curva r = 1 + cos .

32. Encontrar el area de la region R que se encuentra fuera de la curva r = 6cos ydentro de la curva r = 2 cos + 2

33. Hallar el area que se encuentra dentro de las graficas siguientes ecuaciones polaresr = 2(1 + sin ) y r = 1


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0.3. Volumenes de Solidos de Revolucion y Areasde Superficie

En esta seccion nuestro objetivo sera el de encontrar el volumenes obtenidos cuan-do cierta region gira alrededor de un eje paralelo a algunos de los ejes de coorde-nadas,puesto que los que haremos es aproximar sumando infinitas veces volumenes desolidos conocidos tales como discos o en todo caso cilindros ,cabe recordar algunas delas formulas que se necesitan :

VOLUMEN DE UN CILINDRO SOLIDO

v = R2H

Donde R es el radio y H es la altura de dicho cilindro

H

R

SUPERFICIE LATERAL DE UN CILINDRO DE RADIO R Y DE ALTURA H

SL(C) = 2RH

AREA DE UN CIRCULO

A(C) = R2

R


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Ejercicios

1. Hallar el volumen de S, el solido que resulta de rotar alrededor del eje y el areaacotado por las curvas y = x1, y = 1/2, entre x = 0,5 y x = 2. Dibuje a S.

2. La region plana limitada por la parabola x = 2y2 y la recta x = y + 3,se hacegirar alrededor de la recta y = 2:calcule el volumen del solido generado.

3. Una ponchera semiesferica de 0,6 metros de diametro se llena hasta 2,5 centmet-ros del borde ,treinta minutos despues del comienzo de la fiesta solo quedan5 centmetros de ponche en el fondo de la ponchera.Cuantos litros de ponche

haba en la ponchera al comienzo de la fiesta?.Cuantos litros se consumieron enla fiesta?

4. Se taladra un agujero cilndrico que pasa por el centro de una esfera de maderade radio r,Hallar el volumen de lo que qeda solido (anillo esferico),si la altura delcilindro es h.

5. La region plana que encierran las graficas de las ecuaciones

x2 + y2 = 4 , x2 + 4y2 = 4

para y 0se hace girar alrededor de la recta y = 1.Calcule el volumen delsolido generado.Sugerencia

r0

r2 x2dx = r2

4

6. Se corta una esfera de radio r por dos planos paralelos uno aunidades por encimadel ecuador y el otro por debajo del ecuador .Hallar el volumen de la porci on dela esfera comprendida entre esos dos planos.

7. Determine el volumen del solido que se obtiene al girar R alrededor del eje Y; donde R es la region plana limitada por la grafica de la curva y = xex parax[0, 2] ,el eje X y la recta x = 2

8. Hallar el volumen del solido engendrado haciendo girar alrededor el eje X lasuperficie limitada por la curva

x +

y =

a y las rectas x = 0, y = 0

9. Hallar el volumen del solido de revolucion obtenido al rotar alrededor de la rectay = 1 la region comprendida entre las curvas y = x2 e y = x

10. Halle el volumen del solido Sque genera la region plana R,limitada por las graficasde las ecuaciones x2 2x + y = 0 y x2 = y + 4,al girar alrededor de la recta quepasa por los puntos (2, 0) y (0, 4)

11. Hallar el volumen del solido de revolucion obtenido al rotar alrededor de la rectay = 1 la region comprendida entre las curvas y = x2 e y = x


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12. Demuestre que el area de la parte de la superficie de una esfera de radio a , entredos planos paralelos h unidades separados h < 2a es 2ah.

13. Demuestre que el area de la parte de la superficie de una esfera de radio a , entredos planos paralelos h unidades separados h < 2a es 2ah.

14. Hallar el volumen del solido engendrado haciendo girar alrededor el eje X lasuperficie limitada por la curva

x +

y =

a y las rectas x = 0, y = 0

15. La region plana limitada por la grafica de y = x2

2y la recta y = 2 ,girando

alrededor del eje Y ,genera un solido S.En dicho solido se hace una perforacion(orificio que atraviesa el solido) en forma de un cilindro dircular cuyas basestienen sus centros en el eje Y.Despues de la perforacion,el solido pierde 1

4de su

volumen.Halle el radio del orificio

16. El volumen de un solido S ,cuya base es la region R limitada por el eje Y yla grafica de la ecuacion 4x + y2 4y 12 = 0 ,y las secciones transversalespor planos perpendiculares al eje X son triangulos rectangulos e isosceles cuyashipotenusas son las respectivas intersecciones de los planos con R.

17. Hallar el area de la superficie limitada por la parabola y = 6 + 4x x2 y la rectaque une los puntos (-2,-6) y (4,6)

18. Hallar el area de la superficie generada al girar la curva

y = 2

6

x , x [3, 6]

,alrededor del eje X.

19. Hallar el area de la superficie engendrada por la rotacion alrededor del eje X ,elarco de la curva y = ex comprendida entre x = 0 y x = +

20. Hallar el area de la superficie de revolucion que se obtiene al hacer girar el arcode la curva y = 2 ex ,desde x = 0 hasta x = 2 alrededor de la recta y = 2

21. Hallar el area de la supeficie de revolucion que se obtiene al girar alrededor deleje X ,la region limitada por las curvas y2 + 4x = 2 ln y , y = 1 , y = 2

22. Hallar el volumen del solido generado al girar sobre el eje X,laregion limitadapor las curvas

y =

x2 + 1 , y =

x2 + 4

23. Hallar el volumen que genera la superficie limitada por

y2 = x3 , y = 0 , x = 0 , x = 4

al girar alrededor del eje X


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24. Calcular el volumen del cuerpo engendrado por la rotacion de la region limitadapor ls curvas

x + y2 + 3y = 6 , x + y = 3

alrededor de la recta y = 3

25. Calcular el volumen del solido generado por la rotacion de la region limitada por

y2 = 4(2 x) , x = 0

alrededor de la recta y = 4

26. Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por

y = x2 3x + 6y la recta

x + y 3 = 0alrededor de la recta x = 3

27. Hallar el volumen del solido de revolucion generado al hacer girar alrededor dela recta x = 5 ,la region acotada por la curva y = x2 6x + 13 y la rectax y + 3 = 0

28. Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada porx = 9 y2 , x y 7 = 0

alrededor de la recta x = 4

29. Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por las ecuaciones :

x2 4 = y , y = 3x

alrededor de la recta x = 1

30. Hallar el volumen del solido obtenido al rotar la region acotada por y = x2 , eleje X y la recta x = 1,alrededor de la recta y = 2

31. Hallar el area de la superficie de revolucion formada cuando la curva indicadagira alrededor del eje dado :

a) y = x3, x [1, 2] alrededor de y = 1b) y = ln(x 1), x [2, e2 + 1] alrededor de x = 1c) y = 2x, x [0, 2] alrededor de x = 1d) y = 4 + ex, x

[0, 1] alrededor de y = 4


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0.4. Volumen de Solidos cuyas secciones transver-sales se conocen

1. La base de un solido es la region triangular limitada por el eje Y y las rectasx + 2y = 4 , x 2y = 4,Hallar el volumen del solido sabiendo que las seccionestranseversales perpendiculares al eje X son :i)Cuadradosii)Triangulos rectangulos isosceles conla hipotenunsa en el plano XY.

2. Un flan tiene forma de tronco de paraboloide de revolucion ,siendo r y 2r losradios de sus bases y h su altura:Determinar su volumen y el volumen de laporcion obtenida al cortarlo verticalmente desde un punto del borde superior.

3. Un obelisco de 60 m de alto y 50 m de base cuadrada,tiene la propiedad que

al interceptarla por planos paralelos a la base las secciones correspondientes soncuadrados de lado x

3,siendo x la distancia de la cuspide del obelisco al plano de

las eccion.Calcular el volumen del obelisco.

4. El plano de un triangulo movil permanece perpendicular al diametro fijo de uncrculo de adio a.La base del triangulo es la cuerda de dicho crculo,mientras quesu vertice resbala por nua recta paralela al diametro fijo,que se encuentra a unaaltura h sobre el plano del crculo.Halle el volumen del solido engendrado por elmovimiento de este triangulo desde un extremo del diametro hasta el otro.

5. Dadas las funcionesf(x) = x(4 x)

y

g(x) = { x , 0 x 113

(4 x) , x > 1Un solido tiene como base la region limitada por las graficas de f y g y sussecciones planas perpendiculares al eje X son semicrulos.Hallar el volumen delreferido solido.

6. A una naranja de forma esferica y de radio a se le extrae una tajada por medio dedos semiplanos,que pasan por un mismo diametro formando entre si un angulode 30o .Determine el volumen del resto de la naranja .

7. La base de un solido es un crculo limitado por x2 + y2 = 25 y las seccionestransversales perpendiculares al eje Y son triangulos equilateros.Calcular su volumen.

8. La base de un solido es una elipse cuyos ejes miden 20 y 10 unidades,la inter-seccion de ese solido con un plano perpendicular al eje mayor de la elipse es uncuadrado.Hallar el volumen del solido.

9. La base de un solido es la region comprendida entre las parabolas

x = y2 , x = 3 2y2


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Hallar el volumen del solido sabiendo que las secciones trasnversales perpendicu-lares al eje X son cuadrados

10. Un crculo deformable se mueve de manera que uno de los puntos de sus circun-ferencias se encuentra en el eje X ,el centro describe una elipse x

2

a2+ y

2

b2= 1 y el

plano del crculo es perpendicular al eje X.Calcular el volumen del solido.

11. Hallar el volumen del solido cuya base es un crculo de radio 3 y cuyas seccionesplanas perpendiculares a un diametro fijo son triangulos equilateros

12. La base de un solido es un crculo de radio 2,si las secciones transversales per-pendiculares a las base son triangulos isosceles con un cateto como base.Hallarel volumen del solido generado

13. La base de un solido es la region entre las parabolas

y = x2, y = 3 2x2

Hallar el volumen del solido si las secciones transversales perpendiculares al ejeY son triangulos rectangulos isosceles,cada uno de ellos con la hipotenusa sobreel plano XY


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0.5. Longitud de arco

Calcularemos la longitud de arco para una funcion f contnua y positiva en [a, b]

a b

X

Y

Observese que las lineas poligonales seran las que nos aproximen a encontrar lalongitud de arco en el intervalo [a, b] mientras mas puntos coloque en el intervalo [a, b]la suma de todos los segmentos de la lnea poligonal esta cada vez mas cercana a darla longitud total del arco comprendido entre a y b para la curva f

dl

dx

dy

X

Y

Aqu se cumple el teorema de Pitagoras

(dl)2 = (dx)2 + (dy)2 = dl =

(dx)2 + (dy)2

es la longitud del ssegmento arbitrario de dicha lineal poligonal.As de este modo si


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quqermos calcular la longitud en coordenadas cartesianas tenemos :

b

a

dl = b

a(dx)2 + (dy)2

l[a b] =ba

(

dx

dx)2 + (

dy

dx)2dx

l[a b] =ba

(1 + (

dy

dx)2dx

FORMULA EN COORDENADAS CARTESIANAS DE LA LONGITUD DE ARCODE LA CURVA DESDE a hasta b

De la misma forma si la Ecuacion de la curva la describan ecuaciones parametricas

x = x(t), y = y(t)

se tiene :

l[t1, t2] =

t2t1

(

dx

dt)2 + (

dy

dt)2dt

Representa la formula para calcular la longitud de arco pero EN COORDENADASPARAMETRICAS

y por ultimo la formula para el calculo de longitudes de arco en COORDENADASPOLARES ES :

l[1 2] =

2

1

(

dr

d)2 + r2


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Ejercicios

1. Halle la longitud del arco de la curva de ecuacion (en coordenads polares)

r = cos2

2, [0, ]

2. Hallar la longitud del arco de la curva que tiene ecuaciones parametricas dadaspor :

x = et cos t , y = et sin t , t[0, 1]

3. Calcule el area de la region limitada por las graficas de

y = 9 x , (y 1)2 = x + 4

y el segmento de recta con extremos en los puntos (0,-1) y (9,0)

4. La primera carrera que corrio Montoya consisita en recorrer en triciclo una pistaque rodeaba el parque del jardn donde estudiaba. Si el parque tena la forma deun circulo de radio 2, calcule la distancia recorrida por Montoya en su primeracarrera.

5. Halle la longitud de arco de la curva cuyas ecuaciones parametricas se dan a

continuacionx = 2(cos t + t sin t) ; y = 2(sin t t cos t) , t[0; ]

6. Hallar la longitud del arco de la curva

y2 = 4x x2

comprendido entre los dospuntos que corta al eje X

7. Si f(x) =x0

cos tdt encuentre la longitud del arco de la grafica de f desde el

punto donde x = 0 hasta x =

8. Calcular la longitud total de la curva

x =y2

2 1

2ln y

desde y = 1 hasta y = e

9. Sea R la region plana limitada por el eje X y por la curva C definida por lasecuaciones

x = t2 + 2t , y = t2 2tHalle el area y la longitud del permetro de la region R.


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10. Determine la longitud de arco de curva C definido por la funcion

f(x) = x

0cos(2t)dt

para x en [0, 4

]

11. Calcule la longitud de la curva con ecuacion cartesiana

y = ln(1 x2) , 0 x 2

12. Sea R la region que es interior al cardiode r = 1 cos y exterior a la curva deecuacion polar r =

sin

a) Halle el area de la region R

b) Plantee (sin evaluar),la expresion que conduce al calculo de la longitud delpermetro de R


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0.6. Integracion Numerica

1. Aproximar el valor de la integral

2

1

x

x sin xdx

mediante la regla de Simpson dividiendo el intervalo en cuatro partes iguales.

2. Usando los metodos del Trapecio y el de Simpson,estimar el valor de cada integral,redondear las soluciones a cuatro cifras decimales como mnimo

a) 20

1 + x6dx , n = 4

b) 10

sin x2dx , n = 6

c) 21

dx

x2, n = 4

d)

1

0

dx

1 + x2, n = 4

e) 20

1 + x3dx , n = 2

f) 10

dx4 + x3

, n = 4

g)

10 sin x

2

dx , n = 4


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0.7. Integracion Impropia

1. Analizar la convergencia de las siguientes integrales

a)

+

x

1 + x4dx

b)

40

dx4x x2

c)

20

dx

(x 1) 23

d)

53

xdxx2 9

e)

1

0

x ln xdx

f)

+b

dx

(x + a)(

x b)

g)

+0

cos2 x

1 + exdx

h)

10

1 exx

xdx

i)+

1x ln(x2) dx

j)

+0

1x3 + 1

dx

k)

+2

ln( 3

x)x3 8dx

2. Integrales Impropias

a) 3

0

dx

(x 1)2

3

b)

21

dx

x2

4 x2

c)

11

x 13

x5dx

d)

+0

xexdx

e) +

x2ex3

dx


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f)

+0

dx

(x + 1)3

2

g)+0 xe

x

dx

h)

0

xexdx

i)

+0

dx

x3 + 1

j)

+

x2ex3

dx

k) +

x

1 + x4

dx

l)

40

dx4x x2

m)

20

dx

(x 1) 23

n)

53

xdxx2 9

n) 1

0

x ln xdx

o)

+0

1

(x +

x2 + 4)2dx

p)

+0

1x(x + 1)

dx

q)

+1

1

x2

x2 1dx

r)

+0

cos xdx

3. Determinar un valor para n de tal manera que la integral impropia

+1

(nx2

x3 + 1 1

3x + 1)dx

sea convergente

4. Estudiar la convergencia de

In =

0

x2n1

(x2 + 1)n+3, n 1


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5. Calcular el valor de la integral impropia usando la sustitucion u = 1x

+

0

ln x

1 + x2

dx

6. Calcular el valor de la integral impropia

In =

10

(ln x)ndx

donde n es un entero positivo

7. Demuestre que la integral

+

1

arctan(x)

x4 1dx

es convergente

8. Pruebe que la integral

10

xp1(1 x)q1dx

converge para p > 0, q > 0

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea f(t) una funcion definida para todo t positivo.Su Transformada de Laplacese define como

F(s) =

+0

estf(t)dt

Si la integral impropia existe.

Hallar la Transformada de Laplace de

a)f(t) = eat

b)f(t) = cos(at)

c)cosh(at)

d)f(t) = tn


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0.8. Funciones hiperbolicas,derivadas e integrales

1. Funciones Hiperbolicas: Las funciones hiperbolicas que son ciertas com-binaciones de la funcion exponencial ex,aparecen en muchas aplicaciones.

a) Seno Hiperbolico

sinh x =ex ex

2,Dom = R , Rango = R

b) Coseno Hiperbolico

cosh x =ex + ex

2,Dom = R ,Rango = [1, +

c) Tangente Hiperbolica

tanh x =ex exex + ex

,Dom = R , Rango = 1, 1

d) Cotangente Hiperbolica

coth x =ex + ex

ex ex ,Dom = R {0} , Rango = ; 1 1; +

e) Secante Hiperbolica

sech x =2

ex + ex,Dom = R , Rango = 0;1]

f) Cosecante Hiperbolica

csch x =2

ex ex ,Dom = R {0} ,Rango = R {0}

2. Funciones Hiperbolicas Inversas:

a) Arcoseno Hiperbolico

sinh1 x = ln(x +

x2 + 1) ,Dom = R , Rango = R

b) Arcocoseno Hiperbolico

cosh1 x = ln(x +

x2 1) ,Dom = [1; + ,Rango = [0; +

c) Arcotangente Hiperbolica

tanh1

x =1

2 ln1 + x

1 x ,Dom = 1; 1 , Rango = R


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d) ArcoCotangente Hiperbolica

coth1 x =1

2

ln(x + 1

x 1) ,Dom =

;

1

1; +

,Rango = R

{0

}e) ArcoSecante Hiperbolica

sech1 x = ln1 +

1 x2

x,Dom = 0;1] , Rango = [0; +

f) ArcoCosecante Hiperbolica

csch1 x = ln(1

x+

1 + x2

|x| ) ,Dom = R {0} ,Rango = R {0}

3. Derivadas de las Funciones Hiperbolicas :

a)d

dx(sinh x) = cosh x

b)d

dx(cosh x) = sinh x

c)d

dx(tanh x) = sech2x

d)d

dx(coth x) = csch2x

e)d

dx(sechx) = sechx tanh x

f)

ddx

(cschx) = coschx coth x

4. Integrales de las Funciones Hiperbolicas :

a) sinh xdx = cosh x + C

b)

cosh xdx = sinh x + C


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c) sech2xdx = tanh x + C

d)csch2 xdx = ctgh x

e) 1

1 + x2dx= arcosenhx = ln(x +

1 + x2)

f) 1

x2 1 dx = arcocoshx = ln(x +

x2 1), |x| > 1

g) 1

1 x2dx = arcotanhx =1

2ln

1 + x

1 x ; |x| < 1

h) 1

1 x2dx = arcocotanhx =1

2ln

x + 1

x 1; |x| > 1

Algunas relaciones importantes

cosh2 x sinh2 x = 1

1 tanh2 x = sech2x

sinh(x y) = sinh x cosh y cosh x sinh y

cosh(x y) = cosh x cosh y sinh x sinh y

tanh(x y) =tanh x

tanh y

1 tanh x tanh y

tanh2x =2tanh x

1 + tanh2 x


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ProblemasResuelva las siguientes Derivadas e Integrales Hiperbolicas

1) d

dx(sinh(

x2 1x2 2))

2)d

dx(cosh(

x2 10x + 9x2 + 10x + 9

))

3)d

dx(arctan(sinh x2))

4) d

dx(sinh(

1 x + x21 + x + x2

))

5) Use derivacion y halle dydx

cosh(x + y) = y sinh x


tanh y = 3x2 + tanh(x + y)

7)d

dx(tanh1(sin 3x))

8)d

dx(sinh1(tan x))

9)d

dx(sinh1(ln x) + ln(tanh1 x))


tanh1 x = tan1 y


y2 + x cosh y + sinh2 x = 30

12)

sinh4 xdx


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13) dx

tanh x + 1

14) dx

sinh x + 2cosh x

15) ex

cosh x + sinh xdx

16) cosh x

3 sinh x 4 cosh xdx

17) tanh2 xdx

18) x

cosh2 xdx

19) e2x

sinh4 xdx

20) sinh2 x cosh3 xdx

1) Demuestre que

(sinh x + cosh x)n = cosh nx + sinh nx, nZ+

2) Demuestre que1 + tanh x

1 tanh x = e2x

4) Evalue la integral indefinida.4.1)

excsch2exdx

4.2) sinh

x

xdx

4.3)

sech4xdx

Documents

GUIA DE INTEGRACIÓN DEFINIDA 2012- II