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Integración por el método de Monte Carlo - mate.uncor.edujgimenez/Modelos y Simulacion... · Una aplicación a las integrales múltiples es el cálculo aproximado del valor de ˇ

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  • Integracin por el mtodo de MonteCarlo

    Georgina Flesia

    FaMAF

    29 de marzo, 2012

  • El mtodo de Monte Carlo

    El mtodo de Monte Carlo es un procedimiento generalpara seleccionar muestras aleatorias de una poblacinutilizando nmeros aleatorios.

    La denominacin Monte Carlo fue popularizado por loscientficos Stanislaw Ulam, Enrico Fermi, John vonNeumann, y Nicholas Metropolis, entre otros, quienes yatrabajaban sobre muestreo estadstico.Hace referencia al Casino de Montecarlo en Mnaco.

  • Aplicacin en clculos matemticos

    Este mtodo se utiliza para calcular numricamenteexpresiones matemticamente complejas y difciles deevaluar con exactitud, o que no pueden resolverseanalticamente.Algunos ejemplos son:

    I Clculo de integrales definidasI Aproximaciones al valor de .

  • Clculo de integrales definidasSe tienen en cuenta los siguientes resultados:

    I Si X es una variable aleatoria con densidad f yg : R 7 R es una funcin, entonces el valoresperado de la v. a. g(X ) es

    E [g(X )] =

    g(x) f (x)dx .

    I Ley Fuerte de los Grandes Nmeros: Si X1, X2, . . .es una sucesin de v. a. i. i. d., todas con media ,entonces

    limnX1 + X2 + Xn

    n= .

  • Integracin sobre (0,1)

    Ejemplo

    Calcular = 1

    0g(x)dx .

    Si X U(0,1), entonces = E [g(X )].

    Si U1, U2, . . . v.a.i.i.d., uniformes en (0,1), entoncesg(U1), g(U2), . . . son v.a.i.i.d., con media . Luego

    limnn

    i=1

    g(Ui)n

    = .

  • g(x) = (1 x2)3/2

    n = 20, rea=0.5019617835

  • g(x) = (1 x2)3/2

    n = 100, rea= 0.4946866190

  • g(x) = (1 x2)3/2

    n = 300, rea=0.6067846103

  • g(x) = (1 x2)3/2

    Analticamente, comenzamos usando la sustitucinx = sin(), dx = cos()d. Entonces

    (1 x2)3/2dx =

    (1 sin()2)3/2 cos()d =

    =

    (cos()2)3/2 cos()d =

    (cos()4)d

    Aplicando las frmulas trigonomtricas:

    cos()2 = (1 + cos(2))/2 (1)

    cos(2)2 = (1 + cos(4))/2 (2)

  • g(x) = (1 x2)3/2se puede reducir la integral a integrales de trminosconstantes y trminos de cosenos:

    cos()4d =

    ((1 + cos(2))/2)2)d =

    =

    (1/4)d +

    (1/4) cos(2)2d

    +

    (1/2) cos(2)d

    y se vuelve a aplicar la relacin trigonomtrica (2) alsegundo trmino, las otras dos son inmediatas :

    cos(2)2d =

    (1 + cos(4))/2)d

  • g(x) = (1 x2)3/2

    As,pues, te queda:

    (cos()4)d =

    (1/4)d+

    (1/4)(1+ cos(4))/2)d+

    +

    (1/2) cos(2)d

    las cuales son inmediatas, aplicando que:cos(a)d = (1/a)sen(a)

  • g(x) = (1 x2)3/2Analticamente: 1

    0g(x)dx = (3/8)

    2+ (1/4).sen() + (1/32).sen(2)

    =3 16 0.5890486226

    Por Monte Carlo

    n Aproximacin20 0.5019617835

    100 0.4946866190300 0.60678461031000 0.5959810476

    10000 0.5895682376

  • Integracin sobre (a,b)

    Ejemplo

    Calcular = b

    ag(x)dx , con a < b.

    Realizamos el cambio de variables

    y =x ab a

    , dy =1

    b adx

    ba

    g(x)dx = 1

    0g(a + (b a)y)(b a)dy =

    10

    h(y)dy .

  • Integracin en (a,b)

    g(x) = ex+x2 en (1,1)

  • Integracin en (a,b)g(x) = sen(x) en (0,2)

  • Integracin en (a,b)g(x) = cos(x) en (,3)

  • Integracin sobre (0,)

    EjemploCalcular =

    0

    g(x)dx .

    Realizamos el cambio de variables

    y =1

    x + 1, dy = 1

    (x + 1)2dx = y2 dx

    0

    g(x)dx = 1

    0

    g( 1y 1)y2

    dy = 1

    0h(y)dy .

  • Integracin sobre (0,)

    g(x) = ex

  • Integracin sobre (0,)

    g(x) =1

    (2 + x2)

  • Integracin sobre (0,)

    g(x) =x

    (1 + x2)2

  • Integracin sobre (0,)

    Si usamos el siguiente cambio de variables

    y = 1 1x + 1

    , dy = (y 1)2,

    entonces la transformacin est dada por una funcincreciente y : [0,] 7 [0,1). Se tienen entonces lossiguientes grficos:

  • Integracin sobre (0,)

    g(x) = ex

  • Integracin sobre (0,)

    g(x) =1

    (2 + x2)

  • Integrales mltiples

    El mtodo de Monte Carlo para el clculo de integrales enuna variable no es muy eficiente, comparado con otrosmtodos numricos que convergen ms rpidamente alvalor de la integral.Pero s cobra importancia en el caso del clculo numricode integrales mltiples: 1

    0. . .

    10

    g(x1, . . . , xl)dx1 . . . dxl

  • Integrales mltiples

    Para calcular la cantidad

    =

    10. . .

    10

    g(x1, . . . , xl)dx1 . . . dxl

    utilizamos el hecho que

    = E [g(U1, . . . ,Ul)]

    con U1, . . . ,Ul independientes y uniformes en (0,1).

  • SiU11 , . . . ,U

    1l

    U21 , . . . ,U2l

    ...

    Un1 , . . . ,Unl

    son n muestras independientes de estas l variables,podemos estimar

    n

    i=1

    g(U i1, . . . ,Uil )

    n

  • g(x , y) = e(x+y) en (0,1) (0,1)

  • Clculo aproximado el valor de Una aplicacin a las integrales mltiples es el clculoaproximado del valor de .

    Recordemos que el rea de un crculo de radio r es r 2,y por lo tanto est dado por el valor de la integral 1

    0

    10

    I{x2+y2

  • Clculo aproximado el valor de

    Si X e Y son v.a.i.i.d., uniformes en (1,1), ambas con

    densidad f (x) =12

    en (1,1), entonces su densidadconjunta ser:

    f (x , y) = f (x)f (y) =14, en (0,1) (0,1).

    Por lo tanto (X ,Y ) es un vector con distribucin uniformeen (0,1) (0,1).

  • Clculo de

    Si U1,U2 U(0,1), entonces

    X = 2U1 1 Y = 2U2 1

    verifican X , Y U(1,1).

    I =

    {1 si X 2 + Y 2 10 c.c.

    entoncesE [I] = P(X 2 + Y 2 1) =

    4.

  • Algoritmo para el clculo de

    Algorithm 1: Generar PI 0;for i = 0 to n do

    Generar U,V U(0,1);X 2U 1;Y 2V 1;if X 2 + Y 2 1 then

    PI PI + 1end

    endPI 4 PI/n

  • Clculo aproximado el valor de

  • La aguja de Buffon

    Un problema planteado en el s. XVIII por Georges LouisLeclerc, conde de Buffon, fue la siguiente:

    Se tienen rectas paralelas equidistantes entre s, y searroja una aguja de longitud mayor o igual a la distanciaentre dos rectas.

    Cul es la probabilidad que una aguja corte a una de lasrectas?

  • La aguja de Buffon

  • La aguja de Buffon

    l

    t

    l2 sen()

    x

  • La aguja de Buffon

    I t la distancia entre las rectas.I l la longitud de la aguja.I la medida del ngulo agudo entre la aguja (o su

    prolongacin) y una de las rectas.I x la distancia entre el punto medio de la aguja y la

    recta ms cercana

    x y son v.a. uniformes con distribucin f (x) y g():

    f (x) =2t, g() =

    2.

  • La aguja de Buffon

    Una aguja cortar la recta si y slo si la distancia de sucentro a una de las rectas es menor que l2 sen(), es decir

    x