Raciocínio Aproximado

Profa. Silvia Modesto [email protected]

Raciocínio Aproximado

• Relações Clássicas

• Relações Difusas

• Implicação: se A então B– Lógica Clássica– Lógica Difusa : regras difusas e operações de

composição• Princípio de Extensão e Raciocínio Aproximado:

se A’ então B’

Ross – cap 7: Classical Logic and Fuzzy Logic


Raciocínio aproximado: regra difusa e operação de composição

• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos.– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B

– Regra 1: A B = R=(AxB)U(AxY) Produto Cartesiano

• Considerando uma nova entrada (antecedente) A’ teremos a saída (conseqüente) B’:

B’= A’ R Relação R

Operação de Composição


Sistema Difuso: raciocínio aproximado

Entradas “crisp”

Fuzzificação

Regras

Inferência

Fuzzy

Desfuzzifica-ção

Saídas “crisp”


Relações Clássicas

• Produto Cartesiano:– Uma seqüência ordenada de n elementos

(a1, a2, a3, ... , an)

é chamada de n-tupla ordenada.

– Sejam os conjuntos A1, A2, A3, ... , Ar então o conjunto de todas as r-tuplas, onde a1A1, a2A2 e arAr , é chamado de PRODUTO CARTESIANO

A1xA2xA3x ... xAr

– Quando Ar são iguais a A então o produto cartesiano

A1xA2xA3x ... xAr é denotado por Ar


Produto Cartesiano: exemplos

• Para os conjuntos A={0, 1} e B={a, b, c} temos os seguintes produtos cartesianos:

– AxB= {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)}

– BxA= {(a, 0), (b, 0), (c, 0), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}

– AxA=A2= {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}


Produto Cartesiano: relações n-árias

• Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ... xAn é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An.

• O PRODUTO CARTESIANO de dois universos X e Y é definido como:

X x Y = {(x,y) | xX e yY} xX e yY

• A força desta RELAÇÃO entre os pares ordenados de

elementos é definida pela função característica א a seguir:

XxY (x,y) =1 se (x,y) XxY (completamente relacionado)א

0 se (x,y) XxY (não relacionado)


Produto Cartesiano: representação

• Um subconjunto do Produto Cartesiano A1xA2x ...xAn é chamada de um RELAÇÃO n-ária sobre A1,A2, ... ,An.

– Diagrama Sagittal– Matriz de Relação

- Cardinalidade da relação R : nx*ny

X Y 1 a 2 b 3 c

R =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

2

3

a b cR


Relações Clássicas: operações

Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y:

• União: RS RS(x,y) = max [ R(x,y) , S(x,y) ]

• Intersecção: RS RS(x,y) = min [ R(x,y) , S(x,y) ]

• Complemento: R R(x,y) = 1 - R(x,y)


Relações Clássicas: operações

Sejam duas relações R e S no universo cartesiano X x Y:

• Contido: RS– R(x,y) S(x,y)

• Identidade: O e X E onde a relação O é a relação nula (matriz nula) e

a relação E é a relação universal ou completa (matriz identidade)


Relações Clássicas: composição

X Y Z

x1 y1

x2 y2 z1

x3 y3 z2

R S

A relação T é uma relação de COMPOSIÇÃO na forma T= RS


Relações Clássicas: composição T= RS

S =

0 1

0 0

0 1

y1

y2

y3

z1 z2

R =

1 0 1

0 0 0

0 0 0

x1

x2

x3

y1 y2 y3

T =

0 1

0 0

0 0

x1

x2

x3

z1 z2

COMPOSIÇÃO: max-min


Relações Clássicas: exemplos de composição

Sejam as relações R, S e T= RS:

• Composição max-min: T(x,z) = max [min(( R(x,y) , S(y,z) )]

yY

• Composição max-produto ou max-dot : T(x,z) = max [( R(x,y) * S(y,z) )]

yY


Inferência Dedutiva: exemplo

Sejam os universos de discurso X e Y definidos por X={1,2,3,4} e Y={1,2,3,4,5,6}.

Sejam os conjuntos clássicos A={2,3} e B={3,4}.

Obtenha a matriz de relação para a regra “Se A então B”, utilizando

R= (AxB) (A x Y)

R(x,y) = max [( A(x) B(y) ), ((1- A(x)) 1) ]

(cap. 7, pag 195 - ROSS)


Relações Difusas: princípio da extensão

• Mapeiam os elementos de um universo X para outro universo Y

• Produto Cartesiano X x Y

• A força da relação para os pares (x,y) é definida em [0;1] por uma Função de Pertinência.

• A cardinalidade de uma relação difusa R é infinita


• Sejam dois conjuntos difusos A em X e B em Y então o produto cartesiano AxB=R XxY

• A relação difusa R tem a seguinte função de pertinência

R(x,y) = AxB(x,y) =min [ A(x) , B(y) ]

Relação Difusa R: princípio da extensão


Raciocínio aproximado: regra difusa e operação de composição

• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B






Relações Difusas: operações padrão

• União: RS RS(x,y) = max [ R(x,y) , S(x,y) ]

• Intersecção: RS RS(x,y) = min [ R(x,y) , S(x,y) ]

• Complemento: R R(x,y) = 1 - R(x,y)

• Contido: RS– R(x,y) S(x,y)


Relações Difusas: propriedades

• ATENDEM:– Comutatividade, associatividade, distributividade,

involução e idempotência.

• NÃO ATENDEM:– Leis do meio excluído:

• R R E (relação completa, identidade)• R R O (relação nula, nula)


Lógica Difusa:

• Raciocínio aproximado:

– proposições imprecisas

– extensão da lógica de predicados

– valores de verdade [0, 1]


Lógica Clássica: inferência dedutiva (Modus Ponens)

Regra R: Se A então B – onde A é definido no universo X e B é definido no universo Y– A regra é considerada uma RELAÇÃO entre os conjuntos A e B

– R= (AxB) (A x Y)

– supondo um novo antecedente A’ então temos um novo conseqüente B’

– regra: Se A’ então B’– onde B’ = A’ R = A’ ((AxB) (A x Y))

R(x,y) = max [( A(x) B(y) ), ((1- A(x)) 1) ]


Lógica Difusa: Raciocínio aproximado

• Regra difusa: A e B são conjuntos difusos.– Regra 1: SE x é A ENTÃO y é B






Formas de Implicação Difusa

Para a relação difusa R com base na regra SE A então B, isto é R = A B, temos:

Mamdani: R(x,y) = min [ A(x) , B(y) ]

Lukasiewicz: R(x,y) = min [1, ( 1- A(x)+ B(y) ]

Soma Limitada: R(x,y) = min [ 1, ( A(x) + B(y)) ]

Goguen: R(x,y) = min [1, ( B(y)/ A(x) ]

Ross – cap 7: pag 209


Formas de Composição Difusa

Composição B’ = A’ R temos para todo xX:

max-min: B’(y) = max{min [ A’(x) , R(x,y) ] }

max-produto: B’(y) = max { A’(x)* R(x,y)}

min-max: B’(y) = min{max [ A’(x) , R(x,y) ] }

max-max: B’(y) = max{max [ A’(x) , R(x,y) ] }

min-min: B’(y) = min{min [ A’(x) , R(x,y) ] }

Ross – cap 7: pag 210

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