Institutt for matematiske fag - NTNU... [email protected] (utarbeidetav Mette Langaas), TMA4245 V2 007 22 deMere: relativ frekvens minst en sekser i re kast med en terning minst en dobbel-sekseri

Kapittel 2: Sannsynlighet2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns.2.8: Bayes regel

Eirik MoInstitutt for matematiske fag, NTNU

www.ntnu.no [email protected] (utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007

FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom

......

Eksperiment

Eksperiment

Utfall

Utfall

Hendelse


3

Utfallsrom og hendelser

DEF 2.1 Ufallsrom: mengden av alle mulige resultater (utfall) av etstokastisk forsøk.

DEF 2.2 Hendelse: delmengde av utfallsrommet.

DEF 2.3 A’=Komplementet til en hendelse A: (også brukt A∗, Ac , A) alleutfall i S som ikke er i A. A’={e ∈ S|e /∈ A}.

DEF 2.4: (A∩B)=Snittet av to hendelser A og B: alle utfall som både er iA og i B.

DEF 2.6: (A∪B)=Unionen av to hendelser A og B: alle utfall som er i Aeller i B eller i begge.


4

Disjunkte hendelser

(mutually exclusive)

— DEF 2.5: To hendelser A og B er disjunkte hvis snittet er tomt:A ∩ B= ∅.

— Viktig egenskap når vi skal regne med sannsynligheter for hendelser(og ofte på eksamen skal man vise om to hendelser er disjunkte!)


5

Regneregler

— Kommutativ lov: A ∪ B = B ∪ A— Assosiativ lov: (A ∩ B) ∩ C

= A ∩ (B ∩ C)— Distributiv lov: A ∩ (B ∪ C)

= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)


6

De Morgans lov

— (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ — (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’


7

Multihendelser

— La S være utfallsrom og

— A1, A2, ..., An ⊂ S, n hendelser.

— Minst en hendelse: A1 ∪ A2 ∪ · · · An=∪ni=1Ai— Alle hendelser: A1 ∩ A2 ∩ · · · An=∩ni=1Ai


8

Hva er de fargelagte områdene?

1............ 2............ 3.............

4............ 5............ 6.............

AC B

D

7............ 8............ 9............www.ntnu.no [email protected] (utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007

9

Produktregel for valgprosess [2.3]

TEO 2.1 Produktregel: Hvis en operasjon kan utføres på n1 måter,og for hver av disse en annen operasjon kan utførespå n2 måter, så kan de to operasjonene utføres pån1n2 måter.

TEO 2.2 Den generaliserte produktregel: En valgprosess har ktrinn. I det første trinnet er det n1 valgmuligheter, i detandre trinnet er det n2 muligheter, ..., i det siste trinneter et nk muligheter. Da er det tilsammen n1n2 . . . nkvalgmuligheter.


10

Ordnede utvalg

MED tilbakelegging: Fra en mengde med n elementer kan vi lagen · n · · · n = nr ordnede utvalg på r elementer nårutvelgingen skjer med tilbakelegging.

UTEN tilbakelegging, TEO 2.4: Fra en mengde med n elementerkan vi lage n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − r + 1) ≡n Prordnede utvalg på r elementer når utvelgingen skjeruten tilbakelegging.


11

Permutasjoner

DEF 2.7 Permutasjon: En permutasjon er en ordning av alle, elleren delmengde av alle elementer.

TEO 2.3: n elementer kan ordnes i rekkefølge på n! =n · (n − 1) · · · 2 · 1 måter.

TEO 2.5: n elementer kan ordnes i rekkefølge i en sirkel på(n − 1)! = (n − 1) · · · 2 · 1 måter.


12

Ikke-ordnede utvalg

TEO 2.8 Uordnet utvalg uten tilbakelegging: Fra en mengde med nelementer kan vi lage(n

r

)

= n·(n−1)·(n−2)···(n−r+1)r ! =n!

r !(n−r)! = nCr uordnedeutvalg på r elementer når utvelgingen skjer utentilbakelegging.


13

Ikke-ordnede utvalg: Alternativ utledning

— Fra de n ulike elementene a1, a2, ..., an skal vi lage to gruppermed hhv. r og n − r medlemmer.

— Hvor mange måter, K , kan det gjøres hvis vi ikke tar hensyn tilordningen innen de to gruppene?• anta at vi har EN slik gruppering som gir

r a-er | (n − r) a-er• Det er r ! mulige måter å ordne de r a-ene på venstre side på og

(n − r)! mulige måter å ordne de (n − r) a-ene på høyre sidepå. Dvs. totalt r !(n − r)! måter.

• Vi gjør dette med alle K grupperinger, og det er det sammesom å permutere de n opprinnelige elementene, dvs

K · r !(n − r)! = n!• Dermed

K = n!r !(n−r)!


14

Binomisk koeffisient ogPascals trekant

— Binomisk koeffisient:(n

r

)

= n!r !(n−r)! .

—(n

r

)

finnes i rad n på plass r .


15

Ikke-ordnede utvalg i r celler

— Generalisering av ikke-ordnede utvalg i 2 celler (de r vi harvalgt og de (n − r) vi ikke har valgt).

TEO 2.7: Vi kan dele en mengde med n elementer inn i r cellermed n1 elementer i første celle, n2 elemeter i andrecelle, ..., og nr elementer i r te celle, på( n

n1,n2,...,nr

)

= n!n1!n2!···nr ! måter, dern = n1 + n2 + · · ·+ nr .

TEO 2.6: Antall ordninger av n objekter, der n1 er av type 1, n2er av type 2, ... og nk er av type k , er n!n1!n2!···nk ! . (Sierdet samme som TEO 2.7).

Multinomisk koeffisient:( n

n1,n2,...,nr

)


16

Oppsummering kombinatorikk— På hvor mange måter kan man trekke r elementer fra n når

trekningen skjer med/uten tilbakelegging når ordningenbetyr/ikke betyr noe?

ordnet ikke-ordnetmed tilbakelegg. nr ikke pensumuten tilbakelegg. n!(n−r)! = nPr

(nr

)

= n!r !(n−r)! = nCr


17

2.4 Sannsynlighet for hendelse

— Kast to terninger

Første terning1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

Andre 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6terning 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

— Merk av i tabellen over og finn sannsynligheten for følgendehendelser:

1. A: samme antall øyne for begge terninger2. B: sum antall øyne ≥ 103. C: minst en sekser


18

Sannsynlighet for hendelse [2.4]

DEF 2.8 (modifisert) Et sannsynlighetsmål, P, på et utfallsrom, S,er en reell funksjon definert på hendelser i S, slik at— 0 ≤ P(A) ≤ 1, A ∈ S— P(S) = 1— P(∅) = 0

DEF 2.9 Hvis resultatet av et eksperiment er ett av N likesannsynlige utfall (uniform sannsynlighetsmodell), oghvis nøyaktig n av disse gir hendelsen A, så ersannsynligheten til A

P(A) =nN

=antall gunstige utfall for A

antall mulige utfall


Figur fra Xeni Dimakos, Norsk Regnesentral


20

Alternativt om sannsynlighet— Sannsynlighet kan være en subjektiv betraktning.

• Sannsynligheten for at Vålerenga vinner serien i 2007.• Sannsynligheten for at du får A på eksamen i TMA4245.

— Relativ frekvens konvergerer mot sannsynlighet• Chevalier de Mere’s problem: er det mer sannsynlig å få

1. minst en sekser i fire kast med en terning , eller2. minst en dobbel-sekser i 24 kast med to terninger?

• de Mere mente (fra empiriske data) at 1) var større enn 2).


21

deMere: relativ frekvens— minst en sekser i fire kast med en terning— minst en dobbel-sekser i 24 kast med to terninger

0 20 40 60 80 100

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

Antall gjentak

Rel

ativ

frek

vens


22


0 200 400 600 800 1000

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

Antall gjentak

Rel

ativ

frek

vens


23


0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

0.40

0.45

0.50

0.55

0.60

Antall gjentak

Rel

ativ

frek

vens


24

deMere: ulike startpunkt


25

Addisjonssetninger [2.5]— Fortsettelse: kast to terninger

Første terning1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

Andre 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6terning 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

— Følgende hendelser er definert:• A: samme antall øyne for begge terninger, P(A) = 16• B: sum antall øyne ≥ 10, P(B) = 16• C: minst en sekser, P(C) = 1136

— Finn sannsynligheten for• A ∪ B : samme antall øyne og/eller sum ≥ 10• A ∪ B ∪ C : samme antall øyne og/eller sum ≥ 10 og/eller minst

en sekser.


26

AddisjonssetningenTEO 2.11: Hvis A, B og C er tre hendelser, så er

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)

−P(A ∩ B)− P(A ∩ C)− P(B ∩C) + P(A ∩ B ∩ C)


27

Disjunkte hendelserTEO 2.10: Hvis A og B er to hendelser, så er

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

Korrolar 1: Hvis A og B er disjunkte er

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Korrolar 2: Hvis A1, A2, A3, ..., An er disjunkte hendelser, så er

P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) =

P(A1) + P(A2) + · · · + P(An)

SA1

A2

A6A5A3

A4

A7 A8

A9

An


28

Partisjon av utfallsrommet

Korrolar 3: Hvis A1, A2, A3, ..., An er en partisjon av utfallsrommetS, da er

P(A1∪A2∪· · ·∪An) = P(A1)+P(A2)+· · ·+P(An) = P(S) =

TEO 2.12: Hvis A og A’ er komplementære hendelser, så er

P(A) + P(A′) = 1

A1

A2

A6A5A3

A4

A7 A8

A9

A10

S


29

Eksamen 5.august 2004, 2a— Vi ser på dødsfall om natten ved sykehjemmet “Aftensol”.

— Ved sykehjemmet er det tre sykepleiere i rene nattevaktstillinger,Anne, Bernt og Cecilie. Hver natt er en av dem på vakt gjennomhele natten, og det er da ingen andre ansatte tilstede ved hjemmet.

— Anne jobber i 100% nattevaktstilling, mens Bernt og Cecilie jobber i50% nattevaktstillinger.

— Vi ser på en tilfeldig valgt natt og definerer følgende hendelser:• A = Anne er på vakt,• B = Bernt er på vakt,• C = Cecilie er på vakt,• D = det skjer et dødsfall.

— Anta at alle dødsfall skjer naturlig. Det er da rimelig å gå ut fra atsannsynligheten for dødsfall er den samme uansett hvilkensykepleier som er på vakt, dvs. at P(D|A) = P(D|B) = P(D|C). Antaat den felles verdi for disse er 0.06.


30

Eksamen 5.august 2004, 2a

1. Tegn de 4 hendelsene definert på forrige side i etvenndiagram.

2. Hva er sannsynlighetene P(A), P(B) og P(C)?

3. Finn P(D).

4. Er hendelsene D og C uavhengige? Begrunn svaret.


31

Oppsummering fra 2.1-2.5

FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom

......

Eksperiment

Eksperiment

Utfall

Utfall

Hendelse

ordnet ikke-ordnetmed tilbakelegg. nr ikke pensum

uten tilbakelegg. n!(n−r )!

“

nr

”

= n!r !(n−r )!

Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativfrekvens

Sannsynlighet for mer enn en hendelse


32

Betinget sannsynlighet [2.6]

DEF 2.9: Den betingede sannsynligheten for B, gitt A, skrivesP(B|A), og er definert som

P(B|A) =P(A ∩ B)

P(A)hvis P(A) > 0

TEO 2.13: Hvis både hendelsene A og B kan inntreffe i eteksperiment, så er

P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)


33

Biltilsynet: utslipp fra bil— Biltilsynet har satt tall på følgende hendelser:

• E: overstige hydrokarbongrensen, P(E)=0.32• F: overstige karbonoksydgrensen, P(F)=0.4• E∩F: overstige både hydrokarbon- og karbonoksydgrensen,

P(E ∩ F)=0.18

S

E F

0.32 0.4

0.18

— Velg ut en tilfeldig bil i Norge, og register utslipp• Hva er sannsynligheten for at bilen du undersøker overskrider

karbonoksydgrensen, gitt at du allerede vet at den overskriderhydrokarbongrensen?

• Hva er sannsynligheten for at bilen du undersøker overskriderhydrokarbongrensen, gitt at du allerede vet at den overskriderkarbonoksydgrensen?


34

Uavhengige hendelser

DEF 2.10: To hendelser A og B er uavhengige hvis og bare hvis

P(B|A) = P(B) eller P(A|B) = P(A)

Ellers, så er A og B avhengige hendelser.

TEO 2.14: To hendelser A og B er uavhengige hvis og bare hvis

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)



36

Venndiagram foruavhengige hendelser

— Hendelsen A: høyde a og lengde l, P(A)′′ =′′ a·lh·l .

— Hendelsen B: høyde h og lengde b, P(B)′′ =′′ h·bh·l .

— Hendelsen A ∩ B: høyde a og lengde b, P(A ∩ B)′′ =′′ a·bh·l .

— Ved uavhengighet er P(A ∩ B) = P(A) · P(B), og vi har P(A) · P(B)′′ =′′ a·lh·l ·h·bh·l =

a·bh·l .


37

Multihendelser

TEO 2.15: Hvis hendelsene A1, A2, ..., Ak kan inntreffe i eteksperiment, så er

P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak) =

P(A1) · P(A2|A1) · P(A3|A1 ∩ A2) · · ·P(Ak |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak−1)

Hvis hendelsene A1, A2, ..., Ak er uavhengige, så er

P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak) =

P(A1) · P(A2) · P(A3) · · ·P(Ak )


38

Chevalier deMere— de Mere mente (fra empiriske data) at 1) var større enn 2):

1. minst en sekser på fire kast med en terning, eller2. minst en dobbel-sekser på 24 kast med to terninger?

— Løsning:1. P(minst en sekser på fire kast med en

terning)=1 − ( 56)4 = 0.5177

2. P(minst en dobbelt-sekser på 24 kast)=1-( 3536)24=0.4914.

Figur fra – og les mer i Cartoon Guide to Statisticswww.ntnu.no [email protected] (utarbeidet av Mette Langaas), TMA4245 V2007

39

Idrettsutøvere

— Idrettsutøvere kan deles inn i tre kategorier:• De som doper seg nå (2%)• De som har dopet seg tidligere (14 %)• De som aldri har dopet seg (84 %)

— La sannsynligheten for positiv dopingtest for de tre gruppenevære hhv. 80 %, 6 % og 3 %.

a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgtidrettsutøver gir positiv test?

b) Hva er sannsynligheten for at en idrettsutøversom avlegger positiv dopingtest, virkelig erdopet?


40

Total sannsynlighet [2.8]TEO 2.16: Total sannsynlighet Hvis hendelsene B1, B2, ..., Bk gir

en partisjon (oppdeling) av utfallsrommet S, slik atP(Bi) 6= 0 for i = 1, ..., k , da har vi for hver hendelse Ai S

P(A) =k

∑

i=1

P(Bi ∩ A) =k

∑

i=1

P(Bi)P(A|Bi)

SB1

B2

B6B5B3

B4

B7 B8

B9

B10A


41

Bayes regel

TEO 2.17: Bayes regel Hvis hendelsene B1, B2, ..., Bk gir enpartisjon (oppdeling) av utfallsrommet S, slik atP(Bi) 6= 0 for i = 1, ..., k , da har vi for hver hendelse Ai S hvor P(A) 6= 0 at

P(Br |A) =P(Br∩A)

P(A) =P(Br∩A)

Pki=1 P(Bi∩A)

= P(A|Br )P(Br )Pki=1 P(A|Bi )P(Bi )

for r = 1, 2, ..., k .


42

Tykkelse av veidekke— Før en seksjon av en ny vei er godkjent for bruk inspiseres

tykkelsen av veidekket ved hjelp av ultralyd.— For et 20 cm dekke, gjøres dette hver 160 meter. Hver 160

meter seksjon vil aksepteres hvis den målte tykkelsen er minst19cm.

— Anta at 90% av seksjonenene følger forskriftene (de er faktisktykkere enn 19cm)

— Men, en ultralydmåling er dessverre bare 80% sikker,• dvs. 80% sjanse for at målingen viser ≥19cm gitt at tykkelsen i

virkeligheten er ≥19cm,• og at det er 80% sjanse for at målingen viser

43

Sykdom og test

— S= syk person

— T= positiv test— For legemidler “vet” man:

• P(T |S): sannsynligheten for at testen slår ut positivt, gitt atpersonen er syk (sensitiviteten til testen). Ønskes høyest mulig.

• P(T ′|S′): sannsynligheten for at testen slår ut negativt, gitt atpersonen er frisk. (spesifisitet). Ønskes høyest mulig

— Interessant for pasienten:• P(S|T ): sannsynligheten for at du er syk, gitt at du har fått en

positiv test.• P(S′|T ′): sannsynligheten for at du er frisk, gitt at du har fått en

negativ test.


44

HIV-test— Hva er sannsynligheten for at en person med positiv HIV-test

virkelig er HIV-smittet? Anta• Sensitivitet av testen: P(T |S)= 0.98• Spesifisitet av testen: P(T ′|S′)= 0.995, dvs.

P(T |S′) = 1 − 0.995 = 0.005.— Svaret er avhengig av forekomsten av HIV i populasjonen:

P(S) P(S|T)1

10000 0.022

10000 =1

5000 0.045

10000 =1

2000 0.0910

10000 =1

1000 0.1620

10000 =1

500 0.2850

10000 =1

500 0.50100

10000 =1

100 0.66

— P(S) = 0.0005 = 510000 (Dagbladet febr 2003, 1900 smittet avHIV i Norge (av 4 000 000), dvs 0.5 promille.)

— Dette gir et problem ved masseundersøkelser. De fleste avpersonene med positiv prøve kan faktisk være friske.


45

TV-debatt (Eksamensoppgave fra HiSør-Trøndelag 1998)

— Et politisk spørsmål blir tatt opp i en TV-debatt. Et stykke ut idebatten stiller programlederen det samme spørsmålet til seerne. Viser heretter bare på de seerne som har en oppfatning omspørsmålet.

— De som mener ja oppfordres til å ringe et bestemt telefonnummer ogde som mener nei et annet nummer. Vi antar i denne oppgaven at70% av seerne mener ja og 30% mener nei.

— Vi antar videre at sannsynligheten for at en tilfeldig ja-seer ringer inn,er 0.05, og sannsynligheten for at en tilfeldig nei-seer ringer inn, er0.10.

— La J være hendelsen at en seer mener ja, og R være hendelsen athan ringer.


46

TV-debatt (forts.)

a) Formuler de fire opplysningene som sannsynligheter(betingede og ubetingede) for J og R. Bestem P(R).

b) Hvor stor andel av innringerne mener ja? Girresultatet et riktig bilde av seernes oppfatning?


Documents

Institutt for matematiske fag - NTNU... [email protected] (utarbeidetav Mette Langaas), TMA4245 V2 007 22 deMere: relativ frekvens minst en sekser i re kast med en terning minst en dobbel-sekseri