Pilotproject ‘Rekenen-wiskundeonderwijs voor de informatiemaatschappij’

Today’s automobiles have more computing devices than an Apollo capsule. Business is a network of word processors and spreadsheets. Engineering and Industry are a maze of workstations and automated controls. Our students will have vastly different careers and we, the earlier generation must radically change the way that education prepares a significant larger part of the population for information intensive professional lifes. (Kenelly, 1996, 24)

InleidingReken- en wiskundige taken worden in toenemende mate overgenomen door machines. Steeds meer rekenwerk wordt overgelaten aan zakrekenmachines, spreadsheets, statistische software, computeralgebra en dergelijke. In dit licht bezien zou je kunnen stellen, dat het huidige reken-wiskundeonderwijs op de basisschool rekenvaardigheden aanleert - zoals standaardprocedures voor het uitvoeren van de basisbewerkingen met gehele getallen, breuken en kommagetallen - die je in de praktijk niet of nauwelijks meer nodig hebt. In plaats daarvan zal de vaardigheid om met bovengenoemde tools om te gaan steeds belangrijker worden. In meer algemene zin leidt het gebruik van informatietechnologie (it) tot een groeiende rol van kwantitatieve informatie in vrijwel alle sectoren van de maatschappij. Bovendien zit er veel wiskunde verborgen in allerlei it-toepassingen. En dat betreft niet alleen het binaire rekenwerk dat een computer of chip uitvoert, daar heeft de gemiddelde it-gebruiker weinig mee te maken. Veel belangrijker is het wiskundige model dat aan de werking een dergelijke it-toepassing ten grondslag ligt. Om met inzicht met moderne apparaten om te kunnen gaan moet je een globaal inzicht hebben in het wiskundige model dat de basis vormt voor de werking van het apparaat en moet je kunnen omgaan met de daarbij horende interface. Belangrijke elementen daarin zijn het redeneren met en over samenhangen tussen variërende grootheden, het dynamisch interpreteren van grafieken en omgaan met basale statistische concepten. Deze wiskunde komt op de basisschool en in de onderbouw van het voortgezet onderwijs niet of nauwelijks aan bod. Het reken-wiskundeonderwijs van nu leidt kort gezegd niet op voor de maatschappij van nu, laat staan voor de maatschappij van morgen. Dit is ernstig een probleem in het licht van de toenemende globalisering waardoor kennisextensief werk uit ons land verdwijnt.

Een probleem bij en discussie over het aanpassen van het onderwijs aan de eisen die de informatiemaatschappij stelt, is dat we niet precies genoeg weten om welke wiskunde het nu in feite gaat. Hier doet zich namelijk een communicatieprobleem voor. Deskundigen uit de diverse maatschappelijke sectoren, zoals industrie, dienstverlening, gezondheidszorg en dergelijke hebben een traditioneel beeld van rekenen en wiskunde als een verzameling van regels en procedures. Daar dat nu juist is wat machines hebben

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 1

overgenomen, lijken rekenen en wiskunde vanuit dat perspectief min of meer overbodig te zijn geworden. De meer conceptuele wiskunde die we kunnen beschrijven in termen van samenhangen tussen meerdere variabelen of statistische begrippen als variantie en waarschijnlijkheid zullen deze praktijkdeskundigen niet snel al wiskunde herkennen, wanneer deze wiskunde in een praktische toepassing is geïntegreerd. Omgekeerd weten wiskundigen en vakdidactici te weinig van wat zich in de diverse maatschappelijke sectoren afspeelt. Om op dit punt verder te komen lijkt het daarom gewenst dat er een werkgroep wordt gevormd, waarin de diverse deskundigheden bij elkaar worden gebracht.

Vooruitlopend op de conclusies van een dergelijke werkgroep zou een onderwijsproject kunnen worden gestart dat zich richt op het ontwikkelen en uitvoeren van reken-wiskundeonderwijs rond computersimulaties of modelleerprogramma’s. Leerlingen, die we willen voorbereiden op de informatiemaatschappij zullen we van een passende wiskundige bagage moeten voorzien, gericht op modelmatig denken over samenhangen tussen variërende grootheden. Daar zit een conceptueel aspect in en een ervaringsaspect, Kenelly spreekt in dit verband van het opdoen van ‘gray-box experience for a black-box world’. De leerlingen zouden moeten ervaren wat het effect is wanneer je de input van een bepaald apparaat, of systeem, varieert. Computersimulaties lijken hier interessante mogelijkheden te bieden. Met geschikte computersimulaties zouden we kunnen bereiken dat leerlingen wiskundige noties van dynamische samenhangen ontwikkelen.

Kader voor een PilotprojectIn deze notitie stellen we een pilotproject voor dat een aanjager zou kunnen zijn voor een meer omvangrijk onderzoeks- annex onderwijsontwikkelingsproject op dit gebied. We schetsen daartoe eerst dit bredere kader.

UitgangspuntenWe gaan ervan uit dat het redeneren over samenhangen tussen dynamische grootheden een van de kerncompetenties is waarop een beroep zal worden gedaan in de informatiemaatschappij. Verder gaan we ervan uit dat de inzet van ict een belangrijke bijdrage kan leveren aan het ontwikkelen van dit type competenties. We veronderstellen verder dat je hier vroeg mee moet, en kunt, beginnen. De vraag is echter hoe dit precies zou moeten, en wat er mogelijk is in het basisonderwijs. Het doel van het door ons voorgestelde project is een eerste stap, we hopen dat dit project in dit verband als aanjager kan fungeren. De opbrengst van het project zal enerzijds bestaan uit verspreidbare onderwijsmaterialen en lessuggesties, anderzijds moeten de uitkomsten kunnen dienen als katalysator voor de discussie over een herinrichting van het reken-wiskundeonderwijs.In de concrete uitwerking willen we focussen op grafieken als interface bij modellen & simulaties.

Grafieken, modellen en simulatiesLeerlingen werken met simulaties als Sim City en Rollercoaster Tycoon, maar maken geen analyses van de onderliggende processen, ze krijgen daarvoor ook geen tools aangeboden. Uiteindelijk zouden we willen dat de leerlingen op een wiskundige manier

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 2

kunnen omgaan met modellen zoals die ten grondslag liggen aan games en met modellen die worden gebruikt om situaties in de werkelijkheid te simuleren en te onderzoeken. In het laatste geval kan bijvoorbeeld worden gedacht aan de modellen die worden gebruikt om de toekomst van bedreigde diersoorten te voorspellen. Vanuit de idee van “grey-box experience for a black-box world”, zouden de leerlingen hier onderzoek kunnen doen naar de invloed van bepaalde maatregelen. In hoeverre dit een reëel en haalbaar doel is voor basisschoolleerlingen zal nog moeten blijken. Eenvoudiger modellen en exploraties lijken zeker mogelijk. We willen we het pilotproject richten op een kernelement hierbinnen, het omgaan met grafieken.

Dynamisch: veranderingLeerlingen leren grafieken veelal kennen als een kant-en-klare taal die ze moeten leren. Het gevolg is vaak dat grafieken statisch worden opgevat, als een variant op tabellen. Dat wil zeggen dat de grafiek gezien wordt als een verzameling van punten die ieder voor zich beschrijven welke y-waarde bij een bepaalde x-waarde hoort. In het licht van het idee van het redeneren over samenhangen tussen dynamische grootheden, zouden grafieken een andere rol moeten vervullen, namelijk die van het beschrijven van de manier waarop de afhankelijke variabele verandert onder invloed van veranderingen in de onafhankelijke variabele. De dynamische interpretatie van functie hangt sterk samen met de ontwikkeling van een conceptuele notie van variabele. Daarbij zouden we graag een notie ontwikkelen die verder gaat dan het idee van “placeholder”, of onbekende. In het type redeneringen waar wij op mikken gaat het om het idee van een variabele die alle mogelijke waarden doorloopt.

Computertools kunnen leerlingen helpen om een dergelijke opvatting van variabelen te ontwikkelen.Hierbij kan gedacht worden aan een programma dat een afhankelijke variabele (bijvoorbeeld de hoogte van een plant) afbeeldt als een verticale strook die in langs de x-as schuift en in lengte varieert (en zo de groei van de plant in de loop van de tijd laat zien). Ter introductie van de grafiek zou een optie kunnen worden toegevoegd die het mogelijk maakt om de top van deze strook een spoor te laten tekenen (zie figuur).

Het perspectief op de langere termijn is dat de leerlingen aan de hand van grafieken, als interface binnen simulaties, een gevoel kunnen gaan ontwikkelen voor verschillende

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 3

typen verbanden (lineaire groei, kwadratische groei [evenredig met een oppervlakte], exponentiele groei [verdubbeling e.d.] en periodieke verschijnselen).

Statisch: variatieEen ander aspect van het concept variabele komt aan de orde bij het verzamelen van data, of te wel het meten. Het blijkt dat veel leerlingen in de onderbouw nog een beperkt beeld van meten hebben. Voor hen zijn meetwaarden sterk gekoppeld aan de gemeten objecten of subjecten. Zo wordt de lengte van Marietje gezien als een kenmerk van Marietje en niet als een mogelijke waarde op de variabele “lengte”. Het vergelijken van meetwaarden met behulp van een eenvoudige grafiek kan helpen om de overgang van kenmerk naar variabele te maken.

Als voorbeeld kan een opgave dienen uit een project rond aanvankelijke statistiek dat in de VS werd uitgevoerd. Deze opgave is ingebed in de context van het schrijven van consumentenvoorlichting en nadat in een discussie naar voren is gekomen dat ‘levensduur’ een belangrijk kenmerk van een batterij is, wordt besproken hoe je die zou kunnen meten. Vervolgens krijgen leerlingen (gefingeerde) meetresultaten voorgelegd.

Levensduur van batterijen in uren.

Dit gebeurt in de vorm van de bovenstaande visuele representatie die is ingebed in een computertool. De figuur toont de meetresultaten van een steekproef van 10 batterijen van het merk Always Ready, en 10 batterijen van het merk Tough Cell. De vraag is: “Welk merk is het beste?” Het beantwoorden van deze vraag focust de aandacht op de verdeling van de eindpunten van de lijnstukken die de levensduur van de batterijen visualiseren. In het leerproces dient dit als opstapje voor het afbeelden van meetwaarden als punten op een x-as. Het redeneren over de posities van de eindpunten en het selecteren van gebieden (“Alle Tough Cell batterijen werkten meer dan 80 uur”), krijgen de data meer het karakter van mogelijke waarden op een variabele – die worden afgebeeld als punten op de x-as.Het vergelijken van data sets kan leiden tot een bewustwording van het fenomeen variatie. Zo merkten (Amerikaanse) brugklasleerlingen die de levensduur van batterijen moesten vergelijken op dat de spreiding binnen het ene merk groter was dan die bij het andere merk. Wat hen de uitspraak ontlokte, “I had rather have a consistent battery”.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 4

Always Ready

Tough Cell

SimulatiesSimulatiespelen zijn erg populair bij kinderen. RollerCoaster Tycoon, the Sims, Sim City, voetbalcompetitiespelen en multiplayer internet games als RuneScape zijn maar enkele voorbeelden. De speler wordt geacht al spelend kennis op te doen over hoe je geld, magische krachten, voedsel, bezoekers van je attractie, enzovoort kunt vergaren. Het spel is een black box, de regels die bepalen wat er gaat gebeuren blijven grotendeels onzichtbaar voor de spelers. De spelen bieden ook geen tools om de achterliggende verbanden te onderzoeken. De kennis die kinderen al spelend ontwikkelen zal daardoor vrij intuïtief blijven.Desalniettemin kunnen dergelijke games aangrijpingspunten bieden voor het soort activiteiten dat ons voor ogen staat. Zo zouden games een startpunt kunnen vormen wanneer de belangstelling van de leerlingen zou kunnen worden gewekt voor het onderzoeken van de regels achter dergelijke spelen. Meer in algemene zin kunnen games ons echter ook bewust maken van kenmerken van computerprogramma’s die van belang zijn voor het motiveren van leerlingen. In de beginfase van het pilotproject willen we daarom uitzoeken hoe kinderen dergelijke games spelen, en welke spelen een ingang bieden voor activiteiten rond grafieken. Daarnaast lijkt het verstandig een inventarisatie te maken van wat er inmiddels al aan educatief materiaal bij commerciële games ontwikkeld is.

Te maken keuzesOm te komen tot een concreet plan moeten keuzes worden gemaakt op een aantal punten. Wij beschrijven deze keuzes hieronder.

Een leergang of losse activiteitenEen belangrijke keuze is of we voor een leergangmatige opzet kiezen of voor losse activiteiten. Hoewel een leergangmatige aanpak naar verwachting een hogere leeropbrengst heeft, zijn we geneigd te kiezen voor losse activiteiten. Op die manier kunnen we sneller meer leraren en meer leerlingen bij het project betrekken. Waar mogelijk kunnen leergangmatige elementen in de ict-omgeving of in de ict tools verwerkt worden.

Nadruk op verandering of op variatieDe twee aspecten die we hierboven noemden - dynamische verandering enerzijds en variatie tussen individuen anderzijds - kunnen binnen bepaalde contexten samen aan de orde worden gesteld. Denk bijvoorbeeld aan een project rond plantengroei, waarbij leerlingen niet alleen geconfronteerd worden met de verandering binnen één plant, maar ook met de variatie binnen de verzameling planten. Algemeen geldt bij wetenschapsbeoefening dat een serie metingen aan één individu of object zelden voldoende is; de vergelijking van verschillende series metingen speelt vaak een belangrijke rol. Waar mogelijk zullen beide aspecten aan de orde worden gesteld. Wij stellen echter voor om de nadruk te leggen op dynamische verandering.

Eigen metingen tegenover werken met videoregistraties of simulaties

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 5

Bij voorkeur wordt gestart met door leerlingen zelf uitgevoerde metingen, want het onderzoeken van vragen die deze metingen oproepen is waarschijnlijk motiverender dan werken met gegevens waarvan leerlingen de echtheid niet kunnen controleren. Het opzetten van een experiment dat echte data oplevert eist echter veel energie en organisatietalent van leerkrachten. Op dit moment valt niet goed te overzien wat voor soort activiteiten nog binnen een schoolsituatie te realiseren valt. Ook is niet duidelijk of persé gekozen moet worden voor een korte meetactiviteit, of dat een experiment ook over een aantal weken zou kunnen worden gespreid. Bij het eerste kan gedacht worden aan het meten met een sensor van bijvoorbeeld temperatuur bij verwarmen en afkoelen, bij het tweede aan een experiment rond plantengroei.Nadat een experiment met eigen metingen de basis heeft gelegd kan worden overgestapt op activiteiten rond videoregistraties of simulaties.

Onderzoeken van grafieken tegenover zelf modellerenEr is onderzoek gedaan met tools waarmee leerlingen zelf een model kunnen maken van veronderstelde verbanden, soms ook met proefpersonen van rond 12 jaar (Bliss 200x,...). Dit type onderzoek staat echter nog in zijn kinderschoenen. De gebruikte computerprogramma’s lijken vrij gecompliceerd voor jonge kinderen, en het onderzoek had steeds betrekking op tijdsintensieve studies met individuele kinderen.Het lijkt dus mogelijk om leerlingen in de basisschool-leeftijd zelf modellen te laten opstellen, maar vooralsnog lijkt het beter om ons te richten op activiteiten waarin de nadruk ligt op het analyseren van en experimenteren met grafieken.

PilotprojectWe kiezen voor een opzet, waarbij in het begin de nadruk ligt op het analyseren van data met behulp van grafieken en later op het experimenteren met simulaties. Voor beide onderdelen worden relatief kleine, web based applicaties ontwikkeld. Deze programma’s worden in een aantal cycli in de praktijk getest.Begonnen wordt met het ontwikkelen van een programma rond de representatie van verandering. Met deze tool kunnen leerlingen eigen metingen of bestaande datasets onderzoeken. In vergelijking tot bijvoorbeeld een pakket als Excel biedt het specifieke, op didactische overwegingen gebaseerde manieren om data te onderzoeken. In het tweede jaar wordt begonnen aan het ontwikkelen van een of meer eenvoudige simulaties. In deze simulaties kunnen leerlingen naar eigen keus veranderingen aanbrengen en vervolgens via grafieken analyseren wat het effect is van hun ingreep.In het derde jaar wordt het materiaal verder getest en bijgesteld. Ook wordt onderzocht wat het effect is van het werken met deze materialen.

KlassenprojectenDe te ontwikkelen programma’s kunnen worden gebruikt binnen klassenprojecten rond verschillende onderwerpen. Een aantal onderwerpen zal worden uitgewerkt worden binnen het project zelf, maar het lijkt ook mogelijk om Pabo-studenten eigen klassenprojecten te laten ontwerpen.Hieronder schetsen we een aantal mogelijke uitwerkingen.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 6

PlantengroeiIdealiter gaat het hier om een project waarin daadwerkelijk gegevens over de groei van planten worden verzameld. Te denken valt aan een snelgroeiende plant waarvan iedere leerling van de klas er eentje opkweekt. Tijdens de groei wordt dagelijks bijgehouden hoe groot de plant inmiddels is. Het vergelijken van de resultaten leidt tot discussies over normale en afwijkende groei. Wellicht kan voor een dergelijke activiteit gebruik worden gemaakt van bestaande projecten of leskisten. Er bestaan bijvoorbeeld leskisten voor het opkweken van vlijtig liesjes en champignons.Het te ontwikkelen computerprogramma kan worden gebruikt om de gegevens te ordenen en te analyseren. De weergave in de vorm van staafjes met een bepaalde lengte kan worden gezet naast een meer concrete representatie in de vorm van plaatjes of foto’s.

Plantengroei in stripvorm

Het is voor te stellen dat via internet gegevens worden uitgewisseld met andere klassen. In het verlengde van een dergelijk klassenproject kan een activiteit ontwikkeld worden waarin leerlingen groeicondities, zoals bijvoorbeeld, variatie in voedingsstoffen, licht, temperatuur en dergelijke, onderzoeken via een simulatie.

LichaamsgroeiInteressant aan lichaamsgroei als onderwerp is dat de groei van jongens en meisjes duidelijk verschillend is. Dit roept de vraag op hoe die verschillen gekarakeriseerd kunnen worden. Ook kan worden onderzocht of er sprake is van een groeispurt in de puberteit.Een interessant punt is dat het onderwerp direct discussie oproept over verschillen tussen individuen. Individuele kinderen zullen met hun lengte en leeftijd nooit precies passen op een grafiek die de gemiddelde lengte weergeeft.Naast lengte kan ook de verandering in gewicht worden onderzocht. In dat geval moeten leerlingen de stap maken dat gewicht gerepresenteerd wordt via de lengte van staafjes.Gedacht kan worden aan een project waarbij leerlingen in eerste instantie werken met gegeven datasets en daarna thuis data opzoeken over hun eigen ontwikkeling. Ook kan de huidige eigen lengte worden vergeleken met een grafiek voor gemiddelde groei.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 7

TemperatuurIn de brugklas wordt bij het onderwerp grafieken vaak gewerkt met temperatuurgrafieken en daar zijn goede argumenten voor. Temperatuur is een continu veranderende grootheid die voor leerlingen herkenbaar kan worden gerepresenteerd als de lengte van de kolom in een thermometer.Terwijl in het bestaande onderwijs gebruik wordt gemaakt van werkbladen, zou een ict-tool leerlingen de mogelijkheid kunnen bieden om zelf te experimenteren met verschillende representaties.

Bij het onderwerp temperatuur is het mogelijk dat leerlingen eigen metingen aflezen en invoeren in het computerprogramma. Het is in principe echter ook mogelijk een temperatuur-sensor direct aan een computer te koppelen.Op een vergelijkbare manier zou geëxperimenteerd kunnen worden andere variabelen, zoals geluidssterkte, lichtintensiteit e.d. Ook dergelijke variabelen zijn weer te geven via lengte, namelijk als de uitslag van metertjes.Onderzocht moet worden in hoeverre bij deze activiteiten gebruik kan worden gemaakt van een bestaand pakket als Coach Junior. Met Coach is het mogelijk sensoren aan de computer te koppelen.

Experimenteren met simulatiesWanneer leerlingen voldoende begrip hebben van grafieken kan worden gewerkt met simulaties. Genoemd is al de mogelijkheid van een simulatie voor plantengroei. Dergelijke simulaties bieden leerlingen de mogelijkheid om vragen van het type ‘wat als..?’ te onderzoeken.Klassenprojecten rond simulaties kunnen in de tweede helft van het pilotproject worden ontwikkeld.

VisstandEen van de mogelijkheden is een klassenproject over ‘overbevissing’. In een meer bevindt zich een populatie vis van een bepaalde soort. Er wordt vis gevangen door lokale vissers, met eenvoudige netten. De computersimulatie kan laten zien welke invloed dat heeft op de hoeveelheid vis: als de vissers niet meer mogen vissen stijgt het aantal vissen en blijft daarna constant op een hoger niveau.Nu wordt het vissen met grote boten en grote netten geïntroduceerd, waarmee binnen een paar dagen het meer bijna helemaal kan worden leeggevist. Dat heeft tot gevolg dat het lang duurt voordat de visstand zich weer hersteld heeft.Leerlingen spelen een spel waarbij ze als het ware op de computer elk een eigen meer hebben. Ze mogen zelf besluiten op welk dagen ze gaan vissen en hoeveel vis ze op die dag vangen. In de tussenperiodes herstelt de visstand zich weer. Leerlingen kunnen het tempo van de simulatie versnellen en vertragen.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 8

Wanneer alle groepjes leerlingen aan de beurt zijn geweest kunnen de visstandgrafieken worden vergeleken. Een belangrijke vraag is: welke leerlingen hebben in totaal de meeste vis gevangen in een vergelijkbare periode?Een bioloog moet worden geraadpleegd voor het maken van een precies model, maar aangenomen mag worden dat wanneer de speler binnen het min of meer rechte stuk van de s-kromme blijft, het niet zoveel uitmaakt of hij vaak een beetje vis vangt of af en toe veel vis. Als een speler echter heel veel vis wegvangt duurt het lang totdat de populatie zich herstelt (onderkant s-kromme) en als hij steeds zou wachten tot de populatie zijn maximum bereikt kun hij niet vaak vissen (bovenkant s-kromme). In de discussie kunnen ook andere overwegingen aan de orde komen, zoals een constante aanvoer van vis voor de bevolking, en de moeite die het kost om vis te vangen wanneer de populatie klein is.

Roofdieren en prooidierenWanneer in een model rekening wordt gehouden met verschillende soorten dieren wordt de situatie ingewikkelder. De soorten concurreren met elkaar om hetzelfde voedsel, of de ene soort is zelf het voedsel voor de andere soort.De context om leerlingen hiermee te laten experimenteren kan die van een wildpark zijn. Zonder ingrijpen van mensen, of plotselinge ziektes of brand, zal er sprake zijn van een evenwicht. Leerlingen kunnen onderzoeken wat er gebeurt als ze op de een of andere manier ingrijpen.In tegenstelling tot de simpele vis-simulatie mogen leerlingen bij een dergelijke simulatie niet meer voortdurend ingrijpen, want de verbanden worden al gauw heel ingewikkeld en de ingrepen verstoren het zicht op wat er precies gebeurt. Het uitgangspunt in de computersimulatie is bijvoorbeeld een of andere stabiele situatie en daarbinnen mag één keer een ingreep worden gedaan. Dat kan bijvoorbeeld het uitzetten van een nieuw type roofdier zijn, of het vangen van alle leeuwen. Vervolgens moet worden afgewacht hoe de populaties zich ontwikkelen.Ook dit spel kan in een competitie worden gespeeld. Groepjes leerlingen of klassen beheren elk een identiek safaripark. Een opdracht kan bijvoorbeeld zijn: er zijn teveel savanne-hazen. Zet een of meer nieuwe types roofdieren uit, maar zorg ervoor dat ze de hazen niet helemaal uitroeien. Introductie van een nieuw type roofdier zal vaak effect hebben op de omvang van andere populaties roofdieren, waardoor de populatie van andere prooidieren groter kan worden, enzovoort.

Mini-economieEen mogelijkheid is een internetspel te maken rond een mini-economie. Een voorbeeld is te vinden op www.miniconomy.nl/ (inloggen als gast). Lastig is dat de speler te maken krijgt met zeer ongelijksoortige factoren. Voor ons doel zou een dergelijk spel moeten worden teruggebracht tot heel elementaire verbanden.

Aansluiting bij bestaande projectenIn het voorgestelde project kan worden voortgebouwd op eerdere projecten die door of in samenwerking met het Freudenthal instituut zijn uitgevoerd. Bovendien kan worden aangesloten bij lopende projecten. Zo is onlangs het VTB-project ‘Techplek op het rekenweb’ gestart dat wordt uitgevoerd in samenwerking met Amstel Instituut en de

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 9

NVORWO. De bedoeling is hier om te komen tot met natuurwetenschap en techniek verbonden reken-wiskundige activiteiten voor het basisonderwijs, waarbij een verbinding wordt gelegd met de website “Rekennet” van het Freudenthal Instituut. Ook in dit project proberen we verder te gaan dan voor de hand liggend rekenwerk. Binnen ‘Techplek’ wordt op dit moment o.a. gewerkt aan een project Zon en Schaduw. Leerlingen meten de lengte van de schaduw van een stok, de richting, en de hoek waaronder de schaduw de grond raakt. Na het onderzoeken van de eigen gegevens kunnen leerlingen experimenteren met een schaduw-simulatie waarin datum, tijdreeks en plaats kunnen worden ingevoerd.Het “Rekennet” kan overigens een interessante rol spelen in het hier voorgestelde project. Op deze website, die zich richt op leraren, leerlingen en ouders, staan verschillende game-achtige computer applets waarmee de leerlingen zelfstandig of in klassenverband aan de slag kunnen. In verband hiermee dient ook te worden vermeld dat het Freudenthal Instituut de expertise in huis heeft om educatieve computerprogramma’s te ontwikkelen.Een meer wetenschappelijk gericht project dat verwant is aan het hier voorgestelde is het NWO-project ‘Tool Use in Innovative Learning Arrangements for Mathematics’, dat zich richt op het leren van algebra in een ict-rijke leeromgeving.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 10

Pilotproject

Wij stellen een pilotproject van drie jaar voor, waarbij in het begin de nadruk ligt op het analyseren van grafieken en later op het experimenteren met simulaties. Voor beide onderdelen worden relatief kleine, web based applicaties ontwikkeld.In het eerste jaar wordt een programma gemaakt waarmee leerlingen eigen metingen of bestaande datasets kunnen onderzoeken. In vergelijking tot bijvoorbeeld een pakket als Excel zal het programma specifieke, op didactische overwegingen gebaseerde manieren bieden om data te onderzoeken. In het tweede jaar kan begonnen worden aan het ontwikkelen van een of meer eenvoudige simulaties. In deze simulaties kunnen leerlingen naar eigen keus veranderingen aanbrengen en vervolgens via grafieken analyseren wat het effect is van hun ingreep. De onderzoeksactiviteiten met de in het eerste jaar ontwikkelde programma’s zijn belangrijk voor het ontwikkelen van de ‘grafiekentaal’ die de leerlingen voor het werken met de simulaties moeten begrijpen.

De werkzaamheden binnen het project zullen omvatten:- Het ontwikkelen van een programma (tool) voor het onderzoeken van datasets.- Ontwerpen van klassenprojecten rond die tool.- Ontwikkelen van kleine simulaties.- Ontwerpen van klassenprojecten rond die simulaties.- Voor elk pakket: testen/observeren in klassen- Stimuleren dat leerkrachten en pabostudenten de projecten uitvoeren.- Stimuleren en faciliteren dat pabostudenten soortgelijke klassenprojecten

ontwerpen.

ToolEr wordt een generiek computerprogramma’s ontwikkeld waarmee leerlingen verandering kunnen analyseren. Voor het programma geldt:- Het programma wordt een tool waarmee verschillende datasets kunnen worden

bestudeerd. Het zal zowel geschikt zijn voor eigen metingen van leerlingen, als voor van internet te downloaden datasets.

- Het programma is in principe web based, met de mogelijkheid om eigen data te bewaren via de server. Voor het werken met een (temperatuur)sensor is het waarschijnlijk nodig dat er ook een versie komt die gedownload kan worden.

- Het gaat om een klein, eenvoudig te hanteren programma, toegesneden op een specifiek didactisch doel. Mocht blijken dat bepaalde doelen om andere mogelijkheden vragen, dan zal eerder gekozen worden voor het maken van verschillende versies, dan voor het toevoegen van opties.

Het programma zal wat omvang en gebruik vergelijkbaar zijn met de al eerder door het Freudenthal Instituut ontwikkelde minitools. Deze minitools zijn te vinden op www.wisweb.nl > applets > statistiek en kans.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 11

Basisstructuur computerprogramma ‘representeren van verandering’Standaard representatie: staafjeData kunnen worden ingevoerd via rechtstreekse metingen met een sensor, maar ook via inlezen van een bestaande dataset. Het kan door leerlingen ook handmatig worden gedaan, bijvoorbeeld via schuifjes, of via intypen van waarden in een tabel. Het staafje toont de waarde van de gemeten variabele. Opties zijn:- Directe waarneming (bij meting via sensor)- Registratie afspelen als filmpje (bij meting via sensor)- Diavoorstelling (tijdsinterval kiezen)- Stripverhaal (tijdsinterval kiezen; mogelijkheid tot horizontaal scrollen)- Discrete staafjesgrafiek (tijdsinterval kiezen; bij niet-continue data is er de

mogelijkheid om tussenliggende waarden te kiezen.)- Lopend staafje dat langs de x-as beweegt en in grootte varieert (met ‘trace’ als

suboptie)- Als continue grafiek (met de mogelijkheid om een punt over de grafiek te laten

bewegen)Bij niet continue gegevens interpoleert het programma niet automatisch tussen de verschillende meetmomenten, maar het biedt wel de mogelijkheid om dit ‘met de hand’ te doen. De echte metingen en de veronderstelde tussenmetingen blijven echter duidelijk van elkaar te onderscheiden. Een dergelijk programma dwingt leerlingen om na te denken over wat er gebeurt tussen de verschillende meetmomenten. Het hierboven geschetste programma is nogal ambitieus en mogelijk te complex. Het oogmerk is immers een klein eenvoudig te hanteren programma te ontwikkelen. Gedurende het ontwikkelproces zal worden bekeken of het programma niet te complex wordt en zal zonodig voor een simpeler opzet worden gekozen.

Onderzoeken van variatieIn de te ontwikkelen klassenprojecten rond de tool zal ook aandacht zijn voor variatie. Dit kan bijvoorbeeld door groeicurves van planten of mensen onderling te vergelijken. In principe is het mogelijk om de al bestaande minitool - die we eerder met het voorbeeld van de levensduur van batterijen beschreven - binnen zo’n klassenproject in te zetten. Vooralsnog gaan we er echter niet van uit dat dit ook werkelijk zal gebeuren, omdat het introduceren van twee tools het onderwijspakketje waarschijnlijk te complex gaat maken.

Klassenexperimenten rond deze toolIn het eerste projectjaar zullen rond de tool twee klassenprojecten worden gemaakt, het ene over lichaamsgroei of plantengroei, het ander over temperatuur. Deze zullen in een aantal klassen worden getest. In het tweede jaar worden ze bijgesteld en in nieuwe klassen getest. In het tweede en derde jaar kunnen mogelijk ook andere onderwerpen worden uitgewerkt. De klassenprojecten zullen uiteindelijk worden omgewerkt tot Web-based onderzoeksprojecten, die worden aangeboden via het Rekenweb van het Freudenthal Instituut en de website van de Ververs Foundation.Het lijkt mogelijk om Pabo-studenten eigen klassenprojecten te laten ontwerpen rond de ontwikkelde tool. Vanaf het eind van het eerste jaar zal hiervoor actief worden geworven. Ook deze onderzoeksprojecten zullen via de genoemde websites worden verspreid.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 12

SimulatieIn het tweede jaar wordt een simulatie ontwikkeld waarin het interpreteren van grafieken een centrale rol speelt. Er zal zoveel mogelijk gebruik worden gemaakt van representatievormen die in de tool zijn geïntroduceerd.Gezocht zal worden naar een aansprekende vorm voor een project rond de simulatie. In plaats van een project te maken voor afzonderlijke klassen is het wellicht mogelijk om verschillende klassen tegelijk met de simulatie te laten werken. Dit kan bijvoorbeeld in de vorm van een competitie.

TijdsplanningHet voorstel is om de activiteiten in het eerste jaar te richten op het ontwikkelen van het programma voor het analyseren van verandering, en het ontwerpen van twee klassenprojecten waarbij deze tool kan worden ingezet.Aan het eind van het eerste projectjaar kan vervolgens worden besloten of het programma geschikt is om er ook anderen - met name Pabo-studenten - klassenprojecten mee te laten ontwerpen.In het tweede projectjaar wordt gewerkt aan het faciliteren van dit gebruik door anderen. De klassenprojecten rond groei en temperatuur zullen dat jaar verder worden bijgesteld en mogelijk kunnen ook nieuwe klassenprojecten worden gemaakt. Tegelijkertijd wordt onderzocht wat de opbrengst is van dergelijke klassenprojecten. In het tweede jaar wordt ook een simulatie ontwikkeld en in een eerste ronde getest. Het derde jaar zal worden besteed aan het verder testen en bijstellen van het ontwikkelde materiaal tot direct bruikbare klassenprojecten. Onderzocht zal worden hoe dit materiaal in de praktijk wordt gebruikt.

Tijdsplanning eerste jaarWe gaan uit van een start per 1 september 2006.September 2006 - december 2006: Ontwerp computerprogramma rond representatie van verandering en ontwerp van een eerste klassenproject.Januari 2007 - juni 2007: Experimenten in een of twee klassen. Ontwikkelen van, en experimenteren met een tweede klassenproject. Bijstellen van het computerprograma.Mei 2007 - augustus 2007: Bruikbaar maken van de materialen voor gebruik door Pabo-studenten. Werving van studenten voor een dergelijke activiteit.Verslaglegging en indienen van een plan voor het tweede jaar.

Begroting eerste jaarSupervisie, Koeno Gravemeijer: 10 dagen à € 950,- per dag. Totaal € 9.500,-, ten laste van het Freudenthal Instituut.Ervaren onderzoeker/ontwikkelaar (Frans van Galen): 50 dagen à € 750,- per dag. Totaal € 37.500,-Ervaren programmeur: 20 dagen à € 650 per dag. Totaal € 13.000,-Reiskosten en materiaal: € 2.000,-Totaalbedrag voor het eerste jaar: € 52.500 voor het eerste jaar.

Pilot rekenen-wiskunde en de informatiemaatschappij, mei 2006 13