Inhaltsverzeichnis - THM

Regelungstechnik Inhaltsverzeichnis 1

Technische Hochschule Mittelhessen 07/21 Prof. Dr.-Ing. Peter Schmitz formelsammlung.docx

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis .......................................................................................................................................... 1

1 Statisches Verhalten ............................................................................................................................... 2

1.1 Linearisierung im Kennlinienfeld .................................................................................................... 2

1.2 Regelung im Kennlinienfeld ........................................................................................................... 3

2 Dynamisches Verhalten .......................................................................................................................... 4

2.1 Spezielle Signale ........................................................................................................................... 4

2.2 Gegenüberstellung von Zeit- und Bildbereich ............................................................................... 5

2.3 Pol-/Nullstellendiagramm ............................................................................................................... 6

2.4 Frequenzgang G(j) ...................................................................................................................... 6

2.4.1 Bode-Diagramm ................................................................................................................ 6

2.4.2 Ortskurve des Frequenzgangs ......................................................................................... 7

2.5 Minimalphasensystem und Allpaß ................................................................................................. 8

3 Wirkungsplan .......................................................................................................................................... 9

4 Stabilität ................................................................................................................................................ 12

4.1 Asymptotische Stabilität ............................................................................................................... 12

4.2 Ein-/Ausgangsstabilität ................................................................................................................ 12

4.3 Algebraische Stabilitätskriterien .................................................................................................. 12

4.3.1 Kriterium nach Hurwitz .................................................................................................... 12

4.3.2 Kriterium nach Routh ...................................................................................................... 13

4.4 Nyquist-Kriterium (vereinfacht): ................................................................................................... 13

5 Reglersynthese ..................................................................................................................................... 14

5.1 Reglereinstellung nach der Sprungantwort der Regelstrecke ..................................................... 14

5.2 Reglereinstellung nach Schwingversuch ..................................................................................... 15

5.3 Reglereinstellung nach Amplituden- und Phasenreserve ........................................................... 15

5.4 Reglereinstellung mittels Polstellenkompensation ...................................................................... 16

5.5 Betragsoptimum ........................................................................................................................... 16

5.6 Symmetrisches Optimum ............................................................................................................. 17

6 Vermaschte Regelkreise ....................................................................................................................... 18

Anhang ........................................................................................................................................................ 19

A Tabellen zur Laplace-Transformation .......................................................................................... 19

B Bode-Diagramm ........................................................................................................................... 22

C Übertragungselemente ................................................................................................................ 23

Regelungstechnik Statisches Verhalten 2


1 Statisches Verhalten

1.1 Linearisierung im Kennlinienfeld

Bild 1-1: Graphische Linearisierung im Kennlinienfeld

Linearisierung des Kennlinienfeldes V = f(U,Z) im Arbeitspunkt A, gegeben durch V0 = f(U0,Z0):

V V0 v f U0, Z0 Ku u Kz z (1.1-1)

mit

K∂V∂U

ΔVΔU

(1.1-2)

und

K∂V∂Z

ΔVΔZ

(1.1-3)

sowie

v V - V0 , u U - U0 , z Z - Z0 . (1.1-4)

Daraus folgt die linearisierte Beziehung im Arbeitspunkt

v Ku u Kz z (1.1-5)

U

V

Z

Z0

U0

ΔU

ΔZ

A V0ΔVU

ΔVZ

Regelungstechnik Statisches Verhalten 3


Bild 1-2: Allgemeines linearisiertes statisches System

1.2 Regelung im Kennlinienfeld

Bild 1-3: Regelung im Kennlinienfeld

Auftreten einer Störung ∆Z, nichtlineare Strecke

1. Ohne Regler, oR

YoR Y0

XoR f Y0, Z0 ∆Z aus dem Kennlinienfeld

2. Mit Regler, mR

y KP x Die Reglerfunktion eines Proportionalreglers ergibt im Kennlinienfeld eine Gerade durch den Arbeitspunkt.

XmR f Y0 ∆YmR, Z0 ∆Z aus dem Schnittpunkt im Kennlinienfeld von Reglerkennlinie und der Kennlinie Z = Z0+∆Z

3. Regelfaktor

RΔXΔX

z

u v Ku

Kz

Y

X

Z

Z0

AX0

XoR

Y0

XmR

YmR

XoR

XmR

Z

Reglerkennlinie

Regelungstechnik Dynamisches Verhalten 4


2 Dynamisches Verhalten

2.1 Spezielle Signale

Einheitssprungfunktion ε 𝑡1 0 𝑡

für0 𝑡 0

In der Literatur übliche andere Bezeichnungen:

(x), H(x) Heaviside-Funktion

s(x), (x) Sprungfunktion

u(x) unit-step-function

Einheitspulsfunktion δ 𝑡∞ 𝑡 0

für0 𝑡 0

In der Literatur übliche andere Bezeichnungen:

Dirac-Funktion, Delta-Distribution, unit-pulse-function

Zusammenhang zwischen (t) und (t)

ε 𝑡 δ 𝜏 d𝜏

Übergangsfunktion

Übergangsfunktion h(t) oder auch Sprungantwort wird das Ausgangssignal eines Prozesses genannt, wenn am Eingang die Einheitssprungfunktion (t) anliegt.

Gewichtsfunktion

Gewichtsfunktion g(t) oder auch Impulsantwort wird das Ausgangssignal eines Prozesses genannt, wenn am Eingang die Einheitspulsfunktion (t) anliegt.

Für lineare Systeme gilt:

h 𝑡 g 𝜏 d𝜏 bzw. g 𝑡dd𝑡

h 𝑡

Bei bekannter Gewichtsfunktion kann das Ausgangssignal v(t) für beliebige Eingangssignale u(t) mittels Faltungsintegral (Faltungsprodukt) berechnet werden:

v 𝑡 u 𝑡 � g 𝑡 u 𝜏 ⋅ g 𝑡 𝜏 d𝜏 g 𝜏 ⋅ u t 𝜏 d𝜏

t

(t)

0 0

1

t

(t)

0 0



2.2 Gegenüberstellung von Zeit- und Bildbereich

Zeitbereich Bildbereich

Inverse Laplace-Transformation: Laplace-Transformation:

f 𝑡 ℒ F 𝑠1

2πj lim

→F 𝑠 ⋅ e d𝑠 F 𝑠 ℒ f 𝑡 f 𝑡 ⋅ e d𝑡 .

Differentialgleichung:

a v 𝑡 ⋯ a v 𝑡 a v 𝑡 b u 𝑡 b u 𝑡 ⋯ b u 𝑡

V 𝑠 ⋅ a 𝑠 ⋯ a 𝑠 a U 𝑠 ⋅ b b 𝑠 ⋯ b 𝑠

Gewichtsfunktion: Übertragungsfunktion:

g t G 𝑠V 𝑠U 𝑠

b b 𝑠 ⋯ b 𝑠a a 𝑠 ⋯ a 𝑠

ba

⋅𝑠 s 𝑠 s ⋯ 𝑠 s𝑠 s 𝑠 s ⋯ 𝑠 s

ba⋅

1 β s 1 β s ⋯ 1 β s1 α s 1 α s ⋯ 1 α s

⋅ s

mit n0, p0 = Anzahl Null-/Polstellen im Ursprung,

m N n0 und n P p0 sowie

b0 ... bx-1 0 und a0 ... ay-1 0

Faltungsprodukt:

v 𝑡 u 𝑡 � g 𝑡 V 𝑠 G 𝑠 ⋅ U 𝑠

Gewichtsfunktion: Übertragungsfunktion:

g 𝑡 g 𝑡 � 𝑡dd𝑡

h 𝑡 G 𝑠 G 𝑠 ⋅ 1 H 𝑠 ∙ 𝑠

Übergangsfunktion:

h 𝑡 u 𝑡 � 𝑡 g 𝜏 d𝜏 H 𝑠 G 𝑠 ⋅1𝑠

Definition: Das Verhältnis der Laplace-transformierten Ausgangsgröße V(s) zur Laplace-transformierten Eingangsgröße U(s) wird Übertragungsfunktion G(s) eines Systems genannt; dabei sind alle Anfangsbedingungen Null.

g(t) u(t) v(t) G(s) U(s) V(s)



2.3 Pol-/Nullstellendiagramm

Bild 2-1: Beispiel Pol-/Nullstellendiagramm

Reelle Pol-/Nullstelle si:

PT1- bzw. PD-Element mit

T Zeitkonstante der Übergangsfunktion

Konjugiert komplexe Pol-/Nullstellen (si, si*):

Schwingungsfähiges Element mit

ω |s | Re s Im s Kennkreisfrequenz

sin Dämpfungsgrad

s , ϑω jω 1 ϑ

0 Abklingkoeffizient

ω ω √1 ϑ Eigenkreisfrequenz

2.4 Frequenzgang G(j)

Definition: Das Verhältnis der komplexen Amplitude des Ausgangssignals v̂ zur komplexen Amplitude des sinusförmigen Eingangssignals û im eingeschwungenen Zustand in Abhängigkeit von der Frequenz wird Frequenzgang G(j) eines Systems genannt.

G j𝜔vu

v ⋅ eu ⋅ e

vu⋅ e

Der Frequenzgang kann direkt aus der Übertragungsfunktion gewonnen werden.

G j𝜔b j𝜔 ⋯ b j𝜔 ba j𝜔 ⋯ a j𝜔 a

2.4.1 Bode-Diagramm

Im Bode-Diagramm, benannt nach Hendrik Wade Bode (1938), wird der Frequenzgang getrennt nach Betrag und Phase über der Frequenz dargestellt. Dabei sind Betrags- und Frequenzachse logarithmisch sowie die Phasenachse linear skaliert.

re

im

0

Re{s } Pi

Polstelle

mehrfache Polstelle

Nullstelle

mehrfache Nullstelle

jIm{s } Pi



1. Normierte Darstellung von G(jω)

Die allgemeine Form der Übertragungsfunktion eines linearen Systems ohne Totzeit

G 𝑠V 𝑠U 𝑠

b b 𝑠 ⋯ b 𝑠a a 𝑠 ⋯ a 𝑠

kann nach Berechnung der Pol- und Nullstellen in eine normierte Darstellung des Frequenzgangs überführt werden:

G j𝜔 K ⋅1 T j𝜔 1 T j𝜔 ⋯ 1 T j𝜔

1 T j𝜔 1 T j𝜔 ⋯ 1 T j𝜔⋅ j𝜔

mit einer Sortierung nach der Größe der Zeitkonstanten (bei konjugiert komplexen Zeitkonstanten wird der Betrag verwendet T T ⋯ T und T T ⋯ T . Damit sind automatisch die Eckfrequenzen, als Kehrwerte der Zeitkonstanten, von klein nach groß sortiert.

2. Skalierung des Bode-Diagramms

Die Betragsachse wird abhängig vom erwarteten Wertebereich skaliert, wobei im Zweifelsfall die „1“ in die Mitte der Skala gelegt wird.

Auf der Frequenzachse werden die Eckfrequenzen markiert. Diese werden möglichst mittig plaziert.

3. Zeichnen der Start-Asymptoten

Für kleine ω, d.h. 𝜔 ≪ und 𝜔 ≪ , kann der Frequenzgang durch seine Asymptote

G j𝜔 K ⋅ j𝜔

angenähert werden. In der doppelt logarithmischen Darstellung des Amplitudengangs entspricht dies einer Geraden mit der Steigung p und im Phasengang dem Winkel pꞏ90°. Für die Konstruktion der Geraden im Amplitudengang benötigt man neben der Steigung noch einen Punkt. Diesen erhält man durch Einsetzen eines beliebigen ω-Wertes in die Asymptotengleichung. Diese beiden Start-Asymptoten beginnen am linken Rand des Diagramms und enden bei der ersten auf der Frequenzachse eingezeichneten Eckfrequenz.

4. Vervollständigen der Asymptotenverläufe

Wenn die erreichte Eckfrequenz von einer Polstelle stammt, werden die Steigung des Betragsverlaufs um 1 und die Phase um 90° verringert, stammt die Eckfrequenz von einer Nullstelle, werden die Steigung um 1 und die Phase um 90° vergrößert (bei mehrfachen Pol- bzw. Nullstellen entsprechend mehrfach). Es ergeben sich neue Asymptoten, die wiederum bei der nächsten Eckfrequenz enden. Dies wiederholt sich bis zu rechten Rand des Diagramms.

Zur Kontrolle kann man noch die Asymptote für große ω, d.h. 𝜔 ≫ und 𝜔 ≫ , berechnen

G j𝜔 K ⋅∏ T

∏ T∙ j𝜔

ba

∙ j𝜔

und mit dem Ergebnis der Konstruktion vergleichen.

5. Verbesserung der Genauigkeit des Phasengangs

Im Bereich der Eckfrequenzen ergibt sich durch die Asymptotennäherung eine große Abweichung zum realen Verlauf. Da der Phasenverlauf bei der Eckfrequenz durch die logarithmische Skalierung der Frequenzachse punktsymmetrisch verläuft, kann der Übergang zwischen der linken und der rechten Asymptote mittels Wendetangente erfolgen. Diese hat eine Steigung von ±45°/0,7 Dekaden (bei mehrfachen Pol- bzw. Nullstellen entsprechend ein mehrfaches davon). Überlagern sich die Übergangsbereiche von mehreren Eckfrequenzen addieren sich die Steigungen der Wendetangenten in diesen Bereichen.

2.4.2 Ortskurve des Frequenzgangs

Als komplexe Funktion der reellen Variablen läßt sich der Frequenzgang als Ortskurve in der komplexen Ebene darstellen. Für physikalisch mögliche Systeme verläuft die Ortskurve für wachsende ω immer im Uhrzeigersinn.



Bild 2-2: Beispiel Ortskurve

2.5 Minimalphasensystem und Allpaß

Minimalphasige Systeme oder Phasenminimumsysteme sind Systeme mit gebrochen rationalen Übertragungsfunktionen mit K > 0, deren Pol- und Nullstellen ausschließlich nicht-positive Realteile haben. Minimalphasig ist dasjenige System, das zu einem gegebenen Betragsverlauf die „minimale“ Phase aufweist. In diesem Fall läßt sich von dem Betragsverlauf auf den Phasenverlauf und umgekehrt schließen.

Übertragungsglieder, die die vorher genannten Bedingungen für Minimalphasigkeit nicht erfüllen, heißen Nichtminimalphasenglieder oder Nichtphasenminimumsysteme.

Ein Nichtminimalphasenglied mit gebrochen rationaler Übertragungsfunktion kann aufgefaßt werden als Reihenschaltung eines Minimalphasenglieds und eines Allpasses.

Kennzeichen eines Minimalphasensystems GM(s):

Minimalphasensysteme haben keine Nullstellen in der rechten Halbebene (RHE).

Minimalphasensysteme haben keine Polstellen in der rechten Halbebene.

Nicht alle Systeme ohne Nullstellen in der rechten Halbebene sind minimalphasig (Beispiel: G(s) = e-sT).

Nicht alle Minimalphasensysteme sind stabil (Beispiel: G 𝑠 ).

Kennzeichen eines Allpaßssystems GA(s):

|GA(jω)| = const. für 0 ω < ∞

Re{Polstelle} = -Re{Nullstelle}.

Das Totzeitglied ist ein Allpaß.

=0 →∞

re im

G(j1)

1

φ(1)

Regelungstechnik Wirkungsplan 9


3 Wirkungsplan

Tabelle 3.1: Elemente des Wirkungsplans

Bezeichnung Symbol Funktion

Wirkungslinie Signalübertragung

v u

Verzweigungsstelle Verzweigungspunkt

v1 u v2 u

Additionsstelle Summenpunkt

Umkehrpunkt

v u1 - u2

v - u

Übertragungsblock allgemein

v f u

v f u1,u2,u3

Übertragungsblock linear

v K u

T ∙ v v K ∙ u

Übertragungsblock nichtlinear

vK für u 0K für u 0

Achtung: Im Gegensatz z.B. zum elektrischen Schaltplan wird vorausgesetzt, daß alle Komponenten des Wirkungsplans rückwirkungsfrei sind.

u v

u v1

v2

u v1

u2

u v

u v

u vu

u

123

u v

u v

u v



Tabelle 3.2: Verschaltungsmöglichkeiten für Übertragungsblöcke

Bezeichnung Wirkungsplan Frequenzgang

Parallelschaltung

v G ⋅ u

v G ⋅ u

v v v G G ⋅ u

Gvu

G G

Reihenschaltung

v G ⋅ u

v G ⋅ v

v G ⋅ G ⋅ u

Gvu

G ∙ G

Rückkopplung

v G ⋅ u

r G ⋅ v

u u ∓ r

v G ⋅ u ∓ r G ⋅ u ∓ G ⋅ r

v G ⋅ u ∓ G ⋅ G ⋅ v

v ⋅ 1 G G G ⋅ u

vG

1 G G⋅ u

Gvu

G1 G G

G1 G

Gx

xG G

u v

G2

G1v1

v2

u v v1G1 G2

xe

xa~~

Gv

Gr

u1 v u

r

Gr

Gv



Tabelle 3.3: Verschieben von Summations- und Verzweigungsstellen

Darstellung 1 Darstellung 2

u1 v G

u2

u1 v

u2

G

G

u1 v G

u2

u1 v G

u2

G-1

u v G

u

u v G

G-1 u

u v G

v

v G

G v

u

Regelungstechnik Stabilität 12


4 Stabilität

4.1 Asymptotische Stabilität

Definition: Ein lineares, zeitinvariantes System heißt asymptotisch stabil, wenn die Lösung v(t) der homogenen Zustandsdifferentialgleichung für einen beliebigen Anfangszustand für t → gegen Null geht.

Dies ist gleichbedeutend mit der Bedingung, daß alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms negative Realteile haben müssen. Diese Nullstellen sind identisch mit den Polstellen der Übertragungsfunktion.

4.2 Ein-/Ausgangsstabilität

Definition: Ein lineares, zeitinvariantes System heißt Ein-/Ausgansstabil oder BIBO–stabil, wenn für verschwindende Anfangszustände und ein beliebiges beschränktes Eingangssignal |u(t)| < umax für alle t > 0 das Ausgangssignal beschränkt bleibt: |v(t)| < vmax für alle t > 0.

Aus der Berechnung von v(t) mittels Faltungsintegral folgt:

d)(gudu)(gd)t(u)(gd)t(u)(g)t(v maxmax

d)(g

Dies ist gleichbedeutend mit der Bedingung lim→

g t 0.

Ein asymptotisch stabiles System ist immer auch BIBO-stabil (BIBO: Bounded Input Bounded Output).

4.3 Algebraische Stabilitätskriterien

Untersucht wird die homogene Differentialgleichung des Systems (geschlossener Regelkreis)

a v t a v t a v tn

n( )

( ) ( ) ( ) 1 0 0 .

Sind alle Bedingungen des entsprechenden Kriteriums erfüllt, dann ist das System stabil. Andernfalls ist es instabil.

4.3.1 Kriterium nach Hurwitz

1. Bedingung:

alle Koeffizienten a0 ... an > 0 (ggf. Multiplikation der gesamten Differentialgleichung mit -1)

2. Bedingung:

Die Hurwitzdeterminante H sowie alle gestrichelten Unterdeterminanten > 0

3 51

0 2 4

31

n 3 n 1

n 4 n 2 n

n 5 n 3 n 1

a aa 0

a a a 0

aa0

H 0

a a 0

a a a0

a a a0

Regelungstechnik Stabilität 13


4.3.2 Kriterium nach Routh

1. Bedingung:

alle Koeffizienten a0 ... an > 0 (ggf. Multiplikation der gesamten Differentialgleichung mit -1)

2. Bedingung:

alle Routh’schen Probefunktionen R0 ... Rn > 0. Berechnung nach folgendem Schema:

R a a a

R a a a

R aR

Ra a a

R

Ra a a

R

Ra

R aR

Ra a a

R

Ra a

n n n n

n n n n

n nn

nn n n

n

nn n n

n

nn

n nn

nn n n

n

nn n

2 4

1 1 3 5

2 21

3 4 41

5 6 61

7

3 31

24 5 5

1

26

0

0

0

' '

' ' ' '

7 71

28

0 0

0

0 0 0

aR

Ra

R a

nn

nn'

4.4 Nyquist-Kriterium (vereinfacht):

Definition: Wenn der aufgeschnittene Regelkreis stabil ist oder integrierendes Verhalten aufweist, dann gilt:

Die Ortskurve des Frequenzganges G0(jω) des aufgeschnittenen Regelkreises wird in Richtung zunehmender Frequenz durchlaufen. Liegt der Punkt (–1, j0) im Gebiet zur Linken der Ortskurve, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil. Andernfalls ist er nicht stabil.

Regelungstechnik Reglersynthese 14


5 Reglersynthese

5.1 Reglereinstellung nach der Sprungantwort der Regelstrecke

Bild 5-1: Sprungantwort und Kennwerte für PTn-Glieder mit ϑ 1

Tabelle 5.1: Einstellwerte für Reglereinstellung nach Chien, Hrones und Reswick1

Regler Aperiodischer Regelverlauf Regelverlauf mit 20% Überschwingen

Störung Führung Störung Führung

P KP 0.3 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.3 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.7 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.7 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

PI KP

0.6 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.35 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.7 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.6 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

Ti 4 Te 1.2 Tb 2.3 Te 1 Tb

PID

KP 0.95 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.6 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

1.2 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

0.95 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

Ti 2.4 Te 1 Tb 2 Te 1.35 Tb

Td 0.42 Te 0.5 Te 0.42 Te 0.47 Te

Tabelle 5.2: Einstellwerte für Reglereinstellung nach Ziegler, Nichols

Regler KP Ti Td

P 1.0 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

- -

PI 0.9 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

3.33 Te -

PID 1.2 ⋅ 𝑇𝐾 ⋅ 𝑇

2.0 Te 0.5 Te

1 Chien, Kun Li; Hrones, J. A.; Reswick, J. B.: On the Automatic Control of Generalized Passive Systems, Transactions ASME, 74

(1952), pp. 175–185

t

v

t

u

u

vK =S

vu

Te Tb



5.2 Reglereinstellung nach Schwingversuch

Durchführung:

geschlossenen Regelkreis mit P-Regler herstellen

Regelkreis in einen stabilen Arbeitspunkt bringen

KP des Reglers langsam(!) vergrößern bis sich eine Dauerschwingung mit konstanter Amplitude

ausbildet. Dabei darf keine Größe Meß- oder Stellgrenzen erreichen.

Periodendauer Tkrit der Schwingung messen

eingestellte Reglerverstärkung KPkrit ablesen

Tabelle 5.3: Einstellwerte für Reglereinstellung nach Ziegler, Nichols2

Regler KP Ti Td

P 0.50 KPkrit - -

PI 0.45 KPkrit 0.83 Tkrit -

PD 0.55 KPkrit - 0.15 Tkrit

PID 0.60 KPkrit 0.50 Tkrit 0.12 Tkrit

5.3 Reglereinstellung nach Amplituden- und Phasenreserve

Amplitudenreserve G| |

mit definiert durch φ ω π

Phasenreserve φ φ ω π mit c definiert durch |G jω | 1

Empfehlung: Führungsregelung 4 < Gm <10 und 40° < φm < 60°

Störungsregelung 1,5 < Gm < 3 und 30° < φm < 70°

Bild 5-2: Beispiel Amplituden- und Phasenreserve in der Ortskurve

2 Ziegler, J. G.; Nichols, N. B.: Optimum settings for automatic controllers, Transactions ASME, 64 (1942), pp. 759–768

-1

-j

m

G0(j) reim

|G|=1 G0(j)

G0(jc)



Bild 5-3: Beispiel Amplituden- und Phasenreserve im Bode-Diagramm

5.4 Reglereinstellung mittels Polstellenkompensation

Die Übertragungsfunktionen von PI- und PD-Reglern haben jeweils 1, der PID-Regler 2 Nullstellen.

Bei bekannter Übertragungsfunktion der Regelstrecke können somit 1 bzw. 2 der Polstellen der Regelstrecke durch die entsprechende Wahl der Nullstelle(n) des Reglers aus der Gesamtübertragungsfunktion herausgekürzt (kompensiert) werden.

Kompensiert werden die „langsamsten Polstellen“, d.h. die Polstellen mit dem kleinsten Betrag. Das Gesamtsystem wird schneller.

Es bleibt noch die Einstellung des KP.

Achtung: Die Kompensation von Polstellen mit positivem Realteil ist nicht erlaubt!

5.5 Betragsoptimum

Die ideale Führungs-Übertragungsfunktion eines geregelten Systems ist G(s) = 1, was zu x(t) = w(t) für beliebige t führt.

Beim Betragsoptimum soll eine Reglereinstellung gefunden werden, die |G(j)| = 1 in einem möglichst großen Frequenzbereich ausgehend von 0 führt.

Mit

G j𝜔 G j𝜔 ∙ G j𝜔Z j𝜔N j𝜔

∙Z j𝜔N j𝜔

Z j𝜔N j𝜔

führt dies zum Polynom

P Z0 -j N0 j Z0 j N0 -j N0 j N0 -j 0

p2ω2 p4ω4 p6ω6 … 0 ,

0°

-180°

-270°

1

|G|

c

|G0(j)|

0(jc) -90°

Gm

m

|G0(j)|



dessen Koeffizienten, beginnend mit p2, durch Wahl der Reglerparameter zu Null gemacht werden müssen.

5.6 Symmetrisches Optimum

Geeignet für Verzögerungsstrecken, deren Zeitkonstanten sich aufteilen lassen in je eine Gruppe von k großen und n kleinen Zeitkonstanten.

Beim Symmetrischen Optimum geht man davon aus, daß der Amplitudengang von G0 durch den Regler eine Durchtrittfrequenz c erhält, die zwischen den niedrigen Eckfrequenzen der großen Zeitkonstanten und den hohen Eckfrequenzen der kleinen Zeitkonstanten liegt, wodurch G0 eine gewisse (namensgebende) Symmetrie erhält.

Die n kleinen Zeitkonstanten lassen sich zu einer Summenzeitkonstanten TΣ zusammenfassen.

Verzögerungen verhalten sich für große Frequenzen im Verhältnis zur Eckfrequenz wie Integratoren. Daraus ergibt sich

G j𝜔K

1 T j𝜔 ⋅ ∏ T j𝜔⋅ G j𝜔 .

Im Weiteren folgt das Verfahren dem Betragsoptimum.

Regelungstechnik Vermaschte Regelkreise 18


6 Vermaschte Regelkreise

Vorregelung

Störgrößenaufschaltung

Hilfsstellgröße

Hilfsregelgröße

Kaskadenregelung

Vorsteuerung

Führungsgrößenfilter

z

y

GR

GSv

v

v

xz

y

GR

GS

w

v

z

GA

x

y

GR

GS

w

z

y

GRh

GSl

h

x

y

GR

GSs

w

z

y

GRh

GSsx

GR

GSl

w

xh

z

y

GRh

GSsx

GR

GSl

w

xh

y

G

V

xy

G

R GSw

V

G xyG R GSw

F

Regelungstechnik Anhang 19


Anhang

A Tabellen zur Laplace-Transformation

Tabelle A-1: Laplace-Transformation F(s) f(t)

F s f t f t 0 für t 03

1 1 t

2 1𝑠

t

3 1𝑠

t

4 1𝑠

𝑡

n 1 ! n ℕ

5 1

𝑠 s

1n 1 !

⋅ 𝑡 ⋅ e n ℕ

6 1

T𝑠 1

1T⋅ e

7 𝑠

T𝑠 1

1T

δ 𝑡1T⋅ e

8 1

𝑠 T𝑠 1 1 e

9 1

T 𝑠 1 T 𝑠 1

1T T

e e

𝑡T

⋅ e

T1 T2

T1 T2 T

10 𝑠

T 𝑠 1 T 𝑠 1

1T T

1T⋅ e

1T⋅ e

T 𝑡T

⋅ e

T1 T2

T1 T2 T

11 1

𝑠 T 𝑠 1 T 𝑠 1

11

T TT ⋅ e T ⋅ e

1 1𝑡T

⋅ e

T1 T2

T1 T2 T

12 1

1ω 𝑠

2ϑω 𝑠 1

ω

√1 ϑ⋅ e ⋅ sin 1 ϑ ω 𝑡

ω ⋅ 𝑡 ⋅ e ω

√ϑ 1⋅ e ⋅ sinh ϑ 1ω 𝑡

|| 1

|| 1

|| 1

13 𝑠

1ω 𝑠

2ϑω 𝑠 1

ω ⋅ e ⋅ cos 1 ϑ ω 𝑡

ϑ

√1 ϑ⋅ sin 1 ϑ ω 𝑡 || 1

14 1

𝑠1ω 𝑠

2ϑω 𝑠 1

1 e ⋅ cos 1 ϑ ω 𝑡ϑ

√1 ϑ⋅ sin 1 ϑ ω 𝑡 || 1

15 ω

𝑠 ω sinω𝑡

3 gilt nur für die Rücktransformation in den Zeitbereich



F s f t f t 0 für t 03

16 𝑠

𝑠 ω cosω𝑡

17 𝑠 ∙ sinφ ω ∙ cosφ

𝑠 ω sin ω𝑡 φ

18 s

s

cos sin 2 2

cos( ) t

19 ω

𝑠 a ω e ⋅ sinω𝑡

20 𝑠 a

𝑠 a ω e tat cos

21 2ω

𝑠 𝑠 4ω sin ω𝑡

22 𝑠 2ω

𝑠 𝑠 4ω cos2t

23 2ω𝑠

𝑠 ω 𝑡 ⋅ sinω𝑡

24 𝑠 ω𝑠 ω

𝑡 ⋅ cosω𝑡

25 𝑠

𝑠 ω

1

2 (sin cos )t t t

26 1

𝑠 ω 𝑠 a

1ω a

⋅ eaω⋅ sinω𝑡 cosω𝑡

27 𝑠 b

𝑠 ω 𝑠 a b a

ω a⋅ e

1ω

ω bω a

⋅ sin ω𝑡 arctanaω

arctanbω

28 1

𝑠 𝑠 ω 𝑠 a

1ω a

1ω ω a

⋅ωa⋅ e sinω𝑡

aω⋅ cosω𝑡

29 1

𝑠 ω 𝑠 a 𝑠 b

1b a

⋅e

ω ae

ω b

sin ω𝑡 arctanωa arctan

ωb

ω ω a b ab ω

30 1

𝑠 𝑠 ω 𝑠 a 𝑠 b 1ω ab

1a b

⋅e

a ω ae

b ω b

cos ω𝑡 arctanaω arctan

bω

ω ω a b ab ω



Tabelle A-2: Operationen im Zeit- und Bildbereich

Operation Zeitbereich f t Bildbereich F s

Linearkombination a1 f1 t a2 f2 t a1 F1 s a2 F2 s ai const.

Dämpfung e f 𝑡 F s-a a const.

Verschiebung f t-T e F 𝑠 f 𝑡 e d𝑡 T 0

Kompression f a t 1a⋅ F

𝑠a

a const.

Integration

f 𝜏 d𝜏 1𝑠⋅ F 𝑠

f 𝜏 d𝜏 1𝑠⋅ F 𝑠 ℒ f 𝜏 d𝜏

1𝑠⋅ F 𝑠

1𝑠⋅ f 0

Verallgemeinerte Differentiation4

f 𝑡 𝑠F 𝑠 f 0

f 𝑡 𝑠 F 𝑠 𝑠f 0 f 0

f 𝑡 𝑠 F 𝑠 𝑠 ∙d

d𝑡f 0

Differentiation der Bildfunktion

-t n f t F 𝑠

Faltung f1 t � f2 t F1 s F2 s

Grenzwertsätze5 lim→

f 𝑡

lim→

f 𝑡

lim→

𝑠 ∙ F 𝑠

lim→

𝑠 ⋅ F 𝑠

4 f -0 ist der Grenzwert von f(t), der sich ergibt, wenn t von negativen Werten aus gegen 0 geht.

f 0 ist der Grenzwert der gewöhnlichen Differentiation.

5 Voraussetzung ist die Existenz der Grenzwerte.



B Bode-Diagramm

|G|

90°

0°

-90°

-180°

-270°

-360°



C Übertragungselemente

P

Diff.gleichung: v t K u t

Übertrag.funkt.: G s K

Gewichtsfunkt.: g t K t

Übergangsfkt.: h t K t

I

Diff.gleichung: v 𝑡 K ∙ u 𝑡

Übertrag.funkt.: G 𝑠K𝑠

Gewichtsfunkt.: g t K t


s-1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00

K

K

s1 -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00

K

1 s

K



D

Diff.gleichung: v 𝑡 K ∙ u 𝑡

Übertrag.funkt.: G s K s

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 K ∙dd𝑡δ 𝑡


PTt

Diff.gleichung: v t K u t-Tt

Übertrag.funkt.: G 𝑠 K ∙ e

Gewichtsfunkt.: g t K t-Tt

Übergangsfkt.: h t K t-Tt

K

s1 -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00

K

K, Tt

s-1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

1/Tt

t

h(t)

00 T

K

t



PT1

Diff.gleichung: T ∙ v 𝑡 v 𝑡 K ∙ u 𝑡

Übertrag.funkt.: G 𝑠K

1 T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡KT∙ e

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ∙ 1 e

DT1


Übertrag.funkt.: G 𝑠K ⋅ 𝑠

1 T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡KT∙ δ 𝑡

KT

∙ e

Übergangsfkt.: h 𝑡KT∙ e

K, T

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00 T

K

K, T

s1/T -1

K/T

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00 T

K/T



IT1



𝑠 ⋅ 1 T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 K ⋅ 1 e

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅ 𝑡 T T ∙ e

PA1

Diff.gleichung: T ∙ v 𝑡 v 𝑡 K ∙ u 𝑡 T ∙ u 𝑡

Übertrag.funkt.: G 𝑠 K ∙1 T ⋅ 𝑠1 T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 K ⋅ δ t2KT∙ e

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅ 1 2 ∙ e

K, T

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00 T

K

1 s

K, T

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00 T

K

-K



PT2

1 T1 T2

Diff.gleichung: T T v 𝑡 T T v 𝑡 v 𝑡 Ku 𝑡


1 T ⋅ 𝑠 ⋅ 1 T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡K

T T⋅ e e

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ∙ 11

T TT e T e

PT2

1

Diff.gleichung: T ⋅ v 𝑡 2T ⋅ v 𝑡 v 𝑡 K ⋅ u 𝑡


1 T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡K

T⋅ 𝑡 ⋅ e

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅ 1 1𝑡T⋅ e

K, T , T1 2

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

1/T 1/T1 2 2*

t

h(t)

00

K

K, T, T

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

t

h(t)

00

K



PT2

0 < < 1

Diff.gleichung: 1ω

⋅ v t2ϑω

⋅ v t v t K ⋅ u t

Übertrag.funkt.: G 𝑠

K1ω

𝑠2ϑω 𝑠 1

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 K ⋅ω

√1 ϑ⋅ e ⋅ sin 1 ϑ ω 𝑡

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅ 1 e ⋅ cos 1 ϑ ω 𝑡ϑ

√1 ϑ⋅ sin 1 ϑ ω 𝑡

K, 0

h(t)

2 4 6 8 10 120

0 t14

K

2K

0

=0

.1

.2

.3

.4

1

.5

=0

1

=.1

1

.3

.5

.2

.1

0°

-90°

-180°

.4

.2

K

|G|

0



DPT2

0 < < 1

Diff.gleichung: 1ω

⋅ v 𝑡2ϑω

⋅ v 𝑡 v 𝑡 K ⋅ u 𝑡

Übertrag.funkt.: G 𝑠

K ⋅ 𝑠1ω

𝑠2ϑω 𝑠 1

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 K ⋅ ω ⋅ e ⋅ cos 1 ϑ ω 𝑡ϑ


Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅ω

√1 ϑ⋅ e ⋅ sin 1 ϑ ω 𝑡

h(t)

2 4 6 8 10 12

0

140

0 t

=0.1.2.3.4

1

.5

-K 0

K 0

0

=0

1

=.1

1

.3

.5

.2

.1

90°

0°

-90°

.4

.2

K

|G|

0



DT2

0 < < 1

Diff.gleichung: 1ω

⋅ v 𝑡2ϑω

⋅ v 𝑡 v 𝑡 K ⋅ u 𝑡

Übertrag.funkt.: G 𝑠K ⋅ 𝑠

1ω

𝑠2ϑω 𝑠 1

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 Kω ⋅ δ 𝑡 Kω ⋅ e ⋅ 2ϑ ⋅ cos 1 ϑ ω 𝑡1 2ϑ


Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅ ω ⋅ e ⋅ cos 1 ϑ ω 𝑡ϑ


h(t)

2 4 6 8 10 12

0

1400 t

=0

.1.2

.3.4

1

.5

-K 0 2

K 0 2

0

=0

1

=.1

1

.3

.5

.2

.1

180°

90°

0°

.4

.2

K

|G|

02



PD

Diff.gleichung: v 𝑡 K ⋅ u 𝑡 T ⋅ u 𝑡

Übertrag.funkt.: G 𝑠 K ⋅ 1 T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 K ⋅ δ 𝑡 T ⋅ddtδ 𝑡

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅ ε 𝑡 T ⋅ δ 𝑡

PI

Diff.gleichung: v t K ⋅1T⋅ u 𝑡 u 𝑡

Übertrag.fkt.: G 𝑠 K ⋅1 T ⋅ 𝑠

T ⋅ 𝑠

Gewichtsfkt.: g 𝑡 K ⋅1T⋅ ε 𝑡 δ 𝑡

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅1T⋅ 𝑡 ε 𝑡

K , TP d

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

P

d

t

h(t)

00

Td.

KP

KP

K , TP i

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

P

i

t

h(t)

00

KP

KP

Ti



PID

Diff.gleichung: v 𝑡 K ⋅1T

u 𝑡 u t T u 𝑡

Übertrag.funkt.: G 𝑠 K ⋅1 T ⋅ 𝑠 T T ⋅ 𝑠

T ⋅ 𝑠

Gewichtsfunkt.: g 𝑡 K ⋅1Tε 𝑡 δ 𝑡 T

ddtδ 𝑡

Übergangsfkt.: h 𝑡 K ⋅1T⋅ t ε 𝑡 T ⋅ δ 𝑡

s1/T -1

K

-360°

90°

0°

-90°

-180°

-270°

|G|

1/T 1/Ti d d*

P

t

h(t)

00

Td.

KP

KP

KP

Ti

KP, Ti, Td

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