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INGENIERÍA ECONÓMICA ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

2 INGENIERÍA ECONÓMICA ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

Elmódulodeestudiode laasignaturaMatemáticasFinancierasespropiedadde laCorporaciónUniversitariaRemington.Las imágenes

fuerontomadasdediferentesfuentesqueserelacionanenlosderechosdeautorylascitasenlabibliografía.Elcontenidodelmóduloestá

protegidoporlasleyesdederechosdeautorquerigenalpaís.

Estematerialtienefineseducativosynopuedeusarseconpropósitoseconómicosocomerciales.

AUTOR

PabloEmilioBoteroTobón

EstudiosdeIngenieríadeMinas,TecnólogoenContaduríayTributaria,DiplomadoenDocenciaUniversitaria,Diplomado

enlaconstruccióndeMódulos,DiplomadoenAdministraciónFinanciera.

Profesor de Matemáticas y Física en la Corporación Remington, Profesor de Física en el colegio Teresiano (Envigado),

CoordinadoracadémicodelprogramaBachilleratoSemiescolarizadodelaCorporaciónRemingtonenlassedesdeMedellíny

Envigado,DirectorRegionaldelasededeMontería(E),CoordinadoracadémicodelprogramaJóvenesconFuturoenConvenio

MunicipiodeMedellínCUR,profesordeMatemáticasenelPolitécnicoAburrá.AsesorPedagógico,MetodológicoyDidáctico

deVirtualUNIREMINGTON.DocenteVirtualdelaRutadeFormaciónDocentedeUNIREMINGTON.

Elaboracióndelosmódulosparalaeducaciónadistancia

[email protected]

Nota:elautorcertificó(demaneraverbaloescrita)Nohaberincurridoenfraudecientífico,plagiooviciosdeautoría;encasocontrario

eximiódetodaresponsabilidadalaCorporaciónUniversitariaRemington,ysedeclarócomoelúnicoresponsable.

RESPONSABLES

HernánAlbertoCuervoColorado

DecanodelaFacultaddeCienciasEmpresariales

[email protected]

EduardoAlfredoCastilloBuiles

Vicerrectormodalidaddistanciayvirtual

[email protected]

FranciscoJavierÁlvarezGómez

CoordinadorCUR-Virtual

[email protected]

GRUPODEAPOYO

PersonaldelaUnidadCUR-Virtual

EDICIÓNYMONTAJE

Primeraversión.Febrerode2011.

Segundaversión.Marzode2012

Terceraversión.noviembrede2015

DerechosReservados

EstaobraespublicadabajolalicenciaCreativeCommons.

Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual2.5Colombia.


TABLA DE CONTENIDO

Pág.

1 MAPADELAASIGNATURA..............................................................................................................................6

2 UNIDAD1TASASDEINTERÉSSIMPLEEINTERÉSCOMPUESTO......................................................................7

2.1 RELACIÓNDECONCEPTOS.....................................................................................................................8

2.2 OBJETIVOGENERAL................................................................................................................................9

2.3 OBJETIVOSESPECÍFICOS.........................................................................................................................9

2.4 TEMA1INTERÉSSIMPLE........................................................................................................................9

2.5 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...............................................................................................................14

2.5.1 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE...........................................................................................................19

2.5.2 EJERCICIODEAPRENDIZAJE:............................................................................................................22

2.5.3 EJERCICIODEAPRENDIZAJE.............................................................................................................25



2.5.6 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO....................................................................................................36

2.6 TEMA2INTERÉSCOMPUESTO.............................................................................................................39



3 UNIDAD2TASASDEINTERÉSYEQUIVALENCIAS..........................................................................................48

3.1 RELACIÓNDECONCEPTOS...................................................................................................................48

3.2 OBJETIVOGENERAL..............................................................................................................................50

3.3 OBJETIVOSESPECÍFICOS.......................................................................................................................50

3.4 TEMA1TASADEINTERÉSNOMINALYTASADEINTERÉSEFECTIVA...................................................50



3.4.2 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE:..........................................................................................................54



3.5 TEMA2TASASDEINTERÉSEQUIVALENTES.........................................................................................58



3.6 TEMA3ECUACIONESDEVALOR..........................................................................................................65



4 UNIDAD3ANUALIDADES,VALORPRESENTENETOYTASADERETORNO....................................................79

4.1 RELACIÓNDECONCEPTOS...................................................................................................................79

4.2 OBJETIVOGENERAL..............................................................................................................................80

4.3 OBJETIVOSESPECÍFICOS.......................................................................................................................80

4.4 TEMA1ANUALIDADES.........................................................................................................................80


4.5 TEMA2EVALUACIÓNDEALTERNATIVASDEINVERSIÓN....................................................................91



4.6 TEMA3INGENIERÍAECONÓMICA.......................................................................................................97

4.6.1 EJERCICIODEAPRENDIZAJE...........................................................................................................103

4.6.2 EJERCICIODEAPRENDIZAJE...........................................................................................................107

4.6.3 EJERCICIOSDEAPRENDIZAJE.........................................................................................................115

5 PISTASDEAPRENDIZAJE..............................................................................................................................120


5.1.1 EJERCICIOSDEENTRENAMIENTO..................................................................................................126

6 GLOSARIO....................................................................................................................................................128

7 BIBLIOGRAFÍA..............................................................................................................................................129


1 MAPA DE LA ASIGNATURA


2 UNIDAD 1 TASAS DE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

InterésCompuesto:Enlace

Tasa de interés simple y tasa de interés compuesto - banco WWW.BCU.GUB.UY/USUARIO-

FINANCIERO/.../TASAS_SIMPLE_COMPUESTO.ASPX


2.1 RELACIÓN DE CONCEPTOS

DefinicióndeConceptos

Interés Simple: Es el interés o beneficio que se obtiene de una inversión financiera o de capital cuando

los intereses producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversión se deben únicamente

alcapitalinicial,yaquelosbeneficiosointeresesseretiranalvencimientodecadaunodelosperiodos

InterésCompuesto:Representalaacumulacióndeinteresesquesehangeneradoenunperíododeterminadopor

uncapital inicial (CI)oprincipalaunatasade interés(r)durante(n)periodosde imposición,demodoque los

interesesqueseobtienenalfinaldecadaperíododeinversiónnoseretiransinoquesereinviertenoañadenal

capitalinicial,esdecir,secapitalizan.

LíneasdeTiempo:Esunplanteamientográficodelasituaciónfinancieraquesemanejará.Graciasaesta,esque

nospodemosasegurardequetodaslasvariablesestánincluidasenlaformaymedidacorrecta.Alavezpermite

laverificacióndelplanteamientoyelusodelafórmulaadecuada.

FlujodeCaja:Enfinanzasyeneconomíaseentiendeporflujodecajaoflujodefondos(eningléscashflow)losflujosdeentradasysalidasdecajaoefectivo,enunperíododado.

ValorPresente:Tambiénconocidocomovaloractualizadonetoovalorpresenteneto(eninglésnetpresentvalue),cuyo acrónimo es VAN (en inglés, NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un

determinadonúmerodeflujosdecajafuturos,originadosporunainversión.


ValorFuturo:Es lacantidaddedineroquealcanzaráuna inversiónenalgunafechafuturaalganar interesesa

algunatasacompuesta.

Finanzas: Las finanzas son las actividades relacionadas para el intercambio de distintos bienes

decapitalentreindividuos,empresas,oEstadosyconlaincertidumbreyelriesgoqueestasactividadesconllevan.

2.2 OBJETIVO GENERAL Aplicarlosconceptosdeinteréssimpleeinteréscompuestoenlasdiferentesoperacionesfinancieras.

2.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS CalcularelInterésSimpledeundinerocolocadoadeterminadotiempo.

CalcularelInterésCompuesto(interéssobreinterés)deundinerocolocadoadeterminadotiempo

2.4 TEMA 1 INTERÉS SIMPLE LAS FINANZAS Lademandadebienesyserviciosqueserealizapermanentemente,noshacepartícipesdelahorro,aunquenose

hableosetratedeelloennuestravidacotidiana.Hoyporhoysehablade:

• Labolsadevalores,

• Lasacciones,

• Losbonos,

• Larentabilidad,entreotros

Porlotanto,ysinquererlo,seestáoyendohablardeunadelastantasmanerascomolasempresassecapitalizan.

Laabundanciadeldineroenelmercado,quellevaaquelasempresasypersonasdemandenmás,unexcesivo

gastodelgobierno,puedenllevaraquelademanda,enformaglobalseincremente.Ambossonmuestrasdeuna

demandamayorquelaofertay,porconsiguiente,deunincrementogeneralizadoenlosprecios,laINFLACIÓN.


Nota1:

Nota 2: Si Por algúnmomento la tasa de interés (precio del dineromedido en porcentaje), se incrementa

(significaunademandadedineromayorquelaoferta),estoes,hacefaltadineroenelmercado,porlotanto:

• Las empresas se abstendrán de solicitar créditos (que los necesitan permanentemente para poder

funcionar)ydisminuyelaproducciónyelempleo,

• Existiránmenosproductosenelmercado(disminuirálaofertadebienesyservicios),y


• Subiránlospreciosalmismotiempoque,comoaumentaeldesempleohabrámenosingresosyhastala

situaciónsocialsedeterioraría.

Nota3:Eldineroquehayenlaeconomíaesadministradoporlasinstitucionesfinancieras,talescomo:

• Bancoscomerciales,

• Corporacionesdeahorroyvivienda,

• Corporacionesfinancieras,

• Compañíasdefinanciamientocomercial,y

• Cooperativasdegradosuperior.

1. Éstasentidades son intermediarios,esdecir,estánentredosagentes: recibenocaptandinerode las

empresas,delasfamilias,delasinstituciones,yaseaporquenoloestánnecesitandoporahoraoporque

es un excedente, en este caso éstos organismos ofrecen dinero y las instituciones financieras lo

demandan,locaptan;sihayunaofertayunademandahayunprecio,eseprecioeselinterés,eldepósito

sobrelosdepósitosquepaganlasentidadesfinancieras,porcaptardinerose llamaTasadeInterésde

Captación(otasadeinteréspasiva).

2. Cuandolasinstitucionesfinancierassalendeldineroquehancaptado:Estedinero(sólounaparte)lova

aofreceraotrasempresas,otrasfamiliasyaotrasinstitucionesquelorequieran;enéstaoportunidad

éstosúltimosorganismosactúancomodemandantesylasinstitucionesfinancierascomooferentes;hay

otromercado y otro precio, esta vez el precio por colocar ese dinero en la economía, lo cobran las

institucionesfinancieras,sellamaTasadeinterésdeColocación(otasadeinterésactiva).

3. Cuando las instituciones financieras también sedemandanyofrecendineroentreellas, el precioque

cobranseconoceconelnombredeTasadeInterésInterbancaria.

Nota:Esevidentequelosorganismosfinancierosno“compranhuevosparavenderhuevos”,enconsecuencia,

latasadeinterésdecolocaciónserámayorquelatasadeinterésdecaptaciónysudiferenciaseconocecomo

MARGENDEINTERMEDIACIÓNFINANCIERO.

Porejemplo:Siunacorporacióndeahorroyvivienda(Bancolombia,Davivienda,AVVILLAS)captanal8%efectivo

anualoseaelinterésquepaganaquienestengancuentaallá;estaráncolocando,prestandoal22%,másomenos,

sumargendeintermediaciónesdel14%.

EL INTERÉS Cuandoseprestadineroaalguien,hayalgoquesedebeprecisar:enquéfechalosvaapagar.

Notieneelmismoefectoeconómicocancelardentrodeunmesquecancelardentrodeunaño.Puestoqueen

nuestrosistemaeconómicohemosaceptadolacapacidadquetieneeldinerodeaumentarsumagnitudcuando

transcurreeltiempo.Estosedebealaexistenciadelinterés.


DEFINICIONES: Acontinuación,sedefiniránalgunoselementosfundamentalesparaeldesarrollodeestemódulo,enespecial

paraestaunidad,definicionestalescomo:

Valordeldineroeneltiempo.Elvalordeldineroeneltiempo,eninglés,TimeValueofMoney(TVM),es

unconceptobasadoenlapremisadequeuninversorprefiererecibirunpagomayordeunasumafijade

dineroenelfuturo,enlugarderecibirelmismoqueinvirtió,comosinolohubierausado,esdecir,el

producidodeldinerofuesenulo.

Valorrecibidooentregadoporelusodeldineroatravésdeltiempo:Sepuedeafirmarquenoeslomismo

unmillóndepesosdehoyaunmillóndepesosdentrodeunaño,puesporlosefectosdelainflación,y

otrasvariableseconómicas,nosepuedencomprarlosmismosbienesdehoydentrodeunaño,porlo

tanto,sepuedeafirmarqueeldinerotieneunvalordiferenteeneltiempo,dadoqueestáafectadopor

variosfactores,talescomo:

• La inflación que hace que el dinero pierda poder adquisitivo en el tiempo, es decir, que se

desvalorice.

• Elriesgoenqueseincurrealprestaroalinvertir,puesnosetienecertezaabsolutaderecuperar

eldineroprestadooinvertido.

• Laoportunidadquetendríaelinversorenotraactividadeconómica,protegiéndolonosólodela

inflaciónsinotambiénconlaposibilidaddeobtenerunautilidad.

Beneficioeconómicoogananciaquegeneraráuncapital(tambiéndenominadoutilidad):Esuntérmino

utilizadoparadesignar lagananciaque seobtienedeunprocesooactividadeconómica.Esmásbien

impreciso,dadoqueincluyeelresultadopositivodeesasactividadesmedidotantoenformamaterialo

"real"comomonetariaonominal.Consecuentemente,algunosdiferencianentrebeneficiosyganancia.

Precioquesepagaporelusodeldineroquesetieneenpréstamo,duranteunperíododeterminado:Este

precioesloquesedenominacomotasadeinterés(otipodeinterés)yeselpreciodeldineroopago

estipulado,por encimadel valordepositado,queun inversionistadebe recibir, porunidadde tiempo

determinado,porhaberusadosudineroduranteesetiempo.Comúnmente se le llama"elpreciodel

dinero"enelmercadofinanciero,yaquereflejacuántopagaundeudoraunacreedorporusarsudinero

duranteelperiodopreviamentedeterminado.

Rendimiento de una inversión: Es una herramienta quemide la efectividad total de la generación de

utilidades con la inversión disponible; la mejor alternativa de inversión es aquella que maximiza las

utilidades.

Nota:Antesdeentraradefinirelcálculodel interésdeuna inversión,serevisaránunosconceptosdesuma

importanciayaplicabilidadeneldesarrollodeltema.


TANTO POR CIENTO Sellamatantoporcientodeunnúmeroaunaovariasdelascienpartes-igualesenquesepuededividirdicho

número,esdecir,unoovarioscentésimosdeunnúmero.

Elsignodeltantoporcientoes%.

Así,el3%de490es14.70,porque490sedivideen100partesigualesydeellastomamostres,estoes:

!"#$##×& = !. "×& = $!. )#

ELEMENTOS DEL TANTO POR CIENTO

Base Númerodelquesetomaciertonúmero

devecesunacentésima.

SedenotaporB

Tantoporciento Númerodevecesquesetoman

centésimasdelabase.

SedenotaporT

Porcentaje Eselresultadodetomardelabase

tantoscentésimoscomoindicaeltanto.

SedenotaporP

LasumadelaBasemáselporcentaje SellamaMonto. SedenotaporM

LaBasemenoselporcentaje SellamaDiferencia. SedenotaporD

Entalformaparaelcasoquenoscompetesetiene:

!"# + $!. )# = +#!. )#(.)

!"# − $!. )# = !)+. &#(1)


RECUERDE QUE:

Larazónentredosnúmerosenterosnoesmásqueunadivisiónasí:

+2 = 2. +(345ó7)

Laigualdaddedosrazonesconformaunaproporción,así:

+2 =

$#! 89:;9<9=9:=989>?@=?@ABCé>@8í+: 2 ∷ $#: !

Loscasosgeneralesdeltantoporcientoseresuelvenpormediodelasiguienteproporción:

$##(HIJ3KLM)N(.KOPM)

= Q(LKOPM)R(HIJ3KLM),tambiénsepuedeescribir:

$##: N ∷ Q: R

Dónde:N = S@>?T, Q = V@89, R = WT=X9>?@Y9

• Nota1:El10%de100es10,porque100sedivideen100partesigualesydeellastomamos10.Es

evidentequeel100%deunnúmero,eselmismonúmero.Así,el100%de20es20.

• Nota2:Eltantoporcientosepuedeexpresarenformafraccionaria,oenformadecimal,así:

Formafraccionaria:&% = &$##

(Porciento,representadoporelsímbolo%significacentésimos).

Formadecimal:&% = #. #

EJEMPLOS DE CASOS QUE SE PRESENTAN CON EL TANTO POR CIENTO

2.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE Analicemos3casosgeneralesdeltantoporciento:

1. Hallarelporcentaje(Número).

2. Hallarlabase(Número).


3. Hallareltanto.

1 Hallarelporcentaje(número)

Hallarel15%<9$3.400

Procedimiento

Seutilizalaproporción:$##(HIJ3KLM)

N(.KOPM)= Q(LKOPM)

R(HIJ3KLM),Reemplazando,setiene:

$##(HIJ3KLM)$+(.KOPM) =

&. !##(LKOPM)a(HIJ3KLM)

Utilizandolapropiedadfundamentaldelasproporciones:

PRODUCTO DE MEDIOS=PRODUCTO DE EXTREMOS

Setiene:

$## ∗ a = $+ ∗ &!## → a =$+ ∗ &!##

$## → a =+$. ###$## → a = +$#

Loanterioreslaconsecuenciadeunaregladetressimples:

% $$## &!##$+ a

→ a =&!## ∗ $+

$## → a =+$###$## → a = +$#

2. Hallarlabase

Cobréel35%deloquemeadeudaban.Simedieron$2.800,¿acuántoascendíaeltotaldeladeuda?

Procedimiento

Seutilizalaproporción:

$##(HIJ3KLM)&+(.KOPM) =

a(LKOPM)2d##(HIJ3KLM)


También, $##: &+ ∷ a: 2d## → &+ ∗ a = 2d## ∗ $## →

e =2800 ∗ 100

35 → e =28000035 → e = $8000

Observeparaestecaso, ladisposiciónde laproporciónconrespectoalprimercasogeneraldel tantopor

ciento.

Utilizandolaregladetressimples:

% $&+ 2d##$## a

→ a =2d## ∗ $##

$+ → a =2d####&+ → a = $d###

3. Hallareltantoporciento:

Compréunamáquinaen$5.600yperdíenella504.¿Cuáleseltantoporcientodepérdida?

Procedimiento

Utilizandolaregladetressimples:

$ %+h## $##+#! a

→ a =+#! ∗ $##+h## → a =

+#!##+h## → a = "%

Nota:Estecaso tieneaplicaciónacadapartidadelestadodePérdidasyGanancias tomandocomobase, las

ventastotalesdefindeperíodo,equivalenteal100%.

TENGA PRESENTE QUE:


CASO EJEMPLO

a) Parahallarelporcentajedeunnúmero,es

decir,el15%de32,seobtienemediante

unasencillaregladetres,planteadaasí:

$##% − &2$+% − a → a =

&+×$+$##

a = !. d

b) Enlapráctica;paraencontrarel%deunnúmero,semultiplicaelnúmerobase,porelnúmero

porcentualysedividepor100.

Así:El20%de80→ a = 2#×d#$##

= $h

c)Parahallarunnúmero,cuandoseconoceun

tantoporcientodedichonúmero.Porejemplo:

¿Dequénúmeroes46el23%?

2&% − !h$##% − a → a =

!h×$##2&

a = 2##

d) Dadosdosnúmerossepuedeaveriguarqué

tantoporcientoesunodelotromediante

unaregladetres.

Ejemplo:¿Qué%de8.400es2.940?

d!## − $##%2"!# − a → a =

$##×2"!#d!##

a = &+%

Interpretandolarespuesta:2940esel35%de

8400.


CASOS PARTICULARES DEL TANTO POR CIENTO

SOLUCIÓN EJEMPLOS

Tantoporcientomás.

Ejemplo: ¿De qué número es 265 el 6%

más?

El número que se busca lo representamos por su

100%.Si265esel6%másqueesenúmero,265será

el100%+6%igualal106%delnúmerobuscado.Para

encontrarloplanteamosunaregladetres,así:

$#h% − 2h+$##% − a →

a =2h+×$##$#h

a = 2+#

Tantoporcientomenos.

Ejemplo: ¿De qué número es 265 el 6%

menos?

Seprocede,alcontrariodelcasoanterior,esdecir,el

6%seresta,del100%.Si265esel6%menosqueese

númerobuscado,265esel

100% -6% igual a 94%, del número buscado. Para

encontrarloplanteamos,unaregladetres,así:

"!% − 2h+$##% − a →

a =2h+×$##

"!

a = 2d$. "$

Tantopormil:Sellamatantopormildeunnúmero,aunaovariasdelasmilpartesigualesenque

sepuededividirdichonúmero,esdecir,unoovarios,milésimosdeunnúmero.Elsignodeltanto

por:miles°/oo.Eneltantopormilsecontemplanlosmismoscasosque,eneltantoporcientoysu

tratamientoessimilar.


PISTA DE APRENDIZAJE

Tengapresente:Cuandoenunproblemanosdanelmontooladiferencia,para

hallarlabaseoelporcentaje,conocidotambiéneltantoporciento.

2.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Comprémercancíaporvalorde$630ydeseovenderlaganandoel15%sobreelpreciodecompra.¿En

cuántodebovenderla?

Procedimiento

Seaplicalaproporción:

$##: $## + $+ ∷ h&#:a →% $

$## − h&#$$+ − a

→ a =h&#×$$+$## → a =

)2!+#$##

→ a = $)2!. +#

2. Compréunacasaen$949,20,sielquemelavendióganóel13%.¿Cuántolecostó?

Procedimiento


$##: $## + $& ∷ a: "!". 2# →% $

$$& − "!". 2#$## − a

→ a ="!". 2#×$##

$$& → a

=)2!+#$##

→ a = $d!#

3. Unasortijamecostó$450ylavendíperdiendoel16%;¿encuántolavendí?


Procedimiento


$##: $## − $h ∷ !+#: a →% $

$## − !+#d! − a

→ a =!+#×d!$##

→ a =&)d##$##

→ a = $&)d

• Laregladeinterésesunaoperaciónpormediodelacualsehallalagananciaointerésqueproduceuna

suma de dinero o capital, prestado a un tanto por ciento dado y durante un tiempo determinado;

También,puededecirse,queeslacompensaciónquerecibeelcapitalporsuusooporsucesiónaotra

persona.SerepresentaporP(interés).

Enelestudiodelasoperacionescomerciales,entranlossiguientesconceptos,apartedelinterésyareseñado:

• CAPITAL

• INTERÉS

• TIEMPO

DEFINICIÓN DE CONCEPTOS

CONCEPTO DEFINICIÓN - EJEMPLO

Capital• Eslacantidaddedineroquesepresta.Tambiénseleconoceconelnombrede

ValorActual,ValorPresenteo,simplemente,Presente.SerepresentaporR,

porioporjk.

• También se puede decir que el capital, es un depósito de dinero efectivo

productodeunarenta,estoes:Elinterés.

TasadeInterés Eslacantidaddedineroquesepagaporelalquilerde$100,oporelalquilerde$1.

ü Enelprimercasosedenominatasaporcentual,y

ü Enelsegundocaso,tasaporUNO.

Enamboscasosserepresentaráporl = P.

Porejemplo,sitengoquepagar$3,deinterésporunpréstamode$100,entonces


latasaserádel3porciento,queseescribe&%ysisetienequepagartrescentavos

porelpréstamode$1 la tasaserá0.03porUNOquetambiénsepuedeescribir

como&%,desdeque:

&% =&$##

PorCiento(Porcentaje) Eltérminoporciento,representadoporelsímbolo%significacentésimos;osea

que,2#%esotraformaderepresentar

2#$##

; #. 2#;$+

Podemosdecirtambiénquelatasadeinterés:eselvalorquesefijaenlaunidad

detiempoacada100unidadesmonetariasquesedanoserecibenenpréstamo.

Sediceporejemplo:3.5%mensual;42%anual.

Aldecirel3.5%mensual:porcada$100secobraosepagan$3,50almes;estees

elpreciofijadoacienpesosenunmes.

Nota:Mientrasnosedéningunaespecificaciónencontrario,latasadeinterésse

entenderáanual.

Al calcular la tasa de interés, el resultado vienedadoen formadecimal y como

normalmente se expresa en porcentaje, puede ser escrito como por ciento,

colocandoelpuntodecimaldoslugaresaladerechayelsímboloporcentaje.

Tiempo Esellapsoduranteelcualsehaceusoosecedeelcapitalysegúnlaspartespuede

dividirseenmeses,trimestres,semestres,años.

También podemos decir del tiempo, que es la duración del préstamo;

normalmente,launidaddetiempoeselañoylorepresentaremosporJM7.

CLASIFICACIÓN DEL INTERÉS

Existen“elinteréssimpleyelinteréscompuesto”.


Nota:Enesteapartesetrabajarálocorrespondientealinteréssimple.

INTERÉS SIMPLE:

Essimplecuandoelinterésorédito,esdecir,lagananciaqueproduceelcapital,sepercibealfinal

deperíodosigualesdetiempo,sinqueelcapitalvaríe.Esdecir,elinteréssimple,eselqueproduce

uncapitalde$Cquepermanececonstanteatravésdeltiempoyporlotantolarenta(interés)que

produce,serásiempreigualdeunperíodoaotro.

Nota:Siempreseráigualdeunperíodoaotroamenosquecambielatasadeinterés.

• Cálculodelinterésqueproduceeldinero

¿Cómosecalculalasumaquesedeberecibirencadaperíodo?

Lasumadedineroqueserecibeperiódicamentecomopagaporelpréstamodeldinero,resultademultiplicarel

númerodeunidadesprestadasporlatasadeinterés.

Sielpréstamoesde$1’000.000(millóndepesos)ysedecidecobrarunatasadel2%mensual,elinterésseobtiene

multiplicando:

$1’000.000*2%=20.000

Esdecir,elinterésquesedebepagaresde$20.000(veintemilpesosmensuales).

2.5.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE:

ElseñorPatiñoleprestóalseñorCanolasumade$1.000,conlacondicióndequeelseñorCanoledevuelvaal

señorPatiñolasumade$1.500dosmesesdespués.

Sepuedeobservar:QueelseñorPatiñoseganó$500porprestarle$1.000alseñorCanodurantedosmeses.Esto

indicaquelosinteresesfueronde$500durantedosmeses,osea$250mensuales.

I=$500

Elproblemaplanteadosepuederepresentarenundiagramaeconómico:


• DIAGRAMA ECONÓMICO

Consisteenlarepresentacióngráficadelproblemafinanciero,quenospermitevisualizarloyhacerunadefinición

yunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejareldinero.

Eldiagramaeconómicoconstadelossiguienteselementos:

1. Líneasdetiempo:esunalíneahorizontaldondeserepresentantodos losperiodosenloscualesseha

divididoeltiempoparaefectosdelatasadeinterés.

2. FlujodeCaja:serepresentaconunasflechashaciaarribayotrashaciaabajo(ingresos-egresos).

• TASA DE INTERÉS

Latasadeinterés(P)eslarelaciónentreloquerecibedeinterés((n)y lacantidadinicial invertida(R).Estaseexpresaenformaporcentual.

• INTERÉS SIMPLE:

valorqueseobtienenalmultiplicarelcapitalinvertidoporlatasayelplazopactado,estoes:

n = R ∗ P ∗ 7 n: Interés R: Capital invertido P: Tasa 7: Plazo

Nota1:latasa(P)yelplazo(7)operíodostienenqueestarenlamismaunidaddetiempo.

Nota2:Alcalcularlatasainterésencualquierperíodo,elcapitalinicialnuncavaavariar,pueslosinteresesnosecapitalizan.

Para visualizar la solución de problemas y comprender la deducción de las fórmulas nos apoyaremos en los


diagramasdetiempo:consisteentrazarunalíneahorizontalydividirlaenperíodosigualesdetiempo,segúnla

frecuenciadeliquidacióndeintereses.EltiempoO(cero)seconsideraelpresenteoiniciodelperíodo,eltiempo

1elfinaldelperíodo1,eltiempo2,elfinaldelperíodo2,asísucesivamentehastaagotarlosperiodospactados.

Nota:Tenerpresenteque:elfinaldelperíodo1eselprincipiodelperíododos,queelfinaldelperíododos,es

elprincipiodelperíodo3yasísucesivamentepara7períodos;eltiempo7seconsideraelmaldelperíodo7,

elfinaldelperíodo(7 − $)eselprincipiodelperíodo7.

EldiagramadeLíneasdeTiempo,puederepresentar:

ü Entradasdedineroydesembolsosqueocurrenenuntiempodado,o

ü Cuentasporcobroycuentasporpagar.ü Lasentradasdedinero,cuentasporcobrar,serepresentanporunaflecha

dirigidahaciaarriba.

ü Losdesembolsos, lascuentasporpagar, se representanporuna flecha

dirigidahaciaabajo. Diagramadetiempoparaunprestatario(personaquenecesitaysolicitadinero),estádadopor:

______ 1 _______ 2 ________ S _______ > − 1 _______

0

>?C9A:T(9o:=98@<T9>@ñT8)

Interpretación:Al iniciodelperíodouno (hoy) se recibeunpréstamode$10.000,auna tasadel24%anuala

interéssimple,durante5años.Sedebereintegraralcabodelos5años,unMonto:capitalinicial+losintereses

causadosdurantelos5años.

Diagramadetiempoparaelprestamistaoinversionista(personaquefacilitaeldineroaalguien),estádadopor:


q = . = i + $

0 ______ 1 _______ 2 ________ S S _______ > − 1 _______ 7K74ñMr

i = $$#. ###

P = 2!%47s4t

7 = +4ñMr

Interpretación:Sacardineroparaprestarlo;alfinaldelos5añossedebereintegrarunmontoovalorfuturo:quecorrespondealcapitalinicialquesecede,máslosinteresesquesegananporprestardinero.

• ¿QUÉ SE REQUIERE PARA DETERMINAR EL INTERÉS?

Estesedeterminaconociendo:

• Elcapital,• Eltiempoy• Latasadeinterés.

2.5.3 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 1. Supongamosqueserealizaunpréstamode$1.000al1%mensualconunplazodetres(3)meses,determinar

elinterésapagarenlos3meses.

Procedimiento

Elrazonamientopuedeserelsiguiente:

Si$100ganan$1enunmes,¿cuántoganarán$1.000?

Estoequivaleaplantearunaregladetressimples:

$ $100 − 11000 − e

Efectuandoproductodemediosesigualalproductodeextremos,setiene:

$##a = $###×$ → a =$###$## → a = $#

Estoquieredecirque$1.000enunmesproducen$10al1%mensual.


Veamoscuántoproducenen3meses.

Unrazonamientosimilaralanteriorresuelveelproblema,sienunmesproducen$10¿Cuántoproduciránen3

meses?

u98 $1 − 103 − e

Efectuandoproductodemediosesigualalproductodeextremos,setiene:

$ ∗ a = & ∗ $# → a =&#$ → a = &#

(Produce$30entresmeses).

Analizandolasrespuestasobtenidasseobservaque:

30noesmásqueelproductodelcapitalporlatasadeinterésyporeltiempo.

Estoes:a = $###×#. #$×& → a = &#

Deloanteriorsepuedesacarcomoexpresiónfinalparadeterminarelvalordelinteréssimplequeproduceun

capitalde$Po$C,invertidoaunatasai=R,duranten=Tperíodos,lasiguiente:

n = i×P×7(.éJMOMv47w43PM)

Tengapresenteque:alcalcularelinterés,quetantolatasadeinteréscomoeltiempo,debenquedarreducidos

alamismabase,esdecir,silatasaestádadamensualmenteyeltiempoenañossedebenconvertirlosañosa

mesesoviceversa,pararesolverproblemassinningúncontratiempoodificultadqueconllevenalerror.

1. ¿Quéinterésproduceuncapitalde$15.000al6%semestralentresaños?

Procedimiento

ü Datosdelproblema:

i = $$+. ###, P = h%rKLKrJ34t, 7 = &4ñMr

P = h% =h$## = #. #h

Recuerdeque:unañoson2semestres,3añosson6semestres (Latasade interésyel tiempodebenquedar

reducidosalamisma,base,esdecir,comotasaestádadasemestralmenteyeltiempoenaños,sedebenconvertir


losañosasemestresporquelatasasediosemestral).

ü Solución:

n = i×P×7 → n = $$+. ###×#. #h×h →

n = $+. !##

Elinterésganadoen3añosesde$+. !##

Nota1:Paratodaslasoperacionescomerciales,setomará:

• Elañocomercial=360días.

• Mescomercial=30días.

Nota2:Latasadeinterésenformadecimalserálautilizadaenelprocesomatemáticodelosejercicios

deestaunidad.Larespuestasepresentaenformaporcentual.

2. ¿Aquétasadeinterésmensualsimpleestuvoinvertidouncapitalde$40.000paraqueenuntiempode

2años,4mesesy27díasprodujera$28.900deintereses?

Procedimiento

• Seutilizalaecuación:n = i×P×7

SedespejaP → P = ni×7

• Seconvierten2años,4mesesy27díasendíasdelasiguienteforma:

• 24ñMr× &h#Oí4r $4ñM = )2#Oí4r

• !LKrKr× &#Oí4r $LKr = $2#Oí4r

• 2)Oí4r • Entonces2años,4mesesy27díasequivalena)2#Oí4r$2#Oí4r2)Oí4r = dh)Oí4r• Seconviertenestosdíasenmesesdelasiguienteforma:


1í4r .KrKr&# $dh) a

→ a = $×dh)&#

→ a = 2d. "LKrKr

Reemplazandoen P = ni×7

→ P = 2d."##!#.###×2d."

→ P = #. #2+

Comolatasavieneexpresadaenformadecimalparaexpresarlaenformaporcentuallamultiplicamospor100,

acompañadodeladenotación%,estoes:

P = #. #2+×$## → P = 2. +%

• ¿QuéperíododetiempollevaP?Enmeses,porcuanto7estádadoenmeses.

MONTO O VALOR FUTURO (.Mjx)

Sellamaasílasumadelcapitalysusintereses.

Sedicequeunaoperaciónfinancierasemanejabajoelconceptodeinteréssimple,cuandolosinteresesliquidados

nosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesnodevenganintereses.

Deducción:

y9@>jk = i4kPJ4tMz4tM3k3KrK7JK,. = jx = .M7JMMj4tM3xsJs3M, n = n7JK3ér →

. = jx = jk + n Recuerdeque:

n = jk×P×7

Reemplazandosetiene:

. = jx = jk + jk×P×7

Sacandofactorcomúnjk:. = jx = jk ∗ ($ + P×7)


Nota:¿Cuáleslaideaprácticadelmonto?Enocasionesnosepaganperiódicamentelosinteresesyporlotantoseacumulan,debiéndose

pagaralvencimientojuntoconelcapital.

CARACTERÍSTICAS DEL VALOR FUTURO A INTERÉS SIMPLE

1. Elcapital inicialnovaríadurantetodoel tiempode laoperaciónfinanciera,yaque los interesesnose

sumanalcapitalinicial.

2. Comoconsecuencia,latasadeinteréssiempreseaplicarásobreelmismocapital,esdecir,sobreelcapital

inicial(asíseretirenonolosintereses).

3. Losinteresesseránsiempreigualesenelmismoperíodo.

Nota1:Otraformadeexpresarelvalorfuturo,estádadaporlasiguienteexpresión:

q = R($ + 7P) Dónde:

q:Representavalorfuturo.Esdecir:elcapitalinicial+losinteresesgeneradosenuntiempodeterminado.

R:Valorpresente,capitalinvertido.

P:Interés7:Periododetiempo

Nota2:Deestaexpresiónsepuedendespejarcadaunadelasvariablesquehacenpartedeesta,así:

• R = q(${7P)

(Valor Presente)

• P = qR|$

7 (Interés)

• 7 =qR|$

P (Periodos)


2.5.4 EJERCICIO DE APRENDIZAJE ¿Quésumasetendráquepagaraltérminode3años,sisetomaronprestados$60.000al6%semestralsimple

pagaderoalvencimiento?

Procedimiento:

Datosdelproblema:

i = $h#. ###

P = h%rKLKrJ34t = #. #hrKLKrJ34t

7 = &4ñMr = hrKLKrJ3Kr

• Aplicandolaecuación:u = }~ = � ∗ (1 + C×>)

}~ = 60.000 ∗ 1 + 0.06 ∗ 6 = 60.000 ∗ (1 + 0.36)

}~ = 60.000 ∗ 1.36 → }~ = $81.600

• Calculandoelinterésgeneradoenlostresaños:

n = i×P×7 → n = h#. ### ∗ #. #h ∗ h

n = 2$. h##

INTERÉS SIMPLE MEDIANTE DIAGRAMAS DE LÍNEA DE TIEMPO

Resaltandodelconceptodeinteréssimplemediantediagramasdelíneadetiempoatravésdedosejemplos:

1. Seaelsiguientediagramadelíneasdetiempo:

_________ 1 _________ 2 _________ 3 _________ 4 __ jx =¿ ? K74ñMr

← − − 2#%47s4t−→ | ← − − 2!%47s4t − −−→ |

← − − −n =¿ ?−−→ |← − − −n =¿ ?− − − − −→ | n = i×P×7


i = $$#. ###

Procedimiento:

PRIMER PROCEDIMIENTO:

nN = n$ = n2

n$ = $#. ###×#. 2×2 = !. ###

n2 = $#. ###×#. 2!×2 = !. d##

}~ = � + ÖÜ → }~ = 10.000 + 4.000 + 4.800 → }~ = 10.000 + 8.800 →

}~ = 18.800

SEGUNDO PROCEDIMIENTO:

jx = i ∗ ($ + P ∗ 7),endonde:

n ∗ 7 = á ∗= P$ ∗ 7$ + P2 ∗ 72 ∗ 7 = #. 2 ∗ 2 + #. 2! ∗ 2 = #. dd

ConP$ = #. 2,Reemplazandosetiene:

P2 = #. 2!jx = $#. ### ∗ ($ + #. dd)

7$ = 2 → jx = $#. ### ∗ $. dd → jx = $d. d##

72 = 2

2. Seaelsiguientediagramadelíneasdetiempo:

jx = 22. ####

1 2 3 4… 23… 24 25 26… 47 48


-------- 2%LK7rs4t | &%LK7rs4t |

i =¿ ?

INTERÉS:2%LK7rs4t = 2!47s4t = !d%vP47s4t #. !d

&%LK7rs4t = &h47s4t = )2%vP47s4t #. )2

áà.â1HnäNHlHáHá = #. !d + #. )2 = $. 2#

SOLUCIÓN


i =¿ ?

jx = i + P → 22. ### = i + (#. !di + #. )2i)

22. ### = i + $. 2i → 22. ### = 2. 2i → i =22. ###2. 2

→

i = $$#. ###


jx = i $ + P ∗ 7 → 22. ### = i $ + $. 2# → 22. ### = i 2. 2# →

→ i =22. ###2. 2# → i = $$#. ###

Nota:Paratrabajarelinteréssimpletambiénsepuedeemplearlasiguienteexpresióndenominadamétodode

supresióndefactores:

n =i×l×N$##×àN

I=Interés


C=Capital

R=Rata,Porcentajeotasa

T=Tiempo

UT=Unidaddetiempo

Elfactorunidaddetiemposedeterminaenbasealtantoporcientodeinterés(l)(P)yaltiempo(J)(7),así:

Nota:Pararesolverestetipodeproblemassepuedeaplicarcualquieradelasdosfórmulasdeterminadas,ya

queelresultadoseráelmismo,estoes:

n =i×l×N$##×àN

R T UT

1. a) %47s4t âñMr $

b) %47s4t .KrKr $2

w)%47s4t 1í4r &h#

2. 4)%LK7rs4t âñMr $

$2

v)%LK7rs4t .KrKr $

w)%LK7rs4t 1í4r &#


M

n = i×P×7

Nota:Conlasexpresionesanterioressepuedeencontrarcualquieradeloselementosqueenellaintervienen,

haciendousodelosconocimientosnecesariosparaeldesarrolloyaplicacióndelafórmula.

2.5.5 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. ¿Cuántoproducen$5.000colocadosal15%anualduranteunaño?

Solución:

a.Aplicando:

n =i×l×N$##×àN

Setiene:n = i×l×N$##×àN

→ n = +.###×$+×$$##×$

→ n = $)+#

b.Aplicando:n = i×P×7 →

Setiene:n = +. ###×#. $+×$ → n = $)+#

2. ¿Quétiemposeránecesarioparaduplicaruncapitalde$4.000al2%mensualsimple?Elaborarel

diagramadelíneasdetiempo.

Procedimiento:



n = w×P×J → J =ni×P(Hws4wPó7$)

0_______1________2________3___________ss_________> − 1__________> =¿ ?A9898

� = $4.000 }~ = $8.000


Sielcapitalinicialcorrespondea$4.000yseduplicaennperiododetiempo;quieredecir,queelmontoseráde

$8.000,porlotanto:

jx = w + n → jx|i = nReemplazando:

n = d. ### − !. ### → n = !. ##

Reemplazandoenlaecuación 1: J = ni×P Hws4wPó7$ :

? =4.000

4.000×0.02 → ? =4.00080 → ? = 50

¿QUÉ UNIDAD DE TIEMPO TENDRÁ T? Comolatasaesmensual,porlotanto,eltiemposedaenmeses.

(Nota:50mesesequivalena4añosy2meses).


2.5.6 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Es bastante importante que realices esta prueba, aunque ya hayas realizado problemas similares y hayas

respondidopreguntasiguales,yaquesonconceptosdesumaimportanciaparaeldesarrollodelaasignatura:

1. Deacuerdoalostemastratados,respondealassiguientespreguntas

a. Entuspropiaspalabrasdefineelconceptodeinterésyeldetasadeinterés

b. ¿Quéesinteréssimple?

c. Conunejemplonuméricocalculelosinteresesydefinalascaracterísticasdelinteréssimple.

d. ¿Quéesinteréssimple?

2.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________quéporcentajerepresenta80milpesos

conrespectoa1.200.000.

a. 3,15% b.6,67% c.8,25% d.11%

3.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________enquéporcentajesedebeincrementar

unsalariode$500.000paraqueseconviertaen$620.000.

a. 30% b.25% c.24% d.15%

4.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________unvendedorganeel10%decomisión

porventassigano$350.000ventadeunequipo,¿porcuántovendióelequipo?

a.$3.000.000b.$4.500.000c.$3.500.000d.$3.750.000

5.Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________.Unartículotieneunpreciodeventa

de$750.000siconcedeundescuentodel8%¿cuálseríaelnuevoprecio?.

a.690.000b.630.000c.670.000d.625.000

6.Acontinuaciónencontraráunaseriedeenunciadosconcuatrorespuestas,delascualesunasolaesverdadera.

MarqueconunaXlaqueustedconsiderecorrecta.


ü Analizaraquéconceptocorrespondelasiguientedefinición:__________quéesunatasadeinterés:

a. Recipientedondesecolocaunlíquidodeinterés

b. Relaciónentreelinterésobtenidoenunperíodoyelcapitalinicialinvertido.

c. Porcentajequerepresentalarelaciónentreunaporcióndeterminadaconrespectoalcientoporciento.

d. Diferenciaentreelvalorpresenteyvalorfuturo.

ü Analizaraqueconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________Uncapital.

a. Dineroqueseinviertealinicioofinaldeunperíodo

b. Dineroqueseobtienealfinaldeunperíodo

c. Dineroinvertidoaliniciodeunperíodo

d. Dineroqueseobtieneentreladiferenciadeunvalorfuturoyunvalorpresente

ü Analizaraquéconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________quéesunflujodecaja.

a. Representalosingresosoegresosdecaja.

b. Gráficoquerepresentalosingresosyegresosdecaja

c. Representasololosingresosdecaja

d. Sololosegresos

ü Analizaraquéconceptocorrespondelasiguientedefinición:_________elvalordeldineroeneltiempo

semidepormediode:

a.Latasadeinterésb.losinteresesc.lainflaciónd.dividendos

ü Analizar a que concepto corresponde la siguiente definición: _________. Valores ubicados en fechas

diferentessepuedensumarsiysolosi

a. Estáninvertidosalamismatasadeinterés.

b. Sitienenelmismovalor

c. Siestánenlamismafechafocal(futuroopresente)

d. Esindiferentesitienendiferentevalor.


7.Resuelvalossiguientesproblemasdeinteréssimple:

a . Durante cuántot iempohadeimponerse uncapita l de $ 25.000.000a l 4%para que

se convierta en$50.000.000.

b . Se prestan$5.000.000y a l cabode2 años, 7 meses y 5 d ías se rec iben# 12.500.000.

Ca lcu lar e l tanto por c iento de interés .

c . Hal lar é l tanto por c iento deinterés s imple a l quedeberá prestarse uncapita l para

quea l cabode10años los intereses sean iguales a l capita l prestado.

d . ¿Encuántot iempose cuadrupl ica uncapita l co locadoa l 6%?

e . Hal lar e l interés producidodurante 3 años, por uncapita l de $ 60.000.000, a l 3%.

f . Ca lcu lar enquése convierte , en 12meses, uncapita l de $15.000.000, a l 2 .7%.

g . ¿Durante cuántot iempohadeco locarse uncapita l de $ 75000?000a l 4%para que

se convierta en$ 150.000.000(esto es , para quese dupl ique)?

PISTAS DE APRENDIZAJE

Recuerdeque:Laregladeinterésesunaoperaciónpormediodelacualsehallalagananciaointerésqueproduce

unasumadedineroocapital,prestadoauntantoporcientodadoyduranteuntiempodeterminado;También,

puede decirse, que es la compensación que recibe el capital por su uso o por su cesión a otra persona. Se

representaporP(interés).

Tengapresenteque:Alcalcularelinterés,quetantolatasadeinteréscomoeltiempo,debenquedarreducidos



Recuerde que: Una operación financiera semaneja bajo el concepto de interés simple, cuando los intereses

liquidadosnosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesnodevenganintereses.

Recuerdeque:UnDiagramaEconómicoconsisteenlarepresentacióngráficadelproblemafinanciero,quenos

permitevisualizarloyhacerunadefiniciónyunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejarel

dinero.

Recuerdeque:Undiagramaeconómicoconstadelossiguienteselementos:

• Líneasdetiempo:esunalíneahorizontaldondeserepresentantodos losperiodosenloscualesseha


• FlujodeCaja:serepresentaconunasflechashaciaarribayotrashaciaabajo(ingresos-egresos).

• TasadeInterés.


2.6 TEMA 2 INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO Eselqueproduceuncapitalquecambiaalfinaldecadaperíodo,debidoaquelosinteresesseadicionanalcapital,

paraformarunnuevocapital;esdecir:

Engeneralsedicequeelinteréscompuesto(llamadointeréssobreintereses),esaquelquealfinaldelperíodo

capitalizalosinteresescausadosenelperíodoanterior,esdecir,elcapitalvarioalfinaldecadaperíodo,porque

los interesesobtenidosse leadicionanalcapital,obteniendoasíunnuevocapitaly sobreestesecalculan los

próximosintereses.

Sesupone,entonces,quelosinteresessecapitalizan,esdecirsereinviertenautomáticamente.

Nota1:Capitalización:Esunprocesoenelcuallosinteresesquesecausanenunperíodosesumanalcapital

anterior.

Nota2:PeríododeCapitalización:Períodopactadoparaconvertirelinterésencapital.

Tambiénsepuededecir,queelinterésescompuesto,cuando:

• Los intereses que produce el capital se suman a éste, al final de cada período de tiempo,

• Formando de este modo un nuevo capital. • Es decir, los intereses producen nuevos intereses.

Ejemplo:Seauncapitalde$1.000al20%anualcompuesto.

Alfinalizarelprimerañosusinteresesserán$200loscualessereinvierten,porlotanto:

• Alcomienzodelsegundoaño,elcapitalseráde$1.200ylosinteresesdeesteañoseránde$240,que

• Alcapitalizarlosformaránuncapitalde$1.440paraelterceraño,y

• Asísucesivamente,añotrasaño,elcapitalaumentarálosinteresesyéstosaumentaránelcapital.

SE CALCULA EL INTERÉS SOBRE EL MONTO ANTERIOR, PARA FORMAR UN NUEVO MONTO.


• CÁLCULO DE LA ECUACIÓN GENERAL PARA CALCULAR EL INTERÉS COMPUESTO

Conviene,ahora,llegaraunafórmulageneralparaobtenerelmontodeuncapitalde$, jk j4tM3k3KrK7JK ,

aunatasaPporperíodoaltérminode7períodosyenformacompuesta.

Paraello,seelaboraunatablaenformanumérica,luegoenformaalgebraicayalfinalenformagráfica,teniendo

encuentaqueelcapitaldecadaperíodoeselmontodelanterior

a. Enformanumérica:

ãåçÍèêè(ëñí) ìëãîïëñîóîìîëñ îóïåçÉô ìëãîïëñöîóëñ

1 1.000 200 1.200

2 1.200 240 1.440

3 1.440 288 1.728

4 1.728 345.60 2.073,60

Latablaanteriormuestralosvaloresacumuladosalfinaldecadaaño,cuandoseinviertelasumade$1.000auna

tasade20%anualdurante4años.

b. EnformaAlgebraica:

PERÍODO CAPITAL INICIAL

INTERÉS CAPITAL FINAL

1 W W ∗ C jx$ = jk + jk(P = jk(($ + P)

2 jk ∗ (1 + C) jk(∗ 1 + C ∗ C jx2=jk(*(1+i)+jk(*(1+i)*i=


jk(∗ ($ + P)2

3 jk ∗ (1 + C)ú jk((1 + C)ú ∗ C }~ù = jk(* 1 + C ú + jk(∗ 1 + C ú ∗ C =

R ∗ ($ + P)&

: : : :

n jk(1 + C)û|ü jk(1 + C)û|ü jx7 = jk( $ + P 7|$ + jk( $ + P 7|$ ∗ P =

jk(∗ ($ + P)7

SeconcluyeentoncesquelaecuaciónparacalcularelInterésestádadapor:

jx7 = jk ∗ ($ + P)7

jx = i4kPJ4txP74t LM7JM , j4tM3xsJs3M.

jk = j4tM3R3KrK7JK, i4kPJ4tn7PwP4t.

P = N4r4OKP7JK3érk434KtkK3íMOM.

7 = äúLK3MOKkK3íMOMr.

c. En forma de diagrama de línea de tiempo

0 _________ 1 _________ 2 __________ 3 _________________SS

}~ü=}°+Ö jx2 = jx$ + jx$ ∗ P ∗ 7

jx& = jx2 + jx2 ∗ P ∗ 7

jx$ = jk + n

jx2 = jx$($ + P)

jx& = jx2 ∗ ($ + P)


jx$ = jk + jk ∗ P ∗ 7

jx2 = jk ∗ $ + P ∗ $ + P

jx& = jk ∗ $ + P 2 ∗ ($ + P)

jx$ = jk ∗ ($ + P) jx2 = jk ∗ ($ + P)2

jx& = jk ∗ $ + P &

Asísepuedecontinuar,porejemplo,paraelperíododiezsetieneque:

jx$# = }° ∗ (1 + C)ü¢

Engeneral,paraelúltimoperíodo(n)on-ésimo,setieneque:

jx7 = jk ∗ $ + P 7

Nota:Elproblemasereduceahoraadarlesoluciónalfactor:

jx = jk ∗ $ + P 7 â zK3 ∗

Delaexpresiónanteriorsepudeconocercadaunadelasvariablesquelocomponenestoes:

• jk =jx${P 7

(ValorPresente)

• P = jxjk

7 − $(Interés)

• 7 =£§(

jxjk)

£§(${P)(Periodos)

2.6.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. ¿Cuántosmesesdeberádejarseunapólizadeacumulaciónde$2.000.000quepagael3%anual,paraquese

conviertaen7.500.000?

Procedimiento


a.Tabladedatos

7 =¿ ?(Periodo)

jk = $2. ###. ###(ValorPresente–Capital)

P = &% = #, #&(Interés)

jx = $). +##. ###(ValorFuturo–Monto)

b. Utilizandolaexpresión7 =£§(

jxjk)

£§(${P)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,setiene:

7 =£§(

jxjk)

£§($ + P) → 7 =£§(). +##. ###2. ###. ###)£§($ + #, #&) → 7 = !!, )24ñMr

Larespuestaenmesessería:

7 = !!, )24ñMr×$2LKrKr$4ñM → 7 = +&h, h!LKrKr

2. ¿Cuántoesnecesarioinvertirahoraparatener$10.000.000en10añosaunatasadeinterésdel8%?Procedimiento

a.Tabladedatos

7 = $#4ñMr(Periodo)

jk =¿ ?(ValorPresente–Capital)

P = d% = #, #d(Interés)

jx = $$#. ###. ###(ValorFuturo–Monto)

b. Utilizandolaexpresiónjk =jx${P 7

(ValorPresente)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,se

tiene:


jk =jx${P 7

→ jk =$#.###.###${#,#d $# → jk = !. h&$. "&+

c. Solución:sedebeinvertiruncapitalde$!. h&$. "&+

3. Sisetomaunpréstamode$1.000.000durante12mesesaunatasade"1%pormes",¿cuántodebe

pagar?

Procedimiento

a.Tabladedatos

7 = $2LKrKr(Periodo)

jk = $. ###. ###(ValorPresente–Capital)

P = $% = #, #$(Interés)

jx =¿ ?(ValorFuturo–Monto)

b. Utilizandolaexpresión:jx7 = jk ∗ $ + P 7(ValorFuturo)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,setiene:

jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jx7 = $. ###. ### ∗ $ + #, #$ $2 →

jx7 = $. $2h. d2+

c.Solución:sedebenpagaralcabode12meseslasumade

$$. $2h. d2+

4. Unacantidadde$1,500.000sedepositaenunbancoelpagodeuna tasade interésanualdel4,3%,compuestotrimestralmente.¿Cuáleselsaldodespuésde6años?

Procedimiento


a.Tabladedatos

7 = h4ñMr(Conperiodostrimestrales,estoes4periodosporaño)

jk = $. +##. ###(ValorPresente–Capital)

P = !, &% = #, #!&(Interés)

jx =¿ ?(ValorFuturo–Monto)

b.Utilizandolaexpresión:jx7 = jk ∗ $ + P 7(ValorFuturo)yreemplazandolosvalorescorrespondientes,setiene:

jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jx7 = $. +##. ### ∗ $ +#, #!&! ∗

!(h)→

jx7 = $. "&d. d&)

*Elinterésanualsedividepor4porqueestrimestral,porlotantotiene4periodosdecapitalizacióncada

año,conelexponentesedebemultiplicarpor4porlamismarazón.

c.Solución:Elsaldo(ValorFuturo)alcabode6añosesde:

$$. "&d. d&)

2.6.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Nota: Algunosde losproblemas tienen la respuesta, esta te ayudaráenel desarrollodel problema,pero lo

interesante es el análisis que realices de cadaunodeellos, recuerdaqueen la presentacióndel tema tienes

algunosmodelosresueltos.

1.Determineelmontoacumuladode$50.000.000quesedepositanenunacuentadevaloresquepaga9%anual

convertiblemensualmente:


a)Alcabodeunaño

b)Alcabode3años

2.Cuántodinerodebepagarseaunbancoquehizounpréstamode$300.000.000sisereembolsaalañocapital

einterésylatasaaplicadaesde14%anualconvertibletrimestralmente.

3.¿Cuántodinerodebedepositarseenelbancosisedeseaacumularunmontode$450.000enunplazode4

años,ylatasadeinterésesde7%convertiblemensualmente?

4. ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha firmado un documento por

$650.000.000 que incluye capital e intereses a 14% convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 36

meses?

5.Unadeudade$50.000.000sedocumentamedianteunpagaréqueincluyeinteresesarazónde2%trimestral,

yqueserápagaderoalcabodeunaño.¿Quécantidadpuedeobtenerseporélsisedescuentaalcabode4meses

aunatasadeinterésde10%convertiblemensualmente?

6. Hoyseinvierten$1’000.000.000enuncertificadodedepósitoatérmino(CDT)aunatasadeinterésdel3%

mensualdurante6meses, sequieresaber¿Cuántose recibeal cabode los6meses?Elaboreeldiagrama

económico.

7.¿Quéinterésproducen$50.000en12mesesal2?35%mensual?

8. ¿Durante cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $100.000 para que al 3% produjera $87.000 de

intereses?

9.Setienen3documentosparacobrarasí:

$500.000paraelprimerodemayode2.015

$1’050.000paraelprimerodeJuliode2.015

$350.000paraelprimerodeagostode2.015


Dadasnecesidadesdeefectivo,novemosenlaobligacióndeentregarlosaunintermediofinancieroquecomo

productodesusactividadesobtienerendimientosdel3.5%mensual.

Lapreguntaes:¿Cuántodineroesperamosrecibirsilanegociaciónlarealizamoselprimerodeenerode2.015?

10.¿Cuáleselmontode$120.000invertidosal30%anualdurantetresañosydosmeses?(R/$234.000)

11. ¿Cuánto se necesita depositar hoy en una corporación que reconoce el 3%mensual, para disponer de

5’000.000alcabodeunaño?(R/$3’676.470)

12.Unapersonahipotecasupropiedadymensualmentepaga$450.000deinterés,silatasadeinterésesel3%

mensual,¿Encuántolahipotecó?

(R/$15’000.000)

13.Enunpréstamode$5’000.000acuatroañossepactauninterésdel15%semestrallosdosprimerosañosy

el16,5%semestrallosdosúltimosaños.¿Cuántoesperadeinterésenlos4años?(R/$6’300.000)


Recuerdeque;

INTERÉSCOMPUESTO:Eselqueproduceuncapitalquecambiaalfinaldecadaperíodo,debidoaquelosintereses

seadicionanalcapital,paraformarunnuevocapital;esdecir:

Recuerdeque:

• LaCapitalizaciónesunprocesoenelcuallosinteresesquesecausanenunperíodosesumanalcapital

anterior.

• PeríododeCapitalización:Períodopactadoparaconvertirelinterésencapital.

Traigaalamemoriaque:Tambiénsepuededecir,queelinterésescompuesto,cuando:

• Losinteresesqueproduceelcapitalsesumanaéste,alfinaldecadaperíododetiempo,

• Formandodeestemodounnuevocapital.

• Esdecir,losinteresesproducennuevosintereses.

SE CALCULA EL INTERÉS SOBRE EL MONTO ANTERIOR, PARA FORMAR UN NUEVO MONTO.


3 UNIDAD 2 TASAS DE INTERÉS Y EQUIVALENCIAS

EquivalenciadeTasas:Enlace

Enlace:Tasasequivalentes-SlideShare

es.slideshare.net/angelambrosio1/tasas-equivalentes-18253991



Definicióndeconceptos

Tasadeinterés:Latasadeinterés(otipodeinterés)eselpreciodeldineroopagoestipulado,porencimadel

valordepositado,queun inversionistadebe recibir,porunidadde tiempodeterminado,deldeudor,a raízde

haberusadosudineroduranteesetiempo.

Tasa InterésNominal: las tasasanuales, con las cuales se indica cómoy cuándo se liquidael interés,perono

correspondeaunatasareal.

Tasade InterésEfectiva:es la tasaqueefectivamenteseestápagando(Ahorros)oqueefectivamenteseestá

cobrando(Créditos).

Capitalización: La capitalización simple es un tipo de capitalización de recursos financieros que se caracteriza

porquelavariaciónquesufreelcapitalnoesacumulativa.Losinteresesquesegeneranencadaperiodonose

agregan al capital para el cálculo de los nuevos intereses del siguiente periodo, aspecto que la diferencia de

lacapitalizacióncompuesta.Deestamaneralosinteresesgeneradosencadaunodelosperiodosserániguales.

FrecuenciadeCapitalización:Eselnúmerodeveces(períodos)queenunañosemeliquidanlosinteresespara

sumarlosalcapital(reinvertirlos).

TasasEquivalentes:Sonaquellasqueteniendodiferenteconvertibilidadproducenelmismomontoalfinaldeun

año.


EcuacionesdeValor:Aplicaciónenunafechadada,delasequivalenciasdeunconjuntodevaloresquesevana

reemplazar,haciéndolotantoainteréssimplecomoainteréscompuesto.

3.2 OBJETIVO GENERAL Evaluarenformacorrectalasdiferentestasasdeinterésyequivalenciastratadasenlasactividadesfinancieras.

3.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS DefinirTasaInterésnominalysuscaracterísticas.

DefinirTasaInterésEfectivaysuscaracterísticas.

DefinirTasasdeInterésEquivalentesysuaplicabilidadenelcampofinanciero.

DeterminarlasEcuacionesdeValorysuaplicabilidadenlasfinanzas.

3.4 TEMA 1 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA DE INTERÉS EFECTIVA

¿QUÉ ES TASA DE INTERÉS NOMINAL? Lasinstitucionesfinancierasconfinesprácticos,expresanelcostoorendimientocontasasanuales,entonceslas

tasasnominalessedefinencomolastasasanuales,conlascualesseindicacómoycuándoseliquidaelinterés,

peronocorrespondeaunatasareal.

Latasanominalseacompañadedosapelativosqueidentificanlafrecuenciadecapitalizaciónenunañoycomo

seliquidaelinterés.

Sedistingueconlasiguientenomenclatura:


PERIODO VENCIDO LECTURA ANTICIPADO LECTURA

MES MV Mes Vencido MA Mes Anticipado

BIMESTRE BV Bimestre Vencido

BA Bimestre Anticipado

TRIMESTRE TV Trimestre Vencido

TA Trimestre Anticipado

SEMESTRE SV Semestre Vencido

SA Semestre Anticipado

AÑO AV Año Vencido AA Año Anticipado

Nota 1: Si se pacta pagar el interés al culminar el mes, se denominará vencido.

Por lo tanto la tasa que nos ocupa se presentará con la letra P7, así:

P7 = 2!%.j

Se lee: “Veinticuatro por ciento, mes vencido”

Otra forma de expresarla: 24% nominal con capitalización mensual vencido.

Nota 2: Si se pacta pagar el interés al inicio del mes, es decir al momento de entregar la suma prestada, se denominará anticipado.

Si la tasa se conviene anticipada, se escribirá así:

P7 = 2!%.â


Se lee: “Veinticuatro por ciento, mes anticipado”

Otra forma de expresarla: 24% nominal con capitalización mensual anticipada.

CARACTERÍSTICAS DE LA TASA NOMINAL

• Siempreseráunatasadeinterésanual,

• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osealaqueseliquida

encadaperíododelaño.

• Sólosirveparasaberquetasadeinterésperiódicosevaaliquidar.

TASA NOMINAL:

Eslatasaquesedanormalmenteparaunaño.LarepresentaremosporPoP7(tasanominal)perono

esaplicabledirectamenteenlaecuación.

Nota:Alatasanominal,siempreseleadicionandospalabrasqueindicanélnúmerodeliquidacionesdeinterés

(Númerodevecesquelosinteresessecapitalizanenunaño:L).

3.4.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Decir24%CT(Capitalizableoconvertibletrimestralmente).

Significaque latasaparatodoelañoesel24%nominal,perocada3mesesse liquidan los interesesporaño.

Naturalmente,deloexpuestoanteriormente,sededucequelatasadelperíodo(untrimestreenestecaso)es

igualatasadelaño(nominal)divididaporelnúmerodeperíodosquehayenunaño,estoes:

PK = n7JK3érKxKwJPzM,Pk = n7JK3érkK3íMOM,

P7 = n7JK3ér7MLP74t,L = äúLK3MOKkK3íMOMr


PK = Pk =P7L(2)

PK = Pk =P7L =

2!%! = h%HxKwJPzMN3PLKrJ34t

Latasaquesecobracada3mesesesdel6%yestaúltimarecibeelnombredetasaefectivaparaeltrimestre.

7 = $:(Númerototaldeperíodosaquefueinvertidoelcapital).

L = !:(Lasvecesquelosinteresessesumanalcapitalsiendon=1año),yaqueelañotiene4trimestres.

Comolatasaefectivadelperíodoestrimestral,n(tiempo)=1añosereduceatrimestres.(1año=4trimestres),

yaque,paralasolucióndelosproblemasainteréscompuesto,tantolatasadelinteréscomoeltiempodeben

estarreducidosalamismabase,entraremosadefinirloqueesunatasaefectiva,delasiguientemanera:

TASA DE INTERÉS EFECTIVA: Es la tasa para un período. La representaremos porPo Pk (es la que se utiliza en la fórmula anterior).

*(A):jx = jk ∗ $ + P 7

Además,comosunombrelodiceeslatasaqueefectivamenteseestápagando(Ahorros)oqueefectivamentese

estácobrando(Créditos).Estosisuponemosquealfinaldecadaperíododelpagodeintereses,sereinvierteose

prestaelmismocapital,máslosinteresesqueestegeneró.

CARACTERÍSTICAS DE LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA

• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.

• Nosepuededividir.

• Semidedentrodeunperiododeunaño.

• Puedeserperiódicaotasadeinterésefectivaanual.

• Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasadeinterésnominal

yquepartiendodeéstasellegaráaunaefectiva.


Nota 1: Si la tasa es capitalizable, necesariamente se trata de una tasa nominal, ya que las efectivas no se

capitalizan,sinoquesonlasqueresultanalcapitalizarlasnominales.

Nota2:Eltérminocapitalizabletienequeverconlosinteresescausadosporperíodoqueseleagreganalcapital.

Elperiodopuedeser(diario-mensual-trimestral,semestral,anual).

3.4.2 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE: 1.HallarelMontoovalorfuturodeunainversiónde$25.000al30%(Capitalizableoconvertiblesemestralmente)

durante3años.

Procedimiento

a. Sehallalatasaefectivaqueseusaenlafórmula.

Donde P7 = n7JK3ér7MLP74t. L = äúLK3MOKkK3íMOMr: Número de veces que los

interesessesumanalcapitalenunaño:

AplicandolaecuaciónPK = Pk =P7Lyhallandoelnúmerototaldeperíodos,setieneque:

Comoenunañohay2períodos,en3añoshabrá6períodos(n=6).

Reemplazandoenlafórmulasetiene:

PK = Pk =P7L =

&#%2 = $+%HxKwJPzMáKLKrJ34t

Elvalorfuturoes,porlotanto:

jx7 = jk ∗ $ + P 7 → jxh = 2+. ### ∗ $ + #. $+ h →

jxh = $+). d2h, +2

2.Hallarlatasanominalcapitalizadamensualmente,sihoyseinvierteuncapitalde$30.000yalcabode2años

y6mesessetriplicó.

Procedimiento


a. Recuerdeque:

jx = jk ∗ ($ + P)7

â jx = $"#.###

jk = $&#. ###

PK =¿ ?

P7 =¿ ?

7 = 24ñMr•hLKrKr = &#LKrKr

b. Reemplazandolosvaloresconocidosen â ,setieneque:

jx = jk ∗ ($ + P)7 → "#. ### = &#. ### ∗ ($ + P)&# =

$ + P &# ="#. ###&#. ### → $ + P &# = & →

Sacandoraíz30aambosladosdelaigualdad:

$ + P &#&# = &&# → $ + P = $. #&))2"" → P = $. #&))2"" − $ →

P = #. #&))2""

(Sutasaconperíodomensual,porcuantoeltiempoestádadoenmeses).

Porlotanto:PK = &. )2""KxKwJPzM47s4t.

Latasanominalestádadapor:

PK =P7L → &. )2"" =

P7$2 → P7 = $2×&. )2""

P7 = !!. )h%47s4t, w4kPJ4tP54vtKLK7rs4tLK7JK

Nota:Lafórmuladelinteréscompuestoimplicaunatasaordinaria,esdecir,queelpago


deinteresessehacealfinaldelperíodo.

• FrecuenciadeCapitalización(¶)

Eselnúmerodeveces(períodos)queenunañosemeliquidanlosinteresesparasumarlosalcapital(reinvertirlos).

3.4.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.24%nominalanual,liquidadoanualmente:

• Ahorahallemoselvalorfuturode$1.000.000enunaño:

jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ + #, 2!)$ → jx = $. 2!#. ###

}~ = $1.240.000

2.24%nominalSV(semestreVencido)

Sehallaelvalorfuturode$1.000.000enunaño:

jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ +#, 2!2 )2 → jx = $. ###. ###($ + #, $2)2

jx = $. ###. ###($, $2)2 → jx = $. 2+!. !## → jx = $$. 2+!. !##

P7 =2+!.!##$.###.###

→ P7 = #, 2+! → P7 = 2+, !%

3. 24%TV(TrimestreVencido)

Sehallaelvalorfuturode$1.000.000enunaño:

jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ +#, 2!! )! → jx = $. ###. ###($ + #, #h)!

jx = $. ###. ###($, #h)! → jx = $. 2)h. !)+ → jx = $$. 2)h. !)+

P7 =2)h. !)+$. ###. ### → P7 = #, 2)h → P7 = 2), h%


4. 24%nominalliquidadomesvencido(MV)

Sehallaelvalorfuturode$1.000.000enunaño

jx = jk($ + P)7 → jx = $. ###. ###($ +#, 2!$2 )$2 → jx = $. ###. ###($ + #, #2)$2

jx = $. ###. ###($, #2)$2 → jx = $. 2hd. 2!2 → jx = $$. 2hd. 2!2

P7 =2hd. 2!2$. ###. ### → P7 = #, 2hd → P7 = 2h, d%

Delasactividadesanterioresseobservaque:

1. Setomólatasadeinterésnominalcomofrecuenciadequeseliquidaríaunatasainterésdel

24%,peroéstasólosirvióparasaberquéinterésperiódicoseliquidaríaencadaperiodo,

dependiendodelafrecuenciadecapitalización.

2. Amayorfrecuenciadecapitalizaciónmayorvanaserlosintereses,oseamayorvaaserla

tasadeinterésefectiva.

3. Partiendodelatasadeinterésnominal,sehallalaefectivaperiódicaylaefectivaanual.

4. Paramedirlarentabilidaddeunainversiónoelcostodeuncrédito,setomacomoreferencia

latasadeinterésefectiva.

5. Cuando la frecuencia de capitalización es anual, la tasa de interés nominal, periódica y

efectivaesigualenéstecasoal24%.

Nota:Ahoraparanotenerquehallarprimeroelvalorfuturodeuncapital,despejarlosinteresesydividirlopor

elvalorpresenteysaberquetasadeinterésefectivaseliquida,seutilizarálasiguienteExpresión:

%Öß = 1 + ÖW)û − 1 ∗ 100

3.4.4 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1. Calcularelvalorfuturodeunainversiónpor$100.000.000quesecapitalizainstantáneamenteaunatasa

del15%anualdurante4años.

2. Un pagaré de $ 15.000.00 se vence dentro de un mes. Calcule el valor presente al 9% compuesto

continuamente.


3. ¿A cuánto ascenderá un préstamo de 2.000.000 al cabo de un año si el interés del 26% capitaliza

mensualmente?¿CuáleslaTasaEfectivaAnual?

4. Determinarlatasaefectivasemestral,siserealizaunainversiónde$20.000.000durante2años:

• Silatasadeinterésesde7%portrimestre,

• Calcularlastasasefectivassemestralesyanuales.

• Determinarlastasasnominales.

5. Unainstituciónfinancierapublicitaquesutasadeinteréssobrepréstamosqueotorgaes1.86%mensual.

Determinarlatasaefectivaanualyelfactorsimpledecapitalizaciónpara12años.


Recuerdeque:

a. LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:


• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osea

laqueseliquidaencadaperíododelaño.


b. LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.




• Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasade

interésnominalyquepartiendodeéstasellegaráaunaefectiva.

3.5 TEMA 2 TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES

Sonaquellasqueteniendodiferenteconvertibilidadproducenelmismomontoalfinaldeunaño.


Loanteriorsecompruebapartiendodelhecho,dequelasdostasasdeinteréssonequivalentes,cuandounmismo

capitalinvertidoconcadaunadeellas,produceelmismomontoenigualtiempo.

Enotraspalabras,sepuededecirquedosomástasassonequivalentescuandouncapitalinvertidooliquidado,a

cadaunadeellasnosdaenelmismo lapsode tiempoelmismovalor futuroomonto,deacuerdoa lo visto

anteriormente,liquidanelmismointerésefectivo.

Nota:Nominalyperiódicamenteserándiferentes,peroalfinaldelañoserálamismatasaefectiva.

Ejemplo:Entoncessepodrádecirqueunatasadel2%mensualseráequivalenteaunatasadel26.82%efectiva.

2%A98 24,24%Vu 24,48%S} 25,23%y} 26,82%®©

26,82%

Porlotanto,cualquiercapital invertidoacadaunadeéstastasasdeinterésdaelmismomonto,comosedijo

anteriormentedebesereniguallapsodetiempo.

Nota:Parahallarunatasadeinterésqueseaequivalenteaotraconocida,bastaconigualarlosmontos.

APLICACIONES

Aplicandoelprincipiode“TasasdeInterésEquivalente”,seresuelvencasoscomolossiguientes:

CONOCIDA HALLAR

a. La tasa nominal. La tasa nominal equivalente.

b. La tasa efectiva anual. La tasa nominal equivalente.


c. La tasa efectiva del período (mensual, trimestral, semestral). La tasa efectiva.

d. La tasa efectiva del período (mensual, trimestral). La efectiva semestral y a partir de

ésta hallar la efectiva anual.

Nota: Es convenientedistinguir los casosanteriores,por lo tanto, a continuación, se realizaránejerciciosdeaprendizajequelepermitiránasumirconpropiedadtalesdiferencias.

3.5.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1.Hallarunatasadeinterésanualconcapitalizaciónsemestral,queseaequivalenteal,24%anual,capitalización

trimestral.

Procedimiento

Dados:

jx$ = jx2, wM77 = $4ñM,(Deacuerdoalprincipiodetasasdeinterésequivalentes).

Utilizandolaecuación:jx = jk ∗ $ + P 7setiene:jk ∗ $ + P∗$

2

2= jk ∗ $ + #.2!

!

!

Simplificandojkysacandolaraízcuadradaaambostérminos,queda:

$ +P ∗ $2 = $ +

#. 2!!

2→ $ +

P ∗ $2 = $ + #. #h 2 →

$ +P ∗ $2 = $ + #. #h 2 → $ +

P ∗ $2 = $. #h 2 →

$ +P ∗ $2 = $. $2&h → P = $. $2&h − $ ∗ 2 →

P = #. 2!)2 → P = 2!. )2%Anual,capitalizaciónsemestral.

Atravésdelossiguientescasosseverificarálavalidezdeloanterior:


Uncapitalde$100.000yunplazode2años,hallarelmontoencadaunadeestastasas:

a) Para24.72%anualconcapitalizaciónsemestral.

jx$ = $##. ### $ + #, $2&h ! → jx$ = $##. ### $, $2&h ! →

jx$ = $##. ### $, +"&d!d#)+ → jx$ = $$+". &d!, d$

b) Para24%anualconcapitalizacióntrimestral.

jx2 = $##. ### $ + #, #h d → jx2 = $##. ### $, #h d →

jx2 = $##. ### $, +"&d!d#)+ → jx2 = $$+". &d!, d$

Conclusión:Quieredecir,queesindiferenteinvertiral24,72%anualconcapitalizaciónsemestraloal24%anual

concapitalizacióntrimestral,yaqueseobtieneelmismoresultadodebidoalprincipiodetasasequivalentes.

2.Hallarlatasaanualcapitalizadamensualmente,queseaequivalenteal24%anualefectivo.

Procedimiento

Dadaslassiguientesexpresioneseigualándolas,setieneque:

jx$ = jx2 → jk $ +P ∗ $$2

$∗$2

= jk($ + #. 2!)$ → jk $ +P ∗ $$2

$2

= jk($ + #. 2!)

jk $ +P ∗ $$2

$2

= jk($. 2!)

SimplificandolajkysacandoRAIZdoceaambostérminos,queda:

$ +P ∗ $$2 = ($. 2!)

$$2 → $ +

P ∗ $$2 = $.#$d#$!h

DespejandoP,setiene:

P = $. #$d#$!h − $ ∗ $2 → P = #. #$d#$!h ∗ $2


P = #. 2$h$)+2 → P = 2$. h$%Anualcapitalizablemensualmente

Nota1:Cálculodelatasaefectivaapartirdelatasanominalanticipada:

P =P4

$ − P4

Dónde:P4: N4r47MLP74t47JPwPk4O4

P = N4r4zK7wPO4

Nota2:Tengapresenteque,silatasadeinterésanticipadaesmensual,alreemplazarlaenlaanteriorexpresión,

seobtienelatasadeinterésvencidamensual.

1. Unacorporacióncobraunatasadel28%anualconcapitalizacióntrimestralanticipada,hallarlatasaefectiva

anualvencida.

Procedimiento

a.Sehallalatasadeinteréstrimestreanticipado:

P = 2d%!= )%Trimestreanticipado.

b.Sehallalatasadeinteréstrimestrevencido:

P =P4

$ − P4→ P =

#. #)$ − #. #) → P =

#. #)#. "&

P = #. #)+ → P = #. #)+Trimestrevencido.

c. Seaplicaelprocedimientoyaconocidoparalastasasvencidas:


SeHallalaTasaEfectivaAnualapartirdelaefectivatrimestralvencida:

jx$ = jx2

($ + P ∗ $)$∗$ = ($ + #. #)+)!

$ + P ∗ $ = $. #)+ ! → $ + P ∗ $ = $. &&+!

P ∗ $ = $. &&+! − $ → P ∗ $ = #. &&+!

P = &&. +!%Efectivoanual.

Nota 2: Existen situaciones en que el interés, se debe reconocer sobre una unidadmonetaria, cuyo valor

aumentaconeltiempo,enunporcentajedeterminado,porlotanto,paradeterminarelcostoreal(tasaefectiva)

de una determinada situación (préstamo-financiación) debe tenerse presente la tasa con que varía la unidad

monetariaylatasadeinteréscorriente,cobradasobresuvalor.

Para el caso anterior, se debe tener presente que para compensar la pérdida del poder del dinero existe el

mecanismodelacorrecciónmonetariadondePwL: Í7OPwKMJ4r4OKwM33KwwPó7LM7KJ43P4yquelospesosdemásque tienequepagarporunamismaunidadmonetaria,puedenocasionarsepor ladevaluación.

Considereunidadesmonetariastalescomoeldólary laUPAC(Unidaddepoderadquisitivoconstante), laUVR

(UnidaddeValorReal):

3.5.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Hallarlatasaefectivaanualalaalternativadecomprarbienesdecapital(máquinasindustriales)acrédito,porUS

50.000(dólares)conplazodeunaño,si los interesescorrientessondel20%anual,sabiendoqueel índicede

devaluacióndelpesoconrespectoaldólarseestimaenun31%anualyenelmomentoderealizarelnegocioun

dólarequivalea$700.

Procedimiento

1. Elvalorpresentedelaobligaciónenpesos:


+#. ###àá×$)##àá = $&+. ###. ###

2. Elvalordeldólardentrode1añosecalculaconlafórmuladeInterésCompuesto.

jx = jk ∗ ($ + P)7

jk = )##

P = n1 = Í7OPwKOKOKz4ts4wPó7 = &$%

7 = $4ñM

$àá = )## ∗ ($ + #. &$)$

$àá = )## ∗ $. &$ = $"$)Valordeldólaralfinalizarelaño.

3. Laobligacióndentrode1añoconsiderandoladevaluación:

50.000™y×$917™y = $!+. d+#. ###

4. Valordelosinteresescorrientessobrelaobligacióndentrode1año:45.850.000×0.2 = $". $)#. ###

5. Paracancelar‘alfinaldelaño:Obligacióndentrode1año+1osintereses:

$!+. d+#. ### + $". $)#. ### =$55.020.000

Enresumen,setiene:

• Deudainicial:

(jk):$35.000.000

• Deudafinal:(jx):$55.020.000


• PK=¿?• 7 = $4ñM

Entonces:

jx = jk ∗ $ + P $ → ++. #2#. ### = &+. ###. ### ∗ $ + P $DespejandoP:

$ + P = ++.#2#.###&+.###.###

→ P = $, +)2 − $ → P = #, +)2 → P = +), 2%Efectivoanual.

Interpretación:Elcostorealdelafinanciaciónparaelbiendecapital,considerandoladevaluacióndelpesocon

respectoaldólaryelinteréscorriente,esdel57.2%efectivoanual.

• Actividad:Realícelayconfronteelresultadoconsuscompañerosdeclaseyluegoconeltutor.

En idéntica forma, a los pasos descritos en el ejemplo anterior, se puede calcular el costo real

efectivaanual)deunpréstamode3.000UPAC,sabiendoqueelíndicedecorrecciónmonetariaes

del20%anual,losinteresescorrientesdel15%anual,considerandoaltomarunpréstamoqueuna

UPAC=$3.500.

3.6 TEMA 3 ECUACIONES DE VALOR Estetemaesuncomplementodelostemasanteriores,nosehacerepetitivoyaquenospermitevermovimientos

financierosprácticosmuyinteresantes

ECUACIONES DE VALOR

Aplicaciónenunafechadada,delasequivalenciasdeunconjuntodevaloresquesevanareemplazar,haciéndolo

tantoainteréssimplecomoainteréscompuesto.

Esmuyfrecuenteencontrarunaovariasobligaciones,quevanasercanceladasmedianteunoovariospagos;

perodebidoaqueelpoderadquisitivodedinerocambiaconel tiempo,para lasolucióndeesteproblemase

hacennecesarioelusodelasllamadas:


ECUACIONESDEVALOR,quesonigualdadesdevaloresubicadosenunasolafecha,denominadafecha

focal.

La fecha focal (representadaporxx)es la fechaenquesehace lacomparaciónde Ingresoscon

Egresosyserepresentaporunalíneadetrazos.

Elprincipiofundamentaldeunaecuacióndevalorestableceque:

áOKsO4r = ák4¨Mr K7t4xx

á4wJPzMr = ák4rPzMr + i4kPJ4t K7t4xx

NOTAS IMPORTANTES

NOTA1 Siel trasladodecualquiervalor (Ingresos-Egresos)estádadoantesde la fecha focal,

entoncessedebellevarasuvalorfuturo.

NOTA2 Sielvalorestáenunafechaposterioralafocal,sedebetrasladaraéstapormediodel

factordelvalorpresente.

NOTA3 Losprincipiosexpuestosanteriormenteparalasecuacionesdevalorsonválidoscuando

seplanteanenInterésSimpleyenInterésCompuesto;loscambiosqueocurrensoncon

respectoalaaplicacióndelasfórmulas.


3.6.1 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE 1. Analizandoalgunascuentasporcobrarycuentasporpagar,seencuentralosiguiente:

CUENTAS VALORES FECHAS

CuentasporCobrar

$$. $2#. ### Nosladebencancelaréllodeoctubre.

$$. ###. ### Paracancelarlaéllodejulio.

CuentasporPagar

$d##. ### Paracancelarel01agosto.

$&##. ### Paracancelarel01agosto.

Sisetomacomofechafocaléllodeagosto,¿Cuántodinerosobraohacefaltaenestafecha,despuésdecobrary

pagar,silosinteresesdenegociaciónsondel3?5%mensualSimple?

Procedimiento

a. Serepresentaelejemploatravésdeldiagramadelíneasdetiempo:

b. Elproblemapidequeselleventodoslosvaloresal1odeagosto,allí ladiferenciaentrelascuentaspor

cobrarylascuentasporpagarsepuedenefectuarporcuantoseubicanenUNMISMOpuntofocalenel


tiempo.

• Setrasladanlascuentasporcobraral10deagosto:

jx = jk ∗ $ + P → jx = $$. ###. ### ∗ $ + #. #&+ → jx = $$. #&+. ###

• Lasegunda,comoestáenfechaposterior(10deoctubre)alafechafocal,sedebeconsiderarcomoun

Valorfuturo,luegosecalculasuvalorpresente:

jk =$. $2#. ###$ + 2(#, #&+) =

$. $2#. ###$ + #, #) =

$. $2#. ###$, #) → jk = $$. #!h. )2d, "#

• Lasumadelascuentasporcobrar,calculadasel1ºdeagosto:

ásL4OKwsK7J4rkM3wMv343 = $$. #&+. ### + $$. #!h. )2d, "#

ásL4OKwsK7J4rkM3wMv343 = $2. #d$. )2d, "#

• Alestudiarlascuentasporpagar,seobservaqueyaestáncalculadasenel1ºdeagosto,asíquenose

requieretransformaciónalguna:

ásL4OKwsK7J4rkM3k4¨43 = $d##. ### + $&##. ###

ásL4OKwsK7J4rkM3k4¨43 = $$. $##. ###

1PxK3K7wP4:$2. #d$. )2d, "# −$$. $##. ### = $"d$. )2d, "#

• Solución:Sitodaslascuentas(porcobrarypagar)setrasladanal1ºdeagosto,setieneafecha,unsaldo

afavoriguala$981.728.90.

2.Unapersonadebepagar$10.000,convencimientoen3meses(sinintereses);$15.000en10mesesconinterés

del 20%CapitalizaciónTrimestral y$50.000, con vencimientoen15mesese interesesdel 30%Capitalización

Semestral(CS).Sivanasercanceladasconunsolopagode$X,enelmes12,hallarelvalorde$X,suponiendoun

rendimientodel24%CM(CapitalizaciónMensual).

Procedimiento

Primerosecalculanlosmontos:

a) ¿Cuántoserán$15.000dentrode10mesescon20%CT?

Latasaefectivatrimestralesdel5%


En10meses:

.KrKr N3PLKrJ3Kr$2 !$# I

→ I =$# ∗ !$2 → I =

!#$2 → I = &, &&&J3PLKrJ3Kr

jx = jk ∗ $ + P 7 → jx = $+. ### ∗ $ + #. #+ &,&&& → jx = $$). h!", #"

b) ¿Cuántoserán$50.000dentrode15mesescon30%CTlatasaefectivasemestralesdel15%yen15meses

hay2.5semestres(¿sien12meseshay2semestres,en15mesescuantoshabrá?)

En15meses:

.KrKr áKLKrJ3Kr$2 2$+ I

→ I =2 ∗ $+$2 → I =

&#$2 → I = 2, +rKLKrJ3Kr

jx = jk ∗ $ + P 7 → jx = +#. ### ∗ $ + #. $+ 2,+ → jx = $)#. "$$, $h

Alescogerlos12mesescomofechafocal(xx)yunatasadeinterésdel24%CM;setiene:

a = $#. ### ∗ $ + #. #2 " + $). h!", #" ∗ $ + #. #2 2 + )#. "$$, $h($ + #. #2)|&

a = $$$. "+#, "& + $$d. &h2. $$ + $hh. d2$, $) → a = $"). $&!, 2$

Nota1:Esfrecuenteenoperacionescomercialesexigirleundocumentonegociableaquienseendeuda.

De tal formaqueel valorque seencuentraescritoeneldocumentoyque soloesexigibleal vencimiento se

denominaValorNominal.Sieldocumentogeneraintereses,suValorNominalseráelMonto.

Laoperaciónderendimientoesconocidoporelnegociante(entrelaspartes).


Nota2:Elanteriorejemplorequiereparasucomprensi6nlosconceptosde:

• InterésCompuesto

• TasasNominales(laanual),y

• LaTasaEfectiva(ladelperíodo).

3.6.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO a. Definacadaunodelossiguientesconceptos,sdeacuerdoalotrabajadoeneldesarrollodeltema,sitiene

alguna dudad al responder, vuelva al tema y repáselo nuevamente, es muy importante que maneje

correctamentelaconceptualización.

1. ¿Quéesunatasadeinterésnominal?Déunejemplo

2. ¿Quéesunatasadeinterésefectiva?Déunejemplo

3. ¿Quédiferenciaexisteentreunatasadeinterésnominalyunatasadeinterésefectiva?

4. ¿Quéentiendeustedporperiododecapitalizacióndeintereses?

5. ¿Quédiferenciaexisteentrecapitalizaciónvencidayanticipada?

6. ¿Quéesinflación?

7. ¿Quéesdevaluación?

8. ¿Cómoinfluyelainflaciónyladevaluaciónenlarentabilidad?

9. Citealgunascausasdelainflación.

b.Resuelvalossiguientesproblemasdeaplicaciónsobrelostemasdesarrolladosenlaunidad,tengapresente

lateoríadesarrolladaeneltemaylosejerciciosdeaprendizajepresentadosalolargodeldesarrollodelos

temasdelaunidad.

1. UncapitaldePseinvirtióal6%semestralcompuesto.Alcabode5años,seconvirtióen$176.048.76.Se

desea saber ¿Cuáles son sus intereses, qué tasa de interés nominal, periódica y efectivame liquidaron? (R/

$79.084.76)

2.¿Quéserámejorinvertirparaéstosmomentos?

Unacuentadeahorrosquemepagael24%capitalizableMV


3.UnCDTquemepagael25%anualcapitalizadocadatresmeses

Dadaunatasadel33%TV,hallarlatasaefectiva.

2. Calcularlatasaefectivaanualequivalentealatasa38%trimestralvencido.

3. HallarlatasanominalliquidadaMVequivalentealatasade43.77%efectivo.

4. Completarelsiguientecuadro.

7.Convertir30%TAenunatasadeinterésmensualequivalente:

Eltemadetasasdeinteréscomprendecuatrotiposdeconversionesqueseresuelvenconunsolométodo,ellas

son:

A. Convertirtasasvencidasenotrastasasvencidas

B. Convertirtasasvencidasentasasanticipadas

C. Convertirtasasanticipadasentasasvencidas

D. Convertirtasasanticipadasenotrastasasanticipadas

8. Determinelatasadeinterésefectivaqueserecibeenundepósitobancario,silatasanominalesdel30%

yseconvierte:

(R/30%,32.25%,33.54%,34.45%)

a)Anualmente

b)Semestralmente

c)Trimestralmente

d)Mensualmente

9. Determinalatasanominalqueproduceunrendimientodel20%anualefectivo,si latasadeinterésse

capitaliza:


(R/20%,19.08%,18.65%,18.37%)

a)Anualmente

b)Semestralmente

c)Trimestralmente

d)Mensualmente

10. Determinalatasadeinterésnominalcapitalizabletrimestralmentequeresulteequivalenteaunatasadel

25%anualconcapitalizaciónsemestral

(R/24.26%)

11. ¿Qué tasanominal capitalizablemensualmente resulta equivalente a una tasadel 24%nominal anual

capitalizabletrimestralmente?Determineelmontoacumuladode$100.000alcabodeunaño

(R/13.83%,$114.749.99)

12. ¿Quétasadeinterésmensualresultaequivalenteaunatasadel25%semestral?

(R/3.789%)

13. ¿Quétasadeinteréstrimestralresultaequivalenteaunatasamensualdel2%?

(R/6.1204%)

14. ¿Quétasadeinterésefectivaanualresultaequivalenteaunatasadel8%trimestral?

(R/36.04%)

15. Determine una tasa anual con capitalización mensual que sea equivalente al 32.2% anual con

capitalizaciónsemestral.

Determineelmontoacumuladode$5.000alcabode2años

(R/30.2308%)

16. ¿Enquéserámejorinvertir?

Ø Enbonosquepaganel25%nominalanualpormesvencido

Ø EnCDT’squepaganel24%nominalanualliquidadoportrimestreanticipado.

(R/Rentanlomismo)

17. Unacorporaciónfinancierapagael33.68%efectivoanual.


Unclientedeseaquelepagueninteresespormesvencidoyotroportrimestreanticipado.¿Cuálserálatasaa

liquidaracadauno?

(R/2.448%mesvencido,7%Trimestreanticipado)

18. Hallarunatasanominalanual liquidadapormesanticipadoqueseaequivalenteal32%nominalanual

liquidadoportrimestreanticipado.

(R/32.8934%)

19. ¿Quétasadeinterésnominalanualliquidadaporsemestreanticipadoesequivalenteal26%nominalanual

liquidadoporsemestrevencido?

(R/23%)

20. Unaempresanecesita$8’000.000a tresmeses.Unbanco se losprestaal 8.5% trimestral anticipado.

¿Cuántoledebesolicitarparaqueunavezdeducidoslosinteresesleentreguenefectivamentelos$8’000?000?

(R/$8’743.169.40)

21. Unacorporaciónfinancierapagael2.5%mensualdeintereses,interesesquetienenunaretenciónenla

fuentedel7%¿Cuálserálatasamensual,despuésdedichoimpuestoycuálseríalaefectivaanual?

(R/2.325%mes,31.759año)

22. Compruebequeel12.36%paraciertoperiododetiempoyel6%paradosvecesesemismoperiodo,dan

lamismatasadeinterés.

(R/12.36%)

23. Hallarlastasasefectivasanualesequivalentesaunatasadel25%anualconcapitalización:

(R/$28.74%;28.09%,29.45%,30.61%,33.33%)

a)Mensual c)Trimestral e)Anual

b)Bimestral d)Semestral

24. Hallarlatasadeinteréstrimestralequivalenteaunatasadeinterésdel6.5%semestral.(R/3.198%)

25. Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente a una tasa de interés nominal anual del 27% con

capitalizaciónmensualanticipada.

(R/31.40%)

26. Hallarlatasabimestralequivalenteaunatasadeinterésdel6%semestral

(R/1.961%)


27. Silatasadecaptacióndeunacorporaciónesel8%trimestralyunclienteabreunCDTatresmesesde

$10’000.000ypideinteresesmensuales.¿Quétasadecaptaciónledaríaycuántohabráquepagarlecadamessi

retiralosintereses?

(R/2.6%mes,$260.000)

28. Unfondodeempleadospagael1.5%quincenal:

¿Cuáleslatasanominalylaefectivaanual?

¿Cuálserálanominalylaefectivamensual?

(R/36%Nominal,42.95%IE,3%Nominalmes,3.02%IEmes)

29. Hallarlatasaefectivaanualequivalenteaunatasanominalanualdel28%

Enlossiguientescasos:

a)Concapitalizaciónmensualvencida

b)Concapitalizacióntrimestralvencida

c)Concapitalizaciónmensualanticipada

d)Concapitalizacióntrimestralanticipada

(R/31.888%,31.0796%,32.7527%,33.6805%)

30. Hallarlatasaefectivaanualequivalenteaunatasanominalanualdel25%concapitalizaciónanualvencida

yconcapitalizaciónanualanticipada.

(R/25%,33.33%)

31. Hallarlatasaefectivatrimestralequivalenteaunatasanominalanualdel36%

(R/9%)

32. Hallarlatasaefectivatrimestralequivalenteaunatasaefectivaanualdel41.1981609%(R/9%)

33. Hallarlatasanominalanualconcapitalizaciónbimestralanticipadaequivalenteaunatasaefectivaanual

del35%.


(R/29.2722%)

34. Hallarunatasanominalanualliquidadaportrimestrevencidoqueseaequivalenteal30%nominalanual

liquidadaporsemestreanticipado.

35.Determinarunatasanominalanual liquidadaporsemestreanticipadoqueseaequivalenteal28%nominal

anualliquidadapormesvencido.

36. Hallarlatasaefectivatrimestralequivalenteaunatasadel6%semestralconcapitalizaciónvencida.

37. ¿Dequécapitalpodrádisponerunapersonaalcabode5años,siinvierteahora$60.000aunatasadel5%

trimestrallosdosprimerosañosyal6.5%trimestralalrestodeltiempo;todospagaderosalvencimiento?¿Qué

tasadeinterésperiódica,nominalyefectivameliquidaronencadaunodelosperíodos?

38. Dos hermanos recibieron comoherencia lamisma suma. El primero invirtió la suya al 28%anual con

capitalizacióntrimestralyelsegundoal27%anualconcapitalizaciónmensual.Sialostresañosymedioelprimero

tenía$195.173.20másqueelsegundo.

¿Aquétasadeinterésperiódica,nominalyefectivainvirtiócadauno?

39. Ciertocapitalseinvirtióaunatasaimensualcompuesta,alañoelmontoerade$239.261.04yalostres

añoserade$422.737.06.¿Cuáleselcapitalyaquetasanominal,periódicayefectivaestuvoinvertido?

(R/$180.000,2.4%)

40. Siinviertouncapitalde$476.113hoyenunfondoquecapitalizaal15%semestral,afindepoderdisponer

de $1’000.000 dentro de dos años y medio. ¿Qué tasa de interés periódico, nominal y efectivo me estarán

liquidando?

41. ACTIVIDAD Vaainvertir$10.000.000enunCDTyvaaanalizardondeesmásrentableysolicitaráinformaciónen3entidades

financieras:

Plazo, tasa de interés, forma de pago, (debe decir al asesor de la entidad que los intereses se capitalicen

periódicamente).

Elestudiantedebesolicitarlainversiónatasafijaytasavariable,(DTFeIPC).

Conbaseenloanteriorsedebecalcularlatasanominal,efectiva,periódica,retenciónenlafuenteyelvalora

recibir(VF)despuésdeimpuestos.



• Recuerdecomosedanlosperiodos:


MES MV MesVencido MA MesAnticipado

BIMESTRE BV BimestreVencido BA BimestreAnticipado

TRIMESTRE TV TrimestreVencido TA TrimestreAnticipado

SEMESTRE SV SemestreVencido SA SemestreAnticipado

AÑO AV AñoVencido AA AñoAnticipado

• Recuerdeque:Silatasaescapitalizable,necesariamentesetratadeunatasanominal,yaquelas

efectivasnosecapitalizan,sinoquesonlasqueresultanalcapitalizarlasnominales.

• Recuerdeque:Eltérminocapitalizabletienequeverconlosinteresescausadosporperíodoque

seleagreganalcapital.Elperiodopuedeser(diario-mensual-trimestral,semestral,anual).

• Tengapresenteque:Paranotenerquehallarprimeroelvalorfuturodeuncapital,despejarlos

intereses y dividirlo por el valor presente y saber que tasa de interés efectiva se liquida, se

utilizarálasiguienteExpresión:

%Öß = 1 + ÖW)û − 1 ∗ 100

• Recuerdeque:

a. LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:

b.



• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,o

sealaqueseliquidaencadaperíododelaño.


c. LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:





• Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasade

interésnominalyquepartiendodeéstasellegaráaunaefectiva.

• Recuerdeque:Elcálculodelatasaefectivaapartirdelatasanominalanticipada,estádadapor:

P =P4

$ − P4


P = N4r4zK7wPO4

• Tengapresenteque:silatasadeinterésanticipadaesmensual,alreemplazarlaenlaanteriorexpresión,


• Recuerdeque:Elprincipiofundamentaldeunaecuacióndevalorestableceque:




NOTAS IMPORTANTES









4 UNIDAD 3 ANUALIDADES, VALOR PRESENTE NETO Y TASA DE RETORNO

MatemáticasFinancieras:Enlace

Enlace:Anualidades-Matemáticafinanciera-Monografias.com

www.monografias.com›Matemáticas



DefinicióndeConceptos

Anualidad:Sonlosdiferentesplanesdepagoeinversionesencuotasfijasoconstantes,demaneraperiódica.

AnualidadVencida:Esaquellaenquelospagossehacenalfinaldeunperíodo.

AnualidadAnticipada:Enésta,lospagossehacenalprincipiodecadaperíodo.

TasadeRetorno:LaTIRtambiénsepuedeinterpretarcomolaMAXIMATASAdeinterésalaqueuninversionista

estaríadispuestoaobtenerunpréstamo,parafinanciarlatotalidaddelproyecto,pagandoconlosbeneficios,los

flujosnetosdeefectivo,latotalidaddelcapitalprestadoysusintereses,sinperderunsolopeso.

ValorPresenteNeto:Esunaciframonetariaqueseobtienealcompararelvalorpresentedelosingresosconel

valorpresentedelosegresosenunamismafechadeterminada.

Amortización:Tienencomofinalidadextinguirunadeudaendeterminadoplazo,concuotasperiódicas, fijaso

variables,aunatasadeinterésCsobresaldosdedeuda.

4.2 OBJETIVO GENERAL Aplicar los conceptos de anualidad, valor presente neto y la tasa interna de retorno en los diferentes planes

crediticiosyenlaevaluacióndeproyectosdeinversión.

4.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Identificarlosdiferentesplanesdepagoeinversionesencuotasfijasoconstantes,demaneraperiódicay

lasconsideracionesparaqueunaseriedepagoscumplancomoanualidades.

Identificar plenamente los dos métodos de aceptación universal para la evaluación de proyectos de

inversión,estoes:Valorpresenteneto(VPN)ylaTasainternaderetorno(TIR).

4.4 TEMA 1 ANUALIDADES Sonlosdiferentesplanesdepagoeinversionesencuotasfijasoconstantes,demaneraperiódica,quecumplen

conlassiguientescondiciones:


1. Todoslospagossondeigualvalor.

2. Todoslospagossehacenaigualesintervalosdetiempo,estoes,periódicos.

3. Todos los pagos son llevados al principio o al final de la serie a lamisma tasa, a un valor

equivalente,esdecirlaanualidaddebetenerunvalorpresenteequivalenteounvalorfuturo

equivalente.

4. Elnúmerodepagosdebeserigualalnúmerodeperíodos.

Nota: Las condicionesanterioresobedecena ciertasnormasy tienenalgunas implicaciones,porejemplo: la

segundacondiciónsécumpleaunsilospagossehacencadamesocadatrimestreysinembargolaseriesesigue

llamandoanualidades.

Lasanualidadessedandedosformas:

1. AnualidadVencida

Esaquellaenquelospagossehacenalfinaldeunperíodo,porejemplo,elpagodelsueldodeunempleado,mes

pormesdurante12meses(1año),veamoslarepresentaciónatravésdeundiagramadelíneasdetiempo,así.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12meses

$ASueldo Fig.1

a. Valorpresentedeunaanualidadvencida

Eselvalorubicadoenelperíodoanterioralperíododelafechadelprimerpago,equivalenteaunaseriedepagos

igualesyperiódicos,esdecir,lasumadetodoslosvalorespresentesdetodoslospagos.

R =â

($ + P) +â

($ + P)2 + ⋯+â

($ + P)7


jR = â($ + P)7 − $P ($ + P)7

Nota:Elvalordentrodelcorchetesellamaelfactordelvalorpresentedeunaserieuniforme.

Donde:

7:eselnúmerodepagos

â:Valordecadapago

jR:Eselvalorpresentedeunaseriedepagosigualesyperiódicos

n:Latasadeinterés.

b. Valordelacuotaenfuncióndelvalorpresente

Estádadaporlasiguienteexpresión:

â = jR($ + P)7

($ + P)7 − $

Nota:Elvalorentrecorchetessedenominafactorderecuperacióndecapital.

c. ValorFuturodeunaAnualidadVencida

jx = â($ + P)7 − $

P

Nota:Elvalorentrecorchetessedenominacantidadcompuestadeunaserieuniforme.

d. Valordeunacuotaenfuncióndelvalorfuturo

â = jxP

($ + P)7 − $

Nota:Elvalorentrecorchetessedenominafondodeamortización.


e. Cálculodeltiempodenegociación

Eselnúmerodecuotasnecesariasparaamortizarunaobligación.Cuandosetrabajaconanualidadesvencidas,el

tiempodeoperaciónmedidoennúmerodeperíodos,algunasvecescoincideconelnúmerodepagoselcualno

siempresecumple.

7 = £íÆâ − £íÆ â − jR ∗ P

£íÆ $ + P

2. AnualidadAnticipada

En ésta, los pagos se hacen al principio de cada período, se puede presentar como ejemplos de anualidad

anticipada:

Elpagomensualdelarriendo,anticipadomesxmes,durante12meses.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12meses

$AArriendo Fig.2

• Lospagosarrendamientosanticipados,

• Lascuotasanticipadasporelfinanciamientodeunelectrodoméstico.

Nota:Claramenteenlosdiagramas,quesiunaanualidadempiezaconperíodoterminaconpago(fig.

1)ysi,empiezaconpagoterminaconperíodo(fig.2).

• Conceptoscomplementarios

Esbastanteimportantedeterminaralgunosconceptosantesdedefinirlasexpresionesqueseutilizaránparalos

cálculosconanualidadesanticipadas.

• Renta:Eselpagoperiódicodeigualvalor,correspondeac/u,delos$Adelosdiagramasanteriores.

• Periododelarenta:Eseltiempoquetranscurreentredospagosperiódicoscontiguos

• Plazodeanualidad:Eltiempoquetranscurreentreelprincipiodelprimerperíodoyelfinaldelúltimo

período,serepresentaporn.

• Valordeunaanualidadordinaria:Unaanualidadtienedosvalores:


VALOR DEFINICIÓN

Elvalorfuturo Enelcualtodoslospagossontrasladadosalfinaldelaanualidad

enelperíodocorrespondientealúltimopago.

Elvalorpresente Enelcual lospagossontrasladadosalpresentede laseriede

pagosubicandounperíodoantesdelperíodocorrespondiente

alprimerpago.

TABLA DE FACTORES A INTERÉS COMPUESTO

Hallar Dado Fórmula Factor

1 jx jk jx = jk ∗ ($ + P)7 jxjk, P,%, 7

2 jk jx jk = jx($

($ + P)7jkjxP,%, 7

3 jx âjx = â (

$ + P 7 − $P )

jxâ P,%, 7

4 â jx â = jx$

($ + P)7 − $ âjxP,%, 7


5 â jk â = jkP ∗ ($ + P)7

($ + P)7 − $ âjkP,%, 7

6 jk âjk = â

P ∗ $ + P 7 − $$ + P 7

jkâ P,%, 7

Latablaanteriorresumelosvaloreshalladosparacadavariableenrelaciónconlasdemás,suponiendounatasa

deinterésdelP%yunaduraciónde7períodos.

Cadafactor,enordenconsecutivoalatablaanterior,recibeelnombrede:

1. Factordecantidadcompuestoenpagosimpleoúnico.

2. Factordevalorpresenteparapagosimpleoúnico.

3. Factordecantidadcompuestaporunaserieuniforme.

4. Factordefondodeamortización.

5. Factorderecuperacióndecapital.

6. Factordevalorpresentedeunaserieuniformedepagos.

Es conveniente dar una breve explicación a c/u de los factores expresados en la tabla de factores de Interés

Compuesto,acercadesusignificaciónyempleo:

$.jx = $ ∗ ($ + P)7Expresaelmontoqueseobtienedespuésde7períodosinvirtiendounpesoauna

tasadeinterésP,enformacompuesta.Sirveparacapitalizarunsolovalor.

0

|__________________7

1…−→ ⋯−−→ ⋯−.→ ⋯−→ jx = $ ∗ ($ + P)7

2. jk = jx($

(${P)7),Indicaelvalorpresentedelpréstamoparaamortizarporperíodosigualesdetiempo.

Actividad:Realizalalíneadetiempocorrespondiente.


3. jx = $ (${P)7|$P

Indicaelmontoqueseobtienedespuésdenperíodos;invirtiendounpesoporperíodo

a una tasa de interés i en forma compuesta. Sirve para capitalizar varios valores iguales y de vencimientos

consecutivos.

|___1___2___3_____7 − $____|711111

| jx = $ (${P)7|$P

4. â = jx$

(${P)7|$

Indicaelvalordelacuotaqueesnecesarioinvertirporperíodoaunatasadeinterési;enformacompuesta

paraobtenerdespuésdenperíodos1unmontodeunpeso.Eselinversodelfactortres.(Tabladefactores

compuesto).

Con: á7 = ($ + P)7 − $

jx = â(á7P), Si jx queda: 1= â á7

P) , OM7OK:

â = $á7P,Siendo

áP una denotación idéntica a:

jxâP%, 7

+.â = jk

P∗(${P)7

(${P)7|$Indicaelvalordelacuotaquesedebepagarporperíodo,paraamortizarunpréstamodeunpesohechoan

períodosaunatasadeinterési.Eselinversodelfactor(∞±≤,i%,n).

0


jk = â(47P),

Si jk = $ → $ = â 47P

→ â = $47P

Siendo47P,unadenotación

jkâP%7

h.jk = âP ∗ $ + P 7 − $

$ + P 7

Indicaelvalordeunpréstamoquesepuederecibirhoyparaamortizarloen

7kK3íMOMr,pagandounpesoporperíodoas74J4r4OKP7JK3érPsobresaldosdedeuda.Esunfactorquedescuenta,portanto,sirveparaactualizarvariosvaloresigualesydevencimientosconsecutivos.

0 1 2 3 2 7 − $7

| | | | | |

1 1 1 1 1 1

jk = $(â7JP )

(â7JP): Denotación idéntica a (jk

â, P%, 7)

Destacarelhechodequelafinalidaddelasanualidades(Rentas)esconstituiruncapitaloextinguirunadeuda,

paraelprimercasosepuedehablardeimposición,paraelsegundodeamortización.

Con las imposiciones se busca constituir un capitalmediante la inversión periódica de un pago (cuota) fija o

variable,aunatasadeinterésPsimpleocompuesta;Supagosepuedehaceralprincipiooalfinaldelperíodo.

Detalforma,unainversiónde$Aporperíodoydurante7períodosaunatasaPcompuestaenformavencida,

tieneporexpresiónlasfórmulasdeterminadasparaello.

(Vertabladefactoresainteréscompuesto).


Acontinuación,sedeterminaránlasexpresionesparalasanualidadesanticipadas:

a. Valorpresentedeunaanualidadanticipada.

jR = â($ + P)$ + P 7 − $P($ + P)7

b. Valorfuturodeunaanualidadanticipada

jx = â($ + P)7{$ − ($ + P)

P

c. Valordeunacuotaenunaanualidadanticipada

â = jR

$ + $ + P 7|$ − $P $ + P 7|$

d. Cálculodeltiempodenegociación

Eselnúmerodepagos,pagaderoscadaunoalprincipiodelperíodoyquesonnecesariosparaamortizaruna

obligación,estesepuedecalcularenfuncióndelvalorpresenteodelvalorfuturo:

• Enfuncióndelvalorpresente,estádadaporlasiguienteexpresión:

7 =£íÆâ − £íÆ â − n(jR − â)

£íÆ $ + P + $

• Enfuncióndelvalorfuturo,estádadaporlasiguienteexpresión:

7 =£íÆ

jxâ + ($ + P)

£íÆ($ + P) − $


4.4.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO Realizar los siguientes ejercicios aplicando los conceptos vistos; realízalo en forma colaborativa con tus

compañerosyconfróntaloconeltutor.

Recuerdequedebedesarrollarelcientoporcientodelostalleres,eslaúnicaformaquegarantizaellogrodelos

objetivospropuestosenelcurso.Eltutor,alfinalizarestaunidadexigiráacadaestudiantelaentregadelostalleres

desarrollados,éstostendránunanotaimportanteenlaevaluaciónfinal.

1. Dequécapitalpodrádisponerunapersonaalcabode10años,siduranteellosinvierte$2.000.000alfinal

decadasemestre,enunfondoquelepagael18%anualconcapitalizaciónsemestral.

Nota:Cuandolosdiferentespagos(Restas)sevaloranalprincipiodelplazo(puntofocal:Hoyprincipiodelperíodo

unoqueeselcero)estamosfrentealasamortizaciones.

Lasamortizaciones:Tienencomofinalidadextinguirunadeudaendeterminadoplazo,concuotasperiódicas,fijas

ovariables,aunatasadeinterésPsobresaldosdedeuda.

Lasamortizacionespor logeneralsondepagovencido,porque,sisetomaunpréstamoparaamortizarlocon

cuotastrimestrales,laprimeradebepagarsealtrimestresiguienteynodescontarsedeinmediato;queesbien

diferenteapagarinterésanticipadoyalacuotainicialenalgunossistemasdefinanciación.

Tengapresente:Quecadapago(anualidad) incluye:amortizacióndecapitale interesessobresaldosdedeuda

tratandosedeamortizaciones

2. ¿Quépréstamosepuedeamortizaren5añosaunatasadel25%anualpagandocuotasde$2.000.000

anuales?

Elaboraruncuadrodeamortizacióndelejercicioanterior,teniendoencuenta:

Quelosinteresesseliquidansobreelsaldodedeuda, Queelsaldodedeudaalfinaldeunperíodoeselinicialdelsiguiente,y Quelacuotacontieneinteresesyamortizacióndecapital.

Acontinuación,losenunciadosqueencabezanlascolumnasparaelcuadrodeamortización:

• Período,

• Deudaalprincipiodelperíodo,

• Interés,

• Anualidad(cuota),

• Amortizaciónreal,


• SaldodeudaalfinaldelPeríodo.

Nota:Lasanualidadesconformanunaclasificaciónatendiendoacriterios,entreotroscomolossiguientes:

1. Segúnlospagospuedenser:

a) Constantes,osea,aquellospagosenloscualestodoslostérminossoniguales.

b) Variables,cuandotodoslostérminossondiferentesentresí:

Nota:Apartirdelnumeralb,surgendossituaciones:

Una, en la cual en la posición(7n + n) hay una base Q ,la cual semodifica al final de todas las posiciones

siguientes, hasta la posición 2, en una cantidad uniforme denominada GRADIENTE (G) conocida en términos

generalescomogradientearitmético(verdiagramadelíneasdetiempo)Figura1.

7$:Posicióndondenohaypago,anteriorenunperíodoalaBase.

7$ + $:Posicióndondeestáelprimerpago.(Sumabase).

n1 n2

0 1 2 3 4 5

1.000

1.200

1.400

1.600 Variaciónlinealoaritmética

7$ + 2:PosiciónenquesedaelGradiente.

B=1.000 Gradiente200 Plazodeanualidad:1®5

Observequelaposiciónquepuedenocupar7$•72,vadeacuerdocondiferentessituacionesrepresentadasenlaslíneasdetiempo.Ademásqueenlaposición7$nohaypagoyqueelprimergradienteserepresentaenla

posición(7$ + 2).


La otra situación o circunstancia obedece a que en la posición (7$ + $) hay una sumabase (T), la cual se

modifica al final de todas las posiciones siguientes, hasta la posición72, en una proporción o porcentajeconstantedenominadatasadeescalamientoyseconoceengeneralcomogradientegeométrico.Obsérveseque

enlaposición7$,nohayflujo(pago)yquelaprimeravariaciónsedaenlaposición(7$ + 2).

Nota:Esdesumaimportancia,elestudiodeestetipodegradientes,porqueseutilizaen:

• Losfenómenosdelcrecimientodelíndicedecostosalconsumidor,

• Tasadecrecimientodelasdemandasy

• Engeneral,paraestudiarlasproyeccionesdeungrannúmerodeparámetros.

3.¿Quésignificavalordeldineroeneltiempo?

4.¿Cómoseexplicaelhechodequedoscantidadesdistintasdedineropuedenserequivalentesentresí?

5.¿Quéinversiónaceptaríaellector,suponiendoquelehanofrecidolaoportunidaddeinvertir$10.000al21%

anualsimpledurantetresaños,olosmismos$10.000al20%anualcompuesto,durantetresaños?

4.5 TEMA 2 EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN Unainversiónesunaasignaciónderecursosenelpresenteconelfindeobtenerunosbeneficiosenelfuturo.No

solo se entiende como inversión el desembolsodedinero sino tambiénel tiempodeque alguiendedica a la

capacitaciónenuncampoespecificodelsaber.

Todoinversionistafrenteunainversiónloprimeroquesepreguntaes:


¿ME CONVENDRÁ DICHA INVERSIÓN?

Paraqueestoseaunarealidadesnecesario:

• Recuperarlainversióninicial,y

• Obtenerunosexcedentes(intereses);

Nota: Estos deben superar la tasa de oportunidad, este debe superar la tasa que el inversionista está

acostumbradoamanejar(tasadeoportunidaddelinversionista).

Existendosmétodosdeaceptaciónuniversalparaevaluarproyectosdeinversión:

• Valorpresenteneto(VPN).

• Latasainternaderetorno(TIR).

Nota:Losfondosrequeridosparacubrirlainversióninicialpuedenprovenirdediferentesfuentes,talescomo:

• Recursospropios.

• Préstamodeterceros.

• Combinaciónderecursospropiosypréstamodeterceros.

1. Valorpresenteneto(VPN)

Esunaciframonetariaqueseobtienealcompararelvalorpresentedelosingresosconelvalorpresentedelos

egresosenunamismafechadeterminada.

Paraqueunaempresapermanezcaenelmercado se requiereque,éstasenun largoplazo, sean rentables y

líquidas.

Laexpresiónparacalcularelvalorpresenteneto(VPN)estádadapor:

jRä(N≥) = jRn − jRH

Dónde:

jRä:ValorPresenteNeto

N≥:TasadeOportunidad

jRn:ValorPresentedelosIngresos


jRH:ValorPresentedelosEgresos

jRä(N≥) = −R +qäH$

($ + N.≥)$ +qäH2

($ + N.≥)2 + ⋯+qäH7

($ + N.≥)7

R:InversiónInicial

qäH:FlujoNetodeEfectivo

N.≥:TasadeOportunidad(Costodedinero)

• CriteriosparaseleccionaralternativasdeacuerdoalVPN:

Elresultadodelaexpresiónanteriorgenera3alternativas:

1. CuandoeljRäesmayorquecerolaalternativasedebeACEPTAR.

jRä > # → âwKkJ43

2. CuandoeljRäesigualaceroesindiferenteaceptaronolaalternativa.

jRä = # → n7OPxK3K7JK

3. CuandoeljRäesmenorquecerolaalternativasedeberechazar.

jRä < # → lKw∂4543

2. Latasainternaderetorno(TIR)

AlanalizarelVPN,estesehacedeacuerdoaunatasadeoportunidaddelinversionista,estoquieredecirquepara

dosinversionistasayb:

• Paraaconunatasadeoportunidaddel10%,y

• Parabconunatasadeoportunidadde15%

Esposiblequeunproyectoseallamativoparaambosinversionistas,osoloparaunodeellos,oparaninguno.


SedefinelaTIRcomolatasadeinterésquehaceeljRä = #,esdecir,elvalorpresentedelosflujosdescontadosseaigualalainversióninicial.

Nota:LaTIRtambiénsepuedeinterpretarcomolaMAXIMATASAdeinterésalaqueuninversionistaestaría

dispuestoaobtenerunpréstamo,parafinanciarlatotalidaddelproyecto,pagandoconlosbeneficios,losflujos

netosdeefectivo,latotalidaddelcapitalprestadoysusintereses,sinperderunsolopeso.

4.5.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Esteejercicioseremiteaanalizarelpasoapasodeunprocesodeinversióndadoenelenlace(vernumeral3)y

lossiguientesvideos,enellosencontrarásampliainformacióndeltema,ademáslaresolucióndeejerciciosysu

manejoatravésdeherramientascomoelExcel:

Video:Matemática-ValoractualnetoVANyTasainternade...

www.youtube.com/watch?v=xL5P3SO-SyQ(10:51minutos)

Video:ComoCalcularelVANylaTIRenExcel|EjemploPráctico...

www.youtube.com/watch?v=k_ul2Zl9rMQ(4:09minutos)

Enlace:DOC]:EjemploPasoaPaso:

npadron.webs.ull.es/.../Ejemplo%20ACB%20Paso%20a%20Paso.doc

4.5.2 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO 1. Definelossiguientesconceptos,esdemuchaimportanciaquelohagas,yaquetepermitiránenfrentar

lostalleresaplicativossindificultad,encasodenotenerclarounconceptoregresaaltemayrepásalo

nuevamente.

a) ¿Quéesunaanualidad?Déunejemplodelavidacotidiana.

b) ¿QuéesunaTIR?Déunejemplo.

c) ¿QuédiferenciaexisteentrelaTIRylaVPN?

d) ¿Quéentiendeustedporamortización?

e) ¿Quédiferenciaexisteentredepreciaciónyamortización?


EJERCICIOS SOBRE ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES a. Unaempresavendepianosconunacuotainicialde$300.000y12cuotasmensualesde$200.000cada

unasioperaaunatasadel24%concapitalizaciónmensual.Hallarelvalordecontado.

b. Una cooperativa ofrece un préstamo de $3.000.000 a tres años a una tasa del 26% capitalizable

bimestralmenteyustedpuedecancelarlopormediodecuotasmensualesiguales.Hallarelvalordecada

cuota.

c. Elpropietariodeunapartamentotienelassiguientesalternativas:

1.venderlodecontadopor$70.000.000

2.Arrendarlo,conuncanondearrendamientode$500.000mesvencidodurante4añosyal finaldel

mismovendérseloalaquilinopor$60.000.000si latasaesdel36%capitalizablemensualmente.¿Cuál

decisióndebetomar?

d. Paracompraruncomputadorelclientetienelassiguientesopciones:

1. Compraracréditoasícuotainicialde$400.000y12cuotasmensualesde$100.000cadauna.

2. Comprardecontadovalor$1.500.000

¿Cuáleslamejoropcióndecompra?

e. Unvehículotieneunvalordecontadode$40.000.000yseadquierefinanciadoconel30%decuotainicial

yelrestoen36cuotasigualesmensuales.Calcularelvalordelascuotassilaprimerasepagaalfinaldel

mes4.Latasadefinanciaciónesdel28%capitalizablemensualmente.

1. Losinteresesduranteelperiododegraciasecancelanmensualmente.

2. Losinteresesnosecancelanduranteelperiododegracia.

¿Cuáleselvalorapagarenelmes4?


EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN a. Carloscompraunapartamentopor$50.000.000yesperaarrendarlopor$1.000.000pagaderosdeforma

vencidaalpartirdelprimermesydurante36meses,cuandoesperavenderlopor$70.000.000.Sisutasa

deoportunidadesdel3%mensual.¿Hizounbuennegocio?

b. Un electrodoméstico tiene un precio de contado de $2.000.000 se financia en 20 cuotasmensuales

anticipadade$130.515,93.¿Quétasadeinterésmensualcobraronporlafinanciación?

c. Unaempresatransportadoradeseaadquiriruntractocamiónporunvalorde$200.000.000.Laempresa

la utilizaría durante 5 cuando espera venderla por $120.000.000. Se esperan beneficios anuales de

$20.000.000yunoscostosdemantenimientode$8.000.000.Si la tasadeoportunidadde laempresa

transportadoraesdel15%anual.Serecomiendalacompradeltractocamión.

d. ElbancoBBVAotorgauncréditode$50.000.000aunatasadel24%anualconcapitalizacióntrimestral

plazo un año. La deuda debe ser cancelada en cuatro cuotas iguales de $12.500.000 por trimestres

vencidos,máslosinteresessobresaldos.Elbancocadavezquerecibelascuotastrimestralesconformadas

porlosinteresesylacuotadeamortizacióndeladeuda,losreinvierteaunatasadel8%trimestralcalcular

laTIRylaVPNsilatasadeoportunidadesdel6%trimestrevencido.

e. Seinviertenun$1.000.000conlaexpectativaderecibir$200.0000alfinaldecadaunodelossiguientes

10años.CalcularlaVPNsilatasadeoportunidadesdel4%anualyhallarlaTIR.

PISTA DE APRENDIZAJE

Recuerdeque:






jRä < # → lKw∂4543

Recuerdeque:


Se define la TIR como la tasa de interés que hace eljRä = #, es decir, el valor presente de los flujos

descontadosseaigualalainversióninicial.

4.6 TEMA 3 INGENIERÍA ECONÓMICA 1. Introducción

Cuando sehablade IngenieríaEconómica, seestáhablandodeunaevaluaciónovaloraciónde los resultados

económicosobtenidosde las soluciones sugeridasdesde la ingeniería, estoes, lasdecisionesque se tomany

aconsejan desde su labor para lograr que una empresa sea altamente rentable y competitiva en elmercado

económico.

LaIngenieríaEconómicaintegralosconocimientosdeingenieríaconloselementosbásicosdelaEconomía,porlo

tanto, es un conjunto de herramientas, a través de las cuales se analiza cuantitativamente la viabilidad o

factibilidadeconómicayfinancieradelosproyectosdeinversión.

Podemosdecirentoncesquelaingenieríaeconómicaesunconjuntodetécnicasparatomardecisionesdeíndole

económicaenelámbitoindustrial,considerandosiempreelvalordeldineroatravésdeltiempo,porlotanto,es

ladisciplinaquesepreocupadelosaspectoseconómicosdelaingeniería;implicalaevaluaciónsistemáticadelos

costosybeneficiosdelosproyectostécnicospropuestos.

ElprincipalobjetivodelaIngenieríaEconómicaestádadopor:

LATOMADEDECISIONESBASADAENLASCOMPARACIONESECONÓMICASDELASDISTINTASALTERNATIVAS

DEINVERSIÓN

Losmétodosempleadosparaestatomadedecisionesvandesdeelusodehojasdecálculoestandarizadaspara

evaluaciones de flujo de caja, hasta procedimientos más elaborados, tales como el análisis de riesgo e

incertidumbre,ypuedenaplicarsetantoainversionespersonalescomoaemprendimientosindustriales.

Podemosdecirentoncesquelaingenieríaeconómicaesunaseriedeconceptosytécnicasmatemáticasaplicadas

en:

• Elanálisis,

• Lacomparación,y

• Laevaluaciónfinancieradealternativasrelativasaproyectosdeingeniería.


Proyectosgeneradospor:

• Sistemas,

• Productos,

• Recursos,

• Inversiones,y

• Equipos.

• Porlotanto,laingenieríaeconómicaesunaherramientadedecisiónpormediodelacualsepodráescoger

unaalternativacomolamáseconómicayconlosmayoresbeneficiosposibles,favoreciendolainversión.

• Acontinuación,sedantresnotasdesumaimportanciaparaquelassugerencias,dadasdesdelaingeniería,

puedansertenidasencuentayaprobarseparasuaplicación:

Nota1:Paraquepuedanaprobarseen loeconómico, las resolucionesde losproblemasdeben impulsarun

balancepositivodelrendimientoalargoplazo,enrelaciónconloscostosalargoplazoytambiéndebenpromover

elbienestarylaconservacióndeunaorganización,construiruncuerpodetécnicaseideascreativasyrenovadoras,

permitir la fidelidad y la comprobación de los resultados que se esperan y llevar una idea hasta las últimas

consecuenciasenfinesdeunbuenrendimiento(Sullivanetal.,2004,p.3).

Nota2: “Lamisiónde la ingenieríaeconómica consisteenbalanceardichasnegociacionesde la formamás

económica”(Sullivanetal.,2004,p.3).

Nota3:Principalmentelaingenieríaeconómicaproponeformular,estimarycalcularlosproductoseconómicos

cuando existen opciones disponibles para proceder con un propósito definido, en resumen, es un grupo de

métodosmatemáticosquefacilitanlascomparacioneseconómicas(BlankyTarquin,2006,p.6).

Cuandose realizaunestudiode IngenieríaEconómica,dentrode laspreguntasmás frecuentesquesehacen,

quieneslorealizan,dependiendo,claroestá,deloquesebusca,puedenserpreguntastalescomo:

• Cuandosetratadenuevosdiseños:¿Quédiseñoseeligeentrevariasalternativassimilares?

• Cuandose tratadenuevosequipos:¿Debereemplazarseelequipoenusoporunonuevo?,yencaso

afirmativo,¿cuándodebesustituirse?

• Cuandosetratadebeneficios:¿Losbeneficiosesperadosdelproyectosonsuficientesparajustificar la

inversión?

• Cuandosetratadeseguridaddelproyecto:¿Espreferibleunproyectoconservadorymásseguroouno

demayorriesgoqueofrecebeneficiossuperiores?

Dichaspreguntastienencaracterísticascomunes:

• Implican una selección entre las diferentes opciones técnicas que se pueden evaluar para obtener

resultadosóptimos.


• Entodasestáninvolucradasconsideracionesdetipoeconómico.

• Existenotrascaracterísticasmenosevidentes,talescomo:

1. Elrequerimientodedatosadecuados,y

2. Elconocimientodelasrestriccionestecnológicasparaladefinicióndelproblemaylaidentificación

delasposiblessoluciones,parapoderdeterminarlasoluciónóptima.

Acontinuación,seencuentrandosconceptosdesumaimportanciaparalaIngenieríaEconómicaenelmomento

derealizarsugerenciasyplantearnuevosProyectos:

Factibilidadeconómica

Lafactibilidadeconómicadeunproyectotienequeverconlosbeneficiosdeinversiónderecursoseconómicosen

unaalternativadeterminada,sinimportarlafuentedeestosrecursos.

Enelanálisisdelafactibilidadeconómicaseevalúaladecisióndeinversiónindependientedeldueñodelproyecto,

seenfatizaúnicamenteenlosrecursoscomprometidosenlaempresa,excluyendoelorigendeestos.

FactibilidadfinancieraLafactibilidadfinancieradeunproyectodeinversióntieneporobjetoevaluarelretornoparalosinversionistas.

Enestaetapaloqueinteresaesdeterminarsilainversiónefectuadaporelinversionista,obtienelarentabilidad

esperadaporél.

Leermás:http://www.monografias.com/trabajos99/ingenieria-economica-generalidades/ingenieria-economica-

generalidades.shtml#ixzz3lLlY1AKw

• ConceptosbásicosdelaingenieríaEconómica

Acontinuación,seencuentranlosconceptosylosmomentosfundamentalesparaunprocesodeIngeniería

Económica:

1. ImportanciadeleingenieríaEconómica.

• Determinarclaramenteelprocesoparaladetomadedecisiones.

• Definirclaramentelosconceptosqueseinvolucraránparalatomadedecisiones.

• Referenciar problemas de ingeniería económica exitosos, que ayuden a definir con claridad nuestro

proceso.

2. Lasdecisioneseconómicasquetomanlosingenierosyotrosprofesionalesporlogeneralson:

• Elresultadodelaeleccióndeunaalternativasobreotra.Deahí laimportanciadelaingeniería

económicacomounaherramientaparalatomadedecisiones.

• Las decisiones influyen en lo que se hará, elMarco de Referencia Temporal de la ingeniería

Económicaes,básicamente,elfuturo.

3. LaIngenieríaeconómicaimplica:


• Formular,estimaryevaluar los resultadoseconómicoscuandoexistanalternativasdisponibles

parallevaracabounpropósitodefinido.

• Unconjuntodetécnicasmatemáticasquesimplificanlascomparacioneseconómicas.

4. Paraladefinicióndelproblemasedebenconsiderarlossiguienteselementos:

a. Comprensióndelproblemaydefinicióndelobjetivo.

b. Recopilacióndeinformaciónrelevante.

c. Definicióndeposiblessolucionesalternativasyrealizacióndeestimacionesrealistas.

d. Identificacióndecriteriosparalatomadedecisiones.

e. Evaluacióndecadaalternativaaplicandounanálisisdesensibilidad.

f. Eleccióndelamejoralternativa.

g. Implantarlasolución.

h. Vigilarlosresultados.

5. DefinicióndeelementosimportantesenlaelaboracióndeProyectosdeInversión:

• Proyecto:conjuntodeactividadesinterrelacionadas,conuninicioyunafinalizacióndefinida,queutiliza

recursoslimitadosparalograrunobjetivodeseado.

• Capital:Eslacantidadderecursos,bienesyvaloresdisponiblesparasatisfacerunanecesidadollevara

cabounaactividaddefinidaygenerarunbeneficioeconómicoogananciaparticular.

• Valordeldineroeneltiempo:Variacióndelacantidaddedineroenunperiododetiempodado.

• Interés:eslamanifestacióndelvalordeldineroeneltiempo.Estádadopor:

Ladiferenciaentrelacantidadfinaldedineroylacantidadinicial.

• Tasadeinterés:eselinteréspagadoenlaunidaddetiempoyseexpresaenporcentaje(%).

• Periododeinterés:Unidaddetiempodelatasadeinterés.

• Tasaderendimiento:Interésganadoduranteunperiododetiempoyseexpresacomoporcentaje(%).

TambiénsellamaRendimientoSobrelaInversión(RSI)yTasadeRetorno(TR),estocuandoseasignan

grandescantidadesdedineroenproyectosdeingeniería.

• Tasamínimaatractivaderendimiento(TMAR):tasarazonableparalafasedeeleccióndecriterios.

• Análisisdesensibilidad:Elquesellevaacaboparadeterminarcómopodríacambiarladecisióndeacuerdo

conestimacionesvariables,enespecialaquellasquepodríanvariardemanerasignificativa.

• Alternativas:Opcionesindependientesqueimplican

• Unadescripciónverbal,y

• Lasmejoresestimacionesdeparámetros.


• Costosanualesdeoperación(CAO)ocostosdemantenimientoyoperación(CMO):Sonlasestimaciones

detodoslosgastosanuales.

• Valorde salvamento:Aquellapartedel costodeunactivoqueseespera recuperarmediante ventao

permutadelbienalfindesuvidaútil.

6. Flujosdeefectivo:sonlasentradas(ingresos)ysalidas(costos)estimadasdedinero.

EntradasdeEfectivo• Gananciadeinterés

• Valordesalvamento

• Reduccionesdecostodeoperación

• Ahorrosenimpuestossobrelarenta

SalidasdeEfectivo• Costodediseño

• Costodeadquisición

• Impuestossobrelarenta

• Pagosdeinterés

7. Diagramadeflujodeefectivo:eslarepresentacióngráficadelosflujosdeefectivoduranteunperiodode

tiempodeterminado.

Referenciadode:INSTITUTONACIONALDEFORMACIÓNTÉCNICOPROFESIONALINFOTEPConceptosBásicos

deIngenieríaEconómicaFacilitadorJoelS.FaneiteRossGerenciaRegionalCentralCentroTecnológico28de

noviembre2010.

ACTIVIDAD

Serecomiendaquevisiteseelsiguienteenlace,paraquerealicesunescritodedospáginasylocompartascontus

compañerosatravésdeunforodediscusiónyluegoseloenvíenaltutorparasuvaloración:

Enlace:Laingenieríaeconómicayloscriteriosdeevaluaciónenproyectosdeinversión

domingo, 4 de marzo de 2012 Etiquetas: Alternativas de inversion, Criterios de decisión, DECISIONES, Evaluación, Flujos de

Efectivo,INGENIERIAECONOMICA,Proyectosdeinversion0comentarios


2.VALORDELDINEROENELTIEMPO

(GradientesAritméticoyGeométricoysurelaciónconelPresente)

Losproyectosdeinversióngeneranflujodeefectivoodisminuyenciertacantidadconstantecadaperiodo.

Esposible,también,quedichosproyectosgenerenflujosqueseincrementenenciertoporcentajeconstantecada

periodo.

Porlotanto,paralaIngenieríaEconómicasedefineelGRADIENTEcomolarazóndeCrecimientoConstanteen

CantidadoPorcentaje.

• GradienteAritmético

Se representa porG y se denominaGradienteAritmético oGradienteUniforme, se denomina de esta forma

porqueunaseriedeflujosdecajadadaaumentaodisminuyedeformauniforme.

Nota1:LacuantíadelaumentooladisminucióneselGradiente.

Nota2:Bienseaingresoodesembolso,cambiaenlamismacantidadcadaaño

ParaelGradienteAritméticosedaque:

• Cadapagoesigualalanteriormásunaconstante.

• SilaconstanteespositivaelGradienteseráCreciente.

• SilaconstanteesnegativaelGradienteseráDecreciente.

• SilaconstanteesigualaCero,todoslospagosseránigualesylaserieseconvertiríaenuna

Anualidad.

Nota:EnunGradientetodoslospagossondiferentes,porlotanto,sedalanecesidaddediferenciarunpagodel

otroparaelefectoseprocederádelasiguientemanera:

Lospagosserepresentarándelasiguienteforma:

Seanl7 los7pagosarealizary∑laconstantedeterminada,setieneentoncesque:

Primerpago:l$

Segundopago:l2 = l$ + ∑Tercerpago:l& = l2 + ∑ = l$ + 2∑


Cuartopago:l! = l& + ∑Perol& = l$ + 2∑entonces:l! = l$ + &∑

Pagoenésimo(l7)estádadopor:

l7 = l7|$ + ∑ = l$ + 7 − $ ∗ ∑Porlotanto,elúltimotérminoestádadopor:

l7 = l$ + 7 − $ ∗ ∑

4.6.1 EJERCICIO DE APRENDIZAJE 1. RealizarlagráficadeunGradienteAritméticode6pagosconprimeracuotade$1.000.000y

a. Crecimientode$30.000,y

b. Decrecienteen$30.000

• Gráficamente:

a. Crecimientode$30.000

$1.150.000 $1.120.000 $1.090.000 $1.060.000 $1.030.000 $ 1.000.000 0 1 2 3 4 5 6


b. Decrecimiento$30.000

$ 1.000.000 $ 970.000 $ 940.000 $ 910.000 $ 880.000 $ 850.000 0 1 2 3 4 5 6 Nota: El valor del Gradiente puede ser positivo o Negativo. Cuando se pasa la línea de tiempo el valor sería negativo éste se indica colocándolo debajo de dicha línea.

Porejemplo:

RealizarlagráficadeunGradienteAritméticode6pagosconprimeracuotade$100.000ydecrecienteen$25.000.

Gráficamentesetendría:

$ 100.000 $ 75.000 $ 50.000 $ 25.000 0 0 1 2 3 4 5 6 $25.000


Engeneral,larepresentacióngráficaestaríadadapor:

FÓRMULA DEL VALOR PRESENTE Tomadade:http://www.monografias.com/trabajos104/gradientes/gradientes.shtml#ixzz3lp7bdgzW

• EcuaciónparacalcularelValorPresenteenfuncióndelGradienteAritmético

Estaecuaciónestádadaporlasiguienteexpresión:

jk = ∏$P

($ + P)7 − $P − 7

$($ + P)7 ∗∗∗

Donde:

jk: }@πT=W=989>?9

∏: ∫=@<C9>?9®=C?Aé?CXTP: Ö>?9=é87:ªúA9=T<9W9=CT<T8

• EcuaciónparacalcularelValorFuturoenfuncióndelGradienteAritmético

Teniendopresentequeelvalorpresenteenfuncióndelvalorfuturoestádadopor:


jk =jx

($+ P)7

Reemplazandoenlaecuación(***)anteriorysimplificando(expresionesencoloramarillo)setieneque:

jx

($+ P)7= ∏ $

P($+ P)7 −$

P −7 $($+ P)7

jx = ∏ $P

($+P)7−$P −7 *

jx: }@πT=º;?;=T

∏: ∫=@<C9>?9®=C?Aé?CXT

P: Ö>?9=é8

7:ªúA9=T<9W9=CT<T8

• CálculodeunaAnualidad(A)dadounGradiente(G)

ElValorFuturoenfuncióndeunaAnualidadestádadopor:

jx = â (${P)7|$P

,igualandoconlaecuación*yrealizandolosprocesosaritméticoscorrespondientesse

tieneque:

â = ∏$P −

7($ + P)7 − $


4.6.2 EJERCICIO DE APRENDIZAJE Referenciadode:PDF]SeriedeGradiente(GeométricoyAritmético)ysu...-ClaseV

clasev.net/v2/pluginfile.php/79893/mod_resource/.../1/gradientes.pdf

(CálculodeGradienteysuraciónconelvalorpresenteyelvalorfuturo)

1. Unapersonadepositaenunacuentadeahorrosunacantidadanualquevadisminuyendoaunacantidad

constantede$500.000poraño.Lamagnituddelprimerdepósitoquesehaceesde$10.000.000yel

últimode$5.500.000.Sienlacuentadeahorrosseganaun15%anual¿dequémagnituddebeserun

depósitoanualconstanteduranteelmismotiempoparaqueelmontoacumuladoseaelmismo?

Procedimiento

a. Datosdelproblema

∏ = $500.000â$ = $10.000.000P = 15%

7 = 10â = −®ü + ®Ω

b. Larepresentacióndelosflujosestádadapor:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

8.5

9.0

9.5


10

Nota:Lascifrasestándadasenmillonesdepesos

c. Analíticamenteyaplicandolasfórmulascorrespondientes,setieneque:

â = â$ + ∏$P −

7($ + P)7 − $

Reemplazandolosvaloresconocidos:

â = −$#. ###. ### + +##. ###$

#, $+ −$#

$ + #, $+ $# − $ = −d. &#d. !##d. Solución: Para que el monto acumulado sea el mismo se debe realizar un depósito anual de

$d.&#d.!##--------------------------------------------

2. Setieneunpréstamode$1.000.000a5añosparapagarloen5cuotasquesevanincrementandoel20%

anual,silatasadeinterésanualesdel30%.¿Cuáleselvalordeprimeraydelaúltimacuota?

Procedimiento:

a. Paracalcularlaprimeracuota,setendríalasiguienteexpresión:

æü = 1.000.0000.3 − 0.2

1 − (1 + 0.21 + 0.3)ø= $303.190

Solución:Elvalordelaprimeracuotasería:$303.190

b. Paracalcularlaúltimacuota,setendríalasiguienteexpresión:

æø = 303.190(1 + 0.2)ø|ü = $628.695


Solución:Elvalordelaúltimacuotasería:$628.695

c. ¿Cuáleselsaldounavezserealizaelpagodelaterceracuota?

Tabladedatos:

P = 2#%

jk = $$. ###. ###7 = +wsMJ4rP = &#%

l$ = $&#&. $"#á& =¿ ? á4tOMOKrksérOKt4JK3wK34wsMJ4

Procedimiento:

Paracalcularestesaldoseutilizalaexpresióndadapor:

á& = &#&. $"# ∗ $ + #. 2 &$ − $ + #. 2

$ + #. &+|&

#. & − #. 2 = $))+. &"#, 2&

Solución:Elsaldodespuésdelpagodelaterceracuotaesde:$))+. &"#, 2&

--------------------------------------------

• GradienteGeométrico

Endeterminadasocasioneslosflujosdecajacambianenporcentajesconstantesparaperiodosconsecutivosde

pagoenvezdeaumentosconstantesdedinero,denominandoaestetipodeflujodecaja:FlujosdetipoGradiente

GeométricooSeriesenEscalera.

Definición

SeentiendeporGradienteGeométricoaunaseriedepagosdondecadapagorealizadooarealizaresigualal

anterior,peromultiplicadoporunaconstantedeterminadapor1+G

Nota1:SiGespositivoelgradienteserácreciente.


Nota2:SiGesnegativoelgradienteserádecreciente.

Nota3:SiG=0elgradienteseconvierteenunaanualidad.

Nota4:AlosporcentajesconstantesesloquesellamaGradienteGeométrico

Gráficamenteserepresentaría,enformageneral,delasiguientemaner

0 1 2 3 4 n-1 n

| | | | | | |

A

â(P + ∏)

â(P + ∏)2

â(P + ∏)&

â(P + ∏)7|2

â(P + ∏)7|$

• EcuacionesparaGradienteGeométrico

Leermás:http://www.monografias.com/trabajos104/gradientes/gradientes.shtml#ixzz3lp7bdgzW

ParaestetipodeGradiente,lospagosestándeterminadosdelasiguienteforma:

• PrimerPago:l$


• Elsegundopago:l2 = l$ $ + ∏

• Eltercerpago:l& = l2 $ + ∏ = 2l$ $ + ∏

• Elúltimopago(pagoenésimo):

l7 = l7|$ $ + ∏ = l$(7 − $)($ + ∏)

Tomando la siguiente ecuación y realizando las diferentes transformaciones sobre ella se obtendrán las

ecuacionesparadeterminarelValorPresenteyelValorFuturoenfuncióndelGradienteGeométrico:

• ValorPresenteparaelgradienteGeométrico

jk =l[ $ + ∏ 7 $ + P |7 − $]$ + P [ $ + ∏ $ + P |$ − $] =

l[ $ + ∏ 7 $ + P |7 − $][ $ + ∏ − ($ + P)

Entonces,simplificandoeneldenominador,setieneque:

jk =l[ $ + ∏ 7 $ + P |7 − $]

∏ − P rP∏ ≠ P

Obteniendo,despuésdelastransformacionesrealizadaslasiguienteecuación:

jk = l[7 $ + P 7 $ + P |7] → jk =l(7)$ + P

Nota:Cuando∏ = Pse presenta una indeterminación, que puede ser removida usando la regla de L'opital y

derivandoconrespectoaP,estoes:

jk =l(7)$ + P rP∏ = P

• ValorFuturoparaelgradienteGeométrico

Para calcularelValor Futurojx deesta serieGradiente semultiplicaa ambos ladosde laecuacióndelValor

Presente por el factor $ + P ∗ 7, que convierte un pago único presente,jk, en un pago único futuro,jx,equivalente,estoes:


}~ = æü(1 + C)û − 1 + ∫)û

C − ∫ , X;@><TC ≠

SisetienequeP = ∏ → jx =l$${P

×7×($ + P)7oloqueeslomismo:

jx = l$×7×($ + P)7|$

ComoP = ∏jx = l$×7×($ + ∏)7|$

Nota:Cuandosedaelsiguientelímite:

jk =l

∏ − P) tPL(7→√

$ + ¨$ + P )

7 − $

Esdesumaimportanciaanalizareltérminodadopor:

($ + ∏$ + P )

7

Setienendossituaciones,quesedebendefinirclaramente:

Cuando∏ > P:

Elnumeradorsevuelvemayorqueeldenominador,estoimplicaquelafracciónsehacemayorque1,porlotantoalevaluarel límiteéstetiendea infinito,hablandomatemáticamente;perosi∏eselporcentajedeincrementoePeslatasadeinterés,sedaríaquesi:∏ > Pseríanecesariounpresenteinfinitoparalograr,enteoría,incrementosenelpagomayoresqueelrendimientodelainversiónalatasaP.

Cuando∏ < P:

Elnumeradorsehacemenorqueeldenominador, lafracciónportantoserámenorque1y,por lotanto,

elevadoalapotencia7tenderíaa0,matemáticamentehablando;sinembargo,analizandoque∫ esel

porcentaje de incremento y queP es la tasa de interés, se observa que si∏ < Pes posible con los


rendimientos de la inversión P (Valor Presente) a la tasa P efectuar pagos que se incrementan en un

porcentaje∫ .Ahorabiensi∫ esmenorquePsetieneque:

}° =æ

∫ − C)× 0 − 1 = −æ

(∫ − Ö)

Multiplicandoporelsignomenosindicadoenlaexpresiónsetiene:

}° =æ

(Ö − ∫)

Cuando∏ = P:

Enestecasodebeevaluarseelpresenteconlaexpresión

jk =l×7$ + P

Donde es fácil notar que cuando7 tiende a infinito el valor presente también seráinfinito.

Nota: Solo será posible determinar el valor presente de un gradiente geométrico infinito cuando∫ (el

porcentajedeincremento)seamenorqueP(latasadeinterésalacualserealizalainversión).

Acontinuación,encontrarásdográficosqueteayudaránacomprender,enformaclara,elconceptode

GradienteGeométrico(tantoenformaCrecientecomoDecreciente):

• Crecientes:Formageneral:

La serie gradiente uniforme geométrica es un sistema de amortización equivalente, donde las cuotas se

incrementansucesivamenteenunporcentajedeterminado.


TG= Valor del gradiente geométrico, es la variación en porcentaje entre dos cuotas sucesivas (se puede

representarporGúnicamente).

• Decrecientes:Formageneral

Estaseriesecaracterizaporiniciarpagandocuotasmásaltas(másaltasquelascuotasdelaserieuniforme)que

vandisminuyendoenunporcentajedevalorG,valordelgradienteporcentual.Elmontodelosinteresespagados

esproporcionalmentebajo,porquelaamortizaciónacapitalserealizarápido.

Nota:Lasecuacionesdelaseriegradientecrecienteseaplicananálogamente,ladiferenciaradicaenelsentido

delsignodelvalorgradienteG:

• CuandoelgradienteescrecienteGespositivo,y

• CuandoelgradienteesdecrecienteGesnegativo.

Estegradientedecrecienteserepresenta,enformageneral,delasiguientemanera:


TomadodeUniformesGeométricasCrecientesydecrecientes–SEDE…

www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/.../SGUG.htm

4.6.3 EJERCICIOS DE APRENDIZAJE Problemas referenciados de: http://www.monografias.com/trabajos29/6-llaves-maestras-matematicas-financieras/6-llaves-maestras-matematicas-financieras.shtml#ixzz3mUlU0xiO

1. Sedeseaconocercuántosedebedepositarenunbancoquepagael18%deinterés,parasolventarpor

tiempoindefinidolosgastosanualesdemantenimientodelacarreteradeaccesoalafinca,estimadosen

$1.000.000paraelprimerañoyqueaumentaen$200.000cadaaño.

Procedimiento:

TabladeDatos

P = 2#% = #. $d


i = $+##. ###

∏ = $+#. ###

jâ =¿ ?Sedebecalcularelvalorhoy,parasufragarelgastoatiempoindefinidoparaelmantenimientodelacarretera,

estosedaaplicandolasiguienteexpresión:

jâ =$. ###. ###

#. $d +2##. ###(#. $d)2 → jâ = $$. )2d. &"h

Elmontoquesedebedepositareldíadehoyesde$$$. )2d. &"h

2. ¿Cuáleselvaloractualdeuncréditoalal3?5%mensualquedebepagarseen12cuotasde$600.000cada

una,sicadacuatromesesaumentanen6%?

Procedimiento:

TabladeDatos

P = &, +% = #. #&+

isMJ4 = $h##. ###

7 =$2& = !

∏ = #, #h

jâ =¿ ?

Nota:Elcréditoespagadoen12cuotasanticipadas,lascualescadacuatromesestienenunincrementodel6%,

generandolossiguientesflujos:

�ü…ù = 600.000�ø…ƒ = 600.000 ∗ 1.06 = 636.000


�≈…üú = 636.000 ∗ 1.06 = 674.160Deloanterior,tenemoslosiguiente:

Enlaprimeraserieesuncasodeseriesuniformesavaloractual.

Lasdosúltimasseriescorrespondenagradientesgeométricos.

Por lo tanto,paraobtenerelvalorpedidoen laoperación financierasedebencombinar lascorrespondientes

fórmulas,estoes:

jâ = h##. ### ∗ $,#&+!|$#,#&+∗$,#&+!

+h##.### $,#h!

$,#&+!|$

#,#h|#,#&++

h&h. ### $, #h!$, #&+! − $

#, #h − #, #&+ = ). $+h. +!#

2. 2#&. d+# + 2!#!. 22# + 2. +d). !)# = $). $+h. +!#

Comosetratadecuotasanticipadasoprepagableseljâobtenidosemultiplicapor $ + P ,entonces:jâ = ). $+h. +!# ∗ $. #&+ = $). !#). #$#

Solución:Elvaloractualdelcréditoprepagableesde$). !#). #$#

3. 10empleadosdeunaempresareciéningresadosalamismapiensanasociarseycrearunfondodeahorros

mensualesde tal formaqueal llegar a sus5 añosde trabajoendichaempresaposeanun capital de

$10'000.000conelpropósitodeiniciarsuspropiosproyectosdeemprendimientoenconstruirsupropia

empresa.Sus ingresos lespermiten incrementarelahorromensualenun2%y laentidadbancaria les

ofreceun interésmensualdel2.5%.¿Cuántodeberá serel ahorromensual inicialdecadaunode los

empleados?

Procedimiento:

jq = $$##. ###. ###

∏ = 2%LK7rs4t


P = 2. +%LK7rs4t

7 = h#LKrKr

jâ =¿ ?Pararesolveresteproblemaseutilizarálaexpresióndeterminadapor:

jâ = $##. ###. ###(#, #2+ − #, #2)

($ + #, #2+)h# − ($ + #, #2)h# →

jâ = $!!h. !2d, +)

Porlotantolacuotaindividualquedebeaportarcadaunodelos10sociosestádadapor:

jâü¢=$!!h.!2d,+)

ü¢=$!!. h!2, dh

4. Acontinuación,encontrarásunproblemadeGradientesmontadoenExcelparaqueloanalicesytrates

deutilizaresteprocedimientocomounasoluciónprácticaentusprocedimientos:

TOMADO DE: CAPÍTULO XII DEL TEXTO: MANUAL DE MATEMÁTICA FINANCIERA; CARLOS ALIAGA

"AnualidadesconGradientesAritméticasyGeométricas"

Paraunproyectoquetieneunavidaútilde10añossehaestimadoqueelprimerflujodecajaanualseadeS/.

10,000.00 y los siguientes flujos anuales experimentarán una razón de crecimiento geométrico de 1.15.

Calcularelvalorpresentedeestosflujosdecajaconsiderandoqueelcostodeoportunidaddelcapitalesdel

15%.

nperiodosde

actualización

rentascon

gradiente

valor

presente

cargadedatos

tasadeinterés

0 15%

1 1 10.000,00 8695,65

2 2 11.500,00 8695,65 gradiente(G)


3 3 13.225,00 8695,65 15%

4 4 15.208,75 8695,65

5 5 17.490,06 8695,65 cuotabase(R)

6 6 20.113,57 8695,65 10.000,00

7 7 23.130,61 8695,65

8 8 26.600,20 8695,65

9 9 30.590,23 8695,65

10 10 35.178,76 8695,65

suma= 86.956,5217


5 PISTAS DE APRENDIZAJE

TENGA PRESENTE: CUANDO, EN UN PROBLEMA NOS DAN EL MONTO O LA DIFERENCIA, PARA HALLAR LA BASE O EL PORCENTAJE, CONOCIDO TAMBIÉN EL TANTO POR CIENTO.

Recuerdeque:Laregladeinterésesunaoperaciónpormediodelacualsehallalagananciaointerésqueproduce

unasumadedineroocapital,prestadoauntantoporcientodadoyduranteuntiempodeterminado;También,

puede decirse, que es la compensación que recibe el capital por su uso o por su cesión a otra persona. Se

representaporC(interés).

Tengapresenteque:Alcalcularelinterés,quetantolatasadeinteréscomoeltiempo,debenquedarreducidos



Recuerde que: Una operación financiera semaneja bajo el concepto de interés simple, cuando los intereses

liquidadosnosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesnodevenganintereses.

Recuerdeque:UnDiagramaEconómicoconsisteenlarepresentacióngráficadelproblemafinanciero,quenos

permitevisualizarloyhacerunadefiniciónyunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejarel

dinero.

Recuerdeque:Undiagramaeconómicoconstadelossiguienteselementos:

• Líneasdetiempo:esunalíneahorizontaldondeserepresentantodos losperiodosenloscualesseha


• FlujodeCaja:serepresentaconunasflechashaciaarribayotrashaciaabajo(ingresos-egresos).

TasadeInterés.

Recuerdeque;

INTERÉSCOMPUESTO:Eselqueproduceuncapitalquecambiaalfinaldecadaperíodo,debidoaquelosintereses

seadicionanalcapital,paraformarunnuevocapital;esdecir:

Secalculaelinteréssobreelmontoanterior,paraformarunnuevomonto.


Recuerdeque:

• LaCapitalizaciónesunprocesoenelcuallosinteresesquesecausanenunperíodosesumanalcapital

anterior.

• PeríododeCapitalización:Períodopactadoparaconvertirelinterésencapital.

Traigaalamemoriaque:Tambiénsepuededecir,queelinterésescompuesto,cuando:

• Losinteresesqueproduceelcapitalsesumanaéste,alfinaldecadaperíododetiempo,

• Formandodeestemodounnuevocapital.

• Esdecir,losinteresesproducennuevosintereses.

Recuerdeque:

d. LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:


• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osealaqueseliquidaen

cadaperíododelaño.


e. LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:• Todatasadeinterésperiódicaesefectiva.

• •Nosepuededividir.

• •Semidedentrodeunperiododeunaño.

• •Puedeserperiódicaotasadeinterésefectivaanual.

Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasadeinterésnominalyque

partiendodeéstasellegaráaunaefectiva.

• Recuerdecomosedanlosperiodos:

•



MES MV MesVencido MA MesAnticipado

BIMESTRE BV BimestreVencido BA BimestreAnticipado

TRIMESTRE TV TrimestreVencido TA TrimestreAnticipado

SEMESTRE SV SemestreVencido SA SemestreAnticipado

AÑO AV AñoVencido AA AñoAnticipado

• Recuerdeque:Silatasaescapitalizable,necesariamentesetratadeunatasanominal,yaquelasefectivas

nosecapitalizan,sinoquesonlasqueresultanalcapitalizarlasnominales.

• Recuerdeque:El términocapitalizabletienequevercon los interesescausadosporperíodoquese le

agreganalcapital.Elperiodopuedeser(diario-mensual-trimestral,semestral,anual).

• Tengapresenteque:Paranotenerquehallarprimeroelvalorfuturodeuncapital,despejarlosintereses

ydividirloporelvalorpresenteysaberquetasade interésefectivase liquida,seutilizará lasiguiente

Expresión:

%Öß = 1 + ÖW)û − 1 ∗ 100

• Recuerdeque:

LasCaracterísticasdelaTasaNominalson:


• Sepuededividirporlafrecuenciadecapitalizaciónparaobtenerlatasaperiódica,osealaqueseliquida

encadaperíododelaño.


LasCaracterísticasdelaTasadeInterésEfectivason:






Sinoseespecificaquelatasadeinterésesefectiva,sedebesuponerqueesunatasadeinterésnominalyque

partiendodeéstasellegaráaunaefectiva.

• Recuerdeque:Elcálculodelatasaefectivaapartirdelatasanominalanticipada,estádadapor:

P =P4

$ − P4


P = N4r4zK7wPO4

• Tengapresenteque:silatasadeinterésanticipadaesmensual,alreemplazarlaenlaanteriorexpresión,


• Recuerdeque:Elprincipiofundamentaldeunaecuacióndevalorestableceque:



NOTAS IMPORTANTES









Recuerdeque:






jRä < # → lKw∂4543

Recuerdeque:

SedefinelaTIRcomolatasadeinterésquehaceeljRä = #,esdecir,elvalorpresentedelosflujosdescontadosseaigualalainversióninicial.

Recuerdeque:CuandosehabladeIngenieríaEconómica,seestáhablandodeunaevaluaciónovaloracióndelos

resultadoseconómicosobtenidosdelassolucionessugeridasdesdelaingeniería,estoes,lasdecisionesquese

toman y aconsejan desde su labor para lograr que una empresa sea altamente rentable y competitiva en el

mercadoeconómico.

Tengapresenteque:Latomadedecisionesbasadaenlascomparacioneseconómicasdelasdistintasalternativas

deinversión.

Recuerdeque:Paraquepuedanaprobarseenloeconómico,lasresolucionesdelosproblemasdebenimpulsarun






Traigaalamemoriaque:Lafactibilidadeconómicadeunproyectotienequeverconlosbeneficiosdeinversión

derecursoseconómicosenunaalternativadeterminada,sinimportarlafuentedeestosrecursos.

Tengapresenteque:Paraladefinicióndelproblemasedebenconsiderarlossiguienteselementos:










Recuerdeque:CuandosehabladeIngenieríaEconómica,seestáhablandodeunaevaluaciónovaloraciónde

losresultadoseconómicosobtenidosdelassolucionessugeridasdesdelaingeniería,estoes,lasdecisionesque

setomanyaconsejandesdesulaborparalograrqueunaempresaseaaltamenterentableycompetitivaenel

mercadoeconómico.

Tengapresenteque:Latomadedecisionesbasadaenlascomparacioneseconómicasdelasdistintasalternativas

deinversión.

Recuerdeque:Paraquepuedanaprobarseenloeconómico,lasresolucionesdelosproblemasdebenimpulsarun





Traigaalamemoriaque:Lafactibilidadeconómicadeunproyectotienequeverconlosbeneficiosdeinversión

derecursoseconómicosenunaalternativadeterminada,sinimportarlafuentedeestosrecursos.

Tengapresenteque:Paraladefinicióndelproblemasedebenconsiderarlossiguienteselementos:










5.1.1 EJERCICIOS DE ENTRENAMIENTO

1. Elaborarunatablaparaamortizarlasumade$100.000.000en4pagos,suponiendounatasaefectivadel

8%:

• a)Concrecimientogeométricodelacuotaen10%

• b)Condecrecimientogeométricodelacuotaen-10%

DedondeelprimerpagoestádadoporR1=$26.261.470

PER. SALDODEUDA INTERESES PAGO AMORTIZACION

0 100.000.000 -- -- --

1

2

3

4

b)Dedondeseobtieneque:

PER. SALDODEUDA INTERESES PAGO AMORTIZACION

0 100.000.000.00 -- -- --

1


2

3

4

2. Cuántodebecrecerlinealmenteunaseriede8pagos,efectuadosalfinaldecadaperíodoycuyoprimer

pagoesde$600.000paraque,puestaenvalorpresente,seaequivalenteaunaseriede10pagosque

crecengeométricamenteenun25%ycuyoprimerpagoesde$100.000?Supongaunatasadel2%efectivo

paraelperíodo.

3. Sehacendepósitostrimestralescrecientesenun5%,enunacuentaquepagael5.25%efectivotrimestral,

conelfindetenerdisponibles$500.000.000elprimerodeenerode2011.Sielprimerdepósitosehace

elprimerodeabrilde2008yelúltimoelprimerodejulio2010,determinarelvalordelprimerdepósito.

4. Hallarelvalorpresentedeunaserieinfinitadepagosquecrecenun8%,silatasadeinterésesdel25%y

elprimerpagoes$300.000(Significaque,sicolocamos$3.000al25%podremoshacerinfinitonúmero

deretiroscrecientes,enun8%,conunprimerretirode$300).


6 GLOSARIO 1. Diagramaeconómico:Consisteen la representacióngráficadelproblema financiero,quenospermite

visualizarloyhacerunadefiniciónyunanálisiscorrectodelascondicionesparatransferiromanejarel

dinero.

2. TasadeInterés:Latasadeinterés(i)eslarelaciónentreloquerecibedeinterés(I)ylacantidadinicial

invertida(p).Estaseexpresaenformaporcentual

3. ValorFuturoaInterésSimple:Sedicequeunaoperaciónfinancierasemanejabajoelconceptodeinterés

simple,cuandolosinteresesliquidadosnosesumanperiódicamentealcapital,esdecirlosinteresesno

devenganintereses.

4. El interéscompuesto (llamado interés sobre intereses),esaquelqueal finaldelperíodocapitaliza los

interesescausadosenelperiodoanterior,esdecir,elcapitalvarioal finaldecadaperiodoporque los

interesesobtenidosseleadicionanalcapitalobteniendoasíunnuevocapitalysobreestesecalculanlos

próximosintereses.

5. Capitalización:Esunprocesoenelcual los interesesquesecausanenunperíodosesumanalcapital

anterior.

6. Valor futuro a interés compuesto: Consiste el calcular el valor equivalente de una cantidad P (capital

inicial)despuésdeestarganandointeresespornperíodosaunatasadeinterés(i).

7. Tasadeinterésefectiva:Comosunombrelodiceeslatasaqueefectivamenteseestápagando(Ahorros)

oqueefectivamenteseestácobrando(Créditos).Estosisuponemosquealfinaldecadaperíododelpago

deintereses,reinvertimosoprestamoselmismocapital,máslosinteresesquegénero.


7 BIBLIOGRAFÍA • ÁlvarezArangoAlberto.MatemáticasFinancieras–McGrawHillTerceraedición—Bogotá.2009.

• Villalobos José Luis, Lecuona Valenzuela Patricia Fernández Molina Alberto Santiago Robles Reyes

Ricardo.Matemáticasfinancieras.PearsonEducación,2001

• MezaOrozcoJhonnydeJesús.MatemáticasFinancierasUsodelascalculadorasfinancierasprácticascon

Excel.ECOEEdiciones.TerceraEdición.

• BACA,Guillermo.IngenieríaEconómica.7ed.,FondoEducativaPanamericana,2002

• García,JaimeA.MatemáticasFinancieras,TerceraEdición.,PrenticeHall,1998.

• García,OscarLeón.AdministraciónFinanciera.TerceraEdición.EditorialEAFIT,1999.

• Ortiz,Alberto.GerenciaFinanciera.McGrawHill,1998

• MONTOYA,DurangoLeonel. ManualdeMatemáticas Financieras.10edición.Medellín:Multigráficas,

1998.220p

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• www.gerencie.com/funciones-sobre-gradientes-personalizadas-en-excel.html

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• www.gestiopolis.com/dirgp/fin/matyevaluacion.htm

• www.gestiopolis.com/.../simulador-de-matematicas-financieras-y-sus-operaciones-basicas.htm

• www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/24/tir1.htm

• www.gestiopolis.com/recursos5/docs/fin/seisllav

• ¿QuéeslaIngenieríaEconómica?

www.fao.org/docrep/003/v8490s/v8490s02.htm

• Laingenieríaeconómica:Generalidades-Monografias.com

www.monografias.com›Economi

• ConceptosBásicosdeIngenieriaEconómica-SlideShare

es.slideshare.net/JoeloRoss/conceptos-basicos-de-ingenieria-economica

• Quéeslaingenieríaeconómica-ConocimientosWeb

www.conocimientosweb.net/portal/article2494.html

• IngenieríaeconómicadeDeGarmo

https://books.google.com.co/books?isbn=9702605296

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