INGENIERÍA ECONÓMICA

Ing. Juan Antonio Rivera Soto

PROGRAMA Unidad 1

Conceptos básicos: interés simple y compuesto

1.1 Conceptos básicos de ingeniería económica1.2 Valor cronológico del dinero1.3 Interés simple1.4 Interés compuesto

Unidad 2Tasa compuesta de rendimiento, fórmulas y deducciones

2.1 Factor de pago simple, cantidad compuesta (F/P)

2.2 Factores de pago simple, valor presente (P/F)

2.3 Factor de valor presente de una serie uniforme (P/A)

2.4 Factor de recuperación de capital (A/P)

2.5 Factor de fondo de amortización (A/F)

2.6 Factor de cantidad compuesta de una serie uniforme (P/G)

2.7 Factor de valor presente del gradiente uniforme (P/G)

2.8 Factor de valor anual de un gradiente uniforme (A/G)

Unidad 3Método de evaluación de alternativas

3.1. Método del costo anual uniforme equivalente: vidas iguales y vidas diferentes.3.2 Métodos del valor presente neto: vidas iguales y vidas diferentes.3.3 Método de la tasa de rendimiento.

Ingeniería económica

Definición: Es un conjunto de técnicas

matemáticas que simplifican las comparaciones económicas.

Con estas técnicas se puede llevar a cabo una aproximación racional y significativa para evaluar aspectos económicos para métodos diferentes.

Es una herramienta de decisión por medio de la cual se podrá escoger un método como el más económico posible.

Saber como aplicar correctamente estás técnicas resulta de especial importancia para los ingenieros, ya que prácticamente cualquier proyecto influirá en los costos o los ingresos.

CONCEPTOS DE VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Se dice que el dinero llama al dinero. De hecho, la afirmación es cierta, porque si hoy decidimos invertir dinero, esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona o empresa solicita un crédito hoy, mañana deberás mas del capital del préstamo original. Este hecho también se explica por medio del valor del dinero en el tiempo.

La variación de la cantidad de dinero en un periodo de tiempo dado, recibe el nombre de valor de dinero en el tiempo. Este es el concepto de la ingeniería económica.

TASA DE INTERÉS Y TASA DE RENDIMIENTO

El interés es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde el punto de vista de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés.

Existen dos variantes del interés:*Interés pagado*Interés ganado

El interés se paga cuando una persona o empresa pide dinero prestado y paga una cantidad mayor.

El interés se gana cuando una persona o empresa invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.

El interés que se paga por dinero que se pide prestado se determina mediante la siguiente relación:

Interés = Cantidad que se debe ahora – Cantidad original

Cuando el interés pagado con respecto a una unidad de tiempo especifica se expresa como porcentaje de la cantidad original, el resultado recibe el nombre de tasa de interés.

Tasa de interés = interés acumulado x unidad de tiempo x 100% Cantidad original

Ejemplos: 1.- La compañía HRP invirtió $100, 000

en el mes de mayo y retiró un total de $106,000 exactamente un año después.

A) Interés ganado sobre inversión inicial. B) La tasa de interés de la inversión. 2.- Un empleado de una compañía solicita

un préstamo al inicio del año de $10, 000 y debe de pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada

3.- El señor Juan Roa planea solicitar un préstamo de $20,000 a un año al 15% de interés. Calcular:

A) El interés B) La cantidad a pagar al cabo de un año

4.- Calcule la cantidad depositada hace 1 año si ahora se tienen $1,000 a una tasa de interés del 5% anual.

A) Determine la cantidad de intereses ganados durante este periodo.

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés son útiles en el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado y un periodo de interés en el futuro. Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos de interés simple e interés compuesto son los que se le aplican.

El interés simple se calcula utilizando el capital solamente, ignorando cualquier interés que pueda haberse acumulado en periodos procedentes (anteriores).

El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:

Interés=(capital)(No.de periodos)(tasa de interés)

INTERÉS SIMPLE Se llama interés simple al que por el uso

del dinero, a través de varios periodos de capitalización no se cobra interés sobre el interés que se debe. Fórmula para calcular la tasa de interés anual:

i = F – P x 100 = [ F - 1 ] (100) P P

Donde:i = tasa de interésF = cantidad acumulada al final del periodoP = cantidad inicial

PROBLEMAS 5.- Si usted solicita un préstamo de $1000

por 3 años a 14% anual de interés simple. ¿Cuánto dinero deberá al cabo de 3 años?

6.- Una persona presta $3500 con la condición de que le paguen $4025 al cabo de 1 año. ¿Cuál es la tasa de interés anual que cobra el prestamista?

7.- Una persona presta $3500 durante 4 años al 15% de interés simple anual y acuerdan que tanto capital como los intereses se pagarán en una sola cantidad al final de los 4 años. ¿A cuánto asciende este único pago?

INTERES COMPUESTO Cuando se calcula el interés compuesto, el

interés generado durante cada periodo de interés se calcula sobre el capital más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:

Interés = (Capital + Todos los intereses acumulados)(Tasa de interés)

8.- Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la empresa un préstamo de $1,000 con un interés anual compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de 3 años.

9.- Supóngase que el propietario del dinero $3,500 en ves de prestar su dinero al 5% de interés simple anual durante 4 años, decide depositarlo a un banco, que paga un interés del 15% capitalizado anualmente, también por un periodo de 4 años. ¿Cuánto tendrá acumulado después del 4 año?

10.- Calcule el interés adeudado por un crédito de $5,000 si la tasa de interés es del 12% anual.

11.- Suponiendo que le han ofrecido la oportunidad de invertir $1,000 al 7% de interés simple durante 3 años, o los mismos $1,000 al 6% de interés compuesto durante 3 años. ¿Qué inversión aceptaría usted?

12.- Cuanto dinero deberá su amiga después de 4 años si solicitó prestados $1,000 ahora al 7% anual de interés simple.

13.- Cuánto dinero deberá una persona después de 2 años si solicitó prestados $500 al 1% mensual de interés simple.

14.- Si usted solicitó prestados $1,500 ahora y deberá pagar $1,800 dentro de 2 años. ¿Cuál es la tasa de interés de su crédito?

15.- Un amigo nos cuenta que acaba de pagar un crédito que recibió hace 3 años al 10% de interés simple. Si usted determinó que el pago fue de $195. ¿Qué cantidad pidió prestada el amigo?

16.- Una empresa que brinda servicios de banda ancha obtuvo un préstamo de 2 millones de dólares para adquirir un equipo nuevo y reembolso el préstamo con una cantidad de 2 millones 250 mil dólares después de 1 año. ¿Cuál fue la tasa de interés aplicada al préstamo?

17.- Si una empresa de sustancias químicas que acaba de iniciar se fija el objetivo de al menos conseguir utilidades con una tasa de rendimiento de 25% sobre su inversión. Si la empresa adquirió $40,000,000 de capital. ¿Cuánto tubo que pagar en el primer año?

TERMINOLOGÍA Y SÍMBOLOS

Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniero económica emplean los siguientes termino y símbolos :

P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo cero. También recibe el nombre de valor presente (V.P.), valor presente neto (V.P.N.) y costo capitalizado (C.C.)

F = valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. También recibe el nombre de valor futuro (V.F.).

A = serie de cantidades de dinero consecutivos, iguales y de final del periodo. También se denomina valor anual uniforme equivalente (V.A.) y (V.A.U.E.)

N = Número de periodos de interés (años, meses, días)

I = Tasa de intereses o tasa de retorno por periodos.

T = Los símbolos

Los símbolos t y f indican valores que se presentan una sola vez en el tiempo; el símbolo A tiene el mismo valor una vez en cada periodo de interés durante un número específico de periodos.

Debe quedar claro que el valor presente P representa una sola suma de dinero en algún momento anterior a un valor futuro F , o antes de que se presente por primera vez un monto equivalente de la serie A .

La tasa de interés i corresponde a una tasa de interés compuesta

FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P y P/F)

El factor fundamental en la ingeniería económica es el que determina la cantidad de dinero (F) que se acumulado después de n años o periodos, a partir de un valor único presente (P) con interés compuesto una vez por año o por periodo. Recuerde que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés

F = P(1+i)ⁿ Donde:

› F = Cantidad futuro› P = Inversión inicial› N = Periodos en años› I = Interés

El factor (1+i) se denomina factor de cantidad compuesta de pago único (F.C.C.D.U.) o factor “F/P”

DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO

SS

i=dado

P = dado

n

F = ?

0 1 2n -2 n -1

P = F 1 (1+i)ⁿ

El factor se conoce factor de valor

presente de pago único o el factor P/F

(1+i)ⁿ

1

DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO

SS

i=dado

P = ?

n

F = dado

0 1 2 n -2 n -1

PROBLEMAS 18.- Una persona espera recibir una

herencia dentro de 5 años por un total de $50,000 si la tasa de interés es del 12% anual capitalizado cada año. ¿A cuando equivalen los $50,000 al día de hoy?

19.- La compañía hp realizó un estudio que indica que $50,000 en la reducción de mantenimiento este año (año cero), en una línea de producción, fue el resultado del mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados, con base en diseños que cambian rápidamente

19.- La compañía hp realizó un estudio que indica que $50,000 en la reducción de mantenimiento este año (año cero), en una línea de producción, fue el resultado del mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados, con base en diseños que cambian rápidamente.

A)Si la compañía considera que este tipo de ahorros vale 20% anual, encuentre el valor equivalente de este resultado después de 5 años.

B) Si el ahorro de $50,000 en mantenimiento acurre ahora, calcule su valor equivalente 3 años antes con un interés del 20% anual.

20.- Un constructor independiente de ingeniería examino algunos registros y encontró que los costos de oficina varia de acuerdo a los siguientes datos:

Año 0 = $600 Año 3 = $135Año 1 = $175 Año 4 = $250Año 2 = $300 Año 5 = $400

Si el ingeniero quiere conocer el valor equivalente en el año diez solo de las cantidades mayores . ¿Cuál será este a una tasa de interés del 5% anual?

FACTOR DE VALOR PRESENTE Y DE RECUPERACIÓN DE CAPITAL EN SERIES

UNIFORMES (P/A Y A/P)

El valor presente “P” equivalente a una serie uniforme “A” de flujo de efectivo al final del periodo se muestra en la figura siguiente:

SS

i=dadoP = ?

n

A

n -2 n -1

A

A A1 2

A

A =dado

Puede determinarse una expresión para el valor presente considerado cada valor de “A” como un valor futuro “F”,

El término entre corchetes en la ecuación anterior es el factor de conversión que se llama factor de valor presente de serie uniforme (FVPSV) o factor P/A.

P = A (1+i)ⁿ - 1 i (1+i)ⁿ

Para invertir la situación se conoce el valor presente “P” y se busca la cantidad equivalente “A” de serie uniforme. El valor “A” ocurre al final del periodo 1, es decir un periodo después de que “P” ocurre. Se despeja “A” de la ecuación anterior resultando:

El termino entre corchetes se denomina factor de recuperación de capital (FRC) o factor A/P

A = P i (1+i)ⁿ (1+i)ⁿ - 1

PROBLEMAS

21.- Una ama de casa compra a crédito una y acuerda pagarla en 12 pagos iguales mensuales de $95 comenzando dentro de 1 mes. Si el proveedor cobra in interés del 2% mensual de sus ventas a crédito. ¿Cuál es el valor de contado de la lavadora?

22.- Una persona compró una casa por $100000 y decidió pagarla en 10 anualidades iguales, haciendo el primer pago un año después de adquirir la casa. Si la inmobiliaria cobra un interés del 10% capitalizado anualmente. ¿A cuanto hacienden los pagos iguales anuales que deberán hacerse, de forma que con el ultimo pago se liquide totalmente la deuda?

23.- ¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora $600 garantizados cada año durante 9 años comenzando el próximo año a una tasa de rendimiento del 6% anual?

DERIVACIÒN DEL FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACION Y EL FACTOR DE CANTIDAD COMPUESTA SERIE UNIFORME (A/F Y F/A)

La expresión entre corchetes [] de la ecuación es el factor de fondo de amortización o “A/F”, el cual determina la serie de valor anual uniforme que seria equivalente a un valor futuro determinado “F”

A = F i (1+i)ⁿ - 1

El termino entre corchetes [] se denomina factor de cantidad compuesta serie uniforme (FCCSV) o factor “F/A”. Cuando se multiplica por la cantidad anual uniforme “A”, produce el valor futuro de la serie uniforme. Es importante recordar que la cantidad futura “F” ocurre durante el mismo periodo que la cantidad de la ultima “A”

A = F (1+i)ⁿ - 1 i

PROBLEMAS 24.- Si una persona ahorra $800 cada año en

un banco que paga 12% de interés capitalizado anualmente. ¿cuánto tendrá ahorrado al finalizar al 9no año luego de hacer 9 depósitos al fin de año?

25.- Una persona desea contar con $13000 dentro de 8 años su intención para obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, empezando el próximo fin de año, en un banco que paga el 7% de interés capitalizado anualmente. ¿A cuanto ascienden los depósitos iguales que deberá hacer cada año para tener los 13000?

26.- Si una mujer deposita $600 hoy, $300 dos años mas tarde y $400 dentro de 5 años. ¿Cuánto tendrá en su cuenta dentro de 10 años. Si la tasa de interés es del 5% anual?

27.- ¿Cuánto dinero tendría una persona en su cuenta después de 8 años si depositara $1000 anuales durante 8 años al 14% anual, comenzando dentro de 1 año?

28.- ¿Cuánto dinero estaría dispuesto a gastar ahora para evitar gastar $500 dentro de 7 años si la tasa de interés es del 18% anual?

29.- ¿Cuánto dinero debe depositar anualmente una persona, empezando dentro de 1 año al 5% anual, con el objetivo de acumular $6000 dentro de 7 años?

30.-¿Cuánto dinero estaría dispuesto a pagar ahora con un pagare que producirá $600 anualmente durante 9 años a partir del próximo año, si la taza de interés es del 17% anual?

31.- Una compañía que se especializa en cigüeñales esta investigando si debería actualizar cierto equipo ahora, o esperar y hacerlo más tarde. Si el costo ahora es de $150,000, ¿Cuál será la cantidad equivalente dentro de 3 años a una tasa de interés del 12% anual?

32.- ¿Cuánto dinero podría gastar ahora en nuevo equipo un fabricante de sistemas de energía magnética, en lugar de gastar $65,000 dentro de 5 años, si la tasa de rendimiento de la compañía es de 12% anual?

TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

La diferencia fundamental entre el interés simple y el interés compuesto consiste en que el interés compuesto incluye el interés sobre el interés ganado en el periodo anterior, mientras que el interés simple no lo incluye.

La tasa de interés nominal y efectiva, que implica la misma relación básica; en este caso la diferencia se encuentra en que los conceptos de nominal y de efectivo se deben aplicar cuando se calcula el interés compuesto más de una vez al año.

Por ejemplo: si una tasa de interés es de 1% mensual, debe tomarse en cuenta los términos nominal y efectivo para la tasa de interés.

La palabra nominal se define como aparente o pretendido.

Estos sinónimos implican que una tasa de interés nominal no es correcto, real, genuino o tasa efectiva.

La tasa de interés nominal se representa con la letra “r” , es una tasa de interés que no considera la capitalización de interés.

r = tasa de interés por pedido x No. de periodos

Una tasa nominal “r” puede fijarse para cualquier periodo:

En 1 año, 6 meses, 1 trimestre, 1 mes, 1 semana, etc.

La ecuación anterior se aplica para calcular el valor equivalente de “r” para cualquier periodo mayor o menor.

Ejemplo: la tasa nominal “r” = 1.5 % mensual

es la misma de cada una de las siguiente tasas:

r = 1.5% mensual x 24 meses = 36% por un periodo de dos añosr = 1.5% mensual x 12 meses = 18% anual

r = 1.5% mensual x 6 meses = 9% semestralr = 1.5% mensual x 3 meses = 4.5% trimestralr = 1.5% mensual x 1 meses = 1.5% mensualr = 1.5% mensual x 0.231 meses = 0.346% semanal

Observe que ninguna de estas tasas nominales menciona la diferencia de la

composición, Todas ellas tiene la forma:

r% por periodo de tiempo “t”

TASA DE INTERÉS EFECTIVA

Es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la anulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como la tasa anual efectiva “ie”, pero se puede utilizar cualquier periodo como base.

La frecuencia de composición o de capitalización se representa con la letra “m”, es decir, el número de veces que se lleva a cabo la composición durante el periodo de tiempo o “t”.

Ejemplo: El 8% anual, compuesto

mensualmente, tiene una frecuencia de composición de m = 12 veces por año.

Una tasa de 8% anual, compuesto semanalmente, tiene una frecuencia de composición de “m = 52”.

La tasa efectiva correspondiente por periodo de composición se determina mediante la siguiente fórmula:

Suponga que r = 9% anual, compuesto mensualmente m = 12.

La ecuación anterior se aplica para obtener la tasa efectiva

Tasa efectiva = r% por periodo de tiempo = r m periodo de composición m

9 % = 0.75 mensual 12

La ecuación para obtener la tasa efectiva de interés a partir de una tasa nominal de interés se representa de la siguiente manera:

Donde:

ie = tasa de interés efectiva por periodo.

r = tasa de interés nominal por periodo de pago.

m = No. De periodo de capitalización por periodo de pago.

ie = ( 1 + r )m - 1

m

Problemas

33.- Una compañía de crédito anuncia que su tasa de interés para prestamos es del 2% mensual.

A) Calcular la tasa de interés efectiva semestral.

B) si la tasa de interés se expresa como 5% trimestral, encontrar la tasa efectiva semestral y anual.

34.- Una persona obtuvo una nueva tarjeta de crédito con un banco nacional, con una tasa establecida de 18% anual y un periodo de composición mensual. Para un saldo de $1000 al principio del año. Calcule la tasa anual efectiva y el adeudo total al banco después de 1 año, tomando en cuenta el hecho de que no se efectúa ninguna pago durante el año.

35.- Una compañía planea invertir dinero en un fondo de capital, que actualmente reembolsa el 18% anual con un periodo de composición diario, ¿Cuál es el valor de la tasa de interés efectiva anual y semestral?

TASA DE INTERÉS EFECTIVA PARA CAPITALIZACIÓN CONTÍNUA

Si dejamos que la capitalización se represente con más frecuencia cada vez, los periodos de capitalización se van acortando. Entonces, el valor de “m”, es decir el número de periodos de composición o el periodo de pago, aumenta.

Esta situación ocurre en los negocios con una gran cantidad de flujos de efectivo diarios; es adecuado considerar intereses por periodos de capitalización contínua.

Donde:

i = Tasa de interés para capitalización continua.

= 2.71828

r = interés nominal

Donde:

i = Tasa de interés para capitalización continua.

r = interés nominal

i = e r - 1

e

r = ln ( + i )

r = ln ( 1 + i )

PROBLEMAS 36.- Un ingeniero que trabaja como

consultor privado realizó depósitos en una cuenta especial, para cubrir gastos de viaje. La siguiente figura muestra el diagrama de flujo de efectivo. Calcule cuánto hay en la cuenta después de 10 años a una tasa de interés de 12% anual con composición semestral.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

$1000$3000 $1500

F = ?

37.- Para pagar una deuda de $1000, por la cual se cobra interés del 18% anual capitalizado mensualmente, se requiere realizar 6 pagos mensuales iguales, empezando a pagar un mes después de haber contraído la deuda. Determínese el valor de cada una de las mensualidades iguales necesarias para pagar la deuda.

38.- Si la tasa anual nominal “r” es 15% anual, ¿Cuál será la tasa de interés efectiva continua anual?

39.- Calcule la tasa de interés anual y efectiva mensual, para una tasa de interés del 18% anual con una composición continua.

40.- Un inversionista necesita un rendimiento efectivo de por lo menos, el 15% ¿Cuál es la tasa nominal anual mínima aceptable para la composición continua?

41.- Los ingenieros Marcy y Susana invirtieron $5000 durante 10 años al 10% anual. Calcule el valor futuro para ambas si Marcy recibe intereses anuales compuestos, y Susana intereses continuos.

42.- Para una tasa de interés del 18% anual compuesta mensualmente, calcule la tasa de interés nominal para:

a) 2 meses b) 6 meses c) dos años 43.- ¿Qué tasa de interés efectiva

anual equivale al 16% anual compuesta trimestralmente?

44.- Un depósito de $1000 realizado hace 10 años a una tasa de interés del 8% anual con periodo de composición trimestral ¿A cuánto dinero equivaldría ahora?

45.- Determine el valor presente de $10,000 anuales por 6 años si la tasa de interés es del 12% anual con composición continua.

46.- ¿Cuánto dinero se acumulará en 10 años a partir de un depósito de $20000 ahora, a una tasa de interés del 10% anual con composición continua?