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INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
Modellazione su base fisicaModellazione su base fisica
Prof. Carlo RossiDEIS - Università di Bologna
Tel: 051 2093020email: [email protected]
Modellazione fisica
Modelli e modellistica
• Motivazioni per utilizzo di modelli– rappresentazione compatta della conoscenza– istruzione– più facile e meno costoso che lavorare sul sistema reale– a volte il sistema non esiste ancora– modellazione per il progetto– modellazione per il controllo
• Avvertenze– il modello descrive solamente alcuni aspetti del sistema– il modello diviene sempre più complesso e pesante aumentando il
livello di dettaglio: modellare solo il necessario– esiste sempre un range di validità del modello: attenzione al suo
utilizzo al di fuori di tale range
Modellazione fisica
Modelli e modellistica
• Nella costruzione di un modello sono sempre presenti approssimazioni– semplificazioni fisiche– approssimazioni sulla struttura di modello– approssimazioni nella identificazione del modello– corrispondenza con i parametri fisici– normalmente si utilizza una famiglia di modelli con diversi gradi di
approssimazione• La modellazione per definizione è un’attività multidisciplinare
che copre una grande varietà di aspetti
Modellazione fisica
Modelli e modellistica
• Sistemi meccanici• Sistemi elettrici• Fluidi ed idraulica
– fluidi comprimibili e non• Sistemi termici
– conduzione di calore– scambiatori di calore– boiler
• Motori• Pompe• Sistemi di potenza
• Veicoli– biciclette– autovettore– navi– aeroplani
• Processi chimici– reattori– colonne di distillazione
• Sistemi economici• Ecosistemi
Modellazione fisica
Gestione della complessità
• Da cosa deriva la complessità• Fattori dipendenti dal sistema
– domini fisici differenti - diversità– comportamenti complessi– dimensioni fisiche– numero di componenti– interazione stretta tra sistemi
• Fattori dipendenti dallo sviluppo del progetto– progetto parallelo dei vari componenti/sottosistemi– sottosistemi eterogenei tra di loro– presenza di componenti tempo continue, tempo discrete e ad
eventi• La modellazione è essenziale
Modellazione fisica
Gestione della diversità
• Astrazione• Forme standard di modello• Parametri adimensionali e variabili normalizzate• Utilizzo di librerie• Utilizzo di tool software• Lavoro in team
Modellazione fisica
Modellazione e simulazione
• La modellazione si è sviluppata in parallelo alla simulazione; questo ha avuto un grande impatto sullo sviluppo dei tool di modellazione
• Tecniche di simulazione– analogica: costruzione di sistemi elettrici o meccanici di
simulazione– digitale: utilizzo di metodi di simulazione approssimati con
soluzione numerica delle equazioni differenziali• Ambienti di simulazione odierni
– simulatori analogici virtuali– facili da utilizzare– granularità e strutturazione– interfaccia grafica e utilizzo di schemi a blocchi– integrazione con ambienti di controllo ed identificazione– esempi: Simulink, VisSim, . . .
Modellazione fisica
Schemi a blocchi
• L’utilizzo di schemi a blocchi rappresenta una forma di astrazione che è anche un esempio di incapsulamento dell’informazione
• Rappresenta una maniera elegante per strutturare un sistema• E’ in relazione diretta con le funzioni di trasferimento• Presenta comunque delle limitazioni
– molto lavoro di preparazione per passare dal modello fisico alloschema a blocchi
– modello orientato con ingressi ed uscite• Esistono altri paradigmi, non ancota sufficientemente maturi
– equazioni algenrico-differenziali– Modelica
Modellazione fisica
Limitazioni degli schemi a blocchi
• Gli stati possono scomparire– un condensatore si descrive con una variabile di stato– due condensatori connessi in parallelo?– è possibile ottenere il modello del parallelo tramite composizione
dei modelli elementari dei due condensatori?• Il modello dipende dal contesto
– modellazione di una resistenza: dipende da cosa viene definito come ingresso
– la stessa equazione appare in molte forme– facile commettere errori– difficile da cambiare– difficile costruire delle librerie di componenti
RVIIRV /== ?
Modellazione fisica
Metodologia di modellazione
• Dividere un sistema in sottosistemi• Equazioni di bilancio di massa, momenti ed energia• Costruire e/o utilizzare librerie di componenti (orientati)• Attività
– capire il plant– rappresentarlo– derivare il modello matematico– analisi delle prorpietà stazionarie– linearizzazione delle dinamiche non lineari– approssimazione e semplificazione– validazione– definire componente di libreria
Modellazione fisica
Attività di modellazione
• Capire il plant– meccanismi e funzionamento– ordini di grandezza– standard– limitazioni
• Rappresentare il plant– schizzi– schemi a blocchi– diagrammi di flusso
• Modelli matematici– scopo– assunzioni e ipotesi– scrittura delle equazioni– normalizzazione delle variabili– range di validità
Modellazione fisica
Attività di modellazione
• Modelli matematici– definizione di ingressi, stati ed uscite– parametri e parametri adimensionali– valori numerici di progetto e/o identificazione parametrica
• Analisi dei modelli – proprietà stazionarie– nonlinearità– simulazione– linearizzazione
• Tipi di modello– relazioni statiche– equazioni differenziali ordinari– equazioni differenziali alle derivate parziali– macchine a stati, reti di Petri, Statecharts e SFC– ibridi
Modellazione fisica
Attività di modellazione
• Analisi del modello linearizzato– equazioni– normalizzaizone e parametri adimensionali– relazione con i parametri fisici– range di validità– funzione di trasferimento– risposta frequenziale– costanti di tempo e guadagni– poli e zeri instabili, ritardi
Modellazione fisica
Modellazione su base fisica
• Uno dei metodi più semplici per ottenere un modello di un sistema dinamico è ricavare le relazioni che esistono tra ingressi ed uscite a partire dalle leggi fondamentali della fisica
• Nell’ambito del controllo e della diagnosi si è in genere interessati a modelli semplici. Utilizzo di modelli a parametri concentrati
• L’utilizzo delle leggi fondamentali è utile anche quando non si è in grado di predire il valore numerico dei parametri, per definire almeno la struttura del modello
• E’ facile ricavare modelli complessi come interconnessione di modelli elementari
• I vari ambiti applicativi portano a modelli elementari con la stessa struttura matematica
• Equazioni differenziali del primo o secondo ordine
Modellazione fisica
Modelli di sistemi elementari
• I componenti elementari possono essere classificati in base al loro comportamento rispetto all’energia– dissipatori– accumulatori (di due tipi)– convertitori
Modellazione fisica
Circuiti elettrici
• Legge di Ohm generalizzata: serve per definire i modelli dei componenti elementari– resistenze– capacità– induttanze
• Leggi di Kirchoff: servono per connettere i sistemi elemetari– somma di correnti in un nodo– somma di tensioni su una maglia
• Sistema di riferimento di solito fissato dalla massa comune; attenzione alla composizione di sistemi con masse separate
Modellazione fisica
Modelli di sistemi elementari
• Sistemi elettrici elementari– resistore– induttore– condensatore– trasformatore
• Componenti attivi: inseriscono energia nel sistema– amplificatore– transistore
Modellazione fisica
un modello matematico ( )
( ) Rivv
vvR1i
21
21
=−
−=
parametro: resistenza
v1 v2
i I
2d
2d
d
RiPRvP
viP
=
∆=
∆=
potenza dissipata
Dissipatori di energia
• Conduttore elettrico– specifiche: capacità e induttanza nulle – modello per: studiare la relazione tensione/corrente
Modellazione fisica
un modello matematico( )
( ) ∫=−
−=
dtiC1vv
dtvvdCi
21
21
v1 v2
i
capacità elettrica2
a vC21E ∆=
energia accumulata
Accumulatori di energia - 1° tipo
• Condensatore ideale– specifiche: non c'è resistenza, non c'è induttanza– modello per: studiare la relazione tensione/corrente
Modellazione fisica
un modello matematico ( )
( )dtvvL1i
dtdiLvv
21
21
∫ −=
=−
ii
v2v1
2a Li
21E =
energia accumulata
induttanza
Accumulatori di energia - 2° tipo
• Induttore ideale– specifiche: non c'è resistenza, non c'è capacità– modello per: studiare la relazione tensione/corrente
Modellazione fisica
• Esempio di circuito elettrico
i(t)v(t)
iL iCiR
i = iL+ iR + iC
Sistemi complessi - equazione del nodo
equazione integro-differenziale dt
)t(dvC)t(vR1dt)t(v
L1)t(i ++= ∫
equazione differenzialedel 2° ordine 2
2
dtvdC
dtdv
R1v
L1
dtdi
++=
Modellazione fisica
• Esempio di circuito elettrico
equazione integro-differenziale dt
diLRidtiC1v R ++= ∫
equazione differenzialedel 2° ordine 2
2
dtidL
dtdiRi
C1
dtdv
++=
v = vC + vR + vL
i(t)v(t)
Sistemi complessi - equazione della maglia
Modellazione fisica
Costruzione di modelli meccanici
• La procedura per la costruzione di modelli meccanici risulta la seguente– definizione del sistema di riferimento inerziale– scomposizione del sistema in componenti (elementi rigidi)– definizione delle forze/coppie agenti su ciascun elemento, con
esplicitazione delle forze interne secondo il principio di azione/reazione
– scrittura delle equazioni elementari per ciascun elemento– eliminazione delle forze interne
• Nel caso di strutture complesse con vincoli, la procedura precedente può risultare laboriosa; esistono metodi più efficacibasati su considerazioni energetiche e coordinate generalizzate
Modellazione fisica
Costruzione di modelli meccanici
• I modelli elementari hanno un modello costituito da una equazione statica o da una equazione differenziale del primo ordine
• La combinazione di modelli elementari porta in genere ad una equazione differenziale di ordine più elevato tra ingresso ed uscita (modello I/O)
• Nello studio del comportamento del sistema, le condizioni iniziali giocano un ruolo fondamentale
• L’evoluzione del sistema è univocamente determinata una volta definite la funzione di ingresso e le condizioni iniziali
Modellazione fisica
Sistemi meccanici
• Seconda legge di Newton: serve per definire i modelli dei componenti elementari– moti traslatori
– moti rotativi
• Terza legge di Newton (principio di azione e reazione): serve per connettere i sistemi elemetari
• Non trascurare la prima legge: serve per scegliere il sistema diriferimento rispetto al quale le equazioni diventano semplici
amf =
αJT =
fm
x 1=
TJ1
=ϑ
fm
v 1=
TJ1
=ω
Modellazione fisica
Moti rotativi e rototraslazioni
• Nei moti rotativi valgono esattamente le stesse considerazioni dei moti traslazionali, con le sostituzioni
posizione lineare <=> posizione angolarevelocità lineare <=> velocità angolare
accellerazione lineare <=> accellerazione angolareforza <=> coppia
massa <=> momento di inerzia
• Nelle rototraslazioni, nella composizione dei moti dei vari componenti si usa la relazione tra forza e coppia e tra variabili angolari e variabili lineari
CJJJ === αωϑ
ωrvfrC ==
Modellazione fisica
un modello matematico
fv
vf
β
β1
=
=
f
vy
parametro: attrito viscoso2
2
1 fP
vP
fvP
d
d
d
β
β
=
=
=potenza dissipata
Dissipatori di energia
• Ammortizzatore– specifiche: massa nulla, corpi rigidi – modello per: studiare la relazione velocità/forza
Modellazione fisica
un modello matematico
∫==
===
fdtm
vdtdvmf
dtdyv
dtdvamaf
1
massa concentrata2
21mvEa =
energia accumulata
f
my
v
Accumulatori di energia - 1° tipo
• Massa ideale– specifiche: non c'è attrito, non c'è elasticità– modello per: studiare il moto
Modellazione fisica
un modello matematico
∫==
===
cdtJdt
dJc
dtd
dtdJc
1ωω
ϑωωαα
221 ωJEa =
energia accumulata
momento di inerzia
c ϑ
J
Accumulatori di energia - 1° tipo
• Inerzia ideale– specifiche: non c'è attrito, non c'è elasticità– modello per: studiare il moto
Modellazione fisica
f
yy2
f
y1
v2v1
un modello matematico ( )( )
( )dtdfk
vv
dtvvkf
yykf
121
21
21
=−
−=
−=
∫
rigidità
221 fk
Ea =
energia accumulata
Accumulatori di energia - 2° tipo
• Molla ideale– specifiche: non c'è massa, non c'è attrito– modello per: studiare la relazione velocità/forza
Modellazione fisica
Espressione della forza
• Forza elastica– molle lineari
– molle non lineari
• Forza di attrito– statico e dinamico
– viscoso lineare
– viscoso non lineare
xkfe =
asadnadadnasas ccFcfFcf <==xbfv =
( )…,,, 32 xxxff vv =
03 ≠+= nlnle kxkxkf
xk
vb M
gMgMcs
fxbxkfxM −−=
Modellazione fisica
c1
c2
ω1
ω2
Componenti cinematici
• Riduttore meccanico– specifiche: non c'è attrito, – modello per: studiare la relazione rotazione1/rotazione2
un modello matematicobilancio di potenze
2211 ωω cc =21
ωω
=rk
rapporto diriduzione
rkccc 2
212
1 ==ωω
Modellazione fisica
Componenti cinematici
• Riduttore meccanico– specifiche: non c'è attrito, – modello per: studiare la relazione rotazione1/rotazione2
222
212 2
121 ωω JJ eq =
J2eq
ω1
J1
c1
un modello matematico
( )dtdJJ
dtdJ
dtdJc eqeq
121
12
111
ωωω+=+=2
222
1
22
2rk
Jeq JJ ==
ω
ω
J2
ω1
ω2
J1
c1
Modellazione fisica
La lagrangiana
• Si introducono– le coordinate generalizzate q– i momenti generalizzati p
• Si calcolano– l’enervia potenziale V(q)– l’energia cinetica T(p,q)
• Si definisce la lagrangiana
• Le equazioni del moto sono date da
( ) ( ) ( )qVqpTqpL −= ,,
FqL
qL
dtd
=∂∂
−∂∂
Modellazione fisica
Pendolo su carrello
x
θl
pm
carm F
( )( )
( )( )θθ
θθ
θ
θ
sen
cos
cos
sen
ly
lxx
ly
lxx
p
p
p
p
−=
+=
=
+=
• Energia potenziale
• Energia cinetica
( )θcoslgmV p=
( )( ) ( )
( )θθθ
θθθ
cos21
21
cos21
21
21
21
22
222
222
xlmxMJ
xlmxmmlm
yxmxmT
pp
pcarpp
pppcar
++=
+++=
++=
Modellazione fisica
Equazioni del moto
• Equazioni di Lagrange
danno
( )
( )θθ
θθθ
cos
cos
lmxMxL
xlmJL
p
pp
+=∂∂
+=∂∂ ( ) ( )
0
sensen
=∂∂
−=∂∂
xL
xlmlgmLpp θθθ
θ
FqL
qL
dtd
=∂∂
−∂∂
( ) ( )
( ) ( ) FxMlmlm
lgmxlmJ
pp
ppp
=+−
=−+
θθθθ
θθθ
sencos
0sencos2
Modellazione fisica
Esempio - Capire il plant
• Le equazioni hanno senso?• Qual’è l’interpretazione dei singoli termini?• Cosa capita se il carrello è molto pesante?• Qunado si può trascurare l’interazione tra pendolo e carrello?• Qual’è una normalizzazione adeguata?• Quanti parametri indipendenti sono presenti?
Modellazione fisica
Esempio - normalizzazione
• Le equazioni del moto si possono scrivere come
• Si ottengono quattro parametri ancora non adimensionali• Normalizzazione della dimensione lineare
• Normalizzazione della scala temporale
( ) ( )
( ) ( )MF
Mlm
Mlm
x
Jlgm
xJlm
pp
p
p
p
p
=−+
=−+
θθθθ
θθθ
sencos
0sencos
2
tJlgmt ppo ==ωτ
lxxlxx nn // ==
Modellazione fisica
Esempio - normalizzazione
• Le equazioni normalizzate divengono
dove u è l’accellerazione normalizzata• Il sistema normalizzato presenta un unico parametro
adimensionale
( ) ( )
( ) ( ) uM
FMm
Mm
x
x
o
ppn
n
==−+
=−+
22 sencos
0sencos
ωθθθθ
θθθ
Mmp=β
( ) ( )( ) ( ) ux
x
n
n
=−+
=−+
θθβθθβ
θθθ
sencos
0sencos2
Modellazione fisica
Esempio - linearizzazione
• Linearizzazione intorno ai punti di equilibrio• Determinazione dei punti di equilibrio
• Equazioni linearizzate
• Si noti il cambiamento di segno a seconda dell’equilibrio considerato
=⇒====
πθθθ
,000
exx
( ) ( )( ) ux
x
en
een=+
=−+
θθβ
θθθθ
cos0coscos
INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO
Modellazione su base fisica Modellazione su base fisica -- finefine
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Tel: 051 2093020email: [email protected]
