158

2.2. PRORAČUN PROSTIH CEVOVODA. PROFILI BRZINA

2.2.1. Hidraulički proračun prostog cevovoda

U Odeljku 2.1.5 rečeno je da se pod prostim cevovodima podrazurnevaju oni cevovodi kod kojih postoji jedna strujna cev konstantnog t!ipromen!;ivog poprečnog

preseka, odnosno to su oni cevovodi kod kojih postoji samo jedan glavni pravac strujanja. Posmatra se prosti cevovod sa s1.2.2.1 koji spaja rezervoare A i B u kojima iznad nivoa tečnosti vladaju pritisci Pl i P2' Posle uspostavljanja

H

stacionarnog strujanja sa srednjom brzinom v, u prostom cevovodu dužine l i prečnika d, koeficijent trenja će biti A a suma lokalnih otpora L7=ISj

·' Između nivoa tečnosti

1-1 i 2-2 u rezervoarima A i B može da se uoči samo jedan glavni pravac strujanja pravac a-a (označen

L---4���� 2 strelicama), za koji se postavlja

Slika 2.2.1

Bernulijeva jednačina Pl P2 l � v2 -+gH= -+(A-+ L..S )-p p d· j=1 ' 2

iz koje se odredjuje brzina strujanja - odnosno protok tečnosti

V = d2

1f. V = d21f. i2g(H + Pl - P2')/(Ai+ ,n r ) 4 4 <OJ pg d L...,=IS,

Kod prostih cevovoda sa promenljivim površinama poprečnih preseka, OSIm Bernulijeve jednačine, važi i jednačina kontinuiteta

V = � = V2 = ... Vm = const. gde je m broj nizstrujnih promena preseka. Prema tome, ove dve jednačine služe za

htdrauličkiproračun prost th cevovoda. Kod prostih cevovoda mogu se rešavati tri grupe problema, i to: određivaIije

protoka kroz zadatu geometriju cevovoda, određivanje prečnika cevovoda koji omogućava projektovani protok i određivanje karakteristika strujne mašine za zadati protok i geometriju cevovoda. Koji od ovih zadataka treba rešavati zavisi od projektnih zahteva.

2.2.2. Hidraulička karakteristika prostog cevovoda sa rednim povezivanjem grana

U cilju određivanja hidrauličke karakteristike prostog cevovoda sa n redno povezanih grana, posmatraće se prosti cevovod prikazan na s1.2.2.2.1 u kojem su otpori dati sa ekvivalentnim koeficijentima otpora deonica Cj (i=1,2, . . ,n) . U i-toj deonici, površine poprečnog preseka Aj, srednja brzina strujanja Vi daje protok Vj' dok će koeficijent hidrauličke karakteristike biti Kj = pCj / (2 Aj2). Za strujanje u redno povezanim granama važi zbir padova pritisaka

Proračun prost th cevovoda. Profili brzina 159

V=const.==>

� �---'--� W l4---_f'.....:.P..LL--..j

f'..p

V=const. Slika 2.2.2.1 Slika 2.2.2.2

i jednačina kontinuiteta

n n 2 n " " Vi " . 2 I'1p = L..I'1Pi = L..pCi - = L..Ki� , ;=1 ;=1 2 ;=1

(2.2.1)

v = Vl = V2 = .. = Vn = cons!. (2.2.2) Predstavljanjem ukupnog pada pritiska u jednom od oblika:

2 . 2 I'1p = pCejvjI2 =KeV , u kojima su Ke -ekvivalentni koeficijent hidrauličke karakteristike i Cej-ekvivale­ntni koeficijent otpora cevnog sistema određen za j-tu deonicu; te korišćenjem jednačina (2.2.1) i (2.2.2) dobivaju se ekvivalentne karakteristike prostog cevovoda sa rednim povezivanjem

n Ke = LK; (2.2.3)

;=1 Grafička interpretacija hidrauličke karakteristike prostog cevovoda sa tri redno povezane deonice prikazana je na s1.2.2.2.2. Do ekvivalentne hidrauličke karakteristike dolazi se na sledeći način: prvo se u I'1p - V dijagramu ucrtaju pojedinačne krive K;, a zatim se koriste zavisnosti (2.2.1) i (2.2.2), tj. za jedan protok (V = eonst.) sabiraju se padovi pritisaka u tačkama a, b i e, .čime se dobija pad pritiska I'1Pd = I'1Pa +l'1h +I'1Pc u tački d koja leži na ekvivalentnoj krivoj cevovoda. Ponavljanjem ovog postupka za celokupno područje protoka dobija se ekvivalentna kriva cevovoda (kriva Ke) sa rednim povezivanjem deonica. Opisani postupak u potpunosti važi i za prosti cevovod sa n redno povezanih deo nica, s tim što se tom prilikom grafički obim posla znatno povećava.

ProDIem 2.2-1. Voda struji od rezervoara A ka rezervoaru B kroz prosti cevovod promenljivog poprečnog preseka. Odrediti protok vode ako su ugrađeni lokalni otpori: us is sa oštrom ivicom, kuglasta slavina postavljena pod uglom 0.=10°, kri­vina sa odnosom R = 4dl , suženje pod uglom 0.=30°, zasun otvoren na h I d3 = 0,5 Krivine Kl i K2 nalaze se na rastojanju 9 I 8· d 3' Dati podaci su: d l =40mm, d2=60mm, d3=50mm, II =lOm, 12 =20m, 13=30m, H=2m, Pm =981OPa, A=0,02. REŠENJE' Da bi se odredio protok vode potrebno je koristiti Bernulijevu jednačinu (2.1.20). Međutim, u ovoj jednačirii nisu poznati strujni gubici, pa se zato koristi jednačina (2.1.25), a u njoj su nepoznate vrednosti lokalnih otpora. Zato će se, prvo, odrediti koeficijenti lokalnih otpora prema karakterističnim podacima iz teksta zadatka. Koristeći tabelu T.2.1.5.2.4 za usamljene lokalne

160 Proraćun prostIh ceJJoJJoda. Proji!ibrzina

H

Slika P.2.2-1

za nivoe 1-1 i 2-2, koja glasi

otpore Su =0,5 krivinu,

dobivaju se vrednosti: - za usis, Sk =0,132 -

Ss =0,29 kuglastu slavinu, ssu =0,005 suženje i Sv =2,35 - zasun ventila; kao i Sk =3,30 - za krivine Kl i K2 koje

1+2 su u interferenci (tabela 2.1.5.2.5). Sada, kada su poznate vrednosti strujnih otpora pristupa se postavljanju Bernulijeve jednačine,

l 2 2 2 2 Pm j Vj (v2 -Vj) 12 V2 13 V3 -p-+ gH = (C,u +c,s + Ad/2:+ 2 +(C,k +A d2 )2+(C,su +C,k,+Z +c,v +A d3 + 1)2 Kako su u Bernulijevoj jednačini nepoznate tri brzine to dve od njih treba elimi­nisati. Kod prostih cevovoda to je lako moguće jer važi jednačina kontinuiteta

. dj2n d;n d;n V = v --=v --=v -- . j 4 2 4 3 4 '

iz koje sledi veza između brzina: v2 = vj( dj /d2)2 i V3 =vj( dj /d3) 2. Konačno,

koristeći uspostavljene veze između brzina i Bernulijevu jednačinu, dobija se brzina strujanja

sa kojom protok vode iznosi V =2,483 lis.

Problem 2.2-2. Pumpa transportuje vodu od rezervoara A ka rezervoaru B. Voda se istovremeno vraća IZ rezervoara B u rezervoar A kroz povratni vod dužine l. a) Odrediti snagu pumpe. b) Ako ugrađena pumpa ima karakteristiku Yp = a-bV2, nacrtati hidrauličku karakteristiku cevovoda (bez povratnog cevovoda) i naći radnu tačku. c) U tačkama e i D, neposredno ispred i iza pumpe, mere se pritisci pomoću instrumenata Vl i Ml koji se nalaze na visinama hc=0,5m i hD=0,7m od zida cevi, redosiedno. Dužina usisne cevi je lc =4m. Odrediti pritiske koje pokazuju vakumetar Vl i manometar Ml. d) Ako se otpor S promeni jedanput na Sj =10, a drugi put na S2 =20 odrediti protok tečnosti i nacrtati nove hidrauličke karakteristike cevovoda. Koliki tada treba da budu koeficijenti otpora ventila vo da bi nivoi tečnosti u rezervoarima bili konstantni? e) Ako se u sistemu nalazi tečnost kinematičke viskoznosti v = 5.10-4 m2 / s, koja struji laminarno, odrediti kolika je tada potrebna snaga pumpe? f) Nacrtati dijagram hidrostatičkih pritisaka za prosti cevovod između rezervoara A i B. Nivoi tečnosti u rezervoarima su konstantni.

Proračunprostih cevovoda. Proji!ibrzina 161

k 90+---+---+---+-�+'��� 80+---+---+---�-7�T-��

� "';. 70 +---+---+----b"-7"--r+-�+------1 ,..

60 +---+---+T�+---+-�+-� 50�--�--+---+---+-�+------1

v

o 2 3 6 a) v [Vs] b)

Slika P 2.2-2 Dati podaci su: Pm =lKPa, PV =lKPa, h =5m, H=lm, 1=4m, L=20m, (, U =0,5, (,k =0,5, ('vo=17 ,2 , ('v =2,5, (,=15, A=0,02, IIp=80%, d=50mm, D=60mm, a= lOO, b=698308 .

.RESENJE a) Za određivanje snage pumpe koristi se izraz (2.1.102). Ali, da bi se on uspešno primenio treba, prethodno, odrediti protok i napor pumpe. Da bi se odredio protok, treba poznavati brzinu strujanja, zato će se prvo odrediti brzina strujanja. Ako se uoče nivoi tečnosti u rezervoarima A i B, l-l i 2-2, i između njih - za povratnu cev p.9stavi Bernulijeva jednačina

1-211 Pm+gh=_Pv+((, +(, +A.i+l) V5, (1) p p u vo d 2 tada se dobija brzina strujanja u povratnom vodu

Vo = 2g(h + Pm p:Pv ) jC('u +(,vo + A � + l) = 2,243 � .

Na osnovu ove brzine i jednačine kontinuiteta vod2n I 4 = vD2n 14, koja važi i za rezervoar A i za rezervoar B, dobija se brzina strujanja u potisnom vodu: V = Vo Cd I D)2 = 1,558ml s, shodno kojoj je protok V =4,405 lis. S druge strane, iz Bernulijeve jednačine postavljene za nivoe 1-1 i 2-2

Pv Pm L v2 -p+Yp =p+gh+C('u+2('v+2('k+(,+A D+l)2 (2)

dobija se napor pumpe Y p =86,45J/kg. Konačno, shodno izrazu (2.1.102) određuje se snaga pumpe

p = pYi 11lp = 476 W. b) Iz Bernulijeve jednačine (2) sledi hidraulička karakteristika cevovoda

Ye = A +BV2 (3) u kojoj su konstante

A Pm + Pv h B l C 4 )2 cr 2r 2r r o L l) = P

+g , ="2 D2n "'u+ "'v+ "'k+"'+!I. D + (4)

162 Proraćun pros/th cevovoda. Profili brzina

Grafički prikaz zavisnosti (3) dat je na dijagramu sa sl. P.2.2-2b. Na istom dijagramu je, takođe, ucrtana karakteristika pumpe Yp' U preseku krive karakte-ristike pumpe Yp i karakteristike cevovoda Ye dobija se radna tačka RT, kojoj odgovaraju vrednosti: Ji' =4,405 lis i Yp = 86,45Jlkg, a koje su već određene u zadatku pod a). c) Primenom Bernulijeve jednačine za preseke 1-1 i e

.:..P-"a_ -_P�v H Pc s r " lc v2 +g =-+( +", +11,-+1)-p p u v D 2' i jednačine hidrostatičke ravnoteže P e = Pa - Pv1 + pghe' dobija pokazivanje vakummetra

p lc 2 Pv1 = Pv + pg(he -H)+"2(su +sv +A D +1)v = 9511Pa . Kako su preč nici usisnog i potisnog cevovoda isti (Dc = DD = D), to će porast totalnog pritiska u pumpi biti jednak porastu statičkog pritiska.

I'lp = pYp = PD - Pc-Koristeći dalje jednačinu hidrostatičke ravnoteže PD = Pa + PM + pghD' dobija se

I pokazivanje manometra

PM1 = I'lp- PV1 + pg(hc -hD ) = 74977 Pa. d) Kada se otpor u cevovodu S promeni na Si (i=1,2) brzina strujanja će biti Vi'

Ova brzina se određuje iz Bernulijeve jednačine postavljene za nivoe 1-1 i 2-2

P P ( . L ) V2

-�+Y =-EL+gh+ S +2s +2sk+C,+AD +I-2' , p P; p u v , koja nakon uvrštayanja napora pumpe Yp; = a - b �2 , iznosi

V =

a-(gh+�) = J 1,665 � (i = l)

, b(D:71r+t(Su+2Sv+2Sk+Si+Ai+l) ll,470� (i=2)

Sa ovim brzinama strujanja dobivaju se novi protoci vode koji iznose V1 =4,708 lis i V

2 =4, 155 lis. Ako se nova karakteristika cevovoda, prema jednačini (3) predstavi

u obliku Ye = A + By2, u kome je koeficijent Bi određen izrazom (4), i kada se I

umesto S uvrsti novi otpor Si (B1=1511478, B2=2136918), tada grafički prikaz ove zavisnosti izgleda kao na dijagramu sa s1.2.2.4b. Sa dijagrama je očigledno: da manjim otporima u cevovodu odgovaraju veći protoci i manji napori, i obrnuto, što se može iskoristiti za regulisanje pr%ka tli napora u instalacijama.

Da bi se nivoi tečnosti u rezervoarima održavali konstantnim treba da je zadovoljen uslov Ti; = VOi' pa prema tome izmedju brzina treba da postoji veza Voi = v.i (D / d) 2. S druge strane da bi se ostvarile ove brzipe strujanja u povratnoj deonici otpor ventila Svo mora da ima novu vrednost Svo' Za odredjivanje ovog

I

otpora ventila koristi se Bernulijeva jednačina za preseke 2-2 i 1-1

Proračun prostIh cevovoda. Projili brzina 163

2 Pm h py � I V o; -+g =--+(<; +<; + /\.-+1)-p p u VOi d 2 iz koje se posredstvom jednačine (1) dobija

l v 2 l {14,68 <;YO = (<;U +<;YO +A-d +1)(-) -(<; ++A-d + 1) = i V;

u 19,70 (i = l) (i = 2)

e) U slučaju da je strujanje u cevima laminarno koeficijent trenja se određuje primenom izraza (2.1.29), zamenom kojeg se iz jednačine (1) dobija kvadratna jednačina za brzinu

2 vl Pm + Py (Su+SYo+l)vo+64d"2vo-2(gH + p ) = 0 čije je pozitivno rešenje vo= 1,339mJs. Sa ovom brzinom dobija se brzina strujanja i koeficijent trenja u cevi prečnika D: v=0,930rnJs i A=64IRe=0,573. Zamenom veličina v i A u jednačinu (1) dobija se napor pumpe Yp = 143,52 J/kg sa kojom snaga pumpe iznosi P=472 W. f) Radi kraćeg zapisa pojedinačnih lokalnih otpora sa sl.P.2.2-2c uvode se oznake za padove pritisaka

!lp; = Ps;v2 12, (i = u, v,k,s,B) !lp} = pAx} I D· v2 12, (j= 1, ... ,7),

!'1P3 Slika P.2.2-2c

164 Proračun prostIh cevovoda. Profili brzina

pri čemu su t1Pi gubici pritiska na lokalnim otporima: usisa, ventila, krivine, otpora S i naglog proširenja, redosiedno; dok su t1p j gubici usled trenja na pravolinijskim deonicama između lokalnih otpora. Zbir dužina ovih deonica daje ukupnu dužinu cevovoda L = L�:� Xj . Raspored pritiska po dužini bilo kog loka­lnog otpora zavisi od geometrije lokalnog otpora i određuje se eksperimentalno. Za razliku od lokalnih otpora raspored pritiska kod pravolinijskih deonica je veoma jednostavno nacrtati, jer je promena pritiska linearna funkcija od dužine cevne deonice. Koristeći napred već rečeno na sl. P.2.2-2c nacrtan je raspored relativnih (u odnosu na stanje atmosfere) hidrostatičkih pritisaka po dužini cevovoda. Na nivou tečnosti u rezervoaru A vlada apsolutni pritisak p a - Pv' odnosno relativni pritisak - Pv' Do nivoa visine us isno g otvora cevi hidro st atički pritisak se povećava na vrednost - Pv + pgH. Od ove vrednosti na ulazu u usisni cevovod pa do tačke C, koja je na ulazu u pumpu, zbog lokalnih otpora usisa (t1pJ i ventila (t1pJ i otpora trenja (t1Pl +t1P2)' pritisak opada na vrednost Pc' Zbog dovođenja energije pumpi pritisak u njoj raste za t1p. Na samom izlazu iz pumpe vlada pritisak PD koji predstavlja maksimalnu vrednost hidrostatičkog pritiska u hidrauličkoj instalaciji. Od ove vrednosti na dalje potisnim cevovodom pritisak opada zbog lokalnih (2t1Pk,t1Pv,t1pt, i t1PB) i usputnih (t1Pj; j=3, ... ,7) otpora, da bi na nivou tečnosti u rezervoaru B imao relativnu vrednost Pm' PrOblem 2.2-3. Iz akumulacionog jezera 1200 lis vode protiče kroz turbinu, pri tome pretvarajući strujnu energiju u koristan mehanički rad. Odrediti snagu turbine ako je ugrađeni cevovod: a) betonski neobrađen i b) od novih čeličnih varenih cevi. Lokalne otpore računati kao 10% od gubitaka usled trenja. Dati podaci su: D=lm,�=3km,H=100m, v=I,06.1O-6m2 ls, 'l1T =70% .

.RESENJE Na osnovu protoka dobija se brzina strujanja v = 4V 1 D2n = 1,528ml s , sa kojom je Rejnoldsov broj Re = vD 1 v = 1,441.106. Iz Bernulijeve jednačine postavljene za nivoe tečnosti u akumulacijama dobija se izraz za napor turbine

H

Slika P.2.2-3

L v2 YT =gH-l, lA. D 2:

u kome se koeficijent trenja određuje primenom izraza (2.1.81). Snaga turbine, prema izrazu (2.1.55), je : P = P VYTll T . a) Za betonske cevi iz tabele 2.1.5.1.5 se dobija srednja visina neravnina 8=1,5mm, sa kojom je koeficijent trenja A.=0,0218. Za ove ce vi snaga turbine iznosi P=753,4 kW.

b) Za.nove čelične cevi iz T.2.1.5.1.5 sledi visina neravnina 8=0,05mm sa kojom je A.=0,0109, pa će snaga turbine biti P=788,7 kW. Dakle, očigledno je da se smanjivanjem visine neravnina smanjuje koeficijent trenja čime se korisna snaga turbine povećava.

Proračun prostth cevovoda. Profili brzina 165

Proulem 2.2-4. Grad B na nadmorskoj visini od 50m snabdeva se vodom za piće iz akumulacionog jezera A koje se nalazi na nadmorskoj visini od ISOm. Potrebe grada su V =80 lis vode. Lokalni otpori iznose 20% od gubitaka na trenje. Odrediti: a) snagu pumpe koju je potrebno ugraditi II cevovod prečnika d=200mm, b) protok kroz cevovod u slučaju nestanka električne energije, c) prečnik cevovoda da bi se projektovani protok ostvario bez pumpe, d) ako je pumpa koja se nalazi u cevovodu (u zadatku pod a)) sa karakteristikom

'2 . 3 . Yp = a-bV , (a=800J/kg, b=38703, V[m ls]), u dijagramu Y-V ucrtati radnu tačku pumpe. U istom dijagramu ucrtati i radne tačke pod b) i c). e) Ako cevovod ima prečnik cevi iz zadatka pod c), a u njemu se nalazi pumpa karakteristika datih u zadatku pod d) odrediti koliki će tada biti protok vode kroz cevovod i u dijagramu Y-V ucrtati novu radnu tačku. Koeficijent trenja određivati primenom obrasca A.=0,0054+0,396/Reo.3, koji važi za Re<2·106. Dati podaci su: 1=6km, v = 10-6 m2 1 s, T]p =70%.

Y ,--� y.' e

v

Slika P.2.2-4 RESENJE' a) Iz Bernulijeve jednačine postavljene za nivoe tečnosti u akumulacijskim jezerima, koja glasi

1 v2 Yp =-gH+1,2A.d2, (1)

pri čemu su: H=100m - visinska razlika između nivoa tečnosti u akumulacijama, v = 4V 1 d2n = 2,55ml s - brzina strujanja koja odgovara projektovanom protoku i 11.=0,0131 - koeficijent trenja određen datim izrazom; dobija se napor pumpe Yp=552,3 J/kg. Sa ovim naporom snaga pumpe iznosi P=63,12 kW. b) Kada nestane električne energije napor pumpe je Yp =0, pa će tada voda strujati sa novom - manjom brzinom Vj koja će dati novi koeficijent trenja Aj' Ako se ove veličine uvrste u jednačinu (1), dobija se rešenje za brzinu strujanja

v = 2gHd. l = l 997ml s j 1,2/ 0,0054+0,3961 (vjd Iv)o,3 '

koje je nađeno numeričko m metodom proste iteracije opisanom u Odeljku 2.1.4.1.5. Sa ovom brzinom novi protok iznosi Vj = vjd2n 14= 62,811 s. Ako je

166 Proračun prostth cel/ol/oda. Profili blZina

pumpa dugotrajno van pogona, bez obzira da li se radi o nestanku električne energije ili o kvaru, tada treba pristupiti restrikciji potrošnje vode. c) Ako ugrađeni cevovod ima prečnik D tada će brzina strujanja kroz cevovod i

koeficijent trenja biti v2 = 4V / D2n i A2. U ovom slučaju iz Bernulijeve jednačine

(1), u kojoj je Yp =0 jer nema pumpe u cevovodu, dobija se prečnik cevovoda

D = s ��( 4: J[ 0,0054+0,396 (:: f 3 .D O'3] = 219mm ,

a njegova brojna vrednost odredjena je primenom metode proste iteracije. Kao rešenje za prečnik D treba usvojiti prvi veći standardni prečnik cevi. Ekonomskom analizom treba utvrditi koja je varijanta, sa ili bez pumpe, pogodnija. U svakom slučaju poželjnije je rešenje bez pumpe, jer tada nema mogućnosti kvarova pokretnih delova, niti ima eksploatacijskih troškova kroz utrošak električne energije.

d) Iz jednačine (1) sledi da je karakteristika cevovoda Ye = -gH + K AeV) . V2 , pri

čemu je konstanta K = 0,6l / d · e 4/ d2n) 2. Grafički prikaz ove zavisnosti dat je na dijagramu sa sl.P.2.2-4b. Kada se u isti dijagram ucrta kriva karakteristike pumpe, tada se u preseku krivih Ye i Yp dobija radna tačka RT kojoj odgo�araju parametri

V =80 Vs i Yp =552,3 Jlkg.

Za određivanje radne tačke, u slučaju nestanka električne energije, koristi se kriva Ye' S obzirom da je Ye = Yp = O, to sledi da se radna tačka nalazi na V - osi na

mestu preseka sa krivom Ye' i njoj odgovara protok VI =62,8 Vs. Na kraju, ako je

ugrađeni cevovod većeg prečnika, tada će gubici biti manji, pa se karakteristika cevovoda opisuje krivom Y;. Na mestu preseka ove krive sa V - osom dobija se

radna tačka kojoj odgovara projektovani protok od V =80 Vs.

e) Koristeći Bernulijevu jednačinu Ypl = -gH + 1,2A3 ·l / D· v; /2 i izraz za

karakteristiku pumpe Ypl = a -b V32 dobija se jednačina za protok . [' 9,6 l . l· 2 a+gH -Lb+7 DS A(V3) JV3 = 0,

koja ima rešenje V3 =97,47 Vs, nađeno metodom iteracije. Pri ovom protoku vode

pumpa će raditi u radnoj tački RT3 sa naporom Ypl =432,3 Jlkg i trošiće snagu

P3 =60,197 kW.

Problem 2.2-5. U hidrauličkoj instalaciji prikazanoj na sl.P.2.2-5 nivoi vode u rezervoarima su konstantni. Odrediti snagu ugrađene pumpe. Dati su podaci: dl=150mm, d2=100mm, d3=125mm, d 4=100mm, II =30m, l2 =10m, l3=5m, l4 =20m, =5kPa, PV =2kPa, h=2m, A=0,02, SU =0,5, Sk =0,5, SvI =2, Sv2=5, Sv3=3, Sv4 =4,5, 11 p =80%. RESENJE Postavljanjem četiri Bernulijeve jednačine i dve jednačine kontinuiteta, dobivaju se: protok V =39 Vs, napor pumpe Yp =61,45 Jlkg i snaga

pumpe P=2997 W.

k

k

Proračun prostth cevovoda. Profili bazna 167

k

V3

k'-----�_r��----------� Slika P 2.2-5

ProDIem 2.2-6. Na instalaciji napunjenoj vodom izvršen je eksperiment u kome se pomoću diferencijainih manometara sa živom mere padovi pritisaka. Na osnovu pokazivanja manometara odrediti koeficijent lokalnog otpora ventila vo i snagu ugrađene pumpe. Strujanje je turbulentno u hidraulički glatkim cevima. Dati podaci su: 1=3m, lo=5m, L=25m, D=50mm, h =1 l , 8mm, h o=lOOmm, H=2m, Su =Sk =0,5, Sv =2, p=1000kg / m3

, Pm = 13600kg/ m3, V = 1,006.10-6 m2 / S, Y\p =80%, L,D k,----------------------��------ ----------------�

k 2 2

k v

u

k k

p,v

Slika P.2.2-6

k 4 vo 3 k 4

lo 3

RESENJE- Prvo će se odrediti brzina strujanja, i to koristeći uslov jednakosti razlike pritisaka dobijene iz Bernulijeve jednačine postavljene za preseke 1-1 i 2-2 i pokazivanja diferencijalnog manometra, i koji glasi

l v2 f').PI_2 = pgl + pA. D 2" = ( Pm - p)gh + pgl.

Kako za hidraulički glatke cevi važi Blazijusov izraz (2.1.63) za određivanje koeficijenta trenja, to se uvrštavanjem istog u razliku f').PI-2 dobija brzina strujanja [ 2 D Pm -P J417 m v = 0,3164 T (-p-)gh = 1,607s .

Sa ovom vrednošću brzine Rejnoldsov broj iznosi Re=79884, čime se potvrđuje da

je primena izraza (2.1.63) opravdana jer je Re < 105, pa će koeficijent trenja imati vrednosti A.=O,O 188.

Na osnovu jednakosti pada pritisaka između preseka 3-3 i 4-4, i pokazivanja drugog diferencijalnog manometra

168 .Proraćun prostih cevovoda . .Profili btzina

lo v2 /),P3-4 = p(Svo +11. D)T = (Pm - p)gho '

dobija se, eksperimentalnim putem određena, vrednost koeficijenta lokalnog otpora ventila

2gh P - P l r = __ 0 _m _ _ A...!L = 7 69 ,"" vo v2 P D "

Konačno, primenom Bernulijeve jednačine za preseke O-O i 5-5, dobija se napor pumpe

L v2 Yp = gH +(Su +2Sv +8sk +Svo +11. D +1)2 = 53,7 J Ikg ,

koji shodno izrazu (2.1.102) daje snagu pumpe P=212 W.

PrOblem 2.2-7. Voz dužine 1=100m, površine poprečnog preseka Av = 8,2m2 i

obima Ov = 9,82m kreće se brzinom Vv = 34,7m/s, kroz tunel dužine L=1140m,

površine poprečnog preseka Atu = 23,l4m2 , obima 0tu = 18,24m i hrapavosti

zidova 0= 5mm (podaci važe za Patchway tunel u Engleskoj). Koeficijenti lokalnih otpora su: na lokomotivi Sz = 0,145, iza voza Sl = 0,15 i na ulazu vazduha u tunel S u = 0,5. Koeficijent trenja u prostoru izmedju voza i tunela je )'0 = 0,06,

dok se tunel sa strujnog aspekta tretira kao hidraulički potpuno hrapava cev. Smatrajući da kretanje voza kroz tunel izaziva stacionarno nestišljivo strujanje odrediti srednje brzine strujanja vazduha u prostoru izmedju voza i tunela i u tunelu.

Ay,Oy,!, 1..0 Slika P.2.2-7

RESENJE: Ulaskom voza u tunel stvara se poremećaj pritiska čija je propagacija tipično nestacionarni proces. Daljim kretanjem voza kroz tunel potiskuje se vazduh ispred i usisava vazduh iza voza, što stvara strujanje vazduha kroz tunel. I pored efekata nestacionarnosti model stacionarnog l-D strujanja daje prvu, veoma dobru, aproksimaciju za brzinu strujanja. Za zadate geometrije tunela i voza definišu se hidraulički prečnici tunela i prostora izmedju voza i tunela

4Atu 4(Atu - Av) Dtu = O- = 5,075m Do = ° ° = 2,13m .

":,0

Slika P.2.2-7.1

tu tu + v Za turbulentno strujanje u tunelu, koji se

" smatra hidraulički potpuno hrapavom cevi, važi Atu izraz (2.1.78) koji daje koeficijent trenja

Atu = 0,11(0 I Dtu) 0,2 5 = 0,0195. Kretanjem ispred sebe voz potiskuje vazduh

protokom vvAv (sl.P.2.2-7.1), a istovremeno

trenjem povlači u prostoru izmedju sebe i

Proračun prost th cel!ol!oda. Profili b/Zina 169

tunela količinu vazduha v oAo' tako da jednačina kontinuiteta glasi:

vtuAtu = vyAy +voAo . Uzimajući u obzir da je Atu = Ay + Ao' i uvodeći karakteristični geometrijski odnos

A = Ay 1 Atu' jednačina kontinuiteta se svodi na oblik

vtu=Avy+(1- A)vo' (a) S obzirom da kroz karakteristične preseke tunela, voza i prostora izmedju voza i tunela ne prolaze iste količine vazduha, to direktna primena Bernulijeve jednačine nije moguća. Zato se koristi jednačina energetskog bilansa, po kojoj se

raspoloživa (kinetička) energija stvorena kretanjem voza myV� 12+mov� 12 troši

na savladavanje strujnih gubitaka u tunelu, odnosno 2 2 2 2 . Vy . Vo L- l vtu. l vo.

my T+mo T= (Su +A.tu -:o-+l)Tmtu +(S/ +S1 +A.o D)Tmo ' (b) tu o pri čemu su maseni protoci mi = pAYi (i=o,tu,v). Eliminisanjem brzine vtu IZ

jednačina (a) i (b) dobija se kubna jednačina l 3 L-l 3 3 (S/ +S1 +A.o D-1)(1-A)vo +(Su + A. tu -:o-+l)[Avy +(l-A)vol -Avy =0, o tu

čijim se numeričkim rešavanjem dobija brzina Vo = 2, 498m I s, posredstvom koje iz

relacije (a) sledi srednja brzina strujanja u tunelu vtu = 13, 91m I s.

2.2.3. Merenje brzine primenom Prandtlove sonde

Veoma često u inženjerskoj i istraživačkoj praksi javlja se potreba za merenjem brzine, odnosno protoka fluida. Jedna od metoda koja se u tu svrhu može koristiti jeste primena Prandtlove sonde (s1.2.2.3). Ova sonda se sastoji od dve koncentriene cevi na kojima postoje dve grupe rupica. Kada se ova sonda postavi u pravcu strujanja, rupica koja se nalazi na njenom vrhu meri zaustavni (totalni) pritisak Pt' dok rupice koje se nalaze na zidu sonde, dovoljno, daleko od

vrha, mere statički pritisak Ps' Razlika totalnog i statičkog pritiska naZIva se

dinamički pritisak

v2 Cip = Pt -Ps = PT ' (2.2.4)

koji ustvari predstavlja kineti­čku energiju struje koja se u zaustavnoj tački sonde (v=O) transformisala u pritisnu ene­rgiju. Ovu razliku pritisaka je veoma jednostavno meriti, na pr. primenom diferencijalnog manometra kao

/':,.P = (Pm - p )ghs' pri čemu su P m i P gustine

manometarske tečnosti i radnog fluida, redosiedno, dok je h s pokazivanje manometra.

i= l i=n

Slika 2.2.3. Merenje brzine Prandtlovom sondom

170 Proraćun prostih cevovoda. Profili baina

Izjednačavajući izmerenu razliku pritisaka sa dinamičkim pritiskom (2.2.4) određuje se brzina strujanja u tački u kojoj je sonda postavljena, kao

�2L1P � Pm V = -P- = 2g(p-l)hs (2.2.5)

Za određivanje protoka fluida potrebno je poznavati ne samo jednu brzinu, već više vrednosti brzina izmerenih u različitim tačkama mernog preseka, čime se određuje profil brzina u preseku. Koristeći tako definisani profil brzina određuje se protok fluida kroz kružni poprečni presek cevi kao . f ldl2

- d2n V = vdA =2n vrdr = v -- . A o

s 4 (2.2.6)

Za određivanje protoka, ili, pak, srednje brzine strujanja v s' u opštem slučaju,

integral u izrazu (2.2.6) treba rešiti numerički, što znatno usložava proceduru određivanja protoka. Za izbe gavanje ovih poteškoća mnogi propisi za merenje protoka fluida definišu položaj postavljanja sonde, tako da je srednju brzinu moguće odrediti kao srednju aritmetičku vrednost izmerenih vrednosti brzina. Tako na pr. za kružne poprečne preseke cevi propis VDI 2044 precizira položaje mernih tačaka na koncentričnim krugovima (s1.2.2.3) na rastojanjima merenim od zida cevi

(2.2.7)

pri čemu je n ukupan broj mernih krugova, a i= l, _ _ _ _ _ ,n merni .krug na kome je postavljena sonda. Kako na svakom krugu ima po dve merne tačke, jedna na rastojanju aj / d, a druga simetrično od ose cevi na rastojanju l-aj / d , to je

ukupan broj mernih tačaka 2n. U svakoj od mernih tačaka brzina strujanja se određuje izrazom (2.2.5)

Vj =�2g(Pm/p- l) Jh::, (j=l, _ _ _ ,2n), (2.2.8)

dok se srednja brzina strujanja određuje kao srednja aritmetička vrednost l2n 1 �2n Vs =-"Lv =- 2g(�-1)"LJh::, 2n j=l J 2n P j=l ,J

(2.2.9)

a protok fluida iznosi V = V sd2n /4. Broj mernih krugova može biti proizvoljno

izabran, ali, ipak, najčešće se bira n=5 čime se ukupno ima 10 mernih tačaka u strujnom prese ku. Ako je merni presek dovoljno daleko od lokalnih otpora i u njemu se ima razvijeni profil brzina tada je dovoljno izvršiti merenja samo u jednom pravcu provlačenjem sonde kroz poprečni presek (kao na s1.2.2.3). U suprotnom potrebno je meriti u dva ortogonalna pravca koji prolaze kroz poprečni presek.

Problem 2.2-8. Za utvrđivanje karakteristike ventilatora, kružnog ulaznog otvora preč nika d=200mm i kvadratnog izlaznog otvora stranice a=170mm, izvršene su dve serije eksperimenata. a) U prvoj seriji eksperimenata izvršeno je baždarenje ulazne mlaznice, konstantne protočne karakteristike, merenjem brzine u deset tačaka kružnog preseka primenom Prandtlove sonde. Položaj mernih tačaka određen je normom

Proraćun prostih ceJJoJJoda. Profili b,zina 171

VDI 2044 (Odeljak 2.2.3).Pri režimu strujanja u kome je izme reni pad pritiska na mlaznici hm = 11,2mm izmerena su i pokazivanja manometra spojenog sa

Prandtlovom sondom koja su data u tabeli 1.

Tabela 1

Na osnovu ovih merenja odrediti baždareni koeficijent mlaznice. b) U drugoj seriji merenja izvršena su istovremena merenja padova pritisaka na (izbaždarenoj) mlaznici i na ventilatoru (pri konstantnom broju obrtaja) koji su dati u tabeli 2.

i - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hm mm 44,4 34 26,4 19,7 15,3 11,2 7,6 4,5 2,4 0,7 Mz mm 21,1 40 53,9 66 74 81,5 88,1 93,8 97,8 100

Tabela 2.

Na osnovu datih rezultata merenja nacrtati karakteristiku ventilatora (dijagram V - bop). Za merenje pritisaka korišćeni su Betz-ovi mikromanometri napunjeni

vodom (Pm = 1000kg / m3). Stanje atmosfere određeno je izmerenim veličinama

p a =998 mbar i t a = 20°e. Pri navedenim strujnim uslovima vazduh se ponaša kao

nestišljiv fluid.

\... d v

l

Slika P.2.2-8

axa

RESENJE Koristeći izme reno stanje atmosfere i jednačinu stanja (1.2.1) određuje se gustina vazduha P = P a / RTa = 1,2027kg / m3. Ova gustina je ujedno i

gustina vazduha u bilo kom strujnom preseku, zato što se vazduh pri datim uslovima strujanja ponaša kao nestišljiv fluid.

a) Baždarenje mlaznice

Baždariti neki uređaj za merenje znači vršiti poređenje pokazivanja etalon instrumenta i instrumenta čija se karakteristika određuje. Pod etalon instrumentom podrazumeva se instrument veće klase od baždarenog instrumenta. U datom primeru etalon instrument je Prandtlova sonda a baždareni instrument je mlaznica. Protok vazduha može da se odredi prime nom mlaznice pod uslovom

172 Proračun prostIh cevovoda. Profili baina

da se poznaje njena protočna karakteristika. Upravo zato mlaznica mora da se baždari. Do protoka kroz mlaznicu dolazi se izjednačavanjem pada pritiska na njoj, kao lokalnog otpora, određenog izrazom Vajsbaha (2.1.87) sa izmerenim padom pritiska na mlaznici

2 . Vs P 4V 2 /::,Pm = pc, 2 = 2C,( d2n) = (Pm - p)ghm '

pri čemu radna formula za određivanje protoka glasi : i='-----IV =KK I , K = d:n �2t ( p; - 1) . (2.2.10)

U ovom izrazu C, je koeficijent lokalnog otpora mlaznice a K je protočna karakteristika (ili baždarni koeficijent) mlaznice. Da bi se odredio baždarni koeficijent mlaznice iz izraza (2.2.10) sledi da treba meriti protok kroz mlaznicu i pad pritiska na njoj (veličina hm)' Protok vazduha se određuje etalon metodom,

tj. Prandtlovom sandom. S obzirom da se pri mere nju sonda postavlja po propisima utvrđenim mernim tačkama to se srednja brzina strujanja određuje izrazom (2.2.9) i iznosi l � Pm i=I O

V s = 10 2g(--1) 'IJh: = 19,15 ml s. P �l _

Sa ovom brzinom protok vazduha će biti V = V sd2n I 4 = 0,6016 m3 I s . Koristeći,

dalje izraz (2.2.10) dobija se koeficijent baždarenja mlaznice

K = V I K = 5,684 m3 I sml/2

Ako karakteristika mernog instrumenta zavisi od protoka tada je potrebno izvršiti odgovarajuća baždarenja u celokupnom predviđenom mernom opsegu. Izloženi princip baždarenja mlaznice važi i za baždarenje blende iVenturijeve cevi. Na kraju treba naglasiti da kada je neki od ovih merača izbaždaren tada se protok fluida određuje samo na osnovu jednog očitavanja (veličina hm)' što je

neuporedivo brže od merenja protoka Prandtlovom sandom.

b) Htdraulička karakteristika venttlatora

Kako je već rečeno u Odeljku 2.1.9, pod karakteristikom strujne mašine, dakle i ventilatora, podrazumeva se funkcionalna zavisnost /::'P = /::'p(V). Primenom

Bernulijeve jednačine za razvijene strujne preseke ispred (1-1) i iza (2-2) ventilatora

2 2 /::'P+PI +P V I/2 =P2+ pv2/2, i jednačine kontinuiteta V l Al = V 2 A2, gde su površine Al = d 2 n 14 i A2 = a 2 , dobija se izraz za porast pritisne energije u ventilatoru

P 2 2 P A2 2 V 2 /::'p = P02 - POl = pz - Pl +"2( V 2 - V l) = P2 -Pl +"2[1- (-:.4) ](A) l 2 Iz ovog izraza sledi da je porast pritiska u ventilatoru jednak razlici totainih pritisaka iza i ispred ventilatora, ili da je jednak zbiru statičke i dinamičke razlike pritisaka. Da bi se na osnovu eksperimenata odredio porast pritiska u ventilatoru treba meriti statičku razliku pritisaka i protok. Kako je statički porast pritiska

Proračun prost th cevovoda. Profili brzina 173

određen izrazom P2 - Pl = (Pm - p)gM, a

protok izrazom (2. 2.10), to će porast pri­tiska u ventilatoru biti određen izrazom

pK2f 4a2 2l �P = (Pm -p)gM +T�i'll-(d2n

) jhm ' Na osnovu izmerenih veličina M i h m datih u tabeli T. 2. određuju se porast

1000

800

� 600 o-<l 400

200

o

v-o....c �

� �

�

pritiska u ventilatoru i protok, a njihove brojne vrednosti nalaze se u tabeli T.3. Koristeći parove podataka �P i V nacrtana je karakteristika ventilatora prikazana na sI. P.2. 2-8.1.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 V [m%j

Slika P .2.2-8.1 Karakteristika ventilatora.

i - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V m3 ls 1,1978 1,0482 0,9236 0,7979 0,7032 0 6016 0,4956 0,3813 0,2785 0,1546 �P Pa 365,6 513,6 622,6 717,2 779,8 838,6 890,4 935,2 966,9 982,3

Tabela 3.

PrOD/em 2.2-9. Kroz kružnu cev poluprečnika R kreće se klip poluprečnika r

brzinom vo' Kretanje klipa stvara linearni profil brzina u procepu između klipa i

zida cevi. Odrediti protok, srednju brzinu i korekcione koeficijente količine kretanja i kinetičke energije.

RESENJE: Uvođenjem koordinate Y koja se meri od ose cevi i koordinate

YI = Y -r, koja se meri od zida klipa, zadati linearni profil brzina opisuje se

funkcijom v = Vo ( 1-YoJ..)' pri čemu je YI = YI / h bezdimenzijska koordinata, a

h = R -r je visina procepa. Ovaj profil brzina daje protok

. J JR Vo 2 V = vdA = v2n ydY=-3 ( 1+2a)(l-a) Rn , A r

pri čemu je a=rlR odnos poluprečnika. Izražavajući protok kao proizvod srednje brzine V s i površine

poprečnog preseka procepa A = (R 2 - r2)n , dobija se

srednja brzina strujanja Vo 1+ 2a V ----

s- 3 l+a'

Vs

r Vo .. � -.-

Slika P.2.2-9

Koeficijent korekcije količine kretanja određuje se primenom izraza (3.4) i iznosi p' _ _ I_

JR 2 _ 3 (l+a)( 1+3a)

I-' - 2 V 2n ydy - 2 2 ' Avs r (l+a) Koeficijent korekcije kinetičke energije određuje se izrazom (2. 1. 17) i iznosi

a =-1_JRv 32n d = 27 ( 1+a)2(l+4a). Av; r Y Y 1 0 ( 1+2a) 3

PrOD/em 2.2-10. Kroz kanal širine l i visine h struji voda pri čemu je profil brzina

u poprečnom preseku opisan funkcijom V = Vo (y / h)n, gde su Vo brzina strujanja

174 Proračun prostIh ceJ)oJ)oda. Profili baina

'7 Y Vo --- - �'l-'

V �I 7 �

Slika P.2.2-10

- --

h

%

na slobodnoj površini i n odgovarajući eksponent. Odrediti protok, srednju brzinu i korekcioni koeficijent kinetičke energije za opisano strujanje. Naći brojne vrednosti traženih veličina za podatke 1=3m, h=3m, n=I12, Vo =2m/s.

REŠENJE v= volh V =�

n+l m n+l ( n + 1)3

(J. = -'-

3=-n-+---"I:-

Brojne veličine su: V = 16m3 I S, vm = 1,33ml s i (J. = 1,35.

Problem 2.2-11. U kružnoj cevi poluprečnika R fluid struji turbulentno sa potpuno razvijenim profilom brzina opisanim stepenim zakonom (2.1.59). Odrediti srednju brzinu i koeficijente korekcije.

RESENJE Ovaj problem je već tretiran u Odeljku 2.1.5.1.4.1a, te je zato srednja brzina određena izrazom (2.1.60) a koeficijenti korekcije izrazima (2.1.61).

Problem 2.2-12. Odrediti hidraulički prečnik strujnog preseka oblika: a) kružne cevi, b) cevi oblika elipse, c) kružnog prstena, d) razmenjivača toplote sa n cevi, e) pravougaonog kanala, f) trouglastog kanala, g) pravougaonog otvorenog kanala i h) trouglastog otvorenog kanala.

a) b) e) d) e) Slika P.2.2-12

$lh �b��� Dlh I) g) h)

RESENJE Koristeći definiciju hidrauličkog preč nika datu u Odeljku 2.1.5.1.1

dh =4A IO,

za zadate geometrije poprečnog preseka cevi i kanala sledi:

dh = 4 D2n /4

= D dh = 4� =

2ab , a) Dn ' e) 2(a+b) a+b

b)

c)

d)

d =4�= 4ab, h 7t(a+b) a+b

(D2 _d2)! dh =4

(D+d)n =D-d,

D2n_nd2n d = 4 4 4

h (D+nd)n D2 - nd2

D+nd

f)

g)

, h)

ah d =4

� = 2ah h a+2b a+2b'

ab dh = 4

a+2b'

-� ah dh =4

2b =t;.

PrOblem 2.2-13. U zatvorenom rezervoaru nalazi se tečnost viskoznosti

1l=5·IQ-3Pa s. U njemu se okreće tanki klip prečnika D=lOOmm, ugaonom

brzinom co = IS-I, preko osovine prečnika d=20mm. Procepi ispod i iznad klipa,

Proračun prostth cevovoda. Profili brzina

�::t-=:> d ;

debljine 8 = 5mm, su takvi da se pri rotaciji

formira linearni profil brzina. Odrediti obrtni moment kojim tečnost u toku rotacije deluje na klip.

REŠENJE: 1 1;1111 --- : I 11

------11111

oo�n 4 4 � M = 328 (2D -d ) = 1,962·10 Nm . I %

D

Prikazani uredjaj je ustvari obrtni viskozimetar Slika P.2.2.l3 koji na osnovu merenja obrtnog momenta i ugao ne brzine daje dinamičku viskoznost ispi tiva no g fluida.

175

: l)

t l)