Informe Metodos Miguel

Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad Tecnolgica de Pereira. ISSN 0122-1701

1

METODOS NUMERICOS EN MATLAB. Numercial Methods in MatlabRESUMEN Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible resolver problemas por medio de ecuacin aritmticas. En este documento se hablara de tres mtodos numricos, Mtodo de Interpolacin Lineal de Hermite, Mtodo de Ecuaciones diferenciales de Runge Kutta y Mtodo de Integracin de Gauss, cada uno con una breve explicacin con su respectivo diagrama de flujo y su cdigo en Matlab. PALABRAS CLAVES: Algoritmo ABSTRACT The numerical methods are techniques by which you can solve problems by arithmetic equation. This document spoke of three numerical methods, linear interpolation Hermite differential equations method the Runge Kutta and integration method of Gauss, each with a brief explanation with its own flow diagram and code in Matlab. KEYWORDS: algorithm 1. INTRODUCCIN Ecuaciones 2. CONTENIDO MIGUEL DOMINGUEZ CASTAO Ingeniera Mecatrnica. Universidad Tecnolgica de Pereira [email protected] VANESSA RAMIREZ GOMEZ Ingeniera Mecatrnica. Universidad Tecnolgica de Pereira [email protected]

2.1Metodo de Runge Kutta Uno de los mtodos ms utilizados para resolver numricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeo margen de error con respecto a la solucin real del problema Este mtodo aproxima las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Grafica

Fecha de Recepcin: (Letra Times New Roman de 8 puntos) Fecha de Aceptacin: Dejar en blanco

2 2.1.1 Diagrama de flujo

Scientia et Technica Ao XIII, No x, Mes de 200x. Universidad Tecnolgica de Pereira.

2.1.2 Cdigo MatlabInicio

x

y

h

Function Z = RK (x,y,h,n) clc for i = 0 : n k1 = h * f ( x , y ) k2 = h * f ( ( x + h / 2 ) , ( y + ( k1 / 2 ))) k3 = h * f ( ( x + h / 2 ) , ( y + ( k2 / 2 ))) k4 = h * f ( ( x + h ) , ( y + k3 )) y = y + (1/6) * ( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) end 2.2 Mtodo de Integracin de Gauss.

n

i=0:n

El mtodo de cuadratura de Gauss es un excelente mtodo numrico para evaluar integrales definidas de funciones, por medio de sumatorias simples y fciles de implementar. Por otra parte, es una aplicacin bastante interesante de los polinomios ortogonales. La cuadratura de Gauss da la opcin de evaluar el rea bajo la curva de una recta que una dos puntos estratgicos de la curva a integrar. La ventaja de aplicar este mtodo es que al tomar puntos estratgicos de la curva, se puede determinar el rea bajo la lnea recta une dichos puntos y equilibrar as los errores negativos y positivos de interpolacin numrica.

k1 = h * f ( x , y )

k2 = h * f ( ( x + h / 2 ) , ( y + ( k1 / 2 )))

k3 = h * f ( ( x + h / 2 ) , ( y + ( k2 / 2 )))

k4 = h * f ( ( x + h ) , ( y + k3 ))

y = y + (1/6) * ( k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)

x = x + h;

Y

Una de las ecuaciones de cuadratura ms utilizadas es la de Gauss Legendre. Para determinar esta ecuacin se hace uso del mtodo de coeficientes indeterminados.Buy SmartDraw !- purchased copies print this document without a watermark . Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.

Fin

Dicha ecuacin se ajusta a la integral de la funcin constante y=1, y la funcin lineal y=x


3

Lo anterior se puede visualizar en la siguiente figura

Las cuatro condiciones son: ajustar a las integrales de una constante.

La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluacin de manera ptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2, Xn en el intervalo [ a, b ] y los coeficientes C 1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximacin

2.2.2 Cdigo Matlab function quad = gauss(F,a,b,A,W) % F es un archivo .m debe ser ingresado dentro de '' debido a que lo es una variable de tipo string % a y b son los intervalos de la integral % A y W son vectores 1* N donde N es el numero de nodos a implmentar, por % ejemplo N = 3, en la tabla de puntos y pesos A = [0.7745496 0 -0.7745496] W = [0.555555559 0.888888889 0.555555559] N = length(A); T = zeros(1,N); T = ((a + b)/2) + ((b - a) / 2) * A; quad = ((b - a)/2) * sum(W.* feval(F,T));% feval evalua la funcion en el vector dado; sum realiza la sumatoria del vector dado Gauss = quad end

El objetivo de la cuadratura de gauss es determinar las ecuaciones a partir de la ecuacin: , los argumentos x0, x1 no estn fijos en los extremos de intervalo de la integracin, si no que son incgnitas. De lo anterior se concluye que es necesario evaluar cuatro incgnitas y, en consecuencia, se requieren cuatro condiciones para hacerlo.

____________________________ 1. Las notas de pie de pgina debern estar en la pgina donde se citan. Letra Times New Roman de 8 puntos

4


2.2.3 Diagrama de FlujoStart

2.3 Mtodo de Interpolacin de Hermite Sean x0; x1; : : : ; xn; (n+1) puntos distintos de R: Sean w0;w1; : : : ;w2n+1; (2n + 2) valores reales arbitrarios. Entonces existe un unico polinomio P(x) de grado 2n + 1 Conocidos los valores de la funcin f y su derivada f en x0,.,xn, se trata de encontrar un polinomio de grado el menor posible que coincida con f y con su derivada en los puntos sealados. Se demuestra que dicho polinomio existe y es nicos. Adems tiene grado de 2n+1. A dicho polinomio se le llama polinomio de interpolacin de Hermite de f en los puntos xi, i=0,, n. Datos numricos: f(x), f(xi), i=0,., n (2n +2 datos) Espacio de funciones interpoladoras: P2n+1. Problema interpolacin polinomial de Hermite:

F

a

b

A

W

2.3.1 Codigo en MatlabN = length(A);

function y = hermite(x, n); if size(x, 1) == 1; x = x'; rot = 1; end; ytem = zeros(length(x), 1); ytem(:,1) = ones(length(x), 1); ytem(:,2) = 2*x; if n == 0; y = ytem(:,1); return; end; if n == 1; y = ytem(:,2); return; end; if n > 1; m = 1; p = 2; for i = 2:n; ynew=2*x.*ytem(:,p)-2*(i-1)*ytem(:,m; tem = m; m = p; p = tem; ytem(:,p) = ynew; end y = ynew;

T = zeros(1,N);

T = ((a + b)/2) + ((b - a) / 2) * A;

quad = ((b - a)/2) * sum(W.* feval(F,T));

Gauss = quad

Buy SmartDraw!- purchased copies print this document without a watermark. Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.

Start

end


5

3. BIBLIOGRAFA http://einstein.drexel.edu/courses/Comp_Phys/In tegrators/rk4.html matematicas.ingenieria.googlepages.com/runge kutta.pdf http://artico.lma.fi.upm.es/numerico/asigs/c_nu merico/cuadernos/interp_hermite.pdf http://www.dma.uvigo.es/~lino/Tema5.pdf http://www.aos.wisc.edu/~dvimont/matlab/Math _Tools/hermite.html METODOS NUMERICOS CON MATLAB. TERCERA EDICION. JHON H MATHEWS. KURTIS D. FINK. PEARSON PRENTICE HALL


6



7


Documents

Informe Metodos Miguel