SEDE LATACUNGA

Ingeniera MecatrnicaProyecto Integrador Mtodos numricos

Nombre: Fernando Marn Edwin Banda Milton CajilemaNIVEL: V Mecatrnica A17/01/2013

TEMA:

Llenado de un tanque analticamente, fsicamente y mediante las aproximaciones estudiadas en un solo programa

1. OBJETIVO:

1.1. OBJETIVO GENERAL:

Implementar en una maqueta la ecuacin de llenado de un tanque y realizar el analisis analtico e implementado en scilab

1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS:

1.2.1. Aplicar la ecuacin de llenado de un tanque y realizar un maqueta del mismo.

1.2.2. Implementar un programa en Scilab que permita al usuario escoger y aproximar a travs de cualquiera de los mtodos estudiados.

1.2.3. Realizar un anlisis de los resultados y comprobar el error que mantiene el programa por el truncamiento y el anlisis fsico

2. SNTESIS TERICA2.1. Regresin linealLlenado de un Tanque de agua

Figura 1. Tanque de llenadoUn tanque de una cierta forma geomtrica est inicialmente vaco que ser llenado por una tanque adicional. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya rea es A pie2. Se abre el orificio y el lquido cae libremente Ver figura 1.La razn volumtrica de salida es proporcional a la velocidad de salida y al rea del orificio, es decir: , aplicando la ecuacin de energa:

Figura 2. Variacin de volumen en el cilindro en funcin de la alturaLa constante k depende de la forma del orificio:Si el orificio es de forma rectangular, la constante k = 0,8.Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 k 0,75.Si el orificio es de forma circular, la constante k = 0,6.

METODO DE EULERConsiste en dividir los intervalos que va deaensub intervalos de ancho sea:

De manera que se obtiene un conjunto discreto: Depuntos:del intervalo de interes. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

.

La condicin inicial, representa el puntopor donde pasa la curva solucin de la ecuacin de el planteamiento inicial, la cual se denotar como.Ya teniendo el puntose puede evaluar la primera derivada deen ese punto; por lo tanto:

PREDICTOR CORRECTOR

EULER MEJORADODado un problema con una condicin inicial, conel mtodo deEulermejorado con tamao de paso h consiste en la aplicacin de las siguientes frmulas iterativas:

METODO DE RANGE-KUTTALos mtodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de mtodos iterativos (implcitos y explcitos) para la aproximacin de soluciones deecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, delproblema de valor inicial.Sea:

Una ecuacin diferencial ordinaria, condondees un conjunto abierto, junto con la condicin de que el valor inicial de sea

Entonces el mtodo RK (de ordens) tiene la siguiente expresin, en su forma ms general:,Dondehes el paso por iteracin, o lo que es lo mismo, el incrementoentre los sucesivos puntosy. Los coeficientesson trminos de aproximacin intermedios, evaluados en de manera local:

3. DEFINICIN DEL PROBLEMALos mtodos estudiados generan un error relativo de truncamiento y es acumulativo que al relacionarlo con el anlisis natural de la ecuacin y un ensayo fsico experimental analizaremos en balance de error que se produce en cada caso.4. METODOLOGIAEl anlisis de datos en un intervalo marcado son datos requeridos por el problema y mediante un mtodo de anlisis aproximado se busca una respuesta muy cercana a la que se lograra con un Anlisis Matemtico de tal manera ser un anlisis de investigacin cuasi-experimental porque no controla todas las variables que nos ayudaran a una precisin de resultados.5. INTRUMENTOS Y EQUIPO: Vasos de plstico con graduaciones Pedestal de madera Pegamento industrial Lquido Vlvula y Pedestal Calibrador Regla6. PROCEDIMIENTO

I. Anotar los datos obtenidos experimentalmente en cada uno de los recipientes y realizar un anlisis de las variaciones de volumen en funcin de la altura.II. Implementarun programa que aproxime los resultados.

III. Comparar los resultados obtenidos analticamente, experimentalmente y los obtenidos mediante software

7. VIABILIDAD

Gracias a el programa Scilab se a desarrollado el siguiente programa en el cual se puede aproximar los valores de altura a ciertos tiempos

8. EJECUCION DEL PROGRAMA

9. ANLISIS DE RESULTADOS

Datos Dimetro orificio2.5mm

Dimetro recipiente pequeo54mm

Altura recipiente pequeo80mm

Volumen recipiente pequeo

Dimetro recipiente grande65mm

Altura recipiente grande75mm

Volumen recipiente grande

Tabla 1: medidas de los recipientesRecipientepequeo

Recipiente grande

Ac

Av1

Av2

Tabla 2. Areas de los recipientes y del orificio de salidaVaso Pequeo

Vaso Grande

Mtodo de Euler ModificadoDatos h= 5to=0ho=0

Vaso pequeo

Vaso grande

Datos experimentalesVaso pequeoVaso grande

Tiempo (s)Altura (mm)Altura (mm)

556

10119

151712

202215

252920

303524

354128

404830

455436

505942

556545

607148

657753

Tabla 3: datos experimentales obtenidos en cada recipiente

Vaso pequeoMtodo de Euler

Mtodo Predictor Corrector

Vaso grandeMtodo de Euler

Mtodo Predictor Corrector

Datos obtenidos por el software Scilab Vaso pequeo

Vaso grande

Vaso pequeoVaso grande

Altura (mm)Error (%)Altura (mm)Error (%)

51.6628.2

118.194.4

175.8127.08

229.091513.3

296.8204.8

355.7244.1

414.81283.5

482.08301.2

541.85365.1

595.03424.7

654.6454.4

714.2481.4

773.8533.7

Tabla 4: errores producidos entre los datos obtenidos por software y los obtenidos experimentalmente en cada recipienteLos errores que se presentan en la tabla 4 se deben a la falta de precisin en la toma de lecturas de los valores experimentales ya este proceso resulta difcil.

10. CONCLUSIONES

El anlisis de Range-Kutta es el ms efectivo para llegar al resultado aunque padece de un margen de error por truncamiento. (Fernando Marn) La distancia entre error calculado y medido es apreciable ya que son factores fsicos que si afectan (Edwin Banda) Estos mtodos en general buscan aproximaciones mas cercanas a la respuesta y en nuestro proyecto se usan variaciones y razones de cambio para obtener los parmetros deseados ( Milton Cajilema)

11. RECOMENDACIONES

La ecuacin es fundamental para el anlisis matemtico ya que si condiremos muchos ms aspectos lograramos una ecuacin con ms exactitud y ms cercana a su apreciacin aproximada. Realizar un anlisis fsico con un caudal ms pequeo para que el fluido descienda ms despacio y pueda ser los datos ms claros.

12. BIBLIOGRAFA

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Ruttahttp://www.publicaciones.ipn.mx/WPS/WCM/CONNECT/28E3F800422177E2BF57FFDF4BB98CC/12933BCD.PDF?MOD=AJPEREShttp://www.slideshare.net/gabriellacayo/simulacin-de-sistemas-de-control

13. ANEXOS

Maqueta utilizada para el experimento13