Informe Metamaterial (David Sánchez Fuentes)

5/19/2018 Informe Metamaterial (David S nchez Fuentes)

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Estudio de un metamaterial (en 2-D)

David Sanchez FuentesElectromagnetismo II, 3o Curso de Grado en Fsica

Profesores:Ernesto Martn, Juan Munoz

23 de diciembre de 2014

RESUMEN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Estudio de las propiedades de un material artificial formado por una red de cilindrosmetalicos. Para ello se estudia primero los cilindros individualmente y mas tarde el

efecto global que tiene la red. Se obtendran expresiones teoricas para la permitividad delmaterial en funcion de su caractersticas. Tambien se simulara el material mediante un

programa de elementos finitos, Quickfield. Se comprobara mediante la simulacion ladependencia con el radio de los cilindros de la permitividad, comparando los resultados

de la simulacion con la teora obtenida.


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Indice1. Estudio individual de los cilindros 3

1.1. Polarizabilidad de un cilindro metalico en un campo constante . . . . . . . 31.2. Estudio del problema del cilindro conQuickfield . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1. Estudio para un cilindro metalico en un campo E=cte . . . . . . . 51.2.2. Estudio para un cilindro con aire y carga superficial . . . . . . . . . 6

2. Estudio de la red de cilindros 72.1. Version 2-D del campo local de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Suponiendo interaccion pequena entre cilindros. ( ELocal E) . . . . 7

2.1.2. Suponiendo campo local de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Resumen teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Estudio del problema del metamaterial conQuickfield . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1. Metodos de comparacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2. Permitividad relativa de un metamaterial. . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3. Valores simulados de la permitividad en funcion de (R/D) . . . . . 11


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1. Estudio individual de los cilindros1.1. Polarizabilidad de un cilindro metalico en un campo cons-

tante

(Resolveremos este problema mediante el metodo de las imagenes)

Al aplicar un campo Ea un cilindro, este sepolariza tal y como se puede ver en la ima-gen.

Podemos representar el cilindro polarizadocomo dos lineas de carga opuestas y sepa-radas una distancia(dipolo), que producenla misma distribucion de carga en la super-ficie del cilindro. Cuyo momento dipolar esp= = E, (=polarizabilidad).

Necesitamos obtener la distancia. Para ello supongamos dos lineas de carga externasal cilindro que se colocan a cada lado a una distancia d. De tal forma que el potencial enla superficie del cilindro sea constante.

Vamos a centrarnos solamente en una mitaddel cilindro ya que la otra es similar.Tenemos el siguiente esquema donde ri es ladistancia de la carga del dipolo a la super-ficie, r la distancia de la carga externa a lasuperficie, R el radio del cilindro y el valor es el mismo para todas las lineas de carga.


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Por la ley de Gauss podemos deducir el campo producido por una linea cargada:S

Ecilds=Q

o Ecil(r) =

2orr

Y por tanto el potencial que produce sera :

Ecil= cil cil(r) =

2oln(

ror

)

Queremos que en la superficie del cilindro se cumpla que (R) = cte, por tanto sedebe cumplir que:

(R) =

2oln(ro/r) +

2oln(ro/ri) =

oln(ri/r)

rir

=cte

Por otro lado tenemos que:

En (r, ) = (R, 0)

r= d Rri= R di

, En (r, ) = (R, 0)

r= d+Rri=di+R

Por lo que nos queda la siguiente relacion:

rir

= RdidR

= R+diR+d

d di = R2

Podemos ahora poner el momento dipolar del cilindro en la forma:

p= 2di

i= 2di=R2

d 2i

Considerando d >> di podemos aproximar que el campo E es el producido por laslneas de carga externas:

E=

odSustituyendo den la expresion para el momento dipolar:

p= 2oR2

E

Donde la polarizabilidad es:

= 2oR2


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1.2. Estudio del problema del cilindro con QuickfieldSe estudiaran dos casos:

Cilindro metalico en un campo E=cte

Cilindro con carga superficial relleno de aire.

1.2.1. Estudio para un cilindro metalico en un campo E=cte

Se ha simulado un cilindro metalico en el seno de un campo E constante, con su ejeperpendicular a la direccion del campo E.

(En la imagen podemos ver el campo y laslneas equipotenciales alrededor del cilindro)Podemos apreciar commo el campo permane-ce constante lejos del cilindro. Al acercarnosa el el campo se curva, siendo la suma delcampo externo constante mas el producidopor la carga superficial. Ya que el cilindro esmetalico dentro de el no existe campo.

Estudiemos a continuacion la distribucion de carga producida por el campo E en lasuperficie. Para ello representaremos la componente normal a la superficie del campo D,( Dn=).

(En la imagen podemos ver la distribucion de carga a lo largo del perimetro del cilindro)Se ve claramente que la distribucion es de tipo senoidal, es decir =osin(). (Siendoel angulo polar)

Para saber cual es la frecuencia de la distribucion hacemos uso de la herramientaHarmonics Browser. Gracias a esta herramienta podemos hacer un analisis de Fourierpara la distribucion de carga en la superficie.


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Haciendo esto podemos ver que existe un ar-monico que predomina respecto a todos losdemas. Segun esto podemos escribir la distri-bucion de carga del cilindro como:

= osin()

1.2.2. Estudio para un cilindro con aire y carga superficial

Estudiemos ahora el caso de un cilindro con una carga superficial como la obtenidaen el apartado anterior. Esto equivale a estudiar el cilindro metalico ignorando el campo

externo E.

Se ha simulado un cilindro con carga superficial = osin().(En este caso no hay campo externo)

Podemos ver en la imagen el campo produci-do por la distribucion de carga. En el interiorel campo es constante y con el mismo modu-lo que el campo externo E, esto hace que altener en cuenta el campo externo el campo

total en el interior del cilindro se anule.Por otro lado podemos ver que el campo enel interior se asemeja al de un dipolo.

Para hace evidente que el campo producido por la distribucion de carga es de tipodipolar, se ha simulado dipolo. A continuacion se muestran: a izquierda el cilindro concarga superficial, a derecha el dipolo.

(Carga supeficial en el cilindro) (Dipolo)

Como se puede ver en las imagenes es evidente que el campo producido por la cargadel cilindro es de tipo dipolar.


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2. Estudio de la red de cilindros2.1. Version 2-D del campo local de Lorentz

Consideramos una red (2D) regular de cilindros metalicos como se muestra en la figu-ra (seccion por un plano perpendicular a los ejes de los cilindros). La distancia entre loscilindros es D y el diametro d. Aplicaremos un campo electrico estatico en la direccionperpendicular al eje de los cilindros.

A continuacion vamos a obtener las expresiones teoricas para la permitividad delmetamaterial bajo dos supuestos:

No hay interaccion entre los cilindros pues estos estan muy alejados. ( ELocal E)

Los cilindros estan proximos y se debe considerar la interaccion entre ellos.

Para ambos casos supondremos que la red de cilindros es cuadrada.

2.1.1. Suponiendo interaccion pequena entre cilindros. ( ELocal E)

Suponiendo que los cilindros no interactuan podemos suponer ( ELocal E).

La red esta formada por un conjunto de cilindros polarizados. Ya hemos deducido enel apartado 1.1 el momento dipolar de estos cilindros. Por tanto el vector polarizacionviene definido por

P =Ni=1

piA

=np= nEL= n E

, donden es el numero de cilindros por unidad de area, Nes el numero total de cilin-dros en la red y Aes el area del corte transversal (estamos en 2D).

Por otro lado tenemos la siguiente expresion para el vector polarizacion:

P =oe E ,donde e=r 1

Igualando las dos expresiones que tenemos para Pnos queda:

n E=oe E n

o=e

Recordando la expresion para la polarizacion de un cilindro = 2oR2 , y que r =

o

obtenemos la expresion para la permitividad absoluta del material.

= n+o = n2oR2 +o


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Podemos expresar n en funcion de la distancia entre cilindros D:

n=N

A =

N

N D2 =

1

D2

Por lo que finalmente nos queda:

= [2R2

D2 + 1]o

* Nota:Llamaremos a esta relacion Gases ideales, ya que muchos de ellos cumplen la condicion

de interecciones debiles

2.1.2. Suponiendo campo local de Lorentz

Como en el apartado anterior, tenemos que:

P =n ELP =oe E

Pero en este caso E= EL, ya que debemos considerar el efecto que tienen unos dipolossobre otros. En este caso el campo local EL sera:

EL= E+P

2o

,donde P2o

es la influencia de los dipolos. (en 2D)

Tenemos por tanto tres ecuaciones de las que podemos sacar una expresion para lapermitividad del material:

P =n ELP =oe E

EL= E+ P2o

n[ E+ P2o

] =n E[1 + e2

] =eo E

n[1 + e2

] =eo

Despejando r de la ultima expresion:

r = 1 + n2o

1 n2o

(Relacion de Clausius-Mossoti)

Teniendo en cuenta que r = o

, y recordando que n= 1D2

y = 2oR2 nos queda:

= [1+R

2

D2

1R2

D2

]o

* Nota: Recordar que R es el radio del cilindro. (R= d)


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2.2. Resumen teoricoEn el apartado 2.2 hemos obtenido dos expresiones distintas para la permitividad en

distintas situaciones. A continuacion las representamos graficamente:

Podemos ver como para valores pequenos de RD

las dos expresiones coinciden. Sin em-bargo a partir de valores proximos a R

D= 0,3 se hace significativo el efecto de los dipolos.

Es facil llegar a la expresion para Gases ideales a partir de la relacion de Clausius-Mossotti, supuesto que D >> R. Llamando a= R

2

D2:

r

=

1 + a

1 a Clausius-Mossotti

=

(1 +a)(1 +a

(1 a)(1 +a) =

a2 + 1 + 2a

1 a2 Si D >> R

a

2


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2.3. Estudio del problema del metamaterial con QuickfieldSe ha simulado una red de cilindros de radio R y separados una distancia D. Tambien

se ha simulado un dielectrico con las mismas dimensiones para comparar sus propiedadescon las del metamaterial.Lo que se pretende con esto es ir variando la permitividad del dielectrico hasta que laspropiedades de este coincidad con las del metamaterial, para asi obtener la permitividadefectiva de metamaterial.

2.3.1. Metodos de comparacion

A continuacion se explican algunos de los metodos para comparar las propiedades deldieletrico y el metamaterial:

Metodo del volta je:

Se comparan las graficas del voltaje hasta que la del dieletrico tenga la mismapendiente que la del metamaterial. Habiendo obtenido previamente la pendientepara el metamaterial mediante un ajuste lineal.

Metodo de la energa:

Definimos un contorno que se ajuste al metamaterial y medimos la energa en suinterior. Tambien medimos la energa del dielectrico. La permitividad que haga queel dielectrico tenga la misma energa que el metamaterial sera la correcta.

De los dos metodos propuestos el mas comodo es el de la energa, ya que solo tenemosque seleccionar un contorno para obtener la energa. Y sera por tano el metodo que seutilice.

2.3.2. Permitividad relativa de un metamaterial

Se ha simulado un metamaterial de 10x10 ci-lindros de radio R = 0,03 m y separacionD = 0,1 m. Como el que se muestra en laimagen. Tambien se ha simulado un dielectri-co cuya permitividad iremos cambiando.

Para hallar la permitividad efectiva, que el metamaterial en conjunto tiene, procedere-mos de la siguiente forma usando el metodo de la energa. Primero medimos la energa del


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metamaterial. Mediante la herramientaLabelMovervariamos la permitividad del dielectri-co y le pedimos que para cada paso nos muestre la energa contenida en el. Cuando laenerga sea la misma tendremos la permitividad de nuestro metamaterial.

Haciendo esto para el metamaterial simulado y comparando con los valores teoricos,tenemos que:

Gases ideales Clausius-Mossotti Quickfieldr 1.56 1.80 1.87

Se puede ver como la relacion de Clausius-Mossotti se ajusta mejor al valor obtenido con

Quickfield.

2.3.3. Valores simulados de la permitividad en funcion de (R/D)

Se han simulado varios metamateriales variando el tamano de los cilindros y mante-niendo constante la distancia entre ellos. Se ha podido obtener la permitividad de cadauno de ellos mediante el procedimiento explicado en el apartado anterior.

Los resultados son los siguientes:

Como podemos ver al principio todo coincide. Pero a medida que el valor de RD

aumentasolamente coincide con los datos de Quickfield la relacion de Clausius-Mossotti. Si se au-menta mucho R

Dse puede apreciar claramente que los datos se separan de la curva te orica

y la teora deja de valer.


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Cuanto mayor es R

D mas cerca estan los cilindros y peor se adaptan los datos a lateora. La separacion de los ultimos datos podra ser un error numerico de Quickfield.Pero suponiendo que no hay ningun error en el programa podemos intentar dar unaexplicacion:

Si suponemos que en la formacion de la dis-tribucion de carga solo interviene el campoexterno, la carga es de tipo dipolar como he-mos visto en el apartado 1

Sin embargo cuando los cilindros estan muy cerca unos de otros el campo de los dipolosse hace importante y puede que los mismos dipolos influyan en la distribuci on de cargade los cilindros.

(Influencia de los dipolos en la distribucion de carga supeficial)

Tendramos entonces que considerar otro tipo de carga superficial, formada por dos dipolos(cuadrupolo): el creado por el campo externo Ey el creado por las cargas superficiales dealrededor. Por tanto tendramos que considerar cuadrupolos en vez de dipolos.

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