PRACTICA N 3

MODELAMIENTO MATEMATICO DE SISTEMASMATLAB/SIMULINK

1.- OBJETIVOS Conocer el modelamiento matemtico de sistemas Sistemas lineales y no lineales Realizar simulaciones mediante el Matlab/Simulink 2. FUNDAMENTO TEORICO2.1 Modelamiento matemtico de sistema lineales y no lineales2.2 Linealizacion de sistemas no lineales

Aunque casi todo sistema real tiene caractersticas no lineales, muchos sistemas pueden describirse razonablemente por modelos lineales al menos dentro de ciertos rangos de operacion. Como normalmente un sistema de control opera en las cercanas de un equilibrio, se hace una linealizacion alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho mas simple, pero adecuado para el dise no de control. Para un mismo sistema no lineal, la linealizacion alrededor de distintos puntos de equilibrio dara, en general, distintos modelos linealizados. Consideramos la linealizacion del modelo general en ecuaciones de estado.

Ejemplo de linealizacion:

3. INFORME PREVIO3.1 Haga una lista comandos y bloques del Matlab/Simulink relacionados a la Linealizacion de sistemas no lineales.La biblioteca Linear (Lineal) contiene bloques que describen funciones lineales estndar. La tabla que se muestra a continuacin describe los bloques que contiene la biblioteca Linear.

Nombre del bloqueObjetivo

DerivativeGenera la derivada respecto al tiempo de la entrada

GainMultiplica la entrada al bloque

Inner ProductGenera el producto escalar

IntegratorIntegra una seal

Matrix GainMultiplica la entrada por una matriz

Slider GainVara una ganancia escalar utilizando una corredera

State-SpaceImplementa un sistema lineal en el espacio de estados

SumGenera la suma de las entradas

Transfer FcnImplementa una funcin de transferencia lineal

Zero-PoleFuncin de transferencia especificada en trminos de polos y ceros

La biblioteca Nonlinear (No-lineal) contiene bloques que describen funciones no lineales estndar. La tabla que se muestra a continuacin describe los bloques de la biblioteca Nonlinear.

Nombre del bloqueObjetivo

AbsGenera el valor absoluto de la entrada

BacklashModela la conducta de un sistema con huelgo

Combinatorial LogicImplementa una tabla de verdad

Coulombic FrictionDiscontinuidad en cero con cualquier valor de ganacia lineal

Dead ZoneProporciona una regin de salida cero

FcnAplica una expresin especificada a la entrada

Limited IntegratorIntegra dentro de lmites especificados

Logical OperatorRealiza operaciones lgicas especificadas sobre las entradas

Look-Up TableRealiza una transformacin lineal a tramos de la entrada

MATLAB FcnAplica una funcin de MATLAB a la entrada

MemorySaca la entrada al bloque en el paso de integracin previo

ProductMultiplica las entradas

QuantizerDiscretiza la entrada en un intervalo especificado

Rate LimiterLimita la velocidad de cambio de una seal

Relational OperationRealiza las operaciones relacionales especificadas sobre la entrada

RelayConmuta la salida entre dos valores

Reset IntegratorReinicializa los estados del integrador durante la simulacin

SaturationLimita el valor de una seal

SignDevuelve el signo de la entrada

SwitchConmuta entre dos entradas

Transpon DelayRetarda la entrada en una cantidad dada de tiempo

2-D Look-Up TableRealiza una transformacin lineal a tramos de dos entradas

Variable Transpon DelayRetarda la entrada una cantidad variable de tiempo

LTI y Sistema de Identificacin de los modelos de caja de herramientas discutido en las secciones anteriores son los modelos lineales dinmicos. Mayora de los sistemas reales son no lineales. Si desea simular Herramientas Model Predictive Control el control de un sistema no lineal, es necesario modelo de la planta en Simulink .A pesar de un modelo predictivo controlador Caja de herramientas de control puede regular una planta no lineal, el modelo utilizado en el controlador debe ser lineal. En otras palabras, el controlador utiliza una aproximacin lineal de la planta no lineal. La precisin de esta aproximacin es un tema clave que afectan el desempeo del controlador.Esto plantea la pregunta: cmo obtener la aproximacin? El mtodo usual es linealizar la planta no lineal en un punto de funcionamiento especificado. El entorno Simulink ofrece dos maneras de lograr esto: * Linealizacin utilizando Simulink Design Control * Utilizando Linealizacin Simulink Funcionesa)Linealizacin utilizando Simulink Design Control

El Simulink Control Design incluye documentacin extensa experiencia en la linearizacin y varios ejemplos. Puede linealizar un modelo Simulink de la planta sola, o un modelo que incluye la planta y su controlador.

Figura 2-3 es un modelo Simulink de un continuo de tanque agitado reactor (CSTR). Es similar a la de la Figura 2.2, excepto que aqu el modelo es no lineal e incluye una entrada adicional: la temperatura de la alimentacin. Este cdigo se almacena en la carpeta del modelo predictivo de demostracin en Cuadro de controles. Usted puede abrir en el indicador de MATLAB, escriba:

*CSTR_OL

Para linealizar la figura 3.2, en primer lugar designar seales de entrada y salida que se conserva en la aproximacin lineal. En general, deber elegir las seales que se conecta a un controlador. En la Figura 2.3, todas las seales han sido seleccionados por la adicin de puntos de linealizacin, es decir, haciendo clic derecho en una seal y la seleccin de cualquiera de los puntos de entrada o punto de salida en el submen Linealizacin puntos.

A continuacin, cree un proyecto de linealizacin en el control de Simulink y el Administrador de Estimacin de herramientas. En el men Herramientas del modelo de Simulink, seleccione Diseo de Control / Anlisis lineal.

La Figura 2-4 muestra la ventana resultante para el ejemplo CSTR. La herramienta define automticamente el sistema operativo por defecto el punto de entrada, en este caso la primera condicin de estado estacionario.

Linealizacin en un punto de funcionamiento especificado

Para el clculo de la aproximacin lineal en un punto operativo en particular, seleccione Tarea linealizacin en el rbol (destacando que, como se muestra en la Figura 2-4), seleccione el punto de funcionamiento deseado en la ficha de explotacin Puntos (si hay ms de uno se ha definido), y continuacin, haga clic en el botn Modelo Alineado.La Figura 2-4 muestra el estado de la herramienta despus de un modelo lineal se ha creado en el punto de funcionamiento por defecto. Este modelo aparece en el rbol como el icono con la etiqueta de modelo. El rbol se ha ampliado para mostrar su punto de trabajo asociado, que en este caso tiene la etiqueta de punto por defecto de funcionamiento. Usted puede seleccionar el modelo en el rbol, haga clic con el botn, y luego exportarlo a MATLAB, por lo que es disponible para su uso en otra herramienta.La determinacin de un nuevo punto de operacin

Es probable que usted tenga que modificar el punto de operacin de un modelo no lineal. Por ejemplo, el modelo de reactor de mezcla por encima de la conversin tiene un reactivo pobres. El alimento contiene 10 kmol/m3, y el resto es 8,57 kmol/m3, por lo que slo 1,43 ha reaccionado (14,3% de conversin).

Supongamos que desea reaccionar un 80% (es decir, una concentracin residual de 2 kmol/m3). Para aumentar la conversin usted necesita para aumentar la temperatura del reactor de mezcla, pero cunto? Adems, para cambiar la temperatura del reactor de mezcla tiene que cambiar la temperatura del refrigerante, pero cunto?

Una solucin sera cambiar la temperatura del refrigerante, ejecutar una simulacin de una duracin suficiente para alcanzar un nuevo estado estacionario, verificar la concentracin residual final, y repetir hasta conseguir el deseado 2,0 kmol/m3 residual. Esto es tedioso y esencialmente imposible en una situacin ms compleja en la que estn tratando de coincidir con varios objetivos simultneamente.

Simulink Control Design software puede buscar un nuevo punto de equilibrio a un estado operativo que alcanza la conversin deseada. En primer lugar, debe modificar el modelo de Simulink que puede cambiar la temperatura del refrigerante. Una forma es la de representar la temperatura del refrigerante con un bloque de InPort, como se muestra a continuacin (en comparacin con la Figura 2.3, que utiliza un bloque constante.

Guardar este modelo modificado con un nuevo nombre. Luego desde el men Herramientas, seleccione Diseo de Control / Anlisis lineal como antes. Si el control y la estimacin ventana del Administrador de herramientas que contiene CSTR_OL sigue abierta (como se muestra en la Figura 2-4), un proyecto de linealizacin nueva se inserta. De lo contrario, la ventana se abrir con CSTR_OL como un nuevo proyecto.

El plan incluir un punto de funcionamiento por defecto. Esto es como antes, excepto que la temperatura del refrigerante aparece como una entrada y por defecto es cero. Para modificar esto, seleccione los puntos de operacin en el rbol, y seleccionar el sistema operativo calcular puntos ficha. En este panel, haga clic en la ficha Estados y establecer las casillas de verificacin que se muestra a continuacin

Tambin ajustar el valor del segundo estado (la concentracin residual) a 2, como se muestra. Usted est pidiendo un nuevo punto de operacin en la que se especifica un estado (conocido) y ambos estn en estado estacionario. El valor de la temperatura del reactor (311.267) es una estimacin inicial. La herramienta de bsqueda de un valor que cumpla todas las especificaciones.

A continuacin, haga clic en la ficha Entradas y verificar que la entrada de la temperatura del refrigerante tiene su casilla de verificacin no seleccionadas Conocido como se muestra a continuacin.

El valor es una estimacin inicial que se cambi. Se puede establecer a 298, como se muestra arriba, para ayudar a la herramienta de converger su ensayo y error los clculos. (El valor predeterminado de 0 Supongo que tambin deben trabajar aqu, pero es una buena prctica para suministrar un problema especfico de adivinar para ayudar a la convergencia.)

Por ltimo, haga clic en el botn de funcionamiento Compute Point. Un panel de progreso clculo muestra el error de especificacin en cada iteracin. Cuando est terminado, usted debe ver la lnea ", las especificaciones de funcionamiento punto se cumplieron con xito" y un nuevo punto de operacin debe aparecer en el rbol. Haga clic en este y observar que la temperatura del reactor se requiere 373,13 K y la temperatura del refrigerante se requiere 305,20 K.

Vamos a calcular un nuevo modelo linealizado en esta condicin, comparndola con la obtenida en el punto original. Supongamos que exporta el modelo original como Model1, y el otro como Model2. El siguiente comando comparar sus respuestas a un escaln:

el paso (Model1, Model2)

Usted debe ver algunas diferencias significativas cuantitativa y cualitativa, sobre todo en la respuesta a un cambio en la concentracin de la alimentacin. En el original bajo el estado de conversin, el aumento de la concentracin de la alimentacin aumenta la temperatura del reactor y la concentracin residual. En la conversin de alta, sin embargo, la reaccin es ms sensible a los cambios de temperatura. El aumento de la concentracin de la alimentacin provoca un aumento inicial de la concentracin residual, pero el aumento de la temperatura acelera la velocidad de reaccin y la concentracin residual pasa por debajo de su valor inicial. Por lo tanto, si se trata de controlar la conversin mediante el ajuste de la concentracin de la alimentacin, un controlador basado en el modelo diseado para la conversin de baja sera a fracasar en la conversin de alta.Linearization Using Simulink FunctionsOtro enfoque consiste en linealizar el modelo usando las funciones de Simulink. Esto es ms restrictiva: no se puede realizar un anlisis de bucle abierto del modelo de Simulink, y las seales que se mantuvieron en el modelo lineal debe estar conectado a un puerto de salida InPort o bloquear. Por otro lado, el software Simulink Control Design no es necesario.

Supongamos que este modelo fueron nombrados CSTR_INOUT. El comando linmod linealiza de la siguiente manera:>> [a,b,c,d]=linmod('CSTR_INOUT')a = -0.2505 1.9897 -0.0880 -1.1669

b = 0 1.0000 0.3000 1.0000 0 0

c = 1 0 0 1

d = 0 0 0 0 0 0Por defecto, utiliza linmod las condiciones iniciales definidas en el modelo como el punto de operacin. Las opciones le permiten especificar un punto de funcionamiento. Las salidas de comandos son el estndar de espacio de estado matrices definicin de un modelo LTI. Usted puede utilizar estas para crear un modelo LTI de la siguiente manera:

3.3 Propngase un sistema fsico lineal y otro no lineal

Sistema linealun ejemplo sencillo de un sistema elctrico que se desea modelar, el caso en estudio est esquematizado en la figura 3.3.1.

Figura 3.3.1: Circuito elctrico.Sistema no lineal

sean el sistema de dos tanques en serie con alturas, h1 y h2 que se llena con un caudal de entrada de qi y un caudal de salida qo.

3.4 Hallar las ecuaciones diferenciales de los sistemas, diagrama de bloques, linealizar para el caso no lineal, funcin de transferencia, ecuaciones de estado.

Para el primer problemaAplicando las leyes de Kirschoff las ecuacin diferencial que se obtienen son las siguientes:

Sustituyendo la ecuacin (1) en la (2), se obtiene:

Definiendo las variables de estado

cSea:

Ecuacion de estado:

Diagrama de bloque

Funcin d transferencia:Primero hallamos la place

Despjando tenemos:

Para el segundo problemaPlanteamos las ecuaciones de conservacin de masa. Suponiendo que el rea A de los tanques es constante, y la misma en ambos tanques, tenemos que:

donde qi es el caudal de entrada al primer tanque, q12 el caudal entre tanques, y qo el caudal de salida del segundo tanque. Las alturas de nivel de liquido en los tanques son h1 y h2.

El flujo q12 entre los dos tachos puede ser aproximado por la velocidad del caudal en cada libre de la diferencia de altura entre los tanques por el rea de seccin. Asi,

Por lo que si reemplazamos (2) en (1), obtenemos las siguientes ecuaciones de estados

Fijando el caudal de entrada en el valor constante qi = Q y resolviendo las ecuaciones algebraicas que surgen de (3) con h = 0, obtenemos el punto de equilibrio h

Ahora linealizaremos el sistema (3) alrededor de (4); para ello calculamos los Jacobianos correspondientes vistos en la clase terica.

Entonces el sistema linealizado resulta:

donde las variables representan valores incrementales alrededor de los valores de equilbrio ,Simulacin El sistema linealizado que obtuvimos, es un modelo aproximado que describe la dinmica del sistema original en un entorno del punto de operacin. Para comparar la aproximacin dada por el modelo linealizado con el modelo no lineal, simulamos juntos ambos sistemas en el esquema que se muestra en el diagrama de bloques de la Figura 2. Para simular el sistema linealizado (5) en SIMULINK usamos el diagrama de la Figura 3 tomando A = 10,As = 1, g = 9:8 y Q = 2. La dinmica de los estados h1d y h2d la podemos ver en la Figura 5 cuando la entrada es un valor constante de perturbacin, qid = 0.5.

Podemos, tambin representar en SIMULINK el sistema no lineal, Figura 4, donde Fcn es la ecuacinmatemtica expresada en la ecuacin (3) como F1(h,qi) y Fcn1 como F2(h,qi).

Figura 4: Representacin en SIMULINK del sistema no lineal

Figura 5: Estados linealizados4.- PARTE EXPERIMENTAL4.1. Los sistemas lineal y no lineal del punto (3.3) desarrollarlos en Simulink y observar suComportamientoprimer caso:

4.2. Linealizar mediante Matlab/Simulink el sistema no lineal propuesto en (3.3)4.4. Sea un depsito de rea A= 4 , con un caudal de entrada Qe y caudal de salida Qs porun orificio circular de R= 0.1 m, siendo H(t) el nivel del lquido. La ecuacin diferencial nolineal dela dinmica del depsito est determinada

Si inicialmente el tanque esta vaco y se somete a una entrada constante de Qe(t) = 0.2 , construir el modelo y representar la evolucin del nivel

Representacin en simulink sistema no linealizado:

Para Linealizar el sistema usamos el comando

>> [a,b,c,d]=linmod('nolineal')

a = -1.5811e+003

b = 0.5000

c = 1d = 0

5.- CONCLUSIONES

SIMULINK es una herramienta eficiente y de gran precisin para desarrollar, modelar y simular diferentes modelos matemticos. Las operaciones de modelado y simulacin se controlan de forma interactiva mediante mens desplegables o empleando la lnea de comando Matlab para simulaciones en modo batch. Para simulaciones en vivo, una variedad de bloques grficos monitorizan la respuesta del sistema mientras avanza la simulacin. La extensa librera de Simulink, las herramientas analticas y su arquitectura extensible combinan perfectamente con Matlab para proporcionar un entorno de simulacin ultimado. La librera de bloques proporciona centenares de funciones predefinidas para la creacin de modelos de diagramas-bloque de sistemas lineales, no lineales

6.- BIBLIOGRAFIAhttp://html.rincondelvago.com/simulacion-de-sistemas-dinamicos_simulink.htmlhttp://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/clases09/clase2/modeladoTrimLinmod.pdf