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marcoantonio-queque-arias
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INTRODUCCIONGeneralmente el valor de la media m es desconocido y por lo tanto no se puede utilizar el kriging simple.
El kriging ordinario establece una condición adicional al sistema de ecuaciones del kriging simple para filtrar el valor desconocido de la media.
DEFINICION
Kriging es un grupo de geoestadísticos técnicas para interpolar el valor de un campo al azar en una incumplido ubicación de las observaciones de su valor en lugares cercanos.
La teoría detrás de interpolación y extrapolación por Kriging fue desarrollado por el matemático francés Georges Matheron sobre la base de la tesis de maestría de Daniel Krige Gerhardus,.
Desde el punto de vista geológico, la práctica de kriging se basa en el supuesto de continuación de la mineralización entre los valores medidos.
La aplicación de kriging a los problemas en la geología y la minería, así como a la hidrología se inició a mediados de los años 60 y especialmente en los años 70 con el trabajo de Georges Matheron.
El Kriging es conocido como el método interpolador Geoestadístico, es un estimador lineal insesgado, presenta dos propiedades básicas que
son: Hacer que la suma de errores tienda a cero, y que el cuadrado de las desviaciones sea mínimo.
Tiene como objetivo estimar el valor de la variable Z, para un punto x0 que no ha sido considerado anteriormente, realiza una suma ponderada sobre todos los sectores que conforman la zona de estudio de interés, tomando los vecinos más cercanos al punto de interés x0.
El proceso del Kriging es asignar pesos a los vecinos más cercanos, considerados para la estimación, la diferencia del Kriging con otros métodos
de interpolación, es que utiliza un método semejante a la interpolación por media móvil ponderada, a diferencia que los pesos son asignados a
partir de un análisis espacial, basados en el semivariograma experimental.
pág. 1
Un método de interpolación será exacto cuando, pase por los puntos muestrales, lo más cercano posible a ellos.
Es importante que un modelo para semivariograma que ha sido ajustado, represente una tendencia a los modelos antes descritos, para que las
estimaciones obtenidas por medio del Kriging sean más exactas y más confiables.
Las estimaciones mediante el método Kriging pueden ser, por punto o por bloque.
Métodos de Estimación del Kriging.
Existen dos métodos de Kriging para realizar las estimaciones.
Kriging Ordinario.
Es el método más apropiado, para situaciones medioambientales, este método asume que las medias locales, no están necesariamente
relacionadas lo más cercanamente a la media poblacional, por lo cual solo usa las muestras en la vecindad local para la estimación.
Kriging Simple.
Asume que las medias locales son relativamente constantes e iguales a la media poblacional, la cual es conocida. La media poblacional es usada
como un factor en cada estimación local, a lo largo con las muestras en las vecindades locales.
Hay dos tipos de Kriging, el de Punto y el de Bloque, lo cuales generan unas cuadrículas de interpolación.
Kriging de Punto.
Estima los valores de los puntos en los nodos de las cuadrículas.
REPRESENTACIÓN TÉCNICA PUNTO KRIGING.
pág. 2
Kriging de Bloque.
Estima el valor promedio de los bloques rectangulares, que están centrados en los nodos de las cuadrículas, los bloques son le tamaño y forma
de las celdas de las cuadrículas, este tipo de Kriging no resulta ser un buen interpolador, ya que no estima el valor de un punto.
Efecto del Rango en las Estimaciones.
Un valor grande para el rango (a), significa un comportamiento más continuo. Las estimaciones dan como resultado mapas bastante lisos para la variable de interés.
Efecto del modelo en las Estimaciones.
Considerando la forma que presenta el Variograma en los primeros lags, un modelo Gaussiano es más continuo que un modelo Esférico con un mismo efecto en 6h, para la variable mejor correlacionada, se muestran los mapas con más suavización.
Efecto del Sill en las Estimaciones.
El cambiar el valor de Sill, no cambia los valores de las estimaciones, por lo que los mapas de estimaciones seguirán siendo los mismo, afecta a la variación de las estimaciones, un sill más alto indica, mayor variación en las estimaciones.
Error de Estimación.
Dado que no son estrictamente equivalentes, hay un error de estimación involucrado en los procedimientos. La aceptación de un método de
estimación será dado por la magnitud de los errores involucrados, el mejor método a considerar de be ser el que de los errores más pequeños,
considerando todos los bloques o puntos en la estimación.
pág. 3
La Varianza en la Estimación.
La varianza indica la dispersión que presentan los valores estimados con respecto a los valores reales.
El Kriging no solo provee una estimación de mínimos cuadrados, también está ligado a la varianza del error.
La varianza del error es:
Dependiente en el modelo de la covarianza. La precisión de la estimación podría depender de la complejidad de la
variabilidad espacial de z, modelado por la covarianza. Dependiente en la configuración de los datos. La localización de los datos y sus distancias entre sí, son estimados. Independiente de los valores de los datos.
Para un modelo de covarianza dado, la configuración de dos datos idénticos podría producir la misma varianza Kriging, sin importar que los datos estuvieren.
KRIGING PUNTUAL
Utilizaremos el programa geovar
pág. 4
Luego abriremos el programa y seleccionaremos el archivo:
PROG1.BAS
pág. 5
pág. 6
2. kriging en Excel
Caso de estudio configuración del problema
APLICACIÓN
Caso I
MODELO ESFERICO:
γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]
C1
∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0
pág. 7
SOLUCION:
a) δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+
C04
γVB :?
Matriz de distancia
1 2 3 4
x11,41
3,16
3,16
4,24
x23,16
4,24
1,41
3,16
x34,24
3,16
3,16
1,41
x43,16
1,41
4,24
3,16
Matriz de variograma
1 2 3 4
x10,2101
0,4582
0,45822
0,59789
x20,4582
0,5979
0,2101 0,45822
x30,5979
0,4582
0,45822
0,2101
x40,4582
0,2101
0,59789
0,45822
γVB :0.4311
γBB=?
Matriz de distancia
1 2 3 4
1 0 2 22.83
2 2 0 2.83 2
3 22.83
0 2
42.83
2 2 0
Matriz de variograma
1 2 3 4
pág. 8
B
BV
V
BB
BB
1 00.296
0.296
0.413
20.296
00.413
0.296
30.296
0.413
0 0.296
40.413
0.296
0.296
0
γBB=∑ (γBB)16
=4.020716
=0.251
γVV=?
Matriz de distancia
X1 X2 X3 X4X1 0 4 5.66 4
X2 4 0 45.66
X35.66
4 0 4
X4 45.66
4 0
Matriz de variograma
X1 X2 X3 X4X1
0 0.5680.7583
0.568
X2
0.568 0 0.5680.7583
X3
0.7583 0.568 0 0.568
X4
0.5680.7583
0.568 0
γVV=∑ (γVV)16
=7.577416
=0.4736
ENTONCES:
δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+
C04δE2=2 (0.4311)− (0.251 )−(0.4736 )+ 0
4δE2=0.1376
pág. 9
VV
VV
APLICACIÓN
Caso II
γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]
C1
∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0
SOLUCION:
a) δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+
C04
γVB :?
Matriz de distancia
1 2 3 4
x01.41
1.41
1.41 1.41
x11,41
3,16
3,16 4,24
x23,16
4,24
1,41 3,16
x34,24
3,16
3,16 1,41
x43,16
1,41
4,24 3,16
Matriz de variograma
1 2 3 4X0 0,2101 0,2101 0,2101 0,2101x1 0,2101 0,4582 0,45822 0,59789x2 0,4582 0,5979 0,2101 0,45822x3 0,5979 0,4582 0,45822 0,2101x4 0,4582 0,2101 0,59789 0,45822
pág. 10
B
BV
V
γVB :0.3869
γBB=?
Matriz de distancia
1 2 3 4
1 0 2 22.83
2 2 0 2.83 2
3 22.83
0 2
42.83
2 2 0
Matriz de variograma
1 2 3 4
1 00.296
0.296
0.413
20.296
00.413
0.296
30.296
0.413
0 0.296
40.413
0.296
0.296
0
γBB=∑ (γBB)16
=4.020716
=0.251
γVV=?
Matriz de distancia
X0 X1 X2 X3 X4X0 0 2.83 2.83 2.83 2.83X1 2.83 0 4 5.66 4X2 2.83 4 0 4 5.66X3 2.83 5.66 4 0 4
X4
2.83
4 5.66 4 0
Matriz de variograma
X0 X1 X2 X3 X4X0 0 0.413 0.413 0.4132 0.413
pág. 11
BB
BB
V
VV
V
2 2 2
X10.4132
0 0.568 0.7583 0.568
X20.4132
0.568 0 0.5680.7583
X30.4132
0.7583
0.568 0 0.568
X4
0.4132
0.5680.7583
0.568 0
γVV=∑ (γVV)25
=10.882725
=0.4353
ENTONCES:
δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+
C04δE2=2 (0.3869 )−(0.251 )−(0.4353 )+ 0
4δE2=0.0875
KRIGING PUNTUAL
APLICACIÓN NUMERICA
MODELO ESFERICO:
xi Z(xi)x1 50x2 52x3 60x4 53
γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]
C1
∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0
pág. 12
SOLUCION:
n+1=(4 )+1=5
SISTEMA DE MATRICES:
λ1=0.27λ2=0.27λ3=0.27λ 4=0.27
M=−0.115
ENTONCES:
ZX 0=λ1 (Z X1 )+ λ2 (Z X2 )+ λ3 (ZX 3 )+λ 4 (ZX 4 )ZX 0=0.27 (50 )+0.27 (52 )+0.27 (60 )+0.27 (53)ZX 0=58.05
POR LO TANTO:
δK2=λ1 (γ 1 )+ λ2 ( γ 2 )+λ3 (γ 3 )+ λ4 (γ 4 )+M
δK2=0.27 (0.413 )+0.27 (0.413 )+0.27 (0.413 )+0.27 (0.413 )−0.115δK
2=0.33
APLICACIÓN
Caso III
pág. 13
Comprobar que siempre tiene que ser 1
xi=1Σ
γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]
C1
∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=¿
SOLUCION:
a) δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+
C04
γVB :?
Matriz de distancia
1 2 3 4x0 1.41 1.41 1.41 1.41x1 1,41 3,16 3,16 4,24x2 3,16 4,24 1,41 3,16x3 4,24 3,16 3,16 1,41x4 3,16 1,41 4,24 3,16
x5
5.10
5.10
3.16
3.16
Matriz de variograma
1 2 3 4X0 0,2101 0,2101 0,2101 0,2101x1 0,2101 0,4582 0,45822 0,59789
pág. 14
B
BV
V
x2 0,4582 0,5979 0,2101 0,45822x3 0,5979 0,4582 0,45822 0,2101x4 0,4582 0,2101 0,59789 0,45822x5 0.6987 0.6987 0.4582 0.4582
γVB :0.419
γBB=?
Matriz de distancia
1 2 3 4
1 0 2 22.83
2 2 0 2.83 2
3 22.83
0 2
42.83
2 2 0
Matriz de variograma
1 2 3 4
1 00.296
0.296
0.413
20.296
00.413
0.296
30.296
0.413
0 0.296
40.413
0.296
0.296
0
γBB=∑ (γBB)16
=4.020716
=0.251
γVV=?
Matriz de distancia
X0 X1 X2 X3 X4 X5X0 0 2.83 2.83 2.83 2.83 4X1 2.83 0 4 5.66 4 6.32X2 2.83 4 0 4 5.66 2.83X3 2.83 5.66 4 0 4 2.83
pág. 15
BB
BB
VV
X4
2.83
4 5.66 4 06.32
X5 4 6.32 2.83 2.83 6.32 0
Matriz de variograma
X0 X1 X2 X3 X4 X5
X0 00.4132
0.4132
0.4132
0.4132
0.568
X1 0.4132 0 0.5680.7583
0.568 0.8220
X2 0.4132 0.568 0 0.5680.7583
0.4132
X3 0.41320.7583
0.568 0 0.568 0.4132
X4
0.4132 0.5680.7583
0.568 0 0.8220
X50.5680
0.8220
0.4132
0.41320.8220
0
γVV=∑ (γVV)36
=16.9636
=0.471
ENTONCES:
δE2=2 (γVB )−( γBB )−( γVV )+
C04δE2=2 (0.419 )−(0.251 )−(0.471 )+ 0
4δE2=0.116
KRIGING PUNTUAL
APLICACIÓN NUMERICA
MODELO ESFERICO:
xi Z(xi)X0 58
pág. 16
VV
X1 50X2 52X3 60X4
53
X5 ?
γ (h )={C1[ 32 ( ha )−12 ( ha )3]
C1
∀∀h<ah≥a}a=10C1=1C0=0
SOLUCION:
n+1=(5 )+1=6
SISTEMA DE MATRICES:
λ0=−0.0305λ1=−0.0119λ2=0.5272λ3=0.5272λ 4=−0.0119M=0.1422
ENTONCES:
ZX 0=λ 0 (Z X 0 )+λ1 (ZX 1 )+λ2 (ZX 2 )+λ3 (Z X3 )+λ4 (Z X 4 )ZX 0=−0.0305 (58 )−0.0119 (50 )+0.5272 (52 )+0.5272 (60 )−0.0119(53)ZX 0=56.0517
POR LO TANTO:
pág. 17
Comprobar que siempre tiene que ser 1
xi=1Σ
δK2=λ0 ( γ 0 )+λ1 (γ 1 )+ λ2 ( γ 2 )+λ3 (γ 3 )+ λ4 (γ 4 )+MδK2=−0.0305 (0.568 )−0.0119 (0.822 )+0.5272 (0.4132 )+0.5272 (0.4132 )−0.0119 (0.822 )+0cionERICO :0.1422
δK2=0.541
pág. 18