Rovid torteneti attekintes

Informatika elmeleti alapjai

Horvath Arpad

2012. oktober 31.

Tartalomjegyzek

1. Neumann Janos 1

2. Mechanikus gepek 62.1. Korai gepek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Babbage es gepei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. XX. szazad gepei 103.1. Turing es gepe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Zuse es gepei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. USA, jol dokumentalt sikertortenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4. Neumann-elvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Szamıtogepgeneraciok 16

1. Neumann Janos

Neumann Janos (John von Neumann, 1903–1957) .

• Szuletett: 1903. december 28., Budapest. Apja egy bank ugyvedje

• 1914-ig maganuton tanul, utana fasori gimnaziumba kerul. Tanarai: Ratz Laszlo, KurschakJozsef, Fekete Mihaly

1

• Wigner Jeno: ,,Zseni csak egy volt. . . ”

• 1921: erettsegizik; matematikai publikacio Feketevel

Egy tortenet szerint Wigner Jenot, Neumann osztalytarsat kesobb megkerdeztek, hogy ho-gyan lehet, hogy annyi zseni kerult ki Magyarorszagrol, akkor valaszolta, hogy ,,Hogyhogy annyizseni? Zseni kozottunk csak egy volt: Neumann Janos.”. Wigner Jeno, a Nobel-dıjas fizikus tehatilyen komolyra ertekelte Neumann zsenialitasat. Pedig tenyleg szep szammal kerultek ki magyargimnaziumokbol Neumann kortarsai kozul Novel-dıjasok is: Gabor Denes, Szent-Gyorgi Albert,Bekesy Gyorgy, Hevesy Gyorgy, mind kortarsa volt.

Neumann Janos (egyetem, indulas) .

• egyetemek: Bp. matematikus; Berlin/Zurich (ETH)vegyeszmernok,

– Berlin: Gabor Denes, Szilard Leo, Wigner Jenobaratsaga, Einstein fizikaeloadasat hallgatja

– Zurich: matematikusokkal levelezett; Polya, Weyl(eloadas)

• kutatas (Gottinga, Hilbert): matematikai logika; kvantum-mechanika

• 1932 Mathematische Grundlagen der QuantenmechanikApja vegyesznek szanta, ugyhogy tanulmanyait a Berlini Egyetemen kezdte vegyeszmernokkent,

majd Zurichben folytatta, ott kapta meg a vegyesz-diplomat 1926-ban.Zurichben Polya Gyorgy es Hermann Weyl matematikusok eloadasait latogatta. Utobbi helyett

eloadast is tartott, amikor egy ideig tavol volt Zurichbol. Polya Gyorgy szerint csak egyetlenhallgatojatol felt: amikor egy eloadasan beszelt egy megoldatlan matematikai problemarol, a vegenodament hozza Neumann, es bemutatta a feladat teljes megoldasat.

Budapesten szerezte meg a matematikusi diplomat, majd kesobb a doktori vegzettseget (1926).Kituno eredmennyel tette le vizsgait, pedig az eloadasokat nem tudta latogatni. (Kerem, ezutobbiban ne kovessek, mert hatha nem mindenkinek mukodik a dolog!)

Neumann Janos (csaladi elet) .

2

• Kovesi Marietta

– Hazassag 1932–1937

– lanyuk Marina sz. 1935

• 1939: hazassaga Dan Klaraval, aki programozolesz

• A kepen Dan Klaraval, es Inverz nevu kutyajaval

Neumann Janos: jatekelmelet .

• Neumann–Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior, 1943

• jatekelmelet; axiomatikus targyalas, kombinatorikaval

– arucsere tobb resztvevo kozott

– monopolium, ogliopolium

– szabad kereskedelem

• kis peldanyszam; 1946-ban a New York Times cımoldalan

3

Neumann Janos: EDVAC, IAS .

• A II. vilaghaboru alatt katonai tanacsado

• A lokeshullamok terjedeset vizsgalja, ami bonyolult (differencial)egyenletek megoldasat je-lenti. Nagy szamolasigeny.

• EDVAC, IAS sztori (lasd kesobb)

Amikor Goldstine-tol megtudta, hogy milyen nagy sebessegu szamıtogep epul (ez meg az ENIAC),akkor figyelme a szamıtogepepıtes fele fordult. Ilyen gepekre volt szuksege a lokeshullam-terjedesmodellezesehez.

Neumann Janos: Utolso evek .

• meteorologia, bonyolult matematika, mely csak szamıtogeppel oldhato meg

• rakos lesz, meghal 1957. februar 8-an

A szamıtogepeket tobbek kozott a meteorologiai elorejelzesek keszıtesere hasznalta fel Neumann.Addig is ismertek voltak a levego tulajdonsaganak valtozasait leıro fizikai egyenletek, de keptelensegvolt szamıtogep nelkul akar csak egy ora idotartamra is kello pontossaggal kiszamıtani az egyenletekmegoldasat.

4

Neumann Janos .

Balroljobbra Ulam lengyel szarmazasu matematikus, Feynman amerikai fizikus es Neumann. JellemzoNeumannra, hogy altalaban mindenhol oltonyben jelent meg. Lattam regebben olyan kepet, ahollovas kirandulason is oltonyben lathato. Sajnos az interneten nem talaltam meg. Feynmanra pedig

5

pont az ellenkezoje jellemzo, lebilincselo eloadasain altalaban nem szokott nyakkendot sem hordani.Kivetel talan a Nobel-dıj atadasakor tartott eloadasa volt.

Neumann Janos .

2. Mechanikus szamologepek, adatfeldolgozo berendezesek XVII.-XIX. szazad

2.1. Korai gepek

Korai gepek .

• Schickard 1623, elso mechanikus szamologep, Keplernek, tuzvesz

• Pascal, a mechanika tokeletesıtese, +, −

• Leibniz, Pascalet tokeletesıti, negy alapmuvelet; kettes szamrendszer otlete, csak tul sokszamjegy

bovebben comparch oldalon: www.intermedia.c3.hu/˜szmz/comparch/A csillagaszatban egy egitest (pl. ustokos) palyajanak, visszateresenek kiszamıtasa rengeteg

matematikai szamolast igenyel, ezert valt volna nagy segıtsgere Keplernek egy szamolo gep.A tul sok szamjegy, es vele a tul sok fogaskerek mukodese rendkıvul finom mechanikai meg-

munkalast igenyel. Babbage gepeivel is az volt a gond, hogy kora finommechanikai megmunkalasanem volt elegendo a gepeinek megvalosıtasahoz.

6

2.2. Babbage es gepei

Charles Babbage (1791–1871) .

Charles Babbage, National Portrait Gallery, LondonForras: www.mek.iif.hu/kiallit/tudtor/tudos1/babbage/babbagee.mentBabbage matematikus, mechanikus es feltalalo. Arra a kovetkeztetesre jutott, hogy a fuggvenytablak

szamıtasat automatizalni kell, a nyomtatassal egyutt. 1816-tol a Royal Society tagja, 1828 es 1839kozott Cambridge-ben a matematika professzora (ugyanazt a professzori allast toltotte be, amitkorabban Newton). Hat konyvet ırt, es kozel 90 cikket publikalt.

Babbage: Differential Engine No. I., 1822–1834 .

7

A tablazatok kiszamıtasara tervezett Differential Engine-t nem sikerult teljes egeszeben megepıtenie.A londoni Science Museumban 1991-ben Babbage reszletes rajzai alapjan megepıtettek az ere-

deti differenciagep egyszerusıtett valtozatat korszeru anyagokbol. A gep negyezer alkatreszbol all,meretei is tekintelyesek: 3,4 m × 0,5 m × 2,1 m. A berendezes tokeletesen mukodott: hibatlanulkiszamıtotta a 7. hatvanyok tablazatanak elso szaz erteket.

Egy altalanosabb gepet is tervezett – az Analitical Engine-t – mellyel szemben a kovetelmenyei:

Babbage kovetelmenyei egy szamolo geppel (Analitical Engine) szemben .

1. ne kelljen mindig beallıtani a szamokat, meg lehessen adni egyszerre az osszes szamot esmuveletet (ez lyukkartya segıtsegevel oldhato meg).

2. legyen bemeneti egyseg (ez a lyukkartya)

3. legyen utasıtas (a muvelet a lyukkartyan)

4. legyen kulso programvezerles (a lyukkartyakon tarolt utasıtassorozat, a program)

5. legyen olyan egyseg, amely a kiindulasi es a keletkezett szamokat tarolja (,,memoria”)

6. legyen aritmetikai egyseg, amely szamologepen belul a muveleteket vegzi el

7. legyen kimeneti egyseg (a gep nyomtassa ki az eredmenyt).

8

1847-ig ezen a gepen dolgozott, bar az epıtese mar kezdetben megakadt: a kor finommechanikailehetosegeivel ezt a gepet nem lehetett elkeszıteni.

Augusta Ada King sz. Byron, Lovelace grofno (1815. december 10. – 1852. november 27.)fokent arrol ismert, hogy leırast keszıtett a Charles Babbage altal tervezett Analitycal Engine-hez.

Ada volt Lord Byron kolto es felesege, Annabella Milbanke egyetlen gyermeke, es egyben akolto egyetlen torvenyes gyermeke.

Egy Babbage-nel tett latogatas alkalmaval Ada megtekintette az analitikus gepet, melyrol Bab-bage a kovetkezokeppen emlekszik meg: ,,Mıg az estely tobbi resztvevoje ugyanazzal az arckife-jezessel es erzessel tekintett erre a szep keszulekre, mint amit allıtolag egyes vademberek tanusıtottak,amikor eloszor lattak tavcsovet vagy hallottak puskalovest, Miss Byron – akarmilyen fiatal is volt– megertette mukodeset, es atlatta a talalmany szepseget.”

Babbage kesobb Giovanni Plana olasz csillagasz baratja meghıvasara Torinoba latogatott, aholegy valogatott tarsasag elott – e tagja volt Luigi F. Menabrea tabornok is – konnyed stılusueloadassorozatot tartott. Menabrea-t megragadta a Babbage munkassaga, es az eloadasokrol rovidbeszamolokat ırt, amelyet 1842-ben ki is adatott. Menabrea egyebkent kesobb Olaszorszag minisz-terelnoke is lett.

1842-1843-ban Ada kilenc honap alatt lefordıtotta Luigi Menabrea ırasat Babbage AnalyticalEngine-jerol. Babbage e hır hallatan arra buzdıtotta az ekkor mar 27 eves asszonyt, hogy lassa eljegyzetekkel a Menabrea dolgozatot. Az eredmeny nem maradt el: a fordıtasban jegyzetek ketszerolyan hosszuak lettek, mint a mu maga. Az ıras kivalo lett, es arrol tanuskodik, hogy Ada azanyjatol orokolt matematikai tehetsegen tul apjatol irodalmi venat is orokolt. A fordıtas kulonerdekessege, hogy tartalmaz magyarazatkent szamos programot is, amelyeket kesobb atvizsgalvatokeletesen mukodonek talaltak a rekonstrualt analıtikus gepen.

Charles Babbage logaritmustablai magyarul, 1834 .

9

Charles Babbage ismerose volt Nagy Karoly magyar tudos. Nagy Karoly hagyatekaban talaltvazlatrajzok mutatjak, hogy ot is foglalkoztatta a szamologepek epıtesenek gondolata.

Emellett Babbage kesz logaritmustablazatai magyar eloszoval is megjelentek Nagy Karolynakkoszonhetoen. Tudnivalo, hogy a muveletek konnyebben szamolhatoak, ha a szamok logarit-musaival szamolunk, mert ilyenkor a bonyolultabb muveletek egyszerubbe alakulnak: a szorzasosszeadassa, a hatvanyozas szorzassa, a gyokvonas osztassa alakul. A logarlec es az elektronikusszamologepek elott nagyon hasznos segedeszkoz volt a logaritmustablazat.

3. XX. szazad: az elektromechanikus berendezesektol a szemelyiszamıtogepig

3.1. Turing es gepe

Colossus (uk), Alan Turing, 1943, decrypter .

10

1943. decembereben Alan Turing az Bletchley Parkban (Cambridge kozeleben) elkeszıtette a,,Colossus” elso verziojat. A gep a vilag elso elektroncsoves szamıtogepe volt. Un. ,,decryption”kodvisszafejto gep volt. 2400 elektroncsovel. Sebessege, 5000 karakter per masodperc volt.

3.2. Zuse es gepei

Konrad Zuse (de), 1935-tol .

11

A Z3-as, ami 1941-ben keszult el, volt a vilagon az elso programvezerelt szamıtogep, mely lyuk-szalagon rogzıtett adatokkal es programmal, kettes szamrendszerben, lebegopontos szamabrazolassaldolgozott. Bevitelre klaviatura szolgalt, megjelenıtoeszkoze egy lampakbol allo kijelzo volt.

Az ezzel kapcsolatos jegyzeteiben Konrad Zuse mar leırja a tarolt program elvet, amit a vilagNeumann-elvkent ismer. Halalaig hasztalanul probalkozott Zuse bizonyıtani, hogy a tarolt programelvet evekkel korabban leırta, mint Neumann Janos, o mar kitalalta es alkalmazta is.

3.3. USA, jol dokumentalt sikertortenet

USA, jol dokumentalt sikertortenet .

• Mark-I, Mark-II reles

• ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer: elektronikus numerikus integratores szamıtogep); Goldstine, Mauchly; ballisztikus tablak; huzalozassal programoztak

• Neumann Janos: First Draft of a Report on the EDVAC 101 oldalas, 1945. junius 30.

• A First Draft kozzetelelevel kozkincs a tarolt program elve

• EDVAC (Eckert, Mauchly) es IAS (Neumann) szetvalt szabadalmi vitak miatt

• UNIVAC: az elso kereskedelmi forgalomban is kaphato, sorozatban gyartott univerzalis szamıtogep(UNIVersal Automatic Calculator) (Eckert, Mauchly)

12

ENIAC .

Az ENIAC programozasa

IAS .

Az IAS, az Institute for Advanced Study Electronic Computer Project altal elkeszıtett szamıtogep,tobb gep ose.

IAS es utodai .

• IAS (Institute for Advanced Study, Princeton, ahol epıtettek)

13

• leszarmazottai

– AVIDAC, Argonne National Laboratory, 1949-1951

– MANIAC, Los Alamos Scientific Laboratory, 1948-1952

– IBM 701, IBM Corporation

– JOHNNIAC es meg sok

Goldstine: A szamıtogep Pascaltol Neumannig, Muszaki Kiado, 2003 Aspray: Neumann Janoses a modern szamıtastechnika kezdetei, Vincze Kiado, 2004

Az IAS es keszıtoi .

Bigelow, Goldstine, Oppenheimer es Neumann az IAS elott

• Herman Goldstine, a projektvezeto

• Neumann Janos (John von Neumann) ,”logikai” tervezo, az alapelvek es numerikus modszerek

kidolgozoja

• Julian Bigelow, a fomernok

3.4. Neumann-elvek

Neumann-elvek .

• A szamıtogep legyen univerzalis: programtol fuggoen kulonbozo feladatokat kepes megoldani.

• A gep mukodesenek alapja a binaris (kettes) szamrendszer legyen. Ket allapot (0, 1), egy-szerubb aramkori megvalosıtas. (11010110 egy nyolc bites binaris szam)

14

• A tarolt program elve: A programot az adatokhoz hasonloan a belso tarolon helyezzuk el(szinten bitsorozatkent).

• Soros mukodes: az utasıtasokat egymas utan hajtja vegre, egyszerre egyet. (Ma pl. a tobb-magos processzoroknal a ket magban ket utasıtas parhuzamosan is vegrehajtodhat.)

• Az utasıtasokat emberi beavatkozas nelkul ertelmezze es hajtsa vegre.

Az IAS felepıtese .

Harvard- vs. Neumann-architektura .

15

4. Szamıtogepgeneraciok

Szamıtogepgeneraciok .Az elektronikus szamıtogepeket szoktuk generaciokba sorolni az elektronikus aktıv alkatreszuk

szerint (ami a muveleteket vegzi).

Elso generacio elektroncsoves gepek 1946–1954 (felt. 1904)

Masodik generacio tranzisztoros gepek 1954–1965 (felt. 1947)

Harmadik generacio IC-s gepek 1965–1971 (felt. 1958),

Negyedik generacio nagy integraltsagu (LSI, Large Scale Integration) aramkorokbol (70-es evekkozepetol maig)

Otodik generacio a jovo, nem aktıv alkatresz alapjan

Szamıtogepgeneraciok megkulonbozteto jellemzoi .

• Elektronikus ,,aktıv” elemek

• Felepıtes: az egyes egysegek kapcsolodasi modja

• Muveleti sebesseg: szorzas, osszeadas sebessege

• Alkalmazasi kor

• Programozas modja

• Meret

• Teljesıtmenyfelvetel

• Megbızhatosag

• Tarolo fizikai megvalosıtasa (operatıv taroloe, azaz memoriae)

• Egyebek

16

1. generacio .

• Elektronikus aktıv elem: elektroncso

• Felepıtes: processzorcentrikus

• Muveleti sebesseg: 103 − 104 muvelet/s

• Alkalmazasi kor: tudomanyos szamıtasok

• Programozas modja: gepi kodban

• Meret: teremnyi

• Teljesıtmenyfelvetel: nagy a elektroncsovek katodjanak futese

• Megbızhatosag: gyakran kellett elektroncsovet cserelni

• Tarolo: az operatıv tar keslelteto muvonal vagy tarolocso

• Magas ar, kis peldanyszam miatt

A processzorcentrikus felepıtes .

Processzor

Kozponti vezerloegyseg

Aritmetikai logi-kai egyseg

Operatıv tarolo

Kiviteli egysegBeviteli egyseg

A folytonos vonalak az adatmozgas lehetseges iranyait mutatjak, a szaggatott vonalasak avezerlojeleket.

2. generacio .

• Elektronikus aktıv elem: tranzisztor

• Felepıtes: tarolocentrikus, csatorna rendszeru periferiaszervezes

• Muveleti sebesseg: 104 − 105 muvelet/s

• Alkalmazasi kor: tudomanyos szamıtasok es uzleti alkalmazasok

• Programozas modja: magas szintu nyelvek megjelenese (pl. FORTRAN)

• Meret es teljesıtmenyfelvetel jelentosen csokken

17

• Megbızhatosag: jelentosen no, a tranzisztorok elettartama jelentosen nagyobb az elektroncsovekenel

• Tarolo: ferritgyurus operatıv tar

• Operacios rendszerek alkalmazasa (masik eloadasban bovebben)

Ferrittar (1947 – kb. 1980) .

A ferrittar olyan magneses anyagokon, az ugynevezett ferriteken alapul, amelyek magnesessegeketfele iranyu lehet, ami megfelel a 0-as es 1-es biteknek. A magnesesseg iranya kiolvashato. Amagnesesseg iranyanak megvaltoztatasahoz adott nagysagu aramerosseg szukseges. A matrixsszeruen(vızszintes es fuggoleges vezetekekre felfuzott) elrendezett ferritgyuruk eseten ugy tudunk csak egyferritgyuru magnesezettsegi iranyan valtoztatni, ha mindket iranyu vezeteken a szukseges aramfelet kuldjuk at. Ekkor a ket vezeteken levo tobbi ferritgyuru magneses iranya megmarad.

A tarolocentrikus felepıtes .

18

Processzor

Kozponti vezerloegyseg

Aritmetikai logi-kai egyseg

Operatıv tarolo Kiviteli egysegBeviteli egyseg

3. generacio .

• Elektronikus aktıv elem: integralt aramkor (IC)

• Felepıtes: modularis

• Muveleti sebesseg: 106 − 107 muvelet/s

• Alkalmazasi kor: tovabb bovul

• Programozas modja: magas szintu nyelveken ırjak az operacios rendszereket is (pl. C)

• Meret es teljesıtmeny-felvetel tovabb csokken

• Megbızhatosag: jo

• Tarolo: felvezetos operatıv tar

• Multiprogramozott, idoosztasos mukodes (masik eloadasban bovebben)

A modularis felepıtes eseten a szamıtogep egyes moduljai kozos vezetekkel, az atviteli sınnel(angolul bus) vannak osszekotve. Ami lehetove teszi peldaul, hogy ha keves a gep memoriaja (azazaz operatıv tar tarolokepessege), akkor ujabb memoriamodult epıtsunk be, novelve a memoriat.

19

3. generacio – Szamıtogep-csalad .

• Tudomanyos gepek mellett uzletiek is megjelentek

• IBM egy kompatibilis sorozata mindkettore (360-as)

– felepıtes es utasıtaskeszlet azonos (szamıtogep-csalad)

– memoria, processzor sebesseg valamint a be- es kiviteli eszkozok szama kulonbozo

4. generacio .

• Elektronikus aktıv elem: nagy es igen nagy integraltsagu (LSI, VLSI, (Very) Large ScaleIntegration) aramkor

• Felepıtes: mikroprocesszoros szervezes ⇒ szemelyi szamıtogepek

• Alkalmazasi kor: szovegszerkesztesre, tablazatkezelesre, grafikara, adatbaziskezelesre is (szamıtastechnika→ informatika)

• Programozas modja: szinte kizarolag magas szintu nyelveken tortenik

• Tarolo: felvezetos, integralt aramkorokbol keszult memoria

• Szoftver szerepenek novekedese

• Szamıtogephalozatok kialakulasa, altalanossa valasa

Korabban a szamıtogepeket kimondottan rengeteg szamıtas elvegzesere hoztak letre. A szamıtogepekfejlodese soran egyre tobb olyan teruleteken hasznaljuk, amelyek lenyege nem konkret szamıtasokelvegzese, hanem valamilyen informaciok tarolasa, feldolgozasa, nyomtathato formara hozasa. Emi-att a szamıtastechnika nev helyett sokszor az informatika nevet hasznaljak.

Moore-torveny .

20

Moore-torveny: a kozponti vezerlo egysegben (CPU) talalhato tranzisztorok szama nagyjabol ketevenkent megduplazodik.

Az allando idonkenti megduplazodast az exponencialis fuggveny ırja le, amely egyenest ad, ha afuggoleges tengelyen a szamertek (itt tranzisztor-darabszam) logaritmusat abrazoljuk, azaz a 10000,100000, 1000000 stb, egyenlo tavolsagonkent kovetik egymast.

Miert van ez ıgy? Minden f(t) = ax (a > 0) exponencialis fuggvenyt felırhatunk 10 hatvanyakent

y = f(t) = 10kt

ahol k a novekedes merteket jellemzo allando, minel nagyobb, annal kisebb idokozonkent duplazodika fuggveny erteke. Vegyuk az egyenlet mindket oldalanak logaritmusat:

log10 y = kt

Ha a fuggoleges tengelyen az y helyett annak Y = log y logaritmusat abrazolom, akkor az Y = kxlinearis fuggvenyt kapom.

Az abran lathato, hogy 1990-ben kicsit tobb mint 1 millio tranzisztor volt egy 486-os CPU-ban, addig 2000-ben egy Pentium 4-es processzorban tobb tızmillio. Nagyjabol huszszorosara notta tranzisztorok darabszama egy CPU-ban. Mivel a fuggoleges skala logaritmikus, a vızszintesidoskala linearis, ezert a szaggatottal huzott egyenes egy exponencialis fuggvenynek felel meg. Egyf(x) exponencialis fuggveny jellemezheto peldaul a duplazodas T2 idejevel: exponencialis fuggvenyeseten barmelyik t idopillanatban vizsgalom a fuggvenyt, ha T2 ido elmulik, akkor mindig duplajarafog valtozni a fuggvenyertek:

f(t + T2) = 2f(t)

Az, hogy 10 evente nagyjabol 20-szorosara valtozik a tranzisztorok szama, azt jelenti, hogykicsit tobb mint ket ev kell a duplazodashoz, T2 ≈ 2 ev, ami a Moore-torveny.

Erdekessegkeppen ket masik jelenseg, ahol az exponencialis idofugges van jelen, csak csokkenoelojellel: a kondenzatoron eso feszultseg, amikor kisul egy ellenallason keresztul, illetve a radioaktivelemek bomlasakor a radioaktiv elemek szama. Az utobbinal ismeros fogalom lehet a felezesi ido,ami nagyon hasonlo az elobb emlıtett T2 ,,duplazodasi” idovel.

21