Inferens Intervallskattning av . 6staff. · 2013. 4. 17. · F orel asning 8 Inferens Intervallskattning av . 6.1 Inge S oderkvist F6-S0007M. InferensPopulation Sampl e Collect data

Föreläsning 8

Inferens

Intervallskattning av µ. 6.1

Inge Söderkvist F6-S0007M

Inferens

Population Sampl

e

Collect data from a representative Sample...

Make an Inference about the Population.

Vi gör stickprov/urval och använder dessa för att dra slutsatser omhela populationen.

Förutsättningar (ideliserade)

Vi har ett slumpmässigt stickprov av populationen

Vi observerar en variabel X som är N(µ, σ)

Vi känner σ medan µ är okänt.

Uppgift:

Skatta µ med ett intervall.

Förutsättningar (ideliserade)

Vi har ett slumpmässigt stickprov av populationen

Vi observerar en variabel X som är N(µ, σ)

Vi känner σ medan µ är okänt.

Uppgift:

Skatta µ med ett intervall.

Konfidensintervall för µ

Givet förutsättningarna ovan gäller att

x är N(µ, σ/√n)

där n är storleken p̊a stickprovet.

är ett intervall

[x −m, x + m] eller x ±m

där P(intervallet täcker µ) = C . Talet C kallas konfidensgraden.

Givet förutsättningarna ovan gäller att

x är N(µ, σ/√n)

där n är storleken p̊a stickprovet.

är ett intervall

[x −m, x + m] eller x ±m

där P(intervallet täcker µ) = C . Talet C kallas konfidensgraden.

Intervallen är slumpmässiga, s.342

Hur hitta felmarginalen m ?

Givet en konfidensgrad, C , bestäm felmarginalen m s̊a att

P(x −m ≤ µ ≤ x + m) = C

vilket även kan skrivas

P(µ−m ≤ x ≤ µ+ m) = C .

Hur hitta felmarginalen m ?

Givet en konfidensgrad, C , bestäm felmarginalen m s̊a att

P(x −m ≤ µ ≤ x + m) = C

vilket även kan skrivas

P(µ−m ≤ x ≤ µ+ m) = C .

Vad är m ? s. 345

m = z ∗ σ√n

därP(−z∗ ≤ Z ≤ z∗) = C ,

och Z är N(0, 1).

Intervallängd

Konfidensintervallet [x̄ − z∗ σ√

n, x̄ + z ∗ σ√

n

]har längden

2m = 2z∗σ√n

och beror p̊a

Stickprovsstorleken (n)

konfidensgraden (z∗)

populationsspridningen (σ)

Konfidensintervallets beteende

Konfidensintervallets bredd minskar d̊a m minskar, dvs d̊a

stickprovsstorleken n ökar.

konfidensgraden C minskar. (önskas stor)

standardavvikelse σ minskar (kan vara sv̊ar att p̊averka)

Stickprovsstorlek givet felmarginal

För att uppn̊a en given felmarginal, m, (intervallängd = 2m) väljervi stickprovsstorleken enligt

n =(z∗σ

m

)2

Exempel 6.4

Vid en undersökning av 1200 studenter som sökt studiel̊an finnerman att de i medeltal har $3173 p̊a sitt kreditkort. (medianvärdetvar $1645). Vi antar att standardaviklesen för kreditkortsbeloppetför studiel̊anssökande är $3500. Bestäm ett konfidensintervall medkonfidensgrad 95% för kreditkortsbeloppet.

m = 1.9603500√1200

= 198

intervallet är (2975, 3371)

Vad händer om vi ändrar konfidensgraden till 90 % ?

m = 1.6453500√1200

= 166

Exempel 6.4

m = 1.9603500√1200

= 198

m = 1.6453500√1200

= 166

Exempel 6.4