Indukcja Matematyczna

Krzysztof R. Apt

1

Zagadka

Czy mozna byc w 1/3 Chinczykiem?

2

Indukcja Matematyczna i Funkcje

f (1) = 2,f (n + 1) = 2 · f (n).

A wiecf (2) = 2 · f (1) = 4,f (3) = 2 · f (2) = 8,f (4) = 2 · f (3) = 16,

itd.

Wyglada, ze

f (n) = 2n.

3

Zgadza sie dla n = 1, 2, 3, 4.

Ale jak to udowodnic dla wszystkich n ≥ 1?

Zasada indukcji matematycznej:

•Wpierw dowodzimy wlasnosc dla n = 1.Tzw. podstawa indukcji.

• Nastepnie zakladamy, ze jest to prawdziwedla n i dowodzimy wlasnosc dla n + 1.Tzw. krok indukcyjny.

Jesli udowodnimy te dwa fakty, to udowodnil-ismy

f (n) = 2n

dla wszystkich n ≥ 1.

4

Dowod

f (1) = 2,f (n + 1) = 2 · f (n).

f (n) = 2n?

1. Zachodzi dla n = 1.

2. Zalozmy, ze to zachodzi dla jakiegos n.Wowczas

f (n + 1) = 2 · f (n) = 2 · 2n = 2n+1.

3. Wniosek:

f (n) = 2n

zachodzi dla wszystkich n ≥ 1.

5

Hugs

Hugs> :load f.hsMain> f(10)1024

gdzie f.hs to po prostu definicja f :

f(1) = 2f(n+1) = 2*f(n).

6

Indukcja Matematyczna i Relacje

Zauwaz:1 = 11 + 3 = 41 + 3 + 5 = 91 + 3 + 5 + 7 = 161 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

7

TwierdzenieSuma pierwszych n liczb nieparzystych = n2.

DowodOznaczmy te sume przez S(n).

Krok indukcyjny.

Zauwaz:

S(n + 1) = S(n) + 2n + 1.

AleS(n) = n2,

wiec

S(n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2.

8

Wimbledon

S. Williams

S. Williams

S. Williams P. Kvitova

V. Zvonareva

V. Zvonareva T. Pironkova

4 zawodniczki, 3 mecze.

TwierdzenieW drzewie binarnym z n ≥ 1 poziomami:Liczba lisci (zawodniczek): 2n−1.Liczba wewnetrznych wierzcholkow (meczy):2n−1 − 1.

Przyklad n = 3.2n−1 = 4, 2n−1 − 1 = 3.Przyklad n = 8.2n−1 = 128, 2n−1 − 1 = 127.

9

Pytanie

Zalozmy, ze jest 106 graczy. Ilu meczy potrzebaby wylonic zwyciezczynie?

10

Czasami zaczynamy od n = 5

Udowodnij

n2 < 2n.

n lewa prawastrona strona

1 1 22 4 43 9 84 16 165 25 32

Twierdzenien2 < 2n zachodzi dla n ≥ 5.

11

Zadanie domowe

Udowodnij, ze dla n ≥ 1 ostatnia cyfra 6n jest6.

12

Wieze Hanoi

54321

13

321

32

1

3 1 2

3 21

14

3 21

1 3 2

1 32

321

15

TwierdzenieDla kazdego n ≥ 1 jest rozwiazanie zagadkiwiez Hanoi.

Dowod

•Wpierw dowodzimy wlasnosc dla n = 1.Podstawa indukcji: n = 1.Przesun dysk z A do B.

• Krok indukcyjny: z n do n + 1.

– przesun gorne n dyskowz A do C przy uzyciu B.

– przesun najwiekszy dysk z A do B,– przesun n dyskow

z C do B przy uzyciu A.

16

54321

5 4321

5 4321

54321

17

Prolog

Kod w jezyku Prolog:

move(1,A,B,C) :-write(’move top disk from ’),write(A),write(’ to ’),write(B),nl. % newline

move(M,A,B,C) :-M>1,N is M-1,move(N,A,C,B),move(1,A,B,C),move(N,C,B,A).

18

Prolog

move(3,A,B,C).

move top disk from A to Bmove top disk from A to Cmove top disk from B to Cmove top disk from A to Bmove top disk from C to Amove top disk from C to Bmove top disk from A to B

19

Triomina

Pytanie: Czy mozna pokryc triominami dowolnaszachownice bez jednego pola?

20

Tak

Twierdzenie (Golomb)Dla kazdego n ≥ 1 mozna pokryc triominamidowolna szachownice o wymiarach 2n na 2n

bez jednego pola.

21

Czy mozna byc w 1/3 Chinczykiem?

TwierdzenieDla kazdego n ≥ 1 i k ≤ 2n mozna byc wk/2n Chinczykiem.

22

Mieszanie Farb

| | | | | || | | | | ||_____| |_____| |_____|| | | | | || B | | C | | N ||_____| |_____| |_____|

23

TwierdzenieDla kazdej farby w kazdym wiadrze jest jejk/2n litra dla jakiegos k ≤ 2n.

A jesli k/2n = 1/3, to 3k = 2n.

24

Maly prezent z Holandii

25