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Unità 1 Sviluppo di solidi, 2
1.1 Lo sviluppo dei solidi ha origini lontane, 4
1.2 Sviluppo dei principali solidi geometrici, 51.2.1 Poliedri, 5 – 1.2.2 Coni, cilindri e sfere, 7
1.3 Sviluppo dell’elica cilindrica, 9
1.4 Sviluppo di solidi sezionati, 10
1.5 Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni, 121.5.1 Compenetrazione di prismi, 12 – 1.5.2 Compene-trazione tra un cono e un prisma, 14 – 1.5.3 Compene-trazione di due cilindri, 16
Esercizi di comprensione e sviluppo, 18
Unità 2 Proiezioniassonometriche, 24
2.1 La rappresentazione assonometrica, 26
2.2 I vari tipi di assonometrie, 27
2.3 Le assonometrie ortogonali e oblique, 28
2.4 Tracciamenti, 30
2.5 Assonometria ortogonale, 312.5.1 Assonometria ortogonale isometrica, 31 – 2.5.2Assonometria ortogonale dimetrica, 32 – 2.5.3 Traccia-mento di circonferenze nell’assonometria ortogona-le, 33
2.6 Assonometria cavaliera, 352.6.1. Tracciamento, 35 – 2.6.2 Tracciamento di circon-ferenze, poligoni e solidi, 36
2.7 Assonometria planometrica, 37
2.8 Assonometria planometrica ribassata, 39
2.9 Assonometrie a confronto, 40
2.10 Confronto tra i vari metodi di tracciamento dellecirconferenze, 42
2.11 Viste dall’alto e dal basso, 43
2.12 Esempio di tracciamento, 44
2.13 Reticoli assonometrici, 45
2.14 Applicazioni particolari dell’assonometria, 462.14.1. Lo spaccato assonometrico, 46 – 2.14.2 L’asso-nometria di edifici, 48 – 2.14.3 L’assonometria traspa-rente, 49 – 2.14.4 L’esploso assonometrico, 50 – 2.14.5Uso descrittivo dell’assonometria, 51
Esercizi di comprensione e sviluppo, 52
Unità 3 La prospettiva, 62
3.1 Introduzione alla prospettiva, 643.1.1 Cenni storici, 64 – 3.1.2 Elementi base della pro-spettiva, 67 – 3.1.3 Tipi di rappresentazioni prospetti-che, 68 – 3.1.4 Campo visivo e punto di vista, 70 – 3.1.5La scelta del punto di vista, 72 – 3.1.6 Le regole fonda-mentali, 74
3.2 La prospettiva centrale, 763.2.1 La rappresentazione grafica della prospettivacentrale, 76 – 3.2.2 Prospettiva centrale di solidi, 79 –3.2.3 Il parallelepipedo contenente l’oggetto, 80 –3.2.4 La pianta ausiliaria, 81 – 3.2.5 Prospettiva cen-trale di un porticato, 82 – 3.2.6 Esempi di prospettivacentrale, 84
3.3 La prospettiva accidentale, 853.3.1 La rappresentazione grafica della prospettiva ac-cidentale, 85 – 3.3.2 Metodi della prospettiva acciden-tale, 86 – 3.3.3 Solidi in prospettiva accidentale, 90 –3.3.4 Prospettiva accidentale di una scala, 92 – 3.3.5 Pro-spettiva accidentale di un edificio, 93
3.4 La prospettiva a quadro inclinato, 94
3.5 Reticoli prospettici, 96
Esercizi di comprensione e sviluppo, 97
Unità 4 Teoria delle ombre, 104
4.1 La rappresentazione geometrica delle ombre, 106
4.2 Le ombre nelle proiezioni ortogonali, 1084.2.1 Ombre di punti e segmenti, 108 – 4.2.2 Ombreportate di figure piane, 110 – 4.2.3 Ombre proprie eportate di solidi, 112 – 4.2.4 Ombre propria e portatadella sfera, 114 – 4.2.5 Ombre proprie e portate digruppi di solidi, 115 – 4.2.6 Ombre autoportate, 116
4.3 La planivolumetria, 118
4.4 Le ombre in assonometria, 119
4.5 Le ombre in prospettiva, 120
4.6 Le ombre realizzate con il computer, 122
Esercizi di comprensione e sviluppo, 123
Glossario, 127 - Indice analitico, 129
Indice
Riuscire a tracciare lo sviluppodi un solido su una superficie pianacomporta vari vantaggi: il primoè che si evitano quasi tutte le giunzionifra le facce del solido sostituiteda piegature; il secondo consistenella possibilità di realizzare formecilindriche, coniche, sferiche, ovoidali,partendo sempre da una superficiepiana; il terzo riguarda la faciledefinizione geometrica della superficiepiana necessaria alla realizzazione
del solido, eliminando così gli sprechidi materiale.La conseguenza logica di questivantaggi è la grande facilitazionealla produzione industriale di oggettisolidi in cartone, tessuto, lamiera,utilizzando macchinari che taglianoi contorni dello sviluppo, incidonoi bordi che vanno piegati, pieganoo incurvano le superfici bloccando infinele parti estreme con incastri, cuciture,saldature o altri tipi di unione.
percorso
� Le origini dello sviluppo dei solidi
� Sviluppo dei principali solidi geometrici
� Sviluppo dell’elica cilindrica
� Sviluppo di solidi sezionati
� Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni
prerequisiti
� Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria solida
� Saper eseguire le principali costruzioni geometriche
� Buona conoscenza delle proiezioni ortogonali dei solidi, comprese intersezionie compenetrazioni
obiettivi� Saper eseguire lo sviluppo sul piano di figure solide intere o sezionate
� Saper interpretare gli oggetti complessi come combinazioni di figure solide elementarie saper realizzare il loro sviluppo
1Sviluppo di solidi
Se prendiamo un foglio di carta e lo arrotoliamo rispetto aun’estremità formiamo un cilindro: il foglio è la quantità di su-perficie piana necessaria a formare il cilindro, è il suo sviluppo.Lo sviluppo di un solido consiste pertanto nel distendere e ri-baltare (se necessario) su un piano le superfici che compon-gono il solido.In tempi remoti un sarto si accorse che, invece di cucire tantipezzi assieme, riusciva a ottenere la stessa forma da un unicopezzo di stoffa. Egli fu molto soddisfatto di questa sua innova-zione e certamente la tramandò ai suoi figli o ai suoi appren-disti i quali, a loro volta, la migliorarono.Si può immaginare che la tecnica dello sviluppo dei solidi sianata in questo modo: quel che è certo è che essa fu applicata al-l’abbigliamento fin dall’antichità per realizzare abiti (forme tri-dimensionali) partendo da un pezzo di tessuto.In seguito questa tecnica trovò un grande settore di applica-zione nella realizzazione delle armature [figura 1].
La cultura artigianale in questo settore è stata poi assorbita e ul-teriormente sviluppata dall’industria, in particolare nel settoredella lavorazione delle lamiere, nella formatura di solidi in la-miera per condutture, impianti, oggetti vari [figura 2].Qualsiasi forma di prodotto industriale (scatole, lattine, calza-ture, vestiti, cappelli, borse e contenitori di ogni tipo) realiz-zata con un materiale flessibile (lamierino, cuoio, pelle, stoffa,cotone ecc.) è oggi ottenuta partendo dal suo sviluppo su su-perficie piana.Questa tecnica ha dato origine a un interessante settore dellaconfezione dei prodotti e dei loro imballaggi, chiamato conil termine inglese packaging (in inglese package significa in-volucro, imballaggio, con funzione estetica): partendo da unfoglio in genere di cartone, attraverso vari sistemi di fustel-latura (taglio e incisione fatti a macchina mediante sagomeaffilate dette fustelle) si ottengono le confezioni dei prodotti[figura 3].
unità 14
1.1 Lo sviluppo dei solidi ha origini lontane
Armatura del XVI secolo, costruita da armaioli italiani.1
Raccordo in lamiera di acciaio per una conduttura industriale.2
Sviluppo di imballaggi in cartone industriale (Sambonet).3
Sono qui di seguito raffigurati gli sviluppi di alcuni solidi, conl’indicazione delle costruzioni necessarie per il loro disegno.
Tetraedro
Cubo (esaedro)
Ottaedro
DodecaedroLo sviluppo del dodecaedro si ottiene partendo dalla costru-zione di un pentagono regolare dato il lato; su ogni lato delpentagono sono costruiti altri cinque pentagoni regolari.
IcosaedroL’icosaedro è costituito da venti facce e ogni faccia è un trian-golo equilatero.
Icosaedro troncoTra i poliedri è quello che più si avvicina alla forma sferica. Ècostituito da dodici pentagoni e venti esagoni; ogni pentagonoè circondato da cinque esagoni.
Sviluppo di solidi 5
1.2 Sviluppo dei principali solidi geometrici1.2.1 Poliedri
Parallelepipedo rettangolo Prisma regolare triangolare
Prisma regolare pentagonale Prisma regolare esagonale
Piramide a base quadrata Tronco di piramide a base quadrata
unità 16
Sviluppo del cono� Tracciato il cerchio di base si divide la sua circonferenza in un
numero a piacere di parti uguali, per esempio 6 [figura 1].
� Si traccia un arco tangente in uno dei sei punti con raggioVA uguale alla generatrice del cono.
� Si riportano sull’arco le stesse suddivisioni della base.
� Il settore di cerchio così individuato AV6 completa lo svi-luppo.
Sviluppo del tronco di cono� Si traccia lo sviluppo del cono come descritto al punto pre-
cedente.
� Si traccia con centro V un arco con raggio A�V uguale al trattodi generatrice mancante per completare il cono [figura 2].
� Congiungendo il punto 4 sull’arco A6 con il punto V si indi-vidua sull’arco A�6� il punto 4� e, analogamente, si trova ilpunto 3�.
La distanza fra i punti 3� e 4� è il raggio del cerchio che costi-tuisce la base minore del tronco di cono. Il centro O� è sullacongiungente O con V.
Sviluppo del cilindroLo sviluppo del cilindro è dato dai due cerchi delle due basitangenti a un rettangolo che ha la base uguale alla lunghez-za della circonferenza e l’altezza uguale a quella del cilindro[figura 3].
Sviluppo di solidi 7
1.2 Sviluppo dei principali solidi geometrici1.2.2 Coni, cilindri e sfere
1
2
3
per saperne di piùSviluppo del cono (metodoanalitico)
Quanto vale α se AB è lungo 2πr?
2πR : 360° = 2πr : α
α = r � 360°R
�
�
�
�
�
�
���
����
�
Sviluppo della sferaMentre sono sviluppabili tutti i solidi parallelepipedi, polie-drici e quelli limitati da superfici rigate (cilindri e coni), non losono invece quelli costituiti da superfici curve [figura 4].Lo sviluppo della sfera, ad esempio, è molto approssimativo.Esso è costituito da una serie di fusi tangenti fra loro nel puntodi massima larghezza; il margine di errore diminuisce con l’au-mento del numero dei fusi.La costruzione è la seguente.
� Si parte da una figura preparatoria costituita dalla pianta edal prospetto della sfera [figura 5].
� Si divide la pianta in dodici spicchi uguali di larghezza mas-sima A.
� Si divide con piani secanti orizzontali il prospetto della sferadefinendo sulla sua circonferenza perimetrica sei archi uguali,che sono uguali alla larghezza A degli spicchi.
� Si rettifica la lunghezza della circonferenza e la si divide indodici parti uguali ad A, tracciandone l’asse verticale per cia-scuna parte [figura 6].
� Si costruisce un rettangolo, che ha come asse orizzontale lalunghezza rettificata della circonferenza e altezza uguale a 6A,e lo si suddivide in sei rettangoli di altezza A.
In questo modo abbiamo riportato su un piano l’ingombro com-plessivo dello sviluppo e le tracce dei piani secanti α, β, γ, δ.Si riportano, a cavallo dell’asse verticale, le lunghezze degliarchi BC, ricavati dalla pianta preparatoria, sulle tracce deipiani α e δ e degli archi DE sulle tracce dei piani β e γ; si in-dividuano così per ognuna delle dodici parti i punti 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 che, congiunti con un curvilinee, indi-viduano il fuso.
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Volumi metallici realizzati mediante lo sviluppo dei solidi.4
5
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L’elica cilindrica è una curva nello spazio che si avvolge at-torno a un cilindro circolare retto di raggio r, tagliandone legeneratrici secondo un angolo costante α. Si chiama passo p ladistanza tra due spire adiacenti dell’elica misurata su una stessageneratrice [figura 1].L’elica si può pensare generata dalla composizione di un motocircolare uniforme con un moto traslatorio rettilineo uniformeperpendicolare al primo.L’elica è dunque caratterizzata dal passo e dal raggio della cir-conferenza.
La costruzione elementare dell’elica [figure 1 e 2] è utile per ap-plicazioni nel disegno meccanico, come le filettature delle viti[figura 3], le molle ecc., mentre nel campo del disegno edile essatrova applicazione frequente nel disegno di scale elicoidali [fi-gura 4].In pratica si divide sia la circonferenza del cilindro sia il passoin un dato numero di parti uguali, ad esempio 12 [figura 1], e,collegando con un curvilinee i punti corrispondenti, si indivi-dua la curva elicoidale.
Sviluppo di solidi 9
1.3 Sviluppo dell’elica cilindrica
Costruzione dell’elica cilindrica dato ildiametro.
1
Lo sviluppo di una parte dell’elica cilindrica (pari a un passo) corrisponde alla diagonale delrettangolo che ha come base lo sviluppo della circonferenza di base del cilindro e altezzauguale al passo.
2
Scala a elica cilindrica.4Filettatura a elica cilindrica.3
Sviluppo di una piramidea base esagonale sezionataPer prima cosa occorre trovare la vera formadella sezione [figura 1]. Poi, partendo dallo svi-luppo della piramide a base esagonale, si in-dividuano sugli spigoli corrispondenti ipunti 1, 2, 3, 4, 5, 6, ricavando le dimensionidalle proiezioni ortogonali.Infine, si riporta lo sviluppo della sezione fa-cendo corrispondere i numeri del punto dicontatto in modo che la superficie della se-zione non interferisca con lo sviluppo dellefacce del solido [figura 2].
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1.4 Sviluppo di solidi sezionati
1
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animazioneonline
Sviluppo di un tronco di conoSi procede come nell’esempio precedente.Trovata la vera forma della sezione, la si inse-risce nello sviluppo della superficie del troncodi cono individuata partendo dallo sviluppodel cono e riportando, su ciascuna delle ottogeneratrici (corrispondenti agli otto punti incui è stata divisa la circonferenza di base), l’al-tezza relativa ricavata dalle proiezioni orto-gonali [figura 3].
Sviluppo di solidi 11
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Sviluppo delle superfici di un prismapentagonale e di un prisma esagonalecompenetrati tra loro con assiortogonali e incidentiTrovata la linea di intersezione con il metodo delle generatrici,si sviluppa la superficie del prisma pentagonale e di quello esa-gonale [figure 1, 2 e 3].Riportando sullo sviluppo le linee corrispondenti alla spezzatadella linea di intersezione, si individua lo sviluppo delle super-fici.
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1.5 Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni1.5.1 Compenetrazione di prismi
1
2
Sviluppo di solidi 13
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Sviluppo delle superfici di intersezionetra un cono e un prisma a base quadratacon assi ortogonali e incidentiTrovata la linea di intersezione utilizzando, in questo caso, ilmetodo dei piani secanti ausiliari, si procede allo sviluppo delcono e del prisma [figure 1 ÷ 5].Tracciando le generatrici passando per i punti A�, B�, C�, D�, E�,F�, G�, H� (in realtà i punti A� ed E� sono già individuati dalleproiezioni ortogonali), individuiamo sulla circonferenza di baseuna serie di archi di circonferenza definiti dai punti 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 [figura 3]; riportando sullo sviluppo della circonferenza gliarchi definiti da questi punti [figura 4], possiamo tracciare, sullosviluppo, le rispettive generatrici.
unità 114
1.5 Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni1.5.2 Compenetrazione tra un cono e un prisma
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L’incontro delle generatrici con le tracce dei piani secanti ri-portate sullo sviluppo del cono individua i punti A, B, C, D, E,F, G, H che, congiunti con un curvilinee, determinano lo svi-luppo della linea di intersezione sulla superficie del cono [fi-gura 4].Lo sviluppo delle linee di intersezione sulla superficie del pri-sma si ottiene riportando sullo sviluppo i punti A, B, C, D,E, F, G, misurando la loro posizione sulle proiezioniortogonali (pianta e prospetto).
Sviluppo di solidi 15
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Sviluppo delle superfici di due cilindridi ugual diametro compenetrati tra lorocon assi ortogonali e incidentiLa vista anteriore della linea di intersezione, trattandosi di duecilindri con lo stesso diametro, si riduce ai segmenti A�O� e I�E�[figura 1].Le linee di intersezione reali si identificano con due ellissiaventi l’asse minore uguale al diametro dei cilindri e l’assemaggiore uguale ai segmenti A�O� ed E�I�.
Gli sviluppi delle superfici dei cilindri sono uguali.Lo sviluppo delle linee di intersezione si ottiene raccordando ipunti individuati dalle generatrici del cilindro verticale a con-tatto con la linea di intersezione.Il cilindro verticale è stato tagliato lungo la generatrice S�T�.
Gli sviluppi delle superfici dei cilindri sono uguali.Lo sviluppo della linea di intersezione si ottiene con lo stessoprocedimento dell’esempio precedente, utilizzando le genera-trici del cilindro inclinato.
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1.5 Sviluppo di intersezioni e compenetrazioni1.5.3 Compenetrazione di due cilindri
Sviluppo delle superfici di due cilindridi ugual diametro compenetrati tra lorocon assi incidenti ma non ortogonaliAnche in questo caso la vista anteriore delle linee di interse-zione è data dai segmenti A�O� e I�E� [figura 2].
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Sviluppo di solidi 17
Sviluppo delle superficidi due cilindri con diametridiversi compenetrati traloro con assi incidenti manon ortogonaliTracciamo le generatrici del cilindro incli-nato e troviamo la linea di intersezione cer-cata come già esemplificato negli esempiprecedenti.Per lo sviluppo della linea generatrice si pro-cede portando i punti che individuano lalinea di intersezione sui rispettivi sviluppidelle superfici.Il cilindro verticale è stato tagliato lungo lageneratrice ST [figura 3].3
eser
cizi
COMPRENSIONECOMPRENSIONE SVILUPPO
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1 Battistero esagonale
L’esercizio consiste nel realizzare in cartoncino la forma del battistero esagonale definita dalla proiezione ortogonale.L’occorrente è un foglio di cartoncino da 50-70 cm sul quale si disegna lo sviluppo dei volumi componenti il battistero triplicandole dimensioni.A ogni sviluppo di volume occorre aggiungere le opportune linguette per il fissaggio dei medesimi gli uni sulla base degli altri.Completati gli sviluppi dei vari volumi (per i quali può essere utile consultare le pagine sullo sviluppo dei solidi), si incollano a for-mare il volume complessivo del battistero.
COMPRENSIONECOMPRENSIONE SVILUPPOesercizi
Sviluppo di solidi 19
2 Capsula spaziale
L’esercizio consiste nel realizzare un modellino in cartoncino, quadruplicando le dimensioni definite nelle proiezioni ortogonali.Per lo sviluppo del cilindro, del cono e del tronco di cono fai riferimento alle pagine relative allo sviluppo di questi solidi (in par-ticolare per determinare la lunghezza dello sviluppo della circonferenza di base dei solidi interessati).Ogni volume è dotato di linguette per l’assemblaggio finale.
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