Incertezas na Computação Científica: Abordagens via …ppgsc.ufrn.br/~rogerio/publications/dissertacao_I_apresentacao.pdf · Tipos de Dados Codiﬁcac¸ ao˜ 5 Estudo de Caso Problema

Incertezas na Computac ao Cientıfica:Abordagens via Matem atica Intervalar e

Teoria Fuzzy

Rogerio Vargas

Dr. Luciano Vitoria Barboza, orientadorDra. Gracaliz Pereira Dimuro, co-orientadora

Pelotas-RS, 13 junho 2007

Introduc ao Matematica Intervalar Teoria Fuzzy C-XSC Estudo de Caso Resultados Conclus oes

1 Introduc aoMotivacao

HistoriaObjetivo

2 Matematica IntervalarDefinicao

Operacoes

3 Teoria FuzzyDefinicao

Operacoes Aritmeticas com Numeros Fuzzy

4 C for eXtended Scientific ComputingDefinicao

CaracterısticasTipos de Dados

Codificacao

5 Estudo de CasoProblema RealSolucoes

MetodosEntrada de DadosImplementacao

6 Resultados Num ericosMatematica IntervalarTeoria Fuzzy

7 Conclus oes e Trabalhos FuturosConclusoes Parciais


Motivac ao

Motivac ao do Trabalho

Tipos de Erros

Dados (Equipamento de Medicao)

Modelagem (Simplificacoes)

Numericos (Computadores e Arredondamento)


Hist oria

Matematica Intervalar

Aritmetica Intervalar, Moore em 1965

Matematica Intervalar, Leslie Fox em 1974Crıticas feitas:

Resultados pessimistas, demasiadamente grandesProcessamento computacional

Aritmetica avancada, software e hardware


Hist oria

Teoria Fuzzy

Teoria Fuzzy, Zadeh em 1965

Teoria de Conjuntos

Variaveis “imprecisas”, “vaga”


Hist oria

C-XSC

http://www.xsc.de

Decada de 60, suportar uma aritmetica mais poderosa quea aritmetica de ponto-flutuante ordinaria

Ausencia de linguagens de alta exatidao em programacaonumerica e computacao cientıfica

Estender linguagens para computacoes cientıficas,conhecidas como XSC

Pascal-XSC e C-XSC, em 1988, Universidade deWuppertal (Alemanha)


Objetivo

Objetivo Geral

Objetivo Geral

Analisar e implementar um algoritmo para o tratamento dasincertezas aplicado a um problema real utilizando comometodologias a Matematica Intervalar e a Teoria Fuzzy com ouso da biblioteca C-XSC.


Definic ao

Conceitos da Matem atica Intervalar

A Matematica Intervalar considera um conjunto demetodos para manipulacao de intervalos numericos queaproximam dados incertos.

Oliveira, 2005

Intervalos representam valores desconhecidos e contınos.

Kulisch, 2003Intervalos controlam o erro de arredondamento e representamdados inexatos, aproximacoes e erros de truncamento deprocedimentos.


Operac oes

Adic ao e Subtrac ao

Sejam X , Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].

Adic ao

X + Y = [(x1 + y1) ; (x2 + y2)]

Resultado: [3, 7]

Subtrac ao

X − Y = [(x1 − y2) ; (x2 − y1)]

Resultado: [−1, 3]


Operac oes

Multiplicac ao e Divis ao

Sejam X , Y ∈ IR, com X = [2, 4] e Y = [1, 3].

Multiplicac ao

X × Y = [min{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2};

max{x1 × y1, x1 × y2, x2 × y1, x2 × y2}]

Resultado: [2, 12]

Divis ao

XY

=

[min

{x1

y1,

x1

y2,

x2

y1,x2

y2

}; max

{x1

y1,x1

y2,x2

y1,

x2

y2

}]

com 0 /∈ [y1; y2]. Resultado: [0, 6666, 4]


Definic ao

Introduc ao

Cox, 1994; Cox, 1995; Kasabov, 1996; Terano, 1992 eZadeh, 1965

Tambem conhecida com Conjuntos Nebulosos. Nas ultimasdecadas, pesquisadores da inteligencia artificial vemtrabalhando com a teoria dos Conjuntos Fuzzy.

Kasabov, 1996; Kosko, 1992, Tsoukalas, 1997

Crescimento no numero de pesquisas, desenvolvimento demaquinas com controladores Fuzzy, como: aspirador de po, arcondicionados, robos autonomos e ate mesmo chips FuzzyVLSI.


Definic ao

Definic ao de Conjuntos Fuzzy

Teoria dos Conjuntos Cl assicos

Um elemento pertence ou nao pertence a um determinadoconjunto.

χA(x) = 1, se x e um elemento do conjunto A, e

χA(x) = 0, se x nao e um elemento do conjunto A

Teoria dos Conjuntos Fuzzy

Atribuindo a nocao de pertinencia, a premissa de pertence ounao pertence e quebrada.

µA(x) : U → [0, 1]

onde U e o conjunto universo de discurso e A e um conjuntofuzzy.


Definic ao

Exemplo de “Quente”


Definic ao

Especialista do Conhecimento

Abaixo de 1, 60m, nao significa ser alto

Acima de 1, 80m, definitivamente significa ser alto

Engenheiro do Conhecimento, define qual o “desenho”.


Definic ao

Tipos de Representac oes

Curva-S

Curvas Tipo Sino

Triangular

Trapezoidal


Operac oes Aritm eticas com Numeros Fuzzy

Operac oes Alg ebricas Fuzzy

Numeros Fuzzy Triangulares

Considere um Numero Fuzzy representado na formaTriangular.


Operac oes Aritm eticas com Numeros Fuzzy

Operac ao Alg ebrica de Adic ao

Sejam dois Numeros Fuzzy Triangulares A e B, comA = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), entaoA(+)B = (a1, a2, a3)+ (b1, b2, b3) = (a1 + b3, a2 + b2, a3 + b1)

Exemplo

Com A = (2, 3, 6) e B = (1, 4, 5), entao temos queA(+)B = (3, 7, 11).


Definic ao

Escolha da Biblioteca C-XSC

Biblioteca destinada a Computacao Cientıfica

Alta exatidao e verificacao automatica de resultados

Proporciona condicoes especiais a implementacao dealgoritmos numericos sofisticados


Caracterısticas

Caracterısticas da Biblioteca C-XSC

Aritmetica intervalar para numeros reais, complexos,intervalares complexos

Vetores e matrizes dinamicos

Subarrays de vetores e matrizes

Tipos de dados de alta exatidao

Operadores aritmeticos predefinidos com alta exatidao

Controle de arredondamento dos dados de entrada esaıda

Biblioteca de rotinas para a resolucao de problemasmatematicos

Resultados numericos com rigor matematico


Tipos de Dados

Tipos de Dados Num ericos Simples

real

interval (intervalo de reais)

complex (numero complexo)

cinterval (intervalo complexo)


Tipos de Dados

Tipos de Dados aplicados a Matrizes e Vetores

rvector (vetor de reais)

ivector (vetor de intervalos reais)

cvector (vetor de complexos)

civector (vetor de intervalos complexos)

rmatrix (matriz de reais)

imatrix (matriz de intervalos reais)

cmatrix (matriz de complexos)

cimatrix (matriz de intervalos complexos)


Codificac ao

Exemplo de Programac ao com C-XSC


Problema Real

Esquema de Transmiss ao de Energia El etrica

Barra PV

Barra PQ


Problema Real

Fluxo de Pot encia em Redes de Energia El etrica

Sistema de equac oes n ao-lineares

(e2i + f 2

i )Gii −n

X

k=1k 6=1

[ei(ekGik − fk Bik ) + fi(fk Gik − ekBik ) − Pgi + Pdi = 0 (1)

−(e2i + f 2

i )Bii −n

X

k=1k 6=1

[fi(ek Gik − fk Bik ) − ei(fk Gik + ek Bik ) − Qgi + Qdi = 0 (2)

e2i − f 2

i − |V espi |2 = 0 (3)

Quest oesSuprir a demanda?

Linhas de transmissao suportam a energia?


Soluc oes

Abordagens para o Fluxo de Pot encia comIncertezas


Teoria Fuzzy


Metodos

Metodos para Resoluc ao do Fluxo de Pot encia

Newton-Raphson

f (x) ∼= f (xk ) +∂f (x)

∂x

∣∣∣∣x=xk

∆x

Krawczyk

K (x , X = x − Cf (x) − (I − CJ(X ))(x − X )


Entrada de Dados

Arquivo de Entrada de Dados

1**** Sistema de 6 barras (R.N. Dhar) ****4

1 4 8.00 37.00 3.001 6 12.3 51.80 4.202 3 72.3 105.00 0.002 5 28.2 64.00 0.003 4 0.00 13.30 0.00.909 44 6 9.70 40.70 3.005 6 0.00 30.00 0.00.975 6

99995

1 2 barra1 1.10 -9999+99992 1 barra2 1.10 50. -15.0 20.0 0. 0.3 0 barra3 55. 13.4 0 barra4 0. 0.5 0 barra5 30. 18.6 0 barra6 50. 5.

9999


Implementac ao

Implementac ao Intervalar

Regras

Demandas convertidas para intervalos

1% de incerteza nas demandas pontuais


Implementac ao

Implementac ao Fuzzy

Regras

Especialista define as regras

Fuzzificacao nas demandas de potencias ativa e reativa

Determinacao dos intervalos e suas pertinencias

Execucao de dois fluxos de potencia intervalares

Defuzzificacao dos resultados de magnitudes de tensao eangulos de fase



Resultados

Resultado Pontual

Barra Magnitude(pu) Angulo( ◦)3 0, 9051 −11, 7277

MatLab com IntLab

Barra Magnitude(pu) Angulo( ◦)3 [0, 8930 0, 9174] [−12, 0675 −11, 3934]

C++ com C-XSC

Barra Magnitude(pu) Angulo( ◦)3 [0, 8998 0, 9104] [−12, 1645 −11, 2942]


Teoria Fuzzy

Fuzzificac ao das demandas para a Barra 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

48 50 52 54 56 58 60 62

mem

bers

hip

func

tions

real demand

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5

mem

bers

hip

func

tions

reactive demand


Teoria Fuzzy

Resultados Fuzzy para a Barra 3

Intervalos[0, 8998 0, 9104][0, 8813 0, 9291]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.88 0.885 0.89 0.895 0.9 0.905 0.91 0.915 0.92 0.925 0.93

mem

bers

hip

func

tions

magnitude of voltage (pu)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-13.5 -13 -12.5 -12 -11.5 -11 -10.5 -10

mem

bers

hip

func

tions

phase angle of voltage (degree)


Conclus oes Parciais

Conclus oes do Trabalho

Matematica Intervalar e Teoria Fuzzy aplicadas ao Fluxode Potencia com Incertezas

Comparacao dos Resultados (IntLab e C-XSC)

C-XSC apta a implementacao dos algoritmos deNewton-Raphson e Krawczyck

Utilizacao da Matematica Intervalar e Teoria Fuzzy comC-XSC

C-XSC possui confiabilidade e exatidao nos calculosaritmeticos



Etapas a realizar

Padronizar todos os graficos e figuras

Complementar o referencial teorico da MatematicaIntervalar e da Teoria Fuzzy

Padronizar o tipo de variavel para os exemplos naMatematica Intervalar e Teoria Fuzzy

Inserir exemplos de codificacoes no capıtulo do C-XSC

Executar o programa em sistemas reais

Executar a fuzzificacao e defuzzificacao em sistemasmaiores que o IEEE-6

Analise do desempenho das metodologias

Analise qualitativa dos resultados

Escrita de Artigos e Dissertacao



Obrigado pela atenc ao...

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