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Anlisis de Incertezas
Desarrollado por Rodrigo Vergara Rojas
[email protected]
Introduccin
El quehacer cientfico se basa en la observacin y enla
experimentacin. A partir de ellos se pueden
analizar los fenmenos de forma cualitativa (a travs
de percepciones) o de forma cuantitativa (a travs de
mediciones).
Las mediciones se obtienen a travs de uninstrumento de medicin
(regla, balanza, etc), el cual
tiene graduada la unidad patrn correspondiente y
permite compararla con la variable a medir.
Incertezas de Medicin
Es un hecho natural e inevitable que toda medicin vaya
siempreacompaada de incertezas.
En todo fenmeno natural, por ms simple que sea, uno no
puedecontrolar ni predecir todas las variables, por lo que siempre
habr un
cierto grado de incertidumbre en el resultado exacto.
Por ello se suelen obtener resultados distintos al repetir
varias veces unamisma medicin.
Con el fin de maximizar la confiabilidad y utilidad de
lasmediciones, y en consecuencia la validez del experimento, es
necesario reducir lo ms posible las influencias de estos
factores,
y para ello se hace necesario analizar las fuentes de
incertezas.
El tomar en cuenta los errores de medicin tiene una
granimportancia prctica en muchos casos.
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Importancia de los errores de
medicin: Ejemplo
Se necesitan anillos que se ajusten alrededor decilindros de
8,17 [cm] de dimetro.
Tanto para los anillos como para los cilindros, losvalores estn
medidos con un 0,2% de error.
CD
AD
Anillo
Cilindro [ ]cm8,17DC =
Dimetros nominales
[ ]cm8,17DA =Valor mnimo
[ ]cm8,15D0.998 A [ ]cm8,15D0.998 C
Valor mximo
[ ]cm8,19D0021 A .[ ]cm8,19D0021 C .
( )0,0021D100
0,21DD AAA =
= ( )0,0021D1000,2
1DD CCC =
=
Con valor mximo de anillo y mnimo de cilindro, los anillos
tienen juego con los cilindros. Con valor mnimo de anillo y mximo
de cilindro, los anillos no entran en los cilindros.
Tipos de Errores de Medicin
Existen tres tipos de errores de medicin: Errores Sistemticos.
Errores Accidentales o Aleatorios.
Errores Burdos.
Errores Sistemticos Se producen por factores indeseables
(externos o internos)
que interactan consistentemente con el sistema en estudio.
No pueden ser detectados y eliminados por simplerepeticin del
experimento.
Ejemplos: Mala calibracin de instrumentos. Malos hbitos de
trabajo del cientfico. Errores de paralaje (mala ubicacin del
observador al leer los
instrumentos).
Efectos de factores no considerados en el experimento
(noconsiderar variables relevantes)
Como se evitan: Controlando el estado de los instrumentos.
Estableciendo claramente las condiciones de observacin y/o
experimentacin.
Errores Accidentales o Aleatorios Son usualmente los ms
responsables de que se obtengan
valores distintos al repetir una medicin.
Ejemplos: Errores de apreciacin. Errores por condiciones
fluctuantes. Errores por caractersticas del objeto medido.
No son errores en el estricto sentido, pues no sonprovocados por
procedimientos incorrectos.
Como se compensan: Repitiendo la medicin varias veces y tomando
el promedio de
los valores obtenidos como el resultado de la medicin.
Usando sistemas de medicin en donde los datos observadossean
registrados automticamente por medio de mquinasespecializadas.
Estas pueden eventualmente trazar grficos paraque el cientfico los
analice.
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Errores Burdos
Errores producto de equivocaciones deprocedimiento de parte del
cientfico.
Ejemplos: Leer mal un instrumento. Contar mal un nmero de
sucesos. Errores de clculo
Como se evitan Procediendo en las mediciones con
rigurosidad,
preocupndose constantemente de hacer biencada cosa.
Cualidades de los instrumentos de
medicin Fidelidad: Decimos que un instrumento de medida es fiel
cuando
realizando diversas mediciones de una misma magnitud en
lascondiciones los resultados obtenidos son idnticos.
Exactitud: Un aparato de medida es exacto cuando la
medidarealizada con l nos da justamente el valor de la magnitud
fsica.
Precisin: Es la graduacin mxima, escala ms pequea o
mnimavariacin de una magnitud que un instrumento de medida
puededeterminar.
Sensibilidad: Un aparato de medida es tanto ms sensible
cuantomenor es el valor de su precisin es decir, cuando
apreciamenores variaciones en el valor de la magnitud a medir.
Resolucin: La resolucin de un instrumento es la diferencia
mspequea que ste permite estimar. Una buena estimacin de
laresolucin de un instrumento es de su precisin.
Un instrumento con precisin en [mm]
Permite dar sin error el dato de ladistancia medida hasta los
[mm] o 10-1
[cm].
Su resolucin es de 0,5 [mm] 0,05 [cm].
Exactitud vs Precisin
Exacto y preciso Instrumento bien
calibrado, y de gran
precisin.
Exacto e impreciso Instrumento bien
calibrado, y de poca
precisin.
Inexacto y preciso Instrumento mal
calibrado, y de gran
precisin.
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Precisin en los instrumentos Parmetros en Mediciones
Ya sea debido a errores o incertezas en una medicin, odebido a
la naturaleza aleatoria del fenmeno medido, se
obtienen resultados distintos al repetir varias veces una
misma medicin
Para obtener datos tiles de la medicin, necesitamos al menos dos
parmetros.
Uno que entregue un valor representativo del conjunto de
mediciones PROMEDIO
Uno que permita cuantificar el grado de dispersin del conjunto
de mediciones respecto al valor representativo DESVIACIN
STANDARD.
Ejemplo: Medicin de una
Resistencia
Dos estudiantes A yB midieron el valoren [ohm] de unaresistencia
usandoun hmetroanalgico.
Cada estudianteobtuvo una seriedistinta de 12mediciones.
N SERIE A SERIE B1 47,5 43,02 48,5 56,03 53,5 47,54 44,8 50,25
55,6 57,36 50,2 49,47 50,2 43,18 50,2 50,29 51,1 56,6
10 48,5 50,211 50,2 54,012 49,7 42,5
Resistencia [ohm]N SERIE A SERIE B1 47,5 43,02 48,5 56,03 53,5
47,54 44,8 50,25 55,6 57,36 50,2 49,47 50,2 43,18 50,2 50,29 51,1
56,6
10 48,5 50,211 50,2 54,012 49,7 42,5
Resistencia [ohm]
Tablas y Grficos
Para expresar los datos, se pueden usar: Tablas de mediciones
v/s frecuencia (n de veces que se repite el
dato)
Grficos de barras o histogramas Serie A
Valor medido [ohm] frecuencia44,8 147,5 148,5 249,7 150,2 451,1
153,5 155,6 1
SERIE AValor medido [ohm] frecuencia
44,8 147,5 148,5 249,7 150,2 451,1 153,5 155,6 1
SERIE AHistograma Estudiante A
0
1
2
3
4
5
40
41,2
42,4
43,6
44,8 46
47,2
48,4
49,6
50,8 52
53,2
54,4
55,6
56,8 58
59,2
ClaseF
recu
enci
a
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Tablas y Grficos
Para expresar los datos, se pueden usar: Tablas de mediciones
v/s frecuencia (n de veces que se repite el
dato)
Grficos de barras o histogramas Serie B
Valor medido [ohm] frecuencia42,5 143,0 143,1 147,5 149,4 150,2
354,0 156,0 156,6 157,3 1
SERIE BValor medido [ohm] frecuencia
42,5 143,0 143,1 147,5 149,4 150,2 354,0 156,0 156,6 157,3 1
SERIE B Histograma Estudiante B
0
1
2
3
4
40
41,2
42,4
43,6
44,8 46
47,2
48,4
49,6
50,8 52
53,2
54,4
55,6
56,8 58
59,2
Clase
Fre
cuen
cia
Promedio
El promedio es igual a la suma total de losvalores medidos,
dividido por el nmero de
mediciones.
En el caso de las resistencias:
=
==N
1iiprom RN
1RR
=
==N
1iiprom RN
1RR
En el ejemplo....
El promedio esel mismo enambas series,siendo que
sondiferentes.
N SERIE A SERIE B1 47,5 43,02 48,5 56,03 53,5 47,54 44,8 50,25
55,6 57,36 50,2 49,47 50,2 43,18 50,2 50,29 51,1 56,6
10 48,5 50,211 50,2 54,012 49,7 42,5
Suma 600,0 600,0Promedio 50,0 50,0
Resistencia [ohm]N SERIE A SERIE B1 47,5 43,02 48,5 56,03 53,5
47,54 44,8 50,25 55,6 57,36 50,2 49,47 50,2 43,18 50,2 50,29 51,1
56,6
10 48,5 50,211 50,2 54,012 49,7 42,5
Suma 600,0 600,0Promedio 50,0 50,0
Resistencia [ohm]
Dispersin en mediciones
El promedio por s solo no es suficiente paracaracterizar una
serie de mediciones.
Necesitamos otro parmetro que nos permitacuantificar el grado de
dispersin odesviacin del conjunto de mediciones.
Mientras menor sea la dispersin, mspodemos confiar en la
informacinproporcionada por las mediciones.
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Parmetros de Desviacin
Sea Li una medicin cualquiera del conjunto demediciones.
Error absoluto o desviacin (e.a.): Es la diferencia entreLi y el
promedio calculado.
Error porcentual (e.p.): Es un parmetro que nos dauna medida
comparativa de la magnitud del error
cometido en la medicin de Li respecto del promedio.
En el ejemplo.... En la tabla adjunta se observa
que las desviaciones Ri - Rprompueden tomar valores
positivos y negativos.
Como se demostrar acontinuacin, al promediar
estas desviaciones
obtendremos siempre un
valor igual a cero.
N SERIE A (R-Rprom) (R-Rprom) 21 47,5 -2,5 6,252 48,5 -1,5 2,253
53,5 3,5 12,254 44,8 -5,2 27,045 55,6 5,6 31,366 50,2 0,2 0,047
50,2 0,2 0,048 50,2 0,2 0,049 51,1 1,1 1,2110 48,5 -1,5 2,2511 50,2
0,2 0,0412 49,7 -0,3 0,09
Sumas 600,0 0,0 82,92,63Desviacin Estndar
Resistencia [ohm]N SERIE A (R-Rprom) (R-Rprom) 21 47,5 -2,5
6,252 48,5 -1,5 2,253 53,5 3,5 12,254 44,8 -5,2 27,045 55,6 5,6
31,366 50,2 0,2 0,047 50,2 0,2 0,048 50,2 0,2 0,049 51,1 1,1 1,2110
48,5 -1,5 2,2511 50,2 0,2 0,0412 49,7 -0,3 0,09
Sumas 600,0 0,0 82,92,63Desviacin Estndar
Resistencia [ohm]
( )=
=N
1iidev RRN
1R
0R-RRNN1
-RRN1
RN1
RN
1i
N
1indev ====
==
Varianza
Resulta ms conveniente considerarel promedio de las desviaciones
alcuadrado o varianza.
( )=
=N
1i
2
i2 RR
N1
( )=
=N
1i
2
i2 RR
N1
Desviacin Estndar
Como se midieron resistencias y noresistencias al cuadrado, hay
que obtener la
raz cuadrada de este promedio de
desviaciones al cuadrado.
Al valor que resulta se le denomina desviacinstandard, y se
simboliza con la letra griega . Esun parmetro que indica la
precisin con que
se efectuaron las mediciones.
( )=
=N
1i
2
i RRN1
( )=
=N
1i
2
i RRN1
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En el ejemplo....
Comparando los resultados, se aprecia mayor grado de dispersin
en laserie B.
Luego, la medicin de la serie A es la ms confiable.
N SERIE A (R-Rprom) (R-Rprom) 21 47,5 -2,5 6,252 48,5 -1,5 2,253
53,5 3,5 12,254 44,8 -5,2 27,045 55,6 5,6 31,366 50,2 0,2 0,047
50,2 0,2 0,048 50,2 0,2 0,049 51,1 1,1 1,2110 48,5 -1,5 2,2511 50,2
0,2 0,0412 49,7 -0,3 0,09
Sumas 600,0 0,0 82,92,63Desviacin Estndar
Resistencia [ohm]N SERIE A (R-Rprom) (R-Rprom) 21 47,5 -2,5
6,252 48,5 -1,5 2,253 53,5 3,5 12,254 44,8 -5,2 27,045 55,6 5,6
31,366 50,2 0,2 0,047 50,2 0,2 0,048 50,2 0,2 0,049 51,1 1,1 1,2110
48,5 -1,5 2,2511 50,2 0,2 0,0412 49,7 -0,3 0,09
Sumas 600,0 0,0 82,92,63Desviacin Estndar
Resistencia [ohm]N SERIE B (R-Rprom) (R-Rprom) 21 43,0 -7,0
49,002 56,0 6,0 36,003 47,5 -2,5 6,254 50,2 0,2 0,045 57,3 7,3
53,296 49,4 -0,6 0,367 43,1 -6,9 47,618 50,2 0,2 0,049 56,6 6,6
43,5610 50,2 0,2 0,0411 54,0 4,0 16,0012 42,5 -7,5 56,25
Sumas 600,0 0,0 308,45,07Desviacin Estndar
Resistencia [ohm]N SERIE B (R-Rprom) (R-Rprom) 21 43,0 -7,0
49,002 56,0 6,0 36,003 47,5 -2,5 6,254 50,2 0,2 0,045 57,3 7,3
53,296 49,4 -0,6 0,367 43,1 -6,9 47,618 50,2 0,2 0,049 56,6 6,6
43,5610 50,2 0,2 0,0411 54,0 4,0 16,0012 42,5 -7,5 56,25
Sumas 600,0 0,0 308,45,07Desviacin Estndar
Resistencia [ohm]
Histogramas
Simtricos
Si se quitan o agregan datosiguales al promedio: El promedio se
mantiene
constante.
El factor semantiene constante, pues lossumandos que se agregan
soniguales a cero.
Si se agregan datos iguales alpromedio, aumenta el nmerototal de
mediciones, por loque disminuye la desviacinestndar del conjunto
demediciones.
Si se quitan datos iguales alpromedio, disminuye elnmero total
de mediciones,por lo que aumenta ladesviacin estndar delconjunto de
mediciones.
En este histograma la distribucin de
los datos es simtrica respecto del
promedio.
Error experimental o incerteza.
Al informar una cantidad no slo debe darse el valor y
lasunidades correspondientes, sino tambin la incerteza o error
experimental de dicha medicin.
Las dos fuentes ms comunes de error experimental son: Las
limitaciones de precisin del instrumento.
Los errores aleatorios debido a fluctuaciones del sistema y del
procesode medicin.
El error aleatorio (o imprecisin) de un conjunto demediciones
puede estimarse calculando su desviacin
estndar med. El error instrumental i puede estimarse
determinando la
resolucin del instrumento, que es de su precisin.
Error experimental o incerteza.
El resultado de la medicin se expresa de la siguienteforma.
El valor de R ser el mayor valor entre: El error instrumental i.
El error aleatorio med.
RR R = RR RRR ++
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En el ejemplo.
SERIE A ( )[ ]AR 50,0 2,7= [ ] [ ]A47,4 R 52,6
SERIE B ( )[ ]BR 50,0 5,1=
[ ] [ ]B44,9 R 55,1
