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UNIVERSIDADEDESÃOPAULO
ESCOLADEENGENHARIADESÃOCARLOS
DEPARTAMENTODEENGENHARIADEESTRUTURAS
THAÍSGOMESPEDROSA
OtimizaçãoEstruturalsobIncertezas
considerandoConsequênciasdeFalha
VersãocorrigidaAversãooriginalencontra‐senaEscoladeEngenhariadeSãoCarlos
SÃOCARLOS
2015
THAÍSGOMESPEDROSA
OTIMIZAÇÃOESTRUTURALSOB
INCERTEZASCONSIDERANDO
CONSEQUÊNCIASDEFALHA
Dissertação apresentada ao Departamento de
Engenharia de Estruturas da Escola de
Engenharia de São Carlos – USP como parte
dos requisitos necessários para obtenção do
título de Mestre em Ciências, Programa de
EngenhariaCivil(Estruturas).
Orientador:Prof.AndréTeófiloBeck,Ph.D.
SãoCarlos
2015
AUTORIZO A REPRODUQAO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRONICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
,
Dedico este trabalho àqueles que planejam se
aventurarnoramodaotimizaçãoedaconfiabilidade.
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais, Túlio e Eliana, pelo exímio apoio financeiro dedicado a todo o meu
crescimentoacadêmicoepessoaleàminhairmã,Luciana,pelacompanhia.
Aos meus padrinhos a minha mais profunda gratidão: Lillian pelo acolhimento
emocional constante e Junior pelos sábios conselhos de um experiente mentor
universitário.TambémàminhaprimaSílvia,peloexemploaseguir.
Aosmeus familiares,Evandro,Nereide,Egberto,Marcos,Camila, famíliaeamigospelo
constante incentivo e pela compreensão de que o aprendizado é obtido a partir de
algunssacrifícioscomoadistânciaeafastamentodomercadodetrabalho.
Aomeu eterno amigoMiguel pela companhia, paciente nosmomentos de desânimo e
inquietanasocasiõesdedistraçãonecessárias.
Ao meu orientador Prof. André Beck, que soube lidar com a minha personalidade,
acalmarminhasangustiasemeapontaromelhorrumo.
À Escola de Engenharia de São Carlos, pela oportunidade de realização do curso de
mestrado.
AoConselhoNacionaldeDesenvolvimentoCientíficoeTecnológico,pela concessãoda
bolsademestradoepeloapoiofinanceiroparaarealizaçãodestapesquisa.
Ao Departamento de Engenharia de Estruturas pela convivência e experiências
adquiridasnesteperíodo.
Ao corpo docente de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos, pela
contribuiçãoemminhaformação.
“Assim como aquele que busca o projeto ótimo de uma
estrutura, a evolução de um indivíduo deve ser
determinada,entreoutrosaspectos,peloconhecimentodas
consequênciasdesuasfalhas.”
Aautora
RESUMO
PEDROSA,T.G.Otimizaçãoestruturalsob incertezasconsiderandoconsequências
de falha. 2015. 102 f. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos,
UniversidadedeSãoPaulo,SãoCarlos,2015.
Enfrentar situações de falha é o principal desafio do engenheiro estrutural. Parece
paradoxal,masa fimdeobterumprojetobemsucedido,oengenheiroestruturaldeve
estudareexaminartodosospossíveismodosdefalhadeumaestrutura.Naotimização
estruturalnãoédiferente.Assim,naotimizaçãoestruturaldeve‐seconsideraroscustos
esperados de falha. No projeto de engenharia estrutural, economia e segurança são
aparentementeobjetivosconflitantes.Noentanto,quandocustosesperadosdefalhasão
considerados, nota‐se que investimentos em segurança são necessários a fim de não
arcar com os custos esperados de falha. O ponto ideal de compromisso pode ser
encontradoporumaotimizaçãoderisco,ondea funçãoobjetivo inclui todososcustos
ao longo do ciclo de vida da estrutura: construção, operação, manutenção inspeção,
descarteeasconsequênciasdefalhaesperadas.Esteúltimoéumremanescentequenão
pode ser desconsiderado dosmodos de falha contra os quais a estrutura precisa ser
projetada.
Esta dissertação aborda a otimização de sistemas estruturais simples, considerando o
equilíbrio entremodos de falha concorrentes, tais como escoamento (esmagamento),
flambagem e snap‐through. O estudo mostra como os diferentes modos de falha,
associados a diferentes custos de falha, levam a diferentes projetos ótimos. Uma
estrutura de treliça plana é estudada como exemplo de aplicação. A forma (posições
nodais) e tamanho dos elementos são consideradas como variáveis de projeto.
Resultadosmostramqueprojetosótimossuficientementediferentessãoobtidosquando
oequilíbrioentremodosdefalhaconcorrenteséalterado.
Palavras‐chave:ConfiabilidadeEstrutural,OtimizaçãoEstrutural,Análisenãolinear.
ABSTRACT
PEDROSA, T. G. Structural optimization under uncertainties considering
consequencesof failure.2015.102 f.Dissertação(Mestrado)–EscoladeEngenharia
deSãoCarlos,UniversidadedeSãoPaulo,SãoCarlos,2015.
Defyingfailureistheprimarychallengeofthestructuralengineer.Itsoundsparadoxical,
butinordertoachieveasuccessfuldesign,thestructuralengineermustthinkaboutand
account forallpossible failuremodesof a structure.This isnotdifferent in structural
optimization.Hence,instructuraloptimizationonehastoconsidertheexpectedcostsof
failure.Instructuralengineeringdesign,economyandsafetyareapparentlyconflicting
goals. However, when expected costs of failure are considered, one notes that
investmentsinsafetyarenecessaryinordernottopayfortheexpectedcostsoffailure.
The optimum point of compromise can be found by a risk optimization, where the
objective function includes all costs over the life‐cycle of the structure: construction,
operation, inspectionmaintenance,disposal,andtheexpectedconsequencesof failure.
Thelatterareanundeletableremainderofthefailuremodesthatthestructureneedsto
bedesignedagainst.
This paper addresses the optimization of simple structural systems, considering the
balance between competing failuremodes such as yielding (squashing), buckling and
snap‐through.Thestudyshowshowdifferentfailuremodes,associatedtodifferentcosts
of failure, lead to different optimal designs. A plane truss structure is studied as
application example. The shape (nodal positions) andmember size are considered as
designvariables.Results show thatquitedifferentoptimaldesignsareobtainedwhen
thebalancebetweencompetingfailuremodesischanged.
Keywords:Structure–Reliability. Structure–Optimization. Structure–Safety.Failure
Modes.
LISTADESIGLAS
CET CustoEsperadoTotal
EEL EquaçãodeEstadoLimite
FDA FunçãodeDistribuiçãoAcumuladadeProbabilidades
FDP FunçãoDensidadedeProbabilidade
FORM First Order ReliabilityMethod ‐ método de aproximação de primeira
ordem
MEF MétododosElementosFinitos
RBDO Reliability‐based Design Optimization – Otimização baseada em
confiabilidade
SMCI SimulaçãodeMonteCarlocomamostragemporImportância
SMCS SimulaçãodeMonteCarloSimples
SORM SecondOrderReliabilityMethod ‐métodode aproximaçãode segunda
ordem
StRAnD StructuralReliabilityAnalysisandDesign–Programadeconfiabilidade
estrutural
VA VariávelAleatória
LISTADESÍMBOLOS
A áreadaseçãotransversal
c.o.v. coeficientedevariação
E módulodeelasticidadedomaterial
g(x) equaçãodeestadolimitedoproblema
I momentodeinérciadaseçãotransversal
probabilidadedefalha
x vetordasvariáveisaleatórias
d vetordasvariáveisdeprojeto
X variávelaleatória,definidaporsuaFDPeporseusmomentos
índicedeconfiabilidade
valormédiodavariávelaleatóriaX
desvio‐padrãodavariávelaleatória
tensãonoelementoestrutural
tensãodeescoamentodomaterial
constantedenãolinearidadefísica
MatrizdeRigideztangente
Cargaaplicada
Cargalimite(ForçaPcalculadaem : deslocamentolimite)
NormalcríticadeEuler
Deslocamentooupontonoqualocorreamaiornormaldecompressão
Deslocamentocorrespondenteaomenorvalordadiferença
Custoinicial
Custodereferência
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO................................................................................................23
1.1 COMENTÁRIOSINICIAIS..............................................................................................23
1.2 OBJETIVOS..........................................................................................................................28
1.3 METODOLOGIA................................................................................................................29
1.4 ORGANIZAÇÃODOCONTEÚDO.................................................................................29
2. REVISÃOBIBLIOGRÁFICA.........................................................................31
2.1 CONFIABILIDADEESTRUTURAL..............................................................................31
2.2 OTIMIZAÇÃOESTRUTURAL.......................................................................................32
2.2.1 Otimizaçãoestruturaldeterminística.................................................................................32
2.2.2 Otimizaçãoderisco....................................................................................................................32
2.3 COMPORTAMENTOESTRUTURAL...........................................................................38
2.3.1 Teoriadaelasticidadenão‐linear.........................................................................................38
2.3.2 Aspectosdenão‐linearidade..................................................................................................39
2.3.3 Comportamentospóscriticos................................................................................................40
2.3.4 Estadoslimitesemodosdefalha.........................................................................................42
3. EXEMPLOANALÍTICODEAPLICAÇÃO:TRELIÇAPLANA................45
3.1 CONSIDERAÇÕESINICIAIS..........................................................................................45
3.2 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEGEOMÉTRICA..........................................46
3.3 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEFÍSICA.........................................................49
3.4 ANÁLISENÃOLINEARDAESTRUTURA................................................................50
3.4.1 Definiçãodascaracterísticasgeométricasedomaterial...........................................50
3.4.2 ResoluçãoemprogramacomercialANSYS......................................................................51
3.4.3 Definiçãodamatrizderigideztangentealgebricamente..........................................53
3.4.4 Definiçãododeslocamentofinaldaestrutura................................................................54
3.4.5 Estudocomparativodoscomportamentosnãolineares............................................56
4. EQUAÇÕESDEESTADOLIMITE...............................................................61
4.1 ESTUDODAFALHAPORSNAP‐THROUGH............................................................61
4.1.1 AnáliseemprogramacomercialANSYS............................................................................62
4.1.2 Cálculoanalíticodopontolimite..........................................................................................63
4.1.3 Equaçãodeestadolimite.........................................................................................................66
4.2 ESTUDODAFALHAPORFLAMBAGEM..................................................................67
4.2.1 Equaçãodeestadolimite.........................................................................................................67
4.3 ESTUDODAFALHAPORESMAGAMENTOEESCOAMENTO.........................74
4.3.1 Equaçãodeestadolimite.........................................................................................................74
4.4 COMENTÁRIOSGERAIS.................................................................................................77
5. OTIMIZAÇÃODERISCOCOMCONSEQUÊNCIASDEFALHA.............79
5.1 FUNÇÃOOBJETIVO..........................................................................................................79
5.2 VARIÁVEISALEATÓRIASEDEPROJETO...............................................................80
5.3 PROBABILIDADESDEFALHA.....................................................................................81
5.3.1 Falhaporsnap‐through............................................................................................................82
5.3.2 Falhaporflambagem.................................................................................................................82
5.3.3 Falhaporesmagamento/escoamento...............................................................................82
5.4 OTIMIZAÇÃODERISCO.................................................................................................83
5.4.1 Resultadosparamodosdefalhaconcorrentes..............................................................83
5.4.2 Alteraçãodaconstantedenãolinearidade......................................................................87
5.4.3 Variaçãomultiparamétrica....................................................................................................88
6. COMPARAÇÃOCOMAOTIMIZAÇÃODETERMINÍSTICA..................93
6.1 CONFIGURAÇÃODECOMPARAÇÃO.........................................................................93
6.2 RESOLUÇÃODETERMINÍSTICAELINEARDEFOX...........................................94
6.3 OTIMIZAÇÃODERISCOPARAMESMACONFIGURAÇAO................................94
6.3.1 Consideraçãodelinearidadefísica......................................................................................95
6.3.2 Consideraçãodeambasnãolinearidades........................................................................96
6.3.3 Comparaçãodosresultados...................................................................................................96
7. CONSIDERAÇÕESFINAIS............................................................................99
7.1 OBSERVAÇÕESGERAIS.................................................................................................99
7.2 SUGESTÕESDEPESQUISASFUTURAS.................................................................100
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 23
1. INTRODUÇÃO
1.1 COMENTÁRIOSINICIAIS
Aotimizaçãoestruturaltemporobjetivocumprirdeterminadafunçãoestruturalcomo
menor uso de recursos possível. No entanto, já é conhecido que esta otimização,
realizadadeformadeterminísticanãoérobustaemrelaçãoàsincertezasdesolicitaçãoe
resistência.Essafaltaderobustezestáassociadaàconversãodascondiçõesdefalhada
estruturaemrestriçõesdeprojetoeàconsideração indiretadas incertezasatravésde
valorescaracterísticosecoeficientesdesegurança.Taisconsiderações têmherançana
metodologiadeprojetobaseadaemnormastécnicas,quepornaturezanãoéótima,pois
talcálculogeralmenteexigeaproximaçõesfeitassempreemfavordasegurança.
Poroutrolado,oprojetoótimoresultantedeumaotimizaçãodeterminística,emvirtude
dadiminuiçãodasseçõesedamudançadeforma,temmaismodosdefalhaprojetados
“contrao limite”quandocomparadoaumprojetoconvencional “denorma”,noquala
estrutura tem mais alternativas para resistir à solicitação. Portanto, a estrutura
resultante da otimização determinística pode ter sua segurança comprometida em
comparaçãoàestruturaoriginalounão‐otimizada.
Comoexemplo,considereaestruturailustradanaFigura1.1.Todosospontosmateriais
da estrutura ótima resultante estão projetados contra o limite, chamado fully‐stressed
design;logo,nãohácaminhosalternativosparaasolicitação,eaestruturaótimatorna‐
se mais propensa ao colapso. Nesta estrutura, qualquer perturbação como inclusões,
defeitosdemicro‐estrutura,trincas,defeitosdecorrosão,ouumapequenavariaçãono
carregamentopoderia,teoricamente,levaraocolapsodaestrutura.
Figura1.1–ProblemaClássicodeotimizaçãotopológicadeterminística.
Página 24 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Apercepçãodequeaotimizaçãoestruturaldeveserrobustaemrelaçãoàs incertezas
emresistênciasesolicitaçãolevouaodesenvolvimentodediferentesmetodologias:
a. Otimizaçãorobusta(Beyer;Sendhoff,2006;Schueller;Jensen,2008);
b. Otimização(ouprogramação)fuzzy(Zimmermann,1992);
c. Otimização baseada em confiabilidade (RBDO) ‐ Reliability‐Based Design
Optimization‐(Cheng;Xu;Liang,2006).
Objetivos típicos da otimização robusta são amaximização da performancemédia do
sistemaeaminimizaçãodavariância.Emgeral,trata‐sedeumproblemadeotimização
multi‐objetivo (Sanchis et al., 2008; Ritto et al., 2010), cuja solução envolve soma
ponderada (Das e Dennis, 1997), pontos de compromisso (frente de Pareto) entre
objetivos(Chenetal.,1999)eagregaçãopreferencial(DaieMourelatos,2003).
Na otimização robusta, uma vertente da otimização estocástica, incertezas são
representadas como variáveis aleatórias ou processos estocásticos. Já na otimização
fuzzy,asincertezassãorepresentadasatravésdenúmerosfuzzy.Enquantoaotimização
estocástica tem uma abordagem probabilística, a otimização fuzzy apresenta uma
abordagempossibilística.Emgeral,aquantidadedeinformaçãodisponíveldeterminaa
abordagemapropriada(Bastin,2004).
Na RBDO busca‐se a minimização de uma função objetivo envolvendo volume de
materiais, custo (de manufatura) ou performance do sistema estrutural, sujeito à
restrições probabilísticas envolvendo as condições de falha da estrutura. A RBDO
endereça explicitamente as incertezas em ações e resistências, modeladas
probabilisticamente, e usa, como restrições de projeto, probabilidades de falha
admissíveisassociadasaospossíveismodosdefalha.Portanto,estaformulaçãogarante
que a segurança da estrutura ótima encontrada não será comprometida. A Figura 1.2
ilustraumexemploprático,ondeaestruturaàesquerdaéresultadodeumprocessode
otimizaçãodeterminista, e aestruturaàdireitaé resultadodaotimizaçãobaseadaem
confiabilidade.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 25
Figura1.2–Comparaçãoentreresultadodeotimizaçãotopológicadeterminística(a)eotimizaçãobaseadaemconfiabilidade(b).(Fonte:Silvaetal.,2010)
Na otimização determinística, a robustez dos elementos é determinada pelos
coeficientesdesegurançautilizadoscomorestriçãodeprojeto.NaRBDO,arobustezdos
elementos é determinada pelas probabilidades de falha utilizadas como restrições. A
diferençaentreestasrestriçõesé latentenosresultadosdaFigura1.2.Considerandoa
otimização robusta e a RBDO, pode‐se dizer que a consideração de incertezas na
otimizaçãoestruturalnãoéumanovidade.Noentanto,umarevisãodaliteraturamostra
quenamaioriadosartigosclássicosdeRBDO(DueChen,2004;Tu,ChoiePark,1999;
Cheng,XueJiang,2006;YouneChoi,2004;Agarwaletal.,2007;Yi,ChengeJiang,2008;
AoueseChateauneuf,2010;ValdebenitoeSchueller,2010), as consequênciasde falha
sãodesconsideradasoudescartadas.
Uma função objetivo utilizada com frequência é a minimização da energia de
deformação(compliance)daestrutura.Funçõesobjetivoenvolvendocustostambémsão
encontradas, entretanto tais custos se referemao volumedemateriais ou a custosde
manufatura. Um termo de custo frequentemente desprezado na formulação de
problemasdeotimizaçãoestruturaléocustoesperadodefalha.Custoesperadodefalha
éoprodutodeumcustodefalhaporumaprobabilidadedefalha.Estadefiniçãocoincide
comadefiniçãoderisco1:logo,ocustoesperadodefalhapodeserentendidocomorisco
associadoacadamododefalhadaestrutura.Ocustoesperadototaléasomadoscustos
esperados de falha, para cada um dos possíveis modos de falha, somado aos custos
iniciaisdeconstrução,demanutençãoeoperaçãodaestrutura.Ocustoesperadototalde
um sistema estrutural é diretamente afetado pelo risco que a estrutura oferece a
usuários,empregados,aopúblicoemgeraleaomeioambiente.
1Definiçãode“risco”associadoaumevento:produtodaconsequênciadoeventopelaprobabilidadedeocorrênciadomesmo.
Página 26 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
À otimização estrutural que leva em conta as incertezas juntamente com as
consequências de falha através da minimização dos custos esperados totais dá‐se o
nomedeOtimizaçãodeRisco‐RiskOptimization(RO)‐.Tratada,entreoutros,emBecke
Verzenhassi (2008) e Beck e Gomes (2012), a formulação permite equacionar o
compromissoentresegurançaecustodeumaestrutura.Comoconfirmadonotrabalho
de Beck, Gomes e Bazán (2012), que discute como a consideração de incertezas
epistêmicas2afetaarobustezdoprojetoótimo.Nestetrabalho,conclui‐sequeresultados
da otimização robusta mostram‐se mais conservadores e caros, porém menos
susceptíveisataisincertezasemcomparaçãoaotimizaçõesnão‐robustas.
A Figura 1.3 compara o escopo da otimização de risco com o escopo das otimizações
determinísticaeRBDO.
Figura1.3–Comparaçãodoescopodeformulaçõesdeotimizaçãodeterminística,RBDO,eotimizaçãoderisco.
2Incertezasepistêmicasestãorelacionadasaoníveldeconhecimentodoproblema,podendoserdotipoestatística,dedecisão,de
modeloefenomenológica.Tais incertezaspodemserreduzidasoueliminadasatravésdacoletademaisdadossobreosprocessos
envolvidosouatravésdemelhorconhecimentodoproblema(Becketal.,2012).
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 27
Por outro lado, métodos de confiabilidade e otimização estrutural são usados em
conjuntocommétodosnuméricosderesoluçãomecânicadaestrutura..Nãoobstante,a
crescente busca por economia e aplicação otimizada dematerial gera a concepção de
estruturasextremamenteflexíveis.Comoconsequência,aanálisedeequilíbrionaforma
não‐deslocadanãoémaisaceitávelparagrandepartedasaplicações.Ainclusãodeum
modelodecomportamentomecânicocomrespostanãolineargeométricaedomaterial
visa,destaforma,representarcommelhorprecisãoocomportamentodessasestruturas,
sendofundamentalpararepresentarfalhasporinstabilidade.
O estudo de não linearidades nométodo dos elementos finitos (MEF ou FEM –Finite
elementmethod‐) foi abordado porCrisfield (1991,1997) e Pimenta (1988 e 1996), que
tratamdanão linearidadegeométrica. Jáoestudodasnão linearidadesfísicas fixou‐se
na utilização de materiais elásticos não lineares através da teoria da elasticidade. A
diferença entre as análises linear e não linear geométrica e física pode ser vista na
Figura1.4,quemostraaposiçãodeslocadaapósaplicaçãodeumacargadecompressão
deumamesmatreliçacomalturasdistintas.
Figura1.4–Posiçãodeslocadadeumatreliçaemanálisesmecânicaslinearenão‐linear.
Diferentesmodosde falha têmconsequênciasdistintasediferentes custosassociados.
Modos de falha frágeis ou súbitos, que ocorrem sem aviso prévio, têm consequências
maisgravesdoquemodosdefalhadúcteis.Modosdefalhaditosdeserviço,quelevamà
suspensão(temporária)dousodaestrutura,têmcustosmenoresdoquemodosdefalha
ditosúltimos,que levamaocolapsodaestrutura. Oestudodarelaçãoentre formada
estruturaeconsequênciasdefalhaérelevanteporque,alémdomaterial,aformade
umaestruturadeterminaquaisosmodosdefalhamaisprováveis. Jáasproporçõesda
estrutura,demodogeral,determinamquãoprováveisestesmodosserão.
Página 28 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Quando o custo dos diferentesmodos de falha é levado em consideração, o resultado
depende dos parâmetros do problema, em particular dos diferentes custos de
falha.Maisainda,asoluçãoseriaumcompromissoentreoscustosdosdiferentesmodos
defalha.Paraaconfiguraçãodaesquerda,naFigura1.4,osmecanismosrelevantessão
snap‐through3 e instabilidade das barras comprimidas. Para a estrutura da direita, o
problema de snap‐through foi eliminado e o modo de falha mais relevante (mais
provável)éa instabilidadedasbarrascomprimidas.Emambososcasostambémpode
ocorrerrupturadasbarrastracionadasouesmagamentodasbarrascomprimidas.
AFigura1.4ilustraumproblemaclássicoemqueexisteumarelaçãodecompromisso
entre diferentes modos de falha. Cada configuração possível favorece alguns e
desfavorece outros modos de falha. Encontrar o ponto ótimo de compromisso entre
estes modos de falha requer a quantificação das consequências de falha. Estas são
multiplicadas pela probabilidade de ocorrência de cadamodo de falha, obtendo‐se os
custosesperadosdefalhaparacadamodo.Oscustosesperadosdefalhasãoincluídosna
função objetivo, de forma a obter‐se a configuração ótima como aquela que leva ao
menorcustoesperadototal.Emcontrapartida,quandoosdiferentesmodosdefalhasão
considerados como restrições de projeto (otimização determinística ou RBDO), a
soluçãodoproblemapassaaserdeterminadaporestasrestrições.
1.2 OBJETIVOS
O objetivo principal desta dissertação é otimizar uma estrutura sob incertezas
considerando o custo esperado de falhas. Três falhas serão consideradas: falhas por
instabilidadedepontolimiteedebifurcação(flambagem)edetensãoadmissível.Asnão
linearidadesfísicasegeométricaspodemterumpapelimportantenaocorrênciadessas
falhaseserãoincluídasnesseestudo.Espera‐secompreendercomoaquantificaçãodas
consequênciasde falhaafetaa formaótimadesistemasestruturais,obterarelaçãode
compromissoentrediferentesmodosdefalhabemcomoamargemdesegurançaótima
emrelaçãoacadamodo.
3 A falha por snap‐through, que ocorre devido à mudança brusca da configuração de equilíbrio, seráexplicadaemdetalhesnoitem4.1.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 29
1.3 METODOLOGIA
Asanálisessãofeitasemumatreliçadeduasbarrasutilizandoomodelomecânicocom
nãolinearidadegeométricaefísica.Asvariáveisdesolicitação,resistênciaedemódulo
de elasticidade são consideradas comdistribuições probabilísticas. O equacionamento
das equações de estado limite é feito com falhas por tensão (esmagamento e
escoamento) e falhas por instabilidades (bifurcação e ponto limite). O cálculo das
probabilidadesdefalhaéfeitoatravésdoprogramaStrandcomautilizaçãodoFORM.A
funçãoobjetivoéentãomontadasomando‐seasparcelasdecustosesperadasde falha
paracadamodoeocustoinicial.Talcustoinicialédependentedasvariáveisdeprojeto
quesãodeforma(alturaecomprimentodovão)edetamanho(característicasdaseção
transversal: diâmetro e espessura). A otimização estrutural é feita através daprocura
exaustiva do ponto de mínimo para cada cenário de consequências de falha. Os
resultados são comparados entre os diferentes cenários e entre a otimização
determinísticaeaindacomaalteraçãodaconstantedenãolinearidadefísica.
1.4 ORGANIZAÇÃODOCONTEÚDO
O capítulo 1 traz uma introdução à dissertação abordando os principais conceitos a
serem trabalhados e também uma justificativa ao trabalho. Os objetivos principais e
secundários,incluindoametodologiautilizadanotrabalhotambémestãoinclusosneste
item.
O capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica, na qual são abordados os tópicos de
confiabilidade estrutural, otimização estrutural determinística e de risco, bem como
comportamentoestruturalnãolinear,estadoslimitesemodosdefalha.
No capítulo3 faz‐se amodelagemda estruturaproposta considerandoos aspectosde
análisenãolineargeométricaefísica.
Ocapítulo4estudaasprincipaisfalhasassociadasàestruturadefinindoasequaçõesde
estado limite para osmodos de falha de snap‐through, flambagem e falha por tensão
admissível.
Nocapítulo5éaplicadaaotimizaçãoderisco,noqualédefinidaa funçãoobjetivodo
problema,asvariáveisaleatóriasedeprojetoerealizadoocálculodasprobabilidadesde
Página 30 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
falha.Porfim,oscustosesperadostotaissãoapresentadosemanálisesemfunçãodeum
edoisparâmetrosediscutidosdeacordocomavariaçãodoscustosdefalha.
O capítulo 6 realiza uma comparação entre a otimização determinística e a de risco
desenvolvida.
Por fim, o capítulo 7 traz as conclusões observadas e sugestões para continuação do
trabalho.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 31
2. REVISÃOBIBLIOGRÁFICA
2.1 CONFIABILIDADEESTRUTURAL
SejamXeddoisvetoresdeparâmetrosdeumsistemaestrutural.OvetorXrepresenta
todasasvariáveisaleatóriasdoproblema,comodimensões,propriedadesderesistência
de materiais e de membros estruturais, e solicitações. Alguns destes parâmetros são
variáveisaleatóriaspornatureza,outrosnãopodemserdefinidosdeterministicamente
devidoadiversasfontesdeincerteza.
Tipicamente, variáveis de resistência são representadas como variáveis aleatórias e
açõessãorepresentadascomovariáveisaleatóriasouprocessosestocásticos.Ovetord
contémasvariáveisdeprojetodosistema,ouvariáveisdeotimização,comocoeficientes
parciais de segurança, dimensões, coordenadas nodais e mesmo alguns parâmetros
(determinísticos)dosmodelosdedistribuiçãodeprobabilidadedasvariáveisX.
A existência de incertezas e de comportamento aleatório implica em riscos, isto é, na
possibilidade de respostas estruturais indesejadas. A fronteira entre respostas
estruturais desejadas e indesejadas é formulada através de equações de estado limite
, 0detalformaque:
| , 0 é odomíniodefalha.(2.1)
| , 0 é odomíniodesobrevivência.
Cadafunçãodeestadolimitedescreveummododefalhapossívelparaaestrutura,em
termosdeperformance(estadolimitedeserviço)ouemtermosdecapacidadeúltimada
estrutura.Aprobabilidadedeumarespostaindesejada,ouprobabilidadedefalha,para
cadamododefalha,édadapor:
∈ (2.2)
onde representa a função de densidade de probabilidades conjunta do vetor
aleatório oe . representaprobabilidade.Probabilidadesdefalhaparacadafunção
deestadolimitebemcomoparafalhadosistemasãocalculadasatravésdetécnicasde
confiabilidadeestruturalcomoométododeaproximaçãodeprimeiraordem(FORM)‐
Página 32 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
FirstOrderReliabilityMethod‐, o de segunda ordem (SORM) ‐SecondOrderReliability
Method‐ousimulaçãodeMonteCarlo(Melchers,1999;AngeTang,2007).
2.2 OTIMIZAÇÃOESTRUTURAL
2.2.1 Otimizaçãoestruturaldeterminística
Umproblemadeotimizaçãoestruturaldeterminísticapodeserpostocomo:
∗ : ∈ (2.3)
ondeCéafunçãoobjetivo, sãoasvariáveisdeprojeto(coordenadasnodais,áreados
elementos, densidade dos elementos) e 0, 1 é o espaço de
projeto admissível formado pelas restrições do problema de otimização. Na
otimizaçãodeterminista,asrestrições correspondemàsequaçõesdeestadolimiteda
Eq. (2.1). No entanto, as variáveis aleatórias são substituídas por valores
característicos ou nominais das resistências e ações, ponderadas por coeficientes
parciaisdesegurança,todosvaloresdeterminísticos.
Funçõesobjetivousuaisemotimizaçãodetopologiasãoocusto,volumeouenergiade
deformaçãoelástica(compliance)deumaestrutura.Asrestriçõesgeralmenteutilizadas
são:rigidezmínima,volumemáximoouaindatensãoadmissível.
2.2.2 Otimizaçãoderisco
Aotimizaçãoderiscosedistinguedeoutras formulaçõesdeotimizaçãoestruturalpor
levaremconsideraçãooefeitodeincertezasemtermosdeprobabilidadeseoscustosde
falha.
O custo total esperado ( ) de um sistema estrutural em um problema de
otimizaçãoderiscoéformadopelosomatóriodosseguintescustos:
1. :custoinicialoudeconstruçãodaestrutura;
2. çã :custodeoperação;
3. çã çã :custosdeinspeções,manutenção,reparoesubstituição;
4. :custodedescarte.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 33
Somadosaoscustosesperadosdefalha,quevemaserprodutodoscustosdefalhapelas
respectivasprobabilidadesdefalha(BeckeGomes,2012):
(2.4)
Custos de falha incluem custos de reparo ou de substituição dos componentes
danificados,custodereconstruçãocompletadosistema,custodeindenizaçõespagasa
funcionárioseaterceirosemdecorrênciadefalhaacidental,eoutros.Paradeterminaro
custoesperadodefalhaénecessárioquantificarocustodefalhaemtermosmonetários,
bem como determinar a probabilidade de falha. A probabilidade de falha é avaliada
utilizando‐seateoriadeconfiabilidadeestrutural,definidasegundoaEq.(2.4).
Para cada modo de falha do sistema ou de componentes do mesmo haverá um
componentedecustoesperadodefalha.Ocustoesperadototaldosistemaédadopela
somadetodosostermosparciaisdecusto:
çã çã çã
(2.5)
Ocustoinicialaumentadiretamentecomoníveldecontroleoudesegurançaplanejados
emprojeto.Oscustosdeinspeção,manutenção,reparoesubstituiçãovariamconformea
política adotada. Em geral, gastos com estas ações tem impacto na probabilidade de
falhadosistema,e, consequentementenoscustosesperadosde falha.Portanto,gastos
com inspeção,manutenção, reparo e substituição aumentam a terceira parcela da Eq.
(2.5), mas tendem a diminuir a parcela dos custos esperados de falha. Maiores
investimentos em inspeção, manutenção, reparo e substituição têm um efeito
aproximadamente linearnoscustosdiretos,C çã çã ,daEq. (2.5)),masum
efeitonão‐linearnasprobabilidadesdefalha,conformeilustradonaFigura2.1.Segundo
Beck e Gomes (2012), isto ocorre porque, a partir de um determinado nível de
investimentonestasações,aprobabilidadedefalhajánãoémaisafetadapelasmesmas.
A quantidade ideal de recursos a investir em políticas de inspeção e manutenção é
aquelaque levaaomínimocustoesperadototal.Estaquantidadepodeserencontrada
Página 34 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
atravésdasoluçãodo seguinteproblemadeotimizaçãode risco, também ilustradona
Figura2.1.
∗ : ∈ (2.6)
Figura2.1‐Composiçãodocustoesperadototaldeumsistemaestruturalhipotético.(Fonte:Beck,2009)
onde é o espaço de projeto admissível e e são os
limites inferiores e superioresdas variáveisdeprojeto (coordenadasnodais, áreados
elementos,densidadedoselementos).É importanteobservarquenesta formulaçãoas
restrições correspondentes às equaçõesde estado limite foram incorporadas à função
objetivo. Nas otimizações determinística e baseada em confiabilidade (RBDO), as
equaçõesdeestadolimiterepresentamrestriçõesdeprojeto,enquantonaotimizaçãode
riscooproblemaestá livre: logo, estaúltima formulaçãopermite encontrar obalanço
adequadoentreosmodosdefalha,ouasmargensdesegurançaapropriadasemrelação
acadamododefalha.Estaformulaçãoétambémchamadadeotimizaçãodecustossobre
o ciclo de vida. No entanto, os custos de ciclo de vida não precisam estar
necessariamenteenvolvidos,istoé,pode‐seresolveroproblemadeotimizaçãoderisco
envolvendosomenteaprimeiraparcela, ,eaúltima,referenteaocustoesperado
defalha,doladodireitodaEq.(2.5).
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 35
Aotimizaçãoderiscopodeserrealizadaatravésdocontroledasprobabilidadesdefalha
e/oudoscustosdefalha.Noentanto,amitigaçãoderiscoatravésdepreparo,educação,
treinamentoeoutrosestão foradoescopodesta investigação.Embora custosde falha
sejam constantes, é importante notar que esta formulação permite um balanço entre
modosdefalhaconflitantescomcustosdefalhadistintos.Consequentemente,osestados
limites últimos e de serviço, com seus diferentes custos de falha intrínsecos, são
facilmenterepresentadosnaformulaçãodeotimizaçãoderisco(GomeseBeck,2013).
Deve‐seressaltarqueaotimizaçãoderiscoacimaébastantediferentedaRBDO.Embora
estaseparaçãonãosejasempreclaranaliteratura,artigosclássicosdeRBDO,comoode
QueHaftka(2004),referem‐seaoseguinteproblema:
∗ : ∈ (2.7)
onde é o custo inicial ou de produção, que pode incluir custo de materiais
(calculadosapartirdovolume)ecustosdemão‐de‐obraeí
éarestriçãoem
termosdeumaprobabilidadedefalhaadmissível.Oespaçodeprojetodoproblemade
otimização torna‐se í, 1 , onde cada equação de
estado limite dá origem a uma restrição em termos de probabilidades de falha
admissível.
EmproblemasconvencionaisdeRBDO,as incertezassobreosvaloresdosparâmetros
deprojetosãomodeladoscomovariáveisaleatórias.Ummétodoeficientederesoluçãoé
considerar as médias destas variáveis aleatórias como variáveis de projeto, assim a
funçãoobjetivotorna‐seumafunçãodeterminística.Jánasrestriçõesconsidera‐sequea
probabilidadedarestriçãonãosersatisfeitadeveser inferioracertaprobabilidadede
falha admissível, escolhida apriori pelo projetista. Portanto, formulações clássicas de
RBDOnãoincluemcustosdefalhanafunçãoobjetivo.Istogeradiferençassignificativas
nasestruturasótimasencontradas,comoevidenciadoporBeckeGomes(2012).
Na otimização de risco, as análises de confiabilidade são repetidas centenas de vezes.
Portanto,oalgoritmousadoparaanálisesdeconfiabilidadedevesermuitoeficiente.O
FORM é razoavelmente preciso e bastante eficiente para problemas de alta e baixa
probabilidadedefalha.
Página 36 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
NoFORM,aEq.(2.2).éresolvida,segundoMelchers(1999),atravésdomapeamentodo
espaço de variáveis aleatórias do espaço original para o assim chamado espaço
Gaussianopadrão.
, , (2.8)
onde representa um vetor4 cujos componentes são variáveis aleatórias Gaussianas
padrão independentes e identicamente distribuídas. Este mapeamento pode ser
realizadopelatransformaçãodeNatafoudeRosenblatt(MELCHERS,1999).Noespaço
Gaussiano padrão, a função conjunta de probabilidades é rotacionalmente
simétrica e, portanto, o ponto ∗ na função de estado limite , 0 que émais
próximo à origem representa o ponto de maior probabilidade de falha, também
conhecidocomopontodeprojeto.Essacaracterísticatambémpermitequeabuscapelo
pontodeprojetosejafeitaporumproblemadeotimizaçãocomrestrição:
∗ ‖ ‖ , 0
(2.9)
Da Eq. (2.9), ‖ ∗‖é o índice de confiabilidade deHasofer‐Lind, que vem a ser a
distancia entre ∗ e a origem do espaço padrão. O FORM, portanto, consiste em
encontraropontodeprojeto ∗eaproximarafunçãodeestadolimiteoriginal por
um hiper‐plano tangente no ponto de projeto. A aproximação de primeira ordem da
probabilidadedefalhaédadapor:
, 0 ≃ (2.10)
ondeΦ é a função de distribuição cumulativa de probabilidades de uma distribuição
normal com média nula e desvio‐padrão unitário, chamada de distribuição normal
padrão.
Ocálculodasprobabilidadesdefalhapodevariardeacordocomométodousadoparaa
sua determinação. Sendo possível utilizar simulações de Monte Carlo para avaliar a
probabilidade de falha. A probabilidade de falha, via Monte Carlo simples (SMCS), é
4 A letra em negrito se refere a um vetor do espaço Gaussiano padrão e não tem relação com osdeslocamentos utilizadosaolongodestetrabalho.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 37
obtida integrando‐se sobre todo domínio o produto da função indicadora, , pela
função de densidade de probabilidade conjunta , por definição, esta expressão
representaovaloresperado5dafunçãoindiciadora, .
(2.11)
Já a amostragem por importância (SMCI) procura deslocar os pontos de amostragem
para regiões importantes do domínio de falha utilizando uma função de amostragem
. Uma das várias estratégias para a determinação da função de amostragem é
centra‐lanopontodeprojeto.AEq.(5.5)mostraaalteraçãoemrelaçãoaoSMCS:
(2.12)
Problemas de otimização de risco e RBDO envolvem análises de otimização internas
quandoaprobabilidadedefalhaéavaliadapeloFORM(Eq.(2.8)).Estaéumadificuldade
importante,umavezqueanálisesdeotimizaçãoenvolvemarealizaçãodecentenasde
respostasestruturais.Portanto,ocustocomputacionalderesolveromodelo(viaMEF)é
composto, pois o modelo deve ser resolvido centenas ou milhares de vezes. Muitos
atalhos foram desenvolvidos para problemas de RBDO, tais como a utilização
programaçãosequencial,fatordeprobabilidadeeoutros.Noentanto,essesatalhosnão
servemparaproblemasdeotimizaçãoderiscosendo,portanto,problemasderesolução
maistrabalhosa.Alémdisso,foiobservadoqueaformulaçãodaEq.(2.5),porincluiras
"restrições" de projeto na função objetivo, dá origem a problemas de otimização com
múltiplosmínimoslocais(BeckeGomes,2012).
5Nãoconfundiraexpressãodevaloresperadocomomódulodeelasticidadedomaterialdeestudo.
Página 38 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
2.3 COMPORTAMENTOESTRUTURAL
2.3.1 Teoriadaelasticidadenão‐linear
Ousodomodelo elásticonão linearabandonaahipótesedepequenasdeformações e
obriga a usar um tensor deformação não‐linear e não‐infinitesimal, dando maior
complexidadeàleiconstitutivas.Alémdisso,asequaçõesresultantesdaanulaçãodesta
hipótese incluemfenômenosdenão‐linearidadegeométrica(flambagem,abaulamento,
snap‐through,...).
Considerandoomaterialcomoummeioderespostaelástico‐linear,aLeideHookecom
resume a relação constitutiva, sendo expressa, no caso unidimensional, pela seguinte
relaçãotensão‐deformação:
(2.13)
NestaEq.(2.13),omódulodeelasticidadeoumódeulodeYoung, ,éentendidocomo
umaconstantedeproporcionalidadeentreasduasgrandezas:tensão( )edeformação
( ).
Emboraexistamna literaturaváriasmedidasdedeformação,amedidadedeformação
quadrática ou de Green dada pela Eq. (2.14) será adotada, dando origem a seguinte
relaçãodecompatibilidade:
12
(2.14)
onde é a razão entre o comprimento final e inicial do elemento. A Eq. (2.14) será
escrita, na sequencia, em função dos comprimentos, como é possível ver naEq. (3.3).
Restaadefiniçãodaleiconstitutivaqueprescrevaavariaçãodomódulodeelasticidade
com o deslocamento. Admitindo‐se a seguinte lei de variação, que ilustra tal
dependência,tem‐se:
1 c/ 0 0 0 á (2.15)
Aleiadotada,emborailustrativa,érepresentativadeumcasodeelasticidadenão‐linear,
sendo á uma limitação que garante a restrição domodelo ao regime de pequenas
deformações e uma constante positiva limitada pelo inverso de á para que não
resultemvaloresnegativosdomódulodeelasticidade.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 39
2.3.2 Aspectosdenão‐linearidade
Uma estrutura tem seu comportamento dito linear quando as relações de equilíbrio
tomam como referencia a configuração inicial da estrutura. Adotando hipóteses
consistentescomessateoria,variaçõeslineareseangularesassociadasàsdeformações
são descritas adotando‐se simplificações de natureza geométrica. Além disso, outras
restrições são necessárias para reproduzir uma resposta estrutural linear, como a
adoçãodeumarelaçãodeproporcionalidadeentretensõesedeformaçõeseinvariância
dascondiçõesdecontornoduranteoprocessodedeformação.
O regime de comportamento não linear de uma estrutura pode ser obtido através da
retiradadequalquerumadessashipóteses.Anãolinearidadefísicasurgedaadmissão
denãoproporcionalidadeentretensãoedeformação;anão linearidadegeométricada
retirada das restrições nas descrições das mudanças de geometria. A variação das
condições de contorno, por sua vez, determina a não linearidade de contato, que não
seráestudadanestetrabalho.
Dopontodevistamaisgeral,podeocorrermaisdeumfatorindutordecomportamento
não linear, razãopelasquaisambasasnão linearidades físicaegeométrica serãoalvo
deste estudo. A ocorrência de uma não linearidade tem, no entanto, influencia sobre
outra,razãopelaqualestudosdenãolinearidadesúnicasnãopodemsersobrepostos.
Na não linearidade física, procura‐se considerar a resposta de certo meio além dos
limites do regime elástico linear idealizado. Quando há uma relação constitutiva não
linear surgemmudanças na resposta física dosmateriais (distribuição das tensões ao
longo da extensão de uma barra, bem como ao longo dos eixos e das faces das suas
própriasseções).Avariaçãodasleisconstitutivasquegovernamocomportamentonão
linearmaterialtemcomoinconvenienteofatodasequaçõesdeequilíbrioteremqueser
determinadasparaestruturascujaspropriedadesfísicasdependemdatensão,existindo
oproblemadenãopoderemserconhecidasantecipadamente.
A não linearidade geométrica, também conhecida como “efeito de segunda ordem”,
surgedevidoàmodificaçãodageometriadereferênciadaanáliseaolongodoprocesso
de deformação do corpo. Pode ocorrer devido a grandes deformações, grandes
deslocamentos e rotações da configuração de referência, ou dos dois juntos. A estas
alteraçõessomam‐seacréscimosnosesforços, resultadodiretodasnovase sucessivas
Página 40 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
excentricidades criadas pelos movimentos próprios da estrutura em deformação
acompanhadosdealteraçõesdarigidezdaestruturageradapelosignificativovalorque
as forças internas venham a assumir. A descrição geral da condição de equilíbrio na
posiçãodeslocadaé feitaatravésdoprincípiodos trabalhosvirtuais (PaulaeProença,
2008).
Aconsideraçãogeraldegrandesdeslocamentosepequenasdeformaçõesou,demodo
maisgeral,grandesdeformaçõesdeveserusadacomcautela,umavezqueemsituações
particulares, como a de estruturas esbeltas abatidas, mesmo com pequenos
deslocamentos linearese regimedepequenasdeformaçõespodemocorrer fenômenos
de instabilidade estrutural, o que só é convenientemente representado através da
corretadescriçãodasrotaçõesglobais(MartinseGreco,2013).
2.3.3 Comportamentospóscriticos
Ilustram‐se nesta seção alguns dos processos de deformação não linear que uma
estrutura pode sofrer em comportamento pós‐crítico, devendo ainda em certos casos
falar‐sedeinstabilidade,desdequeemqualquermomentotenhaexistidoumaperdade
equilíbrio caracterizada por um valor mínimo da rigidez da estrutura numa fase
intermediáriadoprocesso.AFigura2.2mostraascurvasdecargaversusdeslocamentos
paraocasonormaledecomportamentopós‐críticos.
Figura2.2‐Casonormal(esquerda)ecasodebifurcaçãodoequilíbrio(direita).(Fonte:MartinseGreco,2013)
Ocasonormalécaracterizadoporalgumaperdanarigidezenoaumentomoderadoda
deformação.Nestecasoexisteumarelaçãounivocidadeentrecargasedeslocamentos,
isto é, existe uma única deformação associada a uma dada carga. Além disso, as
deformações não necessariamente comprometem a utilização no regime plástico. A
bifurcaçãodeequilíbrioécaracterizadaporumcomportamentoessencialmentelinear,
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 41
até atingir um ponto a partir do qual entra‐se em ampla não linearidade. O nome
bifurcaçãosurgeaqui, ligadoàpossibilidadedeexistiremduas trajetóriasquepassem
pelo mesmo estado de equilíbrio, a partir do qual estas se tornam instáveis. É uma
situação em que deixa de haver univocidade entre a carga e o deslocamento no seu
pontodeaplicação.
Ospróximoscomportamentos,mostradosnaFigura2.3,dizemrespeitoàsinstabilidades
causadasporinflexão.Emambososcasos,amudançaentreasfasesdeperdaeganhode
rigidezécaracterizadaporumpontodeinflexão,daíadesignaçãodoprópriofenômeno.
Figura 2.3‐ Caso de inflexão da trajetória de equilíbrio: sem descontinuidade (esquerda); comdescontinuidade do tipo “snap‐through” (direita acima) e com descontinuidade tipo “snap‐back” (direitaabaixo).(Fonte:MartinseGreco,2013)
Nocasodeinflexãonatrajetóriasemdescontinuidade,arigidezdaestruturaapresenta
um valor mínimo numa fase intermediaria do processo. Na situação particular com
descontinuidade,chamada“snap‐through”,osefeitosdenãolinearidade,acompanhados
de uma diminuição da rigidez, vão‐se acentuando com o aumento de carga,
prosseguindoatéqueatrajetóriaalcançaumpontodemáximo,ondearigidezseanulae
aestruturasetornainstável.Éentãoprocuradaumanovaconfiguraçãodeestabilidade
e a estrutura vê o seu equilíbrio restituído, após o aumento brusco de deformação. A
energia potencial assim libertada está associada a um fenômeno fortementedinâmico
queacompanhaavariaçãoprofundadageometriadaestrutura.Umcasoanálogo,mas
em que se verifica adicionalmente uma diminuição transitória em termos de
deslocamentoédesignadopor“snap‐back”.
Página 42 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Comonoçãoteóricamuitoimportante,nuncaseráovalorabsolutodestacarga‐tipoque
farávariaroaspectodacurvacarga‐deslocamento.Ovalordessaaçãosódeterminará
quão longo vai ser a extensão total da linha representativa da relação carga
versusdeslocamento,jamaisasuaforma.SegundoMartinseGreco(2013),aaparência
datrajetóriaestáintimamenteligadaàspropriedadesgeométricasefísicasdassecções
dos elementos. Uma variação da inércia destas seções, por sua vez, pode determinar
maioroumenorconcavidadeeconvexidadedopercurso(emque,noextremo, tem‐se
umasituaçãodeinstabilidadeporinversãodeequilíbrio).
Assim, nota‐se que o grau de comportamento não linear de uma estrutura, para uma
mesma geometria global, varia decisivamente com a rigidez dos seusmembros.
Secundariamente o valor da carga‐tipo assume importância fundamental, sendo esta
maisrelevantequandosuadimensãocolocaaestruturajápertodocolapsogeométrico,
ouseja,naiminênciadabifurcaçãodeequilíbrio.
2.3.4 Estadoslimitesemodosdefalha
Aformulaçãodasrestriçõesdoproblemadeotimizaçãoéfeitaatravésdasequaçõesde
estadolimite.Cadamododefalhadáorigemaumestadolimitequecorrespondeaum
estadoindesejáveldaestruturapornãoatendimentodeumrequisitodeserviçooude
segurança. Para ajudar a definir fronteiras entre estados desejável e indesejável são
usadas, em termos matemáticos, funções de estados limites. Os modos de falha e os
estados limites correspondentes representam modelos idealizados da falha de
estruturas.
Os estados limites podem ser divididos emúltimos e de serviço.Os últimos levamao
colapso ou dano grave e permanente da estrutura, correspondendo aos requisitos de
segurançaqueenvolveacapacidademáximadecargaoudedeformaçãodaestrutura.Os
deserviçocorrespondemaosrequisitosdeserviçodaestruturaeacondiçõesnormais
deuso,quepodemserreversíveisouirreversíveis.Comoestesúltimossócaracterizam
falha após um período prolongado de tempo ou de uma sucessão de ocorrências não
serãoutilizadosnesteestudo.
Existe, no entanto, a probabilidade de que o sistema estrutural atinja um ou mais
estadoslimites.Essaprobabilidadeéocasionadapelaexistênciadeparâmetrosquesão
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 43
variáveis aleatórias por natureza e de outros que não podem ser definidos
deterministicamente devido a fontes diversas de incerteza. Os resultados produzidos
quandoummododefalhaocorresãodeterminadoscomoconsequênciasdefalha.
Oconhecimentodarelaçãoentreaformadeumaestruturaeaocorrênciadosmodosde
falha inerentes à mesma permite auxiliar nos aspectos de segurança, aumentando o
níveldeconfiabilidadedaestrutura.Paradeterminaroquãocríticoéummododefalha,
pode‐se multiplicar a probabilidade de ocorrência deste modo pela quantificação
monetáriadasconsequênciasdafalhaenglobandotantoabrangênciadoimpactoquanto
gravidadedosefeitos.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 45
3. EXEMPLOANALÍTICODEAPLICAÇÃO:TRELIÇAPLANA
3.1 CONSIDERAÇÕESINICIAIS
Treliças são estruturas nas quais as forças nas barras são transmitidas ao longo do
comprimento dos elementos, sendo as forças aplicadas somente nos nós de modo
concentrado. No caso do elemento finito de treliça (barra), tem‐se como graus de
liberdade as posições finais dos dois nós extremos. A configuração inicial ou
indeformadaépresentadapelascoordenadascartesianaseaatualoudeformadapode
ser representadapela somados deslocamentos aplicados às coordenadas iniciais (ver
Figura3.1).
Figura3.1–Elementodebarranoestadodeformadoeindeformado.Abarraemlinhatraçajadarepresentaoestado indeformado dado pelas coordenadas , , . Após a aplicação de deslocamentoshorizontais e verticais as coordenadas iniciais e finais que definem o comprimento da barradeformada sofrem os acréscimos de deslocamento , . O comprimentofinaldabarrapassaentãoaseruma funçãoemtermodosdeslocamentossofridos,omesmoocorreparaoângulo deinclinação.
AtreliçadeVonMisses,aserestudadanestetrabalho,écaracterizadaporumsistema
mecânicocomduasbarras.Suaanáliseseráfeitaconsiderandonãolinearidadesfísicae
geométrica. A carga será aplicada no ponto de junção das barras produzindo uma
deformação simétrica.Tal aplicaçãode cargapodeproduzir instabilidadesadepender
doânguloentreasbarras.Umainstabilidadenãomuitoabordadaéainstabilidadepor
ponto limite, chamada fenômeno do snap‐through. Nesta falha, a carga crítica de
compressãofazcomqueaestruturaassumaumaformadeequilíbrioreversademodo
repentino,porisso,adesignaçãosnap‐through(movimentosúbitodeumladoaoutro)
Portanto, é possível afirmar que a treliça de Von Misses possui comportamento
Página 46 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
biestável.Comadiminuiçãodoânguloentreasbarras,eportanto,aumentodaesbeltez
dasbarras, aumenta‐se aprobabilidadedeocorrênciade instabilidadeporbifurcação,
caracterizadapela flambagemdo elementoestrutural.Tais instabilidades são tratadas
como falhas da estrutura sendo calculada uma probabilidade de falha a cada modo.
Trata‐se ainda da falha por tensão admissível que é descrita por esmagamento ou
escoamentodasbarrasadependerdasolicitação.
Paramodelaroproblema,será feitaumasoluçãoanalíticaque trateocomportamento
não linear físico através de uma lei constitutiva de variação para o módulo de
elasticidade,comodeslocamentoeocomportamentonãolineargeométricoatravésda
incorporaçãodaposiçãodeslocadanaequaçãodeequilíbriodoproblema.
3.2 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEGEOMÉTRICA
Aformulaçãodoproblemacomaconsideraçãodenãolinearidadegeométricadepende
daconsideraçãodaposiçãodeformadadaestrutura,istoé,aposiçãofinaldaestruturaé
dada em função dos deslocamentos sofridos a cada passo de carga. A princípio, na
configuração(posição)inicial,asbarrasformam,comahorizontal,umângulo como
indicado na Figura 3.2. Com aplicação de uma carga, a configuração da estrutura é
alteradaeaposiçãodeslocadaécalculadaapartirdoequilíbriodonócentral,oqualé
feitosegundoobalançodeforçasnasdireçõesverticalehorizontal.
Figura3.2–Treliçadeduasbarrasemposiçãodeformada.Adireçãodeaplicaçãodaforçafoitomadacomopositivaafimdeminimizardesgastesdecálculoscomdeslocamentosnegativos.Emcasosdecompressãoomódulodaforçaedosdeslocamentosdevesertomadocomonegativo.Osvalorescomíndice representamposição indeformadaou inicial,os índices representamposiçõesdeslocadas após aplicaçãodepassosdecarga.
Paraobteroequilíbriodonó central faz‐seodetalhamentodas forçasatuantesnonó
segundo a Figura 3.3 à direita, na qual é considerada a representação simétrica da
estrutura.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 47
Figura3.3–Treliçasimplesemrepresentaçãocomsimetria.Oapoioquecorretamenterepresentaocomportamentodonócentraléaquelequerestringemovimentoshorizontaiseliberadeslocamentosverticais,objetivodoestudo.
Considerando a condição de equilíbrio de forças no ponto na direção vertical e
admitindo‐sequeoângulo émuitopequeno,tem‐se:
(3.1)
onde éacargaverticalaplicada, éoesforçonormalnabarraeosenodoângulo é
dado na posição deslocada, considerando o comprimento final da barra e o
deslocamentovertical .
O cálculo do esforço de compressão normal na barra representada na Figura 3.3
tambéméfeitoatravésdosesforçosinternos,ondeanormalédadapelatensãoaplicada
emumadeterminadaárea;taltensãoédadapelaleideHooke(deformaçãopormódulo
deelasticidade).
(3.2)
Dentreoutrasmedidasdedeformação,emprega‐seamedidaquadráticaoumedidade
Greendefinidapor:
12
(3.3)
Considerando‐seageometria,oscomprimentosenvolvidossãoescritoscomo:
(3.4)
Sendoassim:
Página 48 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
12 1
22 (3.5)
Sendoassim,deformasucintaoesforçonormalnasbarrasédadopor:
(3.6)
onde representaaáreanominal,ouinicial,daseçãotransversal.Nãoéconsideradoo
efeitodePoisson;portantoasáreasinicialefinalsãoequivalentes.
Emtermosdenãolinearidadegeométrica,acargaPescritaemfunçãododeslocamento
édadapor:
32
12
(3.7)
ou
32
12
(3.8)
ArepresentaçãográficadasEqs.(3.8)e(3.7),ilustradanaFigura3.4,mostraclaramente
umcomportamentonãolinear.Observa‐seque,seasbarrasforemcarregadascomuma
força crescente , no ponto A, não seria possível acompanhar a trajetória real, e
poderia ocorrer um salto brusco para uma configuração referente ao ponto C. A este
salto se associam efeitos dinâmicos não desprezíveis. Em situações como esta, faz‐se
necessárioousodeestratégiasadequadasàconstruçãodatrajetóriadeequilíbrio,tais
como métodos iterativos capazes de representar as soluções em cada ponto dessa
trajetória.
Figura3.4‐Diagramacarga‐deslocamentoparatreliçadeduasbarras.(Fonte:Crisfield,1991)
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 49
SegundoCrisfield (1991), a construçãoda curva comcomportamentonão linearpode
ser feitaatravésdoconhecimentoda inclinação tangentedamesmaemváriospontos.
Estatangenteéaderivadadaforça emrelaçãoaodeslocamento .Assim,tem‐se:
332
(3.9)
ou
1 332
(3.10)
onde échamadadematrizderigideztangente.Naconfiguraçãoinicial,aindasemo
conhecimentododeslocamento ,amatrizderigideztangenteéequivalenteàmatrizde
rigidez elástica linear, que depende somente da configuração geométrica inicial da
estrutura.Nasconfiguraçõesseguintes,amatrizderigideztangenteéasomadamatriz
derigidezelásticaedamatrizderigidezgeométrica.
3.3 FORMULAÇÃO:NÃOLINEARIDADEFÍSICA
Adotando‐se a validadedomodelo para pequenasdeformações descrito naEq. (2.15)
com 100, tem‐se á 1⁄ 0,01. A relação tensão‐deformação para definir a
respostaconstitutivasãodadospelaigualdade:
1 (3.11)
NaEq.(3.11),aconstantedenãolinearidadefísica temopapelderegerainflênciada
não linearidade física no comportamento do material. A Figura 3.5 ilustra o gráfico
obtido após a adoção de valores arbitrários de deformação para obter a tensão
respectiva.
Página 50 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Figura3.5–Comportamentodomaterialelásticonãolinearidealizado.
Os pares positivos de tensão‐deformação gerados na Figura 3.5, no entanto, não
representam o problema de aplicação de forças de compressão. No problema em
questão,asdeformaçõesgeradasnasbarrassãonegativas,sendoocomportamentoda
tensãorepresentadopelaparábolacomconcavidadeinversa.Paramanteromódulode
elasticidade positivo, tendo em vista deformações negativas emvirtude da orientação
dosdeslocamentos,usa‐seaEq.(3.11)comsinalpositivo.
3.4 ANÁLISENÃOLINEARDAESTRUTURA
A análise não linear da estrutura pode ser feita de diversas formas. Primeiramente,
procurou‐se resolver o problema variando a altura da treliça em software comercial
ANSYS.Emseguida,estratégiasdoprogramacomercial,comoousodocomprimentode
arcoedosincrementosdecarga,foramimplementadasemumalgoritmo.
3.4.1 Definiçãodascaracterísticasgeométricasedomaterial
A estrutura a ser analisada consiste emuma treliça simples de duas barras sob força
concentradaaplicadanonócentralecommaterialderespostaelásticonão‐linear.Como
propriedadesgeométricasiniciais,adota‐seumvãounitário,com1metro.Porsetratar
deumaestruturasimétrica,cadasemi‐vãotem50cm.Aalturainicialadotadaéiguala5
cm,umavezqueestruturasabatidasapresentaminstabilidadeporpontolimite.
A forçaaplicada 50 foideterminadademodoa ter intensidadesuficientepara
causar os modos de falha a serem estudados, direção vertical e sentido negativo e é
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 51
aplicada no nó central da estrutura. O módulo de elasticidade inicial vale
20500 / ,asbarrastemseçãocircularcomdiâmetrode2,54 eáreadeseção
transversaliguala5,07 ,constanteaolongodocomprimentodasbarras.Opesoda
barraé3,98 / eomomentodeinérciaaflexãoé 64⁄ 2,043 .
3.4.2 ResoluçãoemprogramacomercialANSYS
NesteprimeiroestudoforamfeitassucessivasanálisesnoANSYScomvariaçãonaaltura
datreliça.Considerou‐sematerialnãolinearelástico,regimedegrandesdeslocamentos
eosdadosgeométricosdoitemanterior.ATabela3.1resumeosdadosdedeslocamento
e força normal em dois pontos da trajetória de equilíbrio e a Figura 3.6 mostra tal
variaçãoemfunçãodaaltura.
Tabela3.1–DadosobtidosdaanálisenãolinearnoANSYS.
Altura CargaLimite
2,0 ‐6,997 251,3 ‐0,968 ‐90,258 ‐2,4
3,0 ‐8,246 239,6 ‐1,291 ‐158,389 ‐7,6
3,5 ‐8,931 231,5 ‐1,383 ‐218,413 ‐11,5
3,8 ‐9,355 226,4 ‐1,488 ‐238,931 ‐14,2
4,0 ‐9,645 222,9 ‐1,578 ‐249,104 ‐16,2
4,5 ‐10,403 213,2 ‐1,689 ‐253,437 ‐21,6
5,0 ‐11,217 203,0 ‐1,717 ‐259,835 ‐27,5
5,2 ‐11,535 198,9 ‐1,753 ‐259,135 ‐30,0
5,5 ‐12,037 192,8 ‐1,948 ‐258,765 ‐33,1
6,0 ‐12,901 182,8 ‐1,917 ‐259,247 ‐39,7
6,5 ‐13,785 173,4 ‐1,825 ‐259,439 ‐46,5
6,6 ‐13,963 171,6 ‐1,779 ‐258,414 ‐47,9
6,7 ‐14,143 169,8 ‐1,746 ‐235,850 ‐49,2
6,8 ‐1,556 ‐239,7 ‐1,556 ‐185,076 ‐50,0
7,0 ‐1,170 ‐215,8 ‐1,170 ‐156,882 ‐50,0
8,0 ‐0,711 ‐173,3 ‐0,711 ‐136,870 ‐50,0
9,0 ‐0,516 ‐149,5 ‐0,516 ‐122,768 ‐50,0
10 ‐0,398 ‐132,6 ‐0,398 ‐111,606 ‐50,0
11 ‐0,321 ‐119,7 ‐0,321 ‐90,258 ‐50,0
12 ‐0,267 ‐109,4 ‐0,267 ‐158,389 ‐50,0
Página 52 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Os valores e representam o deslocamento total da estrutura e força
normaldaestruturaapósaplicaçãototaldacarga,considerandograndesdeslocamentos
com comprimento de arco. Os valores que seguem são referentes ao ponto limite, ou
seja, o deslocamento imediatamente anterior à inflexãodas barras , a normal
nasbarrasnestedadomomento earespectivacargaaplicadanaestrutura.
Na Tabela 3.1, é possível ver que a partir da altura igual a 6,8 já não se observa o
fenômeno do snap‐through, sendo o deslocamento no ponto limite igual ao
deslocamento total e a carga neste ponto igual ao carregamento total. Nesta
configuração,aestruturajánãoapresentaumaformatãoabatida.
SegundoLimaeVenâncioFilho(1992),quandoaelevação ésuficientementepequena,
ouseja,talqueoângulodeinclinaçãoinicialdasbarrasdatreliçasejainferiora5graus,
as deformações permanecem pequenas para todo o carregamento, verificando‐se,
portanto6, ≅ 1.Assim,asmedidasdedeformaçãoseconfundem.
Para treliças com inclinações superiores a cincograus,os resultadosdedeslocamento
são coincidentes enquanto as deformações são ainda pequenas. Assim, tomar ‘a
priori’ ≅ 1 pode constituir uma aproximação significativa, particularmente quanto à
determinaçãoda carga limite.Vale observarque, para essas inclinações, podeocorrer
bifurcaçãodoequilíbrioantesdeatingiropontolimite.
A Figura 3.6 mostra a variação dos deslocamentos ao final do carregamento e
imediatamenteantesdainflexão emfunçãodaaltura.
Figura3.6–Variaçãododeslocamento totale limiteem funçãodamudançadaalturada treliça.Pontosdedeslocamentolimitecoincidentessereferemaconfiguraçõesquenãosofreraminflexão.
6 foidefinidoanteriormentenoitem2.3.1comoarazãoentreocomprimentofinaleinicialdoelemento.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 53
É preciso lembrar que os deslocamentos limites são calculados com porcentagens
parciaisdocarregamentototal.Airregularidadedacurvade podeserexplicada
pelo comportamento damatriz de rigidez tangente com relação a cada configuração,
comoserávistonaFigura3.9.
3.4.3 Definiçãodamatrizderigideztangentealgebricamente
A definição da não‐linearidade do material permite expressar na Eq. (3.12) a força
normal nas barras em função dos deslocamentos. Tal equação é fundamental para a
resoluçãonumérica,umavezqueamatrizderigideztangentedependedasuaderivada
parcialemfunçãodosdeslocamentos.
112
24
2 (3.12)
Utilizando o procedimento incremental iterativo de Newton‐Raphson, que pode
empregar tanto força quanto deslocamento como parâmetro controlador, o resíduo
dado pela equação de equilíbrio na posição deslocada deve ser nulo. Assim, tem‐se o
resíduodadopor:
2 (3.13)
Impondoanulaçãodesteresíduoem ∆ :
∆ 0 (3.14)
ExpandindoaEq.(3.14)emsériedeTayloratéaprimeiraordemtem‐se:
∆ | ∆ (3.15)
Ondeaderivadaparcialdorestoemrelaçãoaodeslocamentoéconhecidacomomatriz
derigideztangente( e,portanto:
∆ 0 (3.16)
Considerando(3.13)em(3.14)
2 ∆ 2 ∆∆
0 (3.17)
AplicandoaexpansãoemsériedeTayloratéaprimeiraordemdotermoN u ∆ :
Página 54 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
2 | ∆ 2 | ∆∆
0 (3.18)
Aderivadade emrelaçãoaodeslocamento é:
| ∆ 2 ∆ (3.19)
Assim,substituindoostermos(3.19)em(3.18):
2 2 2 ∆ 2∆
2∆
0
(3.20)
Nesta etapa, as parcelas de segunda ordem são desconsideradas, uma vez que ∆ é
desprezível.Separandoasparcelasemfunçãode∆ :
2 2 21
∆ 0 (3.21)
Agora, tomando a relação (3.16), termos em função de formam o e termos
múltiplosde∆ sãodenominadoscomponentesdamatrizderigideztangente:
2
2 2
(3.22)
Assim,ocálculoiterativode édadopor:
(3.23)
ondeamatrizderigideztangente( )édadaemfunçãode , , , :
, , , 4 4 3 2 6 1 4 20 5 2 2 6 3
2 (3.24)
3.4.4 Definiçãododeslocamentofinaldaestrutura
Para encontrar a equaçãododeslocamento em funçãoda carga aplicada, é necessário
resolveraequação:
0 (3.25)
Substituindo naEq.(3.25)tem‐se:
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 55
2 2
42
20 (3.26)
onde utilizou‐se valores característicos do módulo de elasticidade (E ) e da carga
aplicada ( ) visto que a introdução de variáveis aleatórias inviabiliza o cálculo das
raízes.
Como é um polinômio de quinto grau, a solução é iterativa e dada, usando o
softwareMathematica,pelaseguintefórmula:
→ 2 4 2 4 4 0 #1
6 6 0 4 #1
2 2 0 8 #1 5 #1 #1 &,
(3.27)
Cadaraizrealcorrespondeaumpontocríticodatrajetóriadeequilíbrio.Combasena
modelagem do problema, determinou‐se a correlação das raízes aos deslocamentos:
total e limite. A variação do índice das raízes é dada pela alteração das raízes de
imaginárias para reais, basicamente o deslocamento procurado é sempre aquele
valorrealmaispróximoàorigem.Logo,aescolhadaraizédadapelomenorvalorem
móduloentreasraízesreais.ATabela3.2mostraocomportamentodafunçãoparatrês
configurações cuja trajetória de equilíbrio apresenta mudanças significativas: a)
configuração de falha por instabilidade limite, b) configuração intermediária e c)
configuraçãosemfalha.
Tabela3.2–RaízesdaequaçãoP(u)‐Pqueexprimearespostaiterativadoproblema.
Parah/2b=0,05 Parah/2b=0,07 Parah/2b=0,1
→ . ,→ . . ,→ . . ,→ . . ,→ . .
→ 14.4987 ,→ 2.14233 ,→ 1.17959 ,
→ 8.58969 3.5156 ,→ 8.58969 3.5156
→ 20.2763 ,→ 16.2678 ,→ 10.7015 ,→ 2.35551 ,→ 0.398863
5 -10 -5 5u
-200
-100
100
200kN
-15 -10 -5 5u
-200
-100
100
200kN
-25 -20 -15 -10 -5 5u
-200
-100
100
200kN
Página 56 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
3.4.5 Estudocomparativodoscomportamentosnãolineares
Embuscadeanalisarosefeitosdocomportamentonãolinearfísico,aFigura3.7mostra
a comparação entre comportamento de um material com não linearidade física e
geométrica e de outro material considerando apenas não linearidade geométrica. A
comparaçãoéfeitaparatrêsconfiguraçõesrepresentativas:a)sobfalha,b)intermediária
ec)semfalha.
Figura3.7‐Gráficosdedeslocamentoemfunçãodacarga,parah/2b={5,5%,7,0%,10,0%}.
Observa‐se que a desconsideração da não linearidade física do material altera o
comportamentodatrajetóriadeequilíbriodaestrutura.Consequentemente,ocálculodo
deslocamentofinalequivalentea100%dacargaaplicada( 50 )éalterado,como
épossívelobservarcomclarezanaconfiguraçãosob falha(Figura3.7a).Empequenos
deslocamentos,adiferençaentreoscomportamentosnãolinearesédesprezível.
AFigura3.8mostraocomportamentodatrajetóriadeequilíbrioobtidaviaANSYSpara
amesmaestrutura,porémcomconsideraçõesdiferentesdematerialecomportamento.
É possível observar que a análise em pequenos deslocamentos com não linearidade
física não apresentou falha por snap‐through. Tal falha só é visualizada com
consideração de não linearidade geométrica, ou seja, em análise com grandes
deslocamentos. Nesta análise, um material linear (módulo de elasticidade constante)
captou falha comuma carga limitemaior, aproximadamente 39kN contra os 27kNda
análisecomnãolinearidadesfísicaegeométrica.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 57
Figura3.8–Variaçãodatrajetóriadeequilíbriodeacordocomasnãolinearidadeadotadasparaconfiguraçãoh/2b=0,05. O eixo dos deslocamentos é representado em seu valor absoluto uma vez que todos osdeslocamentoslistadossãocontráriosaosistemadecoordenadasadotado.
Claramente, a consideração diferenciada de não linearidades altera o comportamento
geométrico da estrutura e consequentemente sua configuração final (deslocamento
total). A carga limite da estrutura, no entanto, diminui cerca de 30% quando a não
linearidadefísicaéconsideradanaanáliseemgrandesdeslocamentos.
Pode‐se concluir que, naquelas configurações onde se observa falha, verifica‐se uma
diminuição da rigidez global da estrutura e, portanto, a iminência de falha na
estruturaaumentacomaconsideraçãodeambasasnãolinearidades.AFigura3.9
mostra a trajetória de equilíbrio de uma estrutura de treliça de altura (h/2b=0,05
e 50 ) em um gráfico de força versus deslocamento e a matriz de rigidez
tangente,paracadaumadasanálisesnãolinearesindividuaiseemconjunto.
Página 58 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Figura 3.9– Trajetória de equilíbrio e matriz de rigidez tangente para configuração h=5cm com trêsconsideraçõesdeanálisenãolinear.
Observa‐seque,defato,arigidezdaestruturacomambasasnãolinearidadesémenor,
emmódulo,queemcomparaçãocomaanálisenãolineargeométrica.Acomparaçãocom
aanálisenão linear físicanãoconsideraaposiçãodeslocadadaestrutura,e,portanto,
nãoécapazderepresentarointervalodefalhadaestrutura.
Ocálculoanalíticoda rigidez tangentemostraas relaçõesentreasdiferentesanálises,
atentando‐seàsparcelasquesemantemcomrelaçãoàanáliseindividualeconjunta.
Tabela3.3–ComportamentodeKI(u)comnãolinearidades.
Tipodeanálisenãolinear Rigideztangente
Geométrica2
2
Física2 1 2
Física+Geométrica2 1 2
Écabívelsalientarqueadiferençaentrea comnãolinearidadegeométricaecom
ambasnãolinearidadesnãocorrespondeàmatrizderigideztangentecomconsideração
danãolinearidadefísica,umavezqueocálculodarigidezéfeitoanulando‐seorestoem
funçãodosdeslocamentos.
Porsuavez,anãolinearidadefísicapodeserestudadaatravésdavariaçãodaconstante
denão linearidade domaterial.A Figura3.10mostra a trajetóriade equilíbriopara
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 59
uma dada configuração h/2b= 0,09, sob três valores de (1,40 e 100) e sem
consideraçãodenãolinearidadefísica.Nesteúltimocaso,osefeitosdanãolinearidade
geométricapurasãoobservados,eequivalema 0nacurvasituada imediatamente
próximadacurva 1.Sendoassim,aformulaçãoutilizando 1permitemodelaro
comportamento não linear geométrico puro. Ao passo que o aumento de modela
maiores influências da não linearidade física associada à geométrica, na qual são
observadas mais regiões de instabilidade redução da carga limite, ou seja, maior
iminênciadefalha.
Figura3.10–Alteraçãodaconstantedenãolinearidadefísica.
Tendofrisadoaimportânciadaconsideraçãodasnão‐linearidadesfísicasegeométrica
nadescriçãoanalíticadoproblemae,consequentemente,nadescriçãodafalhaporsnap‐
through,passa‐seagoraàdefiniçãodasequaçõesdeestadolimite.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 61
4. EQUAÇÕESDEESTADOLIMITE
Asequaçõesdeestadolimitedefinidasaquiparaostrêsmodosdefalhaestudados:snap‐
through, flambagem e falha por tensão admissível serão utilizadas para o cálculo das
probabilidades de falha e custos esperados de falha ao longo de todo o estudo. Tais
modos de falha serão analisados separadamente, devido ao objetivo de se mostrar o
efeitodasdiferentesconsequênciasdefalhanaotimizaçãoestrutural.
4.1 ESTUDODAFALHAPORSNAP‐THROUGH
O fenômeno do snap‐through pode ser destacado na trajetória de equilíbrio de uma
treliçacomprimida,conformeaFigura4.1:
Figura4.1–Trajetórianão‐lineardeequilíbriodeumatreliçasimples.
Oponto [a], indicadona figura, determina a força limite, isto é, a forçamáximaque a
estruturasuportariaemregimeestáveldeequilíbrioestático.Noentanto,nesteponto,
se a resposta estrutural for dada pelo processo de força controlada e não de
deslocamento controlado, um pequeno incremento na intensidade da força aplicada
provocaummovimentodinâmicoviolentodonó.Estemovimentocausaa inversãoda
inclinaçãodasbarraseprossegueatéorestabelecimentodoequilíbriocorrespondente
aodeslocamentonoponto[b].
Omovimentode[a]para[b]échamado“snap‐through”,ondeotrechotracejadoreúne
configurações de equilíbrio instável: uma pequena perturbação sobre qualquer delas
leva,porsnap‐through,àbuscadeconfiguraçõesestáveisemcorrespondênciaaomesmo
nível de força equilibrada. O ponto [a] é então, um ponto crítico, que caracteriza a
chamadainstabilidadeporpontolimite.
Página 62 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Essepontocrítico,ondearigidezdaestruturadiminui,podeserusadoparadeterminar
aforçalimiteemqueaestruturasuportaoregimeestáveldeequilíbrioestáticoatravés
daimposição 0,substituindoovalordestaraiznaequaçãode tem‐seacarga
limite .
4.1.1 AnáliseemprogramacomercialANSYS
Comobjetivodeverificaro comportamentodaestruturanestemodode falha foi feita
umaanálisenosoftwareANSYS.Omaterialtemcomportamentomultilinearelásticoea
análise de grandes deslocamentos foi realizada com a estratégia do comprimento de
arco.Avisualizaçãodaconfiguraçãofinaldaestrutura,Figura4.2,apósaaplicaçãototal
de50kNdeforça,mostraodeslocamentomáximoiguala11,217cm,superioràaltura
inicialde5cm,representandoumasituaçãodeequilíbrioopostaàconfiguraçãoinicial.
Figura4.2–Estruturadeslocadaeindeformada.
A adoção do método do comprimento de arco permite a visualização correta da
trajetória de equilíbrio com ambos os equilíbrios estável e instável. A Figura 3.8, que
analisou a diferença entre a adoção de uma ou mais não‐linearidades, mostra o
comportamento deste problema, identificado pela curva escura (de ambas não
linearidades). Sabendo que o ponto limite é atingido com aproximadamente 55% do
carregamento total, tem‐seo correspondente valorda carga limite edodeslocamento
limite.
0,55248 27,624 → 1,77331 . (4.1)
Portanto, cargas inferiores a esta não provocam falha. Tal carga corresponde a um
deslocamentoverticalqueémenorqueaaltura ;portanto,autilizaçãodaequaçãode
estado limite (EEL) simplória, por exemplo: , , não descreve
perfeitamenteofenômeno,alémdesercontraasegurança.
AstrajetóriasdeequilíbriodaFigura4.3demonstramocomportamentodopontolimite.
Nas configurações em que não se observa falha, somente o equilíbrio estável é
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 63
observadoeocomportamentodaestrutura(pequenosdeslocamentos)seassemelhaao
linear.
Figura4.3–Trajetóriasdeequilíbrioparadiferentesconfiguraçõesde , ; , ; , ; , ; , cm.Comoaumentodaalturadaestrutura,opontolimiteseaproximadopassodecargacompleto.
4.1.2 Cálculoanalíticodopontolimite
Ovalor dodeslocamento limite pode ser calculandoutilizando‐sedepropriedades do
cálculo diferencial. Para isso, é necessário formular adequadamente a equação que
descreveatrajetóriadeequilíbrio,ouseja,aequaçãode emfunçãodosdeslocamentos
.SubstituindoafunçãoN(u)dadapelaEq.(3.12)nacondiçãodeequilíbrioemEq.(3.1),
semaconsideraçãodasimetria,tem‐se:
212
24
2 (4.2)
No entanto, a utilização do valor de comprimento atualizado, , aumenta a
complexidade7 dos cálculos, por ser dependente de , sendo assim será usado o
7 A consideração do comprimento final atualizado aumenta o esforço computacional, além de aumentar o número de raízesimaginárias (não possuem sentido físico). Conforme será visto, a consideração do comprimento inicial retrata o problema de
maneirasatisfatória.
Página 64 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
comprimento sem detrimento da resposta final por se tratar de pequenas
deformações.
Com a equação de força em função dos deslocamentos impõe‐se ⁄ 0 para
calcularospontoscríticosdatrajetóriadeequilíbrio.Talimposiçãoresultanamatrizde
rigidez tangenteobtidanaEq. (3.24)dadaporuma funçãopolinomial dequarto grau
quetêmquatroraízesnegativas,sendoduasimagináriaseduasreais.
4 4 3 2 6 1 4 20 5 2 2 6 3
2 / (4.3)
Anulando‐seaEq.(4.3)encontram‐seasseguintesraízes:
5 √5 3 3 9 8 4
5
(4.4)
Adotando‐seosvaloresinicialmenteadotadosparaoproblema,asrespostasnuméricas
sãoiguaisa:
→ 8.33805 , → 5. 3.38269 , → 5. 3.38269 , → 1.66195 (4.5)
Asraízesnegativasreaiscorrespondemaospontoscríticos,oudeinflexão,datrajetória
de equilíbrio e às raízes da matriz de rigidez tangente. A Figura 4.4 confirma a
equivalênciadamatrizderigideztangentecomaprimeiraderivadavariacionaldaforça
emfunçãodosdeslocamentos.
Figura4.4– oumatrizderigideztangenteemfunçãodosdeslocamentosederivadaparcialde paravaloresdefinidos inicialmenteparaoestudocomh=5cm.Ospontosemqueascurvascruzamoeixoxsãopontoscríticosdatrajetóriadeequilíbrio.
Por se tratar de uma força de compressão, a carga limite é dada pela primeira raiz
negativa desta equação, isto é, o valor de deslocamento causado por carga de
dPdu
Ktu
-10 -8 -6 -4 -2ucm
-10
10
20
30
40
FkN
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 65
compressãomaispróximodoeixo,ouqueocorreprimeiro.Emboraacomparaçãodas
raízesexijavaloresnuméricosparadeterminarqualraizcorrespondeaopontolimitede
interesse,asraízesexplicitadaspodemsercomparadascomosvaloresencontradosno
ANSYS.Estacomparaçãopermiteverificaravalidezdocálculoparaointervalode em
estudo 2 15
Figura 4.5– Comparação dos pontos críticos encontrados analiticamente com resultados numéricos deprogramacomercial.OspontoscheioscorrespondemadeslocamentostotaiselimitesencontradosnoANSYS.Jáospontosem sãoraizesdaprimeiraderivadadaforçacomrelaçãoaosdeslocamentos.
As raízes 1,2,3 e 4 representadas na Figura 4.5 foram escolhidas de acordo com a
nomenclaturaaseguir8:
√5 √ , √5 √ ,
√5 √ , √5 √
(4.6)
A não ocorrência das raízes 1 e 4 para valores de 7,14 se deve à valores
imaginários.Conclui‐sequearaizquerepresentaodeslocamentolimiteéaraiz2.
Assimovalorde emfunçãode , e ,jáconsiderandoosinal,édadopor:
8AsvariáveisA,BeCrepresentampolinômiosdescritosnaEq.(4.4).Ofocoédadonossinaisquedistinguemcadaumadasraízes.
Página 66 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
5 √5 3 3 3 9 18 8 9 8 4
5(4.7)
Comodeslocamentodoponto limitedefinido,pode‐secalcular, atravésdaEq. (4.2),o
valorcorrespondedeforçaaplicada, imaginando‐seasituaçãoemqueaforçaaplicada
provocacompressãonasbarrasdatreliça.
4.1.3 Equaçãodeestadolimite
Aocorrênciadefalhaporinstabilidadeporpontolimitepoderia,então,serdefinidade
umamaneirasimplóriapeladiferençaentreovalordedeslocamentolimitedaEq.(4.7)
eovalordedeslocamentoaofinaldaaplicaçãodocarregamentodescritonaEq.(3.27),
conformeEq.(4.8):
, , (4.8)
No entanto, como independe da carga aplicada, essa diferença, que exprime a
distância entre os dois deslocamentos (ver Figura 4.5), se mantém constante para
configuraçõesquenãoapresentamfalha.Paramelhorrepresentaraocorrênciadafalha
porsnap‐throughutiliza‐seumEELemforça,descritaaseguir.
, , (4.9)
Nestecaso,aEELcomparaaforçalimite ,calculadapelasubstituiçãode naEq.
(4.2),comaforçatotalaplicada.AFigura4.6mostraosvaloresdeambasasEELparaos
dados do exemplo. Conforme dito, segundo a definição, valores negativos da EEL
indicam valores pertencente ao domínio de falha e valores positivos indicam valores
pertencenteaodomíniodesobrevivência.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 67
Figura4.6–Equaçõesdeestadolimiteemforçaedeslocamento,paravalorescaracterísticosdasVAenvolvidas.
AEq.(4.9)emforçaémaisrepresentativa,poisaEELassumevaloresnegativos(dentro
do domínio de falha) quando a estrutura está mais abatida (menores alturas) e que
diminuem à medida que as alturas aumentam. Em seguida, a EEL apresenta valores
positivos (dentro do domínio de sobrevivência) cada vez maiores em virtude do
afastamentodaconfiguraçãoabatida.
4.2 ESTUDODAFALHAPORFLAMBAGEM
Para a consideração da instabilidade de barras comprimidas ou instabilidade por
bifurcaçãonaanálisedatreliçaéimportanteressaltarqueasbarrassãobiarticuladase
submetidasexclusivamenteàsolicitaçãoporforçanormal.Nessasituaçãoidealizada,de
força normal perfeitamente centrada, e ainda considerando‐se as barras livres de
defeitosdenaturezageométricaedematerial,paracadaumadelas,isoladamente,pode‐
sedeterminarumasolicitaçãocríticadeflambagemdadapelarelaçãodeEuler:
1 (4.10)
ondeocomprimentodeflambagemcoincidecomocomprimentoinicialdabarra,parao
casodebarrabiarticulada.
4.2.1 Equaçãodeestadolimite
ParaadeterminaçãodaEELdomododefalhadeflambagemseráusadacomparaçãodas
forças normais atuantes e críticas. Verificando a Figura 4.7 é possível ver que a força
Página 68 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
normal atinge um limite máximo de compressão. Para encontrar os valores de
deslocamentocorrespondentesàsforçasnormaismáximasdevem‐secalcularospontos
críticosdacurva anulandoasuaderivada.
AderivadadeNemrelaçãoaosdeslocamentos édadapor:
2 (4.11)
Sendo uma equação de terceiro grau, têm‐se três raízes. A depender das constantes
utilizadas, duas dessas raízes podem ser imaginárias fazendo com que a máxima
compressãosejaencontradaem .Nosdemaiscasos,araiz determinaum
valor de máxima tração local e as outras são simétricas e determinam um valor de
máximacompressão.
, 1 (4.12)
Comoaprimeiraocorrênciadamáximacompressãoéamaisimportante,temos:
1 (4.13)
Anormaldeveaindaseranalisadanodeslocamentomáximosofridopelaestruturaapós
aplicaçãototaldocarregamento,istoé,quando .Pode‐se,então,definirquea
máxima compressão pode ocorrer em três pontos, , , , devendo‐se
escolhermáximovaloremmódulodanormalnessespontos.
Apesardovalordanormalem ( )sermáximo,nãoépossívelafirmarcom
certezaqueadiferençaentreas forçasnormais(atuanteecrítica)sejaamáxima,uma
vez que a normal crítica não é constante. A Figura 4.7 mostra o comportamento da
normalatuante,danormalcríticaedasuadiferençaduranteocarregamentodediversas
configuraçõesiniciaisdaestrutura.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 69
Figura4.7–ComparaçãoentreNeNcrparah/2b={4,6,7,8,10}%.OmínimoobservadonacurvaN‐Ncrcorrespondeamaiordistânciaentreasnormais.
O cálculo da EEL como amáxima distância entre essas normais é mais preciso. Para
obterovalordodeslocamentocorrespondenteàesseponto,toma‐searaizdaderivada
parcialemfunçãodeudadiferença igualadaàzero,daqualtemos:
11
0 (4.14)
0 20 (4.15)
Istoresultaemtrêsraízes:
→ , →2 4 4
2 (4.16)
Define‐secomopontocríticoaraizquecorrespondeaoprimeirodeslocamentosofrido,
ouseja,odemenormódulo.
-10 -5 5u
-300
-200
-100
100
200kN
-5 5u
-300
-200
-100
100
200kN
-5 5u
-300
-200
-100
100
200kN
-10 -5 5u
-300
-200
-100
100
200kN
-10 -5 5u
-300
-200
-100
100
200kN
4% 6%
7% 8% 10%
NcruNuN-Ncr
‐h‐h
ucomp
min
ucomp
min
Página 70 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
2 4 4
2 (4.17)
Naprática,adiferenciaçãoentre nãotrazmudançasaocálculo(verFigura
4.9). Para definir a EEL, deve se ter em mente que a normal nas barras não deve
ultrapassaranormalcrítica,istoé,afalhaocorrese ,emmódulo.Porémcomo
setratadeforçasdecompressão, ,istoé:
, , (4.18)
ondeocálculodaforçanormalatuanteédadopelasubstituiçãodeunaEq.(3.12).Cada
comparaçãodeveserfeitacomparandonormais(críticaeatuante)nomesmoponto.
AFigura4.8ilustraoscomportamentosdosdeslocamentoscalculadosatéagoracoma
variaçãodaconfiguração inicialdaestrutura.Talcomportamentodelineiaaanálisede
deslocamentos feita na definição das equações de estado limite que se seguem
(flambagemetensãoadmissível).
Figura4.8–Comportamentodosdeslocamentosdospontosextremosemfunçãodasconfiguraçõesiniciaisadotadasde2a15%deh/2b.
Primeiramente, tem‐se a variação do deslocamento para as diferentes
configurações.Odeslocamento ,comoonomeserefere,éoúltimodeslocamento
sofrido pela estrutura diante da aplicação total do carregamento. Neste sentido,
deslocamentos de intensidade maior não pertencem à trajetória de equilíbrio da
estruturae,portantonãodevemserlevadosemcontanoscálculosdaEEL.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 71
Emsegundolugar,ospontosonde sãonulosnaFigura4.8,correspondem
às raízes imaginárias. Nestas configurações, a curva de possui somente uma
concavidadeparabaixo,comonaconfiguração /2 4%daFigura4.7.Nestecaso,os
dadossãocalculadossomenteem ,aúnicaraizreal.
A força normal nos pontos ressaltados, calculada através do equilíbrio dos esforços
internos,émostradanaFigura4.9paraasdiversasconfigurações iniciais. Acurvado
esforçonormalaofinaldocarregamento( )mostraamudançadecomportamento
súbita da normal devido à mudança da configuração de equilíbrio. A inflexão da
estruturafazcomqueaforçanormalaofinaldocarregamentosejadetraçãoenãode
compressão.Comoconclusão,osvaloresdenormaldaFigura4.9devemserusadosem
conjuntocomocomportamentodosdeslocamentosdaFigura4.8devidoàdelimitação
docálculodasnormaisdeacordocomodeslocamentoconsiderado.
Figura4.9–Comportamentodoesforçointernonormalcalculadonospontosextremosparacadaumadasconfiguraçõesiniciaisadotadas.
Aseguir,aFigura4.10mostraocomportamentodanormalcrítica,calculadaapartirda
Eq. (4.10), nosmesmospontos.Nesta figura verifica‐seumadiferença significativa no
valordanormalcríticacalculadanasraízes indicandoumapreferênciaà
utilizaçãodaraiz porapresentarvalorescríticosmenores.
Página 72 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Figura4.10–Comportamentodanormalcríticanospontosressaltadosparacadaumadasconfiguraçõesiniciaisadotadas.
Aregrautilizadaparadefinirasequaçõesdeestadolimitequedefinemoproblemaé:
, , ,, ,, ,
,
, , ,
, ,
; (4.19)
ondeocomando avaliacadateste(análisedosdeslocamentos)eretornaovalor
de emcasoverdadeiro.Destaforma,escolhe‐seomenorvalorda nodecorrer
datrajetóriadeequilíbriodaestrutura,inclusiveduranteosnap‐through.
NaFigura4.11épossívelobservaracorrespondênciadaEELqueregeoproblemacom
asEELindividuaisanalisadasemcadaponto.Nasconfiguraçõesiniciais,comfalhapor
snap‐through, aEELéavaliadaem .Nasconfigurações intermediárias,a é
calculadaem . Jáemregimedepequenasdeformações,utiliza‐seocálculoem
.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 73
Figura4.11–ComportamentodaEELquedefineoproblema.
A seguir, a EEL é extrapolada para configurações esbeltas. Nestas, o aumento do
comprimentodeflambagemocasionadecrescimentodosvaloresdaEEL,caracterizando
falhaporflambagem.
Figura4.12–VariaçãodaEELparatreliçasdeconfiguraçãoesbelta.
Página 74 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
4.3 ESTUDODAFALHAPORESMAGAMENTOEESCOAMENTO
Materiaisdúcteiscomooaço,cobre,alumínioapresentamescoamento, istoé,atingido
um valor crítico de tensão , omaterial sofre uma grande deformação plástica com
mínimoaumentodacargaaplicada.Essadeformaçãodesproporcionalaocarregamento
fazcomqueaseçãotransversalsejaalteradadevidoàperdaderesistêncialocal.Aesse
fenômeno é dado o nome de estricção. A tensão correspondente à carga máxima
aplicada ao material é conhecida como tensão limite de resistência e a tensão
correspondenteaopontoderupturaéchamadatensãoderuptura.
Figura4.13–DiagramaTensãoxDeformaçãoedefiniçãodaTensãoadmissível.
No projeto de um elemento estrutural, a carga limite deve ser menor que o
carregamento admissível, de trabalho ou de projeto. Nesta situação, a capacidade do
materialéreservadaparagarantircondiçõesdeutilizaçãosegura.Geralmente,atensão
admissível é mantida na região de deformação elástica, em outros casos, visando
principalmenteàreduçãodopesodeconstruçãoelapodeestarnaregiãodedeformação
plástica.
4.3.1 Equaçãodeestadolimite
Para a análise de esmagamento basta comparar a tensão nas barras com a tensão
admissíveldomaterial.Assim,a tensãonasbarrasédadapor em funçãodanormal
obtidadaEq.(3.1)conforme:
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 75
, ,
2(4.20)
Paradeterminarosvaloresdedeslocamentoparaosquaisa forçanormalatinge seus
valores extremos, plotou‐seo gráficodaFigura4.14quemostrao comportamentoda
normalparadiferentesconfigurações.
Figura4.14–Comportamentodaforçanormalparadiferentesconfigurações.Aslinhastracejadasmostramovalordanormalaofinaldocarregamento(Tabela3.1).
Conforme se observa na Figura 4.14, para 2⁄ 4%, a máxima compressão é
encontrada em e a máxima tração em . Já a segunda configuração,
igual a 6,5%, apresenta máxima compressão em e máxima tração em
.Aterceiraconfiguraçãojánãoapresentasnap‐throughparaacargaaplicada,
obtendosomentemáximacompressãoem .
Sendo assim, a máxima compressão pode ocorrer em três pontos, a saber,
, , .Paraamáximaforçadecompressão,escolhe‐seovalormínimo
(máximoemmódulo).
, , , , , (4.21)
Jáamáximatraçãopodeocorrerem , .Porsetratardeforçaspositivas,o
valormáximoéescolhido.
, , , (4.22)
No entanto, faz‐senecessidadedeuma comparaçãodosdeslocamentos válidospara a
definição damáxima força de compressão e de tração e utilização de condições se e
senão,representadaspor[T]–Truee[F]–FalsenasEq.(4.23)e(4.24).
Página 76 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Nocasodacompressão:
, , ,→ , , , ,
→ , (4.23)
eparatração:
,→ , , 0 ,
→ 0, , , , (4.24)
ondeosvaloresdenormal são calculados substituindo‐seovalordedeslocamentona
Eq.(4.20).Portanto,aEELdeesmagamentoouescoamentoédadapor:
, , . , (4.25)
ou,emfunçãodasnormaisdecompressãoetraçãotalcomo:
, , , (4.26)
AEELédadaemforça, tal comonosdemaismodosde falhae e estãoem
funçãodacargaaplicadaàestrutura.AFigura4.15mostraaescolhadovalordaEELem
função do máximo esforço na estrutura (compressão e tração) que ocasionam,
respectivamente,asfalhasdeesmagamentoeescoamento.
Figura4.15–ComportamentodaEELquedefineoproblemaemcomparaçãocomasEELsdecompressãoetração.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 77
4.4 COMENTÁRIOSGERAIS
Deslocamentos críticos como: e foram calculados de maneira a efetuar o
cálculo das equações de estado limite somente em situações específicas. Quando
efetuadonessas situações, probabilidades de falhamáximas são obtidas, nãohavendo
necessidadedeefetuaromesmocálculoparatodosospontosdodomíniodatrajetória
deequilíbrio.
No entanto, para a maioria dos casos se desconhece a equação da força normal e o
comportamento da trajetória de equilíbrio. A definição da equação de estado limite
nesses casos pode depender da avaliação de esforços normais e de deslocamentos ao
decorrer do carregamento, ou seja, ao final de cada avaliação doMEF para um dado
passodecarga.
Paraomododefalhadesnap‐through,deve‐secompararacargaaplicadaàcargalimite,
quedeveserdeterminadacomumaverificaçãodenulidadedamatrizderigidez.Paraa
flambagem, o procedimento mais adequado é analisar a diferença entre o esforço
normaleanormalcríticaacadapasso,umavezqueambasvariamcomodeslocamento.
Já no esmagamento/escoamento é feita a comparação com os esforços normais das
barras,multiplicando‐ospelaáreadaseçãotransversaldabarraanalisadacomatensão
admissível.Nestecaso,aprobabilidadedefalhaestáassociadaaosvaloresextremosde
tensãonasbarras,umavezqueatensãodeescoamentoéumaconstantedefinidapelo
usuário.
AFigura4.16resumedemaneirasimplificadaocálculodasEELparacadamododefalha
tratadoanteriormente.
Assim, tomando a análise de um programa de MEF para estruturas de barras, um
elemento é definido pelas coordenadas (x,y) do seu nó inicial e final, a sua seção
(constante) ematerial sãoentãodefinidas.Emseguidaatravésdaaplicaçãode cargas
nos nós anteriormente definidos e da imposição dos deslocamentos em cada direção
paracadanó,écalculadooesforçonormalparacadabarra(constante).
Página 78 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Figura4.16–Fluxogramapararesoluçãogeral.
Cada configuração inicial é analisada através de um processo de controle de
carregamento. A cada passo de carga, um conjunto de esforços normais, reações
externas e carregamento aplicado são gerados e analisados pelas equações de estado
limite. Posteriormente, as EEL são enviadas ao programade análise de confiabilidade
paraocálculodasprobabilidadesdefalha.
Por fim, comosdadosgeradosépossível formarumgráfico comos custosesperados
totaisemfunçãodavariaçãodecadavariáveldeprojeto.Aescolhadopontoótimovem
da análise destes custos totais, mas também pode ser feita baseada na escolha da
configuraçãocommenoresprobabilidadesdefalha,aindaqueocustoesperadodefalha
totalnãosejaomínimo,maspróximodeste.
Escoamentoouesmagamento
CalcularaTensãoMáximanasbarras
Flambagem
Calcularasolicitaçãonormalenormalcrítica
Snap‐Through
Calcularaforçalimite.Ktdevesernula
Estruturas–TreliçasPlanas
Modosdefalha
Paratodososdeslocamentosdatrajetóriadeequilíbrio
Ouparacadadeslocamentoobtidopelospassosdecarga
Gxrecebemínimovalorentreforçalimiteeforçaaplicada.
Gxrecebeomínimovalorentrenormale
normalcrítica
Gxrecebeomínimovalorentreastensõesmáximaseadmissíveis
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 79
5. OTIMIZAÇÃODERISCOCOMCONSEQUÊNCIASDEFALHA
5.1 FUNÇÃOOBJETIVO
Aotimizaçãoderiscosedistinguedeoutras formulaçõesdeotimizaçãoestruturalpor
levaremconsideraçãooefeitode incertezasemtermosdeprobabilidadesecustosde
falha. Para determinar o custo esperado de falha é necessário quantificar o custo de
falhaem termosmonetários,bemcomodeterminaraprobabilidadede falha.Assim,o
custoesperadodefalhaparacadamododefalhaédadopor:
(5.1)
É de conhecimento geral que cada falha está associada a um custo distinto. Falhas
frágeis,queocorremsemaviso, têmconsequênciasmaisseverasque falhasdeorigem
dúctil. Falhas por limite de serviço podem levar a suspensão temporária de uso, que
geralmente representam custos menores que o colapso (falha por limite último). Tal
custo pode ser calculado em função da gravidade da falha englobando demais custos
comoodereparo,retiradadematerialdanificado,etc.
A treliça simples de duas barras, aqui considerada, poderia ter diferentes aplicações,
portanto,oscustosde falhanãosão irrelevantes.Paranão limitaroestudoasomente
umapossívelaplicação,oscustosdefalhasãodados,demaneiragenérica,proporcionais
aocustoinicial.
Supondoqueafalhaporsnap‐throughtenhacusto:
(5.2)
queafalhaporinstabilidadedebarrascomprimidastenhacomocusto:
(5.3)
equeafalhaportensãoadmissíveltenhacusto:
.(5.4)
onde , sãofatoresdecustosdefalhaaseremexploradosnasequência.
Página 80 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Para cada modo de falha do sistema ou de componentes do mesmo haverá um
componentedecustoesperadodefalha.Ocustoesperadototaldosistemaédadopela
somadetodosostermosparciaisdecusto:
(5.5)
Assim,afunçãoobjetivoaserminimizadapodeserdadapor:
. ã
1 ã (5.6)
2 1000 (5.7)
onde éumvalordereferênciaparacustos,dadopor2000 . édadoem e
aárea em ².Ocustoinicialpodeserdefinidopelovolumedematerialmultiplicado
pelasuamassavolumétrica 7,86 / ³ epelopreçounitário 3,50 $⁄ .Ovolume
dematerial é 2 . O custo inicial é, demaneira clara, função das variáveis de
projeto.
5.2 VARIÁVEISALEATÓRIASEDEPROJETO
As variáveis aleatórias, três no total, e seus parâmetros sãomostrados na Tabela 5.1.
Portanto,ovetordevariáveisaleatórias édadopor: , , .
Tabela5.1–Variáveisaleatóriaseseusparâmetrosusadosnoexemplo.
Variável Distribuição Média( c.o.v. Desvio‐padrão )
E* Log‐Normal 20500kN/cm² 0,05 1025kN/cm²
* Log‐Normal 50kN/cm² 0,05 2,5kN/cm²
Normal 50kN 0,10 5kN
Ovetordevariáveisdeprojeto édadopor: , , , .Para realizar o cálculodos
deslocamentos utilizam‐se variáveis de projeto (altura, diâmetro, espessura, vão) e
variáveisfísicasoudecomportamentodomaterial(módulodeelasticidadeeconstante
denão linearidade física).Outrasvariáveisusadas,comoaárea, inérciasãocalculadas
emfunçãodasvariáveisdeprojeto(diâmetroeespessura).Já,oscálculosdosesforços
normais e críticos são função, além das variáveis de projeto, das variáveis aleatórias
(carga aplicada, tensão de escoamento emódulo de elasticidade). As tabelas a seguir
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 81
definemasvariáveisdeprojeto(Tabela5.2)eocálculodosparâmetrosgeométricosda
seção(Tabela5.3).
O custo inicial, que depende do volume de material, também é obtido através das
variáveis de projeto. Por sua vez, o custo de referência é calculado utilizando a
densidadedomaterialeseucustounitárioporpesodematerial.Ocustofinalédadoem
reais.ATabela5.4resumeasconstantesdecustoadotadas.
Tabela5.2–Variáveisdeprojeto
Variável Valor
Altura(cm) 10.7
Diâmetroexterno(cm) 3.34
Espessura(cm) 0.34
Larguratotaldovão(cm)=2b 2 100
Tabela5.3‐Valorescalculadosapartirdasvariáveisdeprojeto.
Variável Valor
Diâmetrointerno 2
Áreadaseçãocircular 4⁄
Momentodeinércia 64⁄
Tabela5.4–Valoresparacálculodoscustosiniciaiseesperadosdefalha
Variável Valor
Densidadedomaterial 8.304 ( ⁄
Custounitárioporgrama 3.5 ∗ 10 $⁄
5.3 PROBABILIDADESDEFALHA
Ocálculodasprobabilidadesdefalhafoiefetuadosegundoastécnicasdeconfiabilidade
estruturaldescritasnarevisãobibliográfica.OmétododesimulaçãoSMCnãomostrou
diferenças significativas quando comparado ao FORM,mesmo após a inclusão da não
linearidadenaEEL.Comoconclusão, autilizaçãodoFORMé suficienteparaa solução
desteproblemadeotimizaçãoderisco.
Página 82 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
5.3.1 Falhaporsnap‐through
CombasenaEELdaEq. (4.9) efetua‐seo cálculodaprobabilidadede falhavia FORM
tendoemvistaasvariáveisaleatóriasedeprojeto.Acurvadeprobabilidadesde falha
em função da razão de configuração apresenta valores intermediários entre 0 e 1 de
formacontínuaesuave.Talvariaçãosedeveaosvalorespróximosdezerodafunçãode
estadolimiteemtornodaalturacorrespondenteaodeslocamentolimite.
5.3.2 Falhaporflambagem
Avariaçãodasprobabilidadesdefalhadevidoàflambagem,porsuavezédiscreta,não
possuindo valores intermediários. Em configurações abatidas, a flambagem ocorre,
principalmente,devidoà forçade compressãogeradadurantea inflexãodaestrutura.
Além disso, tanto a normal crítica quanto a de compressão dependem da posição
deslocada da estrutura, sendo fundamental o conhecimento do comportamento da
trajetória de equilíbrio da estrutura. Conforme a esbeltez da estrutura aumenta, o
comprimentodeflambagempassaaserfatordecisivo.
5.3.3 Falhaporesmagamento/escoamento
Asprobabilidadesdefalhacausadasporesmagamentoou/eescoamentosãoanalisadas
em conjunto considerando tensões de tração e compressão. Sendo assim, existem
intervalos de predominância de cada falha. A Figura 5.1mostra o comportamento da
tensão normal para quatro configurações iniciais diferentes, representadas pelas
diferentes curvas nomeadas. As razões 3% e 5% representam estruturas que sofrem
inflexão,enquantoqueacurva7%serefereaumasituaçãointermediáriaeade9%a
umaestruturadeconfiguraçãopadrão.Assetasindicam:1)pontodemáximatraçãoem
na curva 3%; 2) máxima compressão em na curva 5%; 3) máxima
compressãoem nacurva7%;4)máximacompressãoem nacurva9%.
Assimcomonaflambagem,ocorrefalhaporesmagamentoconformeasforçasnormais
decompressãoaumentamemfunçãodaesbeltez.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 83
Figura5.1–Comportamentodatensãonormalparaquatroconfiguraçõesiniciaish/2b={3,5,7,9}%.
5.4 OTIMIZAÇÃODERISCO
Tendo definidas as probabilidades de falha para cada modo de falha e seus custos
associados, é possível realizar o cálculo dos custos esperadosde falha.À somadestes
custos se dá o nome de custo esperado total (CET). Neste capítulo serão analisados
problemas de minimização de custo esperado total para uma série de propriedades
físicasegeométricas.Ointuitoémostrarocomportamentodacurvaesuarelaçãocom
diferentescustosdefalhaassociados.
5.4.1 Resultadosparamodosdefalhaconcorrentes
Para diversas configurações do problema, um (ou dois) modo(s) de falha é (são)
dominante(s) em relação aos demais. Dentro dos objetivos do presente trabalho, é
interessante trabalhar com uma configuração em torno da qual ocorra uma disputa
entre os diferentes modos de falha. Estudos preliminares, não apresentados aqui,
mostraramqueaconfiguraçãodescritanaTabela5.2comconstantedenãolinearidade
física 100levaamodosdefalhaconcorrentes.
Para que os modos de falha sejam concorrentes é necessário que a variação das
probabilidades de falhas esteja num intervalo próximo de configurações. Para isso,
considerou‐se seção circular vazada de diâmetro externo 3,34 e espessura igual
3,4 e demais características físicas expressas na Tabela 5.1. Tais características
conferemumaárea30%menoreinércia80%maiorquandocomparadasàseçãosólida
deumapolegada.
Página 84 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
AvariaçãodasprobabilidadesdefalhaeacomposiçãodoCETsãomostradasnaFigura
5.2.Nestecaso,consideraram‐secustosdefalhaunitários( 1).
Figura5.2–ProbabilidadedefalhaeCustoesperadodefalhaparamodosdefalhareunidos.
Como decorrência desta concorrência, o ponto de ótimo apresenta reservas de falha
mínimas.Opontodeótimoéencontrado,porbuscaexaustivaem 2⁄ 10,7%etem
CET igual a 9,56 . Um dimensionamento abaixo do ponto ótimo pode significar
falhadetodososmodos.
Para demonstrar a influência dos diferentes custos de falhas associados, três
composições de custo diferentes são comparadas com a versão unitária. Em cada
composição foi adotadoumcustodezvezesmaiorpara cada falha separadamente.Os
resultadossãomostradosnaFigura5.3.
Figura5.3–Custoesperadototalparaquatrodiferentesconsideraçõesdecustodefalha.
æææææææææææææææææææææææææææææææ
àààààààààààà
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ìììììììììììì
ì
ìììììììììììììììììì
æ Snap-Through
à Flambagem
ì Esmagamento
8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Config . h2b %
Pf
æææææææææææææææææææææææææææææææ
àà à à à à à à à à à à
à à à à à à à à à à à à à à à à à à à
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æ Cesp Snap-Through
à Cesp Flambagem
ì Cesp Esmagamento
ò C inicial
ô CET A=B=C=1
8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.00.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Config. h2b %
Cet
C ref
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ
æ ææ æà
à
à
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à
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ò
ò
ò
ò
ò
òô
ôô ô
ô
ô
ô
ô
æ C inicial
à A=B=C=1
ì A=10, B=C=1
ò B=10, A=C=1
ô C=10, A=B=110.2 10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4
0.1638
0.1639
0.1640
0.1641
0.1642
0.1643
0.1644
Config . Ratio h2b %
Cet
C ref
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 85
Como é possível observar, a composição de 10 vezes o custo de snap‐through e de
escoamento, tiveramalteração significativano customínimoemrelaçãoaoobservado
para a curva unitária ( 1). A curva com custo maior de flambagem, no
entanto,nãosofreualteração,estandosobrepostaà curvadecustounitária.Conforme
esperado, a curva de custo com o modo de falha por escoamento predominante
apresentoumaioralteraçãonopontoótimo 2⁄ 11%, ⁄ 0,1642 devidoà
quedamenosacentuadadasprobabilidadesdefalha.
A Figura 5.4 mostra a função objetivo de CET em termos da razão de configuração
(h/2b) da estrutura (acima), do diâmetro (centro) e da espessura (abaixo) para
diferentes cenários de custos de falha. Para cada gráfico, as variáveis de projeto
restantes (não visualizadas no gráfico) são fixadas em 3,34 , 3,4 ,
50 10,7 ,queéaalturaótimanaconfiguraçãodereferência.Paraocenário
de custos de falha unitários ( 1), ⁄ 0,1639. e os índices de
confiabilidade são: 4,03, ∞ e ã 3,29. Os valores de custo são
dadosemfunçãodocustodereferência.
Conforme visto na Figura 5.4, as mudanças no custo de falha de snap‐through e
esmagamento afetam a função objetivo. Tais mudanças não são discrepantes, mas
mostram que diferentes pontos de equilíbrio são obtidos entre modos de falha
concorrentes.
A Tabela 5.5mostra as diferenças obtidas com relação a cada variável de projeto. Os
valoresmáximosobservadossãode:4,67%para ;7,74%para e9,68%para .
Página 86 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Figura5.4–CETparadiferentescenáriosdecustosdefalhaemtermosdasvariáveisdeprojeto{h,d,t}.
Tabela5.5–Variaçãodosvaloresmínimosdecadavariáveldeprojeto.
/ % % %
1 1 1 0,107 ‐ 3,10 ‐ 0,31 ‐
10 1 1 0,107 0 3,14 1,29 0,31 0
1 10 1 0,107 0 3,10 0 0,32 3,23
1 1 10 0,110 2,80 3,26 5,16 0,33 6,45
5 10 20 0,111 3,74 3,30 6,45 0,34 9,68
20 10 5 0,109 1,87 3,26 5,16 0,33 6,45
30 30 30 0,112 4,67 3,34 7,74 0,34 9,68
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 87
5.4.2 Alteraçãodaconstantedenãolinearidade
Emalusãoaoitem“3.4.5‐Estudocomparativodoscomportamentosnãolineares”foram
estudadosdiferentesvaloresde afimdeverificarasdiferençasdocomportamentonão
lineardomaterialnaconfiguraçãoótimaeseurespectivocusto.ATabela5.6sintetizaos
resultadosobtidosparacustosdefalhaunitários( 1)evariaçãoparamétrica
darazãodeconfiguração.
Tabela5.6–Variaçãodarazãodeconfiguraçãoemvirtudedaalteraçãodanãolinearidadedomaterial.
Valordaconstantedenãolinearidade
Razãodeconfiguraçãoh/2bótima(%)
/
1 10,5 0,1638
40 10,5 0,1638
100 10,7 0,1639
120 11,7 0,1647
Como se espera, o aumento da não linearidade domaterial resulta em configurações
ótimasmais altas. Porém, o aumento excessivo da constante de não linearidade afeta
negativamente a falha por flambagem e tensão admissível que têm seu intervalo de
ocorrência aumentado resultando em configurações ótimas ainda mais esbeltas. A
influência no custo esperado total no ponto de ótimo é ínfima uma vez que as
probabilidadesdefalhasãopequenaseforamtomadoscustosunitáriosdefalha.
Nestecaso,relatadonaTabela5.6,oCETestádiretamenterelacionadoaocustoinicial
ou volume dematerial. No entanto, caso o objetivo fosse definir uma estrutura ótima
com uma probabilidade de falha definida (e, portanto, maior que a do ponto ótimo),
teríamosaumentodoscustosesperadosdefalha.Talaumentoserefletiriaemmaiores
variações na razão de configuração ótima, principalmente se levássemos em conta
valoresdecustodefalhanãounitários.
Página 88 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
5.4.3 Variaçãomultiparamétrica
Comavariaçãomulti‐paramétrica,oproblemadeotimizaçãoserátridimensional.Desta
forma,ocustoesperadototalmínimoseráobtidoemfunçãodetrêsvariáveisdeprojeto,
, , . O comprimento do vão e os parâmetros das variáveis aleatórias se mantem
inalterados. Tendo por base a configuração que gera modos de falha concorrentes,
determinou‐se os intervalos: 2⁄ 0,08; 0. 12 , 3,1; 3,5 0,25; 0,43 . A
constantedenãolinearidadeusadaé 100.
Primeiramenteérealizadoocálculodoscustosiniciaisdaestrutura,talfunçãodecusto
édependentedasvariáveisdeprojeto,devendosercalculadaacadanovaconfiguração.
A Figura 5.5 mostra a representação tridimensional do custo inicial versus altura e
diâmetro, sendo a variação das espessuras visível através das diferentes superfícies
geradas.
Figura5.5‐Custoinicialdaestruturapara . , . , . e .
Os custos iniciais são diretamente proporcionais ao volume de material. Assim, o
aumentodaespessurarefletenoaumentodocusto.Oaumentododiâmetro,porsuavez,
pode ser observado na leve inclinação positiva ao fundo da superfície, em direção a
diâmetrosmaiores.Taiscomportamentossãocompatíveis,umavezqueosaumentosde
espessura, e do diâmetro interferem proporcionalmente no cálculo da área da seção
transversal.Avariaçãodaaltura,porsuavez, temmenor influência,umavezqueestá
relacionadaindiretamenteatravésdocomprimentodabarra.
Ocustoinicialsefaznecessárioparaadefiniçãodoscustosesperadosdefalhaparacada
modo,dispostosnaFigura5.6.Nestafigura,observa‐senãosóavariaçãodoscustosem
,
,
,
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 89
função da razão de configuração (descrita no item 5.3), mas também em função do
diâmetroedaespessura.
Figura5.6‐Custoesperadodefalhaparasnap‐through(acima),flambagem(centro)eesmagamento/escoamento(abaixo)
Observa‐sequeo aumentoda espessura, alémda sua influênciano aumentodo custo
inicial, desloca e aumenta o intervalo de probabilidades de falha intermediárias,
produzindoinclinaçõesmaissuaves.Comrelaçãoaodiâmetro,quandomantidaaaltura
⁄
Diâmetro(cm)
⁄
⁄
RazãodeConfig.h/2b(%)
Página 90 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
constante,seuaumentodeterminacustosdefalhamenoresemfunçãodaprobabilidade
defalha.
A seguir, os custos inicial e esperado de falha serão somados para a constituição dos
custosesperados totais,necessáriosparaadefiniçãodaconfiguraçãoótima.NaFigura
5.7, fixou‐seodiâmetro 3,34 .Épossívelobservar,queavariaçãodasvariáveis
de projeto altera a concorrência entre os modos. Razão pela qual a configuração
escolhidacomoreferência(Tabela5.2)nãoéaqueladecustomínimoglobaldointervalo
analisado. Para este diâmetro ⁄ 0,157 e demais variáveis de projeto são
/2 0,12; 0,25.
Figura5.7–CustosesperadosdefalhaeCETdereferência.
Em uma análise com diversas espessuras, a configuração de menor CET unitário
observado no intervalo analisado corresponde a /2 0,12; 3,5; 0,25; cujo
custo é ⁄ 0,139. A Figura 5.8 mostra as curvas de nível da função CET em
funçãododiâmetroedarazãodeconfiguração.Ocomportamentodaregiãodemínimo
custopodeservistoparacadaespessura.
⁄
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 91
Figura5.8–Curvadeníveldoscustostotaisparacadaespessura.
Para a espessura utilizada como configuração de referência ( 0,34 ), o custo
mínimoencontradoé ⁄ 0,151correspondenteaconfiguraçãocomvariáveisde
projeto /2 0,115; 3,1.AFigura5.8mostra,ainda,ocomportamentodaregião
demínimo e a distância dopontodemínimo local ao custo referência à configuração
escolhidadaTabela5.2,cujocustoéde ⁄ 0,164.
A seguir, a Figura 5.9 mostra o comportamento da curva de custos esperados totais
termosdarazãodeconfiguraçãoversusdiâmetro(acima),razãodeconfiguraçãoversus
espessura(centro)edodiâmetroversusespessura(abaixo)paradiferentescenáriosde
custo de falha. Para cada gráfico, a variável de projeto restante (não visualizada no
gráfico)foimantidaem 3,34 , 3,4 , /2 0,107.
Em comparação à Figura 5.4, esta análise tridimensional dos custos esperados totais
permite visualizar o comportamento em função de duas variáveis de projeto do
problema. O intervalo utilizado mostra, principalmente, no gráfico diâmetro versus
espessura(abaixo)quesetratadeumafunçãoconvexacompontodemínimo.
Página 92 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
Figura5.9‐CETparadiferentescenáriosdecustosdefalha.
⁄
h/2b(%)
⁄
⁄
Espessura(cm)
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 93
6. COMPARAÇÃOCOMAOTIMIZAÇÃODETERMINÍSTICA
6.1 CONFIGURAÇÃODECOMPARAÇÃO
EmFox(1971)considera‐seumatreliçaplanadeduasbarrassemelhanteaoproblema
analisado neste trabalho. As constantes usadas em Fox (1971) são usadas como
referêncianestacomparação,esãoapresentadasnaTabela7.1.
Tabela6.1–VariáveisadotadasporFox(1971).
Variável Valor Unidade ValornoSGI
P(cargaaplicada) 2x33 kips 293,58kN
2b(vãototal) 2x30 in 152,4cm
t(espessura) 0,1 in 0,254cm
(Tensão) 100 ksi 68,95kN/cm
E(módulodeElast.) 3x10 ksi 20684,27kN/cm
(densidade) 0,3 Lb/in 8,304 g/cm
O problema resolvido por Fox, no entanto, considera material linear e pequenos
deslocamentos,sendoatensãonasbarrasiguala:
4
4 2
/
(6.1)
AtensãocríticadeEulerparaflambagemécalculadapor:
16 8
(6.2)
AfunçãoobjetivodoproblemadeFoxédadaemfunçãodopesodaestrutura:
2 2 ⁄ (6.3)
Página 94 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
6.2 RESOLUÇÃODETERMINÍSTICAELINEARDEFOX
Para o critério de máxima tensão admissível, a treliça otimizada é obtida com um
conjunto de valores candidatos.Desses valoresmínimos ótimos,mostradosnaTabela
6.2,somentealgunsestãoacimadatensãocríticadeEuler.
Tabela6.2–Valorescandidatosapontoótimo.
Diâmetro(cm) Altura(cm) Peso(kg)
3,81 76,20 5,44
4,44 58,42 5,95
5,08 48,26 6,07
5,71 40,64 6,54
6,35 35,56 7,08
Osvalores riscadosnaTabela7.2 correspondema configuraçõesque levama tensões
superioresàtensãocríticadeEulere,portanto,representamconfiguraçõesinviáveis.A
configuração ótima, na solução determinística de Fox (1971), corresponde à terceira
linhadaTabela7.2,com 5,08 e 48,26 ,cujopesototaléiguala6,07kg.
Utilizando o custo unitário de 3,510 $⁄ . A configuração ótima de Fox tem custo
iguala:
6,07kg 3,50 $⁄ 21,25 reais. (6.4)
6.3 OTIMIZAÇÃODERISCOPARAMESMACONFIGURAÇAO
Para a otimização de risco serão utilizando os dados de entrada da Tabela 7.1 e o
diâmetroótimoencontradoporFox(1971).Paraodiâmetrocabeumaressalva,umavez
queFoxadotadiâmetromédioiguala5,08 .Nestetrabalhoseráutilizadoodiâmetro
externo calculado por: 5,334 , onde a espessura é mantida em
2,54 .Asmédiasedesviospadrãodasvariáveistomadascomoaleatóriassãodadas
naTabela6.3.Os valoresda largura total do vão (152,4 ), densidadedomaterial e
custounitáriosãomantidosconformeFox.
Tabela6.3–Parâmetrosdasvariáveisaleatórias
Variável Distribuição Média( c.o.v. Desvio‐padrão )
E Log‐Normal 20684kN/cm 0,05 1124kN/cm²
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 95
Log‐Normal 68,95kN/cm 0,05 3,4kN/cm²
Normal 293,6kN 0,10 ‐29,4kN
6.3.1 Consideraçãodelinearidadefísica
Primeiramente, é feitaumaotimizaçãode risco comvariaçãodoparâmetrode altura,
tendo em vista que será utilizado o diâmetro ótimo encontrado por Fox (1971). Para
destacar os efeitos da não linearidade geométrica no problema, a constante de não
linearidade física é reduzida a 1. Como a consideração da posição deslocada
ocasionaomododefalhaporsnap‐through,omesmoseráconsideradoadicionalmente
aoproblemadeFox (1971).OcomportamentodacurvadeCETémostradonaFigura
6.1.
Figura6.1–Visualizaçãodoscustosparciaisetotaispara .
Observa‐se que a configuração ótima da otimização de risco é regida pela falha por
tensãoadmissível.Ocustoesperadototal,segundoaFigura6.1,apresentouummínimo
globalem 59,43 comcustode24,29 .Seconsiderarmosafalhaportensão
admissível satisfatória aos 48,26 cm, que equivale a ≅ 46%e ã ≅ 0,09
obteríamos um custo de 31 . Tal custo tem cerca de 30%de custo esperado de
falha.
Página 96 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
6.3.2 Consideraçãodeambasnãolinearidades
Naanálisecomambasnãolinearidades,utilizou‐seconstantedenãolinearidadeiguala
100. Tal valor provoca comportamento altamente não linear da estrutura, sendo
observada 1 para flambagem no domínio analisado. Sendo assim, decidiu‐se
diminuiraconstantedenãolinearidadeem60%.Talvalorpermitiuaobservaçãodeum
mínimo global sem alterar diretamente as características materiais e geométricas da
estrutura. O ponto de mínimo global, caracterizado por probabilidades de falha
aceitáveis em todos os modos considerados, pode ser observado na curva de custo
esperadototaldaFigura6.2.
Figura6.2–Visualizaçãodoscustosparciaisetotaispara .
Nestecaso,omínimocustoesperadototalfoiencontradoem 59,43 comcustode
24,31 .Dentreoutrasdiferenças,apósdiminuiçãodaconstantedenãolinearidade,
destaca‐seo comportamentoda curvade flambagemquepassaa exibir sobrevivência
emconfiguraçõesmaiores
6.3.3 Comparaçãodosresultados
De forma geral, a mudança do comportamento não linear do material idealizado
modificaosintervalosdeocorrênciadecadafalha.NaTabela6.4,dispõe‐seumquadro
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 97
comparativo da otimização de risco para as diferentes constantes de não linearidade
físicaadotadas.
Tabela6.4–Comparaçãodasconfiguraçõesótimascomrelaçãoàsdiferentesconstantesdenãolinearidadefísicaadotadasparadiâmetroexternoiguala5,08cm.
hotim.derisco
CustoMínimo
Custoprojetadoparahotim.deFox(1971)
100 ‐ ‐ 89,5
40 59,43 24,31 54,5
1 59,43 24,29 31,5
Fox(1971) 48,26 21,25 ‐
Os custos projetados para a altura ótima encontrada na otimização determinística
evidenciamadiferençaentreasotimizaçõesadotadas.Taldiferençaestarelacionadaà
funçãoobjetivodaotimizaçãoderisco,quelevaemcontanãosóaminimizaçãodocusto
emfunçãodovolume,mastambémoscustosassociadosacadamododefalha.Portanto,
os custos projetados são claramente maiores que o custo ótimo determinístico
(21,25 ) por incluírem custos esperados de falha. Por sua vez, as configurações
ótimas encontradas na otimização de risco são mais robustas devido à restrições de
falhaeconsideraçãodasincertezasnasequaçõesdeestadolimitedoproblema.Ocusto
mínimo,noentanto,éafetadobasicamentepelocustoinicialoudematerial.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 99
7. CONSIDERAÇÕESFINAIS
Estetrabalhotratadaotimizaçãonãolineardeumaestruturadetreliçaconsiderandoos
efeitos dos custos esperados de falha. Omodelomecânico considera não linearidades
físicas e geométricas. Em termos de falha considerou‐se falhas por tensão de tração
(escoamento) e por tensão de compressão (esmagamento), além de falhas por
instabilidades,sendoadebifurcaçãoconhecidacomoflambagemeadepontodelimite
ouchamadadesnap‐through.Aseleçãodoproblema,edesuasvariáveisaleatóriasede
projeto, objetivou expor a concorrência entre osmodosde falha, para custos de falha
diferentes.Asdiferençasentreasconfiguraçõesótimasobservadassãosutis;entretanto,
demonstramcomoaconcorrênciaentremodosdefalhadecustodistintopodeafetara
configuraçãoestruturalótima.
7.1 OBSERVAÇÕESGERAIS
Com relação aos modos de falha, é possível afirmar que a falha por snap‐through
determina amudança de comportamento dos demaismodos de falha, uma vez que a
configuração deslocada é levada em conta nas equações de estado limite, através da
consideraçãodanãolinearidadegeométrica.
A comparação da otimização de risco com a otimização determinística chegou a
configurações com maior uso de material. Porém, com menor custo esperado total,
quandocomparadoaocustodeFox(1971).AotimizaçãodeterminísticadeFox(1971)
não levou em conta a posição deslocada (análise não‐linear) nem falhas relacionadas
comestecomportamento.Talresultadomostraainfluênciadaconsideraçãodoscustos
defalhanaotimização,propiciandonãosóresultadosdepesomínimo(umavezqueo
custoédadoemfunçãodopeso),comotambémmaissegurospelaconsideraçãodemais
modosdefalhaeincertezas.
Página 100 Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha
7.2 SUGESTÕESDEPESQUISASFUTURAS
Comodesenvolvimentofuturodapresentepesquisacita‐seasuaaplicaçãoàotimização
topológicadeestruturas redundantesplanase tridimensionais,bemcomoautilização
dealgoritmosinteligentesparaescolhadosmodosdefalhadominantes.
Com relação aomodelomecânico, extensão paramateriais de comportamento elasto‐
plástico,mantendoainclusãodasanálisesnãolinearesgeométricas.
Com relação à solução de problemas de otimização, cita‐se o desenvolvimento de
ferramental (software) para otimização topológica de estruturas planas e
tridimensionais, considerando quantificação de incertezas e consequências de falha.
Sugere‐se considerarmodos de falha tradicionais, como falha dúctil/frágil por sobre‐
tensão, falha por excesso de deformações; bem como falha por instabilidade elasto‐
plástica, para problemas envolvendo estruturas de barras (treliças e vigas) e para
problemasenvolvendoelasticidadeplana.
Pedrosa TG: Otimização Estrutural sob Incertezas considerando Consequências de Falha Página 101
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