Incertezas de Medição Prof. Marcos Antonio Araujo Silva

Dep. de Física

"I can live with doubt and uncertainty and not knowing. I think

it is much more interesting to live not knowing than to have

answers that might be wrong."

Richard Feynman

Sumário Histórico

Importância de medidas

Incertezas nas medições:

Tipo A – Avaliação Estatística

Tipo B – Bom senso

Algarismos significativos

Propagação de Incertezas

Conclusões

Bibliografia

Agradecimentos

Histórico

Pela primeira vez na história de

humanidade alguém realizou medidas de

um fenômeno natural, ou seja, realizou

um experimento como é entendido hoje.

Foi Cláudio Ptolomeu (85 – 165) quem

realizou medidas e registrou numa tabela

os dados do ângulo de incidência e ângulo

de refração da luz ao passar pela interface

do ar para a água.

Resultado Experimental

de Ptolomeu Incidência no

Ar (graus)

Refração na

Água (graus)

10 8,0

20 15,5

30 22,5

40 29

50 35

60 40,5

70 45,5

80 50

Histórico

Hoje, sabemos que esse fenômeno é regido pela conhecida Lei de

Snell:

.

Em que ni é o índice de refração do meio pelo qual a luz incide com

ângulo θi e nr é o índice de refração do meio no qual a luz refrata

com ângulo θr.

Importância

Medidas: dão suporte a Teorias que podem prever resultados futuros.

Medir: é um processo experimental em que o valor de

uma grandeza é determinado em termos de uma unidade

estabelecida por um padrão.

Resultado da medida

deve conter: o valor

numérico da grandeza, a

incerteza da medição e uma

unidade.

No Brasil o sistema legal de unidades é o Sistema

Internacional (SI), e as regras para a expressão dos resultados e

das incertezas nas medições são definidas pela ABNT e pelo

INMETRO.

Toda MEDIDA está sujeita a incertezas!

Pois, medir é um processo experimental sujeito a erros que

causam incertezas que podem ser devidas:

• ao processo de medição,

• aos equipamentos utilizados,

• à influência de variáveis que não estão sendo medidas, e também,

• ao operador que realiza as medidas.

Os ERROS são de dois tipos:

• Aleatórios: aumentando o número de medidas pode ser

minimizado.

• Sistemáticos: têm que ser encontrados e eliminados.

Supomos que os erros grosseiros já foram evitados, tais como,

imperícia ou desatenção da pessoa que está medindo, ajustes

imperfeitos do aparelho, má leitura da escala, etc.

É importante expressar o resultado de uma medida de modo

que outras pessoas o entendam e saibam com que confiança o

resultado foi obtido.

Exemplo 1: Ao se fazer muitas medidas com uma régua

graduada em milímetros, obtem-se a distribuição de resultados

mostrados na figura a seguir.

Régua em graduada em milímetros

Exemplo 2: Ao se fazer muitas medidas com uma régua

graduada em meio (1/2) milímetro, obtem-se a distribuição de

resultados mostrados na figura a seguir.

Régua em graduada em 1/2 milímetro

Os observadores que realizam as medidas não são capazes de

afirmar com certeza o comprimento do objeto. As medidas se

distribuem aproximadamente em torno de um mesmo valor médio

para as duas réguas.

Observa-se que as medidas realizadas com a régua com divisões

de 1/2 milímetro apresenta uma maior dispersão.

O parâmetro associado ao resultado de uma medição, que

caracteriza a dispersão de valores atribuídos à grandeza sob

medição, é chamada de incerteza da medição.

O modo mais comum de se expressar o resultado de uma medição é:

(valor da grandeza ± incerteza da medição) [unidade]

Esta e outras formas também utilizadas:

(7,64 ± 0,02) mm | 7,64(2) mm | 7,64(0,02) mm

Como vimos, a incerteza no resultado de uma medição

caracteriza a dispersão das medidas em torno da média. São duas

categorias para essas incertezas, dependendo do método utilizado

para estimar seu valor:

Avaliação tipo A – a incerteza é avaliada por meio de uma

análise estatística.

Avaliação tipo B – a incerteza é avaliada por meios não

estatísticos, por não se dispor de medidas repetidas.

Avaliação tipo B

A incerteza é avaliada por meios não estatísticos, por não se

dispor de medidas repetidas.

Quando não é possível ou prático a realização de muitas medidas,

utiliza-se o bom senso para estimar a incerteza duma medição. É

uma avaliação bastante subjetiva.

Deve-se utilizar todas as informações disponíveis, tais como,

especificações do fabricante e dados de calibração do aparelho,

dados de medições anteriores, experiência prévia do executor da

medida sobre os instrumentos e materiais utilizados, etc.

A imprecisão de um instrumento é a metade da menor divisão

de sua escala.

Alguns exemplos a seguir.

Exemplo 3 – Tem-se uma balança cuja única informação é “erro

máximo = 4 g”, leu-se uma massa de 45 g. O resultado da medição

é (45 ± 4) g.

Exemplo 4 – Quando se tem apenas a informação que o valor da

medição é limitado pelo intervalo x+ e x-. Neste caso é aceitável

supor que x pode assumir qualquer valor no intervalo com igual

probabilidade. Assim, o valor mais provável da grandeza é dado por

e a incerteza padrão, estimada como o desvio padrão dessa

distribuição, é dada por

O fator “raiz de três” no denominador vem da distribuição

retangular de probabilidade.

Avaliação tipo B

Exemplo 5 – Numa medida de tensão alternada, o ponteiro do

voltímetro analógico oscilava aproximadamente entre 12,5 V e 14,0 V.

Usando-se esses valores como limites, como no exemplo anterior, obtém-

se

e

E o resultado dessa medição de voltagem é (13,3 ± 0,4) V.

Exemplo 6 – Numa medida de pH, o display do pHmetro digital oscilava

aproximadamente entre 4,9 e 5,0. Usando-se esses valores como limites,

como no exemplo anterior, obtém-se

e

E o resultado dessa medição de pH vale (4,95 ± 0,03).

Avaliação tipo B

Avaliação tipo A

Uma medida repetida n vezes nas mesmas condições.

Obtemos os resultados { x1, x2, ..., xn }.

A melhor estimativa para a medida é dada pela média

aritmética <x> dos valores obtidos:

e a incerteza padrão da medição é identificada como o desvio

padrão, u, da média dos resultados:

Observações

• As distribuições das medidas dos exemplos 1 e 2 são exemplos

de uma distribuição normal ou gaussiana. Ela é descrita pela

função

onde <x> é o valor central ou médio de x e u é o desvio padrão

da média da distribuição.

• Neste tipo de distribuição, aproximadamente 68% dos valores

encontram-se no intervalo (<x> ± u); cerca de 95% dos valores

estão dentro do intervalo (<x> ± 2u); e cerca de 99,7% estão

dentro do intervalo (<x> ± 3u). Esses intervalos são chamados de

intervalos de confiança.

Avaliação tipo A

Observações (cont.)

• Essa estimativa é confiável quando o número de medidas é muito

grande (n > 200). No caso de n pequeno, deve-se multiplicar o

desvio padrão por um fator de correção conhecido como

coeficiente t-Student, cujo valor depende do número de

medições e do intervalo de confiança desejado.

Avaliação tipo A

Exemplo 7 – Em um grupo de oito medidas de pH obteve-se

os resultados apresentados na tabela a seguir.

i pHi

1 11,31 0,10

2 11,09 0,12

3 11,10 0,11

4 11,27 0,06

5 11,18 0,03

6 11,32 0,11

7 11,24 0,03

8 11,15 0,06

<pH> =

11,21

O valor médio do pH é

A incerteza no pH como o

desvio padrão da média é dado

por

Portanto, o valor mais provável

do pH é

pH = (11,21 ± 0,03).

Algarismos Significativos

Ao expressar os resultados experimentais medidos é

importante escrever o número correto de algarismos

significativos.

Regras:

• os algarismos significativos de uma medida apresenta apenas o

último algarismo duvidoso;

• o algarismo duvidoso é o que é afetado pela incerteza da medição;

• zeros à esqueda não são significativos;

• zeros à direita do primeiro número não nulo são significativos;

• usar potência de 10 não altera o número de algarismos

significativos.

Algarismos Significativos

Comentários:

• Operações com algarismos significativos:

o adição ou subtração – observa-se a parcela com menor número

de casas decimais;

o Multiplicação ou divisão – observa-se a parcela mais pobre, com

menor número de algarismos significativos.

• Na medição do comprimento do objeto com uma régua graduada em

milímetros do exemplo 1 estimamos a incerteza do tipo A como (7,6 ±

0,1) cm. O seis é o algarismo duvidoso e temos corretamente 2

algarismos significativos.

• Seria errado expressar esse resultado como:

(7,6385 ± 0,1) cm ou (7 ± 0,1) cm ou (7,6385 ± 0,1178) cm.

• É importante observar que o número de algarismos significativos no

resultado é determinado apenas pela incerteza. A incerteza é inerente

ao processo de medição.

Propagação da Incerteza

Quase sempre medimos indiretamente uma grandeza.

Consideremos que uma grandeza Y que não pode ser medida

diretamente e que é uma função f de N outras grandezas X1, X2,

..., XN. Ou seja,

Y = f(X1, X2, ..., XN).

Sejam x1 ± u(x1), x2 ± u(x2), ..., xN ± u(xN) os resultados

independentes das medições das grandezas X1, X2, ..., XN.

O resultado y da medição da grandeza Y é dado por

y = f(x1, x2, ..., xN).

.

A incerteza padrão da medição de uma grandeza obtida

por meio de uma medição indireta é chamada de

incerteza padrão combinada, e é determinada pela

equação

Ou seja, a incerteza padrão combinada da variável y é

igual à raiz quadrada positiva da soma dos quadrados das

incertezas das medições das outras grandezas,

ponderadas pela derivada parcial ao quadrado,

.

Exemplo 8 – Deseja-se medir a potência elétrica P dissipada

por um chuveiro elétrico ligado à rede elétrica. São feitas

várias medições da resistência elétrica R do chuveiro e da

tensão elétrica V da rede. Determinou-se assim, os valores

médio e as incertezas padrão dessas grandezas. Os

resultados são

R = (2,5 ± 0,3) Ω e V = (127 ± 1) Volts.

A potência elétrica dissipada no resistor é dada por P = V2/R, ou seja, P =

1272/2,5 = 6451,6 Watt.

– Como as incertezas em R e em V afetam o resultado da

medição de P?

Vejamos, P = P(R, V) e a incerteza padrão combinada uc(P) da

potência é dada por

Avaliação tipo B

Como P = V2/R, então

, , e

levando os valores numéricos em uc(P)

uc(P) = 781 W.

Então, o resultado para a medição da potência é

P = (6,5 ± 0,8) x 103 W.

Princípio da Incerteza de Heisenberg

No mundo quântico o simples ato de olhar pode alterar

completamente o sistema sob observação. Por exemplo, se

quisermos determinar a posição e o momento (a componente

paralelo à posição) de um elétron, temos que vê-lo. E para vê-lo

precisamos interagir com ele através de fótons. Essa interação

altera o momento do elétron, de modo que você jamais

conseguirá determinar simultaneamente a posição e o momento

do elétrom.

Esse princípio foi elaborado por Heisenberg no final da década

de 20 do século passado, quando a mecânica quântica estava

sendo construída.

Bibliografia CAMPOS, A.A.G.; Alves, E.S.; Speziali, N.L., Física Experimental Básica na

Universidade, 2ª. Ed., Belo Horizonte, Editora UFMG, 2011. ISNB: 978-85-7041-663-6.

VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria dos Erros, 2ª. Ed., São Paulo, Editora Edgard

Blücher, 1996.

Incerteza de Medição, Professora Márcia Russman Gallas, IF-UFRGS,

http://www.if.ufrgs.br/~marcia/medidas.pdf. Acessado em 13/10/2014.

Obrigado!!