FARE MATEMATICA IN CLASSE:

I PROBLEMI

(Brunetto Piochi, Franca Abazia, Rossella Bruno, Giada Giuliani, Francesca

Rammairone, Anna Salvini, Antonella Taddei)

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Il termine “problema” nella prassi didattica, soprattutto italiana, ha assunto una connotazione

ambigua. Solitamente infatti i testi scolastici designano con questo nome una serie di esercizi

(standard, spesso molto simili fra loro, costruiti in serie). Invece, secondo la classica definizione

psicologica (usiamo la formulazione dovuta a G. Kanitza, psicologo di orientamento gestaltista) “un

problema nasce quando un essere vivente, motivato a raggiungere una meta, non può farlo in

forma automatica o meccanica, cioè mediante un’attività istintiva o attraverso un comportamento

appreso. L’esistenza di una motivazione e la presenza, nella situazione problematica, di un

impedimento che non permette l’azione diretta creano uno stato di squilibrio e di tensione nel

campo cognitivo di un individuo spingendolo ad agire per ricostruire l’equilibrio”.

Viene spontaneo chiedersi che motivazione può esserci nel risolvere certi tipi di cosiddetti

“problemi” dei libri di testo ! L’unica reale motivazione può consistere nel dare la risposta per far

contenti l’insegnante o i genitori, prendendo un buon voto, ma non è una motivazione dell’ordine

del sapere o di un interesse personale; e oggi sempre più anche questi tipo di motivazione, pur

insufficiente, sembra venire meno…..

Per superare l’ambiguità, si usa distinguere fra “situazioni problematiche” (i problemi nel senso di

Kanitza) ed “esercizi” (quelli normalmente proposti dai libri di testo)1. Ma questa distinzione si

presta a due fraintendimenti:

da un lato le “situazioni problematiche” vengono identificate in blocco con situazioni concrete e

attività complesse che possano condurre a scoprire concetti o proprietà; da qui una serie di

critiche che enfatizzano la difficoltà di tale approccio;.

dall’altro sembra che vengano sviliti (se non addirittura sconsigliati) gli “esercizi”; non

apportando comprensione di concetti, ma solo fatica e spesso noia, essi sembrano perdere

importanza.

Queste posizioni tuttavia vanno esaminate congiuntamente. Indubbiamente lavorare su problemi

veri da organizzare a partire da situazioni concrete (eventualmente date in forma ludica) e da

analizzare, modellizzare, strutturare, risolvere è il metodo principe per guidare all’apprendimento,

ma non crediamo che sia l’unico: quello che infatti è essenziale è soprattutto riuscire a realizzare un

diverso metodo di proposta. Si tratta di puntare comunque su un approccio che cerchi di coinvolgere

l’allievo in una serie di scoperte e riflessioni collegate ai concetti e alle competenze che

desideriamo offrirgli, proponendogli al contempo occasioni significative per provare a pensare

autonomamente.

1 Per una discussione esauriente e puntuale della differenza fra queste due categorie, si invita a consultare il capitolo 9 del volume “Elementi di Didattica della Matematica”, di B. D’Amore, Pitagora Ed., 2000

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Analogamente, affinché il concetto scoperto con il lavoro appena svolto entri a far parte del

bagaglio di conoscenze dello studente, gli esercizi di consolidamento e rinforzo sono fondamentali.

Non è pensabile impegnare sempre la classe in lavori di più ampio respiro, così come è altrettanto

impensabile non farlo mai.

Si aggiungano poi, per gli studenti a cui ci stiamo riferendo, le difficoltà linguistiche che spesso

impediscono direttamente di comprendere il testo, traducendolo in una sequenza algoritmica e la

bassa autostima che spesso induce a rinunciare a priori a mettersi alla prova.

Le proposte che seguono tentano di rispondere alle esigenze sopra citate, coinvolgendo i ragazzi

stessi in problemi-esercizi che, assai spesso, sono vissute ugualmente come “situazioni

problematiche” proprio per le difficoltà coinvolte e il contesto di lavoro creato2.

COSA È UN PROBLEMA ? COME LO SI RISOLVE ?

IPSIA “Leonardo Da Vinci” di Firenze (docente: Franca ABazia)

“La risoluzione dei problemi non solo serve a dare una profonda e razionale cognizione della

materia, ma serve ad acuire l’ingegno e a dargli la facoltà di penetrare l’interna ragione di tutte le

cose”. R. Descartes

“Poi cercai di riflettere sul da farsi, ma non riuscivo a pensare perché c’erano troppe cose nella

mia testa, così decisi di risolvere un problema di matematica per sgombrare la mente”. M. Haddon

Le pagine che seguono sono state realizzate in parte con l’aiuto di allievi che hanno fatto

un’indagine sui vari dizionari, ma anche ricerche sulla “storia” dei problemi. All'inizio tutti erano

sicuri che risolvere un problema è un compito molto arduo, ma poi si sono appassionati e sapere

che le risoluzioni di problemi sono state vere e proprie sfide tra matematici li ha fatti sorridere.

Naturalmente non è stato possibile affrontare problemi complessi, ma gli alunni, almeno i più

interessati, hanno comunque cercato di mettere in pratica quello che hanno imparato e sembrano

avere meno paura del problema. Questa strategia è diventata per me una regola; la classe,

sentendosi coinvolta, è partecipe e gli alunni fanno a gara per venire alla lavagna a “provare”.

Insomma riescono a mettersi in gioco!

In primo luogo voglio ricordare che i problemi sono vecchi quanto è vecchio il mondo. Infatti in

Egitto e in Mesopotamia circa 3000 anni fa, o forse anche 5000, gli uomini hanno sentito il bisogno

di risolvere quesiti non più elementari: nasce così l’aritmetica come scienza. Sono problemi del

2 Sono comunque state vissute anche situazioni problematiche propriamente dette: si veda ad esempio quanto riferito in altri capitoli di questo volume.

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“mucchio”, che è la traduzione della parola “aha”, che lo scriba egiziano Ahmes, autore del papiro

Rhind, usa per indicare l’incognita x. I problemi devono dare risoluzione a quesiti pratici ma

complessi, come la realizzazione di argini, canali, strutture piramidali che richiedono di operare con

regole di calcolo più adeguate. Le testimonianze che ci sono pervenute sono le numerose tavolette

di argilla babilonesi incise con caratteri cuneiformi e alcuni papiri egiziani che contengono le

“Istruzioni per ottenere la conoscenza di tutte le cose oscure” . Il papiro di Mosca, che è anteriore al

papiro di Rhind di due secoli, contiene 25 problemi ed in particolare riporta le istruzioni per

calcolare il volume di un tronco di piramide a base quadrata e di specifiche dimensioni.

I Babilonesi enunciavano e risolvevano problemi verbalmente, scrivendo solo i passaggi necessari

per arrivare alla soluzione e senza esplicitare quali regole fossero state applicate. I problemi egiziani

di cui abbiamo i testi, sono soprattutto problemi di carattere geometrico, problemi pratici di

misurazione. Tuttavia la curiosità intellettuale, il piacere ludico prendono la mano dello scriba e il

riferimento a figure geometriche diventa solo un pretesto per ottenere relazioni algebriche di

particolare interesse.

In epoca successiva abbiamo testimonianze di numerosi problemi proposti da matematici indiani

come Arya Bhata, Brahmaguta e Bhaskara, i quali spesso usano fantasia e intuizione ma scarso

rigore. Tuttavia essi raggiungono notevoli risultati in campo aritmetico (uso dello zero,

l’introduzione della numerazione posizionale decimale) e in campo algebrico. Aprono anche nuovi

capitoli della matematica come la goniometria. Evidentemente la mancanza di una chiara

impostazione teorica li porta anche a conclusioni errate, ma, il modo disinibito e fantasioso di

Bhaskara gli ha comunque permesso di intuire verità che solo molti secoli dopo hanno caratterizzato

la ricerca scientifica. Da queste testimonianze è chiaro come, anche nei periodi successivi, il

progresso della matematica sia stato spesso determinato dalla necessità di risolvere antinomie e

problemi. Si ricordi il problema studiato da Galileo nella 2a giornata del Dialogo sopra i massimi

sistemi, oppure il problema degli indivisibili di Cavalieri o le problematiche di Fermat, Roberval e

Keplero per determinare particolari aree o particolari volumi. In questo momento mi piace ricordare

anche il problema affrontato e risolto da Vito Volterra (matematico italiano del XX secolo)

sull’eccesso di pesca nei porti del nord Adriatico. All’epoca Volterra era avanti con gli anni, ma

ancora molto attento alle problematiche reali.

Cosa è un problema?

La parola problema deriva dal greco, il cui verbo proballein significa “mettere avanti, proporre” e

significa dunque “questione proposta”

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Sul Grande Dizionario della Lingua italiana Garzanti il vocabolo problema viene definito come :

“Questione in base alla quale si devono trovare uno o più elementi ignoti partendo dagli elementi

noti contenuti nell’enunciato della questione stessa”.

Il Grande Dizionario della Lingua italiana UTET riporta la seguente definizione: “Quesito proposto

alla propria o all’altrui considerazione al fine di trovarne la soluzione, secondo un procedimento

logico, spesso partendo da premesse già contenute nell’enunciato”.

Il Dizionario di Italiano dell’Enciclopedia – Biblioteca di Repubblica lo definisce così: ”Quesito

con cui si chiede di trovare, mediante un procedimento di calcolo, uno o più dati sconosciuti,

partendo dai dati noti contenuti nell’enunciato del quesito stesso”.

Il termine “problema“ richiama alla mente il classico quesito matematico quasi che solo in questo

ambiente sia necessario affrontare situazioni problematiche. In realtà in ambito economico,

organizzativo, professionale e quotidiano siamo chiamati a risolvere problemi di varia natura, da

quelli più elementari a quelli più complessi. Ed allora possiamo dire che siamo di fronte ad un

problema ogni qual volta siamo in grado di riconoscere, senza possibilità di equivoci, dati iniziali e

obiettivi da conseguire.

Come risolvere un problema (cioè come conseguire l’obiettivo)

L’enunciato di un problema non indica un metodo di risoluzione, ma può anche capitare che non

sempre sia chiaro o che contenga dati ambigui; perciò è importante eliminare prima di tutto ogni

dubbio sul significato delle parole e sulla loro interpretazione. È importante anche sapere che un

problema può essere determinato ma anche indeterminato e impossibile.

Per la risoluzione di un problema si devono percorrere le seguenti tre fasi:

a) ANALISI: si evidenzia l’obiettivo cioè lo scopo del problema; si definiscono i dati iniziali, le

condizioni a cui devono sottostare e le relazioni con i dati finali. Non sempre l’obiettivo da

raggiungere è la ricerca di un dato numerico, ma può essere la verifica della validità di

un’affermazione come nel caso di dimostrazione geometriche.

b) COSTRUZIONE DELLA PROCEDURA RISOLUTIVA (MODELLIZZAZIONE): si individua

la sequenza di passi che devono essere percorsi per giungere a determinate soluzioni passando

dal linguaggio naturale al linguaggio simbolico

c) ESECUZIONE (FORMALIZZAZIONE). Si mette in atto la sequenza di azioni individuate

dalla costruzione della procedura per arrivare ai dati finali cioè gli elementi che sono

espressione del conseguimento dell’obiettivo del problema.

Le fasi (a) e (b) sono compito specifico dell’ingegno umano, mentre la fase (c) può essere affidata

ad una calcolatrice, ad un computer e quant’altro.

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Quando viene richiesto di risolvere un problema, molti alunni sono portati a pensare che sia

sufficiente applicare formule e regole in modo corretto.

Non esiste un metodo generale seguendo il quale sia possibile risolvere ogni problema. Si può

procedere per tentativi, come spesso accade anche nella vita quotidiana, scegliendo una soluzione a

caso o perché ci sembra la più corretta.

Un approccio istintivo e non ragionato porta a provare per tentativi: se ad una verifica il valore

trovato “funziona”, allora abbiamo risolto il problema, in caso contrario cerchiamo un altro valore,

riproviamo, e così via. Questo procedimento risolutivo non sempre risulta efficace ed idoneo per

determinare la migliore soluzione; perciò è importante trovare un metodo di analisi capace di

ottimizzare tale procedimento per individuare la soluzione migliore e possedere una metodologia

sistematica di lavoro che permetta di sfruttare le esperienze e le conoscenze acquisite oltre a

dirigere le capacità intuitive. La risoluzione di un problema risulta facilitata se è supportata da un

ragionamento logico, perciò è conveniente creare uno schema di riferimento che contenga tutte le

informazioni a disposizione.

Un problema può essere complesso, ridondante di dati, per cui il processo risolutivo va ricercato fra

i tanti possibili. Si rende necessario individuare la soluzione chiarendo la meta che si intende

raggiungere e scendere passo passo nella scomposizione del problema fino a scegliere, fra i dati

disponibili, quelli utili (metodo TOP- DOWN). Quindi un problema complesso viene scomposto in

sottoproblemi più semplici che alla fine verranno correlati tra loro. Il processo di scomposizione

termina quando si perviene a sottoproblemi la cui soluzione è immediata (o almeno unica) o per lo

meno semplice. In questo modo è possibile focalizzare l’attenzione solo su un singolo

sottoproblema, riducendo le difficoltà da affrontare. Si tenta di costruire uno schema teorico, un

modello, che descriva la situazione reale e che dalla situazione di partenza, attraverso un necessario

processo di astrazione viene semplificata, rappresentata e formalizzata solo nei suoi dati essenziali

utili per raggiungere la soluzione del problema. Si vuole arrivare quindi a definire un modello la cui

costruzione abbastanza pertinente permetta di conseguire l’obiettivo che ci siamo prefissati. In ogni

campo che implichi un’attività di progettazione i modelli ricorrono molto spesso poiché permettono

di riprodurre le caratteristiche degli oggetti e dei processi reali eliminando gli elementi che

potrebbero essere fuorvianti o di disturbo.

La struttura e la complessità del modello dipendono dallo scopo per cui viene costruito ed esso deve

contenere tutti gli elementi significativi e le relazioni che li legano per la schematizzazione della

situazione reale. Allora possiamo definire modello della situazione, relativo al problema in esame,

una rappresentazione semplice del quesito che contenga tutti e soli gli elementi che si ritengono

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soggettivamente determinati per risolvere il problema. Di fronte a difficoltà di risoluzione è

opportuno anche capire di dover cambiare modello di riferimento, che ci permette di individuare

aspetti nuovi del problema per poter arrivare alla soluzione.

I modelli più comuni che possiamo prendere in esame per risolvere i problemi in cui ci imbattiamo

a scuola sono i seguenti:

A) In molti casi ci capita di lavorare con i numeri naturali (sono problemi che in genere gli alunni

hanno difficoltà a risolvere). Può essere utile ricordarsi e applicare concetti come quelli di

M.C.D. e m.c.m. …

B) Spesso è possibile risolvere un problema mediante un modello formalizzabile attraverso

un’EQUAZIONE o DISEQUAZIONE: occorre individuare chiaramente i dati del problema e i

risultati richiesti, scegliere l’incognita e individuare l’insieme numerico a cui deve appartenere,

tradurre il problema in equazione, risolvere l’equazione, discutere la o le soluzioni trovate

verificandone la compatibilità con le eventuali limitazioni poste dal testo del problema.

C) Un problema dall’enunciato piuttosto complesso può essere rappresentato e risolto con l’uso di

opportuni diagrammi. Ne ricordiamo due tipi, che in genere gli studenti hanno già avuto modo

di incontrare ai livelli scolastici precedenti:

DIAGRAMMI DI EULERO- VENN. Le difficoltà maggiori sono in questo caso spesso

legate alla complessità del significato di alcuni termini, come complessivamente, almeno,

solo, esclusivamente. Nel contesto insiemistico solo ed esclusivamente complessivamente e

almeno si equivalgono; complessivamente rappresenta il totale degli elementi e almeno il

totale degli elementi che hanno almeno una delle proprietà caratteristiche,...

ALBERO, formato da varie caselle: quella più in alto è detta radice da cui se ne dipartono

le altre dette foglie che vengono riempite con un dato o un’incognita. Ogni casella

rappresenta un’azione necessaria per conseguire l’obiettivo del problema. Per risolvere il

problema bisogna risalire l’albero a partire dal dato noto, fino alla radice e poi ridiscendere

fino alle foglie inserendo in ogni nodo i valori numerici.

D) A volte occorre costruire un ALGORITMO (procedura) che descrive una successione ordinata

di azioni da compiere per raggiungere un determinato scopo. Un algoritmo deve possedere

alcune proprietà:

1. deve potersi applicare ad informazioni di vario tipo, genere e quantità

2. deve portare ad un risultato ragionevole se la scelta dei dati è corretta

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3. le regole che lo formano devono essere chiare per tutti e precise dando esatte

indicazioni sull’ordine con cui le azioni devono essere eseguite e sulle condizioni a cui

devono sottostare

4. deve essere finito e completo risolvendo non un solo problema ma classi di problemi.

Da tutto ciò le seguenti caratteristiche che indicano con termini specifici le qualità che

l’algoritmo deve possedere: terminazione, precisione, input, output, effettuabilità, finitezza,

eseguibilità.

E) Sicuramente per problemi di carattere geometrico il modello più vicino alla realtà è la figura

geometrica: come in genere si dice, figura corretta metà problema risolto!

Se i modelli adottati sono corretti vi è accordo tra dati iniziali e finali e quindi si può utilizzare il

modello per risolvere il problema

È utile anche riuscire ad individuare somiglianze con altri problemi di cui conosciamo il

procedimento risolutivo. [“Ciascun problema che ho risolto è diventato una regola che è servita poi

a risolvere altri problemi.” R. Descartes ]

PROBLEMI LEGATI ALLE MATERIE PROFESSIONALI

IPSAAR “G. Vasari” di Figline (docente Gianna Rossi)

L’attività che presento a è stata pensata per ragazzi di una classe prima di un Istituto professionale

ad indirizzo alberghiero; considerato lo scarso interesse manifestato da diversi alunni per lo studio

della matematica e constatata la scarsa volontà di impegnarsi nell’esame di argomenti ritenuti

troppo astratti e non necessari per il loro futuro professionale, si è tentato di contestualizzare

alcune parti del programma legandole a situazioni concrete per motivare l’apprendimento di

questa materia.

I ragazzi hanno realizzato nel laboratorio di cucina la ricetta “Pasta Genoise”, riportata nel loro

libro di testo; si tratta di una pasta base per torte.

PASTA GENOISE

INGREDIENTI: PROPORZIONI PER 1800 g.

15 uova intere

500 g di zucchero

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400 g di farina

200 g di fecola di patate

1 bustina di vanillina

100 g di burro fuso

Le dosi indicate consentono di riempire 4 stampi di 24 cm di diametro.

Durante l’ora di matematica ho proposto loro il seguente problema:

Quanto costa realizzare la ricetta? Come variano le dosi e i costi a seconda delle necessità?

Gli alunni si sono informati riguardo al costo degli ingredienti presso vari negozi; stabilito in classe

quali valori prendere in considerazione, a ciascun ragazzo è stato dato un foglio con la ricetta e con

i seguenti prezzi:

- una confezione di sei uova costa 1,20 €

- 1 kg di zucchero costa 0,70 €

- 1 kg di farina costa 0,80 €

- 1 kg di fecola di patate costa 0,95 €

- una confezione di 6 bustine di vanillina costa 1,60 €

- un panetto di burro da 1,25 hg costa 0,80 €

Ciascun ragazzo doveva rispondere in forma scritta alle seguenti domande (alcuni hanno preferito

lavorare in coppia):

1. Quanto costa realizzare la ricetta ?

2. Quanto costano gli ingredienti utilizzati per ciascuno stampo?

3. Se per una festa devi realizzare 10 stampi di pasta genoise, quanti ingredienti occorrono?

Quanto costano in tutto?

All’inizio c’è stato un disorientamento quasi totale (solo il 10% ha compreso subito cosa fare);

alcuni sembravano quasi disperati: Il disorientamento si è manifestato attraverso domande riferite al

contratto didattico (“Lei non può darci esercizi da fare senza prima averli spiegati!” ; “ Perché

dobbiamo fare questi calcoli !?”; ”Non può darci esercizi così difficili, è meglio fare le equazioni”)

oppure legate al contesto (“1 kg di zucchero costa 0,70 € ma nella ricetta ne occorrono 500 g ;

come si fa a calcolare il costo dello zucchero utilizzato? Mettiamo nel costo della ricetta 0,70 € e

buttiamo via ciò che non utilizziamo ?”; “I prezzi sono al chilo, nella ricetta ci sono i grammi;

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cosa c’entrano i chili con i grammi?”; “Con i chili, gli etti, i grammi non ci ho mai capito

niente…”).

Anche le spiegazioni che via via cercavo di dare non sempre risultavano efficaci, anzi a volte

parevano controproducenti. Se dicevo “500 g sono mezzo chilo quindi….” sembravo peggiorare le

cose perché l’espressione “mezzo chilo” in questo contesto li disorientava ancora di più. A un certo

punto, per spiegare meglio, ho scritto alla lavagna “1 kg = 10 hg” e una ragazza (peraltro

abbastanza brava nella risoluzione di equazioni) mi ha chiesto quasi disperata “cosa vuol dire

accagi…?”. Quando ho domandato a un ragazzo abbastanza bravo: “ Ma quando in cucina il

professore dice ad esempio ‘prendi 200 g di zucchero’, come fai se non sai cosa sono gli etti e i

grammi?”, la sua risposta vale più di tante considerazioni sull’estraneità reciproca dei diversi

saperi: “butto lo zucchero sulla bilancia e mi fermo quando leggo 200”

Si è presentata così l’opportunità di ripassare gli argomenti in questione, collegandoli con attività

reali e concrete da approfondire nel laboratorio di cucina con l’uso degli strumenti appropriati.

Per rispondere alla terza domanda alcuni hanno individuato strade pratiche (le dosi della ricetta

sono indicate per 4 stampi quindi per 10 stampi occorrono due dosi e mezzo, stesso discorso si può

fare per i costi…); altri hanno pensato alle proporzioni e questo ha dato l’opportunità di ripassare

tale argomento.

Successivamente, considerata la ricetta base, è stato interessante conoscere la percentuale dei vari

ingredienti, ad esempio la percentuale dello zucchero rispetto alla farina, per confrontarla con quella

di altre ricette. In questo modo è stato ripreso e approfondito l’argomento percentuali.

Passato il disorientamento iniziale, i ragazzi hanno mostrato grande coinvolgimento. L’attività ha

suscitato interesse ed ha coinvolto anche alunni generalmente demotivati e poco partecipi.

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PROBLEMI E EQUAZIONI

Spesso i problemi proposti dai libri di testo sono risolvibili impostando e risolvendo una semplice

equazione. Questo procedimento è però ostico per molti ragazzi: vale dunque la pena farne oggetto

di un lavoro specifico. Qui presentiamo due diverse esperienze in tale direzione.

IPSAAR “Vasari” di Figline classe (docente Francesca Rammairone)

Abbiamo preparata e distribuita una scheda che è servita in classe per mettere a fuoco il lavoro e

la tecnica conseguente, Riportiamo qui di seguito una parte di tale scheda (il testo completo è

reperibile fra i materiali multimediali: scheda_problemi_equazioni_1).

Può essere bene utilizzare una tabella con due colonne, nella prima colonna scrivere le parole e

nella seconda i simboli corrispondenti; procedendo in questo modo nell’ultima riga si trova

l’equazione associata e in ogni riga c’è la parola e l’operazione corrispondente…

ESEMPIO

LA PIZZA

La pizzeria sotto casa il lunedì propone uno sconto di 1€ sulla margherita rispetto al prezzo del

sabato: Con la stessa somma posso mangiare 6 pizze il lunedì e 5 pizze il sabato. Quanto costa la

pizza il sabato?

Bisogna cominciare a capire quale deve essere l’incognita:

Posso scegliere come incognita x la pizza del lunedì allora la pizza del sabato sarà x+1. Allora se 6

pizze del lunedì costano quanto 5 pizze del sabato ho trovato l’equazione 6x=5(x+1). Possiamo

schematizzare questo problema nel modo seguente:

Pizza del lunedì x

Pizza del sabato x+1

Sei pizze del lunedì costano quanto 5 pizze il

sabato

6x=5(x+1)

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IPSIA “Leonardo da Vinci” di Firenze (docente Anna Salvini)

Una risposta alla classica domanda “a cosa serve la matematica?” può essere quella di motivare

lo studio dell’algebra con una unità trasversale legata alla risoluzione dei problemi; sulla base di

questa ipotesi ho impostato il programma del secondo anno.

Dopo un ripasso degli argomenti svolti in prima, ho iniziato una serie di attività finalizzate alla

risoluzione dei problemi con un’equazione di primo grado.

Nella prima fase ho utilizzato problemi di geometria, riallacciandomi al lavoro svolto nel primo

anno: calcolo di aree e perimetri però con i dati in forma letterale, come nel seguente esempio :

Perimetro =x Area =

2x + 5 cm

Qualche allievo ha mostrato subito qualche perplessità per il fatto di non avere i dati numerici ma

poi quasi tutti hanno capito di dover semplicemente svolgere dei calcoli con le lettere.

Successivamente, sempre partendo dai dati rappresentati in figura, abbiamo affrontato il problema

di trasformare una certa espressione in un’equazione:

1) Utilizzando i dati in figura, esprimi il perimetro in forma di

espressione in x:

Perimetro = …………………………………

2) Il perimetro misura 36 cm. Uguaglia l’espressione ricavata al

punto (1) al valore del perimetro:

……………………………….. ….. = 36

3) Hai ottenuto un’equazione; risolvila e trova il valore di x, cioè la misura del cateto

minore.

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Cateto minore = ……………

A questo punto le esercitazioni sono state indirizzate alla sviluppo delle capacità di trasformare frasi espresse nel linguaggio normale in espressioni e successivamente in equazioni:

121

x

Scrivi in forma di espressione (come nell’esempio)

La somma di x e 15 x + 15

il doppio di x aumentato di 12

la differenza fra 15 e il doppio di x

il triplo della somma fra x e 6 ecc.

Osserva l’esempio e scrivi in forma di equazione le frasi proposte, risolvi e trova il valore di x che

verifica l’affermazione:

1) la somma di x e 15 è uguale a x + 15 =

3x + 45 = 52 3x = 52 – 45

3x = 7 da cui x =

2) il doppio di x aumentato di 12 è uguale 17

3) la differenza fra 15 e il doppio di x è uguale a – 3

4) il triplo della somma fra x e 6 è uguale a 42

Nonostante la schematicità delle frasi, vari allievi hanno richiesto ulteriori spiegazioni, ma avendo

proposto queste attività su schede, è stato possibile intervenire singolarmente sugli studenti in

difficoltà.

Nel periodo dedicato a questo argomento, si è inserito il primo intervento in aula del tutor con

attività legate all’aspetto ludico della matematica, con giochi di “ magia” la cui spiegazione si basa

su strutture di calcolo letterale ed equazioni (indovinare un numero, indovinare la data): si veda il

resoconto dell’attività nel capitolo sul Calcolo in questo stesso volume.

L’interesse è stato mediamente positivo ma solo alcuni hanno cercato veramente di comprendere il

“trucco” e nessuno ha seguito l’invito a costruire a casa giochi simili.

Successivamente siamo passati ad attività finalizzate alla comprensione del testo di un problema,

per mezzo di domande che ne permettessero un’analisi, fornendo indicazioni per la ricerca dei dati e

per impostare le strategia risolutiva:

Risoluzione di un problema con equazione di primo grado in un’incognita

Problema

(tratto da “Materiali per il docente”: Cassina-Bondonno. “L’ora della matematica”. Ed. Paravia)

Una ditta che produce asciugamani sostiene mensilmente delle spese fisse pari a 4000 euro. Per

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ogni asciugamano prodotto, messo in vendita a 12 euro, si spendono 4 euro di materie prime e

manodopera. Quanti asciugamani deve vendere la ditta mensilmente per pareggiare il bilancio?

Rispondi e risolvi:

1) Qual è la spesa fissa mensile per la produzione degli asciugamani?…………………

2) Quanto si spende di manodopera e materia prime per ogni asciugamano?…………

3) Se indichi con x il numero degli asciugamani prodotti in un mese,quale espressione

corrisponde alla spesa totale di produzione? …………………………………………….

4) Se ogni asciugamano è venduto a 12 euro e x indica il numero degli asciugamani prodotti e

venduti, quale espressione indica il ricavo totale? …………………………..

5) Se la ditta va in pareggio, come devono essere la spesa e il ricavo mensili? ………..

6) Traduci in un’equazione la deduzione che hai fatto al punto (5), utilizzando le espressioni

ricavate al punto (3) e (4). ……………………………………………………

7) Risolvi l’equazione e avrai risolto il problema

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

numero asciugamani prodotti = ………………….

Naturalmente le difficoltà sono aumentate e sebbene molti si siano impegnati, però poi solo alcuni

allievi hanno raggiunto risultati soddisfacenti. Tuttavia l’interesse è stato generalmente

soddisfacente, soprattutto con problemi, come quello proposto nell’esempio, che avessero un

qualche aggancio con la realtà. Sarebbe utile che nei libri di testo, indirizzati agli istituti

professionali, ne venissero forniti un maggior numero.

Nei materiali multimediali allegati sono riportati (scheda_problemi_equazioni_2) i testi completi

delle varie esercitazioni svolte in classe.

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CAMPIONATO DI PROBLEMI

IPSAAR “G. Vasari” di Figline (docente Rossella Bruno)

Per coinvolgere i miei alunni ho proposto una specie di “Campionato di problemi matematici” con

relativo premio finale a cui erano (obbligatoriamente !) iscritti tutti gli alunni delle mie classi

prime…

Uno dei motivi che mi ha spinto a proporre ai ragazzi i giochi matematici è quello di volerli valutare

su abilità diverse in modo da equilibrare la mia valutazione finale.

Inoltre credo siano molto importanti in quanto:

- Stimolano la ricerca della soluzione non attraverso algoritmi precostituiti, ma permettendo

un approccio personalizzato

- Permettono l’instaurazione in classe di un clima disteso e perciò didpongono gli studenti

all’apprendimento attivo

- Sviluppano una competizione positiva che, favorisce l’apprendimento collaborativo e la

condivisione delle competenze.

I giochi proposti, tratti da varie fonti e riferibili ai più diversi contesti, erano espressi in forma

verbale ma ho cercato di ridurre al minimo le difficoltà linguistiche, facendo anche ricorso ove

possibile a rappresentazioni o diagrammi.

Di seguito riporto tre esempi dei quesiti proposti (la sequenza completa è allegata fra i materiali

multimediali: Campionato_giochi_matematici.doc) e le osservazioni di alcuni studenti (non quelli

con le valutazioni più alte…) che confermano l’accoglienza positiva e la valenza di una attività

simile.

ESEMPI DI PROVE DEL CAMPIONATO

Una bottiglia di latte

Una bottiglia di latte costa 2 euro. Il latte costa 1,50 euro più della bottiglia. Quanto costa la

bottiglia?

A) 0,05 euro

B) 0,10 euro

C) 0,25 euro

D) 0,50 euro

Indica la lettera corrispondente alla risposta corretta

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Metis-Scavolini

Nell'ultimo campionato di basket, la Metis Varese ha battuto la Scavolini Pesaro con il punteggio

di 53 a 39. Come si sa, in una partita di basket si possono fare canestri da 1 punto, da 2 punti o da 3

punti. Nel corso della partita, sono stati realizzati 11 canestri da 3 punti e 11 tiri liberi da 1 ddnto.

Quanti canestri da 2 punti sono stati fatti?

Sei numeri da piazzareSistemate i numeri da 1 a 6 nei dischi, in modo che i tre allineamenti di tre numeri diano la stessa

somma.

Qual è il prodotto dei tre numeri situati al centro?MUSICA

Alcune osservazioni degli alunni sull’attività

Niccolò scrive: ......”Sarei contento di poterli fare anche quest’anno perché questi giochi ti aprono

la mente, ti fanno ragionare. Credo davvero che siano utili, è anche un modo per fare matematica

più piacevole oltre ad essere molto divertenti”

Alberto scrive: .........” La mia impressione sul campionato di giochi matematici è positiva sia

perché era più semplice rimediare o aumentare il voto, sia perché in base al nostro impegno nello

svolgere il compito si vedeva chi aveva un cervello allenato ad affrontare i problemi di tutti i

giorni.”

Matteo scrive: .........” La mia coppia era formata da me e da una ragazza che era una delle più

brave della classe e per questo “pensavo” che era parecchio brava e allora ero molto tranquillo,

poi ho scoperto che in logica non era brava per niente e da quel giorno ho anche scoperto che io ho

molta logica ma non mi impegno. Insomma questi giochi mi sono piaciuti.”

Azzurra scrive:........”Questo progetto è stato interessante e coinvolgente, anche se la matematica

ed io non andiamo tanto d’accordo. Per me i giochi sono stati un po’ difficili; erano tutti giochi di

logica, dovevo ragionare con il cervello, è stata un’impresa”

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Ardenisa scrive:.........”Erano molto divertenti e carini e in questo modo abbiamo avuto la

possibilità di conoscerci meglio con i compagni e di lavorare con la prof anche se io ero una

frana”

PROBLEMI IN LINGUA INGLESE

ITC “Galilei” di Firenze (docente Antonella Taddei)

Alla classe sono stati proposti problemi in lingua inglese tratti dagli esami finali che si svolgono

nel Regno Unito, problemi facilmente reperibili tramite Internet. Nell’affrontare i problemi in

lingua inglese non sono certo migliorate le competenze matematiche dei ragazzi; è invece

aumentata l’attenzione riguardo all’interpretazione del testo e alle domande poste. Sarebbe

ovviamente stata molto utile una collaborazione continua del docente di lingua fin dalla

progettazione e magari una compresenza in fase di realizzazione dell’attività: questo avrebbe

sicuramente aumentata l‘efficacia della proposta.

Spesso nel risolvere un problema i ragazzi pensano a delle operazioni da svolgere senza poi

chiedersi se il risultato sia la risposta al problema.

Nel momento in cui si traduce un testo, che non è mai troppo difficile, automaticamente ci si chiede

se la traduzione ha un senso compiuto e si focalizzano maggiormente le domande.

Devo però dire che alcuni ragazzi non hanno gradito questi quesiti in lingua inglese ed hanno

attribuito il loro insuccesso alla difficoltà nel comprendere in italiano i testi proposti.

Di seguito due esempi dei problemi proposti (la lista completa è nel materiale multimediale:

problemi_inglese.doc).

Problem 1

Alan Barry and Colm each bought a ticket for a concert.

Barry paid €5 more than Alan for his ticket.

Colm paid twice as much as Barry.

Alan’s ticket cost € x.

(i) Write an expression in x for the price that Barry paid.

(ii) Write an expression in x for the price that Colm paid.

(iii) Given that the total paid out by the three friends was €95,

how much did Alan pay?

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Problem 2

Liam drove from Town A to Town B, a distance of x km.

He then drove from Town B to Town C, a distance of (2x + 1) km.

The total distance that he drove was 56 km.

Find the value of x, correct to the nearest kilometer.

PROBLEMI E RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

ITC “Galilei” di Firenze (docente Antonella Taddei)

Ci è sembrato opportune sperimentare una modalità di approccio ai problemi che da un lato

potesse aumentare la motivazione degli studenti, mostrando un collegamento con questioni

concrete, dall’altro coinvolgesse un approccio di geometria analitica, contribuendo a rinforzare

anche il tipo di competenze ad essa collegato.

I problemi di scelta si presentano come un candidato naturale a questo tipo di questioni. Anche se i

programmi li prevedono in classi successive, essi offrono la possibilità di lavorare

contemporaneamente su due registri diversi (grafico e numerico) rinforzando il collegamento e

aiutando gli alunni a riflettere sui diversi stili cognitivi sottintesi. Alcuni semplici esempi sono stati

perciò affrontati, riscontrando un interesse da parte degli studenti, che ha compensato in gran parte

le oggettive difficoltà intrinseche nella proposta.

Di seguito un esempio dei problemi affrontati, mentre la lista completa è riportata fra i materiali

multimediali (file problemi_di_scelta.doc):

Una Ditta deve spedire una certa quantità di gadget e ha chiesto il preventivo di spesa a due

agenzie di trasporti, che dovrebbero ritirare la merce presso la sede e poi consegnarla ai

destinatari . Le relative tariffe sono le seguenti:

Agenzia 1: Costo fisso per il ritiro € 50 + 3 € a pacco per la consegna

Agenzia 2 : Costo fisso per il ritiro € 45 + 4 € a pacco per la consegna

Determinare quale è la soluzione più conveniente per la Ditta. ?

Risoluzione: Ci sono due possibilità:

1) Se conosciamo esattamente quanti sono i pacchi da consegnare in tal caso la risposta è

immediata. Infatti se n è il numero di pacchi i due costi risultano

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C1(n)= 50+3n

C2(n)= 45+4n

Dal confronto si sceglie la soluzione più conveniente, quella cioè che comporta il costo minore per

la Ditta.

2) Se non conosciamo esattamente il numero di pacchi da trasportare è opportuno risolvere il

problema in modo generale. Per questo rappresentiamo nello stesso sistema di riferimento i grafici

relativi alle due tariffe cioè i grafici delle rette

y1= 50+3x

y2= 45+4x

Per disegnarle attribuiamo due valori arbitrari a x e ricaviamo i corrispondenti valori delle y, in

modo da tracciare i grafici delle due rette.

Guardiamo i due grafici e descriviamo la situazione, cercando di capire per quale numero di pacchi

conviene l’Agenzia 1 e per quale conviene servirsi dell’Agenzia 2.

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