60
Logica Veronica Gavagna

Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

  • Upload
    phamthu

  • View
    243

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Logica

Veronica Gavagna

Page 2: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Il linguaggio comune

Ambiguità

• Nel mio giardino ci sono gigli e garofani bianchi.

• Direttore, Luca se la spassa con sua moglie

• Gli uomini e le donne che hanno compiuto il 25° anno di età.

• La vecchia porta la sbarra.

• L’accoglienza di Gianni è stata festosa.

Page 3: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Il linguaggio comune

Contestualizzazione

• Luigi ha tagliato la corda.

• Ho visitato Roma con una guida.

• Oggi Mario non è tornato a casa ubriaco

• L’auto di Gianni è bella e veloce/ L’auto di Gianni è bianca e rossa

Page 4: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Scuola primaria

…L’educazione logica, più che oggetto di insegnamento esplicito e formalizzato, deve essere argomento di riflessione e di cura continua dell’insegnante…

Bisogna prestare attenzione continua al linguaggio.

Page 5: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Logica degli enunciati («livello adulto»)

Definizione di enunciato o proposizione

(1)Affermazione della quale ha senso chiedersi se sia vera o falsa in un determinato universo linguistico.

(2)Affermazione della quale si può dire se sia vera o se sia falsa (più restrittiva) in un determinato universo linguistico.

Page 6: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Sono enunciati (atomici)?

• Aldo ha un nome di 4 lettere.

• Dante Alighieri è un noto cantautore.

• Ferrara è una città dell’Emilia-Romagna.

• Addiziona 5 e 3.

• Stai dormendo?

• 2+2=4

• Franco e Roberto sono fratelli.

Page 7: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Sono enunciati?

• Gabriella è simpatica

• n è un numero pari

• Il gatto ha gli stivali

Si tratta di forme proposizionali o proposizioni aperte o predicati.

Page 8: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Sono enunciati?

• La democrazia è il miglior sistema politico esistente

• Bere vino fa bene alla salute.

• Omero è l’autore dell’Iliade.

Principio di bivalenza (logica classica)

A un enunciato possiamo associare i soli valori di verità: VERO / FALSO

Page 9: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Gioco del vero e del falso R.Smullyan, Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli Bologna 1981

In un’isola esistono i CAVALIERI che dicono sempre la verità e i FURFANTI che non la dicono mai. Un esploratore sbarca sull’isola e chiede al primo che incontra:

«Tu sei un cavaliere?»

E’ una buona domanda? E se chiedesse «Tu sei un furfante?» otterrebbe informazioni diverse?

Page 10: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Smullyan - 2

• A e B sono due abitanti dell’isola. A dichiara: «B è un furfante». B aggiunge «Siamo tutti e due cavalieri». Cosa sono A e B?

• Prima ipotesi: A cav, B furf : compatibile

• Seconda ipotesi: A furf B cav: incompatibile

Page 11: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Smullyan - 3

A dice: «Siamo due furfanti». Cosa sono A e B?

- A cav. : incompatibile

- A furf. B cav.: compatibile

A afferma «Io sono un furfante»

- A cav: incompatibile

- A furf. incompatibile

Page 12: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

I connettivi

E’ un particolare elemento linguistico che collega due proposizioni.

Qualora si considerino due o più proposizioni legate da connettivi, si ottiene ancora una proposizione.

Il valore di verità di una proposizione composta dipende dal valore di verità delle proposizioni componenti (verofunzionalità).

Page 13: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Il connettivo e (congiunzione)

Roma è la capitale d’Italia e 4 è minore di 2

a) Vera

b) Falsa

c) Metà vera e metà falsa

d) Né vera né falsa

e) Priva di senso

Page 14: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Il connettivo e

Se sarai promosso ti regalerò il pallone e un videogioco.

Se regalo solo il pallone ho mantenuto la promessa?

Page 15: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Il connettivo e

Una proposizione è vera se e solo se sono vere le proposizioni che la compongono.

[Roma è la capitale d’Italia] e [4 è minore di 2]

A=[Roma è la capitale d’Italia] VERA

B =[4 è minore di 2] FALSA

A e B FALSA

Page 16: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Tabella di verità del connettivo e

A

B

A e B (A ᴧ B)

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Page 17: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Attenzione!

Nel linguaggio naturale la congiunzione e non ha sempre lo stesso significato che ha in logica.

La maglia dell’Inter è azzura e nera

NON SIGNIFICA

La maglia dell’Inter è azzurra e la maglia dell’Inter è nera

Page 18: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Esempi

Roma è in Italia e 3 è un numero primo

Roma e Livorno sono in Italia

Paolo e Francesca sono fidanzati.

10 è un numero pari, ma non è un multiplo di 4

Page 19: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Il connettivo o (disgiunzione)

In logica ha il significato di doppia possibilità, non di alternativa (o inclusivo).

Nel linguaggio comune

1. Possono salire in ascensore i bambini maggiori di 12 anni o accompagnati da un adulto.

2. Domani arrivi puntuale o ti licenzio.

3. O si mangia o si dorme.

Page 20: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Il connettivo o

Una proposizione formata da proposizioni collegate da disgiunzioni è vera se almeno una delle proposizioni è vera.

[Roma è la capitale d’Italia] o [4 è minore di 2]

A=[Roma è la capitale d’Italia] VERA

B =[4 è minore di 2] FALSA

A o B VERA

Page 21: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Tabella di verità del connettivo o

A

B

A e B (A v B)

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Page 22: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Torniamo ai furfanti…

X dice: «Io sono un furfante e 3+3=9» Cosa è X?

[Io sono un furfante] e [3+3=9]

B è sempre falsa: A e B è sempre falso, dunque X è un furfante

Page 23: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

La negazione (non)

A rigore non è un connettivo perché agisce su una sola proposizione.

Cambia il valore di verità.

Il cavallo è un mammifero VERA

Il cavallo non è un mammifero FALSA

Page 24: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Tavola di verità della negazione

A

Non A (¬ A)

V

F

F

V

Page 25: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Attenzione!

La negazione non è sinonimo di contrario

Tutti i milanesi tifano Inter

Nessun milanese tifa Inter (contrario)

Almeno un milanese non tifa Inter (negazione)

Page 26: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Attenzione!

I poligoni regolari hanno tutti gli angoli e i lati uguali.

La negazione non è

«i poligoni (irregolari) hanno tutti gli angoli e i lati diversi»

ma «i poligoni (irregolari) hanno almeno un angolo e un lato diverso».

Page 27: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

La doppia negazione

In logica, la negazione di una negazione è un’affermazione. Se A è un enunciato

non (non A) = A

Non è vero che non hai vinto la corsa

= (logicamente equivalente a)

Hai vinto la corsa

Page 28: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

E nella lingua comune?

A= Non c’è nessuno in questa stanza

Linguaggio comune: Nella stanza non ci sono persone

Logica: C’è qualcuno in questa stanza

Logicamente equivalente ad A: Non c’è alcuno in questa stanza

Page 29: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Proprietà commutativa di e ed o Calcolo delle proposizioni

Lucca è una citta e l’Umbria è una regione.

L’Umbria è una regione e Lucca è una città.

Ho la tosse e il raffreddore

Ho il raffreddore e la tosse

Riempio la piscina e faccio un tuffo

Faccio un tuffo e riempio la piscina (?????)

Lavo la mela e la sbuccio.

Sbuccio la mela e la lavo. (????)

Page 30: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

In logica il connettivo e è commutativo?

A

B

A e B

B e A

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

A e B è logicamente equivalente a B e A

Page 31: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

In logica il connettivo o è commutativo?

A

B

A o B

B o A

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

A o B è logicamente equivalente a B o A

Page 32: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Proprietà associativa di e

Nella seconda guerra mondiale gli Stati Uniti erano alleati con la Francia, oltre ad essere alleati con la Russia e l’Inghilterra.

A e (B e C)

Nella seconda guerra mondiale, gli Stati Uniti erano alleati con la Francia e la Russia, oltre che con l’Inghilterra.

(A e B) e C

Page 33: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Proprietà associativa di e e o

A B C B e C A e (B e C) A e B (A e B) e C

V V V V V V V

V V F F F V F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V V F F F

F V F F F F F

F F V F F F F

F F F F F F F

A e (B e C) eq. (A e B) e C Verificare che A o (B o C) eq. (A o B) o C

Page 34: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Proprietà distributiva

Verificare con le tavole di verità le seguenti relazioni:

(A e B) o C eq. (A o C) e (B o C)

(A o B) e C eq. (A e C) o (B e C)

A colazione prendo una brioche e il caffè oppure il the.

A colazione prendo una brioche e il caffè oppure il the.

Page 35: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Negazione di una congiunzione

Maria: «Sei stato a Roma con Giulia!!»

Antonio: «Non è vero!»

Può sentirsi rassicurata Maria?

NO: Antonio può essere stato a Firenze con Giulia o a Roma con Cristina …

Page 36: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Negazione di una congiunzione

La mia lavatrice è a basso consumo ed economica.

Non è vero che la mia lavatrice è a basso consumo ed economica.

significa

La mia lavatrice non è a basso consumo oppure non è economica

Page 37: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Usiamo la tabella di verità

A B A e B non (A e B)

non A non B (non A) o (non B)

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

non (A e B) eq. (non A) o (non B)

La mia lavatrice è a basso consumo ed economica

NEG: La mia lavatrice non è a basso consumo o non è economica.

Page 38: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Negazione di una disgiunzione

La torta è con il cioccolato o con le mandorle

Non è vero che la torta è con il cioccolato o con le mandorle

La torta non è con il cioccolato e nemmeno con le mandorle.

Page 39: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Usiamo la tabella di verità

A B A o B non (A o B)

non A non B (non A) e (non B)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V

non (A o B) eq. (non A) e (non B)

La mia lavatrice è a basso consumo o economica

NEG: La mia lavatrice non è a basso consumo e non è economica.

Page 40: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Esempi

Silvia e Sara vanno alla festa.

Silvia non va alla festa o Sara non va alla festa.

Oggi piove o fa freddo.

Oggi non piove e non fa freddo.

Luca va in piscina con la mamma o con la baby sitter.

Luca non va in piscina con la mamma e nemmeno con la baby sitter.

Page 41: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Enunciati aperti

Enunciato atomico =

gruppo nominale + gruppo verbale

5 è maggiore di 3

… è maggiore di 3

Il gruppo nominale è variabile.

Page 42: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Enunciati aperti

Si può chiudere

- Con un gruppo nominale non variabile

1 è maggiore di 3

- Con i quantificatori (ogni/ tutti, esiste almeno/ qualche)

Esiste almeno un numero maggiore di 3

Ogni numero è maggiore di 3

Page 43: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Negazione dei quantificatori

Quale è la negazione di

Tutte le donne sono bionde ?

Esiste almeno una donna che non è bionda

Esiste qualche studente che ama la matematica

Non esiste alcun studente che ama la matematica

Page 44: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

L’implicazione A → B

Come si legge?

A implica B, da A segue B, se A allora B, condizione sufficiente per B è A …

Nel linguaggio comune è implicito un nesso causale fra A e B (o almeno un collegamento di senso), in logica non è necessario.

Se uno ha la patente può guidare l’auto.

Se 4 è minore di 10, allora il treno parte da Roma.

Page 45: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

L’implicazione A → B

O tu non te ne vai o io piango (‘o’ in senso inclusivo)

A= Te ne vai ; B= io piango

(non A) o B

A non A B (non A) o B

V F V V

V F F F

F V V V

F V F V

Page 46: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

L’implicazione è una particolare disgiunzione

Nel calcolo degli enunciati (non A) o B definisce la nuova operazione se A allora B

(A antecedente, B conseguente)

che ha la stessa tabella di verità

A B Se A allora B

V V V

V F F

F V V

F F V

Page 47: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Attenzione!

L’implicazione è falsa solo quando è vero l’antecedente e falso il conseguente.

L’implicazione è vera anche quando l’antecedente è falso!

Il vero implica il vero , ma anche il falso può implicare il vero!!

Es. Se lavori allora paghi le tasse.

Page 48: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

C.Toffalori, L’aritmetica di Cupido Guanda 2011

p.68 … un famoso aneddoto su Bertrand Russel, quello che vede il filosofo impegnato a convincere un interlocutore del principio logico secondo cui da una premessa falsa si può dedurre qualsiasi conclusione. “Ma allora” lo incalzò l’antagonista “dall’affermazione che 2+2 fa 5 segue anche che lei e il Papa siete la stessa persona?” Ipotesi quasi scioccante, a ricordare le posizioni di Russel in materia di religione. Ma il filosofo replicò imperturbabile: “Supponiamo che 2+2 faccia 5. Sottraendo due da entrambi i membri dell’equazione otteniamo 2=3 e dunque, scambiando i termini, che 3=2. Sottraendo ancora 1, ricaviamo 2=1. Ora io e il Papa siamo 2. Ma dato che 2=1 io e il Papa siamo 1. Perciò io sono il Papa”.

Page 49: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Esempi

A: La rosa è un fungo

B: Livorno è in Toscana

Se la rosa è un fungo allora Livorno è in Toscana.

Se Livorno è in Toscana allora la rosa è un fungo.

Sono implicazioni vere o false?

Page 50: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

L.Carrol, Alice nel Paese delle meraviglie

Allora ci devi dire ciò che pensi – continuò la Lepre Marzolina. Certo – rispose Alice molto in fretta – per lo meno … per lo meno penso quello che dico … è la stessa cosa, ecco. Niente affatto la stessa cosa! – disse il Cappellaio – perché allo stesso modo potresti dire che «io vedo ciò che mangio» è la stessa cosa di «io mangio ciò che vedo»! E potresti anche dire –aggiunse la Lepre Marzolina – che «mi piace quello che prendo»

Page 51: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Alice nel Paese delle meraviglie

è la stessa cosa di «prendo quello che mi piace»!

Allora potresti dire ancora – aggiunse il Ghiro, che sembrava parlare nel sonno – che «io respiro quando dormo» è la stessa cosa di «io dormo quando respiro»!

Ha ragione Alice o il Cappellaio è meno matto di quanto sembri? Ha ragione il Cappellaio: l’implicazione non è commutativa!!

Page 52: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Esercizi

Verificare che ‘Se A allora B’ non è logicamente equivalente a ‘Se B allora A’ cioè l’implicazione NON gode della proprietà commutativa.

Page 53: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

La doppia implicazione A↔B

1. Se sbagliate il compito allora sarete bocciati. (A → B)

2. Se sbagliate il compito allora, ma solo allora, sarete bocciati. (A ↔ B)

In (1) si ammette che potreste essere bocciati anche per altri motivi; in (2) la bocciatura dipende solo dall’esito negativo del compito, quindi A e B devono avere lo stesso valore di verità

Page 54: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Tabella di verità

A B Se A allora, ma solo allora, B

V V V

V F F

F V F

F F V

A: l’ingresso è gratuito B: vado a teatro A: il locatario subaffitta l’appartamento B: il locatario viene sfrattato

Page 55: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Esercizi

Si chiama «doppia implicazione» perché è la congiunzione di due implicazioni.

In matematica A↔B si legge «A se e solo se B» (A sse B) oppure «Condizione necessaria e sufficiente»

Verificare che

A↔B equivale a (A→B) e (B →A)

Page 56: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Esercizi Dal test d’ingresso a medicina 2011

5. Determinare quale delle seguenti situazioni è NON compatibile con l'affermazione: “per superare questo test è necessario, ma non sufficiente, conoscere la matematica e non arrivare in ritardo”. A) Carlo conosce la matematica, arriva puntuale, e supera il test B) Massimo non conosce la matematica, arriva puntuale, e supera il test C) Riccardo conosce la matematica, arriva puntuale, e non supera il test D) Mimma non conosce la matematica, arriva in orario, e non supera il test E) Letizia arriva puntuale e non supera il test

Page 57: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

La tautologia

Un enunciato sempre vero, indipendentemente dai valori di verità degli enunciati atomici che lo compongono si chiama tautologia.

Es. A o (non A)

[3 è un numero pari o non è un numero pari]

Es. Se A allora A

Page 58: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

La contraddizione

Un enunciato sempre falso, indipendentemente dai valori di verità degli enunciati atomici che lo compongono si chiama contraddizione

Es. A e (non A)

Firenze è bagnata dall’Arno e Firenze non è bagnata dall’Arno.

Page 59: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Per finire…

Due amici A e B sono seduti nel salotto di A. B domanda: «Quanti anni hanno i tuoi tre figli?»

A: «Il prodotto delle loro età è 36»

B: «Non mi basta»

A: «La somma delle loro età è il numero civico della casa di fronte »

B esce, guarda il numero, rientra e dice: «Non mi basta ancora»

A: «Il maggiore ha gli occhi azzurri»

B: «Ora so l’età»

Page 60: Matematica e Didattica della matematica - …web.math.unifi.it/users/dolcetti/Veronica_Gavagna_Logica.pdf · Scuola primaria …L’educazione logica, ... 5 è maggiore di 3 ... matematica

Materiali

R.Tortora, Logica e linguaggio, in http://www.liceovallisneri.it/istituto/pubblicazioni/23_aritm.PDF pp. 52-77.

Alcune attività didattiche legate a «logica e linguaggio» si trovano in

L. Giovannoni, Lingua e logica, FrancoAngeli, 1986

F.Speranza, D. Medici Caffarra, P.Quattrocchi, Insegnare la Matematica nella scuola elementare, Zanichelli, Capitoli 1 e 7