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Le carte geografiche
ovvero la rappresentazione su un foglio della superficie terrestre o di una sua parte
la Terra può essere rappresentata da una sfera
ma
la superficie di una sfera non è sviluppabile.
(analoga difficoltà per un ellissoide o per il geoide)
Come stabilire una corrispondenza biunivoca fra
i punti di una superficie sferica e i punti di un piano ?
Il metodo generalmente utilizzato è quello delle proiezioni
1
La morfologia della superficie terrestre è nota:
C
P
P’
Si deve fissare la legge che faccia corrispondere al punto P ( ↔ , λ θ) sulla sup. terrestreil punto P’ (↔ x, y) sul piano della rappresentazione
λ : longitudine espresse in θ : latitudine gradi sessagesimali
λr : longitudine espresse in θr : latitudine radianti
2
π
Il termine carta indica una applicazione tra una superficie S ⊂ R3 e il piano R2.
• tutte le carte geografiche sono affette da
distorsioni• si può dimostrare che
non può esistere una carta che conservi contemporaneamente tutte le proprietà metriche: distanze, aree e angoli della parte di superficie terrestre rappresentata
• a seconda delle esigenze si sceglie una rappresentazione che conservi almeno una di queste proprietàsi costruiscono carte
equivalenti, che conservano le aree
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equidistanti, che conservano le distanze
isogone o conformi, che conservano gli
angoli
Una rappresentazione cartografica
può essere ottenuta proiettando i punti della sfera, modello della Terra,
• direttamente su un piano:1.proiezione prospettica
N
S
C
P
P'
• indirettamente su un cilindro o su un cono, la cui superficie sarà poi sviluppata su di un piano:
2.proiezione di sviluppo
4
π
C
P
P '
CS
P
N
O
y
x
z
P'H
K
O = (Lat.O ,Long.O )ﾰ ﾰ
A
B
A'
B'
S
N
H
N
S
C
P
x
y
z
K
P'
C
P'P
Proiezioni prospettiche
1. Proiezione centrografica (o gnomonica)
1.a proiezione prospettica centrografica equatoriale
si proietta la superficie della sfera dal suo centro su di un piano π ad essa tangente in un punto dell’equatore(la corrispondenza deve essere biunivoca, perciò è possibile rappresentare un solo emisfero).
5
• L’equatore, i meridiani e tutti i cerchi massimi sono rappresentati, tramite la proiezione, da rette
infatti, le semirette con origine C che proiettano un cerchio massimo appartengono al piano su cui tale cerchio giace e intersecano perciò il piano di proiezione lungo una retta.
i piani contenenti le semirette che proiettano i meridiani passano per l’asse NordSud,
6
π
π
Proiezione dell’equatore
Proiezione di un meridiano
parallelo al piano π e perpendicolare al piano dell’equatore,perciò
• le rette che rappresentano i meridiani sono tutte parallele fra loro
e perpendicolari alla retta che rappresenta
l’equatore
sono infatti perpendicolari al piano dell’equatore
• la proiezione di un parallelo è un ramo d’iperbole
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un parallelo è proiettato da una delle due falde del cono retto che ha il vertice in C e per asse l’asse terrestre, la proiezione del parallelo su π è l’intersezione fra il cono proiettante e π
uno dei rami dell’iperbole è proiezione di un parallelo, l’altro ramo è la proiezione del parallelo simmetrico appartenente all’altro emisfero.
8
π
Proiezione di un parallelo
Espressione analitica
N
S
C
P
P'
CS
P
N
Oy
x
z
P'H
K
O = (Lat.O� ,Long.O˚)
asse x è la proiezione dell’equatore orientato nel verso delle longitudini Ovest (negative)- asse y è la proiezione del meridiano fondamentale orientato nel verso delle latitudini Nord (positive)
HCO = λ HCP’ = θ CHP’ = /2π
|xP’| = OH = |tan |λ |yP’| = HP’ = CH • |tan θ| = 1/|cos | •λ |tan θ|
9
P = (λ, θ)
CO = 1H P’
O = (0°, 0°)
90°≤ λ ≤ 90° 90°≤ θ ≤ 90°
λθ
λ
costan
tan
=
−=
y
x
Verifica • proiezione di un meridiano (λ = cost.):
λtan−=x
• proiezione di un parallelo, (tan θ = b):
λ
λ
cos
tanb
y
x
=
−=
( )
yb
x
=
−±=
λ
λλ
cos
coscos1 2
yb
yb
x
2
21−±=
il segno + per - 90° ≤ λ < 0°
10
il segno per 0° ≤ λ < 90°
11 22
2
2
2
2
22 =−
−= x
by
yb
by
x
Nelle proiezioni la rappresentazione è tanto più buona quanto più le parti da rappresentare sono vicine al punto di tangenza
A seconda delle zone che si vogliono rappresentare si usano proiezioni :
1.b centrografiche polari se il punto di tangenza è un polo,
1.c centrografiche orizzontali (o oblique) se il punto di tangenza è un punto che non sta sull’equatore o su uno dei poli.
11
1.b proiezione prospettica centrografica polare
Espressione analitica
C
CS
P
N
O
y
x
z
P'H
K
O = (Lat.O ,Long.O )ﾰ ﾰ
A
B
A'
B'
N
S
H
N
S
C
P
x
y
z
K
P'
C
P'P
P
P'
K
H
12
proiezione prospettica centrografica polare
π
semiasse x positivo è la proiezione del meridiano fondamentale- semiasse y positivo è la proiezione del meridiano corrispondente alla longitudine 90° Est
La geodetica
la linea più breve che, sulla superficie sferica, congiunge due punti è il minore degli archi del cerchio massimo che collega i due punti; tale linea è detta geodetica (o ortodromia)
N
S
C
P
P'
CS
P
N
O
y
x
z
P'H
K
O = (Lat.O ,Long.O )ﾰ ﾰ
A
B
A'
B'
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θλθλ
tansintancos
−=
−=
y
x
HSP’ = λ SCP =90°+ θ
Nelle proiezioni centrografiche le rette che proiettano una geodetica appartengono ad un piano passante per il centro della sferaperciòuna linea geodetica che congiunge due punti sarà rappresentata sulla carta dal segmento che congiunge le immagini dei due punti; tale segmento è detto linea ortodromica
le proiezioni centrografiche trasformano geodetiche in geodetiche
Rappresentazione della rete dei meridiani e paralleli e linea ortodromica
• in una proiezione centrografica equatoriale
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• in una proiezione centrografica polare
C
P
P '
CS
P
N
O
y
x
z
P'H
K
O = (Lat.O ,Long.O )ﾰ ﾰ
A
B
A'
B'
S
N
0°30°E
60°E
90°E
120°E
150°E180°
150°W
120°W
90°W
60°W
30°W
30°
45°60°
A
B
L’angolo che un cammino ortodromico forma con i meridiani varia con continuità erichiede continue modifiche dell’angolo di rotta.In generale, nella navigazione conviene mantenere un angolo di rotta costante, ossia seguire una linea che tagli i meridiani secondo un angolo fisso: la lossodròmia della sfera.
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i meridiani e i paralleli sono particolari lossodromiema in generale la lossodromia ha l’andamento di una spirale che si avvolge intorno ai poli
Per la navigazione sarà utile una carta che conservi gli angoli
ossiauna carta isogona o conforme
2. Proiezione stereografica
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La superficie sferica viene proiettata su di un piano ad essa tangente dal punto diametralmente opposto al punto di tangenzaEsempio:il polo Sud è punto di tangenza
C
P
P '
CS
P
N
O
y
x
z
P'H
K
O = (Lat.O ,Long.O )ﾰ ﾰ
A
B
A'
B'
S
N
N
S
C
P
P'
• i meridiani sono rappresentati da rette• i paralleli da circonferenze concentriche(anche l’equatore è rappresentato)Si può dimostrare che la carta ottenuta è conforme
L’ampiezza di un angolo formato da due linee che si incontrano sulla sfera in un punto P è dato dall’ ampiezza dell’angolo formato
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dalle tangenti alle due linee, e quindi alla sfera, nel punto P.
In una proiezione stereografica l’ampiezza degli angoli è conservata
Dimostrazione:
s N T ’π P
C τ
S s’ π H
K
P’
Siano N il punto della sfera, centro di proiezione, S il punto ad esso diametralmente opposto, π il piano tangente in S alla sfera, piano su cui avviene la
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proiezione, P un punto della sfera, con P ≠ N e P’ la proiezione di P su .π
Siano ’ π e τ i piani tangenti alla sfera rispettivamente in N e in P, π e ’ π sono paralleli e sono secati da τ secondo le due rette s e s’ fra loro parallele.
Consideriamo il piano individuato dai puntiα N,P e S: tale piano, che contiene il centro C della sfera, e quindi i raggi CN, CP, CS, è perpendicolare a ’, π a τ e a π , è perciò perpendicolare a s e ad s’ che incontra rispettivamente in T e in H (se due piani che si intersecano sono perpendicolari ad un terzo piano, la loro intersezione è perpendicolare a questo piano).
Il piano α seca ’π e π rispettivamente lungo le rette NT e SH; la retta SH contiene anche P’.Si ha :
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∢(P’PH) = ∢(TPN) perché opposti al vertice,∢(TPN) = ∢(TNP) perché complementari degli angoli alla base del triangolo isoscele CNP,∢(TNP) = ∢(PP’H) perché alterni interni rispetto alle parallele NT e P’H,
perciò∢(P’PH) = ∢(PP’H) allora PH = P’H
Un’altra retta tangente alla sfera in P appartiene a τ e, se non è parallela ad s, incontra s’ in un punto K; la sua proiezione è la retta P’K (la proiezione che stiamo considerando trasforma rette in rette), dall’uguaglianza dei triangoli rettangoli PHK e P’HK si ha PK = P’K.
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Consideriamo infine due tangenti in P alla sfera: la PK e la PQ.
N
P C
s
K P’ Q
Anche per questa tangente è PQ = P’Q, perciò dall’uguaglianza dei triangoli PKQ e P’KQ si ha:
∢(HPQ) = ∢(HP’Q)ossia
l’ampiezza degli angoli si conserva nella proiezione.
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Espressione analitica
C
P
P '
CS
P
N
O
y
x
z
P'H
K
O = (Lat.O ,Long.O )ﾰ ﾰ
A
B
A'
B'
S
N
H
N
S
C
P
x
y
z
K
P'
CS = 1 ( ) θ+°= 90ˆPCS ( ) λ='ˆPSH
SP’ =
+°
245tan2
θ
+°⋅=
+°⋅=
245tansin2
245tancos2
θλ
θλ
y
x
22
P = (θ, λ)
semiasse positivo delle x è la proiezione del meridiano 0°
semiasse positivo delle y è la proiezione del meridiano 90° Est
Verifica
Proiezione di un meridiano: λ costante
λθ
cos2245tan
x=
+°
λλ
cos2sin2
xy ⋅=
xy ⋅= λtan
Proiezione di un parallelo: θ costante
( )ay
ax
⋅=⋅−=
λλ
sin2
sin12 2
( )( )222 sin14 λ−= ax
2
2222
444
ay
aax ⋅−=
222 4ayx =+
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Proiezioni di sviluppo
1.Proiezioni cilindrichela superficie sferica viene proiettata su un cilindro ad essa tangente
1.a proiezione cilindrica centrale diretta.
il centro della proiezione è il centro della sfera
l’asse del cilindro coincide con l’asse NordSud
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proiezione di un meridiano
Proiezione dell’equatore e di un parallelo
I paralleli vanno diradandosi al crescere della latitudine. le terre polari risultano enormemente dilatate, i poli non hanno un rappresentante.
Rappresentazione della rete dei meridiani e paralleli in
una proiezione cilindrica centrale diretta
Espressione analitica
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P = (θr, λr)
asse delle x è la proiezione dell’equatore asse delle y è la proiezione del meridiano 0°
r
r
y
x
θλtan=
=
Consideriamo sulla Terra il rettangolo curvilineo MNPQ compreso fra le longitudini λr’ e λr” e le latitudini θr’ e θr”, esso è rappresentato sulla carta dal rettangolo M’N’P’Q’.
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AB = Δλr
MN = Δ λrcos θr’ QP= Δ λr cos θr“
MQ = Δ θr
1.b La carta di Mercatore(Gehrard Kremer,fiammingo, XVI secolo)
La Carta di Mercatore può essere considerata come una modifica della carta trattata precedentemente: • l’equatore e i paralleli sono rappresentati
da segmenti paralleli fra loro,
• i meridiani da segmenti perpendicolari alle linee dell’equatore e dei paralleli e, a parità di differenza di longitudine, sono fra loro equidistanti,
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θr”
θr
λr
’λr”
A’B’=M’N’=Q’P’= Δλr
M’Q’=|tanθr”tanθr’|
rMNNM
θcos1'' =
mentre
• la distanza d dei paralleli dall’equatore è calcolata con una formula matematica :
+== ∫ 24
tanlncos0
r
r
r kd
kdr θπ
θθθ
perché ? vogliamo che un rettangolino, che, sulla superficie terrestre, ha dimensioni
rTdλr , rTdθr,sia rappresentato sulla carta da un rettangolo simile,poiché,
la rappresentazione dell’arco di parallelo alla latitudine θr è dilatata per il fattore 1/cos θr,
l’arco infinitesimo di meridiano deve essere rappresentato da un segmento di lunghezza
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r
rdk
θθ
cos⋅
con k = rT∙S, dove S è la scala.
La distanza d è la somma dei segmenti infinitesimi che rappresentano tutti gli archetti di meridiano compresi fra l’equatore e il parallelo θr, perciò .
+== ∫ 24
tanlncos0
r
r
r kd
kdr θπ
θθθ
Questa carta è stata costruita in modo che:
1. l’angolo formato da due curve sulla superficie terrestre e l’angolo formato dalle linee che le rappresentano sulla carta abbiano la stessa ampiezza
perciò una lossodromia che incontra tutti i meridiani secondo una angolo costante
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deve essere trasformata, da una linea che incontra le rette che rappresentano i meridiani secondo uno stesso angolodunque2.le lossodromie sono rappresentate da
rette
Per piccole distanze, la lunghezza del cammino lungo una lossodromia, anche se maggiore, non si discosta molto da quella del cammino che segue l’arco di cerchio
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massimo, ma per grandi distanze la differenza può essere vistosa:
per due località che si trovano alla stessa latitudine, ma su meridiani opposti l’arco di cerchio massimo che le congiunge passa per il Polo, mentre l’arco di lossodromia è l’arco di parallelo a cui le due località appartengono.
In pratica il percorso delle navi è una spezzata lossodromica
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Carta di Mercatore
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1.c proiezione cilindrica ortogonale diretta.
Ad un punto P della superficie sferica corrisponde, sulla superficie cilindrica, il punto P', intersezione fra la superficie cilindrica e la semiretta passante per P che ha l’origine sull’asse del cilindro ed è perpendicolare all'asse stesso.
Sul cilindro: l’immagine dell’equatore è la circonferenza di tangenza,
ai meridiani corrispondono generatrici del cilindro,
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ai paralleli circonferenze sezioni della superficie cilindrica con piani perpendicolari all’asse.
Sulla carta, sviluppo del cilindro,: l’equatore è rappresentato dalla
circonferenza di tangenza rettificata, i meridiani sono rappresentati da rette
perpendicolari alla linea dell’equatore i paralleli sono rappresentati da
segmenti paralleli alla linea dell’equatore.
• una serie di meridiani, che, sulla Terra, distano fra loro di un ugual numero di gradi di longitudine, è rappresentata da una serie di segmenti equidistanti,
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• i segmenti che rappresentano paralleli, a parità di differenza di latitudine, sono sempre più fitti al crescere della latitudine stessa.
La rappresentazione risulta abbastanza fedele solo per le zone equatoriali, mentre via via che ci si avvicina ai poli la rappresentazione degli elementi terrestri appare sempre più schiacciata. Le carte di questo tipo sono equivalenti, ossia conservano il rapporto fra le aree di superfici sulla Terra e le aree delle loro rappresentazioni. Questo deriva dal fatto che, dati una sfera e un cilindro ad essa circoscritto, le superfici, determinate sulla sfera e sul cilindro da coppie di piani perpendicolari all’asse del cilindro, sono equivalenti.
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