RESISTENCIA DE MATERIALES II

Escuela Acadmico Profesional de Ingeniera CivilDOCENTE:ING. RUBEN LOPEZ CARRANZA

TEORIA Y EJERCICIOS DEL MTODO DE CROSSPa L b L

qL/2

PL/2 L

A

B

C

D

MTODO DE CROSS - HISTORIAEl Mtodo de Distribucin de Momentos o Mtodo de Cross, es un mtodo de anlisis estructural para vigas estticamente indeterminadas y marcos, desarrollado por Hardy Cross. Publicado por primera vez en 1.930en una revista de la American Society Civil Engineering; el mtodo solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, suficiente para efectos prcticos. Desde esa fecha hasta que las computadoras comenzaron a ser usadas en el diseo y anlisis de estructuras, el mtodo de distribucin de momentos fue el mas usado.

MTODO DE CROSS - INTRODUCCINEn el Mtodo de Distribucin de Momentos cada articulacin de la estructura que se va a analizar, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremo fijos. Despus cada articulacin fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no esta en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El mtodo de distribucin de momentos desde el punto de vista matemtico puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por iteraciones

MTODO DE CROSS - APLICACINPara la aplicacin del mtodo de cross deben seguirse los siguientes pasos: 1) Momentos de empotramiento en extremos fijos: son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas estn fijas. 2) Rigidez a la Flexin: la rigidez a la flexin (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Modulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de rea, tambin conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el mtodo de distribucin de momentos, no es el valor exacto pero es la razn aritmtica de rigidez de todos los miembros.

3) Factores de Distribucin: pueden ser considerados como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus miembros. 4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razn de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo. 5) Convencin de Signos: un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la convencin de signos usual en ingeniera, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianos.

EJEMPLO 1Ejemplo de calculo N 1: Analizar la viga estticamente indeterminada mostrada en la figura. Donde P= 10.000 Kg, q= 1000 Kg/m y L= 10 mts, Rigideces a Flexin: AB= EI,BC= 2EI, CD= EI Pa L b L

qL/2

PL/2 L

A

B

C

D

PARTE I -SOLUCIN Paso I: se procede a realizar los clculos preliminares de los momento en extremos fijos para cada caso tal y como se muestra.MA

P

MB

Caso (a)-MA= P*b2/L2 MB= P*a2/L2 VA= P*b/L VB= P*a/L

a L

b

MA

q

MB

Caso (b)-MA= q*L2/12 MB= q*L2/12 VA= q*L/2 VB= q*L/2

L

MA

PL/2 L L/2

MB

Caso (c)-MA= P*L/8 MB= P*L/8 VA= P/2 VB= P/2

PARTE II - SOLUCIN Paso II: se procede a la construccin de la tabla de calculo, una vez determinados los Factores de Distribucin. Para el calculo de esos factores de distribucin debe considerarse la Rigidez Rotacional a un Giro (k) en los casos en que sea la misma 4*E*I/L y tambin cuando sea un caso como el del ejemplo donde son distintas y seria 3*E*I/L. En esa tabla tambin se proceder a realizar lo aprendido en ESTATICA sobre los diagramas de Corte y Momento, los cuales nos servirn para el diseo de elementos mas adelante en CONCRETO ARMADO

P

qb L L L/2

P

a

L/2 L

A

B

C

DPASO A PASO Longitudes Rigideces a Flexion Factor de Distribucion

10 EI

10 2EI

10 EI

1 -14.700 14.700

0,2727 0,7273 6.300 -8.333 7.350 -1.450 -3.867 2.033 -555 -1.479 246 -67 -179 30 -8 -22

0,6667 0,3333 8.333 -12.500

0

Momentos en Extremos Fijos 12.500

-1.933 4.067 2.033 -739 493 246 -90 60 -11 74 2 13.657 5.000 30 15 123 1.017

Iteraciones (Distribuciones y Transporte)

0 7.000 -1.157 5.843

11.570 -11.570 3.000 5.000 1.157 138 4.157 5.138

10.187 -10.187 5.000 5.000 -138 -347 4.862 4.653

? MomentosCorte Isostatico Corte Hiperestatico

347 5.347

CORTE

5.843 5.138 4.653

-4.157 -4.862 -5.347

DIAGRAMA DE CORTE Y MOMENTO

17.529

1.630

13.075

-11.570 -10.190

-13.657

Ejercicio 2

Ejecucin alternativa

Ejercicio 3