FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

DOCENTE: ING. JORGE VÁSQUEZ

TEMA: METODO DE HARDY CROSS

ASIGNATURA: RESISTENCIA DE LOS MATERIALES II

ALUMNO : ESCALANTE MELENDEZ GROVERT

TARPOTO – PERÚ

2015

ÍNDICE:

Introducción……………………………………………………..……. IObjetivos………………………………………………………..…….. IIFundamentos teóricos

TEMA

1.1METODO DE HARDY CROSS …….…………………………………………………………………III

1.2 INTRODUCCION ,RIGIDES ANGULAR Y FACTOR DE TRANSPORTE DE MOMENTO Y COEFICIENTES DE DE DISTRIBUCION

……………………………………………………………….……..IV1.3APLICACIÓN DEL MOMENTO EN CASOS DE VIGAS CONTINUAS

……………………………………………………………….….….VConclusiones…………………………………………………….... VIIBibliografías…………………………………………………………………..VIII

INTRODUCCIÓN

En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuous frames el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas.

CONCEPTOS PREVIOS

El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista.

El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.

PARES DE EMPOTRAMIENTO

Una viga empotrada-empotrada, como la representada en la figura 2a, está sometida a un sistema de acciones. Su deformada es la que aparece en la figura 2b. En ella se pueden considerar tres tramos, tal y como se representa en la figura 2c.

Los tramos primero y último, de acuerdo con el convenio, tienen flexión negativa, mientras que el tramo intermedio presenta flexión positiva. Los momentos flectores MA y MB en los apoyos serán negativos, así como los momentos del tramo intermedio son positivos. Por el principio de acción y reacción, la viga ejerce sobre los apoyos unos momentos (figura 2d) y los apoyos sobre las vigas otros, que serán iguales y de sentido contrario. A estos momentos se les llama pares de empotramiento (figura 2e). Por tanto, los pares de empotramiento son las acciones que ejercen los apoyos sobre la pieza.

Si se tiene un nudo en el que concurren barras empotradas en sus otros extremos (figura 3a), y se aplica un momento M en el nudo, las barras se deforman como indica la figura 3b. Cada uno gira un determinado ángulo o, lo que es igual, la tangente de la deformada forma un cierto ángulo con la posición primitiva.

Se dice que un nudo es rígido cuando los ángulos girados por todas las piezas son iguales: a1 = a2 = a3 = ... = an. Esto sucede en la mayor parte de las estructuras de hormigón, y en las estructuras metálicas cuando cuando se adoptan disposiciones que aseguran la rigidez de los nudos, así como en las uniones soldadas.

Si en el nudo se aísla una barra (figura 3c), al poder girar ésta un ángulo a bajo la acción de un momento MA, el problema se reduce al estudio de una pieza apoyada empotrada sometida al momento de apoyo MA.

LA RIGIDEZ

La rigidez angular que no es más que el momento que debemos aplicar a miembro para producir una rotación unitaria en el mismo. La rigidez angular de un elemento con un apoyo empotrado y uno articulado es

Rigidez Lineal: es el valor de los momentos que se desarrollan en los extremos de un miembro cuando se impone un desplazamiento lineal unitario entre dichos extremos.

Si ambos extremos están empotrados

Cuando se aplica un par MA a la pieza aislada de la figura 4a, se produce la situación de flexión que se refleja en la figura 4b, generando MA un par de empotramiento del mismo signo MB en el extremo B.

Si se desea estudiar el momento flector de la pieza analizada, basta con cambiar el signo al par de empotramiento del apoyo izquierdo. El diagrama de momentos flectores se representa en la figura 4c.

BASES DEL METODO DE CROSS

Las bases del método de Cross son las siguientes:

1. Hallar la relación entre el momento MA y el par de empotramiento MB (factor de transmisión).

2. Calcular la magnitud del ángulo girado a en función del momento aplicado MA (rigidez).

3. Encontrar la relación entre el momento aplicado en un nudo M (figura 3b) y el momento MA (figura 3c) que actúa sobre cada una de las barras de nudo (factor de reparto o de distribución).

DESARROLLO DEL METODO PARA NUDOS GIRATORIOS SIN DESPLAZAMIENTO

· Fase I

Se consideran todas las piezas empotradas en sus extremos. Se calculan los momentos en los extremos mediante Resistencia de Materiales.

· Fase II

Se comienza por considerar un nudo cualquiera con capacidad de girar. Al soltar el empotramiento, todos los momentos que concurren en el nudo se suman algebraicamente y la resultante se reparte.

Obtenido el equilibrio, se transmiten los momentos a los nudos adyacentes.

Se repite la operación en cualquiera de ellos, por lo que el nudo, antes equilibrado, se desequilibra al devolverle el nudo siguiente una parte del momento que le hace girar.

El proceso se repite una y otra vez para todos y cada uno de los nudos, equilibrando cada vez. Como los factores de reparto y de transmisión son menores que la unidad, el proceso es convergente, no siendo generalmente necesario realizar más de tres iteraciones a la estructura.

El método de Cross tiene la propiedad de compensar los errores.

Este método desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real. Básicamente es un método de análisis numérico de aproximaciones sucesivas que evita tener que resolver ecuaciones simultáneas en un número elevado. Es necesario realizar dos pasos:

1. Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nodo. 2. Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra.

RELACION ENTRE FUERZAS Y PARES DE EMPOTRAMIENTO

Consideremos una pieza AB bi empotrada, sometida a una fuerza F horizontal, tal y como se representa en la figura

2. Si el extremo B puede desplazarse, al llegar a una posición de equilibrio, se cumple:

RELACION ENTRE EMPUJES Y DESPLAZAMIENTOS

En el apartado precedente establecíamos el siguiente sistema:

MOMENTOS DEVIDOS A DESPLASAMIENTO

EJERCICIOS

EJERCICIOS RESUELOS

1.- RESOLVER LA ESTRUCTURA POR EL METODO DE CROSS

2._ CÁLCULO DE LOS MOMENTOS FIJOS

3º cálculo del grado de desplazabilidad

CONCLUCIONES

Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga. Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de empotramiento.

ANEXOS

BIBLIOGRAFIA

-Resistencia de Materiales

Pytel- Singer 4ª Edición

- Google: Buscador de imágenes

- Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP); Curso Interactivo de Resistencia de Materiales.

- http://www.wikipedia.com/

- http://www.lamolina.edu.pe/

- http://www.aisto.com/