İÇİNDEKİLER - metinyayinlari.com · 2 4. f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 fonksiyonunun x = –2 apsisli noktasındaki teğetinin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı kaç derecedir?

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUTeğet ve Normal Doğruların Eğimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Teğet Doğrusunun Eğim Açısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Teğet ve Normal Denklemleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular . . . . . . . . . . . . . . . 4

Grafikte Teğet – I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Grafikte Teğet – II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Fonksiyona Üzerinde Olmayan Noktadan Teğet Atma . . 7

En Yakın Nokta / Teğetler Arası Açı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Uygulama Zamanı – 1 ........................................ 9

Uygulama Zamanı – 2 ...................................... 11

Tekrar Zamanı

ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ......................................... 13

ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ......................................... 15Artan – Azalan ve Sabit Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Artan – Azalanlığın Türevle İlişkisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Daima Artan ve Azalan Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Fonksiyon Üzerinden Artan – Azalanlık. . . . . . . . . . . . . . . . 22

Grafik Yardımıyla Artan – Azalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

f(x) in Grafiğinden f'(x) i Yorumlama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

f'(x) in Grafiğinden f(x) i Yorumlama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Tahmini Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Uygulama Zamanı – 3 ...................................... 27

Tekrar Zamanı

ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ......................................... 29

ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ......................................... 31Yerel Ekstremum Kavramı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Yerel Ekstremumun Varlığı – I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Yerel Ekstremumun Varlığı – II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

f'(x) in Grafiğiyle Ekstremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Eğrilik Yönü: 2. Türevin Geometrik Anlamı . . . . . . . . . . . . 39

Dönüm (Büküm) Noktası . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Dönüm Noktasının Varlığı / Simetri Merkezi . . . . . . . . . . . 41

f(x) in Eğrilik Yönü ile f"(x) i Yorumlama . . . . . . . . . . . . . . . 42

f''(x) Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

f'(x) in Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönünü Yorumlama . . . . 44

Grafikte Ardışık Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Türevin Türevleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2. Türev ile Ekstremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Uygulama Zamanı – 4 ...................................... 48

Uygulama Zamanı – 5 ...................................... 50

Tekrar Zamanı

ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ......................................... 52

ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ......................................... 54

MAKS. - MİN. PROBLEMLERİEn Büyük - En Küçük Değeri Bulma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Kenar - Çevre - Alan Geçişleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

İç İçe Şekiller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Cisim İçinde Cisimler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2. Derece Fonksiyon ve Denklem İfadeleri . . . . . . . . . . . . 62

Görüntü Kümesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Fonksiyon Grafiği İçine Çizilen Şekiller . . . . . . . . . . . . . . . . 64

En Yakın Noktalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Trigonometrik İfadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ekonomik Uygulama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

En Kısa Zaman / En İyi Görüntü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Uygulama Zamanı – 6 ...................................... 69

Tekrar Zamanı

ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ......................................... 71

ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ......................................... 73

GRAFİKLERAsimtot Kavramı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Düşey Asimptot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Yatay Asimtot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Eğik veya Eğri Asimtot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Simetri Ekseni ve Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Grafik Çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Polinom Fonksiyonların Grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Polinom Fonksiyonunun Denklemini Yazma . . . . . . . . . . . 84

Rasyonel Fonksiyonların Grafiği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Köklerin Sayısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Uygulama Zamanı – 7 ...................................... 87

Tekrar Zamanı

ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 ......................................... 89

ÇÖZÜMLÜ TEST – 2 ......................................... 91

KONU TESTLERİ .............................................. 95

SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ ......................... 131

İÇİNDEKİLER

1

4. y = x2 · ex fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin ve normalinin eğimi kaçtır?

5. f(x) = sin2 x + 5x – 2 fonksiyonunun πx 12= noktasın-

dan çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?

6. x = sin t ve y = cos 2t olmak üzere y = f(x) eğrisine πt 6= noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi

kaçtır?

7. y = f(x) eğrisine (2, 5) noktasından çizilen teğet (–2, 4)

noktasından geçtiğine göre f'(2) kaçtır?

4) mT = 3e, mN = e31-

5) mT = 2

11, mN =

112

- 6) mT = –2, mN = 21

7) 14

Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.

1. f(x) = x2 – 5x + 2 parabolü üzerindeki (2, –4) noktasın-dan çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?

2. f: R → R, f(x) = x3 – 11x + 4 eğrisine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin ve normalin eğimi kaçtır?

3. f(x) = ax3 – 3x2 – 2 fonksiyonunun x = 2 apsisli nokta-sındaki teğetin eğimi 12 olduğuna göre a kaçtır?

1) mT = –1, mN = 1 2) mT = –8, mN = 81

3) 2

Konu Özeti

� Bir fonksiyonun herhangi "bir noktasındaki türevi" fonksiyona o noktadan çizilen teğetin eğimidir.

� Teğet değme noktasından teğet doğrusuna çizilen dik doğruya normal doğrusu denir.

�

f(a)

ao

y = f(x)

Normal

Teğet

P

P, teğet değme noktası ise

v Teğetin eğimi: mT = f'(a)

v Normalin eğimi: mT · mN = –1 1442443

Dik doğruların eğimleri çarpımı –1 dir.

Türev fonksiyonu teğet denklemi değildir, teğetin eğimini veren fonksiyondur.

ÖRNEK (Teğetin Eğimi)

f(x) = x2 + 1 fonksiyonunun üzerindeki A(3, 10) noktasın-dan çizilen teğetin eğimini bulunuz.

ÇÖZÜM f(x) in A(3, 10) noktasından çizilen teğetinin eğimi mT olsun,

f(x) = x2 + 1 ⇒ f'(x) = 2x tir.

mT = f'(3) = 2 · 3 = 6 bulunur.

ÖRNEK (Normalin Eğimi)

f(x) = e2x eğrisine üzerindeki x = 0 apsisli noktasından çizilen normalin eğimini bulunuz.

ÇÖZÜM f(x) = e2x ⇒ f'(x) = 2e2x dir.

mT = f'(0) = 2e2·0 = 2 e0 = 2 · 1 = 2

mT · mN = 2 · mN = –1 ⇒ mN = 21- bulunur.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUTeğet ve Normal Doğruların Eğimi

2

4. f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 fonksiyonunun x = –2 apsisli noktasındaki teğetinin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı kaç derecedir?

5. f(x) = x2 + x eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğeti-nin eğim açısı a ise sin a · cos a çarpımı kaça eşittir?

6. f(x) = x4 + 2x2 + mx + n fonksiyonunun grafiği x = –1 apsisli noktasında x eksenine teğet olduğuna göre m + n toplamı kaçtır?

4) 45° 5) 103

6) 13

Aşağıda verilen ifadelerde istenilenleri bulunuz.

1. f(x) = x2 – mx + 5 parabolünün x eksenine paralel teğetinin bu parabole değdiği noktanın apsisi 3 ise m kaçtır?

2. f(x) = –x2 + 4x + a eğrisinin x eksenine paralel teğeti y = 9 doğrusu olduğuna göre a kaçtır?

3. ( )f x x x x34 12 54

32= - - + eğrisinin x eksenine paralel

teğetlerinin bu eğriye değdiği noktaların apsisleri

nelerdir?

1) 6 2) 5 3) –2, 0, 3

Konu Özeti

�� a eğim açısı yani doğrunun x ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açı olmak üzüre,

v f(x) in A(xo, yo) noktasından çizilen teğet doğrusu-nun eğimi mT ise, mT = tan a = f'(xo) dır.

v f(x) in A(xo, yo) noktasındaki teğeti x eksenine paralel (y eksenine dik) ise mT = f'(xo) = 0 dır.

ÖRNEK (ox Eksenine Paralel Teğet)

f(x) = x2 – 6x + 3 parabolünün hangi noktasındaki teğeti x eksenine paraleldir?

ÇÖZÜM f(x) in A(xo, yo) noktasındaki teğeti x ekseni-ne paralel olsun,

f(x) = x2 – 6x + 3 ⇒ f'(x) = 2x – 6

mT = 0 ise f'(xo) = 2xo – 6 = 0 ⇒ xo = 3

xo = 3 için f(3) = yo = 32 – 6 · 3 + 3 = –6 123 A(3, –6)

bulunur.

ÖRNEK (x Eksenine Paralel Teğet Noktaları)

f(x) = mx3 – 6x2 – 5x + 2 eğrisinin x eksenine paralel teğetlerinin bu eğriye değdiği noktaların apsisleri toplamı 1 olduğuna göre m yi bulunuz.

ÇÖZÜM mT = 0 ise f'(x) = 0 olmalıdır,

f'(x) = 3mx2 – 12x – 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.( )

x x ab

m m312

1 4–

1 2 &+ =-=-

= = bulunur.

ÖRNEK (Eğim Açısı)

f: R → R f(x) = x3 – x2 – 7x fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğim açısını bulunuz.

ÇÖZÜM f'(x) = 0 olmalıdır,

f'(x) = 3x2 – 2x – 7 ise mT = f'(2) olduğundan,

mT = f'(2) = 12 – 4 – 7 = 1 dir. Teğetin eğim açısı a ise

tan a = mT ⇒ tan a = 1 ⇒ a = 45° bulunur.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet Doğrusunun Eğim Açısı

3

4. y = t2 + 1 ve x = 2t

parametrik denklemi ile verilen y = f(x) eğrisine t = 1 den çizilen,

a) Teğetin denklemi nedir?

b) Normalin denklemi nedir?

5. y = x2 + mx + n parabolü x = 3 apsisli noktada y = –x doğrusuna teğet olduğuna göre m + n kaçtır?

6. f(x) = sin x + cos x fonksiyonunun x = 0 apsisli nok-tasından çizilen teğet doğrusu, normal doğrusu ve x ekseni arasında kalan üçgenin alanı kaç br2 dir?

4) a) y = x b) y = –x + 4 5) 2 6)1


1. f(x) = x2 – 3x + 3 eğrisine (2, 1) noktasından çizilen teğet doğrusunun denklemi nedir?

2. y = x3 + 3x 2 – 5x – 1 eğrisine x = 1 apsisli noktasından çizilen normalin denklemi nedir?

3. x2 + y3 – 2y – xy – 3 = 0 eğrisinin (1, 2) noktasındaki,

a) Teğetinin denklemi nedir?

b) Normalinin denklemi nedir?

1) y = x – 1 2) 4y + x + 7 = 0 3) a) y = 2 b) x = 1

Konu Özeti

� y = f(x) fonksiyonuna P(a, f(a)) noktasından çizilen teğetin eğimi mT ve normalin eğimi mN olduğuna göre

v Teğet Denklemi: y – f(a) = mT(x – a) dır.

(mT = f'(a) dır.)

v Normalin Denklemi: y – f(a) = mN(x – a) dır.

(mT · mN = –1 dir.)

Teğet ve normal doğruların denklemleri yazılırken, bir noktası ve eğimi belli doğru denklemlerinden faydalanılır.

A(xo , yo)

Eğim = m

14243

⇒ y – yo = m(x – xo)

olduğunu hatırlayınız.

ÖRNEK

f(x) = x2 + x eğrisinin x = 1 apsisli noktasından çizilen,

a) Teğet doğrusunun b) Normal doğrusunun

denklemlerini bulalım.

ÇÖZÜM Öncelikle noktanın ordinatını bulalım. x = 1 ise f(1) = 12 + 1 = 2 dir. O halde teğet nokta P(1, 2) olur.

Eğimleri bulalım,

f'(x) = 2x + 1 ⇒ mT = f'(1) = 2 · 1 + 1 ⇒ mT = 3 tür.

mN · mT = –1 ⇒ mN · 3 = –1 ⇒ mN = 31- tür.

P(1, 2)

y = x2 + x

Normal, mN = –

Teğet, mT = 3

1––3

a) Teğetin denklemi, y – 2 = 3(x – 1) dir.

b) Normalin denklemi, y – 2 = ( )x31 1- - dir.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUTeğet ve Normal Denklemleri

4

4. f(x) = x3 eğrisinin y – 3x + 1 = 0 doğrusuna paralel olan teğetlerinin değme noktaları nelerdir?

5. f(x) = x2 – 2ax + 1

g(x) = –x2 + 4x + b

eğrilerinin x = 1 noktasındaki teğetleri birbirine paralel olduğuna göre a kaçtır?

6. f(x) = x2 + 2x – 3 fonksiyonunun 2y – x + 5 = 0 doğru-suna dik olan teğetinin denklemi nedir?

4) (1, 1) ve (–1, –1) 5) a = 0 6) y = –2x – 7


1. f(x) = x2 – 2x + 3 parabolünün hangi noktasındaki teğeti y = 2x – 5 doğrusuna paraleldir?

2. y x x21 22=- + parabolünün y = 3x + 6 doğrusuna

paralel teğetinin denklemi nedir?

3. f(x) = x2 + 4x eğrisinin hangi noktasındaki teğeti

x – 1 = 0 doğrusuna diktir?

1) (2, 3) 2) 6x – 2y + 1 = 0 3) (–2, –4)

Konu Özeti

� y = f(x) eğrisinden y = mx + n doğrusuna çizilen,

v Paralel teğetin eğriye değme noktası T(a, f(a)), eğimi ise mT1 olsun,

mT1 = f'(a) = m (paralel doğruların eğimleri eşittir)

v Dik teğetin eğriye değme noktası P(b, f(b)), eği-mi ise mT2 olsun,

mT2 = f'(b) ise f'(b) · m = –1 (dik doğruların eğimleri

çarpımı –1 dir)

ÇÖZÜM

Dik teğetmT2=

y = x2

y = 2x – 5

P (b, b2)

T(a, a2)

Palelel Teğet, mT1 = 2 1– –– 2

a) mT1 = 2 dir.

f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x

x = a için, mT1 = 2a = 2 ⇒ a = 1 dir.

O halde, T(1, 1) bulunur.

b) mT2 · 2 = –1 ⇒ mT2 = 21- dir.

f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x ⇒

x = b için, mT2 = 2b = 21- ⇒ b = 4

1- tür.

O halde, ,P 41

161

-c m bulunur.

ÖRNEK

f(x) = x2 eğrisinin y = 2x – 5 doğrusuna,

a) Paralel olan teğetinin b) Dik olan teğetinin

eğriye değme noktalarını bulunuz.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular

5

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUGrafikte Teğet – I

3. y

6

2

–1

T

f(x)d

xo

Şekildeki d doğrusu T(6, 2) noktasında y = f(x) fonksiyo-nuna teğettir. Buna göre f'(6) kaçtır?

Ç - 1

4. y

2B

AT

y = x2 + 1 d

xo

Şekildeki y = x2 + 1 parabolü d doğrusuna apsisi 2 olan T noktasında teğettir. Buna göre A ve B noktalarının or-dinatları toplamı kaçtır?

3) 21

4) –2

Aşağıda verilen ifadelerde istenilenleri bulunuz.

1. y

2

f(x)

d

xo

x eksenine paralel d doğrusu x = 2 apsisli noktada f(x) fonksiyonuna teğettir. Buna göre f'(2) kaçtır?

2. y

4

2–1

f(x)d

xo

Şekildeki d doğrusu x = 4 apsisli noktada f(x) e teğettir. Buna göre f'(4) kaçtır?

1) 0 2) 2

Konu Özeti

� y

yo

αxo

A(xo, yo)

teğety = f(x)

xo

y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsisi xo olan A nokta-sından çizilen teğetinin eğimi, bu fonksiyonun xo apsisli noktasındaki türevi olduğunu hatırlayınız.Yani,

mT = tan a = f'(xo) dır.

ÖRNEK

y

2

6

3

Af(x)

dxo

Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonuna x = 2 apsisli A noktasında teğettir. Buna göre f'(2) yi bulunuz.

ÇÖZÜM Sola yatık eğimler negatiftir.

y

2

6

3α β

A f(x)

dxo

f'(2) = md

md = tan β = – tan a

md = 36 2- =-

O halde f'(2) = –2 bulunur.

6

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Grafikte Teğet – II

3. y

245

f(x) d

xo

Şekildeki d doğrusu f(x) fonksiyonuna y ekseni üzerin-deki ordinatı 2 olan noktada teğettir.

g(x)x 4f(x)2=

+ olduğuna göre g'(0) kaçtır?

4. y

1 2

f(x)

A(2, 1)d

xo

Şekildeki f(x) fonksiyonunun A(2, 1) noktasındaki teğeti x eksenine paraleldir. h(x) = x · f(x) + x2 olduğuna göre h(x) in x = 2 apsisli noktadaki teğetinin denklemi nedir?

3) 41

4) y = 5x – 4

Aşağıdaki ifadelerden istenilenleri bulunuz.

1. y

2

2

–1

A f(x)d

xo

Şekildeki f(x) fonksiyonu A noktasında d doğrusuna te-

ğettir. ( )( )

h x xf x

= olduğuna göre h'(2) kaçtır?

2. y

1

f(x)

y = 3x + 6

xo

f(x) fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğeti y = 3x + 6 doğrusudur. h(x) = x2 + f2(x) olduğuna göre h'(1) kaçtır?

1) 61- 2) 56

Konu Özeti

� Grafik üzerindeki noktanın denklemi sağlamasına göre ve türev - teğet eğimi ilişkileriyle gerekli değerler tespit edilip istenilen bulunur. Örneklerle açıklayalım,

ÖRNEK

5 A

345°↓o

y = g(x)d

c

y

x

Şekildeki d doğrusu y = g(x)

fonksiyonunun grafiğine A nokta-

sında teğet ve ( ) °m ABC 45=% dir.

f(x) = x · g(x) olduğuna göre f'(3) ün değerini bulunuz.

ÇÖZÜM Grafiği okuyarak değer tespiti yapalım,

g(3) = 5 (Nokta denklemi sağlar)g'(3) = md

= tan 45°= 1 (Teğetin eğimi o noktadaki türevdir)

f(x) = x · g(x) ⇒ f'(x) = 1 · g(x) + x · g'(x)x = 3 için ⇒ f'(3) = ( ) · ' ( ) ·g g3 3 3 5 3 1 8

5 1

+ = + =: ; bulunur.

ÖRNEK

2

t31o

y = f(x)y

x

A

Şekildeki t doğrusu y = f(x) fonksiyonuna A noktasında teğettir. h(x) = f2(x) fonksiyonu için verilenlere göre h(x) in 1 noktasın-daki teğetinin eğimini bulunuz.

ÇÖZÜM Grafiği okuyarak değer tespiti yapalım,

f(1) = 2 (Nokta denklemi sağlar)

f'(1) = mT = 1 3

2 0 1-

-=- (İki nokta ile eğim)

h(x) = f2(x) ⇒ h'(x) = 2f(x)f'(x)

x = 1 deki teğetin eğimi, h'(1) dir.

x = 1 için ⇒ h'(1) = ( ) ' ( ) · ·( )· ·f f1 1 2 2 1 422 1

= - =--

9 : bulunur.

7

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUFonksiyona Üzerinde Olmayan Noktadan Teğet Atma

3. f(x) = e2x eğrisinin hangi noktasından çizilen teğeti (1, 0) noktasından geçer?

Ç - 2

4. f(x) = ln x fonksiyonuna orjinden çizilen teğetin denkle-mi nedir?

3) , e23 3c m 4) y e

x=


1. y = x2 + 1 parabolüne orjinden çizilen teğetlerin değme noktaları nedir?

2. y = x3 + 1 eğrisine A(2, 1) noktasından çizilen teğetle-rin eğimleri nedir?

1) (1, 2), (–1, 2) 2) 27 ve 0

Konu Özeti

� A(xo , yo) noktasından y = f(x) fonksiyonuna çizilen teğet P(a, b) noktasında eğriye değiyorsa,

m a xb y

To

o=-

-= ' ( )f a

> : eşitliğinden faydalanılır.

iki nokta türev ile eğim ile eğim

ÖRNEK (Dışardan Atılan Teğet Çifti)

f(x) = x2 parabolüne A(1, 0) noktasından çizilen teğetle-rin eğimlerini bulunuz.

ÇÖZÜM

B

C(a, a2)

y = x2

A(1, 0)

f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x

mT = f'(a) = 2a

m aa a a a a a1

0 2 2 0 2T

22 2 2& &=

-

-= = - = -a2

> 6 iki nokta türev ile eğim ile eğim

⇒ 0 = a(a – 2) ⇒ a = 0 veya a = 2 dir.

O halde, mT1 = mAB = f'(0) = 2 · 0 = 0 ve

mT2 = mAC = f'(2) = 2 · 2 = 4 tür.

ÖRNEK (Dışardan Atılan Teğet)

f(x) = ex eğrisine orjinden çizilen teğetin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

o(0, 0)

A(a, ea)

y = ex

x

y f(x) = ex ⇒ f'(x) = ex isemT = f'(a) = ea

m ae

ae e0

0T

aa

aa& &=

-

-= =e

> 6 iki nokta ile eğim türev ile eğim

·e e a a 1a a &= = dir.

O halde, mT = f'(1) = e1 = e ve O(0, 0) noktasından ge-çen doğru, y – 0 = e(x – 0) ⇒ y = ex doğrusu bulunur.

8

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU

3. f(x) = x2 – 3x + 1 fonksiyonunun x = 1 ve x = –2 apsisli noktalarındaki teğetleri arasındaki dar açının tanjantı nedir?

Ç - 3

4. f(x) = x2 – 6x + 8 fonksiyonuna x eksenini kestiği nok-talardan çizilen teğetler arasındaki dar açının kotan-jantı kaçtır?

3) 43

4) 43


1. f(x) = x2 + 2x + 7 parabolünün y = 4x + 1 doğrusuna en yakın noktasının koordinatlarını bulunuz.

2. y = x2 – 2x + 6 eğrisinin y = 2x doğrusuna en yakın noktasının ordinatı kaçtır?

1) (1, 10) 2) 6

Konu Özeti (Paralel Teğet Çizme)

�

P

y = f(x) d

teğet

y = f(x) eğrisinin d doğrusuna en ya-kın noktası d doğrusuna paralel ola-rak çizilen teğetin değme noktasıdır.

v Paralel doğruların eğimlerinin eşitliğinden fayda-lanılır.

mT = md

Konu Özeti (Teğetler Arası Açı)

� y = f(x) ve y = g(x) kesişen iki eğri olmak üzere,

m1 ve m2 kesişim noktasından çizilen teğetlerin eğim-leri iken,

·tan m mm m

1 1 2

1 2a =

+

- ifadesindeki a ise teğetler arasın-

daki açılardan birisidir.

Kesişim noktası ortak çözüm (f(x) = g(x)) ile bulunur.

ÖRNEK (En Yakın Nokta)

f(x) = x2 + 1 eğrisinin y = 2x – 3 doğrusuna en yakın noktasını bulunuz.

ÇÖZÜM

P

f(x) = x2 + 1

y = 2x – 3

dtf(x) in d doğrusuna en yakın noktası P(a, a2 + 1) noktasından çizilen "t" teğeti, "d" doğrusuna paraleldir.

f(x) = x2 + 1 ⇒ f'(x) = 2x ise mT = f'(a) = 2a

123

mt = mdy = 2x – 3 ⇒ md = 2 dir.

O halde, 2a = 2 ⇒ a = 1 ve P(1, 12 + 1) ⇒ P(1, 2) dir.

ÖRNEK

f(x) = x2 ve g(x) = x1 eğrilerinin keşiştiği noktadan bu

eğrilere çizilen teğetler arasındaki açının tanjantını bulunuz.

ÇÖZÜM Öncelikle ortak çözüm yapılarak eğrilerin kesim noktası tespit edilir.

I. adım: x2 = x1 ⇒ x3 = 1 ⇒ x = 1

O halde kesim noktası P(1, 1) dir.

II. adım: f(x) = x2 ⇒ f'(x) = 2x ise m1 = f'(1) = 2

g(x) = x1 ⇒ g'(x) =

x12- ise m2 = g'(1) = –1

III. adım: Teğetler arası açı (eğriler arası açı) a olsun,

( )( )

αtan m mm m

1 1 12 1

32· ·1 2

1 2=+

-=+ -

- -=- bulunur.

En Yakın Nokta / Teğetler Arası Açı

35

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUYerel Ekstremum Kavramı

2. y = f(x) fonksiyonunun,

a) Yerel minimum noktalarını bulunuz.

b) Yerel minimum değerlerini bulunuz.

c) Mutlak minimum değerini bulunuz.

3. y = f(x) fonksiyonunun,

a) Yerel maksimum noktalarını bulunuz.

b) Yerel maksimum değerlerini bulunuz.

c) Mutlak maksimum değerini bulunuz.

4. y = f(x) artandan azalana, azalandan artana geçmediği halde yerel ekstremum olan nokta hangisidir?

5. Yerel ekstremum olduğu halde türevi sıfır olmayan noktalar hangileridir?

6. Yerel ekstremum olmadığı halde türevi sıfır olan nokta hangisidir?

2) a) (–3, –2), (1, –1), (6, 0) b) –2, –1, 0 c) –2

3) a) (–1, 3), (4, 4) b) (3, 4) c) 4 4) (6, 0) 5) (1, –1), (4, 4), (6, 0) 6) (3,1)

–4 –3 –2

–1–1

11

2

2

3

3

4

4

y = f(x)

5 6

–2

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız.

1. f(x) in artanlığını – azalanlığını ve f'(x) in işaretlerini aşağıdaki tablonun aralıklarında belirtiniz.

x

f(x)

f'(x)

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

xf(x)

f'(x) – + + – – + + + – –

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

Konu Özeti

� f(x) fonksiyonunun artandan azalana geçtiği sürekli noktalar yerel maksimum, azalandan artana geçtiği sürekli noktalar yerel minimum noktalardır.

� Bilimsel tanım: f: A → R, c ∈�(a, b) ⊂ A olmak üzere

�v ∀x ∈ (a, b) için f(c) ≥ f(x) ise f(x) in (c, f(c)) nokta-sında bir yerel maksimumu vardır.

�v ∀x ∈ (a, b) için f(c) ≤ f(x) ise f(x) in (c, f(c)) nokta-sında bir yerel minimumu vardır.

� Mutlak ekstremumlar: f(x) fonksiyonunun yerel maksimumlarından değeri en büyük olanına mutlak maksimum, yerel minimumlarından değeri en küçük olanına mutlak minimum denir.

Fonksiyon sınır noktalarında tanımlı ise bu noktalar da yerel ekstremum olarak değerlendirilir.

ÖRNEK

24

–3 –2 –2–3

–4

3 y = f(x)

5

–1 1

y

x

f: [–4, 4) → R de tanımlı f(x) fonksiyonunun grafiğine göre yerel ekstremum noktalarını ve değerlerini tespit ederek mutlak maksimum ve mutlak minimum değerle-rini bulunuz.

ÇÖZÜM Noktalar Değerler Mutlak

Yerel Minimum: (–4, 0), (–1, –3) 0 ve –3 –3

Yerel Maksimum: (–3, 3), (2, 5) 3 ve 5 5

Dikkat edilirse (–4, 0) noktasında azalanlıktan artanlığa geçilmemesine rağmen yerel minimum olarak alındı. Çünkü bu nokta tanımlı olan sınır noktasıdır. Ancak (4, –2) noktası tanımlı olmadığı için yerel minimum olarak ALINAMAZ!

36

2. f: R → R tanımlı ve türevli bir ( )f x x x x k31 2 33 2= - + +

fonksiyonunun yerel minimum değeri 1 olduğuna göre k kaçtır?

3. f(x) = x2 – 3kx + 4 fonksiyonunun minumum noktasının ordinatı –5 olduğuna göre k nın pozitif değeri kaçtır?

2) 1 3) 2

1. Aşağıdaki fonksiyonların yerel ekstremum noktala-rını bulunuz.

a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 4

b) f(x) = x3 – 12x + 5

c) f(x) = xx

12

-

d) ( ) lnf x xx

=

1) a) (–1, 9) yerel max, (3, –23) yerel min b) (–2, 21) yerel max, (2, –11) yerel min

c) (0, 0) yerel maks., (2, 4) yerel min. d) (e, e) yerel min,

Konu Özeti

� f(x) fonksiyonu x = c de sürekli iken, (c, f(c)) noktasıYEREL EKSTREMUM ise,

yatay teğet noktası kırık nokta 678 64748

(i) f'(c) = 0 veya f'(c) yoktur.

(ii) f'(x), x = c de işaret değiştirir.

y

c f fc

Yatay teğet noktası

x

y

Kırık nokta

x

v xf'(x) – +

f(x)

c–∞ +∞

(c, f(c))YEREL MİNİMUMDUR

–∞ +∞xf'(x) + –

f(x)

c

(c, f(c))YEREL MAKSİMUMDUR

� Sonuç: Sürekli olunan bir noktanın yerel ekstremum olması için o noktada türev yoktur ya da sıfırdır şartı ile birlikte o noktada türev işaret değiştirmelidir.

ÖRNEK (Yerel Ekstremum Bulma)

f(x) = x2 – 6x fonksiyonunun yerel ekstremumlarını belirleyiniz.

ÇÖZÜM f(x) = x2 – 6x ⇒ f'(x) = 2x – 6 = 0 ⇒ x = 3

xf'(x) – +

f(x)

–∞ 3 +∞

Yerel minimum

x = 3 de f'(x) negatiften pozitife geçerken f(x) azalandan artana geçtiği için bu noktada f(x) yerel minimuma sahiptir.

O halde, x = 3 için f(3) = 32 – 6 · 3 = –9 ise (3, –9) yerel minimum noktasıdır. –9 ise yerel minimum değeridir.

ÖRNEK (Yerel Ekstremum Belli İken)

f(x) = x x x k31 33 2- - + fonksiyonunun yerel minimum

değeri 1 olduğuna göre k yı bulunuz.

ÇÖZÜM ( )f x x x x k31 33 2= - - + ise f'(x) = x2 – 2x – 3

f'(x) = 0 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ (x + 1)(x – 3) = 0 ⇒

x = –1 veya x = 3 tür.

xf'(x) + – +

f(x)

–1–∞ +∞3

Yerelmaks.

Yerelmin.

x = 3 de f'(x) negatiften pozitife geçerken f(x) azalandan artana geçtiği için bu noktada f(x) yerel minimuma sahiptir.

O halde, x = 3 için f(3) = 1 ise,

( )f k3 31 3 3 3 3 1·3 2= - - + = ⇒ k = 10 bulunur.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Yerel Ekstremumun Varlığı – I

37

4. f(x) = x2 + 2ax + b fonksiyonunun yerel minimum nok-tası (2, 3) olduğuna göre b kaçtır?

5. f: R → R, f(x) = x3 + mx2 – nx + 4 fonksiyonunun x = –1 apsisli noktada yerel maksimum değeri 9 oldu-ğuna göre m – n farkı kaçtır?

6. f: R → R, f(x) = x3 + mx2 + nx + 4 fonksiyonu x = –1 apsisli noktadaki yerel maksimum değeri 10 olduğuna göre m ve n değerleri kaça eşittir?

4) 7 5) –12 6) m = –4, n = –11


1. f(x) = x2 + ax + b fonksiyonunun yerel minimum nokta-sı (3, –6) olduğuna göre a + b kaçtır?

2. f(x) = x3 + 3x2 + kx + 2 fonksiyonu veriliyor. Buna göre k nın hangi aralıktaki değerleri için fonksiyonun yerel ekstremumu yoktur?

3. f(x) = x3 + (2 – m)x2 + 3x + 5 fonksiyonunun ekstre-mum noktası olmadığına göre m kaç farklı tam sayı değeri alır?

1) –3 2) k ≥ 3 3) 7

Konu Özeti

� y = f(x) fonksiyonunun x = a apsisli noktasındaki yerel ekstremum değeri b ise f'(a) = 0 ve f(a) = b eşitlikle-riyle elde edilen denklem sistemi çözülür.

� Daima artan ya da daima azalan fonksiyonlarda yerel ekstremum bulunmaz.

Bir fonksiyonunun kırık noktalarında türevi yoktur; ancak sürekli ise yerel ekstremum olabilir. DİKKATEDİNİZ!

ÖRNEK (Kırık Noktada)

f(x) = 3 – x fonksiyonunun varsa yerel ekstremumunu belirleyiniz.

ÇÖZÜM f(x) fonksiyonunun grafiğini çizerek değer-lendirelim.

3

3

–3

y

x

x = 0 de f(x) in türevi yoktur. (kırık nokta) Ancak x = 0 da f(x) sürekli ve artıştan azalışa geçtiği için (0, 3) noktası yerel maksimum noktadır. Fonksiyonun maksimum değeri 3 tür.

ÖRNEK (Yerel Ekstremum Belli İken)

f: R → R, f(x) = x mx nx3 103

2+ + + fonksiyonunun x = 3 apsisli noktasındaki yerel minimum değeri 1 oldu-ğuna göre m ve n değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM f(x) in x = 3 de yerel minimumu olduğu için

f'(3) = 0 ve f(x) in x = 3 de yerel minimum değeri 1 oldu-ğu için f(3) = 1 dir.

f'(x) = x2 + 2mx + n ⇒ f'(3) = 9 + 6m + n = 0 ................(i)

f(x) = x33

+ mx2 + nx + 10 ⇒ f(3) = 9 + 9m + 3n + 10 = 1.(ii)

(i) ve (ii) ortak çözülürse m = –1 ve n = –3 bulunur.

ÖRNEK (3. Derece Fonksiyon)

( )f x x x kx3 2 13 2

= + + + fonksiyonunun yerel ektremumla-

rının olmaması için k nın aralığı ne olur?

ÇÖZÜM ( )f x x x kx3 2 13 2

= + + + ise f'(x) = x2 + x + k

Yerel ekstremumların olmaması için f'(x) = 0 ın reel kökü olmamalıdır ya da reel kök varsa çift katlı olmalıdır.

x2 + x + k = 0 için ∆ ≤ 0 ise 12 – 4 · 1 · k ≤ 0 ⇒ ≤ k41 dır.

O halde k ∈ [ 41 , 0) dır.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUYerel Ekstremumun Varlığı – II

38

2. y

xo

y = fI(x)

–3–6

–7–5 2

1

2

4 5

–2

–2

Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilen ifadeleri Doğru "D", Yanlış "Y" ya-zarak cevaplayınız.

a) x = –7 apsisli noktada f(x) in yerel minimumu vardır.

b) x = 5 apsisli noktada f(x) in yerel maksimumu vardır.

c) x = –2 apsisli noktada f(x) in yerel minimumu vardır.

d) (2, 5) aralığında f(x) in yerel minimumu vardır.

e) f(x) in ekstremum noktalarının apsisleri toplamı –12 dir.

f) f(x) in yerel maksimum noktalarının apsisleri toplamı 2 dır.

g) f(x) in yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı –7 dir.

2) a) D b) Y c) D d) Y e) D f) Y g) Y

1. y

xo

fI(x)

–3–6 –4 2

4

5

6

34 6

–2

–2–1

7

Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilen ifadeleri Doğru "D", Yanlış "Y" ya-zarak cevaplayınız.

a) x = –4 apsisli noktada f in yerel maksimum noktası vardır.

b) f in yerel maksimum noktaların apsisleri toplamı 0 dır.

c) x = 2 apsisli noktada f in yerel maksimumu vardır.

d) x = 4 apsisli noktada f in yerel maksimumu vardır.

e) f in yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı 2 dir.

f) x = 6 apsisli nokta f'(x) in yerel minimum noktasıdır.

g) x = 3 apsisli nokta f'(x) in yerel maksimum noktasıdır.

1) a) D b) D c) Y d) D e) Y f) D g) D

Konu Özeti

� Tanımlı olduğu aralıkta f(x) sürekli bir fonksiyon ol-mak üzere, f'(x) in grafiği yardımıyla işaret tablosu yapılarak f(x) in ekstremum noktaları tespit edilebilir.

v f'(x) tanımsız olduğu nokta, f(x) in kırık (sivri) nok-tası olduğu için ekstremum olabilir.

v f'(x) in x eksenine teğet olduğu nokta f'(x) in çift katlı kökü olduğu için f(x) in ekstremumu olamaz.

ÖRNEK

1 32–3

y = fI(x)

y

x

Şekilde, R →�R ye tanımlı f fonksiyonu-nun türevinin grafiği verilmiştir. Buna göre y = f(x) in ekstremum noktalarının apsisleri toplamını bulunuz.

ÇÖZÜM f'(x) = 0 ın kökleri –3, 1 ve 3 tür. x = 3 te çift katlı kök olduğuna dikkat ediniz. Ayrıca x = 2 de f'(x) ta-nımsız olduğu için işaret tablosunda değerlendirilmelidir.

xf'(x) – + – + +

f(x)

–∞ –3 1 2 3 –∞

yerelmin.

tanımsız noktaçift katlı kök

yerelmin.

yerelmaks.

x = –3 ve x = 2 de f'(x) negatiften pozitife geçerken f(x) azalandan artana geçtiği için; (–3, f(–3)), (2, f(2)) nokta-ları f(x) de yerel minimum noktalardır.

x = 1 de f'(x) pozitiften negatife geçerken f(x) artandan azalana geçtiği için, (1, f(1)) noktası f(x) de yerel maksi-mum noktadır.

x = 3 de f'(x) işaret değiştirmediği için, f(x) de (3, f(3)) ekstremum nokta olamaz.

O halde, ekstremum noktaların apsisleri toplamı,–3 + 1 + 2 = 0 bulunur.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f'(x) in Grafiğiyle Ekstremum

39

4. f(x) = x4 – 8x3 + 18x2 + 5x + 2

5. f(x) = (x – 3)3 + 1

6. ( )f xe1 1x= +

4) (–∞, 1) ve (3, ∞) konveks, (1, 3) konkav 5) (–∞, 3) konkav, (3, ∞) konveks

6) ∀ x ∈ R için konvekstir

Aşağıda verilen eğrilerin konveks (çukur) ve konkav (tümsek) oldukları aralıkları bulunuz.

1. f(x) = x3

2. f(x) = –x3 + 3x2 + 2

3. f(x) = 9 – x2

1) (–∞, 0) konkav, (0, ∞) konveks 2) (–∞, 1) konveks, (1, ∞) konkav

3) ∀ x ∈ R için konkav

Konu Özeti

� f: [a, b] → R fonksiyonu (a, b) aralığında I. ve II. türev-li ve sürekli iken ∀x∈(a, b) için

v f''(x) > 0 ⇔�f in eğrilik yönü yukarı doğrudur.

f v f dış bükeydir, çukurdur, konveksdir.

v f eğrisi teğetlerinin üstündedir.

v f''(x) < 0 ⇔ f in eğrilik yönü aşağı doğrudur.

f

v f iç bükeydir, tümsektir, konkavdır

v f eğrisi teğetlerinin altındadır.

ÖRNEK

f(x) = x3 – 6x2 + 1 fonksiyonunun konveks ve konkav olduğu aralıkları bulunuz.

ÇÖZÜM f''(x) i bularak işaret tabolosunu yapalım,

f(x) = x3 – 6x2 + 1 ⇒ f'(x) = 3x2 – 12x ⇒ f''(x) = 6x – 12

f''(x) = 6x – 12 = 0 ⇒ x = 2 bulunur.

xf''(x) – +

f(x)

–∞ 2 +∞

konkav(tümsek)

konveks(çukur)

(–∞, 2) aralığında f"(x) < 0 olduğu için f(x) konkavdır. (İç bükeydir)

(2, +∞) aralığında f"(x) > 0 olduğu için f(x) konveksdir. (Dış bükeydir)

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUEğrilik Yönü: 2. Türevin Geometrik Anlamı

40

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Dönüm (Büküm) Noktası

Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

5. f"(x) = (x – 1) · (x – 2)2 · (x – 3)3 olduğuna göre f(x) in dönüm noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

6. f(x) = x · ex + 1 eğrisinin dönüm noktasının koordinatla-rı toplamı kaçtır?

7. y = t4 – 6t2 ve x = 2t + 1 iken y = f(x) eğrisinin dönüm noktasının koordinatları çarpımı kaçtır? (t > 0)

5) 4 6) e

21

2

-- 7) –15

Aşağıda verilen eğrilerin dönüm noktalarının koordi-natlarını bulunuz.

1. f(x) = x3 + 6x2

2. f(x) = x3 – 3x2 + 5

3. f(x) = x4 – 2x3 – 5x + 1

4. f(x) = (x – 1)4

1) (–2, 16) 2) (1, 3) 3) (0, 1), (1, –5) 4) Yoktur

Konu Özeti

� Bir fonksiyonunun eğriliğinin yön değiştirdiği (2. tü-revin işaret değiştirdiği) sürekli noktası dönüm (bü-küm) noktasıdır.

� xo apsisli noktası f(x) fonksiyonunun dönüm noktası ise

fII > 0xo

x

yfII < 0

↑ ↑ ↑

↑↑ ↑

fII > 0xo

x

y

f

f

ffII < 0

↑↑↑ ↑ ↑

↑

fII > 0xo

x

y

fII < 0

↑↑

↑ ↑

fII(x) = 0(i) (ii) fII(xo) yokturya da

� f''(x) = 0 denkleminin xo çift katlı kökü ise f'' fonksi-yonu işaret değiştirmeyeceği için xo apsisli nokta f in dönüm noktası olamaz.

xf'' + +

f

xf'' – –

f

xo–∞ –∞+∞ +∞xo

Dönüm noktası OLAMAZLAR

123 123

144424443

ÖRNEK (Dönüm Noktası)

f(x) = x3 + 3x2 fonksiyonunun dönüm noktasını işaret tablosu yaparak bulunuz.

ÇÖZÜM

f(x) = x3 + 3x2 ⇒ f'(x) = 3x2 + 6x ⇒ f''(x) = 6x + 66x + 6 = 0 ⇒ x = –1

xf''(x) – +f(x)

–1–∞ +∞

Dönüm noktası

x = –1 apsisli noktada f" işaret değiştirirken f in eğrilik yönü değiştiği için dönüm noktasının apsisidir.

(–1, 2) noktası f(x) in dönüm (büküm) noktasıdır.

ÖRNEK (Dönüm Noktası Olmayan)

f(x) = x4 + 3x fonksiyonunun dönüm noktasını bulunuz.

ÇÖZÜM

f(x) = x4 + 3x ⇒ f'(x) = 4x3 + 3 ⇒ f''(x) = 12x2

12x2 = 0 ⇒ x1 = x2 = 0 (çift katlı köktür)

xf''(x) + +f(x)

+∞0–∞

Dönüm noktası olamaz

x = 0 apsisli noktada f''(x) = 0 ın çift katlı kökünde f'' işaret değiştirmediği için f in eğrilik yönü değişmez ve dönüm noktası olamaz.

Fonksiyonun dönüm noktası YOKTUR!

41


1. f(x) = x3 – 3x2 + 5x + 7 fonksiyonunun simetri merkezi-ninin koordinatları nedir?

2. f(x) = x3 – 6x2 + a fonksiyonunun simetri merkezinin koordinatları toplamı –13 olduğuna göre a kaçtır?

Ç - 6

3. f(x) = x3 + ax2 – 2bx + 1 fonksiyonunun simetri merkezi (–1, 9) olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?

1) (1, 10) 2) 1 3) 6


1. f(x) = ax3 + (a + 1)x2 + 3x – 4 fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi x = –1 olduğuna göre a kaçtır?

2. f(x) = x3 + mx2 + (1 – m)x – 4 fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi 1 olduğuna göre ordinatı kaçtır?

3. f(x) = 2x3 + mx2 – nx – 2 fonksiyonunun x = 1 de yerel ekstremumu, x = –1 de dönüm (büküm) noktası oldu-ğuna göre m – n farkı kaçtır?

1) 21

2) –2 3) –12

Konu Özeti (Dönüm Noktasının Varlığı)

� f(x), 3. dereceden polinom fonksiyonun dönüm nok-tası (a, b) ise,

(ii) f(a) = b ve (ii) f''(a) = 0 dır.

Konu Özeti (Simetri Merkezi)

� 3. dereceden polinom fonksiyonların dönüm noktaları simetri merkezleridir.

ÖRNEK

f(x) = x3 + mx2 + nx + 2 fonksiyonunun (1, 3) noktasında dönüm noktası var ise m ve n değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM f(1) = 3 ve f''(1) = 0 dır.

(i) f(x) = x3 + mx2 + nx + 2 ⇒ f(1) = 1 + m + n + 2 = 3

(ii) f'(x) = 3x2 + 2mx + n ⇒ f''(x) = 6x + 2m ⇒ f''(1) = 6 + 2m = 0

(i) ve (ii) ortak çözülürse m = –3 ve n = 3 bulunur.

ÖRNEK

f(x) = x3 + 3x2 fonksiyonunun simetri merkezini bulunuz.

ÇÖZÜM

f(x) = x3 + 3x2 ⇒ f'(x) = 3x2 + 6x ⇒ f''(x) = 6x + 66x + 6 = 0 ⇒ x = –1

xf''(x) – +

f(x)

–1–∞ +∞

Dönüm noktası

x = –1 apsisli nokta dönüm noktası olduğu için f(x) in simetri merkezi-dir.

O halde, x = –1 için f(–1) = 2 ise (–1, 2) simetri merke-zidir.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUDönüm Noktasının Varlığı / Simetri Merkezi

42

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f(x) in Eğrilik Yönü ile f"(x) i Yorumlama

2. y

xo

f(x)

–3–1–7

–5 1BA

46

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A ve B noktaları dönüm (büküm) noktaları olduğuna göre aşağıdaki verileri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevap-layınız.

a) f"(–5) = 0 f) f'(1) · f''(3) < 0

b) f"(–4) < 0 g) f'(5) · f"(5) > 0

c) f"(–6) · f"(3) > 0 h) f(7) · f"(4) > 0

d) f"(–1) > 0 k) (–∞, –5) aralığında f'(x) artandır.

e) f"(0) < 0 l) (1, ∞) aralığında f'(x) azalandır.

2) a) Y b) D c) D d) D e) Y f) D g) D h) D k) Y l) D

1. y

xo

y = f(x)

–2A

B

C D E

–1–4 1 2 3 5 79

Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. A, B, C, D ve E noktaları f(x) in dönüm noktaları olduğuna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak ce-vaplayınız.

a) f"(–3) > 0 g) f'(2) = 0

b) f"(–6) > 0 h) f"(4) < 0

c) f'(–2) = 0 k) f'(5) = f"(7) = 0

d) f'(1) < 0 l) " · " ( )f f23 4 0<c m

e) f"(0) = 0 m) (1, 3) aralığında f'(x) artandır.

f) f"(1) = 0 n) (–2, 0) aralığında f'(x) artandır.

1) a) D b) Y c) Y d) D e) Y f) D g) D h) D k) D l) D m) D n) Y

Konu Özeti

� Bir f fonksiyonunun grafiğinde, eğriliğin yön değiştir-diği dönüm noktaları f''(x) = 0 ın kökleridir.

f in grafiğindeki sürekli olan kırık noktalar, türevsiz olmasına rağmen eğrilik yön değiştiri-yorsa dönüm noktasıdır.

� f in eğrilik yönü ile f' in artan azalanlığı da yorumla-nabilir.

v f çukur ( ) ⇔ f'' > 0 ⇔ f' artan ()

v f tümsek ( )⇔ f'' < 0 ⇔ f' azalan ()

v f doğrusal ( ) ⇔ f'' = 0 ⇔ f' sabit (→)

ÇÖZÜM

a) (–∞, 1) aralığında f(x) çukur olduğundan f"(x) > 0 dır.

(1, 4) aralığında f(x) tümsek olduğundan f"(x) < 0 dır.

(4, 6) aralığında f(x) çukur olduğundan f"(x) > 0 dır.

(6, ∞) aralığında f(x) tümsek olduğundan f"(x) < 0 dır.

x = 1 ve x = 6 apsisli noktalarda f(x) in eğriliğinin yönü değiştiği için f"(1) = f"(6) = 0 dır ve bu noktalar f(x) in dönüm noktalarıdır.

x = 4 apsisli noktada f(x) eğrisi yön değiştirmesine rağ-men kırık nokta olduğu için f"(x) yoktur; ancak bu nokta yine de f(x) in dönüm noktasıdır.

b) f" fonksiyonu f' in türevi olduğu için,

(–∞, 1) ve (4, 6) aralıklarında f"(x) > 0 olduğundan f'(x) artandır.

(1, 4) ve (6, ∞) aralıklarında f"(x) < 0 olduğundan f'(x) azalandır.

ÖRNEK

–1 1oA

y = f(x)

y

x

BC

4 6

Şekildeki A, B ve C noktaları y = f(x) fonksiyonunun dönüm noktalarıdır.

Buna göre;

a) f"(x) fonksiyonunun işaretini yorumlayınız.

b) f'(x) fonksiyonunun artan azalanlığını yorumlayınız.

43

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUf''(x) Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönü

2. y

xo fII(x)

84–3–5

Şekilde f: R → R ye sürekli f(x) fonksiyonunun ikinci türevinin grafiği verilmiştir.

Buna göre aşağıdaki soruları Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.

a) R– de f(x) tümsektir.

b) (0, 4) aralığında f(x) iç bükeydir.

c) f(x) in 3 tane dönüm noktası vardır.

d) x = 0 apsisli noktada f'(x) yerel minimuma sahiptir.

e) (4, f(4)) noktası f(x) in kırık görünümdeki dönüm nok-tasıdır.

f) (–5, 0) aralığında f"(x) tümsektir.

g) f(x) in çukur olduğu aralıktaki x tam sayılarının top-lamı 6 dır.

2) a) D b) Y c) Y d) D e) D f) Y g) D

1. y

xo

fII(x)–3 –1

–7–9

–52

4

Şekilde f"(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre aşağıdaki soruları Doğru "D", Yanlış "Y" ya-zarak cevaplayınız.

a) (–∞, –9) aralığında f(x) çukurdur.

b) (–9, –5) aralığında f(x) dış bükeydir.

c) (–5, –1) aralığında f(x) konvekstir.

d) x = –7 apsisli nokta f(x) in dönüm noktasıdır.

e) x = –1 apsisli noktada f(x) in eğrilik yönü değişmedi-ğinden dönüm noktası değildir.

f) f(x) in dönüm noktalarının apsisleri toplamı –9 dur.

g) x = 4 apsisli noktada f'(x) yerel minimuma sahiptir.

1) a) D b) Y c) D d) Y e) D f) Y g) Y

Konu Özeti

� Bir f'' fonksiyonunun grafiğinde f''(x) = 0 ın tek katlı kökleri f(x) in dönüm noktalarıdır.

v f'' > 0 olduğu aralıkta f çukurdur. ( )

v f'' < 0 olduğu aralıkta f tümsektir. ( )

v f" = 0 olduğu aralıkta f doğrusaldır. (→)

f'' in grafiğinin x eksenine teğet olduğu çiftkatlıköklerinde f'' işaret değiştirmeyeceği için f in eğrilik yönü değişmez, dönüm noktası OLAMAZ!

ÇÖZÜM f''(x) = 0 ın tek katlı kökleri –3 ve –1, çift katlı

kökü 1 dir. Yani f"(–3) = f"(–1) = f"(1) = 0 dır.

xf''(x) + – + +

f(x)

–∞ –3 –1 1 +∞

Çukur Çukur ÇukurTümsek

(–∞, –3) aralığında f"(x) > 0 olduğundan f(x) çukurdur.

(–3, –1) aralığında f"(x) < 0 olduğundan f(x) tümsektir.

(–1, ∞) aralığında f"(x) > 0 olduğundan f(x) çukurdur.

f in eğrilik yönünün değiştiği –3 ve –1 apsisli noktaları dönüm noktasıdır; ancak 1 apsisli noktada f in eğrilik yönü değişmediği için, dönüm noktası olamaz.

O halde, (–3, f(–3)) ve (–1, f(–1)) noktaları f(x) fonksiyo-nunun dönüm noktalarıdır.

ÖRNEK

1–3–2

–1

yy = fII(x)

x

Şekildeki ikinci türevinin grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünü tespit ederek dönüm noktalarını bulunuz.

44

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU f'(x) in Grafiği ile f(x) in Eğrilik Yönünü Yorumlama

2. y

xo

fI(x)

–6–4

–2–10

–83 5

6 8 10 12

Şekilde f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre aşağıdaki verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.

a) –8, –4, 0, 5, 8 ve 10 apsisli noktalar f(x) in dönüm noktalarıdır.

b) (–∞, –8) aralığında f" > 0 olduğundan f çukurdur.

c) (–8, –6) aralığında f" < 0 dır.

d) (–4, –2) aralığında f tümsektir.

e) (–4, f(–4)) noktası f(x) in dönüm noktası olmasına rağmen f"(–4) yoktur.

f) f''(x) = 0 in kökler toplamı 11 dir.

g) (10, ∞) aralığında f(x) in bütün teğetleri f(x) eğrisinin üstündedir.

2) a) D b) Y c) Y d) D e) D f) Y g) D

1. y

xo

fI(x)

–3–7

–52 4 6

8

Şekilde f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak ce-vaplayınız.

a) f"(–5) = f"(2) = f"(4) = f"(6) = 0

b) (–∞, –5) aralığında f(x) tümsektir.

c) (–5, 2) aralığında f(x) konkavdır.

d) (2, 4) aralığında f(x) iç bükeydir.

e) (4, 6) aralığında f(x) çukurdur.

f) (–5, 2) aralığında f eğrisi teğetlerinin üstündedir.

g) x = –3 apsisli noktada f(x) in yerel maksimumu vardır.

1) a) D b) D c) Y d) D e) D f) D g) Y

Konu Özeti

� Grafikle açıklayalım;

y

xofI(x)

fII(d) = 0

fII(b) = 0

b ca d

e

x = b ve x = d apsisli noktalarda f''(b) = f"(d) = 0 dır.

(–∞, b) ve (d, ∞) aralığında f'(x) azalan olduğundan

f"(x) < 0 dır. O halde, f(x) tümsektir.

(b, d) aralığında f'(x) artan olduğundan f''(x) > 0 dır.

O halde, f(x) çukurdur.

� Sonuç: f' fonksiyonunun 1. türevi f" fonksiyonu oldu-ğu için,

v f' artan () ise f'' > 0 ⇔ f çukurdur. ( )

v f' azalan () ise f'' < 0 ⇔ f tümsektir. ( )

ÖRNEK

21–2–1

yy = fI(x)

x

Şekilde türevinin grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun eğrilik yönünü ve dönüm noktalarını inceleyiniz.

ÇÖZÜM

(–∞, –1) aralığında; f'(x) azalan ise f''(x) < 0 ⇔ f(x)

tümsektir. ( )

(–1, 1) aralığında; f'(x) artan ise f"(x) > 0 ⇔ f(x) çukur-

dur. ( )

(1, 2) aralığında; f'(x) azalan ise f"(x) < 0 ⇔ f(x) tümsek-

tir. ( )

(2, ∞) aralığında; f'(x) artan ise f"(x) > 0 ⇔ f(x) çukurdur.

( )

x = –1, x = 1 ve x = 2 apsisli noktalarda;

f"(–1) = f"(1) = f"(2) = 0

dır ve bu noktalarda f(x) in eğrilik yönü değiştiği için

((–1, f(–1)), (1, f(1)) ve (2, f(2)) noktaları f(x) in dönüm

(büküm) noktalarıdır.

45

2. y

–1 1 x

fII(x)o

Şekilde f"(x) in grafiği verilmiştir.

Buna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış (Y) yazarak cevaplayınız.

a) (–∞, –1) ve (1, ∞) aralığında f'(x) azalandır.

b) x = –1 apsisli noktada f'(x) in yerel minimumu vardır.

c) x = 0 apsisli nokta f'(x) in yerel maksimumudur.

d) f IV(x) fonksiyonu R den R– ye tanımlıdır.

e) f(0) = 0 dır.

f) f"'(x) daima azalandır.

2) a) D b) D c) Y d) D e) Y f) D

1. y

xofI(x)–5

–32

4–1

Şekilde f'(x) in grafiği verilmiştir.Buna göre aşağıda verilenleri Doğru "D", Yanlış "Y" yazarak cevaplayınız.

a) f"(0) > 0 d) f'(–4) · f"(1) > 0

b) f'(–6) · f"(–2) < 0 e) f"'(–3) > 0

c) f"(–3) = f"(2) = 0 f) f"'(2) · f"'(4) > 0

g) (–∞, –5) ve (2, 4) aralığında f(x) azalandır.

h) (–∞, –5) aralığında f(x) tümsektir.

k) (–3, 2) aralığında f(x) çukurdur.

1) a) D b) Y c) D d) Y e) D f) D g) Y h) D k) D

Konu Özeti

� f grafiğinden f' ve f" nasıl yorumlanıyorsa,

f' grafiğinden f'' ve f"'

f" grafiğinden f"' ve f (ıv)

f(n) grafiğinden f(n + 1) ve f(n + 2)

aynı şekilde yorumlanır.

14243

Bunların tersindeki yorumlarda aynı şekilde yapılır. Yani,

v f f' f" f"' ...

Artan

Azalan

+

– Artan

Azalan

+

– . . .

v f f' f" f"' ...

∪∩

+

–

∪∩

+

– . . .

ÇÖZÜM

(i) f(x) in artan - azalan olduğu aralık hakkında yorumu

yapabiliriz.

y

xo

fI(x)

31–5–2

– – – –––++

– ––

++ +++

+–1

x

f'(x) – + – +

f(x)

–∞ –5 –1 3 +∞

azalan azalanartan artan

x = –5 ve x = 3 de f(x) in yerel minimumu, x = – 1 de f(x) in yerel maksimumu vardır.

(ii) f"(x) in işareti hakkında yorum yapabiliriz. (f(x) den f'(x) e geçişin aynısı)

(–∞, –2) aralığında f'(x) artan olduğundan f"(x) > 0 dır.

(–2, 1) aralığında f'(x) azalan olduğundan f"(x) < 0 dır.

(1, ∞) aralığında f'(x) artan olduğundan f''(x) > 0 dır.

f"(–2) = f"(1) = 0 dır.

(iii) f"'(x) in işareti hakkında yorum yapabiliriz.

x = –2 apsisli nokta tümsekte olduğu için f"'(–2) < 0 dır.

x = 1 apsisli nokta çukurda olduğu için f"'(1) > 0 dır.

ÖRNEK y

xo

fI(x)

–1–2–5 1 3

Şekilde verilen f'(x) in grafiğine göre f(x), f"(x) ve f"'(x) i yorumlayı-nız.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMUGrafikte Ardışık Türev

46

4. f(x) = x4 – 4x3 + 2x fonksiyonu veriliyor. Buna göre f'(x) fonksiyonunun azalan olduğu aralık nedir?

5. ( )f x x x x31 3 1–3 2= + + fonksiyonuna dönüm noktasın-

dan çizilen teğetin eğimi kaçtır?

6. ( )f x x x6 3 63

= - + fonksiyonunun dönüm noktasından

çizilen teğetinin ox ve oy ekseni ile oluşturduğu üçge-nin alanı kaç birim karedir?

4) (0, 2) 5) 2 6) 6

Aşağdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.

1. f(x) = x3 + 3x2 + 4x + 5 fonksiyonu veriliyor. Buna göre f'(x) fonksiyonunun x = 1 apsisli noktadaki teğetinin eğimi kaçtır?

2. f(x) = x4 – x2 + x + 2 fonksiyonu veriliyor. f"(x) fonksiyo-nunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?

3. ( )f x x x x3 2 2 43 2

= - - + fonksiyonu veriliyor. f'(x) fonk-

siyonuna üzerindeki hangi noktadan çizilen normalin

eğimi 31- tür?

1) 12 2) 24 3) (2, 0)

Konu Özeti

� Türevin türevleri yorumlanırken daha önce öğrendi-ğimiz 1. türev ve 2. türev geçişleri aynen uygulanır.

Bir fonksiyonun 1. türevinin o fonksiyonun teğetinin eğimini verdiğini hatırlayınız.

v Fonksiyon 1. Türev

Artan +

Azalan – 1444442444443

Fonksiyonun ekstremum noktalarının tespiti

v Fonksiyon 2. Türev

∪ +

∩ – 14444244443

Fonksiyonun dönüm noktalarının tespiti

ÖRNEK (1. Türevin Teğet Denklemi)

f(x) = x3 + x2 + x olmak üzere f'(x) fonksiyonunun x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM Teğet f'(x) e çizileceği için;

f'(x) = 3x2 + 2x + 1 ⇒ f'(–1) = 2 ise (–1, 2) teğet noktası,

f''(x) = 6x + 2 ⇒ f'(–1) = –4 ise mT = –4 teğetin eğimidir.

O halde, y – 2 = –4(x + 1), f'(x) fonksiyonuna,

x = –1 apsisli noktasından çizilen teğet denklemidir.

ÖRNEK (Dönüm Noktasından Çizilen Teğet)

f(x) = x3 + 3x2 fonksiyonunun dönüm noktasından çizilen teğetinin eğimini bulunuz.

ÇÖZÜM f(x) = x3 + 3x2 ⇒ f'(x) = 3x2 + 6x ⇒

f''(x) = 6x + 6

f"(x) = 0 ⇒�6x + 6 = 0 ⇒ x = –1 dönüm noktasının apsisidir.

mT = f'(–1) = 3(–1)2 + 6 · (–1) = –3, x = –1 apsisli nokta-sından f(x) e çizilen teğetin eğimidir.

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Türevin Türevleri

47

Ç - 7

4. f(x) = x3 + ax2 + bx + c fonksiyonunun x = –1 de yerel minimumu olduğuna göre a ve b nin aralıkları nelerdir?

5. f: [0, π] → R olmak üzere, f(x) = 2 sin2 x – x fonksiyo-nun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?

4) a > 3 ve b > 3 5) π

12


1. f(x) = x3 – 12x + 5 fonksiyonunun ekstremum noktala-rındaki eğrilik yönünü belirtiniz.

2. f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 3 fonksiyonunun yerel mini-mum ve yerel maksimum noktaları nelerdir?

3. f(x) = x3 – ax2 + bx + 4 fonksiyonunun x = 1 de yerel maksimumunun olması için a nın aralığı ne olmalıdır?

1) (–2, 21) de tümsek, yerel maks. (2, 11) da çukur, yerel min.

2) (–1, 10) yerel maks. (2, –17) yerel min. 3) a > 3

Konu Özeti

� Yerel ekstremum için 2. türev testi:

(x = x0 civarında f türevlenebiliyorsa)y

xx0o

ff(x0)

f'(x0) = 0 ise, f in x = x0 da

f'' (x0) < 0123

yerel maksimumu vardır.

y

xx0o

f

f(x0)f'(x0) = 0 ise, f in x = x0 da

f'' (x0) > 0

123

yerel minimumu vardır.

ÖRNEK

f(x) = x4 – 8x2 + 2 nin yerel ekstremumlarını işaret tablo-su yapmadan eğrilik yönü ile belirleyiniz.

ÇÖZÜM

f(x) = x4 – 8x2 + 2 ⇒�f'(x) = 4x3 – 16x ⇒ f''(x) = 12x2 – 16

ı. Adım: f'(x) = 0 ın köklerini bulalım,

4x3 – 16x = 0 ⇒ 4x (x–2) · (x + 2) = 0

⇒ x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2 dir.

II. Adım: f'(x) = 0 ın kökleri f''(x) de yerine yazalım,

f''(0) = –16 < 0 ise x = 0 da yerel maksimum vardır. (0, 2)

f

f''(–2) = 32 > 0 ise x = –2 de yerel minimum vardır. (–2, –14)

f''(2) = 32 > 0 ise x = 2 de yerel minimum vardır. (2, –14)

ÖRNEK

f(x) = x4 – 8x2 + 2 nin yerel ekstremumlarını işaret tablo-su yapmadan belirleyiniz.

ÇÖZÜM

f(x) = x4 – 8x2 + 2 ⇒�f'(x) = 4x3 – 16x ⇒ f''(x) = 12x2 – 16

(i) f'(x) = 0 ın köklerini bulalım,

4x3 – 16x = 0 ⇒ 4x (x–2) · (x + 2) ⇒ x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2 dir.

(ii) f'(x) = 0 ın kökleri f''(x) de yerine yazalım,

f''(0) = –16 < 0 ise x = 0 da yerel maksimum vardır. (0, 2)

f

f''(–2) = 32 > 0 ise x = –2 de yerel minimum vardır. (0, 2)

f''(2) = 32 > 0 ise x = 2 de yerel minimum vardır. (0, 2)

ÖRNEK (Trigonometrik Fonksiyondaki Ekstremum)

f: (0, 2π) → R, f(x) = sin x + cos x fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM

I. Adım: f'(x) = 0 ın köklerini bulalım,

f(x) = sin x + cos x ⇒ f'(x) = cos x – sin x

f'(x) = 0 ⇒ sin x – cos x = 0

⇒ sin x = cos x ⇒ cossin tanx

x x1 1&= =

,x x4 45π π

1 2& = =

II. Adım: f'(x) = 0 ın köklerini f"(x) de yerine yazalım,

f''(x) = –sin x – cos x olduğuna göre,

(i) '' sin cosf 4 4 4 2 0π π π<=- - =-c m

O halde, x 4π

= de f(x) in yerel maksimumuna sahip

değeri, sin cosf 4 4 4 2π π π= + =c m

, 24πc m

f

(ii) '' sin cosf 45

45

45 2 0π – π π

>= - =c m

O halde, x 45π

= de f(x) in yerel minimuma sahip değeri,

sin cosf 45

45

45 2π π π

= + =-c m , 2

45π-f p

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU2. Türev ile Ekstremum

67

Ekonomik Uygulama MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ

3. Bir atölyede ayda x tane ayakkabı yapılmaktadır. Her

ayakkabı x60 20-c m liraya malolmaktadır. Ayakkabıla-

rın tanesi x50 10+c m liraya satıldığına göre maksimum

kârın elde edildiği ayda kaç tane ayakkabı satılmıştır ?

Ç - 14

4. Bir sinemada bir bilet 20 liradan satıldığında 100 kişi film izlemeye gelmektedir. Sinema biletine yapılan her 1 liralık indirimde sinemaya gelen müşteri sayısı 10 kişi artmaktadır.

Sinemanın kasasına en fazla paranın girdiği gün bir bi-let kaç liradır?

3) 100 4) 15

1. Bir otomobil firması yılda x adet otomobil üreterek bir otomobilden (30000 – 3x) lira kâr elde ediyor. Bir yılda maksimum kâr elde etmesi için kaç otomobil üretme-lidir?

2. 10x liraya alınan bir ürün (30x – x2) liraya satılmakta-dır.

a) Satıştan en çok hasılatın elde edilmesi için ürün kaç liraya alınmalıdır?

b) Kârın en çok olması için ürün kaç liraya alınmalıdır?

1) 5000 2) a) 150 b) 100

Konu Özeti (Ekonomik Uygulama)

� İstenilen ifade tek değişkenli fonksiyon olarak yazılıp 1. türev ile ekstremumları incelenerek en az – en çok değeri tespit edilir. Örnekle açıklayalım.

ÖRNEK

Bir firma, bir dükkana x tane ürünün her birini ¨ 10 den verip, mağazanın ürünlerin her birini ¨ (x – 20) den sat-ması koşuluyla ¨ 250 pirim ödeyeceğini söylüyor. Buna göre dükkan bu işten,

a) Kaç ürün sattığında en az ciroyu elde eder?

b) En az kaç ¨ kâr elde edebilir?

ÇÖZÜM x ürün adeti iken,

Maliyet: M(x) = 10x

Ciro: C(x) = x(x – 20) + 250 = x2 – 20x + 250

Kâr: K(x) = x2 – 20x + 250 – 10x = x2 – 30x + 250

a) C(x) = x2 – 20x + 250 ⇒ C'(x) = 2x – 20 = 0

⇒ x = 10 adet üründe en az ciro elde edilir.

b) K(x) = x2 – 30x + 250 ⇒ K'(x) = 2x – 30 = 0

⇒ x = 15 adet üründe en az kâr elde edilir.

K(15) = 152 – 30 · 15 + 250 = ¨ 25 bulunur.

68

MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ En Kısa Zaman / En İyi Görüntü

1.

A

D

C

B

PerdeCD m BC m3 12= = dir.

A noktasında bulunan bir kişinin perdeyi en büyük açı ile görmesi için AB kaç m olmalıdır?

(Kişinin boyu önemsizdir)

1) 6 5

1.

CAsfalt

A

B

km7 Toprak

zemin

AB km ve BC km7 10= = dir.

Bir bisikletli toprak zeminde 3 km/sa ve asfalt yolda 4 km/sa hızla ilerlemektedir. A dan toprak zemine giren bu bisikletli en kısa sürede C ye gitmek için B den

kaç km uzakta asfalt yola çıkmalıdır?

1) 3

Konu Özeti (En Kısa Zaman)

� İstenen zaman ifadesi tek değişkenli fonsiyon olarak yazılıp 1. türev ile ekstremum ifadeleri incelenerek en az – en çok değeri tespit edilir. Örnekle incele-yelim.

yol = hız · zaman olduğunu hatırlayınız.

Konu Özeti (En İyi Görüntü)

� İstenen ifade trigonometrik açılımla tek bilinmeyenli fonksiyon olarak yazılıp 1. türev ile ekstremum ifa-deleri incelenerek en az – en çok değeri tespit edilir.

tan (a ± b) = tan tantan tan

a ba b

1 ·"

! olduğunu hatırlayı-nız.

ÖRNEK

CNehir

AFerhat

Şirin B

AB = 240 m ve BC = 360 m dir. Ferhat'ın yüzme hızı 6 m/dk ve yürüme hızı 10 m/dk dır.

A noktasından suya giren Ferhat en kısa sürede Şirin'e kavuşmak için B den kaç m uzaklıkta sudan çıkmalıdır?

ÇÖZÜM

C D

A

x B

240

360 – x

360

14243

14243

144424443

A dan suya giren Ferhat en kısa sürede D noktasına kadar yüzererek, C ve D arasını yürüyerek Şirin'e kavuşur.

Pisagor teoreminden;

Yüzülen Yol = AD x2402 2= + dir.

Yol = Hız · Zaman ⇒ x t t x240 6 6240·2 2

1 1

2 2

&+ = =+

1442443

yüzülen için

Yol = Hız · Zaman ⇒ 360 – x = 10 · t2 ⇒ t2 = x10

360 -1442443

yürünen için

Buna göre zamanlar toplamı;

T(x) = t1 + t2 = x x6

24010

3602 2++

-

T'(x) = ·x

x x61

2 2402

101 0 180

2 2&

++-= = m dir.

ÖRNEK

A

D

C

B

PerdeA noktasında bulunan bir projeksiyon cihazı [CD] de bulunan perdeye yansıtılıyor.

,CD m BC m8 6= = olduğuna göre projeksiyonun

en büyük açıyla perdeye yansıtılması için AB kaç m olmalıdır?

ÇÖZÜM

A

a – θ

D

C

Bθ

8

6

x

a

Projeksiyon cihazının en büyük açı ile yansıtılması için

( ) ( )αm BAD ve m BAC i= =t t ise ( ) αm CAD i= -t için

tan (a – θ) en büyük olmalıdır.

αtan tanx ve x6 14

i = = dir.

( ) ( )αα

αtan tan tantan tanT x 1 ·i

i

i= - =

+

-

( )T x

x x

x xx

x

1 14 6

14 6

848

·2& =

+

-=

+

' ( )( )

( )T x

xx x x

xx

848 84 8 2

84672 8·

2 2

2

2

2

=+

+ -=

+

-

' ( )( )

T xx

x x084

672 8 0 2 212 2

2

& &=+

-= = m dir.

86

2. f(x) = –x3 + x2 + 2ax + 1 fonksiyonunun tersinin olması için a nın aralağı ne olmalıdır?

2) ∞,61

– –c E

1. f(x) = x3 – 6x2 – 15x + 3 fonksiyonunun kaç tane kökü vardır?

1) 3

Konu Özeti

� Verilen fonksiyondaki kök sayısının belirlenmesi için

I. Adım: ekstremum noktaları bulunur.

II. Adım: Ekstremumlardan yerel minimum ve yerel maksimumum işaretlerine göre kök sayısı belirlenir.

Örnekle açıklayalım.

ÖRNEK (Fonsiyonun Kök Sayısı)

f(x) = x3 – 12x + a fonksiyonunun üç tane kökünün olması için a nın aralığı ne olmalıdır?

ÇÖZÜM

f(x) = x3 – 12x + a ⇒ f'(x) = 3x2 – 12

f'(x) = 0 ⇒ 3x2 – 12 = 0 ⇒ x = ± 2x

f'(x)= 3x2 – 12x + – +

f(x)

–2 2

maks. min.y

x–2

2o

Fonksiyonunun maksimum değeri pozitif, minimum değeri negatif olduğunda üç kökü bulunur.

f(–2) = (–2)3 – 12 · (–2) + a = –8 + 24 + a

O halde f(–2) = a + 16 > 0 ⇒ a > –16 dır.

f(2) = 23 – 12 · 2 + a = 8 – 24 + a

O halde f(2) = a – 16 < 0 ⇒ a < 16 dır.

Buna göre a ∈ (–16, 16) dır.

ÖRNEK (Fonsiyonun Tersinin Varlığı)

f(x) = x3 + ax2 + x + 7 fonksiyonunun tersinin var olması-nı sağlayan a nın aralığını bulunuz.

ÇÖZÜM Fonksiyonunun tersinin olması için fonksi-

yon birebir ve örten olmalıdır.

3. dereceden bir fonksiyonun birebir ve örten olması için bir kökü olmalı ve daima artan veya daima azalan olmalıdır.

y

x

f(x)

o

f(x) = x3 + ax2 + x + 7

f'(x) = 3x2 + 2ax + 1

Daima artan olması için f' ≥ 0

∆ ≤ 0 ⇒ ∆ = (2a)2 – 4 · 3 · 1 ≤ 0

4a2 – 12 ≤ 0 ⇒ ≤ ,a a4 12 3 3–213 & d 6 @

ÖRNEK (Fonksiyonun Kök Sayısı)

f(x) = –x3 + 3x2 + 4 fonksiyonunun kök sayısını tespit ediniz.

ÇÖZÜM

f(x) = –x3 + 3x2 + 4 ⇒ f'(x) = –3x2 + 6x

f'(x) = 0 ⇒ –3x2 + 6x = 0 ⇒

–3x (x – 2) = 0 ⇒ x = 0 ve x = 2

xf'(x)= –3x2 + 6x – + –

f(x)

0 2

min. maks.

f(0) = –03 + 3 · 02 + 4

⇒ f(0) = 4

f(2) = –23 + 3 · 22 + 4

⇒ f(2) = 8

Fonksiyonun minimum ve maksimum değerlerine göre grafiği belirlendiğinde x eksenini kestiği noktalar kökle-ridir.

y

f(x)

x4

8

2o

Fonksiyonunun x eksenini kestiği bir noktası yani bir tane kökü vardır.

Köklerin SayısıGRAFİKLER

95

KONU TESTİ – 1Teğet ve Normal Doğruların Eğimi ve Denklemi

1. f(x) = x3 + 5x + 3 fonksiyonunun x = 0 apsisli nokta-sındaki teğetin eğimi kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2. f(x) = ax3 – 4x2 + 2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi 8 olduğuna göre a kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. f(x) = x3 – 3x2 – 4x + 1 fonksiyonuna x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi y = mx + n oldu-ğuna göre m + n toplamı kaçtır?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

4. x2 + y2 + xy – y – 5 = 0 eğrisinin P(1, 2) noktasında-ki teğetinin eğimi kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 21- D) 2

3 E) 2

5. f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 fonksiyonu üzerindeki x = 2

apsisli noktadan çizilen normalin denklemi aşağı-

dakilerden hangisidir?

A) x + 4y – 6 = 0 B) x + 4y + 5 = 0

C) 4x + y + 3 = 0 D) 4x + y – 6 = 0

E) x + 4y – 10 = 0

6. f(x) = ln (cos x) eğrisinin apsisi 3π olan noktasındaki

normalinin eğimi kaçtır?

A) 3- B) 33

- C) 0 D) 33 E) 3

7. f(x) = sin (cos x) in x 2π

= noktasındaki normalin eğimi kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

8. y = 2ax2 – 4x + 5 fonksiyonunun x = 1 apsisli nok-tasındaki teğeti x ekseni ile 45° lik açı yapıyorsa a kaçtır?

A) 43 B) 1 C) 4

5 D) 23 E) 2

9. f(x) = x2 – 3x + 5 fonksiyonunun hangi noktasındaki teğeti x ekseni ile 135° lik açı yapar?

A) (–1, 3) B) (1, 3) C) (–1, 4)

D) (–1, 4) E) (3, 1)

Ç - 20

10. R → R tanımlı f ve g fonksiyonları f(x) = 3x2 + 2 ve g(x) = x + 2 kuralı ile tanımlanıyor.

h(x) = (fog)(x) ile tanımlı h fonksiyonunun hangi noktasındaki teğetinin eğimi –6 dır?

A) (0, 5) B) (–3, 4) C) (–3, 2)

D) (–3, 5) E) (1, 5)

115

1.

O 2–24–4

f'(x)

y

x

Şekilde y = f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) f''(2) = 0 B) f''(0) = 0 C) f''(–4) > 0

D) f''(4) < 0 E) f'''(–2) > 0

2.

–7–6

–4 –2–1

O2

4 6 8

y = f'(x)

y

x


Buna göre y = f(x) in dönüm noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

3.

O 31–4

y = f'(x)y

x

Şekilde f'(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) f''(0) < 0 B) f''(1) > 0 C) f'''(3) < 0

D) f''(2) > 0 E) f'''(–5) < 0

4.

y = f'(x)O 2

–1–4–5 3

y

x

Şekilde f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği verilmiştir.

f(x) in x = a için maksimum, x = b için minimum ve x = c için dönüm noktası var ise a + b + c toplamı kaçtır? (a > 0 , c < 0)

A) –3 B) –2 C) 1 D) 2 E) 4

5.

O 1 24–2

–3

f'(x)

y

x


Buna göre f(x) için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) x < –3 için artandır.

B) x = 4 apsisli noktada yerel maksimumu vardır.

C) x = 2 dönüm noktasıdır.

D) (–2, 2) için f''(x) > 0 dır.

E) x = –2 apsisli noktada yerel maksimumu vardır.

6.

O1

1

3

–2–4

f(x)

y

x

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre;

I. (–∞, –2) aralığında f'(x) > 0 dır.

II: x = –2 apsisli noktada türev olmadığı için f(x) in yerel ekstremumu yoktur.

III. f'(–2) = 0 dır.

IV. (–2, ∞) aralığında f'(x) < 0 dır.

Yukarıda verilenlerin hangileri doğrudur?

A) I, II ve IV B) I ve III C) II ve IV

D) I ve IV E) II, III ve IV

f'(x) ve f''(x) Grafikleri ile Yorum KONU TESTİ - 11

131

Ç - 1

A noktası y = x2 + 1 parabolünün y eksenini kestiği nokta olduğu için y = x2 + 1 de x = 0 için y = 02 + 1 = 1 bulunur. Yani A(0, 1) dir.

T noktası y = x2 + 1 parabolünün üzerinde olduğu için

T noktasını y = x2 + 1 de sağlatabiliriz.

O halde T nin ordinatı x = 2 için y = 22 + 1 = 5 dir. Yani T(2, 5) dir. B(0, k) olsun,

d doğrusunun (teğet) eğimi parabolün türevinin x = 2 apsisli noktada-ki değeridir.

y = x2 + 1 ⇒ y' = 2x ⇒ y'(2) = md = 4

md = 4 = k0 2

5-

- (T ve B noktalarından eğim) ⇒ k = –3 tür.

O halde A nın ordinatı 1, B nin ordinatı –3 ise ordinatlar toplamı

–3 + 1 = –2 bulunur.

Ç - 2

Teğetf(x)

0(0, 0)

T(a,

ln a)

Teğetin eğimi: mT = f'(a) dır.

' ( ) ' ( )f x x m f a a1 1

T&= = =

O ve T noktalarından geçen teğetin eğimi ise

ln lnm aa

aa

00

T = -

-=

O halde bu eğimleri eşitlersek

lna a

a1&= a = e dir. T(e, 1) olur.

O halde eğimi e1 ve 0(0, 0) noktasından geçen doğru denkleminden

·( )e x y y ex1 0 0 &- = - = bulunur.

Ç - 3

y = f(x) = x2 – 6x + 8 parabolünün x eksenini kestiği noktalar

y = 0 için x2 – 6x + 8 = 0 ⇒ (x – 4) · (x – 2) = 0

⇒ x = 2 ve x = 4 yani (2, 0) ve (4, 0) dır.

d2d1

y = f(x)

(4, 0)(2, 0)

f'(x) = 2x – 6

m1 = f'(2) = 2 · 2 – 6 = –2

m2 = f'(4) = 2 · 4 – 6 = 2

İki doğru arasındaki açı a ise,

( )αtan m mm m

1 1 2 22 2

34

· ·1 2

1 2=+

-=+ -

- -= tür. αcot 4

3=

Ç - 4

y = x3 + 3Teğet

A(1, 4)

y' = 3x2

mT = y'(1) = 3

Eğimi 3 olan A(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi

3(x – 1) = y – 4 ⇒ y = 3x + 1

y = 3x + 1 ile y = x3 + 3 ortak çözülürse

x3 + 3 = 3x + 1 ⇒ x3 – 3x + 2 = 0 ⇒ x = 1 ve x = –2 dir.

O halde B(–2, –5) bulunur.

Ç - 5

f(x) = x · e–x ⇒ f'(x) = 1 · e–x – 1 · e–x · x

⇒ f'(x) = e–x (1 – x) = 0 ⇒ x = 1

x

f'(x) + ––∞ +∞1

Artan Azalan

Ç - 6

f(x) in (–1, 9) simetri merkezi ise f''(–1) = 0 ve f(–1) = 9 dur.

f'(x) = 3x2 + 2ax – 2b ⇒ f"(x) = 6x + 2a

⇒ f"(–1) = –6 + 2a = 0 ⇒ a = 3

f(x) = x3 + 3x2 – 2bx + 1 ⇒ f(–1) = –1 + 3 + 2b + 1 = 9 ⇒ b = 3 tür.

Buradan a + b = 6 bulunur.

Ç - 7

f(x) in x = –1 de yerel minimumu varsa f'(–1) = 0 ve f"(–1) > 0 olma-lıdır.

f'(x) = 3x2 + 2ax + b ⇒ f'(–1) = 3 – 2a + b = 0

f"(x) = 6x + 2a ⇒ f"(–1) = –6 + 2a > 0 ⇒ a > 3 tür.

3 – 2a + b = 0 ⇒ a b2

3=+ eşitliğini a > 3 eşitsizliğinde yerine yazılır-

sa b2

3 3>+ ⇒ b > 3 bululur.

Ç - 8

Bu soruya çok dikkat etmelisiniz. Soruda f'(x) in azalan olduğu aralık soruluyor. Yani f"(x) < 0 olduğu aralığı bulmalıyız.

f'(x) = –x2 + 8x – 6 ⇒ f''(x) = –2x + 8 = 0 ⇒ x = 4

x

f''(x) + ––∞ +∞4

f'(x) Artan f'(x) Azalan

f'(x) (4, ∞) aralığında azalandır.

Ç - 9

A

D Cx

x2x

123

123

B36 – 3x

A(x) = 2x (36 – 3x)

A(x) = 72x – 6x2

A'(x) = 72 – 12x = 0

⇒ x = 6 dır O halde A(6) = 12 · (36 – 18) = 216 m2 bulunur.

Ç - 10

x x

6 x36 2-

M

LK

N

A(x) = 2x · ' ( ) · ·

( ) ·x A x x

x

x x36 2 36

2 36

2 202 2

2&- = - +

-

-=

x 3 2& = dir O halde, ( )A 3 2 6 2 36 18 36·= - = cm2 bulunur.

Sizin İçin Çözdüklerimiz

Documents

İÇİNDEKİLER - metinyayinlari.com · 2 4. f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 fonksiyonunun x = –2 apsisli noktasındaki teğetinin x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı kaç derecedir?