I Solidi Regolari - web.inge.unige.itweb.inge.unige.it/SMA/Sv/Plato.pdf · I Solidi Platonici sono solidi con-vessi delimitati da facce costi-tute da poligoni regolari tutti uguali

I Solidi

Regolari

??-??- 2001

Cosa sono

i

Solidi Platonici

1

I Solidi Platonici sono solidi con-

vessi delimitati da facce costi-

tute da poligoni regolari tutti

uguali tra loro.

Un Solido di questo genere e

individuato dal numero dei la-

ti del poligono che costituisce

ciascuna faccia e dal numero

di facce che concorrono in un

vertice.

2

E facile riconoscere che si pos-

sono costruire solidi di questo

genere solo nel caso in cui si

scelgano facce che siano

1. Triangoli Equilateri

2. Quadrati

3. Pentagoni

3

Non e possibile costruire poli-

goni con facce esagonali

infatti

• almeno tre facce devono con-

correre in un vertice

• l’esagono ha angoli interni ugua-

li a 120o

4

Se le facce sono esagonali tre

facce che abbiano

• un vertice in comune

• un lato in comune a due a

due

devono risultare complanari, e

non delimitano un solido.

5

Per la stessa ragione possono

essere costruiti solidi regolari so-

lo con

• 3, 4 o 5 facce triangolari

Infatti poiche gli angoli di un

triangolo equilatero sono di 60o,

6 triangoli che concorrono in

un vertice ed abbiano un lato

in comune a due a due devono

essere disposti su un piano.

6

Possono inoltre essere costruiti

solidi regolari solo con

• 3 facce quadrate (4 · 90 =

360)

o con

• 3 facce pentagonali (4·108 >

360)

7

I Solidi Platonici sono solo 5

nell’ordine

TETRAEDRO

ESAEDRO

OTTAEDRO

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

8

Ogni poliedro regolare e inscrit-

to in una sfera di raggio R

Possiamo supporre R = 1

Ogni poliedro regolare e circo-

scritto in una sfera di raggio

r.

9

Indichiamo con

• v il numero dei suoi vertici,

• e il numero dei suoi lati,

• f il numero delle sue facce,

• p il numero di spigoli per ogni faccia,

• q il numero di spigoli che si incontrano in

un vertice,

Per i Solidi Platonici vale la formula di Eulero

v + f − e = 2

10

• a la lunghezza dello spigolo,

• θ l’angolo diedrale formato da due facce,

• V il volume

• S la superficie

11

Galleria

12

Il Tetraedro

Ha 4 facce triangolari

13

v : numero di verticie : numero di spigolif : numero di faccep : numero di lati di una facciaq : numero di spigoli per verticer : raggio della sfera inscrittaa : lunghezza dello spigoloV : VolumeS : Su[erficieθ : angolo diedrale

v e f p q4 6 4 3 3

rR = r

1 a V S13

4√6

8√

33 8

√3

27

cos θ θ13 70o31′44′′

14

L’esaedro

Ha 6 facce quadrate

15


v e f p q8 12 6 4 3

rR = r

1 a V S1√3

2√3

8√

39 8

cos θ θ0 90o

16

L’Ottaedro


17


v e f p q6 12 8 3 4

rR = r

1 a V S√3

32√2

43 4

√3

cos θ θ13 109o28′16′′

18

Il Dodecaedro

Ha 12 facce pentagonali

19


v e f p q20 30 12 5 3

rR

= r1

a V S√750+330

√5

15(√

5+1)

√5−1√3

√15+7

√5(√

5−1)3

12√

1216

√25+10

√5

(√

5+1)2

cos θ θ1√5

116o33′34′′

20

L’Icosaedro


21


v e f p q12 30 20 3 5

rR

= r1

a V S√14+6

√5√

30+6√

5

4√10+2

√5

20+4√

5

3√

10+2√

510

√3− 2

√15

cos θ θ√5

3 138o11′23′′

22

Platone

e

I Solidi Regolari

23

Lo studio dei poliedri regolari

risale ai Pitagorici e ad Euclide

Gia a loro era noto che poteva-

no essere costruiti solo 5 solidi

regolari convessi

Tuttavia il promo trattamento

sistematico si fa risalire a Tee-

teto, un discepolo di Platone,

E contenuto nel Timeo, uno dei

dialoghi di Platone.

24

I filosofi socratici non avevano

particolare interesse in questio-

ni matematiche,

Socrate di cui Platone era di-

scepolo aveva idee poco chiare

anche sul significato di numero.Non mi permettero mai di dire che quando uno e

aggiunto a uno, o l’uno che deve essere aggiunto ol’uno a cui si deve aggiungere, diventa due a causa

dell’addizione di uno all’altro.

Io immagino che quando ognuno e separatodall’altro, ognuno di essi e uno, ma quando si

avvicinano, questa e la causa del loro diventare due.

Neppure mi posso persuadere che quando una cosa e

divisa, questa divisione e la causa del suo diventare

due, perche la causa di diventare due e esattamente

l’opposto

25

Tuttavia Platone venne in con-

tatto con la scuola dei Pitago-

rici e sul frontespizio della sua

accademia era addirittura affis-

so il motto

Non entri chi non sa di

Geometria

26

Platone enfatizza la corrispon-

denza dei solidi regolari con gli

elementi fondamentali

Tetraedro Fuoco

Esaedro Terra

Ottaedro Aria

Icosaedro Acqua

27

Platone tenta inoltre di carat-

terizzare ciascun solido regola-

re mediante il numero triangoli

di un certo tipo mediante i quali

possono essere costruite le loro

facce

Platone usa triangoli rettangoli

i cui lati siano proporzionali alle

terne

(1,2,√

3) , (1,1,√

2)

28

Mediante essi e possibile costrui-

re triangoli equilateri e quadra-

ti, ma non pentagoni.

29

Contando i triangoli che com-

pongono ciascuna faccia Plato-

ne attribuisce un numero ad ogni

solido ed associa al solido uno

dei quattro elementi

Tetraedro Fuoco Plasma 24

Esaedro Terra Solido 24

Ottaedro Aria Gas 48

Icosaedro Acqua Liquido 120

30

Naturalmente il dodecaedro non

puo essere caratterizzato da ta-

li triangoli egli non se ne occu-

pa esplicitamente ma altre fon-

ti riportano che al dodecaedro

fossero associati 360 triangoli

rettangoli.

31

Basandosi su tali numeri Plato-

ne elabora una curiosa teoria in

base alla quale

una particella di liquido = 5 particelle di pla-

sma

oppure

una particella di liquido = due particelle di

gas + una di plasma

Viceversa

due particelle di plasma = una particella di

gas.

32

Naturalmente solo acqua aria

e fuoco possono combinarsi o

scomporsi, in quanto caratte-

rizzati dallo stesso tipo di trian-

goli.

Il fatto che la terra sia costitui-

ta da triangoli di altro tipo in-

dica una difficolta a trasmutare

e prefigura i materiali inerti.

33

Il Dodecaedro viene identifica-

to con il quinto elemento, la

quintessenza.

Platone dice che

”Dio ha usato questo solido

per l’intero universo”

Interpreta il fatto che esso sia

costituito da triangoli incommen-

surabili con quelli dei quattro

elementi come positivo:

34

non e accettabile che la quin-

tessenza si trasformi o venga

generata dalle sostanze elemen-

tari.

Keplero ed l’Armonia

dei Mondi

35

Molto piu tardi un altro impor-

tante studioso, Joahn Kepler,

fu colpito dalle particolarita dei

solidi regolari e tento di attri-

buire loro caratteristiche cosmo-

goniche.

Preparando una lezione di geo-

metria, si accorse che il rag-36

gio del cerchio circoscritto ad

un triangolo equilatero e quello

in esso inscritto erano propor-

zionali alle orbite di Saturno e

Giove.

Tento allora di inserire tra le or-

bite di due pianeti successivi un

poligono regolare

I pianeti conosciuti all’epoca era-

no

Mercurio

Venere

Terra

Marte

Giove

Saturno

Tuttavia non trovo riscontri spe-

rimentali.37

Tento allora di usare i poliedri

regolari, che tra l’altro erano

tanti quanti necessari per es-

sere inseriti tra i pianeti allora

conosciuti, e dopo aver prova-

to tutte le possibili combinazio-

ni ne trovo una che aveva una

certa corrispondenza con i dati

orbitali dell’epoca.

38

Sfera dell’orbita di Saturno

Cubo

Sfera dell’orbita di Giove

Tetraedro

Sfera dell’orbita di Marte

Dodecaedro

Sfera dell’orbita di Terra

Icosaedro

Sfera dell’orbita di Venere

Ottaedro

Sfera dell’orbita di Mercurio

39

40

Ad una valutazione mediante i

dati dell’epoca tale ipotesi po-

teva sembrare plausibile ma Ke-

plero stesso si rese conto che

i dati sperimentali non concor-

davano con la sua teoria e de-

dico la sua vita allo studio delle

orbite dei pianeti ricavando le

sue tre celebri leggi.

41

Riportiamo per la cronaca i va-

lori dei rapporti tra sfera circo-

scritta e sfera inscritta di ogni

poliedro regolare

OSaturnoOGiove

= 1.83 RCuborCubo

= 1.73OGioveOMarte

= 3.41 rTetraedroRTetraedro

= 3OMarteOTerra

= 1.52 rDodecaedroRDodecaedro

= 1.26OTerraOV enere

= 1.38 rIcosaaedroRIcosaedro

= 1.26OV enere

OMercurio= 1.86 rOttaedro

ROttaedro= 1.73

42

Dualita tra i solidi

43

Dato un poliedro regolare se ne

puo costruire un altro usando

come vertici i punti medi delle

sue facce.

I solidi cosı ottenuti si dicono

duali l’uno della’altro

44

si puo verificare che

Ottaedro ed esaedro

e

Dodecaedro ed icosaedro

sono mutuamente duali, men-

tre il tetraedro e duale di se

stesso

45

46

47

48

Dodecaedro,

Icosaedro

e

Sezione Aurea

49

La Sezione Aurea

Problema: Dividere il segmen-

to AB in due parti AT e TB

delle quali una sia media pro-

porzionale tra l’altra ed il seg-

mento intero.

A T B

Deve essere

AB

TB=

TB

AT50

AT + TB

TB=

TB

AT

AT

TB+ 1 =

TB

AT

Se chiamiamo

τ =TB

AT

avremo

τ = 1 +1

τ

da cui

51

τ =1±

√5

2=

1.618033987....

−0.618033987....

e

τ =1 +

√5

2= 1.618033987

Consideriamo ora un rettango-

lo i cui lati abbiano lunghezze

proporzionali ad 1 e a τ

e consideriamo tre rettangoli di

questo tipo a due a due orto-

gonali

52

Congiungendo i vertici di cia-

scuno dei rettangoli si ottiene

un icosaedro,

53

Inoltre congiungendo i punti me-

di delle facce di un dodecae-

dro si ottengono tre rettango-

li ortogonali i cui lati sono in

proporzione aurea.

54

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