I. Fundamentos matemáticoslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/T1/Leccion_I_5_g1.pdf · 2006. 2. 26. · Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) 2 I. Fundamentos matemáticos

®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos

5. Divergencia y rotacional5. Divergencia y rotacional

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos

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1.1. Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneasneas2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional

I. FundamentosI. Fundamentos matemmatemááticosticos

Divergencia. Teorema de GaussSignificado físico de la divergencia

Fuentes escalaresRotacional. Teorema de StokesSignificado físico del rotacional

Fuentes vectoriales6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales


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Divergencia de campo vectorialDivergencia de campo vectorialA(r) continuo y derivable (en general)

definición intrínseca: “divA(P)” es flujo de A por unidad de volumen en torno a P

mide variación neta por unidad de longitud de An

expresión en coordenadas ortogonales:

Teorema de GaussTeorema de Gauss“el flujo de A(r) a través de ∂τ es igual a la integral de div A(r) en el volumen τ”

0( )

1limP

dddτ

ττ τΔ →∂ ΔΔ

Φ= ∈⋅∫ A S

31 2 3

11 2 3

1 div ( ) ii i i

h h h Ah h h q h=

⎛ ⎞∂= ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

∑A r = A∇ ⋅

( )( ) d dτ τ

τ∂

⋅ =∫ ∫A r S A∇ ⋅

Divergencia. Teorema de GaussDivergencia. Teorema de Gauss

div ( )=PA

A·dS/Δτ=|An|dS/Δτ

dS=dSnθ

A

∂(Δτ)

An

At

r(q1,q2,q3)

X

Z

YO

P

=Σi Ai (q1,q2,q3) ui


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Solución:es igual al flujo del campo vec-torial A(r)=ρ mv(r) a través de la superficie Σ.

flujo neto en el sentido de dS:

(dm/dt)Σ > 0

flujo neto contrario a dS:

(dm/dt)Σ < 0

Ejemplo de flujo: Un fluido incompresible (densidad ρm constante), se muevesegún una distribución de velocidades v=v(r) (campo vectorial). Determínese

la masa de fluido que atraviesa la superficie Σ por unidad de tiempo.

( )dm ddt ΣΣ

Σ

= ⋅ = Φ∫ rA S

InterpretaciInterpretacióón fn fíísica del flujo: caso particularsica del flujo: caso particular


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Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial“perturbaciones escalares” que actúan como causas del campo vectorial

las líneas de campo divergen o convergen en los puntos donde existen fuentes escalares

div A(r)=∇·A(r) proporciona la distribución de las fuentes escalares de A(r)

Caso a) ausencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto P

densidad de masa constante: ρm=1 gr/cm3

en Δτ entra y sale la misma cantidad de agua

(( )( )

)dmddt ττ

τ∂ Δ∂ Δ∂ Δ

ΔΦ = ⋅ =∫ A S 0= div ( )= 0P

dPdτΦ

=AΔτΔτ→→PP

Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)Significado de la divergencia: fuentes escalares (I)


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ΔτΔτ→→PP

Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

Caso b) presencia de fuentes escalaresagua fluyendo en torno a un punto F donde

hay un reactor que actúa como “manantial”H2+O2 → H2O (líquida)

las líneas de A(r) divergen desde F

en Δτ sale más agua que entra (ρm cte.):

“div A(F) > 0” indica presencia de manantia-les de campo en F: fuentes escalares positivas

0> div ( )= 0F

dFdτΦ

>A(

( )( ))

dmddt ττ


ΔΦ = ⋅ =∫ A S

Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)Significado de la divergencia: fuentes escalares (II)

HH22 OO22

ddSS


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ΔτΔτ→→PP

Fuentes escalares del campo vectorialFuentes escalares del campo vectorial

Caso c) presencia de fuentes “negativas”agua fluyendo en torno a un punto S donde

hay un “sumidero”:H2O (líquida) → H2+O2

las líneas de A(r) convergen en S

en Δτ entra más agua que sale (ρm cte.) :

“div A(F) < 0” indica presencia de sumideros de campo en S: fuentes escalares negativas

0< div ( )= 0S

dSdτΦ

<A(

( )( ))

dmddt ττ


ΔΦ = ⋅ =∫ A S

Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)Significado de la divergencia: fuentes escalares (III)

HH22 OO22

ddSS


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Rotacional de campo vectorialRotacional de campo vectorial

A=A(r) continuo y derivable en P

definición intrínseca de rotacional:

“rot A(r)” mide la variación neta por unidad de longitud de las componentes de A(r) tangenciales a ∂(Δτ), At

en coordenadas ortogonales:∂(Δτ)dS=dSnθ

( )P =rot A

1 2 3

1

1 2 3

1 2 2 3 3

1 2 31 2 3

1 ( )h h h

q q q

h h hA A Ah h h

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=u u u

rotA r = × A∇

An

At

A

dS×A

|dS×A|/Δτ=|At|dS/Δτ

3

( )( )d

τ∂ Δ× ∈∫ S A r1

τΔ0limτΔ →

Rotacional. Teorema de Rotacional. Teorema de StokesStokes (I)(I)

dS×A=dS×At ;

r(q1,q2,q3)

X

Z

YO

P

rot A(P)A(r)|∂(Δτ)

dS×A|∂(Δτ)


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Significado del rotacional: circulaciSignificado del rotacional: circulacióónn

la circulación por unidad de superficie de A(r) alrededor de ΔS ⊥ n, es la proyección de rot A(P) sobre la dirección n

Rotacional.TeoremaRotacional.Teorema de de StokesStokes (II)(II)

Teorema de Teorema de StokesStokes“el flujo del rot A(r) a través de una superfi-cie Σ es igual a la circulación de A(r) a lo largo de su perímetro ∂Σ”

( ) ( )d d∂ΣΣ

× ⋅ ⋅∫ ∫A S = A r r∇

0 ( S)

1Z lim ( )S

P Sd ddS Δ → ∂ ΔΔ

= ⋅∫ A r r ( )P= ⋅ ∈n rot A dr

n·rotA(P)

P A(P)

rot A(P)


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( )Q =rot B 0

Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorial“perturbaciones vectoriales” que actúan como causas del campo vectorial

las líneas de campo “giran” en torno a los puntos donde existen fuentes vectoriales

rot A(r)=∇×A(r) proporciona la distribución de las fuentes vectoriales de A(r)

Ejemplo 1: un hilo de corriente elun hilo de corriente elééctrica es ctrica es fuente vectorial de un campo magnfuente vectorial de un campo magnéético tico BB((rr))

las líneas del campo son circunferencias concéntricas alrededor del hilo de corriente

en un punto donde hay corriente (P)

en un punto donde no hay corriente (Q)

0( )P

IPS

μ Δ⎛ ⎞= ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠rot B n

Pn

B(r) I

Q

Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (I)sico del rotacional: fuentes vectoriales (I)


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Fuentes vectoriales de campo vectorialFuentes vectoriales de campo vectorialEjemplo 2: fluido de densidad constante y

moviento rectilíneo a la largo de una tuberíadistribución de velocidades:

no uniforme ⇒ A(r)=ρmv(r)simétrica respecto del eje longitudinal

ausencia de fuentes vectorialesdistribución simétrica de A(r) en torno a O:

el “molinillo” en O no es movido por el fluido

las líneas de A(r) no giran en torno a Ocirculación nula de A(r) en torno a O:

(proyección del) rotacional nulo

( S )OO

dZ∂ Δ

⋅Δ = ∫ A r 0= 0( )O

dZdS

O =⋅n = rot A

Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (II)sico del rotacional: fuentes vectoriales (II)

ΔτΔτ→→OO

n

eje de simetría

ΔSO

OO


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moviento rectilíneo a la largo de una tuberíafuentes vectoriales positivas

A(r) no es simétrico respecto de P:el “molinillo” en P gira en sentido

antihorario

las líneas del campo A(r) “giran” en torno a P en sentido positivo (respecto de n)circulación de A(r) en torno a P:

“n·rot A(P) > 0” indica presencia de fuente vectorial positiva (con el sentido de n)

( S )PP

Z d∂ Δ

Δ = ⋅∫ A r 0> 0( )P

dZdS

P >⋅n = rot A

Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (III)sico del rotacional: fuentes vectoriales (III)

ΔτΔτ→→PP

n

eje de simetría

ΔSP

PP


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moviento rectilíneo a la largo de una tuberíafuentes vectoriales negativas

A(r) no es simétrico respecto de Q:el “molinillo” en Q gira en sentido horario

las líneas del campo A(r) “giran” en torno a Q en sentido negativo (respecto de n)circulación de A(r) en torno a Q:

“n·rot A(Q) < 0” indica presencia de fuente vectorial negativa (con sentido opuesto a n)

( S )QQ

Z d∂ Δ

Δ = ⋅∫ A r 0< 0( )Q

dZdS

Q <⋅n = rot A

Significado fSignificado fíísico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)sico del rotacional: fuentes vectoriales (IV)

ΔτΔτ→→QQ

n

eje de simetría

ΔSQ

QQ


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τ

Fuentes escalares y vectoriales: ejemplosFuentes escalares y vectoriales: ejemplosEjercicio 1.13.aEjercicio 1.13.a

X

Z

YO

r

2

1( ) rr=A r u ( ) rA r= u

( ) Cϕ=

ρv r u ( )v ϕ= ρ u

Ejercicio 1.17Ejercicio 1.17

P(ρ,ϕ,z)

P(r,θ,ϕ)dSr

ρ

O

ZdSz

dr|ϕv ϕ=v u

Σ

∂Σ=Γϕ:ρ, cte.z, cte.

( ) 4 δ( )rπ=A r∇ ⋅

( )× =A r 0∇

( ) 0=v r∇ ⋅

( ) 2 δ(ρ) zCπ× =v r u∇( ) ( ) 2d d Cϕ

π∂Σ=ΓΣ

× ⋅ ⋅ =∫ ∫v S= v r r∇

( ) 4r

d dττ

πτ∂ =Σ

= ⋅ =∫ ∫A A S∇ ⋅

∂τ=Σr: r, cte.

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I. Fundamentos matemáticoslaplace.us.es/campos/teoria/grupo1/T1/Leccion_I_5_g1.pdf · 2006. 2. 26. · Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación) 2 I. Fundamentos matemáticos