HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH - Tilado.edu.vn · TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1. Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH

Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốnsách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn.Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:

1. Vào trang http://tilado.edu.vn2. Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăngký.

3. Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý nhữngchỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.

4. Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vàođường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.

5. Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.

Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách incùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tươngứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giảichi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèmđể tiện truy cập.

Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®

Tilado®

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNGTUYẾN CỦA TAM GIÁC

BÀI TẬP LUYỆN TẬP1. Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểmD sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = BC. Đườngthẳng AB cắt DE tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DE.

Xem lời giải tại:http://tilado.edu.vn/320/76411

2. Cho ABC, các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Cho biết . Chứng minh rằng .


3. Cho ABC vuông tại A, AB = 5, AC = 12. Ba đường trung tuyến AD, BE, CF gặpnhau tại G. Hãy so sánh GA, GB, GC.


4. Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai trung tuyến bằng nhau thì tam giácđó là tam giác cân.


5. Cho ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Trên tia AD lấyđiểm E sao cho D là trung điểm của AE. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của ABvà BC. Chứng minh rằng ba điểm M, N, E thẳng hàng.

Xem lời giải tại:

http://tilado.edu.vn/320/76411






6. Cho ABC có trọng tâm G và đường trung tuyến AD. Kéo dài GD thêm mộtđoạn DI = DG. Gọi E là trung điểm của AB. IE cắt BG tại M. Chứng minh M làtrọng tâm của ABI.


7. Cho ABC có M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng


8. Cho , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Chứng minhrằng:

a. .

b.


9. Cho ABC có các đường trung tuyến AD = 12 cm, BE = 9 cm, CF = 15 cm.Tính độ dài cạnh BC theo cm (làm tròn đến số thập phân thứ 2).


10. có trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh rằng ABCvuông tại A.


11. Cho , ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ F kẻ đường thẳng song







song với AD cắt ED tại I.a. Chứng minh rằng IC // BE và IC = BE.b. Cho biết AD BE, chứng minh ICF là tam giác vuông và chu vi của tam giácnày bằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của .


12. có ba đường trung tuyến AA', BB', CC'. Chứng minh rằng:


13. Cho , hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại G. Cho. Chứng minh rằng:


14. Cho cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho . Chứng minh rằng .


TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC





TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁCCỦA TAM GIÁC

BÀI TẬP LUYỆN TẬP15. Cho ABC, hai đường phân giác BD và CE của tam giác đó cắt nhau tại O.Tia AO cắt BC tại M. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để .


16. Cho ABC cân tại A, đường phân giác CF. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho . Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD,

BE, CF đồng quy.


17. Cho ABC, , đường phân giác AD. Tia phân giác của góc ADC cắtAC tại I và cắt đường thẳng AB tại K. Gọi tia Cx là tia đối của tia CB. Chứng minhrằng:a. Tia BI là tia phân giác của góc B.b. Tia CK là tia phân giác của góc ACx.


18. Cho ABC, . Vẽ đường phân giác AM của tam giác đó.a. Tính số đo của góc AMB.b. Vẽ đường phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tạiN. Chứng minh rằng AM = AN.


19. Cho ABC vuông tại A. Vẽ MBC vuông cân ở M sao cho M và A thuộc hainửa mặt phẳng đối nhau. Chứng minh rằng:





a. Điểm M cách đều hai cạnh AB và AC.b. Tia AM là tia phân giác của góc A.


20. Cho ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng m // BC. Tia phân giác của cắt đường thẳng m tại M. Chứng minh rằng:a. Đường thẳng AM là đường phân giác ngoài tại đỉnh A của ABC.b. Đường thẳng CM là đường phân giác ngoài tại đỉnh C của ABC.


21. Cho ABC. Gọi I là giao điểm hai phân giác của hai và . Qua I kẻ đườngthẳng song song với BC, cắt AB ở M, cắt AC ở N. Chứng minh rằng:

.


22. Cho ABC vuông tại A. Kẻ ( H BC ). Các tia phân giác của các và cắt nhau ở I. Tia phân giác của cắt BC ở D. Chứng minh

rằng: CI đi qua trung điểm của AD.


23. Cho vuông tại A. I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnhcủa tam giác. Gọi là khoảng cách từ I đến ba cạnh của . Chứng minhrằng: .


24. Cho ABC có đường cao AH, đường phân giác BD. Biết: .Chứng minh rằng HD // AB.







25. Cho góc nhọn và điểm A nằm trên tia phân giác của góc đó. Điểm Bthuộc tia Ox sao cho , gọi H là hình chiếu của B lên Oy.

a. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của góc .

b. Tính số đo góc


26. Cho ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. CMR: hoặc .


27. Cho ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH AB. Gọi E là mộtđiểm thuộc đoạn AH. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho . Chứngminh rằng FM là tia phân giác của .


TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG





TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNGTRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM

GIÁC

BÀI TẬP LUYỆN TẬP28. Chứng minh trong một tam giác vuông giao điểm của ba đường trung trựccủa ba cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền.


29. Cho góc nhọn aOb và một điểm M nằm trong góc ấy. Từ M kẻ MA Oa vàMB Ob. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng OM và P là trung điểm của đoạnthẳng AB. Chứng minh CP là trung trực của cạnh AB của tam giác ACB.


30. Cho ABC nhọn, AB < AC và đường cao AH.

a. Chứng minh .b. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD = HB. CM: ABD là tam giác cân.c. Từ D kẻ , từ C kẻ . CMR: ba đường thẳng AH, DE, CF cùngđi qua một điểm.


31. Cho ABC có . Gọi d là đường trung trực của BC, O là giao điểmcủa AB và d. Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CE = BA. Chứng minh rằng: d là đường trung trực của AE.


32. Cho ABC, , hai đường cao BH, CK ( ). Gọi E và





F lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh:a. BEH và CKF là các tam giác đều.b. .


33. Cho ABC cân tại A, . Vẽ đường phân giác AD. Đường trung trựccủa AB cắt AC tại M. Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho . Chứng minhrằng ba đường thẳng AD, BM và CN đồng quy.


34. Cho ABC ( AB < AC ). Vẽ đường trung trực m của cạnh BC. Gọi M là mộtđiểm bất kì trên đường thẳng m. Hãy xác định vi trí của M để chu vi tam giácAMB nhỏ nhất.


35. Cho H là trực tâm của ABC. CMR: .


36. Cho vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BC, E làtrung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:


37. Cho cân tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên. Đường trung trực củađoạn thẳng AC cắt đường thẳng BC tại M. Trên tia đối của tia AM lấy điểm N saocho AN = BM. a. là tam giác gì? Vì sao?b. cho trước phải có điều kiện gì ?







38. Cho . Hai điểm M và N theo thứ tự di chuyển trên hai tia BA và CAsao cho . Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn điqua một điểm cố định.


39. Cho và đường phân giác AK của góc A. Biết rằng giao điểm của bađường phân giác của trùng với giao điểm ba đường trung trực của

. Tính số đo các góc của .


40. Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy, B và C lần lượt là hai điểm di động trênOx và Oy. Tìm vị trí của B và C để chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.


41. Chứng minh rằng trong một tam giác thì trực tâm, trọng tâm và giao điểmcủa các đường trung trực của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng.


MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP






MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP

BÀI TẬP LUYỆN TẬP42. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ phân giác BD của góc B, kẻ , AI cắtBC tại E.a. Chứng minh BE = BA.b. Chứng minh tam giác BED là tam giác vuông.c. Đường thẳng DE cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh AE // FC.


43. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 6 cm, AC = 8 cm.a. Tính BCb. Trung trực của BC cắt AC tại D và cắt AB tại F. Chứng minh rằng

c. Tên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho DE = DC chứng minh tam giác BCEvuông. Suy ra FD là phân giác của

d. Chứng minh rằng .


44. Cho tam giác ABC biết AC < AB, vẽ trung tuyến AM.a. So sánh các góc ABC và ACB

b. Chứng minh rằng c. Chứng minh rằng điểm D, chân của đường phân giác AD nằm giữa trungđiểm M của cạnh BC và điểm H (chân đường cao kẻ từ đỉnh A).


45. Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B cắt phân giác trong của góc Ctại điểm I. Phân giác ngoài của góc B cắt phân giác ngoài của góc C tại điểm J. Tiaphân giác trong của góc B cắt tia phân giác ngoài của góc C tại điểm K.a. Chứng minh rằng .




b. Tính các góc theo góc A.

c. Áp dụng, tính các góc trên với d. Chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng.


46. Cho tam giác ABC, kẻ phân giác BD. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với BD, cắt BDở E và BC ở F. Gọi M, N là các trung điểm của các cạnh AB, AC.a. Chứng minh rằng AB=BFb. Chứng minh ME//BCc. Chứng minh ba điểm M, E, N thẳng hàng.d. Gọi J là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh ba đường thẳng AJ, BE, vàFM đồng quy.


47. Cho tam giác ABC; AD và AH theo thứ tự là phân giác và đường cao kẻ từđỉnh A. Chứng minh rằng nếu AC < AB thì

a. b. c. Điểm H nằm trên tia DC


48. Cho tam giác ABC, AB < BC; AC < BC. Trên cạnh BC có hai điểm D, E sao choBD=AB; CE=AC, kẻ , BK cắt AE ở điểm N, kẻ , CP cắt AD ởđiểm F. a. BK giao CP tại I. Chứng minh AI là phân giác của góc BAC.b. Chứng minh c. Cho biết AB=7(cm); AC=5(cm); BC=8(cm). Hãy tính độ dài KP theo (cm).


49. Cho tam giác ABC, trên nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa điểm C vẽ tia và lấy trên đó một điểm E sao cho AE=AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC,





không chứa điểm B, vẽ tia và lấy trên đó một điểm F sao cho AF=AC.Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm A’ sao choA’D=AD

a. Chứng minh rằng b. Chứng minh EF=2ADc. Chứng minh d. Qua E kẻ đường thẳng song song với Ay và qua F kẻ đường thẳng song songvới Ax. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I. Chứng minh rằng ba điểm A, I,trung điểm K của EF thẳng hàng.


50. Từ các trung điểm I, K, L của cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC, ta kẻ cácđường trung trực, và trên các đường trung trực ấy, về phía ngoài của tam giáctheo thứ tự ta lấy các điểm M, N, P sao cho

.

a. Chứng minh MK=KP và b. Chứng minh MC=NPc. Chứng minh d. Chứng minh ba đường thẳng AP, BN, MC đồng quy.


51. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, phân giác trong tại đỉnh B cắt cạnhAC tại điểm D. từ D ta kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC). Tia ED và tia BA cắtnhau tại điểm F.a. So sánh DA và DCb. Chứng minh c. Chứng minh BC=BFd. Chứng minh AE//FC


52. Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác trong BD, CE; BD và CE cắt nhau tại điểm




I. Biết .

a. Tính góc A

b. Chứng minh


53. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh C. Kẻ đường cao CH, lấy điểm M trênAB và lấy điểm N trên AC sao cho BM=BC, CN=CH.

a. Chứng minh b. Từ kết quả trên suy ra mệnh đề “ Trong một tam giác vuông, tổng hai cạnhgóc vuông bé hơn tổng của cạnh huyền và đường cao tương ứng với cạnhhuyền”


54. Cho đoạn thẳng AB, từ A và B trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB, ta kẻ các tiaAx, By cùng vuông góc với AB, gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, và C làmột điểm bất kỳ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, chứa các tia Ax, Bysao cho OC=OA, đường vuông góc với OC kẻ qua điểm C cắt Ax ở P và cắt By ở Q.Chứng minh rằng:

a. b. Tam giác POQ là tam giác vuông.c. Tam giác ACB là tam giác vuông.d. AC//OQ và BC//OP


55. Cho hai góc xOy và yOz kề nhau và bằng nhau, kẻ tia phân giác Om của gócxOy và On của góc yOz lấy trên các tia Ox, Om, Oy, On, Oz theo thứ tự các điểm A,B, C, D, E sao cho .a. So sánh các đoạn thẳng AB, BC, CD, DEb. So sánh các góc BAC và DCEc. So sánh các đoạn thẳng AD và BEd. Chứng minh rằng





56. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ

a. Chứng minh rằng b. Chứng minh IK=AHc. Gọi O là giao điểm của AH và IK, chứng minh OI=OK=OA=OHd. Gọi M là trung điểm của cạnh huyền BC. Chứng minh


57. Cho hai đường thẳng p và p’ song song với nhau. Một đường thẳng q cắt p vàp’ lần lượt tại các điểm A, B. Một đường thẳng q’//q cắt p và p’ lần lượt tại cácđiểm D, C.

a. Chứng minh AD=BC; AB=DC.b. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh O là trung điểm của AC, đồngthời cũng là trung điểm của BD.

c. Một điểm M thuộc đoạn AD và một điểm P thuộc đoạn BC sao cho AM=CP.Chứng minh điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MP.

d. Một đường thẳng đi qua O, cắt đoạn thẳng AB tại điểm Q và cắt đoạn thẳngDC tại điểm N. Chứng minh MN//PQ và MQ//NP.


58. Cho tam giác ABC, gọi E, F theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh AB, AC.Trên tia đối của FB ta lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC, ta lấyđiểm Q sao cho QE=CE.

a. Chứng minh AP=AQb. Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàngc. Chứng minh BQ//AC và CP//ABd. Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB, chứng minh rằng Chu vi của tam giác PQR bằng hai lần chu vi của tam giác ABC.

e. Chứng minh ba đường thẳng AR, PB, CQ đồng quy.





59. Cho tam giác ABC, cân tại A . Hai đường cao BD và CE cắt nhautại H, tia AH cắt BC tại I.a. Chứng minh rằng: b. Chứng minh I là trung điểm của BC.c. Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC, d cắt đường thẳng AH tại F. Chứng minh rằng CB là tia phân giác của .

d. Giả sử và . Tính khoảng cách từ B đến đường thẳngCF.


60. Cho vuông tại A. Đường phân giác của góc cắt AC tại D. Trêncạnh BC lấy điểm E sao cho .a. Chứng minh b. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BD tại K. Chứng minh tam giác BCK cân tại C.

c. Vẽ CH vuông góc với BK. Chứng minh .


61. Cho tam giác đều ABC, hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H. Chứng minhrằng:a. b. c. AH là đường trung trực của BC.d. Từ B kẻ đường thẳng song song với DC, cắt AC tại I. Chứng minh rằng cân.


62. Cho có ; , đường cao BH .

a. So sánh các góc





b. Tính ?c. Vẽ AD là phân giác của góc A ( ), vẽ tại I. Chứng minh rằng .

d. Tia BI cắt AC ở E. Chứng minh đều.e. Chứng minh .


63. Cho tam giác ABC, vuông tại A, , trên BC lấy điểm E sao cho .

a. Chứng minh rằng đều.b. Chứng minh .c. Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại F. Chứng minh F là trung điểm của AB.

d. Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt EF tại G. BG cắt AE tại H. Chứng minh


64. Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự haiđiểm C, D sao cho . Từ B và C kẻ . Gọi P làtrung điểm của BC. Chứng minh:a. đều.b. .c. đều.


65. Cho cân tại A, đường cao AH. Kẻ Gọi O là trung điểm củaEH, I là trung điểm của EC. Chứng minh:a. b.


66. Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho và





. Gọi I là giao điểm của các phân giác của .a. Chứng minh rằng I là giao điểm các đường trung trực của .b. Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của . Tính DE theo m.

c. Tính ?



Documents

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH - Tilado.edu.vn · TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1. Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến