HIDRAULIC Ă SUBTERAN Ă (note de curs) Daniel Scr ădeanu · Legea lui Darcy Legea de mi şcare a apei subterane-legea lui Darcy 6.2.1. Experimentul Darcy Legea lui Darcy, stabilit

HIDRAULICĂ SUBTERANĂ (note de curs) Daniel Scrădeanu

1

HIDRAULICĂ SUBTERANĂ (note de curs)

Daniel Scrădeanu

CUPRINS 6. MIŞCAREA APEI SUBTERANE ...................................................................................................... 2

6.1. Caracteristici hidrofizice ale terenurilor/rocilor............................................................................ 3

6.1.2. Granulozitatea şi porozitatea ............................................................................................... 3

6.1.3. Permeabilitatea ................................................................................................................... 4

6.1.4. Coeficientul de înmagazinare ............................................................................................. 5

6.2. Legea lui Darcy ......................................................................................................................... 6

6.2.1. Experimentul Darcy ............................................................................................................. 6

6.2.2. Sarcina piezometrică........................................................................................................... 7

6.2.3. Conductivitatea hidraulică ................................................................................................... 8

6.2.4. Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy .......................................................................... 11

6.2.5. Generalizarea legii lui Darcy ............................................................................................. 12

6.2.5.1. Heterogenitate graduală ............................................................................................. 13

6.2.5.2. Heterogeniate zonală ................................................................................................. 13

6.2.5.3. Anizotropie ................................................................................................................. 17

6.3. Ecuaţii de mişcare ale apei subterane ..................................................................................... 18

6.3.1.Curgere staţionară conservativă, unidimensională ............................................................. 18

6.3.1.1. Acvifere omogene ....................................................................................................... 18

6.3.1.1.1. Acvifer cu nivel liber (culcuş orizontal).................................................................. 18

6.3.1.1.2. Acvifer sub presiune (grosime constantă) ............................................................ 20

6.3.1.2. Acvifere neomogene ................................................................................................... 22

6.3.1.2.1. Acvifer cu nivel liber cu variaţie liniară a conductivităţii hidraulice......................... 22

6.3.1.2.2. Acvifer sub presiune „stratificat”(curgere paralelă cu statificaţia) .......................... 24

6.3.1.2.3. Acvifer sub presiune „stratificat” (curgere perpendiculară pe statificaţie) .............. 26

6.3.2.Curgere staţionară neconservativă, unidimensională ......................................................... 28

6.3.2.1. Acvifer omogen cu nivel liber ...................................................................................... 28


2

6. MIŞCAREA APEI SUBTERANE Apa subterană provine din apa aflată la suprafaţa pamântului, apă care se infiltrează printr-un sistem de discontinuităţi cu geometrie variabilă sub acţiunea forţei de gravitaţie. Caracteristicile sistemelor de discontinuităţi separă mediul prin care se mişcă apa subterană după caracteristicile geometrice predominante:

• Mediu poros este format dintr-un sistem complex de canalicule cu diametre variabile, rezultat prin comunicarea golurilor care separă granulele din care sunt formate majoritatea rocilor. Discontinuităţile mediului poros sunt de regulă primare/singenetice şi caracterizează în special rocile sedimentare şi vulcanice.

• Mediu fisural este reprezentat printr-un sistem reticular de canale alcătuit din diaclaze, falii, fisuri sau chiar galerii subterane. Discontinuităţile mediului fisural sunt în general secundare cu dimensiuni de o mare variabilitate (de la câţiva angstromi pentru discontinuităţile din reţeaua cristalină a mineralelor până la kilometri în cazul galeriilor din formaţiunile carstice).

• Mediul fisural-poros este specific rocilor fisurate/fracturate care sunt caracterizate atât printr-un sistem de discontinuităţi primare (pori) cât şi printr-un sistem de discontinuităţi secundare (fisuri, fracturi etc.). Pentru astfel de medii se consideră un volum reprezentativ extins care să înglobeze ambele discontinuităţi şi pentru care se determină o conductivitate hidraulică echivalentă.

Mediul discontinuu (rocile) în raport cu comportamentul lor fată de apă se separă în patru categorii:

Tabelul 6.1.Categorii de medii discontinue Denumire mediu

Comportament în raport cu apa Stochează Transferă Cedează

acvifug - - - acviclud + - - acvitard + + - acvifer + + +

Studiul mişcării reale a apei subterane în aceste medii, utilizând legile generale ale hidromecanicii este imposibil de realizat datorită necunoaşterii geometriei şi distribuţiei porilor şi fracturilor, la precizia cerută de o abordare deterministă. Mişcarea reală a apei subterane din mediul discontinuu poros/fisural este înlocuită cu o mişcare aparentă într-un mediu continuu (solid+goluri), cu condiţia ca debitul ce trece printr-o secţiune să fie egal cu cel real. Această abordare a studiului mişcării apei subterane apelează la noţiunea de viteză de filtraţie/viteză aparentă (V ) definită ca raport dintre debitul (Q ) ce trece printr-o secţiune şi suprafaţa totală a acesteia ( Ω ):

Ω=

QV

Echivalarea mediului discontinuu (poros/ fisural) cu un mediu continuu se face prin medierea pe volum (volum elementar reprezentativ) a caracteristicilor, rezultatul depinzând de:

• poziţia punctului în care se face echivalarea • caracteristica aleasă • extinderea domeniului spaţial pe care se face medierea.


3

6.1. Caracteristici hidrofizice ale terenurilor/rocilor

6.1.2. Granulozitatea şi porozitatea

Granulozitatea terenurilor este reprezentată de variabilitatea geometrică a granulelor componente exprimată prin dimensiunea acestora şi ponderea lor procentuală. Tehnicile de laborator şi metodologia generală de prelucrare a datelor de granulozitate constituie obiectul Mecanicii rocilor (Florea M.,1983). Pentru rocile nisipoase analiza de granulozitate se face prin metoda cernerii, iar la rocile argiloase se foloseşte metoda prin sedimentare.

Rezultatele se reprezintă grafic în histograme şi curba de granulaţie (curba cumulativă), care exprimă distribuţia procentuală a granulelor în funcţie de dimensiunea acestora (Fig.6.1). Curba de granulaţie este utilizată pentru calculul parametrilor necesari estimării proprietăţilor filtrante şi colectoare ale formaţiunilor reale. Aceşti parametri sunt: coeficientul de neuniformitate (U), coeficientul de sortare (So), diametrul efectiv (def), suprafaţa specifică ( S ).

Tabelul 6.2. Porozităţi totale Terenuri cuaternare n(%) Roci sedimentare n(%)

Turbă 80 Nisipuri 25-35 Soluri 50-80 Gresii neozoice şi mezozoice 20-28 Mâluri recente 80-90 Gresii paleozoice 3-12 Nisipuri 30-50 Calcare şi dolomite poroase 5 Pietrişuri 20-40 Argile din regiuni de platformă 40 Loessuri 40-60 Argile din regiuni cutate 20 Luturi 20-40 Gipsuri 3-5 Argile şi prafuri 35 Anhidrit 1 Tufuri calcaroase 25 Cărbuni 4 Silt algilos, silt loessoid 35-50 Cretă 10-45

Roci metamorfice Roci magmatice

Cuarţite, gnaise, amfibolite 2 Trahite 2-9 Şisturi argiloase şi silicioase 1-4 Bazalte 1-4 Şisturi argiloase siluriene 5,2 Lave 4-11 Şisturi argiloase oligocene 21,1 Granite 1-4 Marmore 1-2 Alte roci intruzive 1

1,0 0,1 0,01 10

100

10

50

Logaritmul diametrului granulelor

%

(mm)

d10

Fig.6.1 Curba de granulaţie (curba cumulativă)

60

d60


4

Tabelul 6.3. Volumul de apă înmagazinat într-un metru cub de rocă saturată (după Bodelle J. şi Margat J., 1980) Tipuri Total apă Apă liberă formaţiuni litri/m3 n [%] litri/m3 na [%] Nisipuri şi pietrişuri 200…400 20…40 150…250 15…25 Nisipuri fine 300…350 30…35 100…150 10…15 Gresii 50…250 5…25 20…150 2…15 Cretă 100…400 10…40 10…50 1…5 Calcare fisurate 10…100 1…10 10…50 1…5 Argile 400…500 40…50 10…20 1…2 Şisturi 10…100 1…10 1…20 0,1…2 Granite fisurate 1…50 0,1…5 1…20 0,1…2

6.1.3. Permeabilitatea

Permeabilitatea este o caracteristică intrinsecă a formaţiunilor geologice dependentă de dimensiunea şi forma golurilor prin care se pot deplasa fluidele. Cu cât este mai mare diametrul porilor ( d ) cu atât rezistenţa mediului la curgerea fluidelor este mai mică iar permeabilitatea formaţiunilor geologice este mai mare. Permeabilitatea se cuantifică prin intermediul coeficientului de permeabilitate (Kp) definit de expresia:

2dCK p ⋅=

în care C – coeficient determinat de forma granulelor, adimensional; d – diametrul mediu al particulelor. Coeficientul de permeabilitate (Kp) are dimensiuni de suprafaţă şi se exprimă în cm2, m2 sau în darcy (1 darcy = 9,87x10-9 cm2).

Tabelul 6.4..Coeficienţi de permeabilitate (după C.W. Fetter, 1994)

Sediment K[darcy] Argilă Silt, silt nisipos, argilă nisipoasă, til 10-3 – 10-1 Nisip siltic, nisip fin 10-1 – 1 Nisip bine sortat 1 – 102 Pietriş bine sortat 10– 103


5

6.1.4. Coeficientul de înmagazinare

În cazul înmagazinării cu nivel liber ( Mh < ) porozităţile n şi en se menţin practic invariabile

în raport cu presiunea p astfel încât coeficienţii de înmagazinare devin:

nS =0

şi

ee nS =0

Porozitatea eficace numită şi cedare specifică (Theis, 1935, 1938) este totdeauna mai mică decât porozitatea totală corespunzătoare fiecărui tip de rocă. Valorile porozităţii eficace sunt cuprinse între 0,5% pentru nămoluri şi argile şi 40% pentru pietrişuri şi bolovănişuri (Tabelul 6.5).

Tabelul 6.5. Porozităţi eficace pentru diferite tipuri de roci (după M.Albu, 1981)

Denumirea rocii Porozitatea eficace (%)

Sursa de informaţie

Nămoluri şi argile 0,5-5,0 Castany, 1963 Crete 2,0-5,0 Castrany, 1963 Aluviuni cu fracţiuni argiloase de Buzău 1,2-1,8 Constantinescu et al., 1971 de Rin 2,0-3,0 Castany, 1963 lipsite de fracţiuni argiloase 10,0-20,0 Castany, 1963 Nisipuri cu fracţiuni argiloase 2,0-15,0 Castany, 1963 lipsite de fracţiuni argiloase 10,0-25,0 Castany, 1963 19,3 Avramescu et. al., 1971 Pietrişuri şi bolovănişuri cu fracţiuni argiloase 9,8 Constantinescu et. al., 1971 lipsite de fracţiuni argiloase 30,0-40,0 Castany, 1963

În cazul înmagazinării sub presiune ( Mh = ) variaţia greutăţii specifice, a porozităţii totale şi

efective şi a grosimii acviferului datorate variaţiei presiunii nu pot fi neglijate, expresia coeficientului de înmagazinare fiind (Jacob 1940, 1950; Cooper 1966):

( ) MngS apa ⋅⋅+⋅= βαρ ; ][−

în care

apaρ - densitatea apei [ 33 /:/ mkgLM ];

g - acceleraţia gravitaţională [ 22 /:/ smTL ];

α - compresibilitatea scheletului mineral [ )//(1://1 22 mNLTM ];

n - porozitatea totală [ 33 / LL ]; β - compresibilitatea apei [ )//(1://1 22 mNLTM ] M - grosimea acviferului [ mL : ].


6

Raportat la unitatea de grosime a acviferului coeficientul de înmagazinare poartă denumirea de coeficient specific de înmagazinare ( sS ) şi reprezintă cantitatea de apă pe unitatea de volum

acviferului care este înmagazinată/cedată datorită creşterii/reducerii unitare a presiunii:

( )βαρ ⋅+⋅= ngS apas

Valorile coeficientului specific de înmagazinare sunt exprimate în [ L/1 ] de regulă metru/1 şi sunt cuprinse în intervalul 35 1010 −− ÷ 1−

m .

6.2. Legea lui Darcy Legea de mişcare a apei subterane-legea lui Darcy

6.2.1. Experimentul Darcy

Legea lui Darcy, stabilită experimental (în jur de 1856, pe baza studiilor experimentale asupra alimentării cu apă din Dijon, Franţa), arată că debitul de fluid (Q) filtrat laminar printr-un mediu granular saturat este proporţional cu (Fig.6.2):

• reducerea sarcinii piezometrice ( BA HH − ) prin mediul respectiv

• lungimea drumului parcurs ( L ) • secţiunea de curgere ( Ω - secţiunea

transversală a tubului umplut cu material granular saturat cu apă )

Conductivitatea hidraulică (K) este utilizată ca factor de proporţionalitate în relaţia empirică a legii lui Darcy:

−⋅Ω⋅−=

L

HHKQ BA

Introducând notaţiile: V - viteză de filtrare/viteza lui Darcy/viteza aparentă: q - debit specific

qQ

V =Ω

=

I – gradient hidraulic:

L

HHI BA −

=

HA

HB

Q Q

Fig.6.2. Experimentul lui Darcy

L


7

se ajunge la forma sintetică a legii lui Darcy:

IKqV ⋅−== Gradientul hidraulic ( I ) este expresia sintetică a forţelor care acţionează asupra apei hidrodinamic active, apa care se deplasează sub acţiunea câmpului gravitaţional, din zonele cu energie mare spre zonele cu energie mai mică.

6.2.2. Sarcina piezometrică

Mişcarea apei subterane prin mediile poroase este un proces consumator de energie: se consumă energie mecanică care se disipează sub formă de energie termică. Potenţialul energetic al unităţii de masă de apă subterană într-un punct din spaţiu (P(x,y,z)), reprezentat în cea mai mare parte de energia mecanică, se calculează în raport cu un sitem de referinţă. Potenţialul fluidului (ϕ ) este definit ca lucrul mecanic necesar transformării unităţii de

masă de apă din starea iniţială ( 0000 ,,, zVTp ) în starea finală ( zVTp ,,, ) şi are următoarele

componente: • lucrul mecanic necesar ridicării unităţii de greutate de la 0z la z :

( )01 zzgL −⋅=

• lucrul mecanic necesar trecerii de la presiunea( 0p ) la presiunea ( p ) printr-o comprimare

izotermă, exprimat în funcţie de presiune şi densitatea apei ( ρ ):

ρ0

2

ppL

−=

• lucrul mecanic necesar creşterii vitezei unităţii de masă de apă de la 0V la V

( )2

2

03

VVL

−=

Dacă sitemul de referinţă este reprezentat prin:

o nivelul mării: 00 =z

o presiunea atmosferică: 00 =p

o dinamica iniţială nulă: 00 =V

potenţialul specific al unităţii de greutate în câmp gravitaţional este:

g

V

g

pz

⋅+

⋅+=

2

2

ρϕ

şi este numit în practica hidrogeologică nivel piezometric . Nivelul piezometric poate fi măsurat într-un piezometru, în raport cu nivelul mării ( 0z , Fig.6.3.)

Mişcarea apei subterane se face cu viteze reduse, de ordinul centimetrilor pe secundă, condiţii în care

g

p

⋅ρ

z

0z

g

V

⋅2

2

H=ϕ

Fig.6.3. Potenţialul specific (ϕ ) şi

sarcina piezometrică ( H ) a unităţii de greutate de apă în câmp gravitaţional


8

componenta cinetică a potenţialului este neglijabilă iar potenţialul/sarcina piezometrică are expresia:

g

pzH

⋅+==

ρϕ

În legea lui Darcy, diferenţa de potenţial dintre două puncte situate pe direcţia de curgere a apei subterane ( BA HH − ) reprezintă lucrul mecanic efectuat de forţele care pun în mişcare unitatea de greutate de apă. Efectul acestor forţe este viteza de deplasare a apei subterane, acceleraţia fiind neglijabilă datorită caracterului puternic disipativ al procesului de curgere.

6.2.3. Conductivitatea hidraulică

Conductivitatea hidraulică (K) este un parametru complex determinat de:

• permeabilitatea intrinsecă a formaţiunilor geologice ( pK );

• proprietăţile fizice ale apei (γ , µ );

• gradul de saturare a formaţiunilor ( vw ).

Pentru o formaţiune geologică granulară cu permeabilitatea intrinsecă Kp, saturată cu un fluid cu greutatea specifică γ şi vâscozitatea dinamică µ , conductivitatea hidraulică K este definită de relaţia:

µ

ρ

µ

γ gdCKK p

⋅⋅⋅=⋅= 2

în care d este diametrul particulei caracteristice (de cele mai multe ori fiind echivalat cu diametrul

10d ).

Conductivităţile hidraulice ale formaţiunilor geologice saturate sunt în funcţie de granulozitatea

depozitelor şi au un domeniu de variaţie larg, de la 1 până la 10-6 cm/sec (Tabelul 6.6).


9

Conductivităţile hidraulice ale sedimentelor neconsolidate saturate sunt cuprinse între 10-9 cm/sec pentru argile şi 1 cm/sec pentru pietrişuri sortate (tabelul 6.6).

Tabelul 6.6. Valori medii ale conductivităţii hidraulice şi ale coeficientului de permeabilitate

Gru

pa

Caracterizarea rocii

Conductivitatea hidraulică ( K ) pentru ape cu mineralizaţie redusă la Ct

020=

Coeficientul de

permeabilitate ( pK )

[m/zi] [cm/sec] cm2 darcy I Roci cu permeabilitate

foarte mare (bolovănişuri şi pietrişuri cu nisipuri grosiere, calcare puternic carstifiate şi roci intens fisurate)

1000100 ÷

şi mai mare

16,112,0 ÷

5

6

102,1

102,1

−

−

⋅

÷×

1160116 ÷

II Roci cu permeabilitate mare (bolovănişuri şi pietrişuri colmatate cu nisip fin, nisipuri grosiere, roci carstifiate şi fisurate)

10010 ÷

12,0

012,0 ÷

6

7

102,1

102,1

−

−

⋅

÷×

1166,11 ÷

III Roci permeabile (bolovănişuri şi pietrişuri colmatate cu nisip fin şi parţial cu argilă, nisipuri mijlocii şi fine, roci slab carstifiate şi puţin fisurate)

101 ÷

2

3

102,1

102,1

−

−

×

÷×

7

8

102,1

102,1

−

−

⋅

÷×

6,116,1 ÷

IV Roci slab permeabile (nisipuri făinoase, nisipuri argiloase, roci cu fisuraţie fină, loessuri etc.)

0,11,0 ÷

3

4

102,1

102,1

−

−

×

÷×

8

9

102,1

102,1

−

−

⋅

÷×

16,112,0 ÷

V Roci foarte slab permeabile (argile nisipoase, prafuri, roci foarte slab fisurate)

1,0001,0 ÷

4

6

102,1

102,1

−

−

×

÷×

8

9

102,1

102,1

−

−

⋅

÷×

1

3

102,1

102,1

−

−

×

÷×

VI Roci practic

impermeabile (argile, marne, roci masive)

001,0<

6102,1 −×<

11102,1 −×<

3102,1 −×<


10

Pentru formaţiunile geologice nesaturate, valoarea conductivităţii hidraulice nu mai este o constantă a formaţiunii. Conductivitatea hidraulică a formaţiunilor nesaturate se modifică în funcţie de umiditate. În general într-o formaţiune geologică nesaturată un fluid se deplasează cu atât mai uşor cu cât umiditatea formaţiunii este mai mare:

K ~ vw

Valoarea maximă a conductivităţii hidraulice se atinge la saturarea cu apă a formaţiunii.

Relaţia dintre conductivitatea hidraulică a unei formaţiuni geologice nesaturate şi umiditate se determină experimental şi este influenţată de sensul în care se modifică umiditatea (este prezent fenomenul de “histerezis”). Fenomenul de histerezis face ca o anumită formaţiune geologică să aibă aceeaşi conductivitate hidraulică (K(wv)) la două umidităţi diferite (wv1, wv2), după cum una dintre ele a fost atinsă prin creşterea umidităţii (Umezire) iar cealaltă prin scăderea (Uscare) acesteia (Fig.6.4).

Pentru conductivitatea hidraulică, în literatura de specialitate sunt echivalenţi termenii (A.Silvan, 1967):

• coeficient de filtrare; • coeficientul lui Darcy, • coeficientul de permeabilitate al lui Darcy; • coeficient de hidroconductivitate .

Tabelul 6.7. Permeabilităţi şi conductivităţi hidraulice ale depozitelor sedimentare neconsolidate (după C. W. Fetter, 1994).

Tipul formaţiunii Permeabilitate intrinsecă (Kp) [darcy]

Conductivitate hudraulică (K) [cm/sec]

Argilă 10-6 - 10-3 10-9 - 10-6 silt, silt nisipos 10-3 - 10-1 10-6 - 10-4 nisip argilos, nisip fin 10-2 - 1 10-5 - 10-3 nisip sortat 1 - 102 10-3 - 10-1 pietriş sortat 10 - 103 10-2 - 1

K(wv)

wv

K(wv)

wv1

Umezire

Uscare

Fig.6.4. Efectul sensului de variaţie al umiditãţii asupra valorii conductivitãţii hidraulice

2vw


11

6.2.4. Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy

Legea lui Darcy este validată în cazul vitezelor de deplasare reduse de ordinul centimetrilor/secundă şi regim laminar de curgere, condiţii în care se menţine relaţia de linearitate între gradientul hidraulic şi viteza de filtrare/aparentă / viteza Darcy. Relaţia gradient hidraulic-viteză de filtrare este marcată de trei valori particulare ale gradientului hidraulic (Fig.6.5):

• gradient critic ( crI ) –valoarea

minimă a gradientului hidraulic care determină deplasarea apei subterane. Sub această valoare a gradientului hidraulic apa nu se deplasează. Acest lucru a fost pus în evidenţa în rocile argiloase şi este condiţionat de granulozitatea formaţiunilor saturate cu apă, de compoziţia chimică a apei etc.

• gradientul limită inferioară ( infI ) care împreună cu gradientul critic delimitează domeniul inferior pe care relaţia între gradient şi viteza de filtrare este nelineară.

• Gradientul limită superioară ( supI ) care delimitează împreună cu gradientul limită

inferioară domeniul de linearitate al corelaţiei dintre viteza de filtrare şi gradientul hidraulic (valabilitate totală a legii lui Darcy). La valori ale gradientului hidraulic mai mari decât gradientul limită superioară ( supI ) curgerea devine turbulentă iar relaţia dintre gradientul

hidraulic şi viteza de filtrare nelineară. Trecerea de la regimul laminar de curgere la cel turbulent este cuantificată empiric prin intermediul

numărului adimensional Reynolds, care în cazul curgerii prin medii poroase este estimat cu relaţia:

ν

dVRe

⋅=

în care V -viteza de filtrare /debitul specific ( q )

d -dimesiunea spaţiului de curgere care poate fi reprezentată prin: • −d diametrul mediu al porilor • 10d - diametrul eficace, diametrul corespunzător fracţiunii de 10% pe curba granulometrică

cumulativă a formaţiunii granulare prin care curge apa. • ν -vâscozitatea cinematică

Pentru 150>eR , curgerea devine turbulentă iar corelaţia dintre gradientul hidraulic ( I ) şi

viteza de filtrare (V ) este de tipul: 2

VbVaI ⋅+⋅= în care

( )23

1150

dng

na

⋅⋅⋅

⋅−⋅=ρ

µ şi

dng

nb

⋅⋅⋅

−⋅=

34

1175 (Lozeney-Carman)

n - porozitatea totală a formaţiunii granulare; ρ - densitatea apei

µ -vâscozitatea dinamică; g - acceleraţia gravitaţională

I

V

Fig.6.5. Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy

crI supI infI


12

6.2.5. Generalizarea legii lui Darcy

Conceptul de mediu continuu permite operarea cu funcţii de punct şi câmpuri, în abordare

euleriană, pentru toţi factorii care condiţionează curgerea apei subterane: • funcţie de sarcină piezometrică→câmpul sarcinii piezometrice ( ( )zyx ,,ϕ )

• funcţie de viteză →câmpul vitezelor de filtrare ( ( )tzyxV ,,, )

• funcţie de conductivitate hidraulică→câmpul conductivităţii hidraulice ( ( )zyxK ,, ) Legea lui Darcy generalizată, într-un mediu continuu pentru care se cunoaşte câmpul sarcinii piezometrice şi al conductivităţii hidraulice, are forma:

( )HgradKkz

Hj

y

Hi

x

H

KKK

KKK

KKK

V

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

⋅=

⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂⋅=

r

în care K - tensorul conductivităţii hidraulice

( )Hgrad -gradientul hidraulic al sarcinii piezometrice/potenţialul apei subterane Diversitatea mediilor prin care curge apa subterană impune particularizări ale legii lui Darcy care minimizează erorile aplicării unei legi empirice definită pentru anumite condiţii în condiţii care diferă semnificativ de domeniul experimental de bază. Corecţiile se aplică în cazul celor trei categorii importante de medii prin care curge apa subterană:

• Mediu poros • Mediu fisural • Mediu fisural-poros

Aceste corecţii vizează heterogenitatea conductivităţii hidraulice din mediile poroase şi particularităţile fisurilor prin care se deplasează apa subterană.

Caracteristicile curgerii apei subterane în mediul poros sunt determinate în principal distribuţia spaţială a conductivităţii hidraulice.

Mediile poroase, în funcţie de distribuţia spaţială a conductivităţii hidraulice sunt separate în: • Mediu poros

o Omogen o Heterogen

• Mediu poros o Izotrop o Anizotrop

Lege lui Darcy este valabilă pentru un mediu poros omogen şi izotrop şi aplicarea ei într-un mediu poros heterogen şi anizotrop se face prin diverse proceduri de echivalare a acestuia cu unul izotrop şi omogen, proceduri alese în funcţie de tipul heterogenităţii (graduale/zonale) şi gradul de anizotropie.


13

6.2.5.1. Heterogenitate graduală

Identificarea şi modelarea unei variaţii de tip linear pentru conductivitatea hidraulică a unui acvifer (K) poate fi realizată de-a lungul unei direcţii de curgere (x) pe care se cunosc minimum trei valori ale acesteia (Fig.6.6). Dacă se admite că mediul este neomogen iar variaţia conductivităţii hidraulice este continuă ea poate fi aproximată cu o dreaptă de-a lungul direcţiei x, schematizată cu ecuaţia:

xbaxK ⋅+=)(

Coeficienţii a şi b pot fi determinaţi grafic prin trasarea aproximativă a dreptei care interpolează linear valorile disponibile, sau analitic prin metoda celor mai mici pătrate (D.Scrădeanu, 1995).

Mediul real, neomogen, este înlocuit prin schematizare cu unul echivalent având conductivitatea egală cu coeficientul a , pentru x=0, variaţia lui o dată cu creşterea distanţei D fiind exprimată de ecuaţia dreptei, în care coeficientul b reprezintă gradientul de creştere direcţională. Dacă se dispune de mai multe valori ale parametrului de-a lungul unui aliniament se pot identifica şi alte modele analitice (parabolic, logaritmic etc.) pentru variabilitatea parametrului, modele care complică soluţionarea analitică a ecuaţiilor curgerii apelor subterane.

6.2.5.2. Heterogeniate zonală

Schematizarea parametrică prin echivalarea mediului neomogen cu unul omogen se

realizează atunci când variaţia parametrului este discontinuă şi se face în două variante: • distorsiune parametrică, atunci când acviferul real şi cel schematizat echivalent au

aceeaşi dimensiuni dar parametri diferiţi; • distorsiune geometrică, atunci când schematizarea mediului real se bazează pe

deformarea sa geometrică, pe verticală/orizontală. Distorsiunea parametrică abordează numai aspectul neomogenităţii distribuţiei parametrice

şi pentru schematizarea acesteia ţine seamă de: • unghiul (αααα) dintre liniile de curent şi limitele ce separă subzonele cu valori diferite ale

parametrului; • dimensiunile subzonelor (h1, h2,…,hn) cu valori diferite ale parametrului; • valorile parametrului (K1, K2, …Kn) în mediul real, neomogen.

K

x

a D∆

K∆

D

Kb

∆

∆=

Fig.6.6 Evaluarea unei variaţii de tip linear pentru conductivitatea hidraulică a unei formaţiuni permeabile.


14

Valoarea parametrului pentru mediul omogen echivalent se calculează cu relaţia:

( )αα

α22 cossin ⋅+⋅

⋅=

mM

mM

KK

KKK

în care α - unghiul între direcţia liniilor de curent şi a limitelor ce separă subzonele cu valori diferite ale parametrului;

MK - conductivitatea hidraulică a mediului omogen echivalent, atunci când 00=α (Fig.6.7), se calculează ca o medie aritmetică ponderată (A. Gheorghe et. al, 1983):

∑

∑=

=

=

=

⋅

=1

1

i

ni

i

ni

i

ii

M

h

hK

K

iK - conductivităţile hidraulice ale subzonelor mediului neomogen;

ih - grosimile subzonelor cu conductivităţi diferite, măsurate perpendicular pe direcţia de curgere;

mK - conductivitatea hidraulică a mediului omogen echivalent atunci când 090=α (Fig.6.8), se

calculează cu relaţia (A.Gheorghe et.al.,1983):

Fig.6.7. Schematizarea prin distorsiune parametrică a conductivităţii hidraulice (K) a unui acvifer neomogen cu nivel liber în care curgerea apelor subterane se face paralel cu

limitele ce separă subzonele cu valori diferite ale conductivităţii hidraulice ( 0=α )

h1+h2+h3+…+hn

KM

h1

h2

h3

hn

K3 K2

Kn

K1

Direcţia de curgere

Direcţia de curgere

Nivel piezometric

Nivel piezometric

Culcuşul acviferului

Culcuşul acviferului


15

∑

∑=

=

=

==ni

i i

i

ni

i

i

m

K

d

d

K

1

1

id - distanţa parcursă prin mediul de conductivitate iK , măsurată paralel cu direcţia de curgere.

Prin distorsiune parametrică, spaţiul în care are loc curgerea apelor subterane rămâne

identic cu cel al acviferului real, neomogen, iar acviferul schematizat este omogen, cu o

conductivitate constantă, echivalentă ( ( )αK ). Distorsiunea geometrică este utilizată pentru schematizarea neomogenităţii şi anizotropiei parametrice.

Schematizarea distribuţiei neomogene a conductivităţii hidraulice prin distorsiune geometrică se bazează pe observaţia că la aceleaşi condiţii hidrodinamice pe frontierele domeniului

K1 K2 Km

d1 d2 d1+d2

Fig.6.8. Schematizarea prin distorsiune parametrică a conductivităţii hidraulice(K) a unui acvifer neomogen cu nivel liber în care curgerea apelor subterane se face perpendicular pe

limitele ce separă subzonele cu valori diferite ale conductivităţii hidraulice (090=α )

K1 K2

l1 l2

h1

h2

Fig.6.9. Proporţionalitatea lungimii liniilor de curent cu conductivităţile hidraulice pentru aceleaşi condiţii hidrodinamice pe frontierele domeniului curgerii (după V.Pietraru, 1977).


16

curgerii apelor subterane, are loc curgerea aceluiaşi debit în două medii permeabile diferite, dacă lungimile liniilor de curent ( 21,ll ) sunt direct proporţionale cu conductivităţile hidraulice ( 21 ,KK ) (Fig.6.9;V.Pietraru, 1977):

2

2

1

1

K

l

K

l=

Utilizând această proprietate, schematizarea unui mediu neomogen se face prin distorsionarea spaţiului omogenizat al curgerii pe direcţia liniilor de curent prin:

• dilatarea spaţiului curgerii acolo unde conductivitatea este mai mică; • comprimarea spaţiului curgerii acolo unde conductivitatea este mai mare.

În cazul unui acvifer cu nivel liber, cu un tronson de conductivitate mai mică (Kmică) în raport cu conductivitatea tronsoanelor vecine (K), dilatarea spaţiului cu conductivitate mică:

mica

micaeK

Kll ⋅=

conduce la un acvifer omogen echivalent cu conductivitatea K şi lungimea mai mare decât a acviferului real, neomogen (Fig.6.10):

21 lllL ee ++=

lmica l2 l1 l2 l1 le

h2

h1

Kmica

K K K

K

K

Fig.6.10. Echivalarea unui acvifer neomogen cu un acvifer omogen prin distorsiune geometrică ( după V.Pietraru, 1977).

eL


17

6.2.5.3. Anizotropie

Schematizarea anizotropiei parametrice de tip ortotrop prin distorsiune geometrică conduce la un mediu izotrop echivalent. Dacă cele două direcţii ortogonale ale anizotropiei sunt x şi z iar pentru parametru

conductivitate hidraulică constK

K

x

z = în tot

domeniul schematizat, mediul este ortotrop şi se distorsionează după una din cele două direcţii. Alegând direcţia x , pentru distorsiunea geometrică, noile direcţii în care se va plasa mediul izotrop echivalent vor fi (Fig.6.11):

β

xX = şi zZ =

Pentru aceleaşi condiţii hidrodinamice pe frontierele domeniului curgerii apelor subterane atât în mediul ortotrop cât şi în cel izotrop echivalent, prin egalarea debitelor rezultă (V.Pietraru, 1977):

• coeficientul de distorsionare geometrică pentru direcţia x :

z

x

K

K=β

• conductivitatea hidraulică în mediul izotrop (aceeaşi pe cele două direcţii):

zxZX KKKKK ⋅===

xK

zK

K

K

z

x

Z

X

Fig.6.11. Schematizarea mediului ortotrop prin distorsiune geometrică pe direcţia x (după

V.Pietraru, 1977)

Mediu real ortotrop

Mediu echivalent izotrop


18

6.3. Ecuaţii de mişcare ale apei subterane Ecuaţiile de mişcare ale apei subterane se scriu ţinând seama de:

principiul conservării energiei principiul conservării masei legea lui Darcy

6.3.1.Curgere staţionară conservativă, unidimensională

6.3.1.1. Acvifere omogene

6.3.1.1.1. Acvifer cu nivel liber (culcuş orizontal)

1h

1z

dy

dx

x

y

1H

2H

2h

2z z

L

0±

Fig.6.12. Acvifer cu nivel liber omogen (culcuş orizontal)

y

x


19

Debitul unitar ( q ) la distanţa x de secţiunea (1) este:

xxvq Ω⋅=

în care

• viteza la distanţa x de secţiunea (1) este: dx

dyKIKv xx ⋅−=⋅=

• secţiunea unitară la distanţa x de secţiunea (1) este: 1⋅=Ω yx

Expresiile vitezei şi secţiunii unitare înlocuite în formula debitului unitar conduc la ecuaţia

diferenţială a modelului matematic al curgerii staţionare, conservative, plan-verticală într-un acvifer cu nivel liber omogen (cazul culcuşului orizontal: 21 zzz == ):

⇔⋅⋅−=Ω⋅=dx

dyyKvq xx dyyKdxq ⋅⋅−=⋅

Modelul diferenţial al curgerii permite calculul pentru:

• debitul unitar; • ecuaţia profilului piezometric

Datele necesare pentru calculul debitului unitar şi a ecuaţiei profilului piezometric, se măsoară

în două piezometre amplasate pe direcţia de curgere şi sunt: • cota culcuşului acviferului: 21 zzz ==

• cotele nivelului piezometric: 21, HH • distanţa dintre cele două piezometre: L • conductivitatea hidraulică: K

Calculul debitului unitar se realizează prin integrarea modelului diferenţial între cele două

piezometre:

⇒−

⋅=⋅⇒⋅⋅−=⋅ ∫∫ 2

2

2

2

1

0

2

1

hhKLqdyyKdxq

h

h

L

mmmm hvhIKhh

L

hhKq ⋅=⋅⋅=

+⋅

−⋅=

2

2121

Ecuaţia profilului piezometric se obţine prin integrarea ecuaţiei diferenţiale a curgerii între unul

din cele două piezometre şi o secţiune oarecare aflată la distanţa x , acolo unde grosimea acviferului este y :

2

22

1

01

yhKxqdyyKdxq

y

h

x−

⋅=⋅⇒⋅⋅−=⋅ ∫∫ în care înlocuind expresia debitului unitar se obţine:

⇔⋅−

−=⇔−

⋅=⋅⋅

−⋅ x

L

hhhy

yhKx

L

hhK

2

2

2

12

1

222

1

2

2

2

1

22x

L

hhhy ⋅

−−=

2

2

2

12

1


20

6.3.1.1.2. Acvifer sub presiune (grosime constantă)

Debitul unitar ( q ) la distanţa x de secţiunea (1) este (Fig.6.13):

xxvq Ω⋅=

în care

• viteza la distanţa x de secţiunea (1) este: dx

dyKIKv xx ⋅−=⋅=

• secţiunea unitară la distanţa x de secţiunea (1) este: 1⋅=Ω Mx

Expresiile vitezei şi secţiunii unitare înlocuite în formula debitului unitar conduc la ecuaţia

diferenţială a modelului matematic al curgerii staţionare, conservative, plan-verticală într-un acvifer sub presiune omogen (cazul culcuşului orizontal: 21 zzz == ):

M

1z

dy

x

y1H

2H

2z

L

0±

dx

M

Fig.6.13. Acvifer sub presiune, omogen, cu grosime constantă şi culcuş orizontal

y

x


21

⇔⋅⋅−=Ω⋅=dx

dyMKvq xx dyMKdxq ⋅⋅−=⋅


• debitul unitar; • ecuaţia profilului piezometric


în două piezometre amplasate pe direcţia de curgere şi sunt: • cota culcuşului acviferului: 21 zzz ==

• cotele nivelului piezometric: 21, HH • distanţa dintre cele două piezometre: L • conductivitatea hidraulică: K


piezometre:

( )⇒−⋅⋅=⋅⇒⋅−=⋅ ∫∫ 21

0

2

1

HHMKLqdyMKdxqH

H

L

MvMIKML

HHKq mm ⋅=⋅⋅=⋅

−⋅= 21



( )yHMKxqdyMKdxqy

H

x

−⋅⋅=⋅⇒⋅−=⋅ ∫∫ 1

01

în care înlocuind expresia debitului unitar se obţine:

( )yHMKxL

HHMK −⋅⋅=⋅

−⋅ 1

21

xL

HHHy ⋅

−−= 21

1


22

6.3.1.2. Acvifere neomogene

6.3.1.2.1. Acvifer cu nivel liber cu variaţie liniară a conductivităţii hidraulice

Modelul matematic diferenţial al curgerii cu nivel liber din acviferele neomogene cu variaţie

liniară a conductivităţii hidraulice se obţine din modelul curgerii în acviferele cu nivel liber omogene:

dyyKdxq ⋅⋅−=⋅

în care se înlocuieşte valoarea constantă a conductivităţii hidraulice ( K ), cu legea ei de variaţie:

( ) xbaxK ⋅+= rezultând:

( ) ⇔⋅⋅−=⋅ dyyxKdxq ( ) dyyxbadxq ⋅⋅⋅+−⋅

Modelul diferenţial al curgerii permite calculul pentru: • debitul unitar; • ecuaţia profilului piezometric

Datele necesare pentru calculul debitului unitar şi a ecuaţiei profilului piezometric, se obţin din două piezometre amplasate pe direcţia de curgere şi sunt (Fig.6.14):

• cota culcuşului acviferului: 21 zzz ==

• cotele nivelului piezometric: 21, HH • distanţa dintre cele două piezometre: L • legea de variaţie a conductivităţii hidraulice: ( ) xbaxK ⋅+= (stabilită pe baza

unui număr de valori ale conductivităţii hidraulice (minim trei) determinate de-a lungul direcţiei de curgere; a şi b sunt parametrii modelului liniar determinaţi prin calarea modelului liniar pe valorile conductivităţii hidraulice)


piezometre:

⇒−

=⋅+

⋅⇒⋅−=⋅+

⋅ ∫∫ 2ln

2

2

2

1

0

2

1

hh

a

Lba

b

qdyy

xba

dxq

h

h

L

( )

a

Lba

hhbq

⋅+⋅

−⋅=

ln2

2

2

2

1


23



2ln

22

1

01

yh

a

xba

b

qdyy

xba

dxq

y

h

x−

=⋅+

⋅⇒⋅−=⋅+

⋅ ∫∫

în care înlocuind expresia debitului unitar se obţine:

a

xba

a

Lba

hhhy

⋅+⋅

⋅+

−−= ln

ln

2

2

2

12

1

1h

1z

dy

dx

x

y

1H

2H

2h

2zz

L

0±

( )xK

Fig.6.14. Acvifer cu nivel liber cu variaţie liniară a conductivităţii hidraulice

y

x


24

6.3.1.2.2. Acvifer sub presiune „stratificat”(curgere paralelă cu statificaţia)

Acviferele sub presiune neomogene de tip stratificat (Fig.6.15), în modelele matematice sunt echivalate cu acvifere omogene, prin distorsiune parametrică. Acviferul sub presiune neomogen stratificat compus din trei secvenţe litologice: • secvenţa 1 cu grosimea 1M cu conductivitatea hidraulică 1K ;

• secvenţa 2 cu grosimea 2M cu conductivitatea hidraulică 2K ;

• secvenţa 3 cu grosimea 3M cu conductivitatea hidraulică 1K ;

este echivalat cu un acvifer sub presiune omogen compus dintr-o singură secvenţa litologică: • secvenţa (123) cu grosimea 321 MMMM ++= cu conductivitatea hidraulică MK

Modelul matematic, pentru calculul lui MK în cazul unei curgeri paralele cu stratificaţia se obţine prin calculul debitelor unitare din acviferul neomogen stratificat pe fiecare secvenţă, secvenţe prin care apa se deplasează sub acelaşi gradient hidraulic mediu:

L

HHI m

21 −=

o 121

11 ML

HHKq ⋅

−⋅=

o 221

22 ML

HHKq ⋅

−⋅=

o 3

2133 M

L

HHKq ⋅

−⋅=

Suma debitelor unitare care se filtrează prin secvenţele 1, 2 şi 3 este egală cu debitul unitar al

acviferului omogen echivalent, cu debitul unitar:

( )321

21 MMML

HHKq M ++⋅

−⋅=

Formula de calcul pentru conductivitatea hidraulică MK se obţine din relaţia de echivalenţă a celor patru debite unitare:

321 qqqq ++=

Prin înlocuirea expresiilor debitelor unitare în relaţia de echivalenţa se obţine:

( ) 3

21

32

21

21

21

1321

21 ML

HHKM

L

HHKM

L

HHKMMM

L

HHK M ⋅

−⋅+⋅

−⋅+⋅

−⋅=++⋅

−⋅

Din care rezultă, după efectuarea calculelor:

∑

∑=

=

=

=

⋅

=++

⋅+⋅+⋅=

3

1

3

1

321

332211

i

i

i

i

i

ii

M

M

MK

MMM

MKMKMKK


y

x

2M

z

dy

x

1H

2H

z

L

0±

dx

M

Fig.6.15. Echivalarea acviferului sub presiune “stratificat” (curgere paralelă cu stratificaţia) cu un acvifer sub presiune omogen

y

3M

1M

1H2H

L

1K

1K 2K

3K

z

x

y

⇔


26

6.3.1.2.3. Acvifer sub presiune „stratificat” (curgere perpendiculară pe statificaţie)

Acviferele sub presiune neomogene de tip stratificat (Fig.6.16), în modelele matematice sunt echivalate cu acvifere omogene, prin distorsiune parametrică. Acviferul sub presiune neomogen stratificat compus din trei secvenţe litologice: • secvenţa 1 cu lungimea 1L cu conductivitatea hidraulică 1K ;

• secvenţa 2 cu lungimea 2L cu conductivitatea hidraulică 2K ;

• secvenţa 3 cu lungimea 3L cu conductivitatea hidraulică 1K ;

este echivalat cu un acvifer sub presiune omogen compus dintr-o singură secvenţa litologică: • secvenţa (123) cu lungimea 321 LLLL ++= cu conductivitatea hidraulică mK

Modelul matematic, pentru calculul lui mK în cazul unei curgeri perpendiculare pe stratificaţia se

obţine prin calculul reducerilor de sarcină piezometrică din acviferul neomogen stratificat cu grosime M prin care este tranzitat acelaşi debitul unitar q ,

• în fiecare secvenţă:

• secvenţa 1: ML

HHKq ⋅

−⋅=

1

101

MK

LqHH

⋅=−⇒

1

110

• secvenţa 2: ML

HHKq ⋅

−⋅=

2

212

MK

LqHH

⋅=−⇒

2

221

• secvenţa 3: ML

HHKq ⋅

−⋅=

3

323

MK

LqHH

⋅=−⇒

3

332

• în acviferul omogen echivalent, cu conductivitatea mK :

o secvenţa (123): ML

HHKq m ⋅

−⋅= 30

MK

LqHH

m ⋅=−⇒ 30

Suma reducerilor de sarcină piezometrică care determinarea filtrarea debitului unitar prin

secvenţele 1, 2 şi 3 este egală cu reducerea de sarcină piezometrică în acviferul omogen echivalent, cu conductivitatea mK :

( ) ( ) ( )10101010 HHHHHHHH −+−+−=−

Prin înlocuirea expresiilor reducerilor de sarcină piezometrică în relaţia de echivalenţă se obţine:

MK

Lq

MK

Lq

MK

Lq

MK

Lq

m ⋅+

⋅+

⋅=

⋅ 3

3

2

2

1

1

Din care rezultă, după efectuarea calculelor, formula de calcul pentru conductivitatea echivalentă:

∑

∑=

=

=

==

++

=3

1

3

1

3

3

2

2

1

1i

i i

i

i

i

i

m

K

L

L

L

L

K

L

K

L

LK


y

x

2L

z

0H

3H

z

L

0±

M

Fig.6.16. Echivalarea acviferului sub presiune “stratificat” (curgere perpendicular pe stratificaţie) cu un acvifer sub presiune omogen

3L 1L

0H3H

L

1K

2K

3K

z

x

y

⇔ 1H 2H

M


28

6.3.2.Curgere staţionară neconservativă, unidimensională

6.3.2.1. Acvifer omogen cu nivel liber

Debitul unitar xq la distanţa x de secţiunea 1 este format din debitul unitar 1q la care se

adaugă alimentarea din infiltraţii w pe suprafaţa dreptunghiulară 1⋅x : 11 ⋅⋅+= xwqqx

în care

dx

dyyKqx ⋅⋅−=

Modelul diferenţial al curgerii neconservative plan-verticale cu nivel liber este:

y

x

Fig.6.17. Acvifer omogen cu nivel liber cu alimentare din infiltraţii

1h

1z

dy

dx

x

y 1H

2H

2h

2zz

L

0±

1q

2q

xq

w

CY

CX

C

3H

3x


29

xwqdx

dyyK ⋅+=⋅⋅− 1


• debitul unitar; • ecuaţia profilului piezometric • poziţia punctului de cumpănă ( )CC YXC ,


în minimum trei piezometre amplasate pe un aliniament perpendicular direcţia de curgere şi sunt: • cota culcuşului acviferului: 21 zzz ==

• cotele nivelului piezometric: 321 ,, HHH

• distanţa dintre cele două piezometre: 3, xL

• conductivitatea hidraulică: K

Calculul debitului unitar presupune integrarea modelului diferenţial de două ori, utilizând ca limite de integrare cele trei piezometre în care se cunoaşte sarcina piezometrică şi grosimea acviferului:

• (P1P2): ∫∫∫ ⋅⋅+⋅=⋅⋅−LLh

h

dxxwdxqdyyK00

1

2

1

• (P1P3): ∫∫∫ ⋅⋅+⋅=⋅⋅−333

1 00

1

xxh

h

dxxwdxqdyyK

Cele două ecuaţii obţinute formează un sistem cu două necunoscute:

• Debitul unitar în secţiunea 1: 1q

• Modulul de infiltrare: w

⋅+⋅=−

⋅

⋅+⋅=−

⋅

22

222

331

2

3

2

1

2

1

2

2

2

1

xwxq

hhK

LwLq

hhK

Prin rezolvarea sistemului se obţin relaţiile de calcul pentru:

• Modulul de infiltrare: ( ) ( )

−⋅

−−

−⋅

−⋅=

33

2

3

2

1

3

2

2

2

1

xLx

hh

xLL

hhKw

• Debitul unitar în secţiunea 1: ( )22

2

2

2

11

Lwhh

L

Kq ⋅−−⋅

⋅=


30

• Debitul unitar pentru orice secţiune x : ( )

−⋅−−⋅

⋅= x

Lwhh

L

Kqx

22

2

2

2

1

Ecuaţia profilului piezometric se obţine prin integrarea ecuaţiei diferenţiale a curgerii între unul din cele două piezometre (de exemplu P1) şi o secţiune oarecare aflată la distanţa x , acolo unde grosimea acviferului este y :

∫∫∫ ⋅⋅+⋅=⋅⋅−xxy

h

dxxwdxqdyyK00

1

1

în care înlocuind expresia debitului unitar 1q se obţine:

( )xLK

xwx

L

hhhy −⋅

⋅+⋅

−−=

2

2

2

12

1

Abscisa punctului de cumpănă a apelor subterane ( CX ) se obţine prin egalarea debitului

unitar în secţiunea CX cu zero:

( ) 022

2

2

2

1 =

−⋅−−⋅

⋅= CX X

Lwhh

L

Kq

C ⋅

⋅

−⋅−=⇒

L

hh

w

KLX C

22

2

2

2

1

Ordonata punctului de cumpănă a apelor subterane () se obţine din ecuaţia profilului piezometric în care x se înlocuieşte cu valoare lui CX :

( )CC

CC XLK

XwX

L

hhhY −⋅

⋅+⋅

−−=

2

2

2

12

1

Documents

HIDRAULIC Ă SUBTERAN Ă (note de curs) Daniel Scr ădeanu · Legea lui Darcy Legea de mi şcare a apei subterane-legea lui Darcy 6.2.1. Experimentul Darcy Legea lui Darcy, stabilit