Upload
nguyen-phung
View
253
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
CHƯƠNG 2
2 3 7 1
3 9 2 3
4 5 0
x y z
x y z
x y z
− + = + − =− + − =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
,(2.1)
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2
2 3 4 0
3 8 5 3 2
4 2 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
− + − =− − + + = + − + = − − + − =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2 2 3 5 1
2 3 4 0 1 2 3 4
3 8 5 3 2 3 8 5 3
0 4 2 74 2 7 9
x x x x
x x x xA
x x x x
x x x
− + − = − − − − + + = − − ↔ = + − + = − − − −− + − =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2 2
2 3 4 0 0
3 8 5 3 2 2
94 2 7 9
x x x x
x x x xB
x x x x
x x x
− + − = − − + + = ↔ = + − + = − − − + − =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2
2 3 4 0
3 8 5 3 2
4 2 7 9
2 3 5 1 2
1 2 3 4 0
3 8 5 3 2
0 4 2 7 9
bs
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
A
− + − =− − + + = + − + = − − + − =
− − − − ↔ = − − − −
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ:2 7 1 9
3 1 4 0
5 9 2 5
x
y
z
− =
2 7 9
3 4 0
5 9 2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =⇔ − + = + + =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
Bài tập: Giải hệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 3 5
3 2 1
x x x
x x x
x x x
− + = + − = − + =
1 1 2
2 1 3
3 2 1
D
−= −
−
1
1 1 2
5 1 3
1 2 1
D
−= −
−
2
1 1 2
2 5 3
3 1 1
D = −
3
1 1 1
2 1 5
3 2 1
D
−=
−
= -19= -19
= -29= -29
= -9= -9
= -8= -8
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ Grame
11
22
33
198
298
98
Dx DDx DDx D
−= = −−= = −−= = −
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Các phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhCác phép biến đổi tương đương hệ phương trìnhNhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ.hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Đổi chỗ hai PT của hệ.Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ.PT khác của hệ.
0λ ≠
0λ ≠
1
2 3 2
2 5
x y z
x y z
x y z
− + = + − = + + =
1
2 3 2
2 4 2 10
x y z
x y z
x y z
− + =⇔ + − = + + =
2 4 2 10
1
2 3 2
x y z
x y z
x y z
− + =⇔ + + = + − =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng..
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Xét hệ phương trình tổng quát sau:
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ta có ma trận bổ sung tương ứng
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
11 12 1 1 1
22 2 2 2
' ' ... ' ... ' '
0 ' ... ' ... ' '
... ... ... ... ... ... ...
' 0 0 ... ' ... ' '
0 0 ... 0 ... 0
.. .. .. .. .. .. ..
0 0 ... 0 ... 0 0
r n
r n
r r r n r
a a a a b
a a a b
A a a b
k
=
Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
1 2
' ' ... ' ... ' '
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
' ... ' '
0 0 ... 0 ... 0
r r n n
r r n n
r r r r n n r
r n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
x x x x k
+ + + + + = + + + + = + + = + + + + + =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy
ra hệ PT vô nghiệm. 2. Nếu thì hệ có nghiệm:
a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiệm duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.
0k ≠
0k =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
' ' ... ' ... ' '
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
' ... ' '
... ... ...
' '
r r n n
r r n n
rr r rn n r
nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x b
+ + + + + = + + + + = + + =
=
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau:
Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.
11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1
22 2 2 2( 1) 1 2 2
( 1) 1
' ' ... ' ' ... ' '
' ... ' ' ... ' '
... ... ... ... ...
' ' ... ' '
r r r r n n
r r r r n n
r r r r r r r n n r
a x a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x b
+ +
+ +
+ +
+ + + = − − − + + + = − − − + = − − − +
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
2 1
4 1
5 1
24
h hh hh h
−+− →
….
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Vậy hệ phương trình
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:
...bsA → →
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài Tập: Giải hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
2 2
2 3 2 2
3 4 5 1
2 3 0
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
− + + = + − − = + − = −− + + − =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
2 2 1
4 4 1
2
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 3 4 5 1
0 0 4 2 2
= −= +
− − − − → − − −
h h hh h h
3 3 2
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 4 2 2
= −
− − − − → − −
h h h
1 1 2 1 2
2 1 3 2 2
0 3 4 5 1
1 1 2 3 0
− − − − − − −
4 4 311 4
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 0 18 18
= −
− − − − → − −
h h h
HD:
…
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài Tập: Giải hệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 1
3 4 3 1
4 7 1
2 5 5 8 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − + =− + + − = −− + + − = − − − + =
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
1 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A+ = − ⇒ = ≠ = ⇒
2
1 2 1 1 1
0 1 3 2 2
0 0 1 2 3
0 0 0 1 1
bsA
m m
− = − − − −
1 ( ) ( ) 3bsm r A r A n+ = ⇒ = = < ⇒
* Biện luận theo m số nghiệm của hệ:
2
2 1
3 2 2
2 3
( 1) 1
x y z t
y z t
z t
m t m
+ − + = + + = − − = − = −
Hệ vô nghiệm
Hệ có VSN
Hệ có Ng duy nhất1 ( ) ( )bsm r A r A n+ ≠ ± ⇒ = = ⇒
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
2 2 1
2 5 3 0
2 3 3
1
x y z t
x y z t
y z t
x y z mt
+ − + = + + + = − − = − + + =
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
1 2 1 2 1
0 1 5 3 2
0 0 7 0 5
0 0 0 7 77 43
bsA
m
− − − → − −
Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp
11 ( ) 3 ( ) 4bsm r A r A= ⇒ = < = ⇒> hệ vô nghiệm
11 ( ) ( ) 4bsm r A r A≠ ⇒ = = ⇒> hệ có nghiệm duy nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
3 2 1
2 3 2
3 4 2 1
x y z
x y mz
x y z
+ + =− + + = − + =
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Dạng ma trận của phương trình tuyến tính thuần nhất là
AX=0. (2.2.1)
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
11 12 1
21 22 2
1 2
.. 0
.. 0
.. .. .. .. ..
.. 0
n
nbs
m m mn
a a a
a a aA
a a a
=
Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số
Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp: Hệ có nghiệm duy nhất
Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương trình
Hệ có vô số nghiệm Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ
phương trình
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0). Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm
thường. Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài
nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa. Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không
tầm thường.
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
1 2 1
0 3 1
0 0 2
A
m
− → +
2 ( ) 3m r A= − ⇒ <
Ta có:
Biến đổi
sơ cấp
Do đó với
Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường
2m =−
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường.
Đại Số Tuyến Tính
∑ Đại Số Tuyến Tính
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất
Ta có 1 2 1
det( ) 2 1 3
1 1
A
m
−= −
− −
(3 6) 0m= + =
2m⇔ = −