Chuyen De Phuong Trinh va He Phuong Trinh

8/14/2019 Chuyen De Phuong Trinh va He Phuong Trinh

1/12


2/12

Chuyn Ph ng Trnh & H Ph ng Trnh

A. Cc lo i ph ng trnh v h ph ng trnh c bn

I.Ph ng trnh b c nht1.1 Dng : a x+b=0 1.2 Cch gi i:

a 0 : ph ng trnh c m t nghim bxa

=

a=0 :+ : ph ng trnh v nghi mb 0+ : ph ng trnh c nghi m x ty b 0=

1.3 Bi t pBi 1:Gii ph ng trnh

x a x b x c 1 1 12( )

bc ac ab a b c

+ + = + + (*)

Ly VT-VP (*) c phn tch thnh1 1 1

(x a b c)( ) 0bc ac ab

+ + =

Nu1 1 1

0bc ac ab

+ + th ph ng trnh c nghi m l : x a b c= + +

Nu1 1 1

0bc ac ab

+ + = th ph ng trnh trn ng v i mi x

Bi 2:Gii ph ng trnh

a b x a c x c b x 4x1

c b a a b c

+ + + + + ++ +

=

Cng 3 vo 2 v ca ph ng trnh ta c :1 1 1 a b c x

(a b c x)( ) 4a b c a b c

+ + + + + + =+ +

1 1 1 4(a b c x)( ) 0

a b c a b c+ + + + =

+ +

Vy x a b c= + +II. Ph ng trnh b c hai2.1 Dng : 2ax bx c 0(a 0)+ + = 2.2 Cch gi i:


3/12

a=0 : ph ng trnh suy bi n thnh b c 1a 0 : l p 2b 4ac =

0 < : ph ng trnh v nghi m

0 = : ph ng trnh c nghi m kp 1 2b

x x2a

= =

0 > : ph ng trnh c hai nghi m phn bi t : 1,2bx

2a =

Ch :

Nu 1b

x2a

= v 1b

x2a

+ = th :

khi1x x< 22

a 0>khi1x x> a 0 ph ng trnh b c hai c 2nghim phn bi t

2.3 Hthc Vi-eti) Nu ph ng trnh c 2 nghi m th2ax bx c 0+ + = 1x & x2 1 2 1 2

b cx x & x x

a a+ = =

ii) o li cho 2 s bt k , ,khi chng l nghi m ca ph ng trnh2x Sx P 0 + = v i S= + v P =

nh l 1 : Cho tam th c bc 2 2f(x)=ax bx c+ + i) Nu tm c s af( ) 0 th tam th c c nghi m ,cn n u af( ) 0 <

th tam th c c 2 nghi m phn bi tii) Nu tm c s , sao cho f( )f( ) 0 th tam th c c nghi m ,nu

f( )f( ) 0 < th tam th c c 2 nghi m phn bi t

nh l 2 : ph ng trnh 2ax bx c 0+ + = c nghi m hu t iu kin cn v l bit s l 1 schnh ph ng

nh l 3 : Nu 0p

xq

= l nghi m hu tca ph ng trnh 2ax bx c 0+ + = trong

th q l c ca a v p l c ca(p,q) 1= c2.3 Bi t pBi 1:Gii ph ng trnh

2 2

2x x 33x x 1 3x 4x 1 2

+ = + + (*)

T p xc nh 1R \ 1,3

x 0= : khng l nghi m

x 0 : (*) 2 11 1 23x 1 3x 4x x

+ + +

3=


4/12

t 1y 3xx

= + ta quy v ph ng trnh b c hai 23y 21y 30 0 + = gii ra ta c

nghim v t tm c nghimy 2= y 5= 5 13x6

=

Bi 2:Gii ph ng trnh

2 2 2

1 1 1x 9x 40 x 11x 30 x 13x 42 18

+ ++ + + + + +

1=

1 1 1 1 1 1x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18

+ + =+ + + + + +

1

3

2x 11x 26 0 + = Gii ra ta c nghim vx 1= x 2= Bi 3:Gii ph ng trnh

(x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c ) 1c(c a)(c b) a(a b)(a c ) b(b a)(b c ) x

+ + =

Trong a, l 3 skhc nhau v khc 0b,c

(x a)(x b) (x b)(x c) (x a)(x c) 1

0c(c a)(c b) a(a b)(a c) b(b a)(b c ) x

+ +

=

R rng ta th y l 3 nghi m phn bi t ca ph ng trnh trn . Khi quy ng mu s (k ) ,vtri ph ng trnh s l mt a thc khc 0 do ph ng trnh c khngqu 3 nghi m .Vy ph ng trnh cho c 3 nghi m

a,b,cx 0

1 2 3x a,x b,x c= = =

Bi 4:a. Gis l hai nghi m ca ph ng trnh .Hy tnh

theo a1 2x , x

2x ax+1=07

7 1 2S x x= +7

b. Tm a thc bc 7 c h snguyn nh n s 7 735 3

= + 5

2

2

a

l nghi m

a. Ta c 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2S x x (x x ) 2x x a= + = + =

2 2 2 2 2 2 24 1 2 1 2S (x x ) 2x x (a 2)= + =

2 2 33 1 2 1 1 2 2 2S (x x )(x x x x ) a(S 1) a 3= + + = =

3 3 4 4 3 3 7 5 37 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 1S (x x )(x x ) x x (x x ) S S S a 7a 14a 7a= + + + = = +

b. t 7 71 23 5

x ,x5 3

= =

Theo Vi-et l nghi m ca ph ng trnh1 2x ,x2x x 1 0 + = m ta c

7 77 1 2S x x= +

7 5 3a 7a 14a 7a= + = 3 55 3

+


5/12

7 5 315 105 210 105 34 0 + =

Vy a thc cn tm l 7 5 315x 105x 210x 105x 34 0 + =III. Ph ng trnh b c ba3.1 Dng 3 2ax bx cx d 0+ + + =3.2 Cch gi i ph ng trnh b c ba tng qut c a CardanoCi ny i v i hc sinh THCS khng quan tr ng lm nn tc gi ch xin a link bnno mu n tm hi u th tham kh o http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf hoc http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation .3.3 Hthc Vi-eti) Nu ph ng trnh b c ba 3 2ax bx cx d 0+ + + = (a 0) c ba nghi m th :1 2 3x ,x ,x

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

bx x x

ac

x x x x x xa

dx x x

a

+ + =

+ + =

=

ii) o li nu 3 s u, tha mnv,w u v w=m,uv+vw+wu=n,uvw=p+ + th lnghim ca ph ng trnh

u,v,w3 2t mt nt p 0 + =

nh l Bezout :Cho 1 a thc P( ,nu P( c mt nghim lx) x) th P( chia ht cho (xx) ) cngh a l P(x) (x ).Q(x) = (bc Q(x) P(x)< l 1 )3.4 Cc ph ng php chung gi i ph ng trnh b c ba3.4.1 N u bit tr c mt nghim 0x x= th phn tch ph ng trnh

20(x x )(ax bx c) 0 + + =

11

c bit nu :a b c d 0+ + + = th (*)0x =a b c d 0 + = th (**)0x =

3d c( )a b

= th 0c

xb

= (***)

Sau tm a, ta c th sdng php chia a thc hoc sdng s Horner hayng nht ha hai v tm

b,c

3.4.1 Bit mt hthc gia cc nghi m th ta dng Vi-et3.4.2 Dng h ng ng thc bin i vph ng trnh tch3.5 Bi t pBi 1:Gii ph ng trnh

3 2x 2x 4x 8 0+ + = (1)

G i sdng (***) gi i ra ta c x 2= Bi 2:Gii ph ng trnh
http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdfhttp://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equationhttp://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf


6/12

3 2x 3x x 1 0 + + = (2)G i sdng (*) ta th y l nghi m a thc vtri suy ra (2)

.ng nht ha 2 v ta cx 1=

2(x 1)(ax bx c) 0 + + =2(x 1)(x 2x 1) 0 =

Sau gii ra nghi mBi 3:Gii ph ng trnh

3 212x 14x 17x 6 0+ + = Bit ph ng trnh c 2 nghi m m tch b ng 1

G i sdng hthc Vi-et tm c mt nghim sau lm t ng tbi trnIV. Ph ng trnh b c bn4.1 Dng : 4 3 2ax bx cx dx e 0(a 0)+ + + + = 4.2 Cch gi i ph ng trnh b c bn tng qut c a FerrariCi ny i v i hc sinh THCS khng quan tr ng lm nn tc gi ch xin a link bnno mu n tm hi u th tham kh o http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf hoc http://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equation 4.3 Cc ph ng php chung gi i ph ng trnh b c bn4.3.1 D ng 4 2ax bx c 0(a 0)+ + = Cch gi i: t ,ta c2t x 0= 2at bt c 0+ + = +Gii tm t 0+V i mi nghim , ph ng trnh c hai nghi m phn bi t :0t > 0 1 0 2x t ,x= = 0t 4.3.2 D ng v i(x a)(x b)(x c )( x d) k+ + + + = a b c d+ = + Cch gi i : t ta c ph ng trnh b c 2 theo .Gii ra tm ,sau ti p tc gii tm

t (x a)(x b= + + ) t tx

4.3.3 D ng 4 4(x a) (x b) k+ + + =

Cch gi i : t a bt x2

+= + ta c ph ng trnh trng ph ng theo t

4.3.4 D ng 4 3 2ax bx cx bx a 0+ + + =Cch gi i :+Xt c l nghi m ca ph ng trnh hay khngx 0=+Xt chia 2 v cho ph ng trnh tr thnhx 0 2x

2 21 1

a(x ) b(x ) c 0x x

+ + + =

t1

t x x= ta c ph ng trnh b c 2 theo t 4.4 Bi t pBi 1:Gii ph ng trnh

(x 1)(x 6)(x 5)(x 2) 252+ + + + =Bi 2:Gii ph ng trnh
http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdfhttp://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equationhttp://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equationhttp://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/cubic.pdf


7/12

4 3 29x 9x 52x 9x 9 0 + =

Bi 3:Gii ph ng trnh

2 2

11 251

x (x 5) =

+

iu kin x - 5&x 0 t .Ta cx 5 y 0+ = 2 2x y 10y 2= + 5Thay vo ph ng trnh ta c

4 3 2y 10y 39y 250y 625 0 + + = .Do y 0 nn ta c2

2

25 25(y ) 10(y ) 39 0

y y+ + + =

t25

z y y= + ph ng trnh tr thnh2

z 10z 11 0 =z 11z 1

= =

Nghim loi v dthy | Z z = 1 | 10T tnh c y v xBi 4:Gii ph ng trnh

22

2

4xx 5

(x 2)+ =

iu kin x 2

2 2 2

2 22x 4x x 4x(x ) 5 ( ) 5x 2 x 2 x 2 x 2 + = =

Ta t2x

yx 2

=

12

2

y 1y 4y 5 0

y 5

= = =

T ta tm c nghim v x 2x 1= = V. H i xng5.1.1 H i xng loi 1:L loi hph ng trnh ch a n x,y m khi ta hon v x v y th m i ph ng trnh c a h khng thay i5.1.2 Cch gi i :

t ,bin i h cho v hv i hai n S, S x yP xy

= + =

P

Gii htm .S,PV i mi c p (S th x v y l hai nghi m ca ph ng trnh:,P)

2 2x Sx P 0( S 4P + = = )


8/12

5.2.1 H i xng loi 2:L loi hph ng trnh ch a n x,y m khi ta hon v x v y th ph ng trnh ny bi nthnh ph ng kia c a h 5.2.2 Cch gi i:Tr vv i vca 2 ph ng trnh c a hta c ph ng trnh c d ng

(x y)g(x,y) 0 =

T ta c hai h .Gii hny ,trong c m t h i xng loi 15.3 Bi t pBi 1:Gii hph ng trnh

2 22 2

1 1x y 49

x y1 1

x y 5x y

+ + + =

+ + + =

Bi 2:

Gii hph ng trnh 3 34 4

x y 1(1)

x y 1(2

+ =

+ = )

4

T(2) ta c | x v | y | 1 | 1 Nu | x th t(1) suy ra ,t ng t ta c| 1 y 0 x 0 Nu th .V l!0 x 1< < 3 4 3x x ,y y> >Vy ch c th hocx 0,y 1= = x 1, y 0= = Bi 3:Gii hph ng trnh

1 12 2yx

1 12 2

xy

+ =

+ =

VI. H ng c p bc hai6.1 Dng :

2 2

2 2

ax bxy cy d

a'x b ' xy c 'y d'

+ + =

+ + =

6.2 Cch gi i :Xt c l nghi m ca hkhngx 0,y 0= =V i khng l nghi m ca hta tx 0,y 0= = x ty= t ta c mt ph ng trnh b chai theo t .Gi i tm t sau ta suy ra x,y6.3 Bi t pBi 1:


9/12

Gii hph ng trnh2 2

2 2

x 3xy y 1

3x xy 3y 13

+ =

+ =

Bi 2:

Gii hph ng trnh 22 2

3x 2xy 160

x 3xy 2y 8

=

=

Bi 3:Gii hph ng trnh

2 2x 2xy 3y 0x | x | y | y | 2

+ =

+ =

B. Mt sph ng trnh v h ph ng trnh khng m u mcBi 1:

1x 2

x1

y 2y1

z 2z

=

=

=

y

z

x

Hny tho t nhn ta thy y l h hon v vng quay nh ng v i nhng cch nh githng th ng th ta khng th tm nghi m bi ton ny c .Bi ny c gii nhsau :

t x cot g , (0, ),2

=

Ta thu c 2y cot g tg 2cot g2 = = Suy ra z cot g4 x cot g8 = =

Ta nh n c kcot g cot g87

= =

K t h p v i iu kin ta c cc nghi m sau2 4

x cot g , y cot g ,z cot g7 7 7 7

= = = =

2 2 4x cot g ,y cot g ,z cot g7 7 7

87

= = = =

3 3 6x cot g ,y cot g ,z cot g

7 7 712

7

= = = =

4 4 8x cot g ,y cot g ,z cot g

7 7 716

7

= = = =


10/12

5 5 10 20x cot g ,y cot g ,z cot g

7 7 7 7

= = = =

6 6 12 24x cot g ,y cot g ,z cot g

7 7 7 7

= = = =

Bi 2:Gii ph ng trnh

2 4 4 4 44 x 2 x

x 2 x3 3

++ = +

iu kin 0 x 2 Ph ng trnh vi t li4 4 4 4 4 4

x 2x x 2(2 x) (2 x) 2xx x 2 x

3 3 3

+ + ++ + = + +

Sdng B T

4 4 4 4 4 4a 2b b 2c c 2a

a b c 3 3 3

+ + ++ + = + +

Ta suy ra

4 4 4 4 4 4x 2x x 2(2 x) (2 x) 2x

x x 2 x3 3 3

+ + ++ + + +

Du ng thc xy ra khi v ch khi x 2 x x 1= = Bi 3:Gii ph ng trnh

34x 3x 2+ =

Xt 3f(x) 4x 3x 2= +

suy ra ng bin ,suy ra ph ng trnh c duy nh t mtnghim

2f '(x) 12x 3 0= + > f(x)

t 1 1x (t )2 t

= >, t 0

Thay vo ph ng trnh ta nh n c3

3

1t 4

t =

t ta c3X t 0= >

2 X 2 5X 4X 1 0X 2 5(L) = + =

=

T ta tnh c sau tnh ct

33

1 1x ( 2 5

2 2 5= +

+)

Bi 4:Gii ph ng trnh


11/12

3

24

4x 3x1 x

16x 12x 1

= +

t x cos , [0, ], = ta c sin5 cos3 =

C. K thut t n ph quy v h i xng loi hai trong bi ton c ch acn

Bi 1:Gii ph ng trnh

2 2x 3(2 3x ) 2+ =

t ta thu c h i xng loi 22y 2 3x=

2

2

y 2 3x

x 2 3y

=

= n y th cng vi c hon ton n ginBi 2:Gii ph ng trnh

3 3x 1 2 2x 1+ =

t 3y 2x= 11

1

ta thu c h i xng loi 23

3

y 2x

x 2y

=

=

Nhn xt: trong nh ng bi ton trn vi c t n phhon ton d dng c thquy v h i xng loi hai ,nh ng trong nh ng bi ton kh h n vic t n phdo ph n xhon ton khng p d ng c.Vy chng ta ph i lm th no? Chng ta c th hiu rvk thut t n phvh i xng trong v d sau yBi 3:Gii ph ng trnh

24x 2x 1 6 12x+ + + =

t 2x 1 ay b+ = + v i a, l hng s.Ta c :b

2

2 2 2

4x 12x ay b 5 0

a y 2aby 2x b 1 0

+ + + =

+ + =

Xc nh a,b sao cho h trn l h i xng loi 2 tc l :2 2

a 2ab 2 b 15

a 2b 3

= =4 12 a b = = =

+

Vy ta t 2x 1 2y 3 0+ = + ta thu c h i xng


12/12

2

2

2

2x 6x y 4 0

2y 6y x 4 0

(x y)(2x 2y 5) 0

2x 6x y 4 0

+ =

+ = + =

+ =

n y th vi c gii ph ng trnh hon ton mang tnh th tcBi 4:Gii ph ng trnh

2 4x 97x 7x28

++ =

Bi 5:Gii ph ng trnh

25 x 1 2x x 3 1 + + + + =

Bi 6:Gii ph ng trnh3 225 x 3 3+ + =

Bi 7:Gii ph ng trnh

2(x 2) x x 20 6x 20+ = +

Documents

Chuyen De Phuong Trinh va He Phuong Trinh