Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Zadatak 6.1Funkcija izvodnica ima oblik

F2(q1, q2, P1, P2) =√

2m(P1 − P2)q1

− 23

√

2m

(P2 − mgq2)3/2

g

Nadite kanonsku transformaciju (Q, P) → (q, p). Akoje Hamiltonijan u starim koordinatama dan s

H =1

2m

(

p21 + p2

2

)

+ mgq2 ,

nadite Hamiltonijan u novim koordinatama.

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Rješenje: za funkciju izvodnicu F2(qi , Pi) vrijedi

pi =∂F2

∂qii Qi =

∂F2

∂Pi

p1 =∂F2

∂q1=

√

2m(P1 − P2)

p2 =∂F2

∂q2=

√2m

√

P2 − mgq2

Q1 =∂F2

∂P1=

√2m

2√

P1 − P2q1

Q2 =∂F2

∂P2= −

√2m

2√

P1 − P2q1 −

√

2m

√

P2 − mgq2

g

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• iz druge jednadžbe možemo izraziti P2

p22 = 2m (P2 − mgq2) =⇒ P2 =

p22

2m+ mgq2

• kvadriramo prvu jednadžbu

p21 = 2m(P1 − P2)

i uvrstimo P2

P1 =p2

1

2m+

p22

2m+ mgq2

• razliku P1 − P2 uvrstimo u trecu jednadžbu

Q1 =

√

m2

q1

√

2mp2

1

=mq1

p1

• konacno, iz cetvrte jednadžbe slijedi

Q2 = −mq1

p1−

√

2m

p2√2mg

= −mq1

p1− p2

mg

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• transformacija glasi

Q1 =mq1

p1

Q2 = −mq1

p1− p2

mg

P1 =p2

1

2m+

p22

2m+ mgq2

P2 =p2

2

2m+ mgq2

• transformacija ne ovisi eksplicitno o vremenu pavrijedi

K (Q, P) = H(q(Q, P), p(Q, P))

H(q, p) =1

2m

(

p21 + p2

2

)

+mgq2 =⇒ K (Q, P) = P1

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Zadatak 6.2Nadite funkciju izvodnicu F3(Q, p) koja prevodisistem iz Kartezijevih koordinata u polarne

(q, p) ≡ {x , y ; px , py} → (Q, P) ≡ {ρ, φ; pρ, pφ} ,

te iz nje izracunajte px i py kao funkcije od ρ, φ, pρ, pφ.

Rješenje• sva transformacija koordinata je ujedno i

kanonska transformacija• takve transformacije nazivamo tockastima• za funkciju izvodnicu F3(Q, p) vrijedi

qi = −∂F3

∂pii Pi = −∂F3

∂Qi

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• ako je tockasta transformacija zadana s

qi = fi(Q1, . . . , Qn) ,

funkcija izvodnica F3 ima jednostavan oblik

F3(Q1, . . . , Qn, p1, . . . , pn) = −∑

i

fi(Q1, . . . , Qn)pi

• u slucaju prijelaza s Kartezijevih na polarnekoordinate

x = ρ cos φ i y = r sin φ

=⇒ fx(ρ, φ) = ρ cos φ i fy(ρ, φ) = ρ sin φ

• funkcija izvodnica glasi

F3(ρ, φ, px , py ) = −ρ cos φpx − ρ sin φpy

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• iz funkcije izvodnice F3 slijedi

x = −∂F3

∂px= ρ cos φ

y = −∂F3

∂py= ρ sin φ

pρ = −∂F3

∂ρ= px cos φ + py sin φ

pφ = −∂F3

∂φ= −pxρ sin φ + pyρ cos φ

• preostalo je invertirati zadnje dvije jednadžbe dabi izrazili px i py kao funkcije ρ, φ, pρ i pφ

px cos φ + py sin φ = pρ

−pxρ sin φ + pyρ cos φ = pφ

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• determinanta sustava

D =

∣

∣

∣

∣

cos φ sin φ−ρ sin φ ρ cos φ

∣

∣

∣

∣

= ρ

• potrebne su nam još determinante

Dx =

∣

∣

∣

∣

pρ sin φpφ ρ cos φ

∣

∣

∣

∣

= pρρ cos φ − pφ sin φ

Dy =

∣

∣

∣

∣

cos φ pρ

−ρ sin φ pφ

∣

∣

∣

∣

= pφ cos φ + ρpρ sin φ

• slijedi

px =Dx

D = pρ cos φ − pφ

ρsin φ

py =Dy

D = pρ sin φ +pφ

ρcos φ

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Zadatak 6.3Pokažite da je transformacija

Q = − q2p√

1 + p2q2i P = −

√

1 + p2q2

q

kanonska i nadite funkciju izvodnicu F4.

Rješenje:• da bi transformacija bila kanonska pripadni

Jacobijan mora biti jednak 1

J =

∣

∣

∣

∣

∣

∂Q∂q

∂Q∂p

∂P∂q

∂P∂p

∣

∣

∣

∣

∣

=∂Q∂q

∂P∂p

− ∂P∂q

∂Q∂p

= 1

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• racunamo pojedine elemente Jacobijana

∂Q∂q

= − 2qp√

1 + p2q2+

12

q2p

(1 + p2q2)3/2

2p2q

=−2qp − 2q3p2 + q3p3

(1 + p2q2)3/2

= − 2qp + q3p3

(1 + p2q2)3/2

∂Q∂p

= − q2

√

1 + p2q2+

12

q2p

(1 + p2q2)3/2

2pq2

=−q2 − p2q4 + p2q4

(1 + p2q2)3/2= − q2

(1 + p2q2)3/2

∂P∂p

= −12

2pq2

q√

1 + p2q2= − pq

√

1 + p2q2

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• zadnji element Jacobijana

∂P∂q

= −12

2p2q

q√

1 + p2q2+

√

1 + p2q2

q2

=−p2q2 + 1 + p2q2

q2√

1 + p2q2=

1

q2√

1 + p2q2

• racunamo Jacobijan

J =∂Q∂q

∂P∂p

− ∂P∂q

∂Q∂p

= − 2qp + q3p3

(1 + p2q2)3/2· (−1)

pq√

1 + p2q2

− 1

q2√

1 + p2q2· (−1)

q2

(1 + p2q2)3/2

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• Jacobijan

J =2q2p2 + q4p4

(1 + p2q2)2+

1(1 + p2q2)2

=2q2p2 + q4p4 + 1

(1 + p2q2)2= 1

• transformacija je doista kanonska

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Zadatak 6.4Nadite funkciju izvodnicu F4 koja generira kanonskutransformaciju

Q = − q2p√

1 + p2q2i P = −

√

1 + p2q2

q

Rješenje:• funkciju izvodnicu racunamo pomocu relacija

q = −∂F4

∂pi Q =

∂F4

∂P

• iz zadane transformacije prvo moramo izrazitikoordinate q i Q kao funkcije impulsa p i P

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• iz druge jednadžbe slijedi

P2 =1 + p2q2

q2=⇒ q2P2 = 1 + p2q2

=⇒ q2(

P2 − p2)

= 1 =⇒ q = − 1√

P2 − p2

• uvrstimo q u prvu jednadžbu

Q = − pP2 − p2

1√

1 + p2

P2−p2

= − pP2 − p2

√

P2 − p2

P

= − pP

1√

P2 − p2

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• u sljedecem koraku integriramo izraze zafunkciju izvodnicu F4

q = −∂F4

∂p=⇒ F4(p, P) = −

∫

q(p, P)dp + f1(P)

gdje je f1(P) konstanta integracije koja ovisi o Pjer integriramo po p

• racunamo integral (Bronštejn, br. 164)∫

q(p, P)dp = −∫

dp√

P2 − p2= −arcsin

pP

• funkcija izvodnica

F4(p, P) = arcsinpP

+ f1(P)

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• sada integriramo Q(p, P) po varijabli P

F4(p, P) =

∫

Q(p, P)dP + f2(p)

gdje je f2(p) konstanta integracije koja možeovisiti o p jer integriramo po P

• racunamo integral (Bronštejn, br. 224)∫

Q(p, P)dP = −p∫

dP

P√

P2 − p2

= −p1p

arccospP

• funkcija izvodnica

F4(p, P) = −arccospP

+ f2(p)

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• izrazi za funkcije izvodnice se moraju poklapati• iskoristimo trigonometrijsku relaciju

arccos x =π

2− arcsin x

=⇒ F4(p, P) = −π

2+ arcsin

pP

+ f2(p)

• uz odabir f2(p) = π/2 i f1(P) = 0 slijedi

F4(p, P) = arcsinpP

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Zadatak 6.5Zadana je funkcija izvodnica

F2(q, P) = Pq + ǫaq3P + ǫbqP3

Nadite q(Q, P) i p(Q, P) tako da zadržite samolinearne doprinose male velicine ǫ.

Rješenje:• racunamo p i Q iz funkcije izvodnice

p =∂F2

∂q= P + 3ǫq2P + ǫbP3

Q =∂F2

∂P= q + ǫaq3 + 3ǫbqP2

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• zadržavamo samo linearne doprinose malevelicine ǫ

• to znaci da u svim clanovima koji sadrže ǫmožemo zamijeniti q s Q i p s P

p = P + 3aǫQ2P + ǫbP3

Q = q + ǫaQ3 + 3ǫbQP2

• iz prve jednadžbe slijedi

p = P + ǫP(

3aQ2 + bP2)

• iz druge jednadžbe slijedi

q = Q − ǫQ(aQ2 + 3bP2)

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Zadatak 6.6Zadan je Hamiltonijan harmonickog oscilatora strenjem

H =p2

2me−bt/m +

k2

q2ebt/m

i funkcija izvodnica

F2(q, P, t) = ebt/2mqP

Nadite transformaciju (q, p) → (Q, P), kao iHamiltonijan u novim koordinatama.

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Rješenje:• iz funkcije izvodnice izracunamo P i Q

p =∂F2

∂q= ebt/2mP =⇒ P = e−bt/2mp

Q =∂F2

∂P= ebt/2mq =⇒ q = e−bt/2mQ

• transformacija eksplicitno ovisi o vremenu paveza izmedu novog i starog Hamiltonijana glasi

K (Q, P) = H(q(Q, P), p(Q, P)) +∂F2

∂t• prvi clan Hamiltonijana

p2

2me−bt/m =

P2

2m• drugi clan Hamiltonijana

kq2

2ebt/m =

k2

Q2

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• treci clan Hamiltonijana

∂F2

∂t=

b2m

ebt/2mqP =b

2mQP

• novi Hamiltonijan

K (Q, P) =P2

2m+

k2

Q2 +b

2mQP

ne ovisi eksplicitno o vremenu pa je ujedno ikonstanta gibanja

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

Zadatak 6.7Nadite funkciju izvodnicu F1(q, Q) kanonsketransformacije

q(t) → Q(t) = q(t + τ) p(t) → P(t + τ) ,

gdje je τ konstanta dimenzije vremena za gibanja upolju konstantne sile F .

Rješenje:• potencijal: U(q) = −Fq

• Hamiltonijan: H =p2

2m− Fq

• kanonske jednadžbe

q =∂H∂p

=pm

i p = −∂H∂q

= F =⇒ q =Fm

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• kao pocetne uvjete izaberemo

q(0) = 0 i p(0) = 0

• rješenje jednadžbe gibanja

q(t) =F

2mt2 + C1t + C2

• iz prvog pocetnog uvjeta slijedi C2 = 0• deriviramo rješenje i dobijemo impuls

p(t) = mq = Ft + C1

• iz drugog pocetnog uvjeta slijedi C1 = 0• rješenje jednadžbi gibanja

q =F

2mt2 i p = Ft

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• nove koordinate

Q(t) = q(t+τ) =F

2m(t+τ)2 =

F2m

t2+Fm

tτ+F

2mτ2

=⇒ Q = q +pm

τ +F

2mτ2

• novi impulsi

P(t) = p(t + τ) = Ft + Fτ =⇒ P = p + Fτ

• tražimo funkciju izvodnicu F1(q, Q, t)• moramo izraziti P i p pomocu Q, q i t

p =mτ

(

Q − q − F2m

τ2

)

i P =mτ

(Q−q)+F2

τ

• za funkciju izvodnicu F1 vrijedi

p =∂F1(q, Q, t)

∂qi P = −∂F1(q, Q, t)

∂Q

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• uvrstimo varijablu p

F1 =mτ

∫(

Q − q − F2m

τ2

)

dq + f1(Q)

• integracija daje

F1 =mτ

Qq − m2τ

q2 − F2

τq + f1(Q)

• uvrstimo varijablu P

F1 = −∫

[

mτ

(Q − q) +F2

τ

]

dQ + f2(q)

• integracija daje

F1 = − m2τ

Q2 +mτ

Qq − F2

τQ + f2(q)

Hamiltonovamehanika

KanonsketransformacijeZadatak 6.1

Zadatak 6.2

Zadatak 6.3

Zadatak 6.4

Zadatak 6.5

Zadatak 6.6

Zadatak 6.7

• usporedbom izraza za funkciju izvodnicudolazimo do zakljucka

f1(Q) = − m2τ

Q2−F2

τQ i f2(q) = − m2τ

q2−F2

τq

• sama funkcija izvodnica glasi

F1(q, Q) = − m2τ

(Q − q)2 − Fτ

2(q + Q)