Hidraulika

Podzemne vode

5. Hidraulika podzemnih voda u slojevima meuzrnske poroznostiVoda je jedan od preduvjeta za nastajanje, razvijanje i odravanje ivota na Zemlji u obliku u kojem se on danas odvija. Podzemna voda je esto najii oblik vode koji se nalazi u prirodi. Strujanje vode u tlu se ovisno o sredini kroz koju voda protie dijeli na: strujanje u poroznim sredinama (stijene meuzrnske poroznosti - pijesak, ljunak) strujanje u stijenama sa pukotinskom poroznou U okviru ovog teaja e se izuavat strujanje vode u poroznim sredinama koje se esto puta naziva i filtracija. 5.1 Shema kontinuuma Hidrogeoloki sistem je viefazni sistem koji se sastoji od krutih estica (vrsta faza) i pora koje su ispunjene podzemnom vodom ili zrakom i nekim drugim supstancama koje mogu biti zagaivala (tekua faza). Hidrogeoloka sredina je sredina u kojoj se rubni uvijeti mogu znaajno mijenjati u vremenu i prostoru. Veliina prostora u kojem se promatra tok podzemne vode i pronos moe varirati od regionalnog mjerila (ija veliina se izraava u kilometrima) u kojem se promatra bilanca podzemne vode te promjene smjera toka u vodonosnicima do prostora veliine molekula u kojima se promatraju fizikalni, kemijski i mikrobioloki procesi (Slika 5.1). Prije nego to se krene u opisivanje toka podzemnih voda valja objasniti pojmove mikroskopskog i makroskopskog mjerila. U mikroskopskom mjerilu se promatra toka unutar promatrane faze ili na granici izmeu dvije faze. Mikroskopsko mjerilo podrazumijeva da se diskontinuiteti, koji su mali obzirom na veliinu pore ili promjer zrna (estice), mogu jasno razabrati i opisati. Zahvaljujui osnovnom konceptu mehanike kontinuuma, to predstavlja osrednjavanje u odnosu na molekularnu razinu. U makroskopskom mjerilu se svojstva koja su definirana na mikroskopskom mjerilu osrednjavaju unutar reprezentativnog elementarnog volumena (REV-a). Iz tog razloga se prelaskom iz mikroskopskog u makroskopsko mjerilo usvaja novi pristup koji se zasniva na osrednjavanju pri emu se diskontinuiteti koji se razmatraju na mikroskopskoj razini vie nemogu uoiti. Prelaskom sa mikroskopskog na makroskopsko mjerilo se mogu formirati nove jednadbe (npr. Darcy-ev zakon) sa novim parametrima (npr. koeficijent filtracije, saturacija,...). Ovaj proces se razlikuje od procesa osrednjavanja pojedinih karakteristika u jednoj toki na vei promatrani prostor. Iz tog razloga je vrlo vano da karakteristina svojstva toka i pronosa na mikroskopskoj razini budu odgovarajue preneena na makroskopsku razinu.

Ver. XI/06

Str. V-1

Hidraulika

Podzemne vode

Slika 5.1 Razliite veliine prostora u kojem se promatra tok podzemne vode i pronos

Slika 5.2 Shema kontinuuma

Ver. XI/06

Str. V-2

Hidraulika 5.2 Osnove strujanja vode u poroznoj sredini

Podzemne vode

Podzemne vode struje pri vrlo malim brzinama koje su reda veliine 10-4 m/s a esto puta i znatno manje. Kod takvih brzina se u izrazu za ukupnu energijuv2 p v2 + =h+ B=z+ g 2 g 2g

... (5.1)

lan kinetike energije (v2/2g) moe zanemariti i usvojiti da se energija u presjeku podudara sa piezometarskom visinom h. Iz toga proistie da je pad piezometarske linije u ovom sluaju identian padu linije energije. Obzirom na vrlo male brzine koje se javljaju u strujanju kroz poroznu sredinu, strujanje je u pravilu laminarno. Porozni medij se sastoji od niza zrna i meuprostora iju geometriju u praktinim sluajevima nije mogue definirati niti opisati. Zbog toga se kod strujanja podzemne vode u poroznim sredinama promatraju samo statistiki osrednjene veliine (srednje brzine, srednji pritisci, srednja poroznost,..) (Slika 5.2) u nekom odabranom volumenu V. Odabrani volumen mora biti dovoljno velik u odnosu na pojedina zrna da osrednjavanje ima svoje opravdanje a s druge strane dovoljno malo da se promatrani volumen V moe tretirati kao "toka" u cjelokupnom promatranom prostoru. Ovakav model strujanja se naziva shema kontinuuma a volumen reprezentativni elementarni volumen (REV). Za potrebe prorauna brzine toka podzemnih voda se u shemi kontinuuma se uvodi pojam Darcy-eva brzina:v= Q A

... (5.2)

pri emu je : Q protok (L3/T) A proticajna povrina (L2) Darcyeva brzina se dakle dobiva dijeljenjem protoka kroz neko podruje (strujnu cijev) s povrinom proticajnog presjeka strujne cijevi. Tok vode se odvija samo kroz pore pa se stvarna brzina strujanja vode kroz porozni medij dobiva dijeljenjem Darcyeve brzine sa poroznou:vS = v n

... (5.3)

Poroznost n se definira kao odnos volumena pora kroz koje se odvija teenje (Vs) i ukupnog volumena (V).n = Vs V

... (5.4)

Napominje se da se u energetskim jednadbama po shemi kontinuuma, utjecaj zrna manifestira samo u tome to postoje unutarnji otpori - otpori trenja. Ver. XI/06 Str. V-3

Hidraulika

Podzemne vode

5.2.1 Darcy-ev zakon Brzina strujanja vode u poroznom mediju je odreena Darcyevim zakonom koji glasi: dh ... (5.5) v = kI = k dl pri emu je: v Darcyeva brzina (L/T) I pad piezometarske linije (1) h razina podzemne vode (L) k koeficijent filtracije (L/T)

Slika 5.3 Shematski prikaz Darcy-evog pokusa

Darcy je svoj zakon izveo na osnovu ispitivanja na fizikalnom modelu (Slika 5.3). Darcyev zakon se moe dobiti i analitikim putem prikazujui porozni medij kao niz uskih (kapilarnih) cjevica u kojima je strujanje laminarno. Vrijednosti koeficijenta filtracije za pojedine materijale se moraju odrediti mjerenjem (eksperimentom) a kao orijentacione vrijednosti se mogu usvojiti: Materijal n* (1) k (m/s)*

ljunak 0.30-0.40 10-2

Pijesak 0.30-0.45 10-5-10-2

Glinoviti pijesak 0.35-0.50 10-8-10-5

Glina 0.40-0.55 10-9-10-8

ovi podaci se odnose na geomehaniku poroznost Tablica 5.1 Orijentacione vrijednosti fizikalnih parametara za ljunak, pijesak i glinu

Koeficijent filtracije opisuje otpor teenju fluida kroz neku poroznu sredinu. On ovisi o karakteristikama porozne sredine kroz koju se odvija strujanja (propusnost p) kao i o karakteristikama fluida. Koeficijent filtracije se moe definirati jednadbom: k=

g p

... (5.6)

pri emu je: p - propusnost porozne sredine koji ovisi o obliku i rasporedu zrna - gustoa fluida koji protjee - dinamiki koeficijent viskoznosti fluida koji protjee kroz poroznu sredinu Ver. XI/06 Str. V-4

Hidraulika

Podzemne vode

Propusnost ovisi samo o geometriji porozne sredine i u opem sluaju je tenzor drugog reda. U sluaju izotropne sredine je propusnost skalar. Granica vaenja Darcyevog zakona filtracije Darcyev zakon je ogranien na laminarni reim strujanja koji se javlja kod malih brzina strujanja odnosno kod malih Reynoldsovih brojeva. Ekperimentalno odreena veza izmeu koeficijenta trenja i Reynoldsovog broja je prikazana na slici 5.4 iz koje se vidi analogija sa teenjem u cijevi s time da se kod strujanja u cijevima turbulentni reim javlja kod Re>2300 a kritini Re je u poroznoj sredini reda veliine 1 do 10 (Bear,1972) to zavisi od oblika zrna i poroznosti. Ova se razlika javlja uslijed toga to je oblik zrna i upljina vrlo nepravilan pa kod filtracije dolazi do ranijeg prelaska iz laminarnog u turbulentni reim tj. do pojave turbulencije. Takoer valja napomenuti da se kod strujanja u cijevima Reynoldsov broj rauna preko srednje brzine i promjera cijevi, a kod filtracije preko Darcyeve (fiktivne) brzine i reprezentativnog promjera zrna (d). Kao i u ostalim sluajevima strujanja fluida, reim strujanja je definiran Reynoldsovim brojem Re koji je definiran kao odnos izmeu inercijalnih i viskoznih sila. Openito je prihvaeno da Darcyev zakon vrijedi u sluajevima kad je Re < 10, jer su tada brzine male, reim strujanja je laminaran a viskozne sile su dominantne. Kad Reynoldsov broj pree graninu vrijednost inercijalne sile su znaajnije od viskoznih te Darcyev zakon treba modificirati kako bi se uzeli u obzir i posljedice pojave turbulencije. Prelazak iz laminarnog u turbulentno strujanje je kod filtracije znatno postepenije, bez skokova karakteristinih za strujanje vode u cijevima.

Slika 5.4 Odnos koeficijenta gubitaka o Reynoldsovom broju

Ver. XI/06

Str. V-5

Hidraulika 5.2.2 Saturiranost

Podzemne vode

U nezasienim poroznim sredinama strujanje tekuina se odvija kroz prostor koji nije u potpunosti ispunjen tekuinom, ve i nekim drugim fluidom u plinovitom agregatnom stanju. Za nezasiene vodonosne slojeve taj drugi fluid je u veini sluajeva zrak. Iz tog razloga, gibanje vode nije vie uzrokovano samo gravitacijskim silama ve i silama meumolekularnog djelovanja izmeu vode, zraka i estica poroznog tijela. Za razumijevanje i opisivanje gibanja vode u takvim uvjetima, potrebno je sagledati nain meudjelovanja te tri tvari na mikroskopskoj razini. Nakon spoznavanja njihovih interakcija, prelaz s mikroskopskog na makroskopsko promatranje teenja, omoguit e postupak osrednjavanja karakteristinih veliina toka. Za opisivanje gibanja vode u takvom tlu, potrebno je promatrati njeno strujanje u blizini estica poroznog tla, uz prisustvo zraka koji djelomino ispunjuje prazan prostor njegovih pora. Kako bi se olakalo sagledavanje takvog toka, uvodi se pojam faze.

Slika 5.5 Voda u tlu meuzrnske poroznosti

Fazu definiramo kao prostor koji zauzima neka tvar tekueg, krutog ili plinovitog agregatnog stanja. Na taj nain, faza je definirana kao homogeni dio prostora koji je odvojen od ostalih slinih dijelova otro definiranom granicom (meufazna granica). Unutar poroznog tijela moe se nalaziti samo jedna plinovita faza i to iz razloga to se

Ver. XI/06

Str. V-6

Hidraulika

Podzemne vode

takva stanja lako mijeaju pa meu njima ne postoji vidljiva granica. Za sluaj mijeanja dviju ili vie tekuih faza, mogue ih je promatrati kao odvojene, ukoliko su vidljive njihove dodirne toke. Na slici 5.6 su prikazana etiri karakteristina sluaja interakcije krute i tekue faze u tlu meuzrnske poroznosti. Detalj a prikazuje sluaju kad se pojedini djelovi tekue faze rasteu prema njima najbliim esticama tla. Nastali oblik tekue faze naziva se visei prsten. Oni su izolirani jedan od drugoga i ne tvore kontinuiranu cjelinu. Zakljuuje se da za takvu koliinu tekue faze nije mogu nikakav protok kroz tlo jer ne postoji kontinuirana staza toka vode. Na sljedeoj slici (detalj b) prikazan je sluaj viseih prstenova izmeu dvije idealno okrugle estice tla. Za taj sluaj mogue je odrediti volumen viseeg prstena, s obzirom na radijus zakrivljenosti dodirnih podruja vode i zraka. Ukoliko se koliina vode dalje poveava, visei prstenovi se ire i spajaju sve dok se ne formira kontinuirana tekua faza (detalj c i d). Za onu koliinu vode, u kojoj tekua faza postaje kontinuirana, mogue je formiranje njenog toka. Razlog tome je injenica da je u takvim uvjetima omoguen prijenos tlaka unutar nje. Kako se promatra dvodimenzionalna slika trodimenzionalnog poroznog podruja, na detalju c obje faze mogu biti u kontinuiranom stanju. Daljnjim poveavanjam sadrane vode zrak prestaje biti kontinuirana faza, ve se raspada u pojedine meusobno nepovezane mjehurie (detalj d). Takvi mjehurii se mogu pomicati samo ako u okruujuoj vodi postoje razlike u tlakovima. U sluaju odsutnosti zraka dolazi do potpune ispunjenosti poroznog tla. Tlo u kojem su sve pore ispunjene vodom, naziva se potpuno zasieno ili saturirano tlo, a tok vode koji se kroz njega odvija, saturirani tok. Tijekom vremena mogue je smanjenje volumena zraka s obzirom na njegovu topivost u vodi. Isto tako se i volumen viseih prstenova moe smanjiti, u sluaju kada dolazi do isparavanja uslijed temperaturnih promjena. Mogua je i situacija u kojoj, zbog dijelomine ispunjenosti tla vodom, dio vode tvori kontinuiranu fazu, a preostali dio se jo uvijek nalazi u stanju viseih prstenova. U tom sluaju, za opisivanje toka vode, potrebno je razluiti pomian i nepomian dio vode prisutne u poroznom tijelu.

Slika 5.6 Razliiti stupnjevi zasienosti tla

Da bi se objasnio pojam stupnja zasienosti tla, zamilja se porozno tlo u kojem tekua faza zaprema dio praznog prostora u njemu. Opisat e se koliina tekue faze u vremenu

Ver. XI/06

Str. V-7

Hidraulika

Podzemne vode

t i u toki x, uz uvjet da prostor toke promatranja zadovoljava pretpostavke reprezentativnog elementarnog volumena. Razlozi promjena vrijednosti koeficijenta filtracije u nezasienim sredinama se takoer mogu objasniti pomou slike 5.6 u kojoj su predstavljena tri stupnja zasienosti tla (detalj a, c i d). Prvi detalj te slike (detalj a) prikazuje relativno malu zasienost promatranog tla, u kojem se prisutna voda pojavljuje u viseim prstenovima. Zamilja se ulazak odreene koliine vode unutar takvog tla. Njenim ulaskom ona se spaja s viseim prstenovima, poveavajui stupanj zasienosti uzorka. U takvim okolnostima napredovanje fronte vode bitno se usporava. Razlog je u tome to ta voda ispunjava slobodne pore tla i ne nastavlja tok kroz njega. Na makroskopskoj skali, takva se situacija toka opisuje na nain da se djelomino zasienom materijalu pridodaje smanjena veliina koeficijenta filtracije. Ta vrijednost se naziva nesaturirani koeficijent filtracije (kn). Na istoj slici (detalj c) vidljiv je takav stupanj zasienja u kojem nisu vie prisutni visei prstenovi, ali postoje podruja u koje voda jo nije prodrla. Za takvu situaciju, dio fronte dolazee vode zaustavlja se unutar slobodnih pora dok njen preostali dio nastavlja putovati kroz tlo. U tom sluaju nesaturirani koeficijent filtracije poprima neto veu vrijednost od one prije spomenute. 5.2.3 Van Genutchenov model Nakon vie laboratorijskih ispitivanja opazilo se da nesaturirani koeficijent filtracije rapidno raste sa poveanjem stupnja zasienosti tla, to dovodi do zakljuka da funkcija koja ta dva parametra povezuje mora biti nelinearnog karaktera. Kako nesaturirani koeficijent filtracije ovisi o trenutnoj zasienosti uzorka, za opisivanje van Genutchenovog modela, krenut e se s definiranjem stupnja zasienosti tla. On je jednak volumenu vode sadrane u volumena pora tla (jed. 5.7).S= VV Vp

... (5.7)

Stupanj zasienosti tla varira od nule za potpuno nezasieno tlo do jedinice za potpuno zasieno. U praktinim sluajevima nije mogue potpuno isuivanje tla, pa ga preostala voda ini djelomino zasienim, to se naziva rezidualni stupnjem saturacije (Sr) . Veliina tog stupnja zasienja je relativno mala (Sr = 0.001-0.02). Openito gledajui, svako gibanje fluida pa tako i vode, uzrokovano je postojanjem gradijenta tlaka. Specifinost nesaturiranih sredina je u tome da, ukoliko je tlo u potpunosti zasieno, tlak u njegovim porama ima vrijednost veu od atmosferskog, a za sluaj djelominog stupnja zasienosti, njegova vrijednost postaje manja od atmosferskog. Profesor van Genutchen 1980. postavio je empirijski izraz koji opisuje porast zasienosti tla ovisno o tlaku u porama. Vrijednost koeficijenta filtracije za nesaturiranu poroznu sredinu je uvijek manja nego za potpuno saturiranu. Iz tog razloga se koeficijent filtracije za nesaturiranu sredinu definira (kn) kao umnoak koeficijenta filtracije za saturiranu sredinu (k) i relativnog koeficijent filtracije (kr). Relativni koeficijent filtracije (kr) uvijek ima vrijednost manju od 1 (Slika 5.7).

kn = k kr

... (5.8)

Ver. XI/06

Str. V-8

Hidraulika

Podzemne vode

Vrijednost relativnog koeficijenta filtracije mora biti u funkciji zasienosti tla, koja opet ovisi o tlaku u porama. U konanosti moe se napisati jednadba koju je predloio van Genutchen, a slui za izraunavanje relativnog koeficijenta filtracije (jed. 5.9).1 m kr = S 1 1 S m 2

... (5.9)

pri emu je m van Genutchenov parametar. Rekapitulirajui ovo poglavlje, moe se rei da se vrijednost nesaturiranog koeficijenta filtracije dobiva ukoliko su poznati karakteristini parametri tla, van Genutchenovi parametri i vrijednost tlaka unutar pora.

Slika 5.7 Ovisnog relativnog koeficijenta filtarcije o stupnju saturiranosti

Ver. XI/06

Str. V-9

Hidraulika

Podzemne vode

5.2.4 Anizotropija Anizotropija se definira kao svojstvo materijala s raznim karakteristikama u razliitim smjerovima. U vodonosnim slojevima anizotropija se manifestira na nain da koeficijent filtracije mijenja svoju vrijednost ovisno o smjeru strujanja vode.

Slika 5.8 Strujnice kroz sredinu sa meuzrnskom poroznou

Na slici 5.8 su prikazane dvije horizontalne strujnice koje prolaze kroz porozno tlo. Promatrajui estice tla, uoava se da je njihova prosjena horizontalna dimenzija vea od vertikalne. Razlog tomu je nain taloenja estica tla koje prilikom taloenja uglavnom nalijeu na dulju stranicu. Da bi se potanje objasnio pojam anizotropije, zamiljaju se dvije estice vode, koje kroz takvo tlo putuju jednakim brzinama. Prva estica se giba u vertikalnom, a druga u horizontalnom smijeru. estica fluida koja kroz takav medij putuje vertikalno (od gore prema dolje), na svom putu zaobilazi dulju stranu estice tla, dok ona estica koja se giba u horizontalnoj ravnini zaobilazi krau stranu te estice. Promatrajui veliinu prevaljenih putova u jednakom vremenskom intervalu, primjeuje se da je estica horizontalne putanje prevalila bitno vei put od one s vertikalnom putanjom. Na makroskopskoj skali promatranje razlike u prevaljenim putovima objanjava se na nain, da se esticama pridodaju razliite brzine. Takav je pristup mogu ukoliko se za brzinu procijeivanja, koja je definirana Darcyevim zakonom, usvoje dvije razliite vrijednosti koeficijenta filtracije. Na taj nain, razlikuju se vertikalni (kv) i horizontalni koeficijent filtracije (kh). Anizotropija moe biti i posljedica nehomogenosti vodonosnog sloja u vertikalnom presjeku. Ova vrsta anizotropije je posljedica izmjenjivanja slojeva vrlo razliite vodopropusnosti (uslojene strukture). U praktinim razmatranjima, svojstvo anizotropije poroznog tla, mjeri se koeficijentom anizotropije (A). On je definiran omjerom horizontalnog i verikalnog koeficijenta filtracije.

A=

kh kv

... (5.10)

U izotropnim vodonosnim slojevima, koeficijent filtracije ne ovisi o smjeru strujanja vode te je brzina procijeivanja odreena Daryevim zakonom u kojem je koeficijent filtracije predstavljen sa skalarnom vrijednou. Ukoliko se promatrano strujanje odvija unutar

Ver. XI/06

Str. V-10

Hidraulika

Podzemne vode

anizotropnog poroznog materijala, koeficijent filtracije varira ovisno o smjeru teenja. Kako bi u jednadbama toka uzeli u obzir njegovu promjenjivost, skalarnu vrijednost iz jednadbe (5.5 Darcy-eva jednadba) zamjenjuje se tenzorskom veliinom. U matematikoj konotaciji tenzori se prikazuju matrinim zapisom. Na taj nain koeficijent filtracije za trodimenzionalnu anizotropnu sredinu poprima sljedeu vrijednost, a naziva se tenzorom filtracije (jed. 5.11).

k xx k yx k zx

k xy k yy k zy

k xz k yz k zz

(5.11)

Analogno Darcyevom zakonu za izotropno sredstvo, brzine procijeivanja u trodimenzionalnom anizotropnom sredstvu dobivaju se mnoei tenzor filtracije s hidraulikim gradijentom, napisanim u matrinom obliku (jed. 5.12).

vx k xx v = k y yx vz k zx

k xy k yy k zy

k xz h / x k yz h / y k zz h / z

(5.12)

Koristei se pravilima matrine algebre mogue je izraziti brzine procijeivanja za pojedine smjerove teenja vode (jed. 5.13).h h h k xy k xz x y z h h h vx = k yx k yy k yz x y z h h h vx = k zx k zy k zz x y z vx = k xx

... (5.13)

Tenzor filtracije opisuje propusne karakteristike tla u promatranoj toki. Vidljivo je da se on sastoji od devet komponenata. Svaka komponenta predstavlja skalarnu vrijednost koeficijenta filtracije za odgovarajui pravac gibanja vode. Tenzor filtracije je simetrian tenzor, to govori da su njegove suprotne komponente, s obzirom na njegovu dijagonalu, meusobno jednake (5.14). k yx = k xy

, k zx = k xz

, k zy = k yz

(5.14)

Ukoliko se koordinantne osi Kartezievog koordinatnog sustava podudaraju s pravcima za koje je definiran pojedini koeficijent filtracije, tenzor filtracije moe se pisati na sljedei nain (5.15).vx k xx v = 0 y vz 0 0 k yy 0 0 h / x 0 h / y k zz h / z

(5.15)

Ver. XI/06

Str. V-11

Hidraulika

Podzemne vode

Ukoliko je ispunjen posljednji zahtjev, brzine procijeivanja za anizotropan medij mogu se definirati kao umnoak odgovarajueg koeficijenta filtracije i hidraulukog gradijenta za pojedini pravac koordinantne osi. Mnoei takve brzine s irinom vodonosnog sloja od jednog metra, dobivaju se vrijednosti specifinih protoka. Na donjoj slici (slika 5.9) prikazana je usporedba strujnih mrea dobivenih za filtracijski tok ispod vodonepropusne zavjese, ostvaren kroz izotropno (a) i anizotropno (b) porozno tlo. Primjeuju se razlike u kutovima izmeu strujnih (puna crta) i ekvipotencijalnim krivulja (isprekidana linija).

Slika 5.9 Strujne mree za tok kroz izotropno (a) i anizotropno (b) porozno tlo

Kod opisivanja vodonosnih slojeva valja istaknuti razliku izmeu nehomogenosti i anizotropije. Nehomogenost je svojstvo sloja da ima razliite karakteristike u pojedinim tokama prostora ( neravnomjernost po prostoru) a nehomogenost je karakteristika sloja da u jednoj toni ima razliite karakteristike u raznim smjerovima (Slika 5.10).

Slika 5.10 Definicijska skica anizotropije i nehomogenosti

5.3 Jednadba trodimenzionalnog nestacionarnog toka

Izvod jednadbe se zasniva na principima kontinuuma te zadovoljavanju jednadbe kontinuiteta i zakonu o ouvanju mase. Pod pojmom kontinuuma se u ovom sluaju podrazumijeva da su svojstva vodom saturiranog poroznog sloja, neprekinute funkcije

Ver. XI/06

Str. V-12

Hidraulika

Podzemne vode

prostornih koordinata i vremena. Ova pretpostavka vrijedi ako kao najmanju cjelinu promatramo reprezentativni elementarni volumen (REV). Volumen koji slui za analizu strujanja na makroskopskoj razini je tzv. kontrolni volumen. Njegova veliina je proizvoljna ali je bitno da zadovoljava kriterij kontinuuma. Jednadba kontinuiteta za poroznu saturiranu sredinu pod tlakom se moe izvesti promatrajui kontrolni volumen dimenzija x,y,z s bridovima koji su paralelni Cartezijevim koordinatnim osima.

Slika 5.11 Kontrolni volumen

pri emu su qx(x,y,z), qy(x,y,z), qz(x,y,z) specifini protocio u x,y i z smjeru koji oznaavaju prolaz mase vode po jedinici irine i jedinici vremena; P(x,y,z) toka koja se nalazi u sreditu kontrolnog volumena V; x, y, z bridovi kontrolnog volumena Razlika mase vode (mx) koja ulazi i izlazi iz kontrolnog volumena u smjeru osi x za vrijeme t, dana je izrazom:

x x , y, z qx x + , y, z y z t mx = qx x 2 2 pri emu je: gustoa fluida qx specifini protok u smjeru osi x

... (5.16)

Razvojem funkcije qx(x,y,z) u Taylorov red u okolini toke P(x,y,z) i zanemarivanjem lanova s viom potencijom od x dobiva se izraz:m x = q x x y z t x

... (5.17)

analogno se dobiju izrazi za promjenu mase u y i z smjeru

Ver. XI/06

Str. V-13

Hidraulikam y = q y y

Podzemne vode

x y z t

... (5.18)

m z =

q z x y z t z

... (5.19)

pri emu su qx i qz specifini protoci u y i z smjeru Ukupna promjena mase u kontrolnom volumenu jednaka je sumi promjena mase u x,y i z smjeru.

M = m x + m y + m zNakon uvrtavanja jednadbi 5.17, 5.18 i 5.19 u jednadbu 5.20 slijedi: q q y q z M = x + + x y z t z y x

... (5.20)

... (5.21)

Masa vode sadrana u kontrolnom volumenu x y z poroznog medija dana je kao:M = n x y z

... (5.22)

pri emu je sa n oznaena poroznost vodonosnog sloja, pa se promjena mase unutar kontrolnog volumena moe izraziti kao (M ) = ( n x y z ) t t

... (5.23)

Uvrtavanjem jednadbe 5.23 u jednadbu 5.21 dobiva se:

q q y q z + x + x y z = ( n x y z ) t y z xDesna strana gornje jednadbe se za saturirani tok moe pisati (Bear 1972)

... (5.24)

Ss

h x y z t

... (5.25)

pri emu je Ss koeficijent specifinog uskladitenja i predstavlja koliinu vode koju e uskladititi ili otpustiti jedinini volumen porozne sredine kad se visina stupca vode spusti za jedinicu. Koeficijent uskladitenja S se odnosi na ukupnu debljinu saturiranog vodonosnog sloja to znai da je jednak umnoku koeficijenta specifinog uskladitenja i (Ss) i debljine vodonosnog sloja (m). Uvrtavanjem jednadbe 5.25 u jednadbu 5.24 i dijeljenjem s xyz poprima oblik: jednadba

Ver. XI/06

Str. V-14

Hidraulika q y q z q h + x + = Ss y z t xili pisano u drugoj notaciji: r h div q = S s t

Podzemne vode

... (5.26)

... (5.27)

Jednadba 5.26 odnosno 5.27 pokazuje promjenu specifinog protoka u svakoj toki elastinog vodonosnog sloja i poznata je pod imenom jednadba kontinuiteta. Specifini protok se na osnovu Darcyevog zakona moe izraziti kao :r q = k grad h

(= k h )

... (5.28)

Za anizotropnu sredinu u skalarnom obliku vrijedi:

q x = k x

h x h q y = k y y h q z = k z z

... (5.29)

pri emu su sa kx,ky,kz oznaeni koeficijenti filtracije u odgovarajuim smjerovima. Uvrtavanjem izraza 5.29 u jednadbu 5.27 se dobiva jednadba koja opisuje nestacionarni tok podzemne vode u anizotropnoj nehomogenoj sredini

h h h h kx + ky y + z k z z = S s t x x y pri emu je Ss koeficijent specifinog uskladitenja. U sluaju da je sloj izotropan (kx=ky=kz=k) jednadba poprima oblik: 2 h 2 h 2 h S h + + = x 2 y 2 z 2 T t

... (5.30)

... (5.31)

ili u drugoj notaciji zapisano:2h = Ss h t

... (5.32)

pri emu je Laplaceov operator u Cartezijevim koordinatama a T transmisivnost. Transmisivnost je jednaka umnoku koeficijenta filtracije (k) i debljine saturiranog djela vodonosnog sloja (m) te predstavlja transportnu karakteristiku vodonosnog sloja.

Ver. XI/06

Str. V-15

Hidraulika T=kmU sluaju da je strujanje stacionarno jednadba 5.32 poprima oblik:2h = 0

Podzemne vode... (5.33)

... (5.34)

to je Laplaceova jednadba za potencijalno strujanje.5.3.1 Matematiki model

Pod pojmom matematiki model se podrazumijeva jednadba toka te poetni i rubni uvjeti izraeni matematikim simbolima.

Poetni uvjeti predstavljaju raspored potencijala, odnosno razina podzemne vode u poetno vrijeme. Poetne uvjete je potrebno definirati ako je strujanje nestacionarno. U matematikoj notaciji ovaj uvjet je izraen kao : h = f(x,y,z)za t= 0

Rubni uvjeti opisuju znaajke granice pod ijim utjecajem se odvija tok u sloju. Najee se javljaju tri tipa rubnih uvjeta:a)

poznat raspored potencijala ili razina podzemne vode na granici (Dirichletov uvjet) koji se simboliki moe zapisati: h = f(x,y,z,t)pri emu je f poznata funkcija u svim tokama granice

b)

poznat protok na granici (Neumanov uvjet)h = f ( x, y , z, t ) n

pri emu je h/n promjena potencijala okomito na granicu c)

Cauchyjev uvjet ukljuuje poznavanje rasporeda potencijala i njegove derivacije.

Rjeenja jednadbe toka mogu biti a) analitika ili egzaktna b) numerika ili priblina.5.4 Regionalni modeli toka podzemnih voda

Svrha ovog poglavlja je opisivanje regionalnog strujanja, koje predstavlja strujanje u vodonosnicima ija je horizontalna dimenzija znatno vea od vertikalne i moe se primjeniti Dupuit-ova hipoteza.

Ver. XI/06

Str. V-16

Hidraulika

Podzemne vode

Tok podzemnih voda se dijeli na tok u saturiranoj i na tok u nesaturiranoj sredini. Tok u nesaturiranoj sredini je primarno vertikalan a tok u saturiranoj sredini je primarno horizontalan. U regionalnim modelima je horizontalni tok znatno izraeniji od vertikalnog pa e se u okviru ovog teaja baviti samo horizontalnim tokom u saturiranoj zoni. Usvojit e se pretpostavka da je tok primarno horizontalan (h/z=0). Ova pretpostavka nije tona u blizini nepotpunog zdenca, u podrujima sa velikom varijacijom debljina vodonosnog sloja te u podruju intenzivne infiltracije. U ovim razmatranjima se usvaja da su karakteristike vode (gustoa i viskoznost) konstantni u cijelom vodonosniku i tokom vremena. To ne vrijedi kod velike promjene temperature npr. crpilite Gaza grada Karlovca1. Jednadba koja opisuje tok podzemne vode se zasniva na primjeni jednadba kontinuiteta i Darcyev zakona te ima oblik:

h h h h kx + ky y + z k z z = S s t x x y

... (5.35)

Za nepravilnu geometriju prostora kao i za dane poetne i rubne uvijete ovu jednadbu nije mogue u opem sluaju direktno rijeiti ve se pristupa (u matematikom smislu) priblinim rjeenjima. Od priblinih metoda koristi se: a) metoda konaih diferencija (MKD) b) metoda konanih elemenata (MKE) c) metoda rubnih elemenata (MRE) Metode se razlikuju po nainu diskretizacije prostora i nainu formiranja sistema algebarskih jednadbi kojima se zamjenjuju parcijalne diferencijalne jednadbe. Princip se zasniva na zadovoljavanju jednadbi u jednom vremenskom koraku a u sluaju modeliranja nestacionarnih pojava u vodonosnom horizontu potrebno je provesti i diskretizaciju tokom vremena na niz inkremenata unutar kojih se strujanje smatra stacionarnim. Sukcesivnim povezivanjem stanja toka sa susjednih vremenskih razina realizira se napredovanje u vremenu. Najjednostavnija je metoda konanih diferencija. Najee joj se pristupa tako da se promatrani prostor podjeli na konane - dovoljno male komade (cijeline - elije) na kojima se moe usvojiti da su odnosi linearni (ovaj postupak se naziva diskretizacija prostora). Podjela prostora u ovoj metodi je najee ortogonalna. Za svaki vor u mrei se pie jednadba kontinuiteta i Darcy-eva jednadba i na taj nain se dobiva sistem jednadbi koji se moe rijeiti iterativno ili nekim od direktnih postupaka. (Slika 5.12)

1

Vodocrpilite Gaza se nalazi u neposrednoj blizini rijeke Korane u kojoj se temperatura vode tijekom godine mijenja od 8C (zimi) do 22C (ljeti). Promjenom temperature se mijenja i viskoznost vode koja utjee na transmisivnost tako da zdenci u ljetnim mjesecima imaju uz iste hidroloke uvjete i do 30% veu izdanost nego zimi.

Ver. XI/06

Str. V-17

Hidraulika

Podzemne vode

Slika 5.12 Primjer diskretizacione sheme za metodu konanih diferencija

Slika 5.13 Primjer diskretizacione sheme za metodu konanih elemenata

Kod primjene metode konanih elemenata (MKE) mogue je podijeliti prostor elementima proizvoljnog oblika to omoguuje dobro opisivanje geometrije modeliranog prostora, kao i nehomogenost promatranog podruja. U MKE se pristup modeliranju zasniva na aproksimaciji rasporeda potencijala nizom polinoma te primjenom osnovne leme varijacionog rauna (Slika 5.13).

Slika 5.14 Primjer diskretizacione sheme za metodu rubnih elemenata

Metoda rubnih elemenata se zasniva na transformaciji vladajuih jednadbi u oblik kojim je strujanje u modeliranom podruju opisano vrijednostima na rubu podruja. Na taj nain se ravninski problemi modeliraju jednodimenzionalnim elementima. Rijeenje unutar domene se rauna naknadno iz izraunatih vrijednosti po rubu i to samo za toke koje nas interesiraju. Ova metoda jo nije ula u iroku primjenu za modeliranje toka podzemnih voda (Slika 5.14).U nastavku e biti prikazana metoda konanih diferencija zasnovana na zakonu odranja jer je najjednostavnija za prikazivanje (najprikladnija za sagledavanje materije). Ova metoda je fizikalno zasnovana a jednostavna je za primjenu naroito u pravilnim podrujima.

Ver. XI/06

Str. V-18

Hidraulika

Podzemne vode

5.4.1 Metoda konanih diferencija

Numerike metode zahtijevaju diskretizaciju prostora i vremena. Metoda konanih diferencija prevodi (zamjenjuje) parcijalnu diferencijalnu jednadbu toka nizom jednadbi u diskretiziranom prostoru i vremenu. Prvi korak je podjela modeliranog prostora na niz podpodruja pravilnom mreom dok razmaci mree u x (x) i y (y) smjeru mogu varirati. Da bi jednadbe bile jednostavnije u prikazanom primjeru emo pretpostaviti da je mrea ekvidistantna (x=y).

Slika 5.15 Diskretizacija prostora za metodu konanih diferencija

Ovisno o homogenosti i pravilnosti prostora diskretizaciona shema je gua ili rijea. Provedenom podjelom prostora dobiva se n elija. U centru svake elije je vor. Vrijeme se takoer diskretizira u vremenska stanja t0, t1, t2,... vremenskim korakom t. koja su odjeljena

Rjeavanje jednadbe numeriki znai da se poevi od nekog poetnog rasporeda potencijala u vrijeme t0 u vorovima modeliranog prostora, raunaju potencijali u narednim vremenskim stanjima t1, t2, t3,... s korakom t. Jednadbe u voru se mogu dobiti na osnovu dva pristupa: a) zamjenom (mehanikom) parcijalnih derivacija konanim diferencijama b) iznalaenje jednadbi u vorovima primjenom jednadbe kontinuiteta i Darcyeve. Koristit emo pristup koji se zasniva na primjeni jednadbe kontinuiteta i pretpostavit da svaki vor diskretizacione sheme ima etiri susjedna vora izmeu kojih se odvija strujanje. Numeracija vorova moe bit ili sa indeksima (i,j) ili cjelobrojnim (integer) brojevima (npr.1,2,....n) to ovisi o kasnijem pristupu numerikom rjeavanju sistema jednadbi.

Ver. XI/06

Str. V-19

HidraulikaU svakom voru se moe napisati jednadba kontinuiteta:

Podzemne vode

Slika 5.16 Nain oznaavanja elija i pripadajui protoci

t (Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q ) = (ho (t + t ) ho (t ))S xy

... (5.36)

Koeficijent uskladitenja se odnosi na uskaditenja cijelog sloja odnosno u cijeloj eliji te vrijedio S0=SS m (pri emu je sa m oznaena debljina sloja). Koritenjem Darcy-evog zakona mogu se izraziti protoci iz pojedinih smjerova:h1 (t ' ) ho (t ' ) y h (t ' ) ho (t ' ) ... (5.37) Q2 = yT20 2 x h (t ' ) ho (t ' ) Q3 = xT30 3 y h (t ' ) ho (t ' ) Q4 = yT40 4 x pri emu su : Q1,Q2,Q3,Q4 srednji (prosjeni) protoci u odabranom vremenskom intervalu t' vrijeme unutar intervala (t,t+t) T10,T20,T30,T40 prosjena vrijednost transmisivnosti meu vorovima Q1 = xT10

Uvrtavanjem izraza za protoke u jednadbu kontinuiteta dobiva se izraz:h (t ' ) ho (t ' ) So h (t ' ) ho (t ' ) (ho (t + t ) ho (t )) = T10 1 + T20 2 + 2 t y x 2 h (t ' ) ho (t ' ) h (t ' ) ho (t ' ) + T30 3 + T40 4 + qo 2 y x 2

... (5.38)

pri emu je: q0 vanjski dotok neovisan o piezometarskoj razini u voru. On moe opisivat

Ver. XI/06

Str. V-20

Hidraulikacrpljenje, evaporaciju, infiltraciju uslijed oborina ili zdenaca.

Podzemne vode

Da bi se mogao napisati sustav jednadbi za sve vorove u mrei potrebno je provesti numeraciju koja se moe provesti ili po redovima i kolonama ili numeracija svih vorova u mrei. U nastavku e se prikazati numeracija sa indeksima redova i kolona. U skladu s usvojenim pristupom mogu se uvrstiti oznake:

h0 hi , j h1 hi , j 1 h2 hi +1, j h3 hi , j +1 h4 hi 1, j

U svakom voru postoje dvije vrijednosti transmisivnosti TI i TJ koje opisuju transmisivnost u x i y smjeru. Pri tome je TIi,j transmisivnost izmeu vora (i,j) i njegovog susjednog vora u pozitivnom x-smjeru (tj. vora i+1,j) a TJi,j je transmisivnost izmeu vora (i,j) i njemu susjednog vora u y-smjeru (i,j+1). Transmisivnosti oko vora (i,j) se mogu izraziti kao:

T10 TJ i , j 1 T20 TI i , j T30 TJ i , j T40 TI i 1, jKonano se moe zamijeniti i

S 0 S i, j q0 qi , jNakon zamjene lanova za sve vorove (i,j) dobiva se N jednadbi za N nepoznatih piezometarskih visina hij(t+t):hi , j (t + t ) = hi , j (t ) + t TJ i , j 1 ( hi , j 1 (t ) hi , j (t )) TI i , j ( hi +1, j (t ) hi , j (t )) ( + + Si , j y 2 x 2+ TJ i , j ( hi , j +1 (t ) hi , j (t )) y2

+

TI i 1, j ( hi 1, j (t ) hi , j (t )) x 2

+ qi , j ) ... (5.39)

vorovi koji definiraju rub modeliranog podruja zahtijevaju informacije o rubnom uvjetu. 5.4.2 Rubni uvjeti

Ver. XI/06

Str. V-21

Hidraulika

Podzemne vode

Da bi se postigla jednostavnost i univerzalnost numerikog algoritma (jedan algoritam sa raznim ulaznim podacima moe sluit za rjeavanje niza realnih problema) obino se formira mrea sa NX elija u x - smjeru i NY elija u y -smjeru. Ovako postavljena mrea mora pokriti cijelo modelirano podruje i dio podruja koje se ne obuhvaa modelom ( u kojem nema strujanja podzemnih voda). U svim vorovima izvan podruja u kojem se modelira strujanje postavlja se uvjet da je transmisivnost jednaka nuli. Za modeliranje strujanja podzemnih voda je od presudne vanosti ispravno odabrati rubne uvjete. Matematiki model nekog podruja (jednadbe i hidrogeoloki podaci) moe za razne rubne uvijete dati bitno drugaije rezultate. a) nepropusna granica Promotrimo prvo vorove koji opisuju nepropusnu granicu. Postavit emo rubne vorove tako da se poloaj jednog ili vie vorova podudara sa poloajem nepropusne granice.

Slika 5.17 Rubni vorovi

Ovaj primjer se moe rijeiti tako da se usvoji da je transmisivnost izmeu vora na nepropusnoj granici i promatranog vora jednaka nuli. Na taj nain je i protok izmeu promatrana dva vora jednak nuli. U opem sluaju se granica Neumanovog tipa opisuje tako da se specificira dotok u vor koji opisuje rubni uvjet tj. da se zada protok q0. b) zadana razina podzemne vode vorovi u kojima je zadana vrijednost potencijala (razina podzemne vode) su jednostavni za uvrtavanje u sustav jednadbi. Oni imaju unaprijed rijeenu jednadbu koja je u obliku: h = f (t ) za t0

Slika 5.18 Nivogram

i zamjenjuje vornu jednadbu. vorovi u kojima je konstantan potencijal se za potrebe numerikog pristupa mogu tretirati kao vorovi sa vrlo velikom poroznou npr. S = 1030 i tada se tretiraju kao obini vorovi.

Ver. XI/06

Str. V-22

Hidraulika

Podzemne vode

vor koji moe prihvatiti toliku koliinu vode nee bitno mijenjati razinu vode obzirom da dotoci i istjecanje ne mogu bitno promijeniti koliinu vode u eliji. U praksi se mogu javiti i rubni uvjeti u kojima treba opisati procjeivanje iz akumulacija. To su primjeri strujanja gdje se lokalno trodimenzionalno strujanje treba uklopiti u dvodimenzionalni (ravninski) model. U takvim sluajevima treba izraditi dvodimenzionalne modele u vertikalnoj ravnini i na njima odrediti ovisnost koliine koja se procijedi o razlici razine u akumulaciji i zaobalju.

Slika 5.19 Primjer strujanja za kojeg ne vrijedi Dupuitova hipoteza

U modelu takoer treba definirati poloaj zdenaca (ako ih ima) kao i njihovu izdanost tokom vremena (Q-t dijagram) odnosno crpljene koliine u odreenim vremenskim periodima.

Slika 5.20 Dodavanje infiltracije od oborina

Sada je postavljen sustav od NX*NY jednadbi. Prije rjeavanja treba takoer odrediti vrijeme t' unutar intervala (t, t+t) u kojem e se zadovoljavati vladajua jednadba (kontinuiteta) (5.39). U sluaju na usvojimo hij u vremenu t'=t pristup e biti explicitan to znai da aproksimiramo integral na osnovu poznatog stanja (razine) na poetku vremenskog intervala. U sluaju da usvojimo hij u vremenu t'=t+t postupak je implicitan, to znai da aproksimiramo integral na osnovu poznatog stanja (razine) na kraju vremenskog intervala. Postupak se naziva mjeoviti ako je t' izabran unutar intervala (t,t+t) hi , j (t ' ) = (1 )hi , j (t ) + hi , j (t + t ) ... (5.40)

Ver. XI/06

Str. V-23

Hidraulika5.4.3 Stacionarno strujanje

Podzemne vode

Stacionarno strujanje je karakterizirano sa uvjetom da je h/t=0. Za simuliranje takvog stanja se mogu usvojiti stacionarni rubni uvjeti te pustiti model da rauna niz stanja sa velikim vremenskim inkrimentom dok se ne postignu vrlo male (zanemarive) razlike u pomaku vodnog lica izmeu dva vremenska koraka. Ekonominiji nain je svakako da se iz jednadbe toka za svaku eliju (vor) izostavi lan koji sadri Sh/t. To je lan:S ij t

(h (t + t ) h (t ))i, j i, j

... (5.41)

Ovaj lan se moe ponititi ili usvajanjem vrijednosti Sij=0 ili usvajanjem ekstremno velike vrijednosti t. Eksplicitan pristup Odabirom vremena t'=t (usvajanje vodostaja na poetku modeliranog vremenskog intervala) u jednadbi (5.39) i rjeavajui po hij(t+t) dobiva se set jednadbi: hi , j (t + t ) = hi , j (t ) +t TJ i , j 1 ( hi , j 1 (t ) hi , j (t )) TI i , j ( hi +1, j (t ) hi , j (t )) ( + + y 2 S i, j x 2

+ qi , j ) ... (5.42) y 2 x 2 Eksplicitna shema je jednostavna za programiranje na raunalu. Mana joj je da za neodgovarajuu (preveliku) vrijednost t numeriki postupak postaje nestabilan. Kao kriterij stabilnosti se moe usvojiti nejednakost koja treba biti zadovoljena u svakom voru: t 1 T t 2 + 2 ... (5.43) x y 2 S

+

TJ i , j ( hi , j +1 (t ) hi , j (t ))

+

TI i 1, j ( hi 1, j (t ) hi , j (t ))

Objanjenje ovog kriterija se moe nai u literaturu (npr.Kinzelbach). Na osnovu poznatog (usvojenog) poetnog rasporeda potencijala i jednadbe 5.42 se mogu raunati rasporedi potencijala za bilo koje vrijeme t > t0. Implicitni pristup Implicitni pristup je neto sloeniji ali je bezuvjetno stabilan. Usvajanjem da je t'=t+t i preslagivanjem jednadbe 5.39 dobiva se:hi 1, j (t + t ) + x y 2 TI TJ TJ S TI + hi , j (t + t ) i 1, j i ,2j i , j21 i ,2j i , j + 2 x x y y t TI TJ h (t ) + hi +1, j (t + t ) i ,2j + hi , j +1 (t + t ) i , j2+1 = qi , j Si , j i , j x y t2

TI i 1, j

+ hi , j 1 (t + t )

TJ i , j 1

... (5.44)

Ver. XI/06

Str. V-24

Hidraulika pri emu su i=1,...NX i j=1,..,NY

Podzemne vode

Poznavajui hij(t) gornja jednadba formira sistem jednadbi sa nepoznatim vrijednostima hij(t+t). Za kompaktnije pisanje jednadbe 5.44 moe se usvojiti numeracija vorova sa jednim indeksom npr. indeksom k pri emu je:

(i, j ) k = ( j 1) NX + iSada se sustav jednadbi moe pisati u obliku:AX = b

... (5.45) matrica u kojoj su lanovi uz nepoznate (traene) vrijednosti vektor nepoznatih vrijednosti potencijala u vremenu (t+t) vektor slobodnih lanova

pri emu je: A X b

Matrica A je veliine N*N pri emu je N=NX*NY ukupan broj vorova. Veina lanova u ovoj matrici je jednaka nuli jer u formiranju jednadbe za jedan vor sudjeluju samo etiri susjedna vora, tj. za vor k je najvie pet koeficijenata razliito od nule.ak , k NX = TJ i , j 1 y 2

ak , k 1 = ak , k =

TI i 1, j x 2 TI i 1, j x2

TI i , j x2

TJ i , j 1 y2

TJ i , j y2

+

Si , j t

... (5.46)

a k , k +1 =

TI i , j x 2 TJ i , j +1 y 2

ak , k + NX =

Ver. XI/06

Str. V-25

Hidraulika

Podzemne vode

Slika 5.21 vor za kojeg se piu jednadbe i njemu susjedni vorovi

Sistem jednadbi opisan izrazom 5.45 se moe rijeiti nekim od poznatih algoritama za rjeavanje sustava jednadbi kao to su npr. Gaussov algoritam, metoda Khaletskog, metoda drugog korijena,..). Valja takoer uoiti da je matrica A vrpasta matrica tj. da su lanovi razliiti od nule grupirani uz dijagonalu to takoer moe olakati rjeavanje i omoguiti znatnu utedu u memoriji raunara.

Slika 5.22 Vrpasta matrica

Opisani sistem jednadbi se moe rjeavati i iterativno. Iako vrpasti zapis tedi memorijski prostor u raunalu, za realne probleme broj vorova ( a time i jednadbi) moe biti vei od raspoloivog prostora u memoriji raunala. U tom sluaju se koriste iterativni postupci za rjeavanje sustava jednadbi. Jedan od popularnih metoda je i IADI ( Iterative Alternating Direction Implicit procedure).5.4.4 Teenje sa slobodnim vodnim licem

Za teenje sa slobodnim vodnim licem se mogu u principu koristiti iste jednadbe koje su se koristile i za modeliranje teenja pod tlakom. U ovom sluaju je transmisivnost funkcija piezometarske visine koja odgovara slobodnom vodnom licu. Ako podinu vodonosnog

Ver. XI/06

Str. V-26

Hidraulika

Podzemne vode

sloja u voru (i,j) oznaimo sa bij tada se transmisivnost u promatranom voru Tij moe pisati: Ti , j = k i , j (hi , j bi , j ) Pri emu je sa k oznaen koeficijent filtracije. ... (5.47)

Slika 5.23 Teenje sa slobodnim vodnim licem

U implicitnoj shemi se vrijednosti hij za raunanje transmisivnosti moraju usvojiti u vremenu t+t pri emu jednadba kontinuiteta 5.39 postaje nelinearna, to uvjetuje primjenu iteracija. Jednadba se linearizira zamjenom nepoznatog hij(t+t) u izrazu za transmisivnost sa starom vrijednosti razina hijs(t+t). U prvom vremenskom koraku se za staru vrijednost usvaja:his, j (t + t ) = hi , j (t )

Nakon usvajanja ove pretpostavke sustav jednadbi se rijeava jednom od opisanih metoda ( direktna ili iterativna) ime se dobiva nova vrijednost hij(t+t). Uvrtavanjem:

his, j (t + t ) = hi , j (t + t )dobiva se iterativna shema. Iterativna shema se ponavlja dok nije zadovoljen uvijet:

max i , j hi , j (t + t ) his, j (t + t ) Kod teenja sa slobodnim vodnim licem treba tokoer zamjeniti lan uskladitenja S sa koeficijentom efektivne poroznosti ne u voru (i,j) Prilikom modeliranja teenja sa slobodnim vodnim licem treba takoer voditi rauna da se vodno lice h ne moe spustiti ispod razina podine vodonosnog sloja b. U sluaju da razina u voru padne ispod razine podine obino se usvaja da je u voru transmisibilnost jednaka nuli. Ovakav pristup moe izazvati dva problema; a) u trenucima kad razina vode poinje ponovo rast i dignut se iznad kote podine to u voru nije mogue jer nema transmisibilnosti i b) voda koja dotie uslijed infitracije se nemoe infiltrirati.

Ver. XI/06

Str. V-27

Hidraulika

Podzemne vode

Ovi problemi se obino izbjegavaju tako to se za potrebe numerike ostavlja neka mala vrijednost debljine saturiranog vodonosnog sloja (), koja ne utie na regionalno strujanje a omoguuje izbjegavanje numerike nestabilnosti. Vodonosni slojevi velike debljine se mogu bez vee pogreke tretirati kao vodonosnici pod tlakom.5.4.5 Vodonosnici sa procjeivanjem

Slika 5.24 Vodonosnik s procjeivanjem

Vodonosnici u kojima se javlja meuslojno procjeivanje se mogu tretirati tako da se meuslojno procjeivanje opie izrazom:

q1,i , j = Bi , j (H i , j hi , j )pri emu je ql,ij Bij Hij hij

... (5.48)

protok meu slojevima faktor procjeivanja tlak u gornjem (susjednom) sloju tlak u promatranom vodonosnom sloju

Protok ql,ij se moe direktno dodati u jednadbi 5.39 u lan qij. U sluaju da se promatra gornji i donji sloj protok meu njima treba u jedan sloj dodati a iz drugog ga treba oduzeti. Izraunato snienje u voru u kojem je zdenac, zbog usvojene linearne raspodjele izmeu vorova ne daje tonu vrijednost snienja koje e se javiti u stvarnosti. Iz tog razloga u regionalnim modelima treba snienje u zdencima posebno tretirati.

Slika 5.25 Snienje u zdencu

Ver. XI/06

Str. V-28

Hidraulika

Podzemne vode

5.4.6 Metoda konanih elemenata

Metoda konanih diferencija je za rjeavanje veine praktinih problema zadovoljavajua, ali ipak ima odreene mane od kojih su glavne: neprilagodljivost geometriji rubnih uvijeta neprilagodljivost proguenju tj. nemogunost laganog proguivanja mree u podrujima gdje se gradienti bre mijenjaju pa veliki elementi sa usvojenom linearnom interpolacijom unose veliku greku kao npr. na vrhu zagata, u okolini zdenca,....) nezgrapnost u (predstavljanju) koritenju tenzorskog pristupa tj. tenzora transmisivnosti u sluaju da se glavni smjerovi toka ne poklapaju (podudaraju) sa koordinatnim osima.

Slika 5.24 Diskretizacione sheme za metodu konanih diferencija i za metodu konanih elemenata

To su bili glavni razlozi za primjenu metode konanih elemenata u modeliranju toka podzemnih voda. Ova metoda se zasniva na podjeli modeliranog podruja na niz nepravilnih elemenata. Promatrat emo najjednostavniji sluaj kad se domena dijeli na trokutne elemente. Sada vorovi mogu biti tako postavljeni da dobro opisuju geometriju modeliranog podruja. U metodi konanih diferencija su potencijali definirani samo u vorovima i predstavljaju prosjene vrijednosti na cijeloj eliji, metoda konanih elemenata opisuje raspored potencijala na cijelom elementu zahvaljujui primjeni interpolacionih funkcija. U najjednostavnijem sluaju raspored razina podzemne vode h(x,y) u svakom elementu se moe aproksimirati linearnom interpolacionom funkcijom koja je definirana sa vrijednostima u ugaonim vorovima.

Slika 5.25 Konani element

Ver. XI/06

Str. V-29

Hidraulika

Podzemne vode

Prostorna diskretizacija se radi pomou malo prije opisanog postupka dok se vremenska diskretizacija obino usvaja kao diferencijska. Nepoznate vrijednosti u vorovima su definirane tako da se stvarni raspored razina, koji je glatka funkcija koja zadovoljava jednadbu toka, to bolje aproksimira interpolacionim funkcijama u svakom vremenskom koraku. Numeriki pristup se zasniva na primjeni osnovne leme varijacionog rauna a postoji niz raznih pristupa.5.5 Zdenci

Zdenac je hidrotehnika graevina koja slui za zahvatanje podzemne vode. Zdenci spadaju u gotovo najstarije hidrotehnike objekte irom svijeta, a posebno u aridnim podrujima. Postoje pouzdani dokazi da su zdenci u Aziji i Africi bili koriteni jo prije nekoliko tisua godina za vodosnabdijevanje i navodnjavanje. Poznato je da je u starom Egiptu vodosnabdijevanje bilo iroko razvijeno i na tim prostorima su otkriveni zdenci stari i preko 4000 godina. Isto tako u Kini, daleko prije nove ere, zdenci su graeni i koriteni u razliite svrhe. Tako se na primjer pouzdano zna da je u regiji Tung-Kiao, na povrini od oko 100 km2, postojalo i vie od 10 000 zdenaca. Za izradu bunarske i filtarske konstrukcije u ovim uslovima je koriten bambus. Poznato je da su drevni zdenci izraeni do dubine od 1200 i 1500 m. Koliko je danas poznato prvi objekti za zahvatanje podzemne vode u Evropi su bili zdenci u Flandriji (XII stoljee), Engleskoj i Sjevernoj Italiji. U podruju provincije Artoa izvedeni su zdenci do dubine od nekoliko desetina i ak stotinjak metara, koji su kaptirali izdani formirane u ispucanim krenjacima iz kojih se voda sama izlijevala na povrinu terena. Prema ovim vodozahvatima izraenim u oblasti Artoa, samoizlivni zdenci su i nazvani arteki zdenci. Zdenci mogu po konstrukciji biti: a) KOPANI - tradicionalan nain izgradnje - znatno skuplji (- vea izdanost (vei radius)) - trajnijiSlika5.26 Kopani zdenac

b) BUENI (profil je obino 400-1000 mm) - jeftiniji ali manje trajni - pogodni za duboke vodonosne slojeve - mogu primit veliko snienje

Slika 5.27 Bueni zdenac

Ver. XI/06

Str. V-30

Hidraulika

Podzemne vode

Na osnovu podataka pokusnog crpljenja iz zdenca se odreuju hidrogeoloki parametri vodonosnog sloja. Valja napomenuti da su ovakvi podaci znatno pouzdaniji od podataka o koeficijentima filtracije koji se dobivaju na osnovu granulometrijskih krivulja. Da bi se na osnovu podataka crpljenja iz zdenca mogli izraunati hidrogeoloki parametri vodonosnog sloja, potrebno je raspolagati relativno jednostavnim analitikim rjeenjima parcijalnih diferencijalnih jednadbi. Takve izraze se dobiva pod pretpostavkom da je sloj homogen, izotropan, ili shematzirano anizotropan, vodoravan s poznatim rasporedom potencijala. U sluaju radijalnog toka sloj se smatra cilindrom konanog ili beskonanog radiusa R. Prema hidrogeolokim znaajkama krovine i podine te odnosa krovinskih i podinskih naslaga razlikuju se etiri osnovna tipa geolokog modela: -

sloj pod tlakom (zatvoreni vodonosni sloj)

Slika 5.28 Shematski prikaz zatvorenog vodonosnog sloja (2) sa nepropusnom krovinom i podinom (1)

-

poluzatvoreni vodonosni sloj je omeen (u krovini i podini ili samo u krovini ili samo u podini) slojevima male ali konane propusnosti. Horizontalni tok se u krovini i/ili podini moe zanemariti ali postoji meuslojno procjeivanje

Slika 5.29 Shematski prikaz poluzatvorenog vodonosnog sloja, (1) polupropusna krovina, (2) vodonosni sloj, (3) polupropusna podina, (K) koeficijent filtracije vodonosnog sloja, (K) koeficijent filtracije krovine odnosno podine

-

Poluotvoreni vodonosni sloj je omeen u krovini slabopropusnim pokrovnim slojem iji koeficijent filtracije se ne moe usvojiti kao zanemarivo mali.

Ver. XI/06

Str. V-31

Hidraulika

Podzemne vode

Slika 5.30 Shematski prikaz poluotvorenog vodonosnog sloja, (1) slabije propustan krovinski dio vodonosnog horizonta, (2) vodonosni sloj, (3)nepropusna podina, (K) koeficijent filtracije vodonosnog sloja, (K) koeficijent filtracije krovine

-

teenje sa slobodnim vodnim licem (otvoreni vodonosni horizont) za njega je karakteristino zakanjelo otputanje

Slika 5.31 Shematski prikaz otvorenog vodonosnog sloja, (1) nesaturirani dio sloja, (2) saturirani dio sloja, (3) nepropusna podina, (4) razina podzemne vode

5.5.1 Analitiki izrazi za snienje u zdencu

Izvodi jednadbi za stacionarno strujanje prema potpunom zdencu u homogenoj (izotropnoj) sredini uz usvajanje Dupuit-ove pretpostavke vrlo su jednostavni. Zasniva se na direktnoj integraciji Darcy-evog zakona.

Potpuni zdenac u strujanju sa slobodnim vodnim licem (Slika 5.32)Q = 2r qQ = 2 r k h Q dh dr

dr = 2 k h dh r

Ver. XI/06

Str. V-32

Hidraulikao dr Q = 2 k h dh r ro ho

Podzemne vodeH

R

Q = k

H o2 ho2 R ln ro

... (5.49)

Slika 5.32 Depresioni lijevak za potpuni zdenac u strujanju sa slobodnim vodnim licem

Napomena:

Integracija se moe provesti izmeu bilo koja dva radiusa (r1 i r2) i pripadajua razina podzemne vode (h1 i h2).

Potpun zdenac u strujanju pod tlakom

Slika 5.33 Depresioni lijevak za potpuni zdenac u strujanju pod tlakom

Izvod jednadbe za stacionarno strujanje prema potpunom zdencu u vodonosnom sloju pod tlakom je slian izvodu za zdenac sa slobodnim vodnim licem uz napomenu da u ovom sluaju debljina saturiranog djela vodonosnog sloja kroz koji se odvija teenje ne ovisi o radiusu ve je konstantna i iznosi M (debljina sloja).Q = 2r qQ = 2 r k M dh dr

Ver. XI/06

Str. V-33

Hidraulikadr = 2 k M dh r Ho R dr Q = 2 k M dh r ro ho Q

Podzemne vode

H 0 h0 ... (5.50) R ln r0 Treba primijetiti da se kod strujanja sa vodnim licem dobiva nelinearna veza izmeu protoka i snienja, dok je kod zdanaca pod tlakom ta veza linearna. Q = 2kM

Osim ovih izraza postoje i izvodi za stacionarni tok uz usvajanje procjeivanja kroz polupropusni sloj iz krovine,.... Nepotpuni zdenac svojim filtarskim dijelom ne dopire do dna vodonosnog sloja. U okolini zdenca radiusa r1.5 M ne vrijedi Dupuitova hipoteza.5.5.2 Vrelna ploha

U primjerima procjeivanja sa slobodnim vodnim licem se skoro u pravilu javlja vrelna ploha. To je ploha na koju prokapljuje voda iznad nieg vodostaja, a javlja se kod veih hidraulikih gradienata iz razloga to su brzine procjeivanja malene te slobodna strujnica "izbije" znatno iznad nieg potencijala.

Slika 5.34 Vrelna ploha

Strujnice i ekvipotencijale nisu okomite na vrelnu plohu. Veliina vrelne plohe kod zdenca je definirana izrazom (dobivenim na osnovu niza teoretskih i eksperimentalnih radova):

Ver. XI/06

Str. V-34

Hidraulika Q Q k 0.73 log ho = 0.5 + ho2 ho k ro

Podzemne vode

... (5.51)

Iz slike je vidljivo da e Dupuitova teorija dati dobru aproksimaciju vodnog lica u podruju gdje su ekvipotencijale praktiki vertikalne. U blizini zdenca Dupuitovo rjeenje se razlikuje od stvarnog vodnog lica, te predstavlja piezometarsku visinu po dnu. Dupuitova teorija daje ipak stvarni dotok u zdenac za odreeno h0 i H0 dok se razine p.v. uz zdenac bitno razlikuju5.5.3 Radijus utjecaja zdenca

Radijus utjecaja zdenca je radijus na kojem se primjeuje sniavanje razina podzemnih voda uzrokovano radom zdenca. Nakon poetka crpljenja radijus se kontinuirano poveava dok ne dosegne granice prihranjivanja odnosno dok se ne uspostavi ravnotea izmeu crpljenja s jedne strane i prihranjivanja (oborine, vodotok), smanjenja evapotranspiracije s druge strane. Greke u procjeni vrijednosti radijusa utjecaja nemaju veliki znaaj jer u jednadbi zdenca vrijednost R ulazi u logaritamskoj funkciji koja za velike brojeve nema znatne razlike u vrijednosti logaritma. U praksi se usvaja da je vrijednost radijusa utjecaja za pojedine materijale slijedei: fini pijesak srednji do grubi pijesak fini do srednji ljunak krupni ljunak5.5.4 Grupe zdenaca R (m) 25-100 m 100-500 m 400-1500 m 1500-3000 m

5.5.4.1 Zdenci pod tlakom Snienje izmeu dvije toke koje se nalaze u prilivnom podruju zdenca (u radiusu utjecaja zdenca) je definirano jednadbom:h2 h1 = r Q ln 2 2 k M r1

... (5.52)

Valja uoiti da je kod zdenaca pod tlakom veliina snienja u svakoj toki proporcionalna (linearno) s koliinom crpljenja. U problemima koji su definirani linearnim ovisnostima moe se primjeniti princip superpozicije koji u primjeru zdenca glasi:

Ver. XI/06

Str. V-35

Hidraulika

Podzemne vode

Snienje vodostaja u nekoj toki u okolini zdenca uslijed usporednog crpljenja iz vie zdenaca bit e jednako zbroju snienja uslijed crpljenja svakog pojedinanog zdenca.

Slika 5.35 Superpozicija snienja uslijed rada dva zdenca

S x = S1 + S 2Sx = Q1 Q2 R R ln + ln 2 k M r1 2 k M r2

... (5.53)

odnosno openito:S x = Si = i =1 i =1 n n

Q1 R ln 2 k M ri

... (5.54)

U sluaju da su izdanosti zdenaca identine tj. da vrijedi Q1=Q2=..Qn gornja jednadba poprima oblik:Sx = Qi 2 k M

ln ri =1

n

Ri

... (5.55)

5.5.4.2 Zdenci sa slobodnim vodnim licem Kod zdenaca sa slobodnim vodnim licem snienje piezometarske plohe nije linearno ovisno o protoku. Vrijedi jednakost:Q = k H o2 h 2 R ln r Q R H o2 h 2 = ln k r

... (5.56)

h=

H o2

Q R ln k r

Ver. XI/06

Str. V-36

HidraulikaSnienje izmeu dviju toaka je definirano izrazom:

Podzemne vode

h2 h1 = H o2

Q R Q R ln H o2 ln k r2 k r1

... (5.57)

Iz jednadbe se vidi da je odnos izmeu snienja i protoka nelinearan. Da bi se mogla opisat snienja u pojedinim tokama uvodi se linearizacija pomou potencijala Girinskog. Jednadba zdenca sa slobodnim vodnim licem glasi:H o2 h 2 Q = k R ln r

... (5.58)

moe se pisati kao:

k H o2 k h 2 = Q lnodnosno:

R r

... (5.59)

k H o2 kh 2 Q R = ln 2 2 2 r Q R = o = ln 2 r

... (5.60) ... (5.61)

Sada postoji lineran odnos izmeu pada potencijala Girinskog i protoka pa se moe primjenit princip superpozicije. Princip superpozicije e se prikazati na padu potencijala Girinskog u toci x koji je jednak padu potencijala uslijed djelovanja dva zdenca - zdenca 1 i zdenca 2.

x = 1 + 2 x = Q1 R Q2 R ln + ln 2 r 2 r2

... (5.62)

odnosno za sluaj djelovanja n zdenaca vrijedi: x = i = i =1 n

Qi R ln ri i =1 2

n

... (5.63)

Kako je pad potencijala Girinskog definiran izrazom:kH o2 kh 2 x = o x = 2 2

... (5.64)

Ver. XI/06

Str. V-37

Hidraulikapri emu je h razina vode u voru x, slijedi:h = H o2 2 x k

Podzemne vode

... (5.65)

5.5.4.3 Zdenac uz vodotokDjelovanje zdenca uz vodotok se moe dobiti superpozicijom pozitivnog i negativnog zdenca. Ovaj pristup se moe usvojiti ako je vodotok unutar radiusa utjecaja zdenca (R>L). Negativni zdenac se postavlja simetrino u odnosu na vodotok tako da se anulira snienje koje bi se pojavilo na kontaktu vodotoka i vodonosnog sloja. Analitiki se to moe izraziti:

Sx = SX =

Q2 k M

ln

R R Q + ln r1 2 k M r2

... (5.66) ... (5.67)r Q ln 2 2 k M r1

Q 2 k M

R R ln ln r r2 1 SX =

Slika 5.36 Zdenac uz vodotok

5.5.4.4 Zdenac uz nepropusnu granicuKod zdenca uz nepropusnu granicu treba voditi rauna da se zdenac ne moe prihranjivati kroz nepropusnu granicu. Iz tog razloga se uvodi zdenac simetrino u odnosu na granicu tako da je numeriki kroz granicu protok jednak nuli (Sloj je pod tlakom)

Slika 5.34 Zdenac uz nepropusnu granicu (u sloju pod tlakom)

Ver. XI/06

Str. V-38

Hidraulika

Podzemne vode

Sx =SX =

Q R Q R ln + ln 2 k M r1 2 k M r2Q 2 k M

R R ln + ln r r2 1 2 Q R SX = ln 2 k M r1r2

... (5.69)

5.5.5 Nestacionarno strujanje prema zdencu

Strujanje podzemne vode prema zdencu je zbog promjenjivosti hidrolokih prilika i izdanosti zdenaca gotovo uvijek nestacionarno. Postoji niz analitikih izraza koji definiraju snienje u nestacionarnom reimu za pojedine hidrogeoloke uvjete (zatvoreni sloj, otvoreni sloj, meuslojno procjeivanje, zakanjeno otputanje,....) a jednadbe se mogu potraiti u literaturi (npr. Mileti: Uvod u kvantitativnu hidrogeologiju, Bear,1972..). Kao primjer e se u ovom poglavlju navesti jednadba za nestacionarni tok u zatvorenom vodonosnom sloju.

Nestacionarni tok u zatvorenom vodonosnom slojuNeogranieni zatvoreni vodonosni sloj je elastino tijelo u kome se gubitak tlaka izazvan crpljenjem iz zdenca prenosi po sloju analogno prenosu toplone u eljeznoj ploi. Tu je slinost prvi zamjetio Theiss (1935) i iz navedene analogije izveo tzv."neravnotenu jednadbu" radijalnog toka u zatvorenom horizontu a isti izraz se moe dobiti i integriranjem jednadbe toka u polarnim koordinatama: 2 S 1 S S S + = r 2 r r T t

... (5.70)

pri emu je: s S

snienje u toci (s = h0 - h) koeficijent uskladitenja

Pri izvodu jednadbe je usvojeno da je vodonosni sloj horizontalan te da u beskonanosti nema snienja. Takoer su usvojeni slijedei poetni i rubni uvijeti:s (r ,0 ) = 0 s (r , t ) = 0 r0 t0 t0

r

... (5.71)

s Q lim r = , t r 2T

Poslijednji uvjet kae da je crpljenje iz zdenca konstantno, a uskladitenje u zdencu ne postoji, to znai da otputanje vode iz sloja nastupa neposredno sa snienjem razine vode u zdencu. Rjeenje gornje jednadbe uz navedene poetne i rubne uvjete je dano izrazom:

Ver. XI/06

Str. V-39

Hidraulika Q e u s= du 4 T u upri emu je :

Podzemne vode

... (5.72)

u=

r 2S 4T t

Eksponencijalni integral koji figurira u gornjem izrazu se u literaturi najee naziva bunarska funkcija W(u) koja je definirana izrazom

W (u ) = u

e u u 0.5615 n = n +1 du = ln + ( 1) u u n n! n =1

... (5.73)

koji se moe razviti u red. Vrijednosti bunarske funkcije se mogu nai i u tablicama. Oblik bunarske funkcije je prikazan na slici 5.35.

Slika 5.35 Bunarska funkcija

5.5.6 Odreivanje osnovnih hidrogeolokih parametara pomou rezultata probnog crpljenja

Osnovni parametri kojima je definiran tok u vodonosnom sloju su: horizontalni i vertikalni koeficijent filtracije (kh i kv), transmisivnost (T), poroznost (n) i faktor procjeivanja (B).

Ver. XI/06

Str. V-40

Hidraulika

Podzemne vode

Spomenuti parametri se najtonije mogu odrediti na osnovu rezultata probnog crpljenja. Probno crpljenje se provodi iz zdenca oko kojeg postoji niz piezometara (najmanje dva) u kojima se prati promjena razine podzemne vode kao posljedica crpljenja. Traeni hidrogeoloki parametri se mogu odrediti u a) stacionarnom reimu kao razlika snienja na poznatoj udaljenosti od zdenca i b) nestacionarnom reimu - na temelju mjerenja snienja i proteklog vremena Postupak identifikacije parametara vodonosnog sloja se svodi na usvajanje (pretpostavljanje) geoloke sheme vodonosnog sloja i odabira odgovarajue jednadbe te pretpostavljanjem hidrogeolokih parametara i simuliranjem strujanja na modelu. Usporeivanjem snienja izraunatih matematikim modelom i izmjerenih snienja se moe ocjeniti vjerodostojnost na poetku usvojenih parametara. Na osnovu provedene usporedbe se mijenjaju na poetku pretpostavljeni parametri dok se ne postigne zadovoljavajua podudarnost izmjerenih i izraunatih vrijednosti.

5.5.6.1 Stacionartni tok - Thiem-ova jednadbaNajjednostavnija metoda se zasniva na koritenju Thiemove jednadbe za stacionarni tok u zatvorenom vodonosnom sloju (teenje pod tlakom) koja glasi:Q = 2 k M h2 h1 r ln 2 r1

... (5.74)

Pomou ove metode se moe odrediti transmisivnost koja je, izraena preko dekadskog logaritma, jednaka:T= r 2.3Q log 2 2 (h2 h1 ) r1

... (5.75)

Slika 5.36 Odreivanje transmisivnosti na osnovu razina podzemne vode u dva piezometra prilikom strujanja prema zdencu pod tlakom

Ova metoda odreivanja transmisivnosti trai najmanje dvije opaake buotine da bi se izbjegle pogreke koje unosi otpor zdenca.

Ver. XI/06

Str. V-41

Hidraulika 5.5.6.2 Nestacionarni reim

Podzemne vode

U nestacionarnom reimu se za odreivanje parametara vodonosnog sloja esto koriste pravolinijske metode. Prilikom odreivanja snienja u nestacionarnom reimu se kod definiranja bunarske funkcije W(u) u podruju u kojem je vrijednosti u