Grupos Topol ogicos - mate.unlp.edu.ardemetrio/Monografias/Materias/EA/32. Grupos... · Preliminares 2. Preliminares 2.1. Algunas nociones topol ogicas De nici on 2.1.1. Sea Xun conjunto

Grupos Topologicos

Claudia Damaris Alvarado

Noviembre 2015

Indice

1. Introduccion 1

2. Preliminares 2

2.1. Algunas nociones topologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3. Creando nuevas topologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4. Nociones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Grupos Topologicos: Definiciones y ejemplos 11

3.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Relaciones entre grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Grupo de inversibles de un grupo topologico . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Subgrupos 23

4.1. Resultados elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2. Subgrupos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4. The dense wind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5. Componentes de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.6. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. Pseudonormas en grupos topologicos 34

5.1. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2. Pseudonormas y grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6. Algunos ejemplos concretos 44

6.1. Los subgrupos mas habituales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Introduccion

1. Introduccion

Los grupos topologicos fueron estudiados por primera vez por Schreirer en 1926 ypor F.Leja en su artıculo Sur la notion du groupe abstrait topologique en 1927donde se establece por primera vez la definicion de grupo topologico aunque la ideaya estaba vigente dentro del analisis en los grupos continuos de transformaciones yen el desarrollo de los grupos de Lie y sus propiedades.

En la famosa lista de problemas que Hilbert propuso en 1900, el 5o

problemaplanteaba lo siguiente: bajo que condiciones se puede asegurar que un grupotopologico tiene una estructura analıtica que hace de el un grupo de Lie. Esteproblema impulso investigaciones en torno a los grupos topologicos y en 1933 A.Haar obtiene la existencia de una medida invariante por traslaciones en un grupolocalmente compacto, metrizable y separable; luego A.Weil consigue la existenciade una medida con estas caracterısticas pero quitando las condiciones demetrizabilidad y separabilidad. Luego, al surgir la posibilidad de integracion engrupos localmente compactos, era natural pensar que se pudiera usar en esta clasede grupos las tecnicas de trabajo utilizadas en los grupos de Lie.

El problema numero 5 de Hilbert fue resuelto en 1952 por Gleason, D. Montgomeryy L. Zippin; podemos enunciar el resultado del siguiente modo: Un grupotopologico es un grupo de Lie si y solo si es localemnte euclıdeo o equivalentementesi es localmente compacto y no contiene subgrupos pequenos (esto es, el elementoneutro posee un entorno compacto que no contiene subgrupos no triviales).

La combinacion de la estructura algebraica de un grupo con la estructura deespacio topologico ha dado lugar al crecimiento de tres areas bien marcadas de laMatematica: Algebra, Topologıa y Analisis Funcional, lo que muestra la riquezadel concepto de grupo topologico.

Un grupo topologico es una terna que involucra un conjunto, una funcion y unatransformacion continua, por ende para ser considerado como tal, debe cumplir laspropiedades tanto de ser grupo como de ser espacio topologico, ademas de cumplircon la continuidad tanto de la multiplicacion en el grupo como la de la inversion.

En el presente trabajo se pretende explorar algunas de las propiedades basicas degrupos topologicos y mostrar las relaciones entre la teorıa de grupos y la topologıageneral en estos grupos. Con muy pocas herramientas se obtienen resultados muyutiles. Por ejemplo, se pueden construir subgrupos con propiedades fuertes sinpedir muchas hipotesis y tenemos buenas propiedades de separacion que nospermite estudiar de manera mas sencilla cualquier grupo topologico.

Con este fin, se desea ejemplificar y detallar esta union entre la teorıa de grupos yla topologıa, desarrollando la teorıa de subgrupos de un grupo topologico, el grupocociente y las pseudonormas definidas en el.

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Preliminares

2. Preliminares

2.1. Algunas nociones topologicas

Definicion 2.1.1. Sea X un conjunto. Una topologıa en X es un un sistema desubconjuntos τ ⊆ P(X) que verifica las siguientes tres propiedades basicas:

(a) Si σ ⊆ τ , entonces⋃σ ⊆ τ .

(b) Si F ⊆ τ es finita, entonces⋂F ⊆ τ .

(c) ∅ ∈ τ y X ∈ τ .

Es decir, τ es una topologıa si contiene a X y ∅ y es cerrada por unionesarbitrarias y por intersecciones finitas.

En tal caso decimos que el par (X, τ) es un espacio topologico. Los elementos de τse llamaran subconjuntos abiertos de X con respecto a la toplogıa τ .

La familia mas conocida de espacios topologicos proviene de dotar a un conjuntoX de una metrica o distancia.

Si (X, d) es un espacio metrico entonces un subconjunto O ⊆ X es abierto, si paracada x ∈ O existe ε > 0 tal que

Bε(x) := {y ∈ O : d(x, y) < ε} ⊆ O

Luego, el sistema τd de subconjuntos de X es una topologıa y la desigualdadtriangular implica que las bolas Bε(x) son conjuntos abiertos. La llamamos latopologıa definida (o inducida) por la metrica d en X.

Definicion 2.1.2. Sea (X, τ) un espacio topologico,

(a) Un subconjunto C ⊆ X es cerrado si su complemento X \ C es abierto.

(b) Para x ∈ X un subconjunto U ⊆ X es un entorno de x si existe unsubconjunto abierto O ⊆ X tal que x ∈ O ⊆ U . Notamos U(x) o UX(x) alconjunto de todos los entornos de x, i.e.

U(x) = {U ⊆ X : U es entorno de x}.

U se llamara entorno abierto de x si se tiene que x ∈ U y el mismo U esabierto. De la misma forma notamos

Uo(x) = {U ⊆ X : U es entorno abierto de x} = U(x) ∩ τ

a todos los entornos abiertos de x.

Definicion 2.1.3. Sea (X, τ) un espacio topologico y E ⊆ X un subconjunto.

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Preliminares

(a) E :=⋂{F ⊆ X : E ⊆ F, F cerrado} es llamado la clausura de E. Es el

subconjunto cerrado mas pequeno de X que contiene a E.

(b) Eo :=⋃{U ⊆ X : U ⊆ E,U abierto} es llamado el interior de E. Es el

subconjunto abierto mas grande de X contenido en E.

(c) ∂E := E \ Eo es llamado la frontera de E.

Lema 2.1.1. Sea (X, τ) un espacio topologico, E ⊆ X y x ∈ X. Entonces tenemoslas siguientes afirmaciones:

i) x ∈ Eo ⇐⇒ existe U ∈ U(x), U ⊆ E ⇐⇒ E ∈ U(x).

ii) x ∈ E ⇐⇒ para todo U ∈ U(x) U ∩ E 6= ∅.

iii) x ∈ ∂E ⇐⇒ para todo U ∈ U(x) U ∩ E 6= ∅ y U ∩ (X \ E) 6= ∅.

Definicion 2.1.4. Sea (X, τ) un espacio topologico. Diremos que X es un espacioHausdorff si dados x, y ∈ X distintos existen

U ∈ U(x) y V ∈ U(y) tales que U ∩ V = ∅.

Definicion 2.1.5. Sea (X, τ) un espacio topologico. Diremos que X es un espaciocompletamente regular si para cualquier F ⊆ X, F cerrado y x ∈ X \ F existe unafuncion f : X −→ [0, 1] continua tal que f(x) = 0, mientras que f(F ) ⊆ {1}.

2.2. Funciones continuas

Antes de ver ejemplos de ciertas topologıas introduciremos la nocion decontinuidad.

Definicion 2.2.1.

(a) Una funcion f : X −→ Y es llamada continua si para cada subconjunto abiertoO ⊆ Y la imagen inversa f−1(O) es un subconjunto abierto de X. f estambien llamado morfismo de espacios topologicos.

Notamos C(X, Y ) al conjunto de todos las funciones continuas f : X −→ Y .

(b) Una funcion f : X −→ Y se dice abierta si para cada subconjunto abiertoO ⊆ X la imagen f(O) es un subconjunto abierto de Y . De forma similardefinimos una funcion cerrada f : X −→ Y como aquel que mandasubconjuntos cerrados de X en subconjuntos cerrados de Y .

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Preliminares

(c) Un funcion continua f : X −→ Y es llamada homeomorfismo si existe unafuncion continua g : Y −→ X tal que

f ◦ g = idY y g ◦ f = idX

En otras palabras, f es homeo si es biyectiva, continua y abierta.

Proposicion 2.2.1. Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funciones continuasentonces su composicion g ◦ f : X −→ Z es continua.

Lema 2.2.1.

i) Si f : X −→ Z es una funcion continua e Y ⊆ X un subconjunto, entoncesf |Y : Y −→ Z es continua con respecto a la topologıa de subespacio en Y .

ii) Si f : X −→ Z es una funcion e Y ⊆ Z es un subespacio que contiene a f(X),entonces f es continuo si y solo si la correstriccion f |

Y: X −→ Y es continua

con respecto a la topologıa inducida en Y .

Definicion 2.2.2. Sea X e Y espacios topologicos y x ∈ X. Una funcionf : X −→ Y se dice continua en x si para cada entorno V de f(x) existe unentorno U de x con f(U) ⊆ V . Notemos que esta condicion es equivalente a quef−1(V ) sea un entorno del x.

Lema 2.2.2. Sea f : X −→ Y y g : Y −→ Z funciones entre espacios topologicos.Si f es continua en x y g es continua en f(x), entonces la composicion g ◦ f escontinua en x.

Proposicion 2.2.2. Para una funcion f : X −→ Y entre espacios topologicos, lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

i) f es continua.

ii) f es continua en cada x ∈ X.

iii) La imagen inversa de un subconjunto cerrado de Y bajo f es un conjuntocerrado.

iv) Para cada subconjunto M ⊆ X tenemos f(M) ⊆ f(M).

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Preliminares

2.3. Creando nuevas topologıas

Podemos construir nuevas topologıas a partir de una topologıa dada o basandonosen familias arbitratias de conjuntos. Sean τ1, τ2 dos topologıas en X. Decimos queτ1 es mas fuerte (o mas grande) que τ2 si τ2 ⊆ τ1, es decir τ1 tiene mas conjuntosabiertos que τ2. La menor de todas las topologıas en un espacio X es τ = {X,∅}llamada topologıa trivial o insdiscreta. La mayor de todas las topologıas en X esτ = P(X) llamada topologıa discreta. Ası (X, τ) se denomina espacio discreto.

Definicion 2.3.1. Para un subconjunto A ⊆ P(X) el conjunto

τ := 〈A〉top :=⋂{σ : A ⊆ σ, σ topologia}

es una topologıa en X. Esta es la topologıa mas fuerte en X para la cual todos losconjuntos en A son abiertos. τ es llamada la topologıa generada por A y A esllamada una subbase de la topologıa τ .

El conjunto A es llamado una base de la topologıa τ si todo conjunto en τ es unionde conjuntos de A.

En otras palabras, sabemos generar una topologıa en X a partir de una familiaarbitraria A ⊆ P(X), y sabemos lo que debe cumplir A para ser una base de unatopologıa. Nos interesa saber como construir una base de 〈A〉top a partir de A, porlo que veremos el siguiente resultado:

Proposicion 2.3.1. Sea X un conjunto y sea A ⊆ P(X) tal que⋃A = X. Se

tiene que A es base de 〈A〉top si y solo si se cumple que dados U, V ∈ A yx ∈ U ∩ V , existe W ∈ A tal que x ∈ W ⊆ U ∩ V .

En particular, esto es que A es cerrado bajo intersecciones finitas.

Proposicion 2.3.2. Sea (X, τ) un espacio topologico. Dada β ⊆ τ , sonequivalentes:

i) β es base de τ .

ii) Para todo x ∈ X y todo U ∈ U(x) existe V ∈ β tal que x ∈ V ⊆ U .

Definicion 2.3.2.

(a) Sea (X, τ) un espacio topologico y fijemos Y ⊆ X un subconjunto. Podemosdotar a Y de una topologıa a partir de τ . Consideramos

τY := {U ∩ Y : U ∈ τ} = {A ⊆ Y : existe U ∈ τ tal que A = U ∩ Y } ⊆ P(Y ).

Es una topologıa en Y llamada la topologıa de subespacio o topologıa inducidapor τ a Y .

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Preliminares

(b) Sea v una relacion de equivalencia en el espacio topologico (X, τ),

Y := X/ v= {[x] : x ∈ X}

el conjunto de clases de equivalencia y

q : X −→ Y , x 7−→ [x]

la funcion cociente. Considerando σ := {U ⊆ Y : q−1(U) ∈ τ} es una topologıaen Y llamada topologıa cociente.

(c) Sea (Xi, τi)i∈I una familia de espacios topologicos y X =∏i∈I

Xi su producto

cartesiano. Para cada i ∈ I llamaremos πi : X −→ Xi a la proyeccion tal queπi(x) = xi donde x = (xi)i∈I.

Se tienen las siguientes propiedades:

1. El sistema de todos los conjuntos

U =⋂i∈F

π−1i (Ui) = {(xi)i∈I ∈ X : xi ∈ Ui, i ∈ F} =∏i∈F

Ui ×∏i/∈F

Xi

donde F ⊆ I es un subconjunto finito de ındices y Ui ∈ τi para cada i ∈ Iforman una base para la topologıa en X llamada topologıa producto

2. Una funcion f : Z −→ X, z 7−→ f(z) = (fi(z))i∈I, es continua si y solo sitodas las funciones fi = πi ◦ f son continuas. En particular, las proyeccionesπi son funciones continuas.

2.4. Nociones de grupos

Definicion 2.4.1. Un grupo es un conjunto G con una operacion binaria· : G×G −→ G que cumple lo siguiente:

(a) Cualesquiera a, b, c ∈ G (a · b) · c = a · (b · c). (Asociatividad)

(b) Existe e ∈ G tal que a · e = e · a = a, para todo a ∈ G. (Existencia delelemento neutro)

(c) Para todo a ∈ G, existe b ∈ G tal que a · b = b · a = e. (Existencia del elementoinverso)

G se dice abeliano si vale para cualesquiera a, b ∈ G a · b = b · a. (Conmutatividad)

Si G cumple solo 1) y 2) se dice que es un monoide.

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Preliminares

Definicion 2.4.2. Sean G y H grupos y f : G −→ H una funcion. Se dice que fes un:

• homomorfismo si f(a ·G b) = f(a) ·H f(b).

• monomorfismo si f es inyectiva.

• epimorfismo si f es suryectiva.

• isomorfismo si f es monomorfismo y epimorfismo.

• endomorfismo si G = H.

• automorfismo si f es endomorfismo e isomorfismo.

Definicion 2.4.3.

(a) Un homomorfismo f : X −→ Y es llamado isomorfismo topologico si f es unisomorfismo de grupos y homeomorfismo de espacios topologicos.

Observemos que si f : G −→ H es un isomorfismo topologico, entonces f y f−1

son homomorfismos abiertos.

(b) Un homomorfismo g : G −→ G es un automorfismo topologico si g es unisomorfismo topologico.

(c) Dos grupos topologicos G y H son topologicamente isomorfos si existe unisomorfismo topologico f : G −→ H.

Definicion 2.4.4. Sea G un grupo no vacıo y H ⊆ G. H es un subgrupo de G sipara todo a, b ∈ H se cumple que

(a) a · b ∈ H.

(b) a−1 ∈ H.

Notacion: H 6 G.

Observacion 2.4.1. Sea G grupo y H ⊆ G son equivalentes:

i) H 6 G

ii) a) H ·H = H

b) H−1 = H

Definicion 2.4.5. Sea H 6 G y a ∈ G

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Preliminares

(a) aH = {ah : h ∈ H} son las coclases de a a izquierda.

(b) Ha = {ha : h ∈ H} son las coclases de a a derecha.

Definicion 2.4.6. Sea H 6 G, G grupo. Definimos

G/H = {aH : a ∈ G},

con

PH : G −→ G/H , a 7−→ aH.

Resulta G =⋃{aH : a ∈ G} y es una union disjunta.

Analogamente, para las coclases a izquierda.

Definicion 2.4.7. Si G es un grupo definimos P∗(G) = {A ⊆ G : A 6= ∅} yconsideramos una multiplicacion en P∗(G) dada por la formula

ST = {st : s ∈ S, t ∈ T}

donde S, T ∈ P∗(G).

La operacion ST hace de P∗(G) un monoide.

Lema 2.4.1. Sean H,K 6 G. Luego, H ·K 6 G si y solo si H ·K = K ·H.

Definicion 2.4.8. Sea G grupo, si H 6 G. Son equivalentes:

(a) (aH)(bH) = abH, para cualquier a, b ∈ G.

(b) cHc−1 ⊆ H, para todo c ∈ G.

(c) cHc−1 = H, para todo c ∈ G.

(d) cH = Hc, para todo c ∈ G.

En tal caso decimos que H es un subgrupo normal de G y lo notaremos H C G.

Proposicion 2.4.1. Sea N C G. Luego G/N tiene una unica estructura de grupotal que PN : G −→ G/N es epimorfismo.

Mas aun el producto en G/N es el de P∗(G).

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Preliminares

Definicion 2.4.9. Si N C G entonces G/N es llamado el grupo cociente de G porN .

Definicion 2.4.10. Sea G un grupo entonces Aut(G) denotara al conjunto detodos los automorfismos de G.

Aut(G) = {Φ : G −→ G/ Φ es isomorfismo}

Bajo la composicion de funciones Aut(G) es un grupo.

Definicion 2.4.11. Sean G y H grupos y α : G −→ Aut(H) un homomorfismo.Consideramos m : (H ×G)× (H ×G) −→ H ×G definido por

m((h, g), (h′, g′)) = (h, g)(h′, g′) = (hα(g)(h′), gg′).

A (H ×G,m) se le llama producto semidirecto de G y N con respecto a α. Sedenota H oα G.

Definicion 2.4.12. Sea X un espacio topologico, un arco en X es una funcioncontinua

γ : [a, b] −→ X

donde [a, b] ⊆ R es un intervalo compacto.

Decimos tambien que γ es un arco de γ(a) en γ(b).

Para p, q ∈ X definimos

x ∼a y si existe un arco de p a q

Se sigue de esta definicion que ∼a define una relacion de equivalencia.

Las clases de equivalencia de ∼a se denotan

Ca(x) = {y ∈ X : x ∼a y}

y las llamamos componentes de arco del espacio topologico X.

El espacio X se dice arcoconexo si para cualquiera dos puntos en X existe un arcoque los conecta.

Definicion 2.4.13. Sea X un espacio topologico.

Cada subconjunto unitario {x} ⊆ X es conexo. Ademas,

C(x) := {A ⊆ X : x ∈ A, A conexo}

es un subconjunto conexo y cerrado. Este conjunto es llamado la componenteconexa de x. Este es el subconjunto conexo mas grande de X que contiene a x.

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Preliminares

Observamos que las componentes conexas son subconjuntos dos a dos disjuntos ycerrados de X.

El espacio X es conexo si y solo si C(x) = X para cada x ∈ X. Y es llamadototalmente disconexo si C(x) = {x} para cada x ∈ X.

Decimos que X es localmente conexo si cada x ∈ X tiene un entorno conexo.

En particular, para cada x ∈ X la componente conexa C(x) es un entorno de x.Por lo tanto, las componentes conexas de X son subconjuntos abiertos.

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Grupos Topologicos: Definiciones y ejemplos

3. Grupos Topologicos: Definiciones y ejemplos

3.1. Definiciones basicas

Definicion 3.1.1. Un grupo topologico es un par (G, τ) donde G es un grupoprovisto de una topologıa Hausdorff, τ , tal que las operaciones de grupo:

mG : G×G −→ G, (x, y) 7−→ xy y ηG : G −→ G, x 7−→ x−1

resultan continuas considerando la topologıa producto en G×G.

Observacion 3.1.1. La continuidad de las operaciones de grupo tambien se puedetraducir en las siguientes condiciones: Dados x, y ∈ G se cumple que

i) para cada U ∈ Uo(xy) existen V ∈ Uo

(x) y W ∈ Uo(y) tales que VW ⊆ U

ii) para cada U ∈ Uo(x−1) existe V ∈ Uo

(x) tal que V −1 ⊆ U .

Demostracion.

Supongamos que vale i). Sea (x, y) ∈ G×G y sea U ∈ Uo(xy) entonces existen

V ∈ Uo(x) y W ∈ Uo

(y) tales que VW ⊆ U . Tenemos que V ×W ∈ τG×G ymG(V ×W ) = VW ⊆ U . Luego, mG es continua.

Recıprocamente, si mG es continua sean x, y ∈ G y tomemos U ∈ Uo(xy), como

mG es continua, existe A abierto en G×G tal que (x, y) ∈ A y mG(A) ⊆ U . Comoestamos trabajando con la topologıa producto en G×G existen V ∈ Uo

(x) yW ∈ Uo

(y) tales que V ×W ⊆ A. Ası, mG(V ×W ) = VW entoncesVW ⊆ mG(A) ⊆ U y vale i).

Del mismo modo, es inmediato que ii) vale si y solo si ηG es continua.

Observacion 3.1.2. Para un grupo G con una topologıa τ , la continuidad de mG

y ηG se deduce de la continuidad de la funcion

ϕ : G×G −→ G, (g, h) 7−→ gh−1

Es decir, G es un grupo topologico si y solo si ϕ es continua.

Demostracion.

Supongamos que G es un grupo topologico. Consideramos la funcion diagonal de laidentidad IdG y de ηG (escribiremos IdG = Id y ηG = η)∆{Id,η} : G×G −→ G×G dada por

∆{Id,η}(x, y) = (Id(x), η(y)) = (x, y−1)

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vemos que es continua.

Sean x, y ∈ G se cumple que

m ◦∆{Id,η}(x, y) = m(x, y−1) = xy−1 = ϕ(x, y)

por lo que ϕ = m ◦∆{Id,η}. Y al ser composicion de funciones continuas ϕ escontinua.

Supongamos que ϕ es continua.

Veamos primero que η es continua: Consideramos la inclusion

f : G −→ G×G

f(x) = (e, x)

que es continua.

Para cada x ∈ G tenemos

(ϕ ◦ f)(x) = ϕ(e, x) = ex−1 = x−1 = η(x),

esto es η = ϕ ◦ f por lo que es una funcion continua.

Ahora bien, como η es continua la funcion diagonal ∆{Id,η} antes definida resultacontinua.

Para cada (x, y) ∈ G×G se cumple que

ϕ ◦∆{Id,η}(x, y) = ϕ(x, y−1) = x(y−1)−1 = xy = m(x, y)

por lo tanto, m = ϕ ◦∆{Id,η} y concluimos que m es continua.

Se sigue de esto que G es un grupo topologico.

Observacion 3.1.3. Todo subgrupo de un grupo topologico es un grupotopologico con respecto a la topologıa inducida.

Demostracion.

Sea H un subgrupo de un grupo topologico G, la restriccion de la multiplicacion yla inversion a H son funciones continuas y como H es un subespacio topologicocon la topologıa inducida tenemos que es un grupo topologico de G.

Ejemplos 1.

(1) El grupo aditivo (X,+) de todo espacio normado (X, ‖ · ‖) es un grupotopologico ya que la adicion y la negacion son funciones continuas. Enparticular, (Rn,+) es un grupo topologico abeliano con respecto a cualquiermetrica inducida por la norma.

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En efecto, considerando la base {Bε(x) : x ∈ R y ε > 0}, dondeBε(x) = {y ∈ R :| y − x |< ε} sean x, y ∈ R se tiene que m(x, y) = x+ y yη(x) = −x. Veamos que m y η son continuas.

Sean x ∈ R y V ∈ Uo(−x). Tenemos que existe ε > 0 tal que Bε(−x) ⊆ V .

Vemos que x ∈ Bε(x) y η (Bε(x)) = Bε(−x) ⊆ V . Por la definicion 2.2.2, η escontinua.

Por otro lado, dados x, y ∈ R y V ∈ Uo(x+ y), entonces existe ε > 0 tal que

Bε(x+ y) ⊆ V . Sea r = ε2, tenemos que x ∈ Br(x) e y ∈ Br(x), luego

m (Br(x)×Br(x)) ⊆ Bε(x+ y) ⊆ V

Por lo tanto, m es continua.

(2) (C×, ·) es un grupo topologico y el grupo T := {z ∈ C× : |z| = 1} es unsubgrupo compacto.

(3) El grupo GLn(R) de las matrices invertibles de n× n es un grupo topologicocon respecto a la multiplicacion de matrices llamado el grupo general lineal deorden n sobre R. Si consideramos en GLn(R) la topologıa generada por lametrica

d(A,B) =

(n∑

i,j=1

| Aij −Bij |2) 1

2

para A = (Aij), B = (Bij) ∈ GLn(R), tenemos que la funcion definida por(A,B) 7−→ AB−1 es continua. Por lo que GLn(R) es un grupo topologico conrespecto a la topologıa τd.

(4) Cualquier grupo G es un grupo topologico con respecto a la topologıa discretallamado grupo discreto. Y cualquier grupo asociado a la topologıa indiscreta esun grupo topologico llamado grupo indiscreto.

Lema 3.1.1. Sea G un grupo topologico. Entonces las siguientes afirmaciones secumplen:

i) La multiplicacion a izquierda λg : G −→ G, x 7−→ gx es un homeomorfismo.

ii) La multiplicacion a derecha ρg : G −→ G, x 7−→ xg es un homeomorfismo.

iii) La conjugacion cg : G −→ G, x 7−→ gxg−1 es un homeomorfismo.

iv) La inversion ηG : G −→ G, x 7−→ x−1 es un homeomorfismo.

Demostracion.

(i) Fijando g ∈ G, la continuidad de la multiplicacion implica, por restriccion,que la funcion λg es continua. En efecto, tenemos m(g, ·) = λg : G −→ G y

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como m es continua su restriccion a G tambien lo es. Ahora bien, siconsideramos λg−1 es la inversa de λg

(λg ◦ λg−1) (x) = λg (λg−1(x)) = λg(g−1x) = gg−1x = x.

(λg−1 ◦ λg) (x) = λg−1 (λg(x)) = λg−1(gx) = g−1gx = x.

y como λg−1 es una funcion continua se sigue que cada λg es un isomorfismotopologico, i.e., es un homeomorfismo.

(ii) Analogamente a i) considerando la continuidad de la multiplicacion tenemosque m(·, g) = ρg por lo que ρg es continua y su inversa ρg−1 tambien.

(iii) cg : G −→ G, cg = (λg ◦ ρg−1). Por ser composicion de funciones continuas laconjugacion es continua.

(iv) Se sigue de la continuidad de ηG y η2G = idG.

�

Observacion 3.1.4. Sea G un grupo dotado con una topologıa τ . (G, τ) es ungrupo topologico si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) La multiplicacion a izquierda λg : G −→ G, x 7−→ gx es continua.

(ii) La inversion ηG : G −→ G, x 7−→ x−1 es continua.

(iii) La multiplicacion mG : G×G −→ G, es continua en (1,1).

Demostracion.

Primero observemos que

ρg(x) = ηG(λg−1(ηG(x)))

como λg es un homeo y ηG es continua entonces ρg es continua (mas aun es homeo).

Veamos ahora que mG es continua en todo G×G. Consideremos una red(xi, yi)i∈I ⊆ G×G tal que (xi, yi) −→

i∈I(x, y) con (x, y) ∈ G×G.

Ası,

xi −→i∈I

x y yi −→i∈I

y

entonces

x−1xi −→i∈I

1 y yiy−1 −→

i∈I1

y como mG es continua en (1,1)

x−1xiyiy−1 −→

i∈I1

14


Usando que λg, ρg son continuas para todo g ∈ G,

λx(x−1xiyiy

−1) −→i∈I

λx(1) ⇒ xiyiy−1 −→

i∈Ix

y

ρy(xiyiy−1) −→

i∈Iρy(x) ⇒ xiyi −→

i∈Ixy

Por lo tanto, mG(xi, yi) −→i∈I

mG(x, y) para cualquier (x, y) ∈ G×G.

Luego G es un grupo topologico.

Observacion 3.1.5. Sea G un grupo dotado con una topologıa τ . (G, τ) es ungrupo topologico si se cumplen las siguientes condiciones:

i) La multiplicacion a izquierda λg : G −→ G, x 7−→ gx es continua.

ii) La multiplicacion a derecha ρg : G −→ G, x 7−→ xg es continua.

iii) La inversion ηG : G −→ G, es continua en 1.

iv) La multiplicacion mG : G×G −→ G, es continua en (1,1).

Demostracion.

Por la observacion anterior (i),(ii) y (iii) implican que mG es continua en todoG×G.

Veamos que ηG es continua en todo g ∈ G:

Sea (xi)i∈I ⊆ G tal que xi −→i∈I

x con x ∈ G. Tenemos,

η(xi)− η(x) = x−1i − x−1 = x−1(xx−1i − 1)

y como η es continua en 1 entonces

xi −→i∈I

x ⇒ xix−1 −→

i∈I1 ⇒ xx−1i −→

i∈I1

ası

x−1(xx−1i − 1) −→i∈I

0

Por lo que

η(xi)− η(x) −→i∈I

0

Luego, ηG es continua en todo G.

Por lo tanto, G es un grupo topologico.

15


3.2. Relaciones entre grupos topologicos

Estudiaremos el comportamiento de un grupo topologico con respecto a otros ypara ello veremos cuales son los morfismos que relacionan a los grupos topologicos.

Definicion 3.2.1. Sean G y H grupos topologicos, y f : G −→ H una funcion. fes un homomorfismo de grupos topologicos si f es un homomorfismo de grupos yademas

1) f es un homomorfismo abierto si f es una funcion abierta,

2) f es un homomorfismo cerrado si f es una funcion cerrada,

3) f es un homomorfismo continuo si f es una funcion continua.

Para abreviar nos referiremos al homomorfismo de grupos topologicos simplementecomo homomorfismo.

Ejercicio 3.2.2. Sea α : G −→ H un homomorfismo de grupos topologicos.

(1) α es continuo si y solo si α es continuo en 1.

(2) α es abierto si y solo si la imagen α(U) de cada entorno de la identidad U enG es un entorno de la identidad en H.

Demostracion.

1) ⇒ como α es continuo en todo g ∈ G en particular sera continuo en 1.

⇐ Sea V ∈ U(α(g)) entonces existe V ′ ∈ U(1H) tal que α(g)V ′ ⊆ V .

Ahora bien, como V ′ ∈ U(1H) y α es continua en 1 existe U ′ ∈ U(1G) tal queα(U ′) ⊆ V ′.

Considerando el conjunto abierto

U = gU ′, U ∈ U(g)

resulta

α(U) = α(g)α(U ′) ⊆ α(g)V ′ ⊆ V

por lo que α es continua en todo g ∈ G.

2) ⇒ Sea U ∈ U(1G) entonces existe U ′ ∈ Uo(1G) tal que 1G ∈ U ′ ⊆ U . Ahora

bien, como α es abierta entonces α(U ′) es un conjunto abierto de H y tenemosque

1H ∈ α(U ′) ⊆ α(U).

Luego, α(U) ∈ U(1H).

16


⇐ Sea A ⊆ G abierto. Veamos que α(A) ⊆ H es abierto:

sea b ∈ α(A) ⇒ α−1(b) ∈ A ⇒ A = α−1(b)U con U ∈ U(1H)

Ası existe

U ′ = (U ′)o

: α−1(b)U ′ ⊆ α−1(b)U ⊆ A,

obtenemos

α(α−1(b)U ′

)= bα(U ′) ⊆ bα(U) ⊆ α(A)

Llamando V ′ = bα(U ′), b ∈ V ′ = (V ′)o

por lo que para cada

b ∈ A ⇒ ∃V ′ ∈ Uo(b) : b ∈ V ′ ⊆ α(A).

Entonces α(A) es abierto en H.

Observacion 3.2.1. Existen homomorfismos continuos que no son abiertos. Sea Gun grupo y consideramos Gdis el grupo topologico discreto y Gind el grupotopologico indisceto. Si consideramos la funcion identidad Id : Gdis −→ Gind es unhomomorfismo continuo que no es abierto.

Observacion 3.2.2. Sea (Gi)i∈I una familia de grupos topologicos, entonces el

grupo producto G :=∏i∈I

Gi es un grupo topologico con respecto a la topologıa

producto.

Demostracion.

Sea G :=∏i∈I

Gi con las operaciones mG :=∏i∈I

mi y ηG :=∏i∈I

ηi donde mi y ηi son

la multiplicacion e inversion en Gi para cada i respectivamente. Por otro lado, sea

πi =∏i∈I

Gi −→ Gi la proyeccion continua sobre el i- esimo factor. Tenemos que

πi ◦mG = mi ◦ (πi × πi) πi ◦ ηG = ηi ◦ πi

para cada i.

Por lo que mG y ηG son continuas con la topologıa producto.

�

Lema 3.2.1. Si G es un grupo topologico y g ∈ G fijo, entonces la conjugacioncg : G −→ G dada por cg(x) = gxg−1 es un automorfismo topologico. Estos sonllamados automorfismos internos de G.

17


Demostracion.

Por el Lema 3.1.1 tenemos que cg es un homeomorfismo, nos falta ver que cg y(cg)

−1 son homomorfismos. Sean x, y ∈ G, entonces

cg(xy) = g(xy)g−1 = g(x1y)g−1 = g(xg−1gy)g−1 = (gxg−1)(gyg−1) = cg(x)cg(y)

Luego, cg es homomorfismo. Y como(cg)

−1 = (λg ◦ ρg−1)−1 = (ρg−1)−1(λg)−1 = ρg ◦ λg−1 se sigue que (cg)

−1 es unhomomorfismo.

�

Observacion 3.2.3. Si G es un grupo abeliano, entonces para cada g ∈ G se tieneque cg = IdG. En cambio si G es un grupo no abeliano, entonces admite muchosautomorfismos internos.

Ejercicio 3.2.3. Sea G y N grupos topologicos, supongamos que hay unhomomorfismo α : G −→ Aut(N) que define una funcion continua

ϕα : G×N −→ N, (g, n) 7−→ α(g)(n).

Consideramos al grupo N oα G, como en la definicion 2.4.11. Entonces, N oα G esun grupo topologico con respecto a la topologıa producto teniendo la multiplicacion

(n, g)(n′, g′) := (nα(g)(n′), gg′),

Un tıpico ejemplo es el grupo

Mot(E) := E oα O(E)

de isometrıas afines de un espacio E euclideano; tambien llamado el ”el grupo demovimientos afines”. En este caso, α(g)(v) = gv y Mot(E) actua en E por(b, g).v := b+ gv (de ahı el nombre).

Demostracion.

· m : N oα G×N oα G −→ N oα G es continua:

Sean (n, g), (n′, g′) ∈ N oα G tenemos

m((n, g), (n′, g′)) = (n, g)(n′, g′)

= (nα(g)(n′), gg′)

= (nϕα(g, n′), gg′)

= (mN(n, ϕα(g, n′)),mG(g, g′))

Ahora bien, por la continuidad de la multiplicacion en N y G y la continuidad delhomomorfismo α tenemos que el producto en N oα G es una funcion continua.

18


Por otro lado, sea η : N oα G −→ N oα G la inversion en N oα G, sea(n, g) ∈ N oα G probemos que

(n, g)−1 = (α(g−1)(n−1), g−1),

en efecto,

(n, g)(α(g−1)(n−1), g−1) = (nα(g)(α(g−1)(n−1)), gg−1)

= (nα(gg−1)(n−1),1G)

= (nα(1G)(n−1),1G)

= (nIdN(n−1),1G)

= (nn−1,1G)

= (1N ,1G)

y que (α(g−1)(n−1), g−1)(n, g) = (1N ,1G) se prueba analogamente. Por lo que(n, g)−1 = (α(g−1)(n−1), g−1).

Entonces,

η((n, g)) = (n, g)−1

= (α(g−1)(n−1), g−1)

= (ϕα(g−1, n−1), g−1)

= (ϕα(ηG(g), ηN(n)), ηG(g))

y como ηN y ηG son funciones continuas en H y G respectivamente y ϕα escontinua se obtiene que la inversion en N oα G es continua.

Por lo tanto, N oα G es un grupo topologico.

�

3.3. Grupo de inversibles de un grupo topologico

Ya hemos argumentado anteriormente que el grupo GLn(R) tiene una estructuranatural de grupo topologico. Este grupo es el grupo de inversibles del algebraMn(R) de las matrices reales de n× n.

Como veremos ahora, hay una gran generalizacion de esta construccion.

Definicion 3.3.1. Un algebra de Banach es una terna (A,mA, ‖ · ‖) de unespacio de Banach (A, ‖ · ‖) junto con una multiplicacion asociativa bilineal

mA = A×A −→ A, (a, b) 7−→ ab

19


tal que la norma ‖ · ‖ es submultiplicativa, i.e.,

‖ ab ‖≤‖ a ‖ · ‖ b ‖ para a, b ∈ A.

Por abuso de notacion llamamos A un algebra de Banach si la norma y lamultiplicacion son claras en el contexto.

Un algebra de Banach unital es un par (A,1) donde A es un algebra de Banachy un elemento 1 ∈ A satisface 1a = a1 = a para todo a ∈ A.

El subconjunto

A× := {a ∈ A : (existe b ∈ A) ab = ba = 1}

es llamado el grupo de inversibles de A.

Observacion 3.3.1. En un algebra de Banach la multiplicacionmA : A×A −→ A, mA((a, b)) = ab es continua. En efecto, sea (an, bn)n∈Nsucesion en A×A tenemos que

an −→ a y bn −→ b

implica

‖ an ‖−→‖ a ‖, ‖ bn ‖−→‖ b ‖

y

‖ anbn − ab ‖=‖ anbn − abn + abn − ab ‖≤‖ an − a ‖ · ‖ bn ‖ + ‖ a ‖ · ‖ bn − b ‖−→ 0.

En particular, las multiplicaciones a izquierda y a derecha

λa : A −→ A, x 7−→ ax y ρa : A −→ A, x 7−→ xa,

son continuas con

‖ λa ‖≤‖ a ‖ y ‖ ρa ‖≤‖ a ‖

Proposicion 3.3.1. El grupo unitaria A× de un algebra de Banach unital es unsubconjunto abierto y un grupo topologico con respecto a la topologıa definida(inducida) por la metrica d(a, b) :=‖ a− b ‖ .

Demostracion.

1) A× es un subconjunto abierto

Primero veamos que B1(1) ⊆ A×, donde B1(1) = {a ∈ A :‖ a− 1 ‖< 1}.

Sea a0 ∈ B1(1), entonces la serie∞∑n=0

(1− a0)n converge. Llamemos

b0 =∞∑n=0

(1− a0)n.

20


Veamos que b0a0 = 1:

b0a0 =∞∑n=0

(1− a0)na0 =∞∑n=0

xn(1− x) = 1− lımn→+∞

xn = 1

donde

x = 1− a0 con ‖ x ‖< 1

Analogamente se prueba a0b0 = 1.

Luego, a0 ∈ A× entonces B1(1) ⊆ A×.

Sea a ∈ A×, sea r = 1‖a−1‖ . Veamos que Br(a) ⊆ A×:

Sea b ∈ Br(a),

‖ ba−1 − 1 ‖=‖ ba−1 − aa−1 ‖=‖ (b− a)a−1 ‖≤‖ b− a ‖ · ‖ a−1 ‖< 1

‖ a−1 ‖· ‖ a−1 ‖= 1.

Por lo antes visto tenemos ba−1 ∈ A× =⇒ b ∈ A×.

Por lo tanto, Br(a) ⊆ A× y A× es un subconjunto abierto de A.

2) A× es un grupo topologico

Por la observacion 3.3.1 sabemos que la multiplicacion mA es continua.

Falta ver que ηA es continua, para probar esto veamos primero la continuidad en1 ∈ A: sea (an)n∈N sucesion en A× tal que an −−−→

n→∞1 queremos ver que

‖ ηA − 1 ‖−→ 0.

En efecto,

‖ ηA − 1 ‖ =‖ a−1n − 1 ‖=‖ a−1n − ana−1n ‖=‖ (1− an)a−1n ‖=

∥∥∥∥∥(1− an)∞∑k=0

(1− an)k

∥∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥∞∑k=1

(1− an)k

∥∥∥∥∥ ≤∞∑k=1

‖ (1− an) ‖k= ‖ 1− an ‖1− ‖ 1− an ‖

−−−→n→∞

0

Por lo tanto, ηA es continua en 1.

Ahora veamos que ηA es continua en todo a ∈ A×:

Sea (an)n∈N sucesion en A× tal que an −−−→n→∞

a,

‖ ηA(an)− ηA(a) ‖=‖ a−1n − a−1 ‖=‖ a−1(aa−1n − 1) ‖=‖ a−1((ana

−1)−1 − 1)‖

Ahora bien, como

an −−−→n→∞

a =⇒ ana−1 −−−→

n→∞1

21


y como ηA es continua en 1 entonces

(ana−1)−1 −−−→

n→∞1

‖ ηA(an)− ηA(a) ‖−−−→n→∞

0.

Por lo tanto, ηA es continua.

Esto prueba A× es un grupo topologico.

�

Ejemplos 2.

(1) Si (X, ‖ · ‖) es un espacio de Banach, entonces el espacio L(X) de losoperadores lineales continuos A : X −→ X es un algebra de Banach unitalcon respecto a la norma de operador

‖ A ‖:= sup{‖ Ax ‖: x ∈ X, ‖ x ‖< 1}

y la composicion de funciones.

Notar que la submultiplicacion de la norma de operador

‖ AB ‖≤‖ A ‖ · ‖ B ‖

es una consecuencia inmediata de la estimacion

‖ ABx ‖≤‖ A ‖ · ‖ Bx ‖≤‖ A ‖ · ‖ B ‖ · ‖ x ‖ para x ∈ X.

En este caso el grupo de inversibles es tambien denotado GL(X) := L(X)×.

(2) Especializando 1) para Kn (K = R o C), vemos que el algebra A = Mn(K) delas matrices de n× n con entradas en K es un algebra de Banach conrespecto a la norma de operador

‖ A ‖:= {‖ Ax ‖:‖ x ‖< 1, x ∈ Kn},

donde ‖ · ‖ es cualquier norma en Kn.

(3) Si X es un espacio compacto y A es un algebra de Banach, el espacioC(X,A) de funciones continuas en X a valores en A es un algebra deBanach con respecto a la multiplicacion puntual (fg)(x) = f(x)g(x) y lanorma ‖ f ‖:= supx∈X ‖ f(x) ‖. El grupo de inversibles es

C(X,A)× = C(X,A×),

ya que la continuidad de la inversion en A× implica que para cada funcion fvaluada en A× la inversa puntual tambien es continua.

(4) Un caso especial importante de 3) es cuando tomamos A = Mn(C) dondeobtenemos C(X,Mn(C))× = C(X,GLn(C)) = GLn(C(X,C)).

22

Subgrupos

4. Subgrupos

A lo largo de esta seccion, G denota un grupo y 1 es el elemento identidad de G.

4.1. Resultados elementales

Definicion 4.1.1. Decimos que un subconjunto W ⊆ G es simetrico siW = W−1 := {w−1 : w ∈ W}. En particular, si W es un entorno abierto, diremosque W es un entorno simetrico si W = W−1.

Definicion 4.1.2. Para dos subconjuntos A,B ⊆ G escribimosAB := {ab : a ∈ A, b ∈ B} al producto de los conjuntos A y B.

Teorema 4.1.1. Si G es un grupo topologico y U es un entorno abierto delelemento identidad 1, entonces existe un entorno simetrico V de 1 tal que V ⊆ U .Esto nos dice que la familia de entornos simetricos de la identidad forman unabase local de la identidad.

Demostracion.

Sea U ∈ Uo(1), como G es un grupo topologico tenemos que η es un homeo.

Ası η(U) = U−1 es abierto y 1 ∈ U−1 por lo cual U−1 ∈ Uo(1). Consideremos

V = U ∩ U−1, vemos que V ⊆ U , V = V −1 y V ∈ Uo(1) y se cumple lo pedido.

�

Teorema 4.1.2. Sea G un grupo topologico.

i) Si U ∈ Uo(1) entonces para cada numero natural n existe V ∈ Uo

(1) tal queV n ⊆ U .

ii) Si U ∈ Uo(1) entonces existe V ∈ Uo

(1) tal que V ⊆ U . Esto es equivalente adecir que los entornos cerrados de 1 forman una base local de 1.

Demostracion.

(i) Sea U ∈ Uo(1). Realizamos induccion sobre n:

Para n = 1 podemos tomar V = U .

Supongamos que vale para n ∈ N, es decir existe W ∈ Uo(1) tal que W n ⊆ U .

Como G es un grupo topologico, la funcion m es continua y m(1,1) = 1,para W ∈ Uo

(1) existen V1, V2 ∈ Uo(1) tales que V1V2 ⊆ W . Si tomamos

V = V1 ∩ V2 entonces V 2 ⊆ W

V n+1 = V 2V n−1 ⊆ WW n−1 = W n ⊆ U

Luego, V n+1 ∈ Uo(1) y V n+1 ⊆ U .

23

Subgrupos

(ii) Sea V ∈ Uo(1) tal que V 2 ⊆ U . Por el Teorema 4.1.1 existe W ∈ Uo

(1)simetrico tal que W ⊆ V , entonces W 2 ⊆ U .

Sea x ∈ W entonces Wx ∩W 6= ∅, luego existen x1, x2 ∈ W tales quex1x = x2 entonces x = x−11 x2 ∈ W−1W = W 2 ⊆ U .

Por lo tanto, W ⊆ U .

�

Lema 4.1.1. Sea G un grupo topologico. Entonces las siguientes afirmaciones secumplen:

i) Para cada U ∈ UG(1) y n ∈ N existe un subconjunto simetrico W ∈ UG(1) conW n ⊆ U .

ii) Sea K un compacto y V un subconjunto abierto de G con K ⊆ V . Entoncesexiste un abierto U ∈ UG(1) con KU ⊆ V .

iii) Si U ⊆ G es abierto y M ⊆ G, entonces MU y UM son subconjuntos abiertosde G.

iv) Si A,B ⊆ G con subconjuntos compactos, entonces AB y A−1 son compactos.

v) Si A,B ⊆ G son subconjuntos arcoconexos, entonces AB es arcoconexo.

vi) Para un subconjunto S ⊆ G tenemos:

So = {s ∈ S : (∃U ∈ UG(1)) sU ⊆ S} y S =⋂{SU : U ∈ UG(1)}.

En otras palabras, la clausura de S se puede expresar como la interseccion detodos los productos de S por los entornos abiertos de la identidad (esto valetanto a izquierda como a derecha).

Demostracion.

(i) Se deduce del Teorema 4.1.1 y 4.1.2 (i).

(ii) Sea x ∈ K como V es abierto, existe Vx ∈ Uo(1) tal que xVx ⊆ V y existe

Ux ∈ Uo(1) tal que U2

x ⊆ Vx.

Tenemos que como x ∈ K el conjunto xUx = λx(Ux) es abierto yası {xUx : x ∈ K} es un cubrimiento por abiertos de K y, como K es

compacto, existen x1, ..., xn ∈ K tales que K ⊆k=n⋃k=1

Uxk

Sea U =k=n⋂k=1

Uxk , como para cada k = 1, ..., n se cumple que 1 ∈ Ux se obtiene

que U es no vacıo y, como es una interseccion finita de abiertos, se tiene queU es abierto, por lo que U ∈ Uo

(1). Como 1 ∈ U ,

K = K1 ⊆ KU

24

Subgrupos

Ahora bien, si x ∈ K, entonces existe k = 1, ..., n tal que x ∈ xkUxk . Ası secumple que

xU ⊆ xkUxkU ⊆ xkUxUx ⊆ xkVk ⊆ U.

Por lo tanto, K ⊆ KU ⊆ U .

(iii) MU =⋃m∈M

mU =⋃m∈M

λm(U), luego por el Lema 3.1.1, λm : G −→ G es un

homeo por lo que los conjuntos mU ⊆ G son abiertos y MU , al ser la unionde estos conjuntos, es abierto.

De la misma forma, UM es abierto.

(iv) Supongamos que A y B son compactos, entonces A×B es compacto enG×G. Como tenemos que m : G×G −→ G definida por m(x, y) = xy escontinua y m(A×B) = AB entonces AB es compacto. Ademas, como η escontinua y η(A) = A−1 tenemos que A−1 es compacto.

(v) Como A y B son arcoconexos, lo mismo sucede con su producto topologicoA×B. Ahora bien, utilizando nuevamente la continuidad de la multiplicacionmG : G×G −→ G tenemos AB = mG(A×B) es arcoconexo.

(vi) · So= {s ∈ S : existe U ∈ UG(1) sU ⊆ S}:

⊆) Sea s ∈ Soexiste

U ′ = (U ′)o

: s ∈ U ′ ⊆ S

como U ′ ∈ UaG(s), existe

U ∈ UG(1) tal que sU ⊆ U ′ ⊆ S.

⊇) Sea s ∈ S entonces existe U ∈ UG(1)) tal que sU ⊆ S como U ∈ UG(1))entonces existe

U ′ = (U ′)o

: U ′ ∈ UaG(1)

Ası

λs(U′) = sU ′ es un conjunto abierto y s ∈ sU ′ ⊆ S ⇒ s ∈ So

.

Luego se cumple la igualdad.

· S =⋂{SU : U ∈ UG(1)}:

Sea x ∈ S ⇔ para todo V ∈ UG(x), V ∩ S 6= ∅ como UG(x) = xUG(1), sesigue que

xU ∩ S 6= ∅

para todo U ∈ UG(1). Ahora bien,

xU ∈ UG(x) ⇔ x ∈ SU−1.

25

Subgrupos

Como ηG es un homeomorfismo, para cada U ∈ UG(1) el conjuntoηG(U) = U−1 ∈ UG(1) .

Resulta,

S =⋂{SU−1 : U ∈ UG(1)} =

⋂{SW : W ∈ UG(1)}

�

4.2. Subgrupos cerrados

Definicion 4.2.1. Un subconjunto S de un espacio topologico X se dicelocalmente cerrado si para cada s ∈ S existe un entorno U ∈ UX(s) tal que U ∩ Ses un subconjunto cerrado de U .

Teorema 4.2.1. Si G es un grupo topologico, A y B son subconjuntos de G,entonces

i) A B ⊆ AB,

ii)(A)−1

= A−1,

iii) sean x, y ∈ G se cumple que xAy = (xAy).

Demostracion.

(i) Sean x ∈ A e y ∈ B. Consideramos W ∈ UG(xy). Como la multiplicacion escontinua existen V1 ∈ UG(x) y V2 ∈ UG(y) tales que V1V2 ⊆ W . Como x ∈ A,existe v1 ∈ A ∩ V1 y existe v2 ∈ B ∩ V2. Entonces

v1v2 ∈ AB y v1v2 ∈ V1V2

esto es,

AB ∩W 6= ∅

Ası, xy ∈ AB. Por lo tanto, A B ⊆ AB

(ii) Como la inversion η es un homeomorfismo tenemos que(A)−1

= η(A)

= A−1.

(iii) Dados x, y ∈ G por el Lema 3.1.1 λx y ρy son homeomorfismos por lo que

xAy = (λx ◦ ρy)(A) = (λx ◦ ρy)(A) = xAy

26

Subgrupos

�

Lema 4.2.1. Sea H un subgrupo de un grupo topologico G.

i) H es un subgrupo de G.

ii) Si N es un subgrupo normal de G, entonces N es un subgrupo normal de G.

iii) Si H es un conjunto abierto si y solo si Ho 6= ∅.

iv) Si H es localmente cerrado ⇒ H es cerrado.

v) Si H es abierto ⇒ H es cerrado.

vi) Para cada U ∈ UG(1) con U = U−1 el conjunto 〈U〉 :=⋃n∈N

Un es un subgrupo

abierto y cerrado de G.

Demostracion.

(i) Por la Observacion 3.1.2, la funcion ϕ : G×G −→ G, (x, y) 7−→ xy−1 escontinua. Ası

H ·H−1 = ϕ(H ×H

)⊆ ϕ (H ×H) ⊆ H

Esto implica H−1 ⊆ H. Por lo tanto (por la observacion 2.4.1) H es un

subgrupo de G.

(ii) Como N es normal, por la definicion 2.4.8, para todo c ∈ G se tienecNc−1 ⊆ N . Luego, por (iii) del Teorema anterior

cNc−1 = cNc−1 ⊆ N.

Por lo tanto, N es un subgrupo normal de G.

(iii) Si H es un conjunto abierto, como 1 ∈ H entonces Ho

= H 6= ∅.

Si Ho 6= ∅ por lo que existe x ∈ Ho

entonces existe U ∈ Uo(1) tal que

xU ⊆ H.

Ahora bien, sea y ∈ H se tiene que

yU = yx−1xU ⊆ yx−1H = H.

Como yU = λy(U) es abierto, concluimos que H es abierto.

(iv) Sea U ∈ UG(1) un abierto tal que U ∩H es un subconjunto cerrado de U .

Ahora bien, sea x ∈ H como vimos antes esto es equivalente a x ∈ HU−1.Sea y ∈ xU entonces existe un u ∈ U con y := xu ∈ H. Luego, u = x−1y ∈ Uy u ∈ H ·H = H por ser H subgrupo de G, ası tenemos que

u ∈ H ∩ U = U ∩H ∩ U = U ∩H

entonces x = yu−1 ∈ H.

27

Subgrupos

(v) Como H es abierto tenemos que Hc =⋃h6∈H

hH y como todos los cosets

hH = λh(H) son subconjuntos abiertos de G, el subgrupo H es cerrado.

(vi) Sean x, y ∈ 〈U〉 existen k, l ∈ N tales que x ∈ Uk e y ∈ U l, por lo quexy ∈ Uk+l ⊆ 〈U〉. Por otro lado, x−1 ∈ (U−1)k = Uk ⊆ 〈U〉.Por lo tanto, 〈U〉 es un subgrupo de G. Como 〈U〉 es la union de conjuntosabiertos tenemos que es abierto y por el Lema 4.2.1 (v) se tiene que 〈U〉 escerrado.

�

Observacion 4.2.1. Un subgrupo Γ de un grupo topologico G se dice discreto sies discreto como subespacio topologico. Esto es equivalente a la existencia de un1-entorno U ⊆ G con U ∩ Γ = {1}.Es decir, sean G un grupo topologico y Γ un subgrupo de G. Γ es un espaciodiscreto si y solo si Γ tiene un punto aislado.

Demostracion.

Si Γ es un espacio discreto todos sus puntos son aislados.

Por otro lado, si x ∈ Γ es un punto aislado entonces existe U ∈ Uo(1) tal que

Ux ∩ Γ = {x}.Ahora bien, sea y ∈ Γ entonces

Uy ∩ Γ = Uxx−1y ∩ Γx−1y = (Ux ∩ Γ)x−1y = {x}x−1y = {y}

Por lo que todos los puntos de Γ son aislados. Entonces Γ es un espacio discreto

En particular, Γ es localmente cerrado y por lo tanto cerrado por el Lema anterior.

Ejemplo. Consideremos el grupo topologico G = (R,+). Supongamos que{0} 6= Γ ⊆ R es un subgrupo. Luego ocurren dos casos:

Caso 1: inf(R×+ ∩ Γ) = 0, i.e., existe una sucesion 0 < xn ∈ Γ con xn −→ 0.Entonces Zxn ⊆ Γ para cada n. Ası para cada intervalo abierto (a, b) ⊆ R yxn < b− a obtenemos

∅ 6= Zxn ∩ (a, b) ⊆ Γ ∩ (a, b),

luego Γ es denso, es decir Γ = R.

Caso 2: d :=inf(R×+ ∩ Γ) > 0. Entonces (−d, d)∩ Γ = {0} implica que Γ es discretoy ademas cerrado. Si d 6∈ Γ, entonces existe un d′ ∈ (d, 2d)∩ Γ y de la misma formaexiste d′′ ∈ (d, d′) ∩ Γ. Luego, 0 < d′ − d′′ < d contradiciendo la definicion de d.Esto implica que d ∈ Γ y Zd ⊆ Γ.

Para ver la igualdad, sea γ ∈ Γ y k := max{n ∈ Z : nd 6 γ}. Entoncesγ − nd ∈ [0, d) ∩ Γ = {0} =⇒ γ = nd. Concluimos que Γ = Zd es un grupo cıclico.

28

Subgrupos

Lema 4.2.2. Sea θ ∈ R. Entonces Z+Zθ es denso en R si y solo si θ es irracional.

Demostracion.

Supongamos que Z + Zθ no es denso en R. Entonces es discreto por el ejemploanterior, por lo tanto tiene la forma Zx0 para algun x0 > 0. Luego existen k,m ∈ Zcon

1 = kx0 y θ = mx0.

Ası, θ = mk∈ Q por lo que llegamos a una contradiccion.

Recıprocamente, si θ = mk∈ Q, entonces Z + Zθ ⊆ 1

kZ no es denso en R.

�

Lema 4.2.3. Sea G un grupo topologico. Si H es un subgrupo y existe U ∈ Uo(1)

tal que U ∩H es cerrado en G entonces H es cerrado en G.

Demostracion.

Sea x ∈ H veremos que x ∈ H. Sea V ∈ Uo(1) tal que V 2 ⊆ U . Por el Lema 4.2.1

(i) tenemos que H es un subgrupo de G, luego x−1 ∈ H y como x−1V ∈ Uo(x−1)

tenemos que existe y ∈ x−1V ∩H.

Afirmamos que xy ∈ U ∩H. Para probarlo supongamos que no, es decirxy 6∈ U ∩H, como U ∩H es cerrado por hipotesis, existe W ∈ Uo

(1) tal que

Wxy ∩ (U ∩H) = ∅.

Como (W ∩ V )x ∈ Uo(x) y x ∈ H, entonces existe

z ∈ (W ∩ V )x ∩H = Wx ∩ V x ∩H.

Notemos que

zy ∈ (V x)(x−1)V = V (x−1x)V = V 2 ⊆ U

ademas,

zy ∈ HH = H y zy ∈ (Wx)y = Wxy.

Lo que contradice la definicion de W . Luego xy ∈ U ∩H. Por lo tanto,

x = x1 = x(yy−1) = (xy)y−1 ∈ H

ya que y−1 ∈ H (por ser y ∈ H y H es un grupo).

Ası, H es cerrado.

�

29

Subgrupos

4.3. Grupo cociente

Definicion 4.3.1. Sea G un grupo topologico y N un subgrupo normal de G. Elgrupo cociente G/N se obtiene de equipar al grupo cociente algebraico con latopologıa cociente.

Teorema 4.3.1. Sea G un grupo topologico y N un subgrupo normal de G.

i) La proyeccion PN : G −→ G/N es una funcion abierta.

ii) El grupo cociente G/N es un grupo topologico.

iii) El grupo cociente G/N es discreto si y solo si N es abierto en G.

Demostracion.

(i) Sea U ⊆ G un subconjunto abierto. Por la definicion 2.4.5

P−1N (PN(U)) = NU =⋃n∈N

nU

y por (iii) del Lema 4.1.1, NU es abierto. Entonces, por la continuidad de laproyeccion al cociente, PN(U) es un subconjunto abierto de G/N .

(ii) Consideramos la familia

B = {PN(U) : U ∈ Uo(1), U = U−1}

que genera una topologıa τ sobre G/N . Como PN es un funcion abierta, cadaelemento de B es abierto en la topologıa cociente de G/N .

Por otro lado, si W es abierto en la topologıa cociente y Nx ∈ W , entoncesP−1N (W ) es abierto y contiene a x en G. Luego, existe V ∈ Uo

(1), V = V −1

tal que V x ∈ P−1N (W ) y tenemos que PN(V )Nx ⊆ W entonces PN(V )Nx ∈ τ .

Luego, τ coincide con la topologıa cociente sobre G/N y (G/N, τ) es ungrupo topologico.

(iii) Si G/N es discreto entonces {N} = {N1} es abierto en G/N . Y como laproyeccion PN es continua entonces P−1N ({N}) = N es abierto en G.

Recıprocamente, si N es abierto en G tenemos que para cualquier g ∈ G secumple Ng es abierto en G. Ası, como PN es abierta se satisfacePN(Ng) = {Ng} es abierto en G/N . Por lo tanto, G/N es discreto.

�

30

Subgrupos

4.4. The dense wind

En esta pequena subseccion discutiremos un importante ejemplo de un subgrupodel 2-toro T2 que es no cerrado. Es el ejemplo mas simple de un subgrupo nocerrado arcoconexo.

Sea

A =

{(eit√2 0

0 eit

): t ∈ R

}⊆ T2 :=

{(eir 00 eis

): r, s ∈ R

},

donde T2 es el toro dos-dimensional. Dotamos a T2 con la topologıa inducidaheredada de M2(C).

Lema 4.4.1. A es un subgrupo denso del 2-toro T2.

Demostracion.

Consideramos la funcion

Φ : R2 −→ T2, (r, s) 7−→(e2πir 0

0 e2πis

)que es un homomorfismo de grupo continuo y suryectivo con nucleo Z2. Sitomamos L := R(

√2, 1) y V = R(1, 0) tenemos R2 ∼= V ⊕ L. Y como

Φ(L) = Φ(L+Ker(Φ)) = Φ(L+ Z2) = A

es suficiente mostrar que L+ Z2 es denso en R2.

Desde la descomposicion directa R2 ∼= V ⊕ L y L ⊆ L+ Z2 obtenemos

L+ Z2 = L+ ((L+ Z2) ∩ V ),

y tomando p : R2 −→ V la proyeccion con nucleo L, entonces

p(L+ Z2) = p(Z2) = (L+ Z2) ∩ V.

Luego, basta con probar que p(Z2) es denso en V .

Como p(1, 0) = (1, 0) y p(0, 1) = p((0, 1)− (√

2, 1)) = p(−(√

2, 0)) = −(√

2, 0). Ası,obtenemos p(Z2) = Z +

√2Z de manera que la densidad de p(Z2) es una

consecuencia del Lema 4.2.2.

Por lo tanto A = Φ(L+ Z2) es un subgrupo denso de T2.

�

31

Subgrupos

4.5. Componentes de arcos

Sea G un grupo topologico. Denotamos Ga al componente arcoconexo del elementoidentidad 1.

Lema 4.5.1. Ga es un subgrupo normal de G.

Demostracion.

Por el Lema 4.1.1 (v) el conjunto producto GaGa ⊆ G es arcoconexo. Y comocontiene a 1= 1 · 1 se sigue que GaGa ⊆ Ga.

Por otra parte, la continuidad de la inversion η : G −→ G, g 7−→ g−1 mapea Ga enun conjunto arcoconexo G−1a el cual tambien contiene a 1= 1−1. AdemasG−1a ⊆ Ga, por lo que Ga es un subgrupo de G.

Para cada g ∈ G el automorfismo conjugacion cg : x 7−→ gxg−1 es continuo ycg(1) = 1. Por lo que los mapeos de Ga sobre un conjunto arcoconexo contiene al1. Concluimos que cg(Ga) ⊆ Ga. Entonces Ga es un subgrupo normal de G.

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Definicion 4.5.1. Como Ga es un subgrupo normal de G, el conjunto G/Ga decosets de Ga tiene una estructura natural de grupo. El grupo

π0(G) := G/Ga

es llamado el grupo componente de G.

4.6. Componentes conexas

Sea G un grupo topologico. Escribimos G0 a la componente conexa del elementoidentidad 1.

Lema 4.6.1.

i) G0 es un subgrupo normal y cerrado de G.

ii) Ga ⊆ G0.

Demostracion.

(i) Con un argumento similar a la demostracion del Lema 4.5.1, usando que lasfunciones continuas mapean conjuntos conexos en conjuntos conexos,tenemos que Ga es un subgrupo normal de G. La clausura de G0 viene de laclausura de todos los componentes conexos de un espacio topologico(definicion 2.4.13).

32

Subgrupos

(ii) Finalmente la conexidad de Ga implica Ga ⊆ G0.

�

Lema 4.6.2. Si Ga es abierto entonces Ga = G0.

Demostracion.

Ya hemos visto que Ga ⊆ G0. Como todos los cosets gGa, g ∈ G0, sonsubconjuntos abiertos de G0 la conexidad de G0 implica que esta particion estrivial. Entonces Ga = G0.

�

33

Pseudonormas en grupos topologicos

5. Pseudonormas en grupos topologicos

Estudiaremos la topologıa de un grupo topologico mediante pseudonormas yveremos que todo grupo topologico es completamente regular, lo cual nosproveera de buenas propiedades para trabajar con su topologıa asociada.

5.1. Definiciones y propiedades

Primero daremos algunas definiciones y propiedades de las pseudonormas.

Definicion 5.1.1. Sea G un grupo topologico y N : G −→ R≥0 una funcion. N esuna pseudonorma en G si se cumple N(1G) = 0 y para cualquier x, y ∈ G secumple

N(xy−1) ≤ N(x) +N(y).

Lema 5.1.1. Sea N una pseudonorma en G. Se cumple que

i) N(x) ≥ 0 y N(x−1) = N(x) para todo x ∈ G.

ii) Para todo x, y ∈ G se cumple N(xy) ≤ N(x) +N(y).

iii) Para todo x, y ∈ G se cumple que | N(x)−N(y) |≤ N(x−1y).

Demostracion.

(i) Por definicion de N se tiene que N(x) ≥ 0 probemos que N(x−1) = N(x):

por definicion 5.1.1,

N(x−1) ≤ N(x)

y

N(x) = N((x−1)−1

)= N

(1G(x−1)−1

)≤ N(1G) +N(x−1) = N(x−1).

Por lo tanto, N(x−1) = N(x).

(ii) Sean x, y ∈ G, entonces por (i)

N(xy) ≤ N(x) +N(y−1) = N(x) +N(y).

34


(iii) Por un lado tenemos

N(y) = N(y−1) = N(y−1xx−1) = N((y−1x)x−1) ≤ N(y−1x) +N(x),

por (i)

N(y−1x) = N((y−1x)−1

)= N(x−1y),

ası

N(y) ≤ N(x−1y) +N(x),

entonces

−N(x−1y) ≤ N(x)−N(y) (5.1)

Por otro lado,

N(x) = N(yy−1x) = N(x−1yy−1) ≤ N(x−1y) +N(y−1) =≤ N(x−1y) +N(y)

y se sigue que

N(x)−N(y) ≤ N(x−1y) (5.2)

Luego, por (5.1) y (5.2) obtenemos

| N(x)−N(y) |≤ N(x−1y)

�

Teorema 5.1.1. Sea G un grupo topologico, k ∈ R≥0 y M,N pseudonormas en G.

i) kN : G −→ R≥0 dada por x 7−→ kN(x), es una pseudonorma en G.

ii) M +N : G −→ R≥0 dada por x 7−→M(x) +N(x), es una pseudonorma en G.

Demostracion.

(i) Tenemos

kN(1G) = k(0)

y

kN(xy−1) ≤ k(N(x) +N(y)) = kN(x) + kN(y)

Por lo tanto, kN es una pseudonorma.

35


(ii) Tenemos

(M +N)(1G) = M(1G) +N(1G) = 0 + 0 = 0

y

(M +N)(xy−1) = M(xy−1) +N(xy−1)

≤ (M(x) +M(y)) + (N(x) +N(y))

= (M(x) +N(x)) + (M(y) +N(y))

= (M +N)(x) + (M +N)(y)

Luego, M +N es una pseudonorma en G.

�

Teorema 5.1.2. Sea f : G −→ H un homomorfismo de grupos topologicos. Si Mes una pseudonorma en H entonces N = M ◦ f es una pseudonorma en G.

Demostracion.

Como f es homomorfismo de grupos,

N(1G) = (M ◦ f)(1G) = M(f(1G)) = M(1G) = 0.

Ahora bien, sean x, y ∈ G

N(xy−1) = M(f(xy−1)) = M(f(x)f(y−1)) = M(f(x)(f(y))−1)

≤M(f(x)) +M(f(y)) = N(x) +N(y).

Luego, M es una pseudonorma en G.

�

5.2. Pseudonormas y grupos topologicos

Como nos interesa definir pseudonormas sobre grupos topologicos resultaconveniente que estas no dependan de otras pseudonormas. Para ello veamosprimero el siguiente resultado:

Teorema 5.2.1. Sea G un grupo topologico. Si f : G −→ R es una funcionacotada, entonces la funcion N : G −→ R≥0 definida por

N(x) = sup{| f(yx)− f(y) | : y ∈ G}

es una pseudonorma en G.

36


Demostracion.

Notemos que para todo y ∈ G se cumple

N(1G) =| f(y1G)− f(y) |=| f(y)− f(y) |= 0

Sean x, y ∈ G, entonces

N(xy−1) = sup{| f(zxy−1)− f(z) | : z ∈ G}≤ sup{| f(zxy−1)− f(zx) | + | f(zx)− f(z) | : z ∈ G}≤ sup{| f(zxy−1)− f(zx) | : z ∈ G}+ sup{| f(zx)− f(z) | : z ∈ G}≤ sup{| f(ty−1)− f(t) | : t ∈ G}+N(x)

= N(y−1) = N(x).

Y por otro lado,

N(x−1) = sup{| f(yx−1)− f(x−1) | : y ∈ G} con z = yx−1

= sup{| f(z)− f(zx) | : z ∈ G} = N(x).

Entonces,

N(xy−1) ≤ N(y−1) +N(x)

Luego, N es una pseudonorma en G.

�

Definicion 5.2.1. Sea G un grupo topologico y N una pseudonorma en G. N esuna pseudonorma invariante si para cualesquiera elementos x, y ∈ G se cumple

N(x) = N(y−1xy)

Observemos que si consideramos yx en vez de x en la definicion anterior tenemosla siguiente formula

N(yx) = N(xy)

para cualesquiera x, y ∈ G.

Definicion 5.2.2. Sea N : G −→ R≥0 una pseudonorma. N es una pseudonormacontinua si es continua como funcion de G a R.

Teorema 5.2.2. Sea G un grupo topologico, g ∈ G y N una pseudonorma en G.Si N es una pseudonorma continua, entonces la pseudonorma Ng : G −→ R≥0definida por Ng(x) = N(g−1xg) es una pseudonorma continua.

37


Demostracion.

Primero veamos que Ng es una pseudonorma, para ello notemos que

Ng(x) = N(g−1xg) = N(cg(x))

y como ya habıamos visto, cg es un automorfismo interno em G. Luego, por elTeorema 5.1.2, Ng es una pseudonorma en G.

Mas aun, como cg es un homeomorfismo y N es continua entonces Ng es continua.

�

Teorema 5.2.3. Sea G un grupo topologico y N una pseudonorma en G. N escontinua si y solo si para cualquier ε real positivo existe un entorno U ∈ U(1G) talque para cualquier x ∈ U se cumple N(x) < ε, es decir, N es continua si y solo siN es continua en 1G.

Demostracion.

Si N es continua, entonces N es continua en 1G. En efecto, sea ε > 0 entoncesexiste U ∈ Uo

(1G) tal que para cualquier x ∈ U se tiene

| N(x)−N(1G) |< ε

y como

| N(x)−N(1G) |=| N(x) |= N(x) < ε,

luego, se cumple lo pedido.

Recıprocamente, supongamos que dado ε > 0 existe U ∈ Uo(1G) tal que para

cualquier x ∈ Uε se cumple N(x) < ε. Sea y ∈ G, entonces yUε ∈ Uo(y). Ahora

bien, sea z ∈ yUε entonces y−1z ∈ Uε y tenemos que N(y−1z) < ε. Por el Lema5.1.1 (iii) obtenemos

| N(y)−N(z) |< N(y−1z) < ε.

Por lo tanto, N es continua en y ∈ G.

�

A continuacion, veremos una forma de obtener pseudonormas a partir de latopologıa del grupo topologico. Antes veamos una util notacion:

Sea G un grupo topologico y N es una pseudonorma, entonces para cada ε > 0denotamos

BN(ε) = {x ∈ G : N(x) < ε}

que llamamos bola abierta de radio ε y centro 1G.

38


Teorema 5.2.4. Sea G un grupo topologico. Si {Ui}i∈I es una sucesion decrecientecon Ui ∈ U(1G), Ui = U−1i , tal que

U2i+1 ⊆ Ui,

entonces se puede definir una pseudonorma continua N : G −→ R≥0 tal que paracualquier i ∈ I se cumple que

BN

(1

2i

)⊆ Ui ⊆ BN

(1

2i−1

)Ademas, si para cualquier i ∈ I e y ∈ G se cumple que

y−1Uiy ⊆ Ui,

entonces se puede definir N de manera que tambien sea pseudonorma invariante.

Demostracion.

Primero construiremos por induccion una familia de entornos de 1G como sigue:

Para n = 1, sea U(1) = U0.

Para n ∈ N fijo y m ∈ {1, ..., 2n − 1} definimos

U

(1

2n+1

)= Un+1 (5.3)

y

U

(2m+ 1

2n+1

)= U

(m2n

)Un+1

Esta ultima condicion nos garantiza que no se repiten fracciones. Ası, hemosdefinido un sistema de entornos U(r) de 1G, donde r recorre todas las fraccionesdiadicas positivas. Ademas, si m > 2n tomamos

U(m

2n

)= G (5.4)

Ahora probaremos por induccion sobre n que

U(m

2n

)U

(1

2n

)⊆ U

(m+ 1

2n

)(5.5)

Observemos que para el caso m > 2n la contencion es inmediata por la desigualdad(5.4). Por lo que, basta analizar cuando m < 2n:

Para n = 1,

U

(1

2

)U(m

2n

)⊆ U1U1 ⊆ U0 = U(1)

Supongamos que la relacion vale para p < n.

Probaremos que vale para n. Consideremos dos casos:

39


1) m = 2k, k ∈ Z+. Por la relaciones vistas tenemos que

U(m

2n

)U

(1

2n

)= U

(k

2n−1

)Un = U

(2k + 1

2n

)= U

(m+ 1

2n

)

2) m = 2k + 1, k ∈ Z+. Tenemos que

U(m

2n

)U

(1

2n

)= U

(2k + 1

2n

)Un

= U

(k

2n−1

)UnUn

⊆ U

(k

2n−1

)Un−1

= U

(k

2n−1

)U

(1

2n−1

)⊆ U

(k + 1

2n−1

)= U

(m+ 1

2n

)

Por lo que (5.5) vale.

Ahora bien, observamos que si r y s son fracciones diadicas, con 0 < r < s, sinperdida de generalidad suponemos que r = k

2ny s = l

2npara algun entero positivo

k y algun entero positivo l, k < l y por (5.5) y (5.3) obtenemos U(r) ⊆ U(s).

Sea x ∈ G, definimos

f(x) = inf{r ∈ Q : x ∈ U(r)}

Como U(r) = G si r > 1, entonces para cualquier x ∈ G se cumple f(x) ≤ 1. Pordefinicion, vemos que si f(x) < r, entonces x ∈ U(r). Ası para todo n ∈ N se

cumple que si 1G ∈ U(

1

2n

), entonces f(1G) = 0.

Como f : G −→ R es una funcion acotada, por el Teorema 5.2.1 tenemos queN : G −→ R≥0 definida por

N(x) = sup{| f(yx)− f(y) | : y ∈ G}

es una pseudonorma en G.

Mas aun, N cumple

BN

(1

2i

)⊆ Ui ⊆ BN

(1

2i−1

).

En efecto, notemos que si N(x) < 12i

para algun x ∈ G, entonces

f(x) =| f(1Gx)− f(1G) |≤ N(x) <1

2i

40


y como x ∈ U(

1

2i

)= Ui tenemos

BN

(1

2i

)⊆ Ui.

Por otro lado, si x ∈ Ui y sea y ∈ G, entonces existe k ∈ N tal que

k − 1

2i≤ f(y) <

k

2i.

entonces y ∈ U(k

2i

), se sigue que yx ∈ U

(k

2i

)Ui y yx−1 ∈ U

(k

2i

)U−1i . Y como

U−1i = Ui y se cumplen (5.3) y (5.5) tenemos yx, yx−1 ∈ U(k + 1

2i

)Luego,

f(xy) ≤ k + 1

2i

f(yx−1) ≤ k + 1

2i

entonces

f(yx)− f(y) ≤ k + 1

2i− k − 1

2i=

1

2i−1

f(yx−1)− f(y) ≤ k + 1

2i− k − 1

2i=

1

2i−1

Si sustituimos y por yx en la ultima desigualdad obtenemos

f(y)− f(yx) ≤ 1

2i−1,

lo cual implica

| f(yx)− f(y) |≤ 1

2i−1, para todo y ∈ G

es decir,

N(x) ≤ 1

2i−1,

por lo que

Ui ⊆ BN

(1

2i−1

).

Luego se cumple lo pedido para la pseudonorma N en G y esto implica que N escontinua en 1G y, por lo tanto, continua en G.

41


Por ultimo, sea Ui para i ∈ I tal que cumpla y−1Uiy ⊆ Ui entonces cada U(r)(cumpliendo nuestra construccion anterior) tambien lo cumple. Ademas, por ladefinicion de f y y−1Uiy ⊆ Ui se satisface f(y−1xy) = f(x) para cualesquierax, y ∈ G. Esto implica

N(y−1xy) = sup{| f(zy−1xy)− f(z) |: z ∈ G}= sup{| f(yzy−1x)− f(yzy−1) |: z ∈ G}= N(x)

donde sup{| f(zy−1xy)− f(z) |: z ∈ G} = sup{| f(yzy−1x)− f(yzy−1) |: z ∈ G}ya que las traslaciones λg y ρg son homeos para todo g ∈ G.

Por lo tanto, N es una pseudonorma invariante.

�

Teorema 5.2.5. Sea G un grupo topologico. Si U ∈ Uo(1G), entonces existe una

pseudonorma continua N en G tal que BN(1) ⊆ U .

Demostracion.

Sea U0 = U ∩ U−1. Consideramos una sucesion {Ui}i∈I de entornos simetricos de1G con la propiedad U2

i+1 ⊆ Ui definido inductivamente por:

U0 = U ∩ U−1.Y para Ui ya definida entonces existe Vi ∈ U

o(1G) tal que V 2

i ⊆ Ui (Teorema 4.1.2(i)), y definimos Ui+1 = Vi ∩ V −1i .

Ahora bien, por el Teorema 5.2.4, existe una pseudonorma continua N en G talque para todo i ∈ I cumple

BN

(1

2i

)⊆ Ui ⊆ BN

(1

2i−1

),

en particular, para i = 0 tenemos

BN

(1

20

)= BN(1) ⊆ U0 ⊆ U.

�

Ası observamos que la topologıa de cualquier grupo topologico se puede generarmediante una familia de pseudonormas continuas. Basta tomar un entorno abiertode la identidad en G y realizar la construccion del teorema anterior.

Y finalmente, llegamos al resultado esperado:

Teorema 5.2.6. Todo grupo topologico es completamente regular.

42


Demostracion.

Sea G un grupo topologico. Sea x ∈ G y U ∈ Uo(x), entonces x−1U ∈ Uo

(1G),luego por el Teorema 5.2.5 existe una pseudonorma continua N en G tal que

BN(1) ⊆ x−1U.

Si consideramos la funcion f : G −→ [0, 1] dada por f(y) = N(x−1y) es continuaen G,

f(x) = N(x−1x) = N(1G) = 0,

y si f(y) < 1, entonces

x−1y ∈ x−1U

es decir, y ∈ U por lo que {y ∈ G : f(y) < 1} ⊆ U . Y por la definicion 2.1.5, G escompletamente regular.

�

43

Algunos ejemplos concretos

6. Algunos ejemplos concretos

6.1. Subgrupos conocidos

Definicion 6.1.1. Introducimos las siguientes notaciones para algunos subgruposimportantes de GLn(K), K ∈ {R,C}:

(a) El grupo lineal especial : SLn(K) := {g ∈ GLn(K) : det g = 1}.

(b) El grupo ortogonal : On(K) := {g ∈ GLn(K) : g> = g−1}.

(c) El grupo ortogonal especial : SOn(K) := SLn(K) ∩On(K).

(d) El grupo unitario: Un(K) := {g ∈ GLn(K) : g∗ = g−1}. Notar queUn(R) = On(R), pero On(C) 6= Un(C).

(e) El grupo unitario especial : SUn(K) := SLn(K) ∩ Un(K).

Observar que estos conjuntos son efectivamente subgrupos

(a) · Sean g1, g2 ∈ SLn(K) ⇒ det(g1g2) = det(g1)det(g2) = 1 · 1 = 1 ⇒g1g2 ∈ SLn(K).

· Sea g ∈ SLn(K) ⇒ det(g−1) = (det(g))−1 = 1.

Luego SLn(K) es un subgrupo de GLn(K).

(b) · Sean g1, g2 ∈ On(K) ⇒ (g1g2)> = g>2 g

>1 = g−12 g−11 = (g1g2)

−1 ⇒g1g2 ∈ On(K).

· Sea g ∈ On(K) ⇒ (g−1)> = (g>)> = g = (g−1)−1.

(c) Como SLn(K) y On(K) son subgrupos de GLn(K) ⇒ SLn(K) ∩On(K) es unsubgrupo de GLn(K).

(d) Para K = R ya esta, por que Un(R) = On(R). Para K = C tenemos:

· g1, g2 ∈ Un(C) entonces

(g1g2)∗ = (g1g2)> = (g>2 g

>1 ) = g>2 g>1 = g∗2g

∗1 = g−12 g−11 = (g1g2)

−1

· Sea g ∈ Un(C) ⇒ (g−1)∗ = (g∗)∗ = g = (g−1)−1.

(e) Como SLn(K) y Un(K) son subgrupos de GLn(K) ⇒ SLn(K) ∩ Un(K) es unsubgrupo de GLn(K).

Lema 6.1.1.

i) Los grupos Un(C), SUn(C), On(R) y SOn(R) son compactos.

ii) Los grupos SLn(K) y On(C) son no compactos para n ≥ 2.

Demostracion.

44


(i) Como todos los grupos son subconjuntos de Mn(C) ∼= Cn2, mostraremos que

estos son cerrados y acotados.

Acotados: En vista de que

SOn(R) ⊆ On(R) ⊆ Un(C) y SUn(C) ⊆ Un(C),

es suficiente ver que Un(C) es acotado. Sean g1, ..., gn denotan las filas de lamatriz g ∈ Un(C). Luego g∗ = g−1 es equivalente a gg∗ = 1, lo cual significaque g1, ..., gn forman una base ortonormal de Cn con respecto al producto

escalar 〈z, w〉 =n∑j=1

zjwj que induce la norma ‖z‖ =√〈z, z〉.

Ası, Un(C) es acotado.

Cerrado: Las funciones

f, h : Mn(K) −→Mn(K), f(A) := AA∗ − 1 y h(A) := AA> − 1

son continuas. Ademas los grupos

Un(K) := f−1(0) y On(K) := h−1(0)

son cerrados. Igualmente, SLn(K) es cerrado y los grupos SUn(C) y SOn(R)son tambien cerrados ya que son intersecciones de subconjuntos cerrados.

(ii) Como SL2(R) ⊆ SL2(K) ⊆ SLn(K) y O2(C) ⊆ On(C), podemos suponer quen = 2 y mostrar que SL2(R) y O2(C) son no acotados.

SL2(R) no acotado: consideramos

g1 =

(1 x0 1

)y g2 =

(1 y0 1

)∈ SL2(R), para x, y ∈ R,

y considerando la norma

‖A‖ = max1≤j≤m

m∑i=1

| aij |

vemos que

diam(SL2(R)) = supg,g′∈SL2(R) ‖ g − g′ ‖ ≥ ‖ g1 − g2 ‖= maxx,y∈R ‖ x− y ‖

por lo que diam(SL2(R)) =∞.

Luego, SL2(R) es no acotado.

O2(C) no acotado: consideramos

g =

(cosh(t) −isenh(t)isenh(t) cosh(t)

)

Efectivamente, g−1 =

(cosh(t) −isenh(t)isenh(t) cosh(t)

)>= g> entonces g ∈ O2(C) y

considerando nuevamente la norma anterior.

Analogamente probamos lo pedido.

45


�

Proposicion 6.1.1.

i) El grupo Un(C) es arcoconexo.

ii) El grupo On(R) tiene dos componentes de arco

SOn(R) y On(R)− := {g ∈ On(R) : detg = −1}.

Demostracion.

(i) Primero consideramos Un(C). Vemos que este grupo es arcoconexo, seag ∈ Un(C), entonces existe una base ortonormal v1, ..., vn de autovectores deg. Sean λ1, ..., λn los correspondientes autovalores. Escribimosu := (v1, ..., vn) ∈ Un(C) a la matriz cuyas columnas son v1, ..., vn. Luego,

u−1gu = diag(λ1, ..., λn)

y g unitario implica |λj| = 1, ası para algun θj ∈ R tenemos λj = eθji. Ahorabien definamos una curva continua

γ : [0, 1] −→ Un(C), γ(t) := udiag(eitθ1 , ..., eitθn)u−1.

Obtenemos γ(0) = 1, γ(1) = g y cada γ(t) es unitario para t ∈ [0, 1].

(ii) Para g ∈ On(R) tenemos gg> = 1 y 1 = det(gg>) = (det g)2. Esto muestraque

On(R) = SOn(R) ∪On(R)−

y ambos conjuntos son cerrados en On(R) ya que det es continuo. Ademas,On(R) es no conexo y por ende no es arcoconexo.

Si vemos que SOn(R) es arcoconexo entonces para x, y ∈ On(R)−, tendrıamos

1, x−1y ∈ SOn(R)

que se pueden conectar por un arco γ : [0, 1] −→ SOn(R), ası

t 7−→ xγ(t)

define un arco [0, 1] −→ On(R)− conectando x con y. Por lo que probemosque SOn(R) es arcoconexo.

Sea g ∈ SOn(R). Por algebra lineal sabemos que existe una base ortonormaltal que la matriz u cumple ugu−1 y tiene la forma

46


cosα1 − sinα1

sinα1 cosα1

. . .

cosαm − sinαmsinαm cosαm

−1. . .

1. . .

1

El determinante de cada bloque dos dimensional es 1, de modo que eldeterminante es el producto de todos -1 autovalores. Por lo que su numero espar y podemos escribir cada par consecutivo como un bloque(

−1 00 −1

)=

(cos π − sin πsin π cos π

)Esto muestra que

ugu−1 =

cosα1 − sinα1

sinα1 cosα1

. . .

cosαm − sinαmsinαm cosαm

1. . .

1

Ahora, obtenemos un arco γ : [0, 1] −→ SOn(R) con γ(0) = 1 y γ(1) = gdado por

γ(t) := u−1

cos tα1 − sin tα1

sin tα1 cos tα1

. . .

cos tαm − sin tαmsin tαm cos tαm

1. . .

1

u.

�

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REFERENCIAS

Referencias

[1] Karl - Hermann Neeb. Lie Groups . 2010. (Chapter 1 - Appendix A: BasicTopological Concepts)

[2] Dikran Dikranjan. Introduction to Topological Groups. (Chapter 3)

[3] William A. Adkins, Steven H. Weintraub. An Approach via Module Theory.(Chapter 1)

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