of 55 /55
Univerzitet u Niˇ su PRIRODNO-MATEMATI ˇ CKI FAKULTET Departman za matematiku Master rad GRUPNI INVERZ OPERATORA Mentor: Prof. dr Dijana Mosi´ c Student: Ivana Stamenkovi´ c Niˇ s, 2018.

GRUPNI INVERZ OPERATORA - pmf.ni.ac.rs · [Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji] Neka je M zatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Ako je z2X, onda postoje jednozna cno odred

  • Author
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of GRUPNI INVERZ OPERATORA - pmf.ni.ac.rs · [Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji] Neka je M zatvoren...

  • Univerzitet u NǐsuPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

    Departman za matematiku

    Master rad

    GRUPNI INVERZ

    OPERATORA

    Mentor:Prof. dr Dijana Mosić

    Student:Ivana Stamenković

    Nǐs, 2018.

  • Sadržaj

    Predgovor 2

    1 Uvod 41.1 Normirani, Banahovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . 41.2 Ograničeni linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Uopšteni inverzi operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2 Grupni inverz operatora 122.1 Uvodni pojmovi i tvrd̄enja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Karakterizacija grupno invertibilnih operatora . . . . . . . . . 142.3 Grupna invertibilnost proizvoda dva operatora . . . . . . . . . 232.4 Grupna invertibilnost anti-trougaonog matričnog operatora . . 26

    3 Zakon obrnutog redosleda 34

    Literatura 52

    Biografija 54

    1

  • Predgovor

    Koncept uopštenih inverza prvi je uveo Fredholm 1903. godine, kojije predstavio odred̄eni uopšteni inverz za integralni operator (nazvao ga je”pseudoinverz”). Nakon toga, Hurwitz je 1912. okarakterisao klasu svihpseudoinverza, dok su razni matematičari (Hilbert, Myller, Westfall, Reid)proučavali uopštene inverze diferencijalnih operatora.

    Dakle, izučavanje uopštenih inverza diferencijalnih i integralnih opera-tora prethodilo je izučavanju uopštenih inverza matrica, čiju je egzistencijuprvi otkrio E.H. Moore. On je 1920. godine definisao jedinstveni inverz zasvaku konačnu matricu (kvadratnu ili pravougaonu). Njegovi rezultati nisubili naročito zapaženi u to vreme, tako da je oblast uopštenih inverza ponovozaživela 50ih godina dvadesetog veka, kada je Bjerhammar proučavao uloguuopštenih inverza u rešavanju linearnih sistema. 1955. godine je Penroseusavršio i proširio rezultate Bjerhammara, pokazao je jedinstvenost inverzakoji je koristio Moore, tako da se taj inverz sada naziva Moore-Penroseovinverz. Ova otkrića su bila izuzetno važna i plodonosna i dovela su do otkri-vanja raznih tipova uopštenih inverza, koji zadovoljavaju samo neke od os-obina Moore-Penroseovog inverza, ili neke varijacije tih osobina. Jedan odtakvih inverza je grupni inverz i upravo on će biti predmet proučavanja ovogmaster rada. Grupni inverz ima raznih primena, med̄u kojima je i analizalanaca Markova.

    Rad je podeljen na tri glave.Prva glava sadrži pojmove koje ćemo koristiti u daljem radu. Tu su

    navedene osnovne definicije i tvrd̄enja iz oblasti Banahovih i Hilbertovihprostora, ograničenih linearnih operatora, Banahovih algebri, kao i rezultativezani za uopštene inverze operatora.

    U drugoj glavi najpre uvodimo pojam grupnog i Drazinovog inverza op-eratora, uz navod̄enje bitnijih rezultata na koje ćemo se u nastavku radapozivati. Zatim se bavimo karakterizacijom grupno invertibilnih operatorana Hilbertovim prostorima i dokazujemo teoreme koje nam daju vǐse infor-macija o geometrijskoj strukturi izmed̄u dva operatora. Treći deo ove glaveposvećen je ispitivanju pod kojim uslovima je proizvod dva operatora grupno

    2

  • SADRŽAJ 3

    invertibilan operator. U poslednjem, četvrtom, delu druge glave razmatramogrupnu invertibilnost anti-trougaonog matričnog operatora.

    Treća glava predstavlja glavni deo rada i bavi se zakonom obrnutog re-dosleda za grupni inverz operatora. Dokazujemo teoreme koje će predstavljatidovoljne uslove kako bi važio zakon obrnutog redosleda. Na kraju, dolazimodo ekvivalentnih uslova pod kojima posmatrani zakon važi.

    Želela bih da se zahvalim svom mentoru prof. dr Dijani Mosić na podršcii pomoći prilikom izrade ovog master rada. Njeni konstruktivni saveti i pred-lozi pobolǰsali su kvalitet rada i doprineli njegovoj konačnoj formi.

  • Glava 1

    Uvod

    1.1 Normirani, Banahovi i Hilbertovi pros-

    tori

    Neka F označava polje realnih ili kompleksnih brojeva. Nadalje svivektorski prostori su nad poljem F . Smatraćemo nadalje da su svi vektorskiprostori nad poljem F , a, ukoliko ima potrebe, posebno ćemo naglasiti da lirazmatramo realne ili kompleksne vektorske prostore.

    Definicija 1.1. Neka je X vektorski prostor nad C. Skup B ⊂ X je alge-barska (Hamelova) baza prostora X, ako za svako x ∈ X postoji jedinstvenbroj n ∈ N, jedinstveno odred̄eni vektori e1, . . . , en ∈ B i jedinstveni brojevix1, . . . , xn ∈ C tako da je x =

    n∑i=0

    xiei.

    Definicija 1.2. Dimenzija vektorskog prostora X, u oznaci dim(X), je kar-dinalnost algebarske baze tog prostora.

    Sve algebarske baze vektorskog prostora X imaju istu kardinalnost, pa jeprethodna definicija korektna. Ako je X konačno-dimenzionalan vektorskiprostor, onda se koristi i oznaka dim(X)

  • GLAVA 1. UVOD 5

    (3) ‖λx‖ = |λ|‖x‖ za svako λ ∈ F i svako x ∈ X;(4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ za svako x, y ∈ X.Tada je (X, ‖ · ‖) normiran prostor. Jednostavnije, X je normiran prostorako se norma ‖ · ‖ podrazumeva.

    Teorema 1.1. Neka je (X, ‖ ·‖) normiran prostor. Funkcija d : X×X → R,definisana na sledeći način:

    (∀x, y ∈ X) d(x, y) := ‖x− y‖,

    je metrika na X. Tada je metrika d indukovana normom ‖ · ‖.

    Definicija 1.5. Neka je X normiran prostor. Niz (xn)n u X je kovergen-tan (Košijev) po normi, ako je konvergentan (Košijev) u odnosu na metrikuindukovanu normom.

    Definicija 1.6. Normiran prostor X je Banahov ako je (X, d) kompletanmetrički prostor, pri čemu je d metrika indukovana normom.

    Teorema 1.2. Svaki konačno-dimenzionalan potprostor Y normiranog pros-tora X je Banahov. Specijalno, svaki konačno-dimenzionalan prostor X jeBanahov.

    Posledica 1.1. Svaki konačno-dimenzionalan potprostor Y normiranog pros-tora X je zatvoren u X.

    Teorema 1.3. Ako je X beskonačno-dimenzionalan Banahov prostor, tadaje dim(X) > ℵ0.

    Neka su X, Y vektorski prostori nad F . Skup svih linearnih operatora iz Xu Y označavamo sa L(X, Y ).

    Definicija 1.7. Neka su X i Y normirani prostori nad F . Operator A ∈L(X, Y ) je ograničen ako postoji realan broj M ≥ 0 takav da je

    (∀x ∈ X) ‖Ax‖ ≤M‖x‖.

    Skup svih ograničenih linearnih operatora iz X u Y označavamo sa B(X, Y ).

    Definicija 1.8. Neka su X i Y normirani prostori i neka je A ∈ B(X, Y ).Norma operatora A, u oznaci ‖A‖, je broj

    ‖A‖ := sup‖x‖6=0

    ‖Ax‖‖x‖

    .

  • GLAVA 1. UVOD 6

    Teorema 1.4. Neka su X, Y i Z normirani prostori. Za operatoreA ∈ B(X, Y ), B ∈ B(Y, Z) važi

    ‖BA‖ ≤ ‖B‖‖A‖.

    Teorema 1.5. Neka su X, Y normirani prostori. Tada je (B(X, Y ), ‖ · ‖)normiran prostor.

    Definicija 1.9. Skalarni proizvod na kompleksnom vektorskom prostoru Xje funkcija 〈·, ·〉 : X ×X → C, koja zadovoljava sledeće osobine:(1) 〈λ1x1 + λ2x2, y〉 = λ1〈x1, y〉 + λ2〈x2, y〉 za svako λ1, λ2 ∈ C i svakox1, x2, y ∈ X;(2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za svako x, y ∈ X;(3) 〈x, x〉 ≥ 0 za svako x ∈ X;(4) 〈x, x〉 = 0 ako i samo ako je x = 0.Ured̄eni par (X, 〈·, ·〉) je kompleksan unitaran (pred-Hilbertov) prostor.

    Napomena. Ukoliko je X realan vektorski prostor, onda umesto svojstva(2) u prethodnoj definiciji, važi aksioma:(2’) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za svako x, y ∈ X,odnosno, skalarni proizvod ima osobinu simetričnosti.

    Teorema 1.6. Neka je X unitaran prostor sa skalarnim proizvodom 〈·, ·〉.Funkcija ‖ · ‖ : X → R, definisana kao

    ‖x‖ := 〈x, x〉1/2, x ∈ X,je norma na X. Ova norma je indukovana skalarnim proizvodom.

    Definicija 1.10. Neka je X unitaran prostor i neka je X Banahov prostoru odnosu na normu indukovanu skalarnim proizvodom. Tada je X Hilbertovprostor.

    Definicija 1.11. Neka je X unitaran prostor i E ⊂ X neprazan skup. Tadaje E⊥ := {x ∈ X : (∀y ∈ E) 〈x, y〉 = 0} ortogonalni komplement skupa E.

    Teorema 1.7. [Teorema o ortogonalnoj dekompoziciji] Neka je Mzatvoren potprostor Hilbertovog prostora X. Ako je z ∈ X, onda postojejednoznačno odred̄eni vektori x ∈M i y ∈M⊥ tako da je z = x+ y. Prematome važi X = M ⊕ M⊥ i tada se ova direktna suma naziva ortogonalnasuma.

    Definicija 1.12. Neka je X normiran prostor nad poljem F . Ograničenlinearani funkcional na X je svaki ograničen linearan operator iz X u F .Prostor ograničenih linearnih funkcionala na X je X ′ := B(X,F).

  • GLAVA 1. UVOD 7

    1.2 Ograničeni linearni operatori

    Teorema 1.8. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ B(X, Y ). Tada je

    ‖A‖ = sup‖x‖=1

    ‖Ax‖ = sup‖x‖≤1

    ‖Ax‖ = inf{M > 0 : M ≥ ‖Ax‖, ‖x‖ ≤ 1}.

    Teorema 1.9. Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ B(X, Y ). Sledećiuslovi su ekvivalentni:(1) A je uniformno neprekidno preslikavanje na X;(2) A je neprekidno preslikavanje u 0;(3) A ∈ B(X, Y ).

    Definicija 1.13. Neka su X, Y normirani prostori i neka je A ∈ B(X, Y ).Tada je:

    N (A) = {x ∈ X : Ax = 0} jezgro operatora A,

    aR(A) = {Ax : x ∈ X} slika operatora A.

    Teorema 1.10. Neka su X, Y normirani prostori i A ∈ L(X, Y ). Tada jeN (A) potprostor od X, a R(A) je potprostor od Y . Ako je, pored toga,A ∈ B(X, Y ), onda je N (A) zatvoren potprostor od X.

    Definicija 1.14. Neka su X1, X2 potprostori normiranog prostora X za kojevaži X1 ∩X2 = {0}. Neka je A1 ∈ B(X1), A2 ∈ B(X2, X1), A3 ∈ B(X1, X2) iA4 ∈ B(X2). Tada je preslikavanje(

    A1 A2A3 A4

    ): X1 ⊕X2 → X1 ⊕X2

    definisano kao:

    (∀(x1 ⊕ x2) ∈ X1 ⊕X2)(A1 A2A3 A4

    )(x1⊕x2) := (A1x1+A2x2)⊕(A3x1+A4x2).

    Definicija 1.15. Neka su X i Y normirani prostori i neka je A ∈ B(X, Y ).A je kompaktan operator ako svaki ograničen skup iz X slika na relativnokompaktan skup u Y .

    Teorema 1.11. Neka je X normiran, a Y Banahov prostor. Tada je B(X, Y )Banahov prostor.

    Posledica 1.2. X ′ je Banahov prostor.

  • GLAVA 1. UVOD 8

    Teorema 1.12. [Teorema o ograničenom inverzu] Neka su X i Y Ba-nahovi prostori i A ∈ B(X, Y ). Ako je preslikavanje A ,,1-1” i ,,na”, tadapostoji A−1 ∈ B(Y,X).

    Definicija 1.16. Neka je X normiran prostor i P ∈ B(X). Ako je P = P 2,onda je P idempotent (ili projektor).

    Teorema 1.13. Neka je P projektor na normiranom prostoru X. Tada jeR(P ) ∩ N(P ) = {0}, X = R(P ) ⊕ N(P ) i P je projektor sa X na R(P )paralelno sa N(P ).

    Definicija 1.17. Neka je H Hilbertov prostor, P je projektor na H i M jezatvoren potprostor od H. Ako je R(P ) = M i N(P ) = M⊥, tada je Portogonalan projektor. Osim toga, P je projektor sa H na M paralelno saM⊥.

    Teorema 1.14. Neka su H i K Hilbertovi prostori i T ∈ B(H,K). Tadapostoji jedinstven ograničen linearan operator T ∗ ∈ B(K,H), tako da zasvako x ∈ H i za svako y ∈ K važi

    〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉.

    Definicija 1.18. Operator T ∗, odred̄en prethodnom teoremom, je Hilbert-adjungovan (Hilbert-konjugovan) operator od T .

    Teorema 1.15. Neka su H,K,L Hilbertovi prostori, S, T ∈ B(H,K), V ∈B(K,L) i λ ∈ C. Tada je:(1) 〈T ∗y, x〉 = 〈y, Tx〉, za svako x ∈ H i y ∈ K;(2) (S + T )∗ = S∗ + T ∗;(3) (λT ) = λT ∗;(4) (T ∗)∗ = T ;(5) ‖T ∗‖ = ‖T‖;(6) ‖T ∗T‖ = ‖TT ∗‖ = ‖T‖2;(7) TT ∗ = 0 ako i samo ako je T = 0;(8) (V S)∗ = S∗V ∗;(9) 0∗ = 0 i I∗ = I.

    Teorema 1.16. Neka su H,K Hilbertovi prostori i T ∈ B(H,K). Akopostoji T−1 ∈ B(K,H) tada postoji i (T ∗)−1 ∈ B(H,K) i važi (T ∗)−1 =(T−1)∗.

    Lema 1.1. [Jacobson] Neka je R prsten sa jedinicom 1 i a, b ∈ R proizvoljnielementi. Ako je 1− ab invertibilan, onda je i 1− ba invertibilan.

  • GLAVA 1. UVOD 9

    Definicija 1.19. Neka su S, T ∈ B(H). [S, T ] = ST − TS je komutator zaoperatore S i T .

    Definicija 1.20. Operatori S, T ∈ B(H) su slični (u oznaci S ∼ T ) akopostoji invertibilan operator Q ∈ B(H) takav da je QS = TQ.

    Definicija 1.21. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Tada:(1) T je normalan operator ako je T ∗T = TT ∗;(2) T je samokonjugovan (ili Hermitski) operator ako je T = T ∗;(3) T je unitaran operator ako je TT ∗ = T ∗T = I.

    Teorema 1.17. Neka je H kompleksan Hilbertov prostor i T ∈ B(H). T jesamokonjugovan ako i samo ako je 〈Tx, x〉 realan broj, za svako x ∈ H.

    Definicija 1.22. Neka je H kompleksan Hilbertov prostor i T ∈ B(H)samokonjugovan operator. T je pozitivan operator (u oznaci T ≥ 0) akoza svako x ∈ X važi

    〈Tx, x〉 ≥ 0.

    Teorema 1.18. Ako je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H), tada je TT ∗ pozi-tivan operator.

    Definicija 1.23. Neka je H Hilbertov prostor, A i B samokonjugovani op-eratori na H. Ako je A−B ≥ 0, onda je A ≥ B ili B ≤ A.

    Definicija 1.24. Neka je H Hilbertov prosrtor, A samokonjugovan operatoriz B(H) i

    m(A) = inf‖x‖=1

    〈Ax, x〉, M(A) = sup‖x‖=1

    〈Ax, x〉.

    Brojevi m(A) i M(A) se nazivaju, redom, donja i gornja granica samokonju-govanog operatora A.

    Posledica 1.3. Neka je A ∈ B(H) samokonjugovan operator na Hilbertovomprostoru H. Tada je ‖A‖ = max{|m(A)|, |M(A)|} = sup

    ‖x‖=1|〈Ax, x〉|.

    Teorema 1.19. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Tada postojesamokonjugovani operatori A,B ∈ B(H) tako da je T = A + iB. OperatoriA i B su jednoznačno odred̄eni operatorom T .

    Definicija 1.25. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Realni i imagi-narni deo operatora T označavaju se, redom, sa Re(T ) i Im(T ), i

    Re(T ) =T + T ∗

    2, Im(T ) =

    T − T ∗

    2i.

  • GLAVA 1. UVOD 10

    Definicija 1.26. Operator T ∈ B(H) je izometrija, ako je ‖Tx‖ = ‖x‖ zasvako x ∈ H.

    Definicija 1.27. Operator T ∈ B(H) je parcijalna izometrija, ako je ‖Tx‖ =‖x‖ za svako x ∈ N (T )⊥.

    Svaka izometrija je takod̄e i parcijalna izometrija.

    Teorema 1.20. Neka je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H). Sledeći uslovi suekvivalentni:(1) T je normalan operator;(2) Re(T ) i Im(T ) med̄usobno komutiraju;(3) ‖T ∗x‖ = ‖Tx‖ za svako x ∈ X.

    Teorema 1.21. [Kvadratni koren pozitivnog operatora] Neka je HHilbertov prostor i T ∈ B(H) pozitivan operator. Tada postoji jedinstvenpozitivan operator L ∈ B(H) tako da je L2 = T . Ako A ∈ B(H) komutirasa T , onda A komutira i sa L.

    1.3 Uopšteni inverzi operatora

    Neka su H i K Hilbertovi prostori.

    Definicija 1.28. Operator B ∈ B(K,H) je unutrašnji inverz (ili {1}−inverz)operatora A ∈ B(H,K) ako važi ABA = A. U tom slučaju, za operator Akažemo da je regularan. Unutrašnji inverz operatora A označavamo sa A−.

    Teorema 1.22. Operator A je regularan ako i samo ako je R(A) zatvorenu K.

    Definicija 1.29. Neka je A ∈ B(H,K). Operator B ∈ B(K,H) koji zado-voljava jednačine

    (1) ABA = A,

    (2) BAB = B,

    (3) (AB)∗ = AB,

    (4) (BA)∗ = BA

    je Moore-Penroseov inverz operatora A i označava se sa A†.

  • GLAVA 1. UVOD 11

    Definicija 1.30. Za operator A ∈ B(H,K) označimo sa A{i, j, ..., l} skupoperatora B ∈ B(K,H) koji zadovoljavaju jednačine (i), (j), ..., (l) iz skupa{(1), (2), (3), (4)}. Operator B ∈ A{i, j, ..., l} naziva se {i, j, ..., l}-inverz odA i označava se A(i,j,...,l).

    Teorema 1.23. Postoji Moore-Penroseov inverz operatora A ∈ B(H) ako isamo ako je R(A) zatvoren.

    Teorema 1.24. Moore-Penroseov inverz operatora A ∈ B(H) je jedinstven(ukoliko postoji) i važi AA† = PR(A) i A

    †A = PR(A∗).

    Teorema 1.25. Ako je A ∈ B(H) pozitivan operator, onda je

    AA† = (AA†)∗

    = (A†)∗A∗ = A†A.

    Lema 1.2. Neka je E ∈ B(H) idempotent. Tada

    (1) E∗ i I − E su idempotenti;

    (2) E(I − E) = (I − E)E = 0;

    (3) Ex = x⇔ x ∈ R(E);

    (4) E ∈ E{1, 2};

    (5) N(E) = R(I − E).

  • Glava 2

    Grupni inverz operatora

    2.1 Uvodni pojmovi i tvrd̄enja

    Neka je H beskonačno-dimenzionalan kompleksan Hilbertov prostor.

    Definicija 2.1. Najmanji nenegativan ceo broj n takav da je N (T n) =N (T n+1) i (R(T n) = R(T n+1)) je uspon (pad) operatora T ∈ B(H), u oz-naci asc(T ) (desc(T )). Ukoliko takav broj n ne postoji, onda je asc(T ) =∞(desc(T ) =∞).

    Poznato je da je desc(T ) = asc(T ) ako su asc(T ) i desc(T ) konačni.

    Definicija 2.2. Neka je T ∈ B(H). Operator S ∈ B(H) koji, za nekinenegativan ceo broj k, zadovoljava jednačine

    (1k) T kST = T k,

    (2) STS = S,

    (5) TS = ST ,

    je Drazinov inverz operatora T i označava se sa TD.

    Najmanji nenegativan ceo broj k za koji važi (1k) je indeks od T (uoznaci k = ind(T )).

    Teorema 2.1. Operator T ∈ B(H) je Drazin invertibilan ako i samo ako suuspon i pad operatora T konačni brojevi. U tom slučaju je k = ind(T ) =desc(T ) = asc(T ).

    Teorema 2.2. Ukoliko postoji, Drazinov inverz je jedinstven.

    Kada je ind(T ) = 1, operator TD je grupni inverz operatora T .

    12

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 13

    Definicija 2.3. Neka je T ∈ B(H). Operator S ∈ B(H) koji zadovoljavajednačine

    (1) TST = T ,

    (2) STS = S,

    (5) TS = ST ,

    je grupni inverz operatora T i označava se sa T#.

    Teorema 2.3. Operator T ∈ B(H) je grupno invertibilan ako i samo ako jeind(T ) ≤ 1.

    Kada je ind(T ) = 0, grupni inverz se svodi na običan inverz operatoraT , tj. T# = T−1.

    Teorema 2.4. Ako je operator T ∈ B(H) grupno invertibilan, onda je R(T )zatvoren prostor i spektralni idempotent T π je T π = I − TT#.

    Teorema 2.5. Operator T ∈ B(H) je grupno invertibilan ako i samo akopostoji idempotent P ∈ B(H) takav da je T + P invertibilan, TP = 0i TP = PT . U ovom slučaju, grupni inverz T# operatora T dat je saT# = (T + P )−1(I − P ), a idempotent P = T π = I − TT#.

    Definicija 2.4. Operator T ∈ B(H) je EP operator ako je R(T ) = R(T ∗).

    Dakle, ako je T EP operator, onda je N (T ) = N (T ∗).

    Teorema 2.6. Ako je T ∈ B(H) i R(T ) zatvoren, onda je T EP operatorako i samo ako je T † = T# ako i samo ako je T †T = TT †.

    Teorema 2.7. T ∈ B(H) je EP operator ako i samo ako T je grupno invert-ibilan i T#T je samokonjugovan.

    Sledeća svojstva grupnog inverza biće korǐsćena kasnije:

    Lema 2.1. Neka je T,B ∈ B(H).

    (i) Ako je T ∼ B, onda je B grupno invertibilan akko je T grupno invert-ibilan;

    (ii) Ako je T grupno invertibilan, onda je (T ∗)# = (T#)∗, (T k)# = (T#)k,

    za svaki nenegativan ceo broj k, T π = PN (T ),R(T ) i TT# = PR(T ),N (T );

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 14

    (iii) Sledeća tvrdjenja su ekvivalentna:

    (a) T je grupno invertibilan;

    (b) R(T ) = R(T k) i N (T ) = N (T k), k ¿ 2;

    (c) T =

    (T11 T120 D

    )u odnosu na dekompoziciju H = R(T )⊕⊥R(T )⊥,

    gde je T11 invertibilan;

    (d) T = T0 ⊕ 0 u odnosu na dekompoziciju H = R(T ) ⊕ N (T ), gdeje T0 invertibilan.

    2.2 Karakterizacija grupno invertibilnih op-

    eratora

    Posmatrajmo matrični operator

    (T1 T3T4 T2

    )na Hilbertovom prostoru

    H1 ⊕H2. Operator Ti je preslikavanje na Hilbertovom prostoru Hi, i = 1, 2,a operator T3 (T4) preslikava H2 u H1 (H1 u H2). Pretpostavimo da su sviposmatrani operatori linearni i ograničeni na odgovarajućim prostorima.

    Za dijagonalni operator M = A ⊕ D poznato je da važi R(M) =R(A) ⊕ R(D), N (M) = N (A) ⊕ N (D) i M je grupno invertibilan ako isamo ako su A i D grupno invertibilni.

    Za gornje trougaonu konačnu matricu

    (A B0 D

    ), R.E. Hartwig i J.M. Shoaf

    [11] dokazali su da

    (A B0 D

    )#postoji ako i samo ako A# i D# postoje i

    (I −AA#)B(I −DD#) = 0. U ovom slučaju(A B0 D

    )#=

    (A# Y0 D#

    ), gde

    je Y = (A#)2BDπ +AπB(D#)

    2−A#BD#. Što se tiče ograničenih linearnih

    operatora, treba istaći da, ako je

    (A B0 D

    )grupno invertibilan, ne možemo

    zaključiti da su i A i D grupno invertibilni. To ilustruje naredni primer:

    Primer 1. Definǐsemo M na l2 ⊕ l2 (l2 Hilbertov prostor kvadratno suma-bilnih nizova) sa

    M =

    (U I − UU∗0 U∗

    ),

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 15

    gde je U desni šift operator definisan sa

    U(x0, x1, x2, ...) = (0, x0, x1, x2, ...).

    Tada je M grupno invertibilan (zapravo, M je invertibilan), ali nisu i U i U∗

    grupno invertibilni. U je izometrija. Kodomen U nije l2, već pravi potpros-tor od l2. Kako je spektar operatora U zatvoren disk, 0 nije izolovana tačkaspektra U . Dakle, ni U ni U∗ nisu grupno invertibilni.

    Što se tiče grupnog inverza gornje trougaonih matričnih operatora, imamosledeći rezultat:

    Lema 2.2. Neka su H i K Hilbertovi prostori, M =

    (A B0 D

    )operator na

    H ⊕K. Važe sledeća tvrdjenja:

    (i) Pretpostavimo da postoji D# (A#). Tada postoji M# ako i samo akopostoji A# (D#) i AπBDπ = 0.

    (ii) Pretpostavimo da postoje A# i D#. Tada postoji M# ako i samo akoAπBDπ = 0. U ovom slučaju je(

    A B0 D

    )#=

    (A# Y0 D#

    ),

    gde je Y = (A#)2BDπ + AπB(D#)

    2 − A#BD#.

    (iii) Pretpostavimo da je H(K) konačno-dimenzionalan. Tada M# postojiako i samo ako postoje A#, D# i AπBDπ = 0.

    Dokaz.

    (i) (⇒) : Pretpostavimo da M# postoji i primetimo da je

    M2 =

    (A2 AB +BD0 D2

    ), M3 =

    (A3 A2B + ABD +BD2

    0 D3

    ).

    Kako su M i D grupno invertibilni, R(M) = R(Mk),N (M) = N (Mk),R(D) = R(Dk) i N (D) = N (Dk) za svaki ceo broj k ≥ 2. Odatle,za svako x ∈ N (A2), x ⊕ 0 ∈ N (M2) = N (M). Stoga, Ax = 0 iN (A2) ⊂ N (A). Kako je N (A) ⊂ N (A2), zaključujemo da je N (A2) =

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 16

    N (A).Za svako z ∈ R(A), postoji x ∈ H takvo da je(

    A B0 D

    )(x0

    )=

    (z0

    )∈ R(M) = R(M3).

    Sledi da postoje u ∈ H i v ∈ K takvi da(A3 A2B + ABD +BD2

    0 D3

    )(uv

    )=

    (z0

    ).

    Zaključujemo da je v ∈ N (D3) = N (D), pa je zato

    z = A3u+ A2Bv = A2(Au+Bv) ∈ R(A2).

    Prema tome, R(A) ⊂ R(A2). Kako je R(A2) ⊂ R(A) trivijalno, važiR(A2) = R(A), odakle je ind(A) = 1, tj. A je grupno invertibilan.Sada, A je kao operator preslikavanje prostora N (Aπ) ⊕ R(Aπ), D jekao operator preslikavanje prostora N (Dπ)⊕R(Dπ), dok B kao oper-ator preslikava N (Dπ)⊕R(Dπ) u N (Aπ)⊕R(Aπ), i imaju oblik

    A =

    (A1 00 0

    ), D =

    (D1 00 0

    ), B =

    (B1 B3B4 B2

    )(2.1)

    redom, gde su A1 i D1 invertibilni. Neka je

    S =

    I 0 −B1D−11 A−11 B30 0 I 00 I −B4D−11 00 0 0 I

    .Tada je S invertibilan,

    S−1 =

    I B1D

    −11 0 −A−11 B3

    0 B4D−11 I 0

    0 I 0 00 0 0 I

    i

    SMS−1 =

    A1 A1B1D

    −11 0 0

    0 D1 0 00 0 0 B20 0 0 0

    . (2.2)

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 17

    Kako je M grupno invertibilan, N =

    (0 B20 0

    )#postoji. Očigledno je

    N2 = 0, pa važi N = N2N# = 0. Stoga, B2 = 0, tj. AπBDπ = 0.

    (⇐): Pretpostavimo da postoje A# i D#. Na osnovu (2.1) i (2.2) jeAπBDπ = 0 i zato

    SMS−1 =

    (A1 A1B1D

    −11

    0 D1

    )⊕(

    0 00 0

    )je grupno invertibilan. Lema 2.1 (i) implicira da je M grupno invert-ibilan.

    (ii) Tvrdjenje sledi direktno iz (2.2), a formula za grupni inverz se lakoproverava.

    (iii) Dovoljan uslov je pokazan u (i). Dokažimo potreban uslov.Kako je dimenzija H konačna, asc(A) i desc(A) su konačni i asc(A) =desc(A). Ako je M grupno invertibilan, na osnovu dokaza u (i), važiN (A2) = N (A), pa je desc(A) = acs(A) ≤ 1 i A je grupno invertibilan.Potreban uslov sledi direktno iz (i) i činjenice da su M i A grupnoinvertibilni. �

    Prethodna lema pokazuje da je

    (A B0 0

    )grupno invertibilan ako i samo ako

    postoji A# i B = A#AB. U tom slučaju je(A B0 0

    )#=

    (A (A#)2B0 0

    ).

    Za proizvoljan operator T ∈ B(H), predstavljamo sledeći pomoćni rezul-tat:

    Lema 2.3. Neka su L i M zatvoreni potprostori od H i PL,M idempotentna L duž M, tada:

    (i) PL,MT = T akko R(T ) ⊂ L;

    (ii) TPL,M = T akko N (T ) ⊃M.

    Primetimo da, ako je A grupno invertibilan, onda je A+Aπ invertibilani važi AAπ = AπA = A#Aπ = AπA# = Aπ(I − Aπ) = 0.

    Teorema 2.8. Neka su A,B ∈ B(H).

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 18

    (i) Ako je A grupno invertibilan, onda je

    max{‖AπB(I − Aπ)‖, ‖(I − Aπ)BAπ‖} ≤ ‖[A,B]‖‖A#‖.

    (ii) Ako su A,B grupno invertibilni i [A,B] = 0, onda je (AB)# = B#A# =A#B# i

    [A#, B] = [A,B#] = [A#, B#] = [Aπ, B] = [A,Bπ] = [Aπ, Bπ] = 0.

    (iii) Ako je A grupno invertibilan i AB = BA = 0, onda je AπB = B = BAπ

    i A#B = BA# = 0. Specijalno, ako je i B grupno invertibilan, onda je

    AB# = B#A = 0,

    (A+B)# = A# +B#,

    (A+B)π = Aπ +Bπ − I.

    Dokaz.

    (i) Kako je Aπ[A,B](I − Aπ) = Aπ(AB −BA)(I − Aπ) = −AπBA, sledi

    ‖AπB(I − Aπ)‖ = ‖AπBAA#‖ ≤ ‖AπBA‖‖A#‖= ‖Aπ[A,B](I − Aπ)‖‖A#‖≤ ‖[A,B]‖‖A#‖.

    Analogno, ‖(I − Aπ)BAπ‖ ≤ ‖[A,B]‖‖A#‖.

    (ii) Neka A ima matričnu reprezentaciju na H = R(A) ⊕ N (A) u ob-liku A = A1 ⊕ 0, gde je A1 invertibilan. Smatramo da je podela ma-

    trice B koja odgovara podeli matrice A data sa B =

    (B1 B3B4 B2

    ). Ako

    je [A,B] = 0, na osnovu (i), važi AπB(I − Aπ) =(

    0 0B4 0

    )= 0 i

    (I − Aπ)BAπ =(

    0 B30 0

    )= 0.

    Analogno, grupno invertibilan operator B1 ima matričnu reprezentacijuna R(A) = R(B1) ⊕ N (B1) u obliku B1 = B11 ⊕ 0. Na osnovu (i),A1 ima odgovarajuću matričnu reprezentaciju A1 = A11 ⊕ A22, gde suA11, A22 i B11 invertibilni i [A11, B11] = 0. Sada je

    A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, A# = A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0B = B11 ⊕ 0⊕B2, B# = B−111 ⊕ 0⊕B

    #2 .

    (2.3)

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 19

    Dakle,

    (AB)# = (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0 = B−111 A−111 ⊕ 0⊕ 0

    = A−111 B−111 ⊕ 0⊕ 0 = B#A# = A#B#.

    Ostatak se dokazuje analogno.

    (iii) Na osnovu (ii), ako je AB = BA = 0, onda je A = A1⊕ 0, B = 0⊕B2,gde je A1 invertibilan, a B2 je grupno invertibilan. Dakle,

    A# = A−11 ⊕ 0, B# = 0⊕B#2 .

    Rezultat sledi direktno. �

    Kao što je već poznato, grupni inverz idempotenta je on sam. Ako jeAA#BB# = BB#AA# ili AA#BB#AA# = AA#, onda je (AA#BB#)

    2=

    AA#BB# i, na osnovu svojstava grupnog inverza, važi

    AA#BB# = (AA#BB#)#,

    AB = ABB#AA#B,

    B#A# = B#AA#BB#A#.

    Teorema 2.8 implicira da, za proizvoljne 2 × 2 matrične operatore

    S =

    (S1 00 0

    ), T =

    (T1 T3T4 T2

    )∈ B(H1 ⊕ H2), ako je S1 invertibilan i

    [S, T ] = 0, onda je T3 = 0, T4 = 0 i T = T1 ⊕ T2. Koristeći Teoremu2.8 (i), potražićemo neke ekvivalentne uslove pod kojima važi AA# = BB#.

    Teorema 2.9. Neka su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni. Sledeći uslovi suekvivalentni:

    (1) AA# = BB#;

    (2) R(A) = R(B) i N (A) = N (B);

    (3) A+Bπ je invertibilan i AA# = AA#BB# = BB#AA#;

    (4) A+Bπ, Aπ +BB# su invertibilni i [A,Bπ] = 0;

    (5) A+Bπ, Aπ +B su invertibilni i [Aπ, B] = 0;

    (6) A+Bπ, Aπ +BB# su invertibilni i [Aπ, Bπ] = 0;

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 20

    (7) AπB = 0 = BAπ i Aπ +B je invertibilan;

    (8) AπB = 0 = BAπ i I + A#(B − A) je invertibilan.

    Dokaz. Neka A ima matričnu reprezentaciju kao u dokazu Teoreme 2.8 (ii).Tada je A# = A−11 ⊕0 i AA# = I⊕0. Sada implikacije (1)⇒ (2), (1)⇒ (3),(1)⇒ (4), (1)⇒ (5), (1)⇒ (6), (1)⇒ (7) slede trivijalno.(2)⇒ (1): Očigledno.(3) ⇒ (1): Ako je AA# = AA#BB# = BB#AA#, na osnovu Teoreme 2.8(i), BB# ima oblik BB# = I ⊕ Q2, gde je Q2 idempotent. Ako je A + Bπinvertibilan, onda je I −Q2 invertibilan. Dakle, R(Q2) = N (I −Q2) = {0},pa je Q2 = 0 i AA

    # = BB#.(4) ⇒ (1): Ako je [A,Bπ] = 0, na osnovu Teoreme 2.8 (i), Bπ ima formuBπ = (I − Q1) ⊕ (I − Q2), gde su Q1 i Q2 idempotenti. Na osnovu invert-ibilnosti A+Bπ sledi da je Q2 = 0, dok iz invertibilnosti A

    π +BB# sledi daje Q1 = I. Zato je BB

    # = I −Bπ = I ⊕ 0 = AA#.(5)⇒ (1), (6)⇒ (1): Slično kao (4)⇒ (1).(7)⇒ (1): Ako je AπB = 0 = BAπ, na osnovu Teoreme 2.8 (i), B ima formuB = B1 ⊕ 0, gde je B1 ∈ B(R(A)). Ako je Aπ + B invertibilan, onda je B1invertibilan. Dakle, B# = B−11 ⊕ 0 i AA# = BB#.(8)⇒ (1): Slično kao (7)⇒ (1). �

    Ako su A i B n × n kompleksne matrice, onda važi Klajnova formula(AB)D = A[(BA)D]

    2B. Za A,B ∈ B(H), ako je BA grupno invertibilan,

    jednostavno dolazimo do sledećeg rezultata:

    Lema 2.4. Neka su A,B ∈ B(H). Ako je BA grupno invertibilan, onda jeAB Drazin invertibilan sa ind(AB) ≤ 2 i (AB)D = A[(BA)#]

    2B. Ako su i

    AB i BA grupno invertibilni, onda

    (AB)# = A[(BA)#]2B,

    (AB)#A = A(BA)#,

    B(AB)# = (BA)#B.

    (2.4)

    Dokaz. Neka je X = A[(BA)#]2B. Jasno je XABX = X i ABX = XAB =

    A(BA)#B. Na osnovu

    (AB)3X = (AB)2A(BA)#B = A(BA)2(BA)#B = (AB)2

    sledi da je X {12, 2, 5}-inverz od AB. Dakle, (AB)D = X i ind(AB) ≤ 2.Štavǐse, ako su AB i BA grupno invertibilni, onda je

    (AB)# = (AB)D = A[(BA)#]2B,

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 21

    (AB)#A = A[(BA)#]2BA,

    B(AB)# = BA[(BA)#]2B = (BA)#B. �

    Ako je AB ili BA grupno invertibilan, dolazimo do sledećih tvrdjenja.

    Teorema 2.10. (1) Ako su A i AB grupno invertibilni, onda

    AB(AB)#A = A⇔ I + A#(B − A) je invertibilan;

    (2) Ako su A i BA grupno invertibilni, onda

    A(BA)#BA = A⇔ I + A#(B − A) je invertibilan.

    Dokaz. Dovoljno je dokazati samo (1), jer se (2) dokazuje na isti način.Slično kao u dokazu Teoreme 2.8 (ii), nekaA iB imaju matrične reprezentacije

    A = A1 ⊕ 0, B =(B1 B3B4 B2

    ).

    Jednostavno sledi da je I+A#(B−A) =(A−11 B1 A

    −11 B3

    0 I

    )invertibilan ako

    i samo ako je B1 invertibilan.Na osnovu

    AB(AB)#A =

    (A1B1 A1B3

    0 0

    )((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    )(A1 00 0

    )=

    (A1B1(A1B1)

    #A1 00 0

    ),

    sledi da je (AB)(AB)#A = A ⇔ A1B1(A1B1)# = I ⇔ A1B1 je invertibilan⇔ B1 je invertibilan, pa sledi (1). �

    Treba napomenuti da svojstva grupnog inverza impliciraju da jeBA = A2 ⇔ BAA# = A⇔ BA# = AA#. Štavǐse, važi sledeći rezultat:

    Teorema 2.11. Neka su A,B,AB ∈ B(H) grupno invertibilni i BA = A2.Tada

    (AB)(AB)# = ABB#A# ⇔ (AB)# = B#A# = A#B# = (A#)2.

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 22

    Dokaz. (⇐): Očigledno.(⇒): Kako je A grupno invertibilan, A i A# imaju matrične reprezentacije

    A =

    (A1 00 0

    )i A# =

    (A−11 0

    0 0

    ), u odnosu na razlaganje prostora

    H = R(A) ⊕ N (A). Sada, posmatramo podelu operatora B koja odgo-vara podeli operatora A. Iz BA = A2 znamo da se B može zapisati kao

    B =

    (A1 B30 B2

    ), gde je B3 ∈ B(N (A),R(A)) i B2 ∈ B(N (A)). Na osnovu

    Leme 2.2 važi

    B# =

    (A−11 A

    −21 B3B

    π2 − A−11 B3B

    #2

    0 B#2

    )i

    (AB)# =

    (A21 A1B30 0

    )#=

    (A−21 A

    −31 B3

    0 0

    ).

    Dakle,

    (AB)(AB)# = ABB#A# ⇔(I A−31 B30 0

    )=

    (I 00 0

    )⇔ B3 = 0.

    Sada je B = A1⊕B2, B# = A−11 ⊕B#2 i (AB)

    # = B#A# = A#B# = (A#)2.

    Primedba: Dokazi Teorema 2.8, 2.9, 2.11 nam daju vǐse informacija ogeometrijskoj strukturi izmedju dva operatora:

    (1) Teorema 2.8 (ii) implicira da, ako za grupno invertibilne operatore A iB važi [A,B] = 0, onda je A = A11⊕A22⊕0⊕0, B = B11⊕0⊕B22⊕0u odnosu na razlaganje prostora

    H = [R(A)∩R(B)]⊕[R(A)∩N (B)]⊕[N (A)∩R(B)]⊕[N (A)∩N (B)],

    pri čemu su Aii i Bii, i = 1, 2, invertibilni.

    (2) U Teoremi 2.8 (iii), ako su A i B grupno invertibilni i AB = BA = 0,onda [R(A)∩R(B)] = {0}, [R(A)∩N (B)] = R(A), [N (A)∩R(B)] =R(B) i A = A22 ⊕ 0 ⊕ 0, B = 0 ⊕ B22 ⊕ 0 u odnosu na razlaganjeprostora H = R(A)⊕R(B)⊕ [N (A) ∩N (B)].

    (3) Teorema 2.9 pokazuje da AA# = BB# ako i samo ako A = A1 ⊕ 0,B = B1 ⊕ 0, u odnosu na razlaganje prostora H = R(A) ⊕N (A), pričemu su A1 i B1 invertibilni.

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 23

    (4) Teorema 2.11 pokazuje da, ako je BA = A2, onda je AB(AB)# =ABB#A# ako i samo ako A = A1 ⊕ 0, B = A1 ⊕ B2, u odnosu narazlaganje prostora H = R(A)⊕N (A), pri čemu je A1 invertibilan, aB2 grupno invertibilan.

    2.3 Grupna invertibilnost proizvoda dva op-

    eratora

    C. Cao i J. Li [4] su pokazali da je BA grupno invertibilan ako je ABgrupno invertibilan i AB ∼ BA, gde su A,B ∈ Rn×n, a R je Bezuovdomen (ako je svaki konačno generisani levi (desni) ideal glavni ideal u nenulaprstenu R sa jedinicom 1 i bez pravih delitelja nule). Možemo uopštiti ovajrezultat za operatore na proizvoljnom Hilbertovom prostoru.

    Teorema 2.12. Neka su A,B ∈ B(H). Ako važe bilo koja dva od narednihuslova, važiće i treći:(i) postoji (AB)#; (ii) postoji (BA)#; (iii) AB ∼ BA.

    Dokaz. (i), (ii)⇒ (iii): Neka su AB i BA grupno invertibilni, P = (AB)π =I − AB(AB)# i Q = (BA)π = I − BA(BA)#. Tada je operator AB pres-likavanje prostora N (P )⊕R(P ), BA preslikavanje prostora N (Q)⊕R(Q),operator A preslikava N (Q)⊕R(Q) u N (P )⊕R(P ) i operator B preslikavaN (P )⊕R(P ) u N (Q)⊕R(Q) i zapisujemo

    AB =

    (X 00 0

    ), BA =

    (Y 00 0

    ), A =

    (A1 A3A4 A2

    ), B =

    (B1 B3B4 B2

    ),

    redom, gde su X ∈ B(N (P )) i Y ∈ B(N (Q)) invertibilni. Kako jeQ = I − BA(BA)# = I − B(AB)#A (na osnovu Leme 2.4), AQ = A −AB(AB)#A = PA, tj.(

    A1 A3A4 A2

    )(0 00 I

    )=

    (0 00 I

    )(A1 A3A4 A2

    )⇒(

    0 A30 A2

    )=

    (0 0A4 A2

    ).

    Stoga, Ai = 0, i = 3, 4, i A = A1⊕A2. Slično, QB = BP , što implicira da jeBi = 0, i = 3, 4, i B = B1⊕B2. Dakle, X = A1B1 i Y = B1A1 su invertibilni,A2B2 = 0 i B2A2 = 0. Iz X = A1B1 i Y = B1A1 zaključujemo da je

    N (Q) = R(BA) ⊂ R(B1A1) ⊂ R(B1) ⊂ N (Q)

    iN (B1) ⊂ N (A1B1) = {0}.

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 24

    Sledi da je B1 invertibilan. Neka je S = B1 ⊕ I. Tada je SAB = BAS, tj.AB ∼ BA.Implikacije (i), (iii)⇒ (ii) i (ii), (iii)⇒ (i) su očigledne na osnovu Leme 2.1(i). �

    Teorema 2.13. Ako su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni i R(A) = R(B),onda su AB i BA grupno invertibilni. Štavǐse,

    (AB)# = B#A#B#B, (BA)# = A#B#A#A.

    Dokaz. Kako su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni iR(A) = R(B), na osnovuLeme 2.3 (i) važi BB#A = A i AA#B = B. Neka je X = B#A#B#B. Tada

    XAB = B#A#B#BAB = B#A#AB = B#B,

    XABX = B#BX = X,

    ABX = ABB#A#B#B = AA#B#B = B#B,

    ABXAB = B#BAB = AB,

    tj. X = (AB)#. Analogno, (BA)# = A#B#A#A. �

    Ako su A,B ∈ B(H) EP operatori i R(A) = R(B), onda je R(A∗) =R(A) = R(B) = R(B∗), odakle sledi A#B#B = A# i B#A#A = B#, naosnovu Leme 2.3 (ii).

    Posledica 2.1. Ako su A,B ∈ B(H) EP operatori i R(A) = R(B), onda suAB i BA EP operatori. Štavǐse,

    (AB)# = (AB)† = B†A† = B#A#,

    (BA)# = (BA)† = A†B† = A#B#.

    Teorema 2.13 takod̄e implicira da je A2 grupno invertibilan i(A2)

    #= (A#)

    2ako je A ∈ B(H) grupno invertibilan.

    Teorema 2.14. Neka su A,B ∈ B(H). Tada su AB i BA grupno invertibilniako i samo ako su R(AB) i R(BA) zatvoreni,

    (i) R(AB) = R(ABA), (ii) R(A∗B∗) = R(A∗B∗A∗),(iii) R(BA) = R(BAB), (iv) R(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗).

    (2.5)

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 25

    Dokaz. (⇒): Ako su AB i BA grupno invertibilni, onda su R(AB) i R(BA)zatvoreni (na osnovu Leme 2.1 (ii)). Grupna invertibilnost AB implicira da

    R(AB) = R((AB)2) ⊂ R(ABA) ⊂ R(AB). (2.6)

    Odatle je R(AB) = R(ABA). Analogno, kako su BA,A∗B∗ i B∗A∗ grupnoinvertibilni, preostale jednakosti iz (2.5) se dokazuju na isti način.(⇐): Ako su R(AB) i R(BA) zatvoreni i važi (2.5), onda je

    R(AB) = R(ABA) = AR(BA) = AR(BAB) = R(ABAB) = R((AB)2).

    Kako su R(A∗B∗) i R(B∗A∗) takodje zatvoreni, važi

    R(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗) = B∗R(A∗B∗)= B∗R(A∗B∗A∗) = R(B∗A∗B∗A∗)= R((B∗A∗)2).

    Sledi da je N (AB) = R(B∗A∗)⊥ = R((B∗A∗)2)⊥ = N ((AB)2). Odatlezaključujemo da je ind(AB) ≤ 1. Dakle, AB je grupno invertibilan. Analogno,BA je grupno invertibilan. �

    Posledica 2.2. Neka su A,B ∈ B(H).

    (i) Ako je R(A) zatvoren, R(A) = R(ABA) i R(A∗) = R(A∗B∗A∗), ondasu AB i BA grupno invertibilni.

    (ii) Ako su R(A) i R(B) zatvoreni, R(A) = R(AB),R(B) = R(BA),R(A∗) = R(A∗B∗) i R(B∗) = R(B∗A∗), onda su AB i BA grupnoinvertibilni.

    (iii) Ako je R(BA) zatvoren, AB grupno invertibilan, R(A) = R(AB) iR(B∗) = R(B∗A∗), onda je BA grupno invertibilan.

    Dokaz.

    (i) Kako je R(A) zatvoren,

    R(A) = R(ABA) ⊂ R(AB) ⊂ R(A)

    iR(A∗) = R(A∗B∗A∗) ⊂ R(A∗B∗) ⊂ R(A∗),

    onda su R(AB) i R(BA) zatvoreni i (i) i (ii) iz (2.5) važe. Slično, kakoje

    R(BABA) = BR(ABA) = BR(A) = R(BA),

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 26

    važiR(BA) = R(BABA) ⊂ R(BAB) ⊂ R(BA)

    iR(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗A∗) ⊂ R(B∗A∗B∗) ⊂ R(B∗A∗).

    Dakle, zadovoljeni su uslovi (iii) i (iv) iz (2.5). Na osnovu Teoreme2.14, AB i BA su grupno invertibilni.

    (ii) Primetimo da je R(AB) = AR(B) = AR(BA) = R(ABA). Analognomožemo pokazati da važe uslovi (ii) − (iv) iz (2.5). Na osnovu toga iTeoreme 2.14 sledi tvrdjenje.

    (iii) Ako postoji (AB)#, na osnovu (2.6) je R(AB) = R(ABA). Analogno,R(B∗A∗) = R(B∗A∗B∗). Štavǐse,

    R(BA) = BR(A) = BR(AB) = R(BAB)

    iR(A∗B∗) = A∗R(B∗) = A∗R(B∗A∗) = R(A∗B∗A∗).

    Na osnovu Teoreme 2.14 sledi tvrdjenje. �

    2.4 Grupna invertibilnost anti-trougaonog ma-

    tričnog operatora

    Neka su A,B,D ∈ B(H). Definǐsemo matrične operatore M i MAdimenzije 2× 2 na sledeći način

    M =

    (A B0 D

    ), MA =

    (B AD 0

    ). (2.7)

    Tada je MA = M

    (0 II 0

    ). Jasno je da je matrica MA dobijena zamenom

    kolona matrice M , pa, pri razmatranju grupne invertibilnosti matrice MA,pažnju možemo usmetriti na matricu M . Podsetimo se da važi σ(PQ)\{0} =σ(QP ) \ {0}, na osnovu čega sledi da je I + PQ invertibilan ako i samo akoje I +QP invertibilan. Biće nam potrebna naredna lema.

    Lema 2.5. Neka su A,B,Q ∈ B(H) takvi da je R(A) zatvoren i neka jeU = AQPAA− + I − AA−.

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 27

    (i) Ako je U invertibilan i ako postoje P0, Q0 ∈ B(H) takvi da važi P0PA =A i AQQ0 = A, onda je T = PAQ grupno invertibilan.

    (ii) Ako su P i Q invertibilni, onda važi

    T = PAQ je grupno invertibilan⇔ U je invertibilan.

    Dokaz.

    (i) Ako je U = AQPAA− + I −AA− = I + (AQPA−A)A− invertibilan,onda je V := I +A−(AQPA−A) = A−AQPA+ I−A−A invertibilan.Sledi da je

    UA = AV = AQPA

    iA = U−1AQPA = AQPAV −1.

    Neka jeH = PU−1P0, G = Q0V

    −1Q, X = HTG,

    pri čemu P0 i Q0 zadovoljavaju P0PA = A i AQQ0 = A. Na osnovu

    T = PAQ = P [U−1AQPA]Q = PU−1P0[PAQ][PAQ] = HT2

    i

    T = PAQ = P [AQPAV −1]Q = [PAQ][PAQ]Q0V−1Q = T 2G,

    možemo zaključiti da je TG = HT 2G = HT i T 2G2 = TG = HT =H2T 2. Dakle,

    TX = THTG = T 2G2 = H2T 2 = HTGT = XT,

    TXT = T 2X = T 2HTG = TT 2G2 = T 2G = T,

    XTX = H2T 2X = HTX = HTHTG = HT 2G2 = HTG = X,

    odnosno, X je grupni inverz operatora T . Štavǐse,

    T# = HTG = PU−1P0PAQQ0V−1Q

    = PU−1AV −1Q = PU−2AQ

    = PAV −2Q.

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 28

    (ii) Uočimo da je, na osnovu (i), T = PAQ invertibilan ako je U invert-ibilan. Potrebno je još dokazati da je U invertibilan ako je T = PAQinvertibilan. Primetimo da operator A preslikava R(A∗) ⊕ N (A) uR(A) ⊕ N (A∗), operator P preslikava R(A) ⊕ N (A∗) u H, dok oper-ator Q preslikava prostor H u prostor R(A∗) ⊕ N (A), i ovi operatoriimaju formu

    A =

    (A1 00 0

    ), P =

    (P1 P2

    ), Q =

    (Q1Q2

    ),

    redom, pri čemu je A1 ∈ B(R(A∗),R(A)) invertibilan. Kako su P i Qinvertibilni i A− postoji, važi

    A− =

    (A−11 A

    ′3

    A′4 A

    ′2

    ), P−1 =

    (P′1

    P′2

    ), Q−1 =

    (Q′1 Q

    ′2

    )i (

    P′1P1 P

    ′1P2

    P′2P1 P

    ′2P2

    )=

    (I 00 I

    ),

    (Q1Q

    ′1 Q1Q

    ′2

    Q2Q′1 Q2Q

    ′2

    )=

    (I 00 I

    ), (2.8)

    pri čemu su A′i, i = 2, 3, 4, proizvoljni. Sada je T = PAQ = P1A1Q1 i

    U = AQPAA− + I − AA− =(A1Q1P1 [A1Q1P1 − I]A1A

    ′3

    0 I

    ). (2.9)

    Neka je X grupni inverz operatora T . Za X važi

    (a) P1A1Q1XP1A1Q1 = P1A1Q1,

    (b) P1A1Q1X = XP1A1Q1,

    (c) XP1A1Q1X = X.

    Množenjem, najpre, jednačine (a) sa leve strane sa A−11 P′1, a zatim

    množenjem sa desne strane sa Q′1A−11 i primenjujući (2.8), sledi da je

    Q1XP1 = A−11 . Analogno, na osnovu (2.8) i (b), važi da je Q1X =

    A−11 P′1XP1A1Q1. Stoga je P

    ′1XP1A1Q1P1 = I, odakle sledi da je

    A1Q1P1 levo invertibilan. Primetimo da (a) i (b) impliciraju da važi

    P1A1Q1XP1A1Q1 = P1A1Q1A1Q1X = P1A1Q1.

    Na osnovu (2.8) sledi A1Q1P1A1Q1XQ′1A−11 = I, odakle je A1Q1P1

    desno invertibilan. Dakle, A1Q1P1 je invertibilan i, na osnovu (2.9),sledi da je U invertibilan. �

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 29

    Za EP operatore važi naredni rezultat.

    Teorema 2.15. Neka su M i MA definisani kao u (2.7), a A i D su EPoperatori. Tada

    (i) Sledeći uslovi su ekvivalentni:

    (a) M je EP operator;

    (b) AπBDπ = 0 i A#BDπ + AπBD# = 0;

    (c) B = AA#B i B = BDD#;

    (d) R(B) ⊂ R(A) i N (D) ⊂ N (B).

    U ovom slučaju je

    M † = M# =

    (A# −A#BD#0 D#

    ).

    (ii) M je EP operator i Aπ = Dπ ako i samo ako je MA EP operator i

    M#A =

    (0 D#

    A# −A#BD#).

    Dokaz.

    (i) (a) ⇒ (b): Na osnovu Leme 2.2 (ii), ako je M EP operator, onda jeAπBDπ = 0 i operator

    MM# =

    (A B0 D

    )(A# (A#)

    2BDπ + AπB(D#)

    2 − A#BD#0 D#

    )=

    (AA# A#BDπ + AπBD#

    0 DD#

    )je samokonjugovan. Sledi da je

    A#BDπ + AπBD# = 0. (2.10)

    (b)⇒ (c): Množenjem (2.10) sa desne strane sa D, zaključujemo da jeAπB = 0. Slično, BDπ = 0.(c)⇔ (d): Videti Lemu 2.3.

    (c) ⇒ (a): Na osnovu Leme 2.2 (ii), M# =(A# −A#BD#0 D#

    ). Kako

    su A i D EP operatori, direktno se proverava da M# zadovoljavajednačine (1)-(5) iz definicija Moore-Penroseovog i grupnog inverza.

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 30

    (ii) (⇒) : Neka suA iD su EP operatori i označimoX =(

    0 D#

    A# −A#BD#)

    .

    Na osnovu (i)(c), jednostavno se proverava da važi

    XMA = DD# ⊕ AA#,

    MAX = AA# ⊕DD#,

    MAXMA = MA,

    XMAX = X.

    Na osnovu činjenice da su A i D EP operatori i da je Aπ = Dπ, sledida je MA EP operator.

    (⇐) : Ako je M#A =(

    0 D#

    A# −A#BD#), onda je

    MAM#A =

    (AA# AπBD#

    0 DD#

    )i

    M#AMA =

    (DD# 0A#BDπ AA#

    ).

    Kako je MA EP operator, važi MAM#A = M

    #AMA, pa je A

    π = Dπ,AπBD# = 0 i A#BDπ = 0. Na osnovu

    MM#AM =

    (B AD 0

    )(DD# 0A#BDπ AA#

    )=

    (BDD# − AA#BDπ A

    D 0

    )=

    (BD#D AD 0

    )= M,

    sledi da je BD#D = B, pa je AπB = AπBD#D = 0. Pomoću (i)(c),zaključujemo da je M EP operator. �

    Grupna invertibilnost operatora M ne implicira uvek grupnu invertibil-nost operatora MA. To ilustruje sledeći primer.

    Primer 2. Definǐsimo operator M na H ⊕H ⊕H ⊕H sa

    M =

    (A B0 D

    ),

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 31

    gde su A =

    (I 00 0

    ), B =

    (0 I−I 0

    ), D =

    (I 00 0

    ).

    Na osnovu Leme 2.2 (ii), M je grupno invertibilan (zapravo, AπBDπ = 0).Kako je

    MA =

    (B AD 0

    )=

    0 I I 0−I 0 0 0I 0 0 00 0 0 0

    ,

    M2A =

    0 0 0 00 −I −I 00 I I 00 0 0 0

    ,važi R(MA) 6= R(M2A), pa MA nije grupno invertibilan.

    Neka je T =

    (A C0 B

    )∈ B(H ⊕ H). Tada je T

    (0 II 0

    )=

    (C AB 0

    ).

    Ako je R(T ) zatvoren, onda je, na osnovu Leme 2.5 (ii), anti-trougaoni

    matrični operator

    (C AB 0

    )grupno invertibilan ako i samo ako je operator

    U = T

    (0 II 0

    )TT− + I − TT− invertibilan. Razmatraćemo naredne

    zanimljive slučajeve.

    Teorema 2.16. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su R(A) i R(B) zatvoreni ineka su c1, c2 ∈ C, a k, l ∈ N.

    (i) Ako je A invertibilan, onda je

    (C AB 0

    )grupno invertibilan ako i samo

    ako je C(I −B†B)− AB invertibilan.

    (ii)

    (c1A+ c2B A

    B 0

    )je grupno invertibilan ako i samo ako je

    (c1A

    2A† + I − AA† (1 + c1c2)ABB†BAA† c2B

    2B† + I −BB†)

    invertibilan.

    (iii)

    (AkBl AB 0

    )je grupno invertibilan ako i samo ako je

    (I − AA† ABB†BAA† BAkBlB† + I −BB†

    )invertibilan.

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 32

    (iv) Ako je A2 = A, onda je

    (A AB 0

    )grupno invertibilan ako i samo ako

    je I −BB† −BABB† invertibilan.

    Dokaz.

    (i) Neka je T =

    (A C0 B

    ). Ako je A invertibilan, onda je

    T− =

    (A C0 B

    )−=

    (A−1 −A−1CB†

    0 B†

    )i

    TT− =

    (I 00 BB†

    ).

    Na osnovu Leme 2.5 (ii),

    (C AB 0

    )je grupno invertibilan ako i samo

    ako je operator

    U = T

    (0 II 0

    )TT− + I − TT−

    =

    (C AB 0

    )(I 00 BB†

    )+

    (0 00 I −BB†

    )=

    (C ABB†

    B I −BB†)

    (2.11)

    invertibilan. Primetimo da je(I −(CB† + ABB†)0 I

    )(C ABB†

    B I −BB†)(

    I B†

    0 I

    )=

    (C − CB†B − AB 0

    B I

    ).

    Sledi da je U invertibilan ako i samo ako je C(I − B†B)− AB invert-ibilan.

    (ii) Kako su R(A) i R(B) zatvoreni, postoje A† i B† i jednostavno se

    proverava da je

    (0 B†

    A† 0

    ){1} − inverz od

    (0 AB 0

    ). Uočimo da važi

    (c1A+ c2B A

    B 0

    )=

    (I c2I0 I

    )(0 AB 0

    )(I 0c1I I

    ).

  • GLAVA 2. GRUPNI INVERZ OPERATORA 33

    Na osnovu Leme 2.5 (ii),

    (c1A+ c2B A

    B 0

    )je grupno invertibilan ako

    i samo ako

    U =

    (0 AB 0

    )(I 0c1I I

    )(I c2I0 I

    )(0 AB 0

    )(0 B†

    A† 0

    )+ I −

    (0 AB 0

    )(0 B†

    A† 0

    )=

    (c1A (1 + c1c2)AB c2B

    )(AA† 0

    0 BB†

    )+

    (I − AA† 0

    0 I −BB†)

    =

    (c1A

    2A+ I − AA† (1 + c1c2)ABB†BAA† c2B

    2B† + I −BB†).

    (iii) Primetimo da je(AkBl AB 0

    )=

    (I AkBl−1

    0 I

    )(0 AB 0

    ).

    Operator

    (AkBl AB 0

    )je grupno invertibilan ako i samo ako važi

    U =

    (0 AB 0

    )(I AkBl−1

    0 I

    )(0 AB 0

    )(0 B†

    A† 0

    )+ I −

    (0 AB 0

    )(0 B†

    A† 0

    )=

    (0 AB BAkBl−1

    )(AA† 0

    0 BB†

    )+

    (I − AA† 0

    0 I −BB†)

    =

    (I − AA† ABB†BAA† BAkBlB† + I −BB†

    ).

    (iv) Neka je c1 = 1 i c2 = 0 i primenimo (ii). Sledi da je

    (A AB 0

    )grupno

    invertibilan ako i samo ako je

    (I ABB†

    BAA† I −BB†)

    invertibilan, što je

    ekvivalentno tome da je I −BB† −BABB† invertibilan. �

  • Glava 3

    Zakon obrnutog redosleda

    Ako su A i B invertibilni operatori, tada se jednakost (AB)−1 = B−1A−1

    naziva zakon obrnutog redosleda za obične inverze. Med̄utim, ovaj zakon nevaži uvek za razne klase uopštenih inverza. Zakon obrnutog redosleda jekorisno računsko sredstvo u primenama (rešavanje linearnih jednačina u lin-earnoj algebri ili numeričkoj analizi), a takod̄e je zanimljiv i sa teorijskogstanovǐsta. Navodimo, najpre, rezultate koji se tiču zakona obrnutog re-dosleda za Moore-Penroseov inverz.

    Poznat je rezultat Grevilla [9], da je (AB)† = B†A† ako i samo akoje R(A∗AB) ⊂ R(B) i R(BB∗A∗) ⊂ R(A∗), kada su A i B kompleksne(moguće i pravougaone) matrice. Ovaj rezultat uopštili su Bouldin [2] iIzumino [12] na linearne ograničene operatore na Hilbertovim prostorima.

    U ovom delu, pokazaćemo pod kojim uslovima važi zakon obrnutogredosleda za grupni inverz. Pretpostavimo da A,B,AB,A#, B# i A#ABimaju matrične reprezentacije u odnosu na dekompoziciju H = R(A)⊕N (A)date sa

    A =

    (A1 00 0

    ), B =

    (B1 B3B4 B2

    ), AB =

    (A1B1 A1B3

    0 0

    ),

    A# =

    (A−11 0

    0 0

    ), B# =

    (C1 C3C4 C2

    ), A#AB =

    (B1 B30 0

    ),

    (3.1)

    redom, pri čemu je A1 invertibilan i svi operatori koji se pojavljuju suograničeni linearni operatori izmed̄u odgovarajućih prostora. Na osnovuLeme 2.2 (i), A#AB je grupno invertibilan ako i samo ako je B1 grupnoinvertibilan i B3 = B

    #1 B1B3 (ili R(B3) ⊂ R(B1)).

    34

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 35

    AB je grupno invertibilan ako i samo ako je A1B1 grupno invertibilani A1B3 = (A1B1)

    #A1B1A1B3 (ili A1R(B3) ⊂ A1R(B1)). Na osnovu Leme2.2(ii) (A#AB)

    #i (AB)# se mogu zapisati kao

    (A#AB)#

    =

    (B#1 (B

    #1 )

    2B3

    0 0

    ),

    (AB)# =

    ((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    ).

    (3.2)

    Koristeći predstavljanja u (3.1) i (3.2), dolazimo do sledećih rezultata.

    Teorema 3.1. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,AB i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada

    (i) (AB)# = (AA#B)#A# ⇔ [AB,Aπ] = 0 i [A, (AA#B)π] = 0;

    (ii) (AB)# = B#(ABB#)# ⇔ [AB,Bπ] = 0 i [B, (AB#B)π] = 0.

    Dokaz.

    (i) (⇒): Neka su A,B,AB,A#, (A#AB)# i (AB)# predstavljeni kao u(3.1) i (3.2). Tada je Aπ = I − AA# = 0⊕ I i

    (AB)# = (AA#B)#A# ⇔

    ((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    )

    =

    (B#1 A

    −11 0

    0 0

    )⇔

    {(a)(A1B1)

    # = B#1 A−11

    (b)[(A1B1)#]

    2A1B3 = 0.

    Pošto jeAB grupno invertibilan, sledi da jeA1B3 = A1B1(A1B1)#A1B3.

    Sada je

    B3 = A−11 A1B1(A1B1)

    #A1B3 = A−11 (A1B1)

    2[(A1B1)#]

    2A1B3 = 0.

    Dakle, AB = A1B1 ⊕ 0 i [AB,Aπ] = 0.Na osnovu A1B1(A1B1)

    # = (A1B1)#A1B1 i (a), važi da je

    A1B1B#1 A−11 = B

    #1 A−11 A1B1,

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 36

    iz čega sledi A1B1B#1 = B1B

    #1 A1.

    Primetimo da važi A = A1 ⊕ 0 i AA#B = B1 ⊕ 0, pa je (AA#B)π

    =(I −B1B#1 )⊕ I i [A, (AA#B)

    π] = 0.

    (⇐): Na osnovu [AB,Aπ] = 0⇔ ABAπ = 0⇔ B3 = 0 sledi

    AA#B =

    (B1 00 0

    )i (AA#B)

    π=

    (Bπ1 00 0

    ). Uočimo da se grupno

    invertibilni operator B1 može zapisati kao B1 = B11 ⊕ 0 sa B1B#1 =I ⊕ 0.Na osnovu [A, (AA#B)

    π] = 0 ⇔ A1B1B#1 = B1B

    #1 A1, iz Teoreme

    2.8(i), A1 se može zapisati kao A1 = A11⊕A22, pri čemu su A11, A22, B11invertibilni.Koristeći (3.2), zaključujemo

    (AB)# = (A1B1)# ⊕ 0

    = (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0

    = B−111 A−111 ⊕ 0⊕ 0

    = [B−111 ⊕ 0⊕ 0][A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0]= (AA#B)

    #A#.

    (ii) Na osnovu (i) važi da je (B∗A∗)# = (A∗)#[B∗(A∗)#A∗]#

    ekvivalentnosa

    [B∗A∗, (A∗)π] = 0 i [A∗, (B∗(A∗)#A∗)π] = 0.

    Zamenom A∗ i B∗ sa B i A, redom, važiće

    (AB)# = B#(AB#B)# ⇔ [AB,Bπ] = 0 i [B, (AB#B)π] = 0. �

    Primedba: Kao što je već poznato, ako je AB grupno invertibilan, onda jeR(AB) zatvoren. Štavǐse, važi:

    (i) R(AB) je zatvoren ako i samo ako R(A#AB) je zatvoren. Zapravo,

    R[(A#AB)∗] = R[B∗A∗(A#)∗]= B∗R[A∗(A#)∗]= B∗R(A∗)= R[(AB)∗].

    (ii) N (AB) = N (A#AB), što se može videti iz reprezentacije u (3.1).

    Teorema 3.2. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,AB i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada važi:

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 37

    (i) (AA#B)#

    = B#AA# ⇔ [Aπ, B] = 0;

    (ii) (ABB#)#

    = BB#A# ⇔ [A,Bπ] = 0.

    Dokaz.

    (i) (⇒): Neka su A,B,A#, B# i (A#AB)# predstavljeni kao u (3.1) i (3.2).Na osnovu Leme 2.2, A#AB je grupno invertibilan ako i samo ako jeB1 grupno invertibilan i B3 = B1B

    #1 B3 = B

    21(B

    21)

    #B3. Tada

    (AA#B)#

    = B#AA# ⇔

    (B#1 (B

    #1 )

    2B3

    0 0

    )=

    (C1 0C4 0

    )

    C1 = B

    #1

    B3 = 0

    C4 = 0

    .

    Dakle,

    B =

    (B1 0B4 B2

    )i B# =

    (B#1 C30 C2

    ).

    Kako su B i B1 grupno invertibilni, na osnovu Leme 2.2, B2 je grupnoinvertibilan, Bπ2B4B

    π1 = 0 i

    B# =

    (B1 0B4 B2

    )#=

    (B#1 0

    Bπ2B4(B#1 )

    2+ (B#2 )

    2B4B

    π1 −B

    #2 B4B

    #1 B

    #2

    )

    =

    (B#1 C30 C2

    ).

    Označimo sa Y = Bπ2B4(B#1 )

    2+(B#2 )

    2B4B

    π1−B

    #2 B4B

    #1 . Tada je Y = 0

    i važi

    B22Y B

    π1 = 0,

    Bπ2Y B21 = 0,

    B2Y B1 = 0,

    B2B

    #2 B4B

    π1 = 0,

    Bπ2B4B#1 B1 = 0,

    B2B#2 B4B

    #1 B1 = 0,

    B4B

    π1 = 0,

    Bπ2B4 = 0,

    B2B#2 B4B

    #1 B1 = 0,

    ⇒ B4 = B2B#2 B4B#1 B1 = 0,

    ⇒ B = B1 ⊕B2 i [Aπ, B] = 0.

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 38

    (⇐): Neka su A i A# predstavljeni kao u (3.1). Ako je [Aπ, B] = 0, naosnovu Teoreme 2.8 (i), B se može napisati kao B = B1 ⊕B2. Sada jeB# = B#1 ⊕B

    #2 i (AA

    #B)#

    = B#1 ⊕ 0 = B#AA#.

    (ii) Slično kao u dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

    Teorema 3.3. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,B i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada:

    (i) (AA#B)#A# = B#A# ⇔ [AπB, I − Aπ] = 0;

    (ii) B#(ABB#)#

    = B#A# ⇔ [ABπ, I −Bπ] = 0.

    Dokaz.

    (i) Zadržaćemo reprezentacije operatora A,B,A#, B# i (AA#B)#

    iz (3.1)i (3.2).(⇒): Na osnovu (3.1) i (3.2), primetimo da važi

    [AπB, I − Aπ] = 0⇔ AπB(I − Aπ) = 0⇔ B4 = 0

    i

    (AA#B)#

    A# = B#A# ⇔

    (B#1 (B

    #1 )

    2B3

    0 0

    )(A−11 0

    0 0

    )=

    (C1 C3C4 C2

    )(A−11 0

    0 0

    )

    {C1 = B

    #1

    C4 = 0.

    Prema tome, ako je (AA#B)#A# = B#A#, onda je B# =

    (B#1 C30 C2

    ).

    Ostaje da pokažemo da je B4 = 0 u reprezentaciji B =

    (B1 B3B4 B2

    ).

    Zapravo

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 39

    (a) BB# = B#B je ekvivalentno sa(B1B

    #1 B1C3 +B3C2

    B4B#1 B4C3 +B2C2

    )=

    (B1B

    #1 + C3B4 B

    #1 B3 + C3B2

    C2B4 C2B2

    ),

    (b) B = BB#B je ekvivalentno sa(B1 B3B4 B2

    )=

    (U1 U2U3 U4

    ),

    (c) B# = B#BB# je ekvivalentno sa(B#1 C30 C2

    )=

    (V1 V2V3 V4

    ),

    (3.3)

    pri čemu su

    U1 = B1 +B1C3B4 +B3C2B4, U2 = B1B#1 B3 +B1C3B2 +B3C2B2,

    U3 = B4B#1 B1+B4C3B4+B2C2B4, U4 = B4B

    #1 B3+B4C3B2+B2C2B2,

    V1 = B#1 + C3B4B

    #1 , V2 = B1B

    #1 C3 + C3B4C3 +B

    #1 B3C2 + C3B2C2,

    V3 = C2B4B#1 , V4 = C2B2C3 + C2B2C2.

    Prema tome,(d) C3B4 = 0 - upored̄ujući [1,1] elemente u (a)(e) C2B4B

    #1 = 0 - upored̄ujući [2,1] elemente u (c)

    (f) B4B#1 = C2B4 - upored̄ujući [2,1] elemente u (a)

    (g) B4 = U3 - upored̄ujući [2,1] elemente u (b)(h) C2B4 = B4B

    #1 = B4B

    #1 B1B

    #1 = C2B4B

    #1 B1 = 0, odakle je

    B4 = B4B#1 B1 +B4C3B4 +B2C2B4 = 0.

    (⇐): Ako je AπB(I − Aπ) = 0, onda je B =(B1 B30 B2

    ). Kako su B i

    A#AB grupno invertibilni, B1 i B2 su grupno invertibilni i

    B# =

    (B1 B30 B2

    )#=

    (B#1 Y

    0 B#2

    ),

    gde je

    Y = (B#1 )2B3B

    π2 +B

    π1B3(B

    #2 )

    2 −B#1 B3B#2 .

    Iz (3.1) i (3.2), važi A# = A−11 ⊕ 0 i (A#AB)#

    =

    (B#1 (B

    #1 )

    2B3

    0 0

    ), pa

    je (AA#B)#A# = B#A#.

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 40

    (ii) Slično kao dokaz Teoreme 3.1 (ii). �

    Primedba:

    (1) Jasno je da

    AA#BAA# = BAA# ⇔ R(BAA#) ⊂ R(A)⇔ AπB(I − Aπ) = 0⇔ [AπB, I − Aπ] = 0

    i

    BB#ABB# = BB#A ⇔ N (BB#A) ⊃ N (B)⇔ (I −Bπ)ABπ = 0⇔ [ABπ, I −Bπ] = 0.

    (2) Ako važi Teorema 3.2 (i) (Teorema 3.2 (ii)), onda važi Teorema 3.3 (i)(Teorema 3.3 (ii)). Obrnuta implikacija ne važi.

    (3) Na osnovu Teoreme 3.1 i Teoreme 3.3 možemo zaključiti sledeće:

    (I) Ako važe Teorema 3.1 (i) i Teorema 3.3 (i), onda je(AB)# = B#A#;

    (II) Ako važe Teorema 3.1 (ii) i Teorema 3.3 (ii), onda je(AB)# = B#A#.

    Teorema 3.4. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,B i AB grupno invert-ibilni. Tada:

    (i) B# = (AB)#A⇔ R(B) ⊂ R(A), [Aπ, B] = 0 i [A,Bπ] = 0;

    (ii) A# = B(AB)# ⇔ R(A) ⊂ R(B), [Aπ, B] = 0 i [A,Bπ] = 0.

    Dokaz.

    (i) Zadržaćemo reprezentacije operatora A,B,AB,A# i (AB)# iz (3.1) i(3.2).Na osnovu

    B# = (AB)#A =

    ((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    )(A1 00 0

    )= (A1B1)

    #A1 ⊕ 0 (3.4)

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 41

    i B#B = BB#, važi((A1B1)

    #A1 00 0

    )(B1 B3B4 B2

    )=

    (B1 B3B4 B2

    )((A1B1)

    #A1 00 0

    ),

    odakle sledi((A1B1)

    #A1B1 (A1B1)#A1B3

    0 0

    )=

    (B1(A1B1)

    #A1 0

    B4(A1B1)#A1 0

    ).

    Uporedjujući obe strane prethodne jednakosti i koristeći invertibilnostoperatora A1, zaključujemo

    B4(A1B1)

    # = 0

    (A1B1)#A1B3 = 0

    (A1B1)#A1B1 = B1(A1B1)

    #A1.

    (3.5)

    Kako je AB grupno invertibilan, sledi A1B3 = A1B1(A1B1)#A1B3.

    Druga jednakost iz (3.5) implicira da je B3 = A−11 A1B1(A1B1)

    #A1B3 =0. Na osnovu BB#B = B, primenjujući jednakost iz (3.4), važi(

    B1 0B4 B2

    )((A1B1)

    #A1 00 0

    )(B1 0B4 B2

    )=

    (B1 0B4 B2

    )⇔(B1(A1B1)

    #A1B1 00 0

    )=

    (B1 0B4 B2

    ),

    pa sledi B2 = 0 i B4 = 0. Sada je B = B1 ⊕ 0 i

    BB# = B1(A1B1)#A1 ⊕ 0 = (A1B1)#A1B1 ⊕ 0 = B#B, (3.6)

    na osnovu (3.4) i treće jednakosti iz (3.5). Primetimo da je A = A1⊕0,gde je A1 invertibilan i A

    π = 0 ⊕ I. Jasno je da važi R(B) ⊂ R(A) i[Aπ, B] = 0.Na osnovu (3.6), važi [A,Bπ] = ABπ −BπA = B#BA− AB#B = 0.(⇐): Neka A i A# imaju reprezentacije kao u (3.1). Ako jeR(B) ⊂ R(A) i [Aπ, B] = 0, na osnovu Teoreme 2.8 (i), B možemozapisati u obliku B = B1 ⊕ 0, pri čemu je B1 grupno invertibilan.Analogno, kako je [A,Bπ] = 0, na osnovu Teoreme 2.8 (i), važi daB1 i A1, kao ograničeni linearni operatori koji preslikavaju prostorR(A) = R(B1)⊕N (B1), imaju oblike

    B1 = B11 ⊕ 0, A1 = A11 ⊕ A22,

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 42

    pri čemu su A11, A22, B11 invertibilni. Dakle,

    A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, B1 = B11 ⊕ 0⊕ 0,

    (AB)# = (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0 = B−111 A−111 ⊕ 0⊕ 0,

    B# = B−111 ⊕ 0⊕ 0 = (AB)#A.

    (ii) Slično dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

    Na osnovu dokaza Teoreme 3.4, jasno je da su naredni uslovi dovoljnikako bi važio zakon obrnutog redosleda za grupni inverz (AB)# = B#A#:

    B# = (AB)#A⇒ (AB)# = B#A#,

    A# = B(AB)# ⇒ (AB)# = B#A#.

    Teorema 3.5. Neka su A,B ∈ B(H) takvi da su A,B i A#AB (ABB#)grupno invertibilni. Tada:

    (i) AA#B = B(AB)#AB ⇔ [AπB,AB(I − Aπ)] = 0;

    (ii) ABB# = AB(AB)#A⇔ [ABπ, (I −Bπ)AB] = 0.

    Dokaz.

    (i) Zadržaćemo reprezentacije operatora A,B,A# i (AB)# iz (3.1) i (3.2).Tada je

    [AπB,AB(I − Aπ)] = AπBAB(I − Aπ)

    =

    (0 00 I

    )(B1 B3B4 B2

    )(A1 00 0

    )(B1 B3B4 B2

    )(I 00 0

    )=

    (0 0

    B4A1B1 0

    ).

    Jasno je da važi

    [AπB,AB(I − Aπ)] = 0⇔ B4A1B1 = 0.

    Kako je AB =

    (A1B1 A1B3

    0 0

    )grupno invertibilan, onda je A1B1

    grupno invertibilan,

    A1B1 = A1B1(A1B1)#A1B1

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 43

    iA1B3 = A1B1(A1B1)

    #A1B3.

    Pošto je A1 invertibilan, onda je

    B1 = B1(A1B1)#A1B1, B3 = B1(A1B1)

    #A1B3,

    pa sledi da je

    AA#B = B(AB)#AB ⇔

    ⇔(B1 B30 0

    )=

    (B1 B3B4 B2

    )((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    )(A1B1 A1B3

    0 0

    )⇔

    (B1 B30 0

    )=

    (B1(A1B1)

    #A1B1 B1(A1B1)#A1B3

    B4(A1B1)#A1B1 B4(A1B1)

    #A1B3

    )⇔ B4(A1B1)#A1B1 = 0⇔ B4A1B1 = 0⇔ [AπB,AB(I − Aπ)] = 0.

    (ii) Slično dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

    Jasno je da

    [AπB,AB(I − Aπ)] = 0 ⇔ AπBAB(I − Aπ) = 0⇔ R(ABAA#) ⊂ N (AπB)

    i

    [(I −Bπ)AB,ABπ] = 0 ⇔ (I −Bπ)ABABπ = 0⇔ R(ABπ) ⊂ N (BBπAB).

    Na kraju, predstavljamo neke ekvivalentne uslove pod kojima će važitizakon obrnutog redosleda (AB)# = B#A#.

    Teorema 3.6. Neka su A,B ∈ B(H).

    (i) Ako su A,B i AB grupno invertibilni, onda su sledeća tvrdjenja ekvi-valentna:

    (1) (AB)# = B#A#;

    (2) (AB)#A = B#A#A i [(I − Aπ), BAπ] = 0;

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 44

    (3) B(AB)# = BB#A# i [(I −Bπ), BπA] = 0.

    (ii) Ako su A,B,AB i A#AB (ABB#) grupno invertibilni, onda su sledećatvrdjenja ekvivalentna:

    (1) (AB)# = B#A#;

    (2) (AB)#A = B#A#A = (A#AB)#

    ;

    (3) B(AB)# = BB#A# = (ABB#)#

    ;

    (4) (AB)#A = B#A#A i [Aπ, B] = 0;

    (5) B(AB)# = BB#A# i [A,Bπ] = 0.

    Dokaz. Zadržaćemo reprezentacije operatora A,B,A#, B# i (AB)# iz (3.1)i (3.2).

    (i) (2)⇒ (1): Na osnovu

    (AB)#A = B#A#A ⇔

    ((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    )(A1 00 0

    )=

    (C1 C3C4 C2

    )(I 00 0

    )⇔

    ((A1B1)

    #A1 00 0

    )=

    (C1 0C4 0

    )⇔ C1 = (A1B1)#A1, C4 = 0

    i[(I − Aπ), BAπ] = 0⇔ (I − Aπ)BAπ = 0⇔ B3 = 0,

    važi

    (AB)#A = B#A#A i [(I − Aπ), BAπ] = 0⇔

    ⇔ B =(B1 0B4 B2

    )i B# =

    ((A1B1)

    #A1 C30 C2

    ). (3.7)

    Prema tome,

    (AB)# = (A1B1)# ⊕ 0 = (A1B1)#A1A1−1 ⊕ 0 = B#A#.

    (1)⇒ (2): Ako je (AB)# = B#A#, jasno je da je (AB)#A = B#A#Ai, na osnovu reprezentacija iz (3.1) i (3.2), važi [(A1B1)

    #]2A1B3 = 0.

    Pomoću Teoreme 3.1 sledi B3 = 0, tj.

    [(I − Aπ), BAπ] = (I − Aπ)BAπ =(

    0 B30 0

    )= 0.

    (1)⇔ (3): Slično dokazu Teoreme 3.1 (ii).

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 45

    (ii) (1)⇒ (2) i (4): Iz (3.7), znamo

    (AB)# = B#A# ⇔

    ⇔ B =(B1 0B4 B2

    ), B# =

    ((A1B1)

    #A1 C30 C2

    )(3.8)

    Kako je A#AB grupno invertibilan, na osnovu Leme 2.2, B1 i B2su grupno invertibilni, C3 = 0 i B4 = 0. Dakle, B = B1 ⊕ B2 iB# = B1

    # ⊕ B2# = (A1B1)#A1 ⊕ C2. Sada (2) i (4) slede direktno izA = A1 ⊕ 0.(2)⇒ (1): Na osnovu

    (AB)#A = B#A#A = (A#AB)# ⇔

    ⇔(

    (A1B1)#A1 0

    0 0

    )=

    (C1 0C4 0

    )=

    (B#1 (B

    #1 )

    2B3

    0 0

    )⇔ B1# = C1 = (A1B1)#A1, C4 = 0, B3 = 0,

    i (3.7), zaključujemo (AB)# = B#A#.(4) ⇒ (1): Pomoću Teoreme 2.8 (i), ako je [Aπ, B] = 0, onda jeB = B1 ⊕B2.Ako važi (AB)#A = B#A#A, onda je (A1B1)

    #A1 = B#1 i

    B# = (A1B1)#A1 ⊕B#2 . Rezultat sledi direktno.

    (1)⇔ (3), (1)⇒ (5): Slično dokazu Teoreme 3.1 (ii). �

    Teorema 3.7. Neka su A,B,AB ∈ B(H) grupno invertibilni. Tada

    (AB)# = B#A# ⇔ (I − Aπ)BAπ = 0 i B#(I − Aπ) = (AB)#A.

    Specijalno, ako su A,B,BAπ grupno invertibilni, onda su sledeći usloviekvivalentni:

    (i) (AB)# = B#A#;

    (ii) (BA)# = A#B#;

    (iii) A = A1 ⊕ 0, B = B1 ⊕ B2 i B#1 = (A1B1)#A1 u odnosu na razlaganje

    prostora H = N (Aπ)⊕R(Aπ), gde je A1 invertibilan;

    (iv) A = A1 ⊕ 0, B = B1 ⊕ B2 i B#1 = A1(B1A1)# u odnosu na razlaganje

    prostora H = N (Aπ)⊕R(Aπ), gde je A1 invertibilan.

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 46

    Dokaz. Kako su A i B grupno invertibilni, A,A#, B i B# kao ograničenilinearni operatori koji preslikavaju prostor N (Aπ)⊕R(Aπ) mogu se zapisatina sledeći način:

    A =

    (A1 00 0

    ), A# =

    (A−11 0

    0 0

    ),

    B =

    (B1 B3B4 B2

    ), B# =

    (C1 C3C4 C2

    ).

    (3.9)

    Kako je AB =

    (A1B1 A1B3

    0 0

    )grupno invertibilan, na osnovu Leme 2.2 (i),

    zaključujemo [I − A1B1(A1B1)#]A1B3 = 0 i

    (AB)# =

    ((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    ).

    Pošto je (AB)# = B#A#, uočimo da je((A1B1)

    # [(A1B1)#]

    2A1B3

    0 0

    )=

    (C1A

    −11 0

    C4A−11 0

    ).

    Sledi da važi

    C4 = 0, C1 = (A1B1)#A1, [(A1B1)

    #]2A1B3 = 0.

    Dakle,

    B3 = A−11 A1B3 = A

    −11 [A1B1(A1B1)

    #A1B3]

    = A−11 [A1B1]2[(A1B1)

    #]2A1B3 = 0.

    Primetimo da je Aπ = 0⊕ I, pa važi

    (I − Aπ)BAπ =(

    0 B30 0

    )= 0,

    B#(I − Aπ) =(

    (A1B1)#A1 0

    0 0

    )= (AB)#A.

    Sa druge strane, ako je (I − Aπ)BAπ = 0, onda je

    B3 = 0 i (AB)# = (A1B1)

    # ⊕ 0,

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 47

    na osnovu (3.9). Ako je B#(I − Aπ) = (AB)#A, ponovo na osnovu (3.9),važi

    C1 = (A1B1)#A1 i C4 = 0.

    Stoga, (AB)# = B#A#.Sada, pretpostavimo da su A,B,AB i BAπ grupno invertibilni.(i) ⇔ (iii): Jasno je da važi (iii) ⇒ (i). Potrebno je samo pokazati(i)⇒ (iii). Primetimo da je (AB)# = B#A# ako i samo ako ograničeni lin-earni operatoriA,A#, B iB#, koji su preslikavanja na prostoruR(A)⊕N (A),imaju oblike

    A = A1 ⊕ 0, A# =(A−11 0

    0 0

    ),

    B =

    (B1 0B4 B2

    ), B# =

    ((A1B1)

    #A1 C30 C2

    ), (3.10)

    redom. Kako je BAπ grupno invertibilan, B2 je grupno invertibilan i, naosnovu Leme 2.2 (i), (ii), B1 je grupno invertibilan, B

    π2B4B

    π1 i

    B# =

    (B1 0B4 B2

    )#=

    (B#1 0

    Bπ2B4(B#1 )

    2+ (B#2 )

    2B4B

    π1 −B

    #2 B4B

    #1 B

    #2

    )

    =

    ((A1B1)

    #A1 C30 B2

    ).

    Sledi da je

    B#1 = (A1B1)#A1, Y := B

    π2B4(B

    #1 )

    2+ (B#2 )

    2B4B

    π1 −B

    #2 B4B

    #1 = 0.

    Primetimo da važiB22Y B

    π1 = 0,

    Bπ2Y B21 = 0,

    B2Y B1 = 0.

    B2B

    #2 B4B

    π1 = 0,

    Bπ2B4B#1 B1 = 0,

    B2B#2 B4B

    #1 B1 = 0.

    B4B

    π1 = 0,

    Bπ2B4 = 0,

    B2B#2 B4B

    #1 B1 = 0.

    Dakle, B4 = 0 i B = B1 ⊕B2.(ii)⇔ (iv): Slično dokazu (i)⇔ (iii).(iii)⇔ (iv): Uočimo da je A1B1 ∼ B1A1. Na osnovu Teoreme 2.12, A1B1 jegrupno invertibilan ako i samo ako je B1A1 grupno invertibilan. Na osnovuLeme 2.4, (A1B1)

    #A1 = A1(B1A1)#. �

    Ako je dim(R(A)) konačna, važi sledeći rezultat.

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 48

    Posledica 3.1. Neka su A,B,AB ∈ B(H) grupno invertibilni i dim(R(A))je konačna. Sledeća tvrdjenja su ekvivalentna:

    (i) (AB)# = B#A#;

    (ii) (BA)# = A#B#;

    (iii) R(AB) = R(BA) i N (AB) = N (BA);

    (iv) R(A∗B∗) = R(B∗A∗) i N (A∗B∗) = N (B∗A∗);

    (v) A = A11⊕A22⊕ 0⊕ 0, B = B11⊕ 0⊕B33⊕ 0, pri čemu su A11, A22, B11i B33 invertibilni.

    Dokaz. Očigledno važi (v)⇒ (ii)− (iv).(i) ⇒ (v): Na osnovu Teoreme 3.7 znamo da, kao ograničeni linearnioperatori A,A#, B i B# koji su preslikavanja na prostoru R(A) ⊕ N (A),imaju oblik (3.10). Ako je dim(R(A)) konačna, Lema 2.2 (iii) implicira dasu B1 i B2 grupno invertibilni. Na osnovu dokaza Teoreme 3.7 ((i)⇒ (iii)),važi B4 = 0. Dakle,

    A = A1 ⊕ 0, B = B1 ⊕B2, (A1B1)# = B#1 A−11 .

    Kako je A1B1 ∼ B1A1 i A1B1 je grupno invertibilan, na osnovu Teoreme2.12, B1A1 je grupno invertibilan i A

    −11 B

    #1 = A

    −11 (A1B1)

    #A1 = (B1A1)#.

    Sada, kako je (B1A1)# = A−11 B

    #1 i dim(R(B1)) ≤ dim(R(A))

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 49

    i A1, kao ograničeni linearni operatori koji su preslikavanja na prostoruR(A) = R(B1) ⊕ N (B1), imaju oblike B1 = B11 ⊕ 0 i A1 = A11 ⊕ A22,pri čemu su A11, A22 i B11 invertibilni, a B2, kao ograničeni linearan operatorkoji je na prostoru N (A) = R(B2) ⊕ N (B2), ima oblik B2 = B33 ⊕ 0, pričemu je B33 invertibilan. Dakle, važi (v).(iv)⇒ (v): Slično kao (iii)⇒ (v). �

    Na osnovu Teoreme 3.7 i Posledice 3.1, znamo da je, u opštem slučaju,(AB)# 6= (BA)#. Poznato je da je proizvod dva samokonjugovana operatoraA i B samokonjugovan operator ako i samo ako AB = BA. Proizvod dvakomutirajuća EP operatora je takod̄e EP operator. Sledeći rezultat pokazujeda je proizvod dva komutirajuća grupno invertibilna operatora takod̄e grupnoinvertibilan.

    Teorema 3.8. Neka su A,B ∈ B(H) komutativni operatori sa zatvorenimslikama.

    (i) Ako je jedan od operatora A i B grupno invertibilan, onda je R(AB)zatvoren.

    (ii) Ako su A i B grupno invertibilni, onda je AB grupno invertibilan i

    (AB)# = B#A# = A#B# = (BA)#.

    Dokaz.

    (i) Neka je A grupno invertibilan i A ima oblik A = A0 ⊕ 0, u odnosuna razlaganje prostora H = R(A) ⊕ N (A), pri čemu je A0 invert-ibilan. Kako je AB = BA, B se može zapisati kao B = B0 ⊕ B33,B0 ∈ B(R(A)), B33 ∈ B(N (A)) i A0B0 = B0A0. Dakle, R(B0) =R(A) ∪ R(B) je zatvoren. Primetimo da je A0 invertibilan iR(A0) = R(A). Stoga je R(AB) = R(A0B0) = R(B0A0) = R(B0).

    (ii) Ako je B = B0 ⊕ B33 takod̄e grupno invertibilan, onda su B0 i B33grupno invertibilni. Slično, A0B0 = B0A0 implicira A0 = A11 ⊕ A22,B0 = B11⊕0, u odnosu na razlaganje prostoraR(A) = R(B0)⊕N (B0),pri čemu su A11, A22 i B11 invertibilni, i A11B11 = B11A11. Sada je

    A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, A# = A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0,B = B11 ⊕ 0⊕B33, B# = B−111 ⊕ 0⊕B

    #33.

    (3.11)

    Zato, (AB)# = (A11B11)−1 ⊕ 0⊕ 0 = B#A# = A#B# = (BA)#. �

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 50

    Ako su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni i AB = BA, onda za (A,B)kažemo da je komutativan, grupno invertibilan par operatora.

    Teorema 3.9. Neka su A,B,C,D ∈ B(H), (A,B) i (C,D) komutativni,grupno invertibilni parovi operatora. Za proizvoljan operator X ∈ B(H),

    AXC = BXD ⇔ A#XC# = B#XD#.

    Dokaz. Za bilo koje grupno invertibilne operatore A i C važi

    (A#)#X(C#)

    #= AXC.

    Dakle, treba dokazati samo potreban uslov, kako bi dokaz bio potpun.(A,B) je komutativan, grupno invertibilan par operatora i, na osnovu (3.11),važi

    A = A11 ⊕ A22 ⊕ 0, A# = A−111 ⊕ A−122 ⊕ 0,B = B11 ⊕ 0⊕B33, B# = B−111 ⊕ 0⊕B

    #33,

    (3.12)

    pri čemu je A11B11 = B11A11. Slično, kako je (C,D) takodje komutativan,grupno invertibilan par operatora, onda je

    C = C11 ⊕ C22 ⊕ 0, C# = C−111 ⊕ C−122 ⊕ 0,D = D11 ⊕ 0⊕D33, D# = D−111 ⊕ 0⊕D

    #33,

    (3.13)

    pri čemu je C11D11 = D11C11. Neka je X = (Xij)1≤i,j≤3. Na osnovu AXC =BXD, uočimoA11 0 00 A22 0

    0 0 0

    X11 X12 X13X21 X22 X23X31 X32 X33

    C11 0 00 C22 00 0 0

    =

    B11 0 00 0 00 0 B33

    X11 X12 X13X21 X22 X23X31 X32 X33

    D11 0 00 0 00 0 D33

    .Odatle jeA11X11C11 A11X12C22 0A22X21C11 A22X22C22 0

    0 0 0

    =B11X11D11 0 B11X13D330 0 0B33X31D11 0 B33X33D33

    .(3.14)

  • GLAVA 3. ZAKON OBRNUTOG REDOSLEDA 51

    Upored̄ujući dve strane prethodne jednačine i koristeći invertibilnost ikomutativnost odgovarajućih operatora, sledi da je X12 = 0, X21 = 0,X22 = 0 i

    A11X11C11 = B11X11D11,

    X13D33 = 0,

    B33X31 = 0,

    B33X33D33 = 0.

    A−111X11C

    −111 = B

    −111 X11D

    −111 ,

    X13D#33 = 0,

    B#33X31 = 0,

    B#33X33D#33 = 0.

    (3.15)

    Na osnovu podataka iz (3.12)-(3.15), važi A#XC# = B#XD#. �

    Posledica 3.2. Neka su A,B ∈ B(H) grupno invertibilni. Za proizvoljanoperator X ∈ B(H), važi sledeće:

    (i) AX = XB ⇔ A#X = XB#;

    (ii) AXB = X ⇔ A#XB# = X.

  • Literatura

    [1] A. Ben-Israel, T.N.E. Greville - Generalized Inverses: Theory andApplications, 2nd edition, Springer Verlag, New York, 2003.

    [2] R.H. Bouldin - The pseudo-inverse of a product, SIAM J. Appl.Math. 25:489-495, 1973.

    [3] S.L. Campbell, C.D. Meyer - Generalized Inverses of Linear Trand-formations, Dover Publication, 1991.

    [4] C. Cao, J. Li - Group inverses for matrices over a Bezout domain,Electron. J. Linear Algebra, 18:600-612, 2009.

    [5] R.E. Cline - An application of representation of a matrix, MRCTechnical Report no. 592, 1965.

    [6] C.Y. Deng - On the group invertibility of operators, Electronic Jour-nal of Linear Algebra 31:492-510, 2016.

    [7] C.Y. Deng - Reverse order law for the group inverses, J. Math.Anal. Appl. 382:663-671, 2011.

    [8] D.S. Djordjević, V. Rakočević - Lectures on generalized inverses,Faculty of Sciences and Mathematics, University of Nǐs, 2008.

    [9] T.N.E. Greville - Note on the generalized inverse od a matrix prod-uct, SIAM Rev. 8:518-521, 1966.

    [10] C.W. Groetsch - Generalized Inverses of Linear Operators, MarcelDekker, Inc., New York, 1977.

    [11] R.E. Hartwig, J.M. Shoaf - Group inverses and Drazin inverses ofbidiagonal and triangular Toeplitz matrices, J. Austral. Math. Soc.,24(A):10-34, 1977.

    52

  • LITERATURA 53

    [12] S. Izumino - The product of operators with closed range and anextension of the reverse order law, Tohoku Math. J. 34:43-52, 1982.

    [13] D. Mosić, D.S. Djordjević, J.J. Koliha - EP elements in rings, Lin-ear Algebra Appl. 431:527 535, 2009.

    [14] V. Rakočević - Funkcionalna analiza, Naučna knjiga, Beograd,1994.

    [15] A.E. Taylor, D.C. Lay - Introduction to Functional Analysis, Secondedition, John Wiley & Sons, New York, 1980.

    [16] G. Wang, Y. Wei, S. Qiao - Generalized Inverses: Theory and Com-putations, Science Press, 2006.

    [17] Y. Wei, S. Qiao - The representation and approximation of theDrazin inverse of a linear operator in Hilbert space, Appl. Math.Comput. 138:77-89, 2003.

  • Biografija

    Ivana Stamenković je rod̄ena 15.01.1994. godine u Nǐsu. Osnovnuškolu ”Car Konstantin” u Nǐsu završila je 2008. godine kao nosilac Vukovediplome. Iste godine upisala je Gimnaziju ”Bora Stanković” u Nǐsu, prirodno-matematički smer, koju je završila 2012. godine, takod̄e kao nosilac Vukovediplome.

    Osnovne akademske studije matematike na Prirodno-matematičkom fakul-tetu u Nǐsu upisala je školske 2012/2013. godine, a završila ih je školske2015/2016. godine. Iste godine upisala je master akademske studije matem-atike na Prirodno-matematičkom fakultetu u Nǐsu, studijski program Opštamatematika, koje je završila 2018. godine. Bila je korisnik stipendije ”Dositeja”.

    54